POLINOMIAL E-Modul Matematika Tadris Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Kudus Kelas SMA/MA XI
E-Modul Pembelajaran Matematika Polinomial Disusun oleh: Noviana Fitrianingsih (2110610062) Zakiyyatuz Zahra (2110610066) Zunia Fila Yaro (2110610067) Maulida Uswatin Khasanah (2110610068) Fatimatuz Zahro (2110610071) 1. 2. 3. 4. 5. PROGRAM STUDI TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI KUDUS 2023
Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT. yang telah melimpahkan segala rahmat, hidayah dan karunia-Nya sehingga atas izinNya penulis dapat menyelesaikan bahan ajar e-modul matematika flipbook_berbasis cerita bergambar ini. E-modul ini merupakan produk dari tugas mata kuliah Bahan dan Media Pembelajaran Matematika. Dalam penulisan e-modul ini penulis menyadari keterbatasan kemampuan yang penulis miliki, namun berkat kerja sama antar anggota, alhamdulillah penulis dapat menyelesaikan tepat waktu. E-modul flipbook matematika berbasis cerita bergambar ini memuat materi Polinomial untuk siswa kelas XI SMA/MA/SMK. Bahan ajar ini dapat digunakan sebagai bahan ajar mandiri atau bahan ajar pembelajaran di kelas. Semoga bahan ajar ini dapat menjadi pedoman pembelajaran dalam rangka meningkatkan mutu pendidikan di Indonesia. Segala kritik, saran, dan masukan penulis harapkan dari pembaca sebagai bahan evaluasi dan perbaikan bahan ajar ini. KATA PENGANTAR Kudus, 25 Mei 2023 Penulis iii
Daftar isi KATA PENGANTAR........................................................................................... iii DAFTAR ISI........................................................................................................... iv PENDAHULUAN................................................................................................. 1 A. Identitas Modul.......................................................................................... 1 B. Kompetensi Dasar..................................................................................... 1 C. Deskripsi Singkat Materi........................................................................ 1 D. Materi Pembelajaran................................................................................ 2 E. Petunjuk Penggunaan Modul................................................................ 3 F. Peta Konsep................................................................................................. 4 KEGIATAN BELAJAR 1...................................................................................... 5 PENGERTIAN DAN OPERASI ALJABAR PADA POLINOMIAL........... 5 A. Tujuan Pembelajaran............................................................................... 5 B. Uraian Materi.............................................................................................. 5 C. Rangkuman................................................................................................. 11 D. Latihan Soal................................................................................................ 13 E. Penilaian Diri............................................................................................. 17 KEGIATAN BELAJAR 2..................................................................................... 18 PEMBAGIAN POLINOMIAL........................................................................... 18 A. Tujuan Pembelajaran............................................................................. 18 B. Uraian Materi............................................................................................ 18 C. Rangkuman................................................................................................ 31 D. Latihan Soal............................................................................................... 34 E. Penilaian Diri............................................................................................ 38 KEGIATAN BELAJAR 3.................................................................................... 39 PERSAMAAN POLINOMIAL......................................................................... 39 A. Tujuan Pembelajaran........................................................................... 39 B. Uraian Materi.......................................................................................... 39 C. Rangkuman.............................................................................................. 45 D. Latihan Soal............................................................................................. 47 E. Penilaian Diri.......................................................................................... 51 DAFTAR PUSTAKA........................................................................................... 52 LAMPIRAN.......................................................................................................... 53 iv
digunakan dalam menyelesaikan masalah kehidupan sehari-hari. Menghitung jarak atau kecepatan benda yang jatuh dari ketinggian tertentu merupakan salah satu penerapan polinomial bentuk sederhana. Selain itu, penerapan polinomial dapat kita temui saat menghitung banyak barang, fungsi biaya untuk menafsirkan dan memprediksi kecenderungan harga pasar berbagai barang dan suku bunga bank dalam ekonomi, pengolahan harga dan biaya kirim, menyajikan pola cuaca pada daerah tertentu, mendesain bentuk struktur bangunan bahkan mendesain bentuk kemasan suatu produk seperti ilustrasi berikut PENDAHULUAN Identitas Modul Mata Pelajaran : Matematika Peminatan Kelas : XI Alokasi Waktu : 12x45 Menit (12 JP) Judul Modul : Polinomial Kompetensi Dasar 3.4 Menganalisis keterbagian dan faktorisasi polinomial. 4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan faktorisasi polinomial Deskripsi Singkat Materi Kemampuan menghitung dan menggunakan polinomial banyak digunakan E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 1
Untuk menentukan ukuran dari kardus tersebut kita dapat menerapkan bentuk polinomial khususnya penyelesaian persamaan polinomial berderajat tiga yang akan dipelajari dalam modul ini. Selain itu, kita akan belajar menentukan nilai operasi aljabar pada polinomial, pembagian polinomial, dan menentukan penyelesaian persamaan polinomial. karton berukuran 16 dm × 24 dm. Kardus itu mempunyai dasar berbentuk persegi dan volume kardus yang diinginkan adalah 640 liter. Berapa ukuran (dimensi) dari kardus berbentuk kotak tersebut? Sebuah industri rumahan akan mendesain kemasan produknya dari bahan Materi Pembelajaran Modul ini terbagi menjadi 3 kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi Pengertian dan Operasi Aljabar pada Polinomial Pembagian Polinomial Persamaan Polinomia E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 2
Petunjuk Penggunaan Modul Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah petunjuk penggunaan modul berikut. Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara berurutan. Berdoalah sebelum mempelajari modul ini. Perhatikan contoh-contoh soal yang disediakan dan jika memungkinkan cobalah untuk mengerjakannya kembali. Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan kalian dengan kunci jawaban dan pembahasan pada modul ini. Jika kalian menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk melihat kembali uraian materi dan contoh soal yang ada. Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi dari penguasaan kalian terhadap materi pada kegiatan pembelajaran. Di bagian akhir modul disediakan soal evaluasi, silahkan mengerjakan soal evaluasi tersebut agar kalian dapat mengukur penguasaan kalian terhadap materi pada modul ini. Cocokkan hasil pengerjaan kalian dengan kunci jawaban yang tersedia. Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada kesungguhan kalian untuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri. E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 3
Peta Konsep E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 4
Tujuan Pembelajaran Polinomial atau suku banyak adalah suatu bentuk aljabar yang terdiri atas beberapa suku dan memuat satu variabel berpangkat bulat positif. Secara umum, polinomial dalam dan berderajat dapat dituliskan sebagai berikut. 1. memahami pengertian polinomial, 2. menentukan operasi penjumlahan pada polinomial, 3. menentukan operasi pengurangan pada polinomial, 4. menentukan operasi perkalian pada polinomial, 5. menentukan kesamaan polinomial, 6. menentukan nilai polinomial. UraianMateri KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 PENGERTIAN DAN OPERASI ALJABAR PADA POLINOMIAL Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan siswa dapat : 1.Pengertian Polinomial ContohSoal E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 5
Pembahasan 2. OperasiAljabar pada Polinomial Sifat-sifat pada operasi bilangan real juga berlaku pada operasi polinomial karena polinomial memuat variabel yang merupakan suatu bilangan real yang belum diketahui nilainya. Sifat-sifat tersebut meliputi sifat komutatif, asosiatif, dan distributif yang akan membantu kita dalam menyelesaikan operasi aljabar pada polinomial. Sifat Distributif Sifat Komunitatif dan Asosiatif a. Penjumlahan dan Pengurangan Penjumlahan dan pengurangan polinomial dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan antarkoefisien suku-suku sejenis. Sukusuku sejenis yaitu suku-suku yang mempunya variabel berpangkat sama. Untuk lebih memahami penjumlahan dan pengurangan pada polinomial, kita simak contoh soal berikut. Diketahui polinomial : ContohSoal E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 6
Pembahasan Diketahui : sifat distributif mengelompokkan suku sejenis b. Perkalian Untuk mempermudah kita melakukan perkalian polinomial kita bisa menggunakan sifat distributif seperti berikut. ContohSoal E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 7
Pembahasan Misalkan f(x) polinomial berdarajat m dan g(x) polinomial berderajat n maka Derajat dari [f(x) . g(x)] adalah (m+n) Dua polinomial berderajat dalam variabel yaitu () dan () dikatakan sama jika kedua suku banyak itu mempunyai nilai yang sama untuk variabel . Kesamaan polinomial () dan () dapat dituliskan sebagai berikut. Secara matematis kesamaan suku banyak dapat dituliskan sebagai berikut. 3. Kesamaan Polinomial ContohSoal E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 8
Sifat distributif samakan penyebut menjadi Jadi, nilai = 3 dan = −1 4. Nilai Polinomial Suatu polinomial atau suku banyak dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi (), yaitu: Jika suatu suku banyak dinyatakan sebagai fungsi () dan nilai diganti dengan bilangan tetap , maka bentuk () merupakan nilai suku banyak tersebut untuk = . Untuk menentukan nilai dari () kita bisa menggunakan metode substitusi dan metode sintetik yaitu skema Horner. Pembahasan Kelompokkan suku sejenis Berdasarkan kesamaan polinomial di atas diperoleh dua persamaan sebagai berikut. 2 = + → + = persamaan (i) 10 = 2 − 4 → 2 − 4 = 10 → − = persamaan (ii) Untuk mencari nilai dan eliminasi persamaan (i) dan (ii) sebagai berikut Substitusi = −1 untuk mencari nilai ke persamaan + = 2 sehingga diperoleh E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 9
Jadi, nilai () untuk = 3 adalah 1 Nilai f(k) Cara menentukan nilai suatu suku banyak dengan metode substitusi adalah sebagai berikut ContohSoal Pembahasan b.Skema Horner a.MetodeSubstitusi Nilai () untuk = dapat ditentukan sebagai berikut : Bentuk tersebut dapat disusun dalam suatu bagan sebagai berikut : E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 10
Keterangan Pertama, ubah () menjadi bentuk pangkat turun sebagai berikut : Rangkuman 1). Kalikan dengan , lalu tambah dengan 2). Kalikan hasil pada no. (1) dengan k, lalu tambah dengan 3). Kalikan hasil pada no. (2) dengan k, lalu tambah dengan . Hasilnya yang terakhir adalah nilai dari suku banyak () untuk = atau (). ContohSoal Pembahasan Jadi, nilai (−1) = 7 dengan : Polinomial atau suku banyak adalah suatu bentuk aljabar yang terdiri atas beberapa suku dan memuat satu variabel berpangkat bulat positif. Secara umum, polinomial dalam dan berderajat dapat dituliskan sebagai berikut E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 11
Operasi aljabar pada polinomial terdiri atas penjumlahan, pengurangan dan perkalian. Kesamaan Polinomial Misalkan dua suku banyak berderajat , () sama dengan (), ditulis () ≡ () jika dan hanya jika Koefisien dari variabel berpangkat sederajat adalah sama Nilai Polinomial a. Metode Substitusi b. Skema Horner Nilai () untuk = dapat ditentukan sebagai berikut : Bentuk tersebut dapat disusun dalam suatu bagan sebagai berikut : Derajat suatu polinomial dalam adalah pangkat tertinggi dari dalam polinomial itu E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 12
LatihanSoal Untuk mengukur kemampuan pemahaman konsep kalian terhadap polinomial, operasi aljabar pada polinomial, dan menentukan nilai polinomial kerjakan soal latihan berikut: E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 13
Pembahasan dan KunciJawaban: E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 14
E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 15
Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang maka kalian harus mengulang kembali seluruh pembelajaran. Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban kalian dengan kunci jawaban. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini. Kriteria E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 16
PenilaianDiri Isilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui, berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda centang pada kolom pilihan. Catatan: Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran, Bila semua jawaban "Ya", maka kalian dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya. E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 17
KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 PEMBAGIAN POLINOMIAL A.TUJUAN PEMBELAJARAN B. URAIANMATERI E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 18
E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 19
E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 20
E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 21
E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 22
E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 23
E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 24
E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 25
Jika polinomial () berderajat dibagi dengan ( − ), maka sisa pembagian ditentukan oleh = () TEOREMA SISA Teorema Sisa untuk Pembagi Bentuk Linier ( − ) Jika suatu polinomial () dibagi oleh ( − ), maka akan diperoleh hasil bagi ℎ() dan sisi pembagian , yang memenuhi hubungan () = ( − ) ∙ ℎ() + s Karena pembagi berderajat 1 yaitu ( − ), maka sisa pembagi maksimum berderajat nol, yaitu sebuah konstanta. Sisa pembagian dapat ditentukan dengan menggunakan teorema berikut. Contoh Soal E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 26
TeoremaSisauntuk Pembagi BentukLinier ( + ) Contoh Soal E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 27
Teorema Sisa untuk Pembagi Bentuk ( − )( − ) Jika pembagi bentuk kuadrat tidak dapat difaktorkan, maka sisa pembagian tidak dapat diperoleh dengan teorema sisa, tetapi harus menggunakan cara pembagian bersusun. Pembagian polinomial () oleh ( − ) ( − ) memberikan hasil bagi ℎ() dan sisa pembagian (), yang memenuhi hubungan: () = ( − )( − )ℎ() + () Karena ( − ) ( − ) berderajat 2, maka sisa pembagiannya maksimal berderajat 1, misalkan () = + , maka hubungan di atas menjadi () = ( − ) ( − ) ℎ() + ( + ) Berdasarkan uraian di atas diperoleh: Sisa pembagian polinomial () oleh ( − ) ( − ) adalah () = + dengan () = + dan () = + Suku banyak () jika dibagi ( + 2) sisanya 12 dan jika dibagi ( – 3) sisanya −3. Tentukan sisanya jika () dibagi oleh ( + 2)( – 3) ! Contoh Soal Pembahasan: Pembagi ( + 2)( – 3) berderajat 2, maka sisanya () berderajat 1. Misal () = + () dibagi ( + 2)( – 3), maka dapat ditulis : () = ( + 2)( − 3) ∙ ℎ() + () = ( + 2)( − 3) ∙ ℎ() + ( + ) () dibagi ( + 2) bersisa 12, maka (−2) = 12, sehingga : (−2) = 12 (−2 + 2)(−2 − 3) ∙ ℎ(−2) + ((−2) + ) = 12 0 ∙ (−5) ∙ ℎ(−2) + (−2 + ) = 12 0 + (−2 + ) = 12 −2 + = 12 Diperoleh persamaan −2 + = 12 merupakan persamaan (i) E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 28
() dibagi ( − 3) bersisa −3, maka (3) = −3, sehingga: (3) = −3 (3 + 2)(3 − 3)ℎ(3) + ((3) + ) = −3 5 ∙ 0 ∙ ℎ(3) + (3 + ) = −3 0 + 3 + = −3 3 + = −3 Diperroleh persamaan 3 + = −3 merupakan persamaan (ii) Eliminasi pada persamaan (i) dan (ii) untuk mencari nilai −2 + = 12 3 + = −3 − −5 = 15 − = 15/5 − = 3 = − Substitusi nilai = −3 ke persamaan (i) −2 + = 12 −2(−3) + = 12 6 + = 12 = 12 − 6 = Diperoleh sisa pembagian () = + = −3 + 6 Jadi, sisa pembagiannya adalah () = −3 + 6 E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 29
Teorema Faktor Anda telah mengetahui bahwa faktor-faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, dan 6. Bilangan 2 termasuk faktor dari 6 karena 6 dapat dibagi habis oleh 2 atau pembagian 6 oleh 2 tidak memberikan sisa (sisanya = 0). Hal ini dapat ditulis : Misalkan suku banyak () dibagi oleh ( – ) memberikan hasil bagi ℎ() dan sisa (). Jika ( – ) merupakan faktor dari suku banyak (), maka pembagian () oleh ( – ) tidak memberikan sisa atau () = 0. Secara umum disimpulkan bahwa jika ( – ) merupakan faktor dari suku banyak (), maka dapat dinyatakan dalam persamaan : () = ( – ) . ℎ() Contoh Soal E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 30
C. Rangkuman Berdasarkan uraian materi pada kegiatan pembelajaran 2, dapat disimpulkan: Misalkan suku banyak () dibagi oleh () menghasilkan ℎ() dan sisanya (), maka dapat ditulis () = () ∙ () + () Proses pembagian suku banyak dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu cara bersusun dan cara sintetik ( cara Horner ) Pembagian polinomial () dengan pembagi ( − ) menghasilkan hasil bagi ℎ() dan sisa () berderajat nol atau () = konstanta, dituliskan sebagai berikut. () = ( − ) ∙ ℎ() + () Jika polinomial () dibagi ( + ) memberikan hasil bagi ℎ() dan sisa , maka diperoleh hubungan: Menentukan derajat hasil bagi dan sisa pada pembagian polinomial () dengan pembagi bentuk linear ( – ) atau ( + ) berlaku: - Derajat hasil bagi ℎ() maksimum satu lebih kecil dari pada derajat suku banyak (). - Derajat sisa maksimum satu lebih kecil dari pada derajat pembagi 1. 2. 3. 4. 5. E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 31
a. Cara Bersusun b. Cara Skema Horner C. Cara Skema Horner-Kino Skema Horner – kino dicetuskan oleh Sukino, Horner kino merupakan pengembangan dari skema Horner kino. Pada skema Horner terbatas untuk pembagi yang bisa difaktorkan sedangkan untuk skema Horner kino dapat diterapkan untuk pembagi apapun. Hasil bagi berderajat − Sisa pembagian berderajat − 1 (derajat dari sisa pembagian kurang satu dari Jika polinomial yang dibagi berderajat dan pembaginya berderajat , maka diperoleh: derajat pembagi) 7. E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 32
8. Teorema Sisa untuk Pembagi Bentuk Linier ( − ) Jika polinomial () berderajat dibagi dengan ( − ), maka sisa pembagian ditentukan oleh = () 9. Teorema Sisa untuk Pembagi Bentuk Linier ( + ) 10. Teorema Sisa untuk Pembagi Bentuk ( − )( − ) Sisa pembagian polinomial () oleh ( − ) ( − ) adalah () = + dengan () = + dan () = + 11. Teorema Faktor 1. Suatu fungsi suku banyak () memiliki faktor ( – ) jika dan hanya jika () = 0 2. Suatu fungsi suku banyak () memiliki faktor ( + ) jika dan hanya jika (− / ) = 0 E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 33
D. LatihanSoal Untuk mengukur kemampuan pemahaman konsep kalian terhadap polinomial, operasi aljabar pada polinomial, dan menentukan nilai polinomial kerjakan soal latihan berikut: E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 34 1. 2. 3. 4. 5.
E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 35 Pembahasan dan Kunci Jawaban 1. 2. 20 20
E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 36 20 20 3. 4.
Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang maka kalian harus mengulang kembali seluruh pembelajaran. Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban kalian dengan kunci jawaban. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini. Kriteria E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 37 5. 20 Jumlah Total 100
E. PenilaianDiri Isilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui, berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda centang pada kolom pilihan. Catatan: Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran, Bila semua jawaban "Ya", maka kalian dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya. E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 38
KEGIATAN PEMBELAJARAN 3 PERSAMAAN POLINOMIAL A.Tujuan Pembelajaran Memahami persamaan polinomial Menentukan akar-akar persamaan polinomial Menentukan jumlah akar-akar polinomial Menentukan hasil kali akar-akar polinomial 1. 2. 3. 4. Setelah kegiatan pembelajaran 3 ini diharapkan siswa dapat: B. UraianMateri Persamaan Polinomial Persamaan polinomial merupakan kalimat terbuka yang nilai kebenarannya tergantung pada nilai variabel yang diberikan. Secara umum, persamaan polinomial dalam variabel dapat dituliskan sebagai berikut. Dengan dan bilangan asli Penyelesaian polinomial merupakan nilai variabel yang membuat persamaan polinomial bernilai benar. Untuk lebih memahami penyelesaian polinomial mari kita simak contoh berikut Contoh Soal E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 39
Menentukan akar-akar persamaan rasional dapat diartikan menentukan nilai variabel yang membuat persamaan polinomial bernilai benar. Menentukan akar-akar polinomial berderajat dua dapat dilakukan dengan pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna, dan rumus abc. Sedangkan untuk menentukan akar-akar polinomial berderajat lebih dari dua, dapat digunakan pengertian dan langkah-lamgkah berikut MenentukanAkar-akar Persamaan Rasional 1. Pengertian Akar-akar Rasional E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 40
2. Menentukan akar-akar rasional persamaan suku banyak () =0 Langkah-langkah menentukan akar-akar rasional persamaan polinomial () = 0 adalah sebagai berikut: Untuk lebih memahami cara menentukan akar-akar rasional dari persamaan polinomial () = 0, mari kita simak contoh soal berikut. Contoh Soal E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 41
Jumlah koefisien-koefisien () = 1 + 0 + (−15) +(−10) + 24 = 0 Karena jumlah koefisien-koefisien () = 0 maka = 1 merupakan akar dari persamaan polinomial () =0 Untuk mencari akar yang lain, kita bias gunakan skema horner berikut. Jumlahkan koefisien-koefisien pada ℎ() = 1 + 1 − 14 − 24 = −36 Karena jumlah koefisien ℎ() = −36 ≠ 0 maka lakukan langkah 2 Langkah 2 untuk menentukan faktor dari ℎ() Jumlahkan koefisenberpangkat ganjil dan koefisen berpangkat genap Koefisien pangkat ganjil yaitu : Jumlah koefisien pangkat genap = 1 + (−24) = −23 Karena jumlah koefisien pangkat ganjil(−13) ≠ jumlah koefisien pangkat genap (−23) maka lanjutkan ke langkah 3 E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 42
Faktor dari 24 adalah ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, dan ± 24 Karena = ±1 bukan merupakan akar dari ℎ(), maka nilai = ±1 tidak perlu dicobalagi dengan skema horner Jumlah&HasilkaliAkar-akar Persamaan Rasional Jumlah dan hasil kali akar-akar suatu polinomial dapat ditentukan tanpa harus mencari akar-akarnya terlebih dahulu. Jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial dijelaskan dalam teorema berikut. E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 43
Ruas kiri persamaan (1) dan (2) disamakan, sehingga diperoleh persamaan : Dengan cara yang sama, kita dapat menemukan rumus jumlah dan hasil kali akar– akar persamaan suku banyak yang berderajat empat atau lebih menggunakan teorema vieta berikut. Untuk lebih memahami jumlah dan hasil kali akar-akarpersamaan polinomial, mari kita simak contoh soal berikut. E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 44
Kesimpulan Berdasarkan uraian materi pada kegiatanpembelajaran 3, dapat disimpulkan: Persamaan polinomial merupakan kalimat terbukayang nilai kebenarannya tergantung pada nilai variebel yang diberikan. Secara umum, persamaan polinomial dalam variabel dapat dituliskan sebagai berikut. Menentukan akar-akar rasional persamaan suku banyak () = 0 Langkah-langkah menentukan akar-akar rasional persamaan polinomial () = 0 adalah sebagai berikut: Langkah 1 : Selidiki apakah jumlah koefisien-koefisien () = 0 ? Jika ya, maka = 1 merupakan akar dari () = 0 Jika tidak, lakukan langkah 2 C. Rangkuman E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 45
Langkah 2 : Periksa apakah jumlah koefisien-koefisien variabel berpangkat genap sama dengan jumlah koefisien-koefisien berpangkat ganjil? jika ya, maka = −1 merupakan akar dari () = 0 Jika tidak, lakukan langkah 3 Langkah 3 : Tentukan faktor-faktor dari nilai mutlak 0 (0 ≠ 0, lakukan dengan cara coba-coba Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan polinomial dapat dicari menggunakan teorema Vieta sebagai berikut: E-Modul | Polinomial | Matematika Kelas XI 46