stat2

สารบัญ หนา้
1
ใบความรูท้ ่ี 9 เร่อื ง คา่ มาตรฐาน 5
แบบฝึกหดั 2.1 เร่อื ง คา่ มาตรฐาน 7
แบบฝึกหดั เร่ือง ค่ามาตรฐาน 12
ใบความรทู้ ่ี 10 เร่อื ง การแจกแจงปกติ 14
ใบความรทู้ ี่ 11 เรอ่ื ง การหาพ้นื ท่ใี ต้เส้นโค้งปกติ 23
แบบฝึกหัด เร่อื ง พ้ืนทใ่ี ตก้ ราฟโค้งปกตมิ าตรฐาน 25
แบบฝึกหดั 2.2เร่อื ง การหาพื้นทีใ่ ตเ้ ส้นโคง้ ปกติ 29
แบบฝกึ ทักษะ เรื่อง การแจกแจงปกติ

วิชาคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรีนนทบุรี
ระดับชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6 ภาคเรยี นที่ 2 กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์

ใบความรูท้ ่ี 9
เรือ่ ง คา่ มาตรฐาน

ค่ามาตรฐาน เป็นค่าท่ีใช้เปรียบเทียบค่าของข้อมูล ต้ังแต่ 2 ตัวขึ้นไปที่มาจากข้อมูลคนละชุด
ว่าขอ้ มลู ใดมีคณุ ภาพดกี ว่ากัน และยังเปน็ พ้ืนฐานสาคญั ทีจ่ ะนาไปใชใ้ นการหาพ้ืนท่ีใต้เสน้ โคง้ ปกติไดอ้ กี วิธีหนึ่งด้วย

ความหมายของคา่ มาตรฐาน
ค่ามาตรฐานเปน็ คา่ ที่บอกใหท้ ราบวา่ ความแตกตา่ งระหว่างค่าขอ้ มูลนั้นๆ กบั คา่ เฉลีย่ เลขคณิตของข้อมลู

ชดุ น้ัน เป็นกี่เทา่ ของส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน
ถ้า xi เป็นค่าที่ i ของตวั แปร X แล้ว คา่ มาตรฐานของ xi คือ

Zi = xi   เม่อื i = 1, 2, 3, …, N



โดยท่ี xi แทน ค่าท่ี i ของตัวแปร X
 แทนคา่ เฉลยี่ เลขคณิตของประชากร

 แทนส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของประชากร

N แทนจานวนประชากร

หรอื Zi = xi  x เมอ่ื i = 1, 2, 3, …, n
s
โดยท่ี xi
แทน คา่ ท่ี i ของตวั แปร X
x
แทนค่าเฉลย่ี เลขคณติ ของตวั อยา่ ง
s
แทนสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง

n แทนจานวนตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 ในการสอบคร้งั หนึ่ง ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณติ และส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเป็น 500
และ 50 คะแนน ตามลาดับ ถา้ ถือเกณฑต์ ัดสินวา่ ผทู้ ส่ี อบไดต้ ้องได้คะแนนต้ังแต่ 600 คะแนนขน้ึ ไป
อยากทราบวา่ คนทีส่ อบไดน้ ้ันต้องสอบไดค้ ่ามาตรฐานอย่างต่าเป็นเท่าใด

วธิ ีทา จาก Zi = x i  x
s

จากโจทย์ x = 500 , s = 50 , xi = 600

แทนคา่

Zi = 600  500

50

 จะต้องไดค้ า่ มาตรฐานอยา่ งตา่ ท่ีสุด 2.0 จงึ จะสอบได้

Page 1

วิชาคณติ ศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เรื่อง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรนี นทบุรี
ระดับชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 6 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์

ตวั อยา่ งที่ 2 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกั เรียนห้องหนงึ่ มีค่าเฉลี่ยเลขคณติ และสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน
เปน็ 73 และ 16 คะแนน ตามลาดับ ถา้ ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าน้ขี องนักเรยี นคนหนงึ่ ในหอ้ งน้ี คือ 0.2
อยากทราบวา่ นักเรยี นคนนสี้ อบไดก้ ี่คะแนน

วิธที า จาก Zi = x i  x
s

จากโจทย์ x = 73 , s = 16 , Zi = 0.2

แทนค่า

0.2 = x  73

16

x = ( 0.2 x 16) + 73 = 76.2

นัน่ คอื นกั เรียนคนน้สี อบวิชาคณติ ศาสตร์ ได้ 76.2 คะแนน

การเปรียบเทียบคา่ ของขอ้ มูล โดยใช้ค่ามาตรฐาน

ค่ามาตรฐาน เปน็ ค่าทีใ่ ช้เปรียบเทียบค่าของข้อมูล ตั้งแต่ 2 ตัวข้ึนไป ว่าข้อมูลตัวใดมีคุณภาพ
ดีกว่ากัน เชน่ ตอ้ งการเปรยี บเทียบผลการเรยี นวิชาคณิตศาสตร์ กับ ภาษาไทย ของนกั เรียนคนหนึ่งในช้ัน
เรียนว่า เขาจะเรียนวิชาใดได้ดีกว่า เราจะนาคะแนนท่ีนักเรียนคนน้ีสอบได้มาเปรียบเทียบกันเลยย่อมไม่
ถูกต้องนัก ถึงแม้ว่าจะใชค้ ะแนนเต็มเท่ากันก็ตาม ทั้งนี้เพราะความยากงา่ ยของแต่ละวชิ าต่างกนั ดังนนั้ จึง
จาเป็นที่จะแปลงคะแนนท่ีสอบได้ในแต่ละวิชา ให้เป็นค่ามาตรฐานเสียก่อน ถ้าค่ามาตรฐานวชิ าใดสูงกว่า
ถอื วา่ เขาสอบวิชานน้ั ได้ดกี ว่า

ตัวอย่างที่ 3 ในการสอบคดั เลือกเขา้ ทางานในหน่วยงานแห่งหนึ่ง ซ่ึงมวี ชิ าท่ตี ้องสอบ 2 วิชาปรากฎวา่ จาก

ผู้สมัครท้ังหมดมีผู้ท่ีสอบได้คะแนนรวมกันสูงสุด 3 คน คือ นายมงคล, นางสาวนารีรัตน์ และนาย

สุชาติ ซง่ึ ไดค้ ะแนนในแต่ละวชิ า ดงั นี้

วิชาท่ี 1 วชิ าที่ 2

นายมงคล 70 72

นางสาวนารีรัตน์ 80 65

นายสชุ าติ 72 73

ค่าเฉล่ยี เลขคณติ ( x ) 75 70

สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S) 5 10

ถ้าหน่วยงานแห่งน้ี ต้องการรับเพียงคนเดียว และสารองหนึ่งคน ผูท้ ี่จะได้รับการคัดเลือกไว้เป็นตัวจริง
และตัวสารองคอื ใคร

วธิ ีทา
- หาคา่ มาตรฐานในแตล่ ะวชิ าของนายมงคล ไดด้ งั นี้

Z1 = 70  75 = –1

5

Z2 = 72  70 = 0.2

10

Page 2

วชิ าคณติ ศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรียนสตรนี นทบรุ ี
ระดบั ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 6 ภาคเรียนท่ี 2 กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์

 ค่ามาตรฐานเฉลย่ี ของนายมงคล =  1  0.2 = –0.4

2

- หาคา่ มาตรฐานในแต่ละวชิ าของนางสาวนารีรตั น์ ไดด้ งั นี้
Z1 = 80  75 = 1

5

Z2 = 65  70 = –0.5

10

 คา่ มาตรฐานเฉล่ยี ของนางสาวนารรี ัตน์ = 1  0.5 = 0.25

2

- หาค่ามาตรฐานในแต่ละวชิ าของนายสุชาติ ได้ดงั น้ี
Z1 = 72  75 = –0.6

5

Z2 = 73  70 = 0.3

10

 คา่ มาตรฐานเฉลย่ี ของนายสชุ าติ =  0.6  0.3 = –0.15

2

 คา่ มาตรฐาน (Z) ของนางสาวนารรี ัตน์มากท่ีสดุ และรองลงมาคอื นายสชุ าติ
 ตัวจริง คือ นางสาวนารีรตั น์ และสารอง คอื นายสุชาติ

ตัวอยา่ งที่ 4 ในการสอบคดั เลอื กเขา้ เรียนต่อในสถาบันแห่งหนึ่ง วิชาทต่ี อ้ งสอบมี 3 วชิ า คือ
คณติ ศาสตร์ ภาษาไทย และภาษาองั กฤษ นาย ก. นาย ข. และนาย ค. เข้าสอบไดค้ ะแนน ดงั นี้

นาย ก. คณิตศาสตร์ ภาษาไทย ภาษาองั กฤษ
นาย ข. 70 75 70
นาย ค. 75 75 65
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( x ) 70 70 70
สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S) 70 80 70
5 5 10

จงเปรยี บเทียบความสามารถในการเรียนของคนทัง้ สาม

วธิ ที า - หาคา่ มาตรฐานในแตล่ ะวิชาของนาย ก. ได้ดังนี้
Z1 = 70  70 = 0

5

Z2 = 75  80 = –1

5

Z3 = 70  70 = 0

10

 ค่ามาตรฐานเฉลยี่ ของนาย ก. = 0  1  0 = –0.33

3

- หาค่ามาตรฐานในแตล่ ะวชิ าของนาย ข. ได้ดงั นี้

Page 3

วิชาคณติ ศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรีนนทบุรี
ระดบั ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 6 ภาคเรียนท่ี 2 กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์

Z1 = 75  70 = 1

5

Z2 = 75  80 = –1

5

Z3 = 65  70 = –0.5

10

 ค่ามาตรฐานเฉลี่ยของนาย ข. = 1  1  0.5 = –0.17

3

- หาคา่ มาตรฐานในแตล่ ะวิชาของนาย ค. ไดด้ งั น้ี
Z1 = 70  70 = 0

5

Z2 = 70  80 = –2

5

Z3 = 70  70 = 0

10

 ค่ามาตรฐานเฉลีย่ ของนาย ค. = 0  2  0 = –0.67

3

คา่ มาตรฐานของนาย ข. มคี า่ มากทสี่ ุด รองลงมา คือ นาย ก. และ นาย ค. ตามลาดับ แสดง
ว่า นาย ข. มีความสามารถในการเรยี นมากทีส่ ุด รองลงมา คอื นาย ก. และ นาย ค. ตามลาดับ

ข้อสงั เกตเกย่ี วกบั ค่ามาตรฐาน
1. คา่ มาตรฐานของขอ้ มูลใด ๆ จะเป็นบวก ศนู ย์ หรือลบก็ได้ ทัง้ นีข้ นึ้ อย่กู ับค่าของขอ้ มูลนัน้ ๆ กับ

คา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของข้อมลู ชดุ น้นั ว่าคา่ ใดจะมากกว่ากนั
2. ค่าเฉล่ยี เลขคณิตของค่ามาตรฐานเท่ากบั ศนู ย์ และสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของคา่ มาตรฐานเทา่ กับ 1
3. คา่ มาตรฐานของข้อมูลใด ๆ โดยท่ัวไป จะมีคา่ ตัง้ แต่ – 3 ถึง + 3 แต่อาจจะมี คา่ มาตรฐานของ

ขอ้ มลู บางคา่ ทสี่ ูงกว่า + 3 หรอื ตา่ กวา่ – 3 เล็กนอ้ ยกไ็ ด้
4. คา่ มาตรฐานไม่มีหน่วย
5. ผลรวมของค่ามาตรฐานของขอ้ มูลชุดหน่งึ ๆ จะเท่ากบั ศูนย์

Page 4

วชิ าคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรนี นทบรุ ี
ระดบั ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6 ภาคเรียนที่ 2 กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์

แบบฝึกหัด 2.1
1. ด.ช. วยั สอบได้คะแนนวิชาคณติ ศาสตรใ์ นช้ัน ม. 3 และ ม. 4 เป็น 75 คะแนน และ 80 คะแนน ตามลาดับ ถ้า
ค่าเฉล่ียเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนทุกคนในชั้น ม. 3 ที่ ด.ช.
วิชัยเรียนอยู่เท่ากับ 70 และ 15 คะแนน และของนักเรียนทุกคนในช้ัน ม. 4 เท่ากับ 80 และ 20 คะแนน
ตามลาดับ ด.ช. วชิ ัย เรยี นวชิ าคณติ ศาสตรใ์ นชั้นไหนได้ดีกว่ากัน

2. ในการทดสอบเวลาที่ใช้ในการแขง่ ระยะทาง 100 เมตร ของนักกฬี าในโรงเรยี นแห่งหนง่ึ เพ่อื คดั เลือกตัวแทนไป
ทาการแข่งขันกับโรงเรยี นอื่น จะถอื ว่าผู้ที่ผา่ นการทดสอบจะต้องไดค้ า่ มาตรฐานของเวลาที่ใชไ้ ม่สงู กว่า 1.0 ถา้ จาก
ผลการทดสอบปรากฏว่านักกีฬาใช้เวลามากกว่า 12 วินาที ไม่ผ่านการทดสอบ ถามว่าในการทดสอบคราวน้ี
คา่ เฉลี่ยเลขคณิตของเวลาท่ีใช้ในการวิ่งของนักกีฬาทั้งหมดเป็นเท่าไร ถ้าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของเวลาที่ใช้ใน
การวิ่งของนกั กีฬาเปน็ 1.1 วนิ าที

3. ถ้าคะแนนสอบวิชาต่าง ๆ ของ ด.ญ. จิตรา ค่าเฉล่ียเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนแตล่ ะวิชา

ของนกั เรียนทงั้ หมดในชั้นที่ ด.ญ. จิตรา เรยี นอยู่เป็นดงั นี้

วิชา คะแนนทีส่ อบได้ คา่ เฉลีย่ เลขคณติ ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน

ภาษาไทย 80 85 15

ภาษาอังกฤษ 60 75 20

วทิ ยาศาสตร์ 70 65 5

ด.ญ. จติ รา เรยี นวชิ าไหนไดด้ กี ว่ากัน

Page 5

วชิ าคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เรื่อง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรีนนทบรุ ี
ระดับช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 6 ภาคเรยี นที่ 2 กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์

4. ในโรงงานอุตสาหกรรมแห่งหน่ึงต้องการรับสมัครคนงานที่เป็นชาย โดยมีข้อแม้ว่าคนงานท่ีบริษัทจะรับเข้า
ทางานจะตอ้ งมคี ่ามาตรฐานของอายตุ ั้งแต่ 2.0 ขึ้นไป ถ้าค่าเฉลย่ี เลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายขุ อง
คนงานท้งั หมดที่มาสมคั รเขา้ ทางานเป็น 25 ปี และ 2 ปี ตามลาดับ คนงานที่มอี ายุตัง้ แตเ่ ท่าไรข้นึ ไป จึงจะมีโอกาส
ได้รับเลอื กเข้าเปน็ คนงานของโรงงานอตุ สาหกรรม

5. ในการสอบคัดเลือกเข้าทางานในหน่วยงานแห่งหนึ่ง ซ่ึงมีวชิ าท่ีจะต้องสอบ 3 วิชา ถ้าผู้สมัครเข้าสอบคัดเลือก

จานวน 2 คน คือ นาย ก และนางสาว ข ได้คะแนนในแตล่ ะวชิ าเปน็ ดงั น้ี

วิชาท่ี 1 วชิ าที่ 2 วิชาท่ี 3

นาย ก 70 75 75

นางสาว ข 75 50 95

จงหาวา่ นาย ก หรือนางสาว ข จะไดต้ าแหน่งที่ในการสอบคัดเลือกดีกว่ากนั ถ้าค่าเฉลย่ี เลขคณิตของวิชา

ท่ี 1 วิชชาที่ 2 และวิชาที่ 3 ของคะแนนของผู้สมคั รสอบท้ังหมดเป็น 70, 70 และ 80 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบน

มาตรฐานเป็น 5, 10 และ 15 คะแนนตามลาดับ ถ้าหน่วยงานแห่งน้ีตั้งหลักเกณฑ์ไว้ว่า ผู้ที่จะสอบคัดเลือกได้

จะต้องได้ค่ามาตรฐานเฉล่ียของคะแนนท้ัง 3 วิชา ไม่ตา่ กว่า 0 ถามว่า นาย ก และนางสาว ข จะสอบคัดเลือกได้

หรอื ไม่

6. ในการสอบแข่งขันชิงทนุ การศึกษา นายประพนั ธ์ ซึ่งสอบไดท้ ี่ 1 ได้คะแนน 650 คะแนน และ น.ส. มะลวิ ลั ย์ ซ่ึง
สอบได้ที่ 10 ได้คะแนน 540 คะแนน ถ้าคะแนนมาตรฐานของนายประพันธ์และ น.ส. มะลิวัลย์เป็น 3 และ 1.9
ตามลาดับ จงหาค่าเฉล่ียเลขคณติ และสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครงั้ นี้

Page 6

วิชาคณติ ศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรนี นทบรุ ี
ระดบั ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 ภาคเรยี นท่ี 2 กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

7. ในการตรวจผู้ป่วยโรคหัวใจและโรคมะเร็งในประเทศสหรัฐอเมริกาให้ข้อมูลต่อประชากร 100,000 คนต่อปี

ของ 50 รัฐ พบวา่ มผี ปู้ ่วยเสียชีวติ ดว้ ยโรคดงั กล่าวโดยแสดงเป็นคา่ เฉลีย่ และสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานดังน้ี

ค่าเฉล่ียเลขคณิต สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน

โรคหวั ใจ 289 54

โรคมะเร็ง 200 31

(1) ถ้าในรัฐอลาสกา (Alaska) มีผู้ป่วยโรคหัวใจเสียชีวิตจานวน 90 คน ต่อประชากร 100,000 คน

โรคหัวใจในรัฐอลาสกาจะมคี วามรนุ แรงมากหรือนอ้ ยกว่ารัฐอื่น ๆ หรอื ไม่

(2) ถ้าในรัฐแคลฟิ อร์เนีย (California) มีผู้ป่วยเสยี ชวี ติ ดว้ ยโรคหวั ใจ 240 คน และโรคมะเร็ง 166 คน ต่อ

ประชากร 100,000 คนเชน่ กนั โรคใดมีความรนุ แรงกวา่ กนั เมอ่ื เทยี บกบั ทพ่ี บในรัฐอื่น ๆ

8. จงหาคา่ ของ x จากสตู รของคา่ มาตรฐาน โดยใชข้ ้อมูลตอ่ ไปน้ี
(1) z = 2 ค่าเฉลีย่ เลขคณิต 20 ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 5
(2) z = -1 คา่ เฉล่ยี เลขคณิต 25 ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน 3
(3) z = -1.5 คา่ เฉลีย่ เลขคณิต 100 ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน 10
(4) z = 2.5 ค่าเฉลย่ี เลขคณติ -10 สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 0.2

Page 7

วิชาคณติ ศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรียนสตรีนนทบรุ ี
ระดับชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์

แบบฝกึ หัด เร่ือง ค่ามาตรฐาน

1. คะแนนสอบของนาย ก คือ 75 คดิ เป็นคะแนนมาตรฐานได้ 1.5 ถา้ คา่ เฉลย่ี เลขคณิตเปน็ 63 และนาย ข
สอบได้คะแนน 50 แลว้ คะแนนมาตรฐานของนาย ข เป็นเทา่ ใด

2. การทดสอบ 2 วชิ าเปน็ ดังนี้
ข้อทดสอบ A ค่าเฉลี่ย = 70, s = 10 นาย ก สอบได้ 65 คะแนน
ข้อทดสอบ B คา่ เฉลยี่ = 40, s = 5 นาย ข สอบได้ 35 คะแนน
จงพจิ ารณาผลการสอบของทั้ง 2 คน วา่ ใครเรียนดีกว่า

3. การสอบคัดเลือกเข้าทางานของหนว่ ยงานหนึง่ มกี ารสอบ 3 วชิ า ถา้ ผสู้ มคั รสามารถผ่านเขา้ รอบสดุ

ทา้ ย 2 คน คอื นาย ก และนาย ข ซง่ึ ได้คะแนนดงั น้ี

วชิ าที่ 1 วชิ าที่ 2 วชิ าที่ 3

นาย ก สอบได้ 70 75 75

นาย ข สอบได้ 75 50 95

คา่ เฉล่ยี เลขคณติ ฯ 70 70 80

สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน 5 10 15

อยากทราบว่าใครควรได้รบั การคดั เลอื ก

Page 8

วิชาคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรีนนทบุรี
ระดบั ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 6 ภาคเรียนท่ี 2 กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์

4. การสอบครั้งหนง่ึ นาย ก สอบได้ 55 คะแนน คิดเป็นคะแนนมาตรฐานได้ 0.5 ถ้าส่วนเบ่ยี งเบน
ของนกั เรียนท้ังหอ้ งเป็น 20 % จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณติ

5. ในการสอบครง้ั หนึ่งถ้าคา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของนักเรียน 2 หอั งเป็น 583 และส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน
เปน็ 83.2 และคะแนนมาตรฐานของนาย ก และนาย ข ต่างกัน 0.7 แลว้ คะแนนนาย ก และนาย ข
ตา่ งกนั เทา่ ใด

6. การสอบครงั้ หนงึ่ ถอื เกณฑต์ ดั สินวา่ ผทู้ สี่ อบได้คะแนนตง้ั แตค่ ะแนนมาตรฐาน -2 ขึน้ ไป ถอื ว่าสอบ
ได้ การสอบคร้ังนน้ั ปรากฏวา่ คะแนนเฉลี่ยของคะแนนท้ังหมดเปน็ 450 และสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน
เปน็ 25 คะแนน ถ้าเด็กคนหนึง่ สอบได้ 400 คะแนน จงพจิ ารณาวา่ สอบผา่ นหรอื ไม่

7. ในการสอบครั้งหน่งึ สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนเปน็ 18 เกณฑ์ตดั สินถอื วา่ ตอ้ งไดค้ ะแนน
มาตรฐานไม่ตา่ กวา่ 1.5 ปรากฏวา่ ผู้ทส่ี อบไดค้ ะแนนตา่ กวา่ 117 สอบตก ดงั น้ันในการสอบคราวน้ี
คา่ เฉล่ยี เลขคณติ ของคนกลมุ่ นีเ้ ป็นเท่าใด

Page 9

วิชาคณติ ศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรียนสตรนี นทบรุ ี
ระดับช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 6 ภาคเรยี นท่ี 2 กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์

8.ในการสอบคัดเลือกเข้ารับราชการ ต้องการตาแหนง่ เดยี ว มผี ูส้ มัคร 3 คน นายดา นายแดง นายขาว

ทาการสอบคัดเลอื ก 3 วชิ า ไดค้ ะแนนสอบตา่ งกนั ดงั นี้

วชิ าภาษาอังกฤษ(E) วิชาเฉพาะ(S) วิชากฎหมาย(L)

นายดา 72 63 94

นายแดง 96 57 76

นายขาว 70 73 86

คา่ เฉลย่ี 71 65 74

s 12 46

จากคะแนนสอบ ผใู้ ดควรได้รับบรรจุเขา้ รับราชการ

9. การสอบครง้ั หน่งึ มผี ู้เข้าสอบ 60 คน ทาการสอบ 2 วชิ า คะแนนเตม็ วิชาละ 100 คะแนน ผลการ
สอบปรากฏว่าวชิ าคณติ ศาสตรม์ คี า่ เฉลีย่ เลขคณิตเป็น 80 และส่วนเบี่ยง เบนมาตรฐานเป็น 10
วิชาวทิ ยาศาสตร์มีคา่ เฉลี่ยเลขคณิตเปน็ 88 และสว่ นเบย่ี ง เบนมาตรฐานเป็น 3 ถา้ นกั เรียนคน
หนงึ่ สอบไดค้ ะแนนคณิตศาสตร์ 80 คะแนน และคะแนนวิทยาศาสตร์ 85 เราสรุปได้หรอื ไมว่ ่า
นกั เรยี นผูน้ ีส้ อบวิชาใดได้ดกี ว่ากัน

10. นกั เรยี นห้องหน่ึงมี 50 คน ผลการสอบสถติ ิ ไดค้ า่ เฉลยี่ เลขคณิตและความแปรปรวนของคะแนน
เป็น 62 และ 81 เมือ่ หาผลรวมของค่ามาตรฐานของคะแนนนักเรยี นทกุ คน ยกเว้นของนายสมชาย
และนายสมชัยซึง่ ไดค้ ะแนนเทา่ กัน ปรากฏว่าได้ผลรวมเท่ากับ -0.80 จงหาคะแนนของสมชายและ
สมชยั (65.6)

Page 10

วิชาคณติ ศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เรื่อง การแจกแจงปกติ โรงเรียนสตรีนนทบรุ ี
ระดับชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 ภาคเรียนท่ี 2 กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์

11. ผลการสอบคณิตศาสตรข์ องนกั เรียน 20 คน มคี ะแนนเฉลี่ยเท่ากับ 60 ค่าเบ่ยี งเบนมาตรฐานเท่ากับ
10 ถ้าผลรวมของค่ามาตรฐานของนกั เรยี นกลุ่มนี้เพียง 19 คน เท่ากบั 2.5 แลว้ นกั เรยี นอีกหนึง่ คนท่ี
เหลอื จะสอบไดก้ ีค่ ะแนน (35 คะแนน)

12 คา่ จ้างรายวนั ของบริษัทแหง่ หน่ึง มคี ่าเฉลี่ยเลขคณติ เท่ากบั 70บาท ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานเท่ากับ 6บาท และ
มกี ารแจกแจงปกติ นายวมิ ลได้รบั คา่ จ้างตรงกับเปอร์เซ็นไทลท์ ่ี 80 จงหาว่านายวมิ ล
ได้รบั คา่ จา้ งวนั ละเท่าไร

13 ในการสอบวิชา ค30206 มนี ักเรยี นเขา้ สอบ 150 คน ปรากฏว่าคะแนนสอบมีการแจกแจงปกตแิ ละการตัดสิน
ผลคะแนนสอบ จะตดั สินจากค่ามาตรฐาน ถา้ นักเรียนคนใดสอบไดค้ า่ มาตรฐานต่ากว่า -2
ถือวา่ สอบตก จงหาว่าในการสอบครั้งนีม้ ีผสู้ อบทัง้ หมดได้ก่ีคน

14 ในการสอบคร้ังน้ี ถา้ คะแนนสอบแจกจงปกติ มคี ่าเฉลยี่ เลขคณิต 15คะแนน และมผี ้ไู ด้คะแนนมากกวา่ 18
คะแนนม6ี .68% จงหาความแปรปรวนของการสอบครง้ั น้ี

Page 11

วชิ าคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เรื่อง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรนี นทบุรี
ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ภาคเรยี นท่ี 2 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์

ใบความร้ทู ี่ 10
เรื่อง การแจกแจงปกติ
การแจกแจงปกติ (Normal distribution)
จากเรื่องฮสิ โทแกรม พ้ืนท่ีของรูปสีเ่ หลี่ยมผนื ผ้าแต่ละรูปในฮสิ โทแกรมแทนความถีข่ องอันตรภาคชั้น ถ้า
เขยี นรูปหลายเหล่ียมของความถี่และปรับรูปหลายเหลยี่ มของความถี่ใหเ้ ป็นเส้นโค้งเรียบ จะได้เส้นโค้งของความถี่
ซ่ึงพืน้ ท่ีภายใต้เสน้ โคง้ ของความถีจ่ ะแทนความถ่ขี องคา่ จากการสังเกตทั้งหมด
เส้นโค้งของความถ่ีทพี่ บเสมอๆ มักมรี ูปเป็นรูประฆัง ซ่ึงเราเรียกว่า เส้นโค้งปกติ การแจกแจงความถข่ี อง
ข้อมลู ซง่ึ ใหเ้ ส้นโคง้ ที่มลี กั ษณะเปน็ รูประฆงั เรยี กวา่ การแจกแจงปกติ
เสน้ โคง้ ปกติจะมีความโด่งมากหรือน้อย ขึน้ อยู่กับการกระจายข้อมลู ถ้าข้อมูลมกี ารกระจายมาก เส้น
โค้งปกติจะมีความโด่งน้อย หรือค่อนข้างแบน แต่ถ้าข้อมูลมีการกระจายน้อย เส้นโค้งปกติจะมีความโด่งมาก
สมการของเสน้ โคง้ น้ี ข้ึนอยู่กบั 2 ค่า คอื ค่าเฉลยี่ เลขคณิต และส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน ดังน้ี
1. กรณีท่ีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากัน (S1 = S2) แต่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตต่างกัน ( x1  x2 ) แต่ลักษณะ

ของเส้นโค้งท้ังสองจะมีจุดท่ีแสดง มีค่าเฉล่ียเลขคณิตอยู่ท่ีตาแหน่งต่างกันบนแกนนอน แต่เส้นโค้งทั้งสองจะ
เหมือนกนั และมีความโดง่ เท่ากัน ดังรูป

S1 S2

x1 x2

2. กรณีที่มีค่าเฉลีย่ เลขคณิตเท่ากัน ( x1  x2 ) แต่ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานต่างกัน (S1  S2) ลักษณะ
ของเส้นโค้งทั้งสองจะมจี ุดทแี่ สดง คา่ เฉลี่ยเลขคณิตอย่ทู ี่ตาแหนง่ เดียวกนั บนแกนนอน แต่เสน้ โคง้ ท้ังสองจะน้อย
กว่า จะมคี วามโด่งมากกว่าเส้นโคง้ ปกตทิ ีม่ สี ่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานมากกว่า ดงั รูป

S2

S1

x1  x2

3. กรณีท่ีมีค่าเฉล่ียเลขคณิตต่างกัน ( x1  x2 ) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่างกัน (S1 < S2)
ลกั ษณะของเสน้ โคง้ ท้ังสองแตกต่างกนั จะมีจุดท่ีแสดงค่าเฉล่ียเลขคณิตจะตา่ งกนั ดงั รูป

S1 S2

x1 x2

Page 12

วชิ าคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เรื่อง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรนี นทบรุ ี
ระดับชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 6 ภาคเรยี นท่ี 2 กล่มุ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์

สมบตั ิของเสน้ โคง้ ปกติ
1. คา่ เฉลีย่ เลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนยิ ม จะมคี ่าเท่ากนั และจะอยู่ ณ จดุ ท่เี ส้นตรงที่ลากผา่ นจุดโด่งสดุ
ของเส้นโค้งนัน้ ตง้ั ฉากกับแกนนอน
2. เสน้ โคง้ จะมเี ส้นตง้ั ฉากกับแกนนอนท่ีลากผ่านคา่ เฉลยี่ เลขคณิตเป็นแกนสมมาตร
3. เส้นโคง้ จะเขา้ ใกล้แกนนอน เมอื่ ต่อปลายเสน้ โคง้ ทง้ั สองข้างใหห้ ่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตออกไป แตจ่ ะ
ไมต่ ดั แกนนอน
4. พน้ื ทีใ่ ตเ้ สน้ โค้งมคี ่าเท่ากบั หนึ่งเสมอ
5. พน้ื ท่ที อ่ี ย่เู หนือค่าใดคา่ หน่งึ ของ X จะเปน็ 0 เสมอ จะได้ว่า พื้นทใ่ี ต้เส้นโคง้ ปกติ [x1 , x2] มีค่าเท่ากบั
พ้นื ท่ใี ตเ้ สน้ โคง้ ปกติ (x1 , x2)

ตวั อยา่ งท่ี 1 ขอ้ มลู 4 ชุดมกี ารแจกแจงปกติ มีค่าเฉลย่ี เลขคณิตตา่ งกัน ( x1 x2  x3  x4 ) และมสี ว่ น
เบี่ยงเบนมาตรฐานตา่ งกัน(S1  S2 S3 S4) จะมีลกั ษณะของเส้นโค้งปกติของขอ้ มูลท้ัง 4 ชุด ดงั นี้

S1 S3 S4
S2
x3 x4
x1 x2

ตวั อย่างท่ี 2 ข้อมูล 3 ชดุ มกี ารแจกแจงปกติ มีคา่ เฉล่ยี เลขคณิตต่างกัน ( x1 x2  x3 ) และมี สว่ น
เบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่ กัน จะมีลกั ษณะของเส้นโคง้ ปกติของขอ้ มูลท้งั 3 ชดุ ดังน้ี

S1 S2
S3

x1 x2 x3

Page 13

วิชาคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เรื่อง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรีนนทบุรี
ระดบั ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 6 ภาคเรียนท่ี 2 กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์

ใบความร้ทู ่ี 11

เรื่อง การหาพนื้ ท่ใี ต้เส้นโค้งปกติ

เสน้ โค้งปกติ เป็นเสน้ โค้งความถ่ีของข้อมูลที่มีคา่ เฉล่ียเลขคณติ มัธยฐาน และฐานนิยมเท่ากัน
โดยมพี นื้ ที่ใต้เส้นโคง้ ปกติประมาณเท่ากบั 1

การหาพ้ืนท่ีใต้เส้นโค้งปกติทาได้โดยการใช้ตาราง แสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติประกอบในการหา ซ่ึงมี
คา่ เฉลยี่ เลขคณติ เทา่ กบั 0 และส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 1

การหาพ้นื ท่ใี ต้เสน้ โค้งปกติ
เส้นโค้งปกติ ซ่ึงมีค่าเฉล่ียเลขคณิตเป็น 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 1 เรียกว่า เส้นโค้งปกติ

มาตรฐาน (Standard normal cueve) ในการหาพน้ื ท่ีใต้เส้นโคง้ ปกตมิ าตรฐานระหว่าง Z = 0 และ Z ใด ๆ
จะใช้ตารางแสดงพ้ืนท่ีใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ซึ่งแสดงพ้ืนท่ีใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง Z = 0 และ Z =
0.01 , 0.02 , … , 3.89 พืน้ ที่ใตเ้ ส้นโค้งปกตมิ าตรฐาน เปน็ ดงั นี้

–3 –2 –1 0 123
68.27%

95.45%

97.73%

เนื่องจากพื้น ที่ใต้เส้น โค้งปกติเท่ากับ 1 หรือ 100% เส้น สมมาตรที่ Z = 0 จะแบ่งพื้น ท่ี
ใต้เสน้ โค้งปกติออกเป็น 2 ส่วน คือ 0.5 หรอื 50% ดงั น้ี

.50 .50

Z= 0

Page 14

วชิ าคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เรื่อง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรนี นทบุรี
ระดับชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 6 ภาคเรียนท่ี 2 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์

ตารางแสดงพน้ื ท่ใี ต้เสน้ โค้งปกติ
1. ลกั ษณะของตาราง
ลักษณะของตาราง สาหรับการหาพ้ืนทีใ่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกติ ตามหนงั สือ เรียนสาระการเรียนรเู้ พิม่ เตมิ

คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 6 ของ สสวท. จะเป็นดงั น้ี

ZA

0.00 0.0000
.01 .0041

.09 .0359
3.89 .5000

2. การหาพ้นื ที่จากตาราง จากตารางในขอ้ 1 ถ้าของอยากทราบว่า Z = 0.09 จะมีพ้ืนทเี่ ท่าใด เรา
ก็ไปดใู นตารางชอ่ ง Z แถวท่ี 0.09 ให้ตรงกบั ช่อง A กจ็ ะไดพ้ ื้นท่ตี ามต้องการ คือ 0.0359

การหาพน้ื ท่ีใตเ้ ส้นโค้งปกติ

ในการหาพื้นท่ีใต้เส้นโคง้ ปกตริ ะหวา่ ง x = x1 และ x = x2 มีวธิ กี ารหา ดังนี้

1) x1 และ x2 เปล่ยี นให้เป็นค่ามาตรฐาน Z1 และ Z2 ตามลาดับ โดยใช้สตู ร

Z1  x1   และ Z2  x2  
 

2) นาค่า Z1 และ Z2 ทีไ่ ดไ้ ปหาพนื้ ทีใ่ ต้เสน้ โคง้ ปกตมิ าตรฐาน จากตารางหาพืน้ ท่ใี ต้เสน้ โค้ง

ปกติ ดงั รูป

Z1 0 Z2
จะได้ว่า

พ้นื ทใ่ี ตเ้ ส้นโค้งปกติระหวา่ ง x1 และ x2 พ้ืนทีใ่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกตมิ าตรฐานระหว่าง Z1 และ Z2

ตัวอย่างที่ 1 จงหาพ้นื ที่ใตเ้ สน้ โคง้ ปกติตอ่ ไปนี้
1) พืน้ ท่รี ะหว่าง Z = 1.25 และ Z = 2.10
2) พน้ื ท่ีทางขวามือ Z = 1.5
3) พื้นทท่ี างขวามือ Z = – 1.2
4) พนื้ ที่ทางขวามอื Z = 1.66
5) พื้นท่รี ะหวา่ ง Z = – 0.57 และ Z = 1.05

Page 15

วชิ าคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรียนสตรนี นทบรุ ี
ระดับช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 6 ภาคเรียนท่ี 2 กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์

วธิ ีทา 1)

0 1.25 2.10

พน้ื ที่ระหว่าง Z = 1.25 และ Z = 2.10 = (พนื้ ทร่ี ะหว่าง Z = 0 และ Z = 2.10)
– (พืน้ ทรี่ ะหว่าง Z = 0 และ Z = 2.10)

= 0.4821 – 0.3944 = 0.0877
2)

0 1.5

พื้นท่ที างขวา Z = 1.5 = (พ้นื ทที่ างขวาของ Z = 0 ) – (พ้ืนทีร่ ะหว่าง Z = 0 และ Z = 1.5)
= 0.5 – 0.4332 = 0.0688

3)

–1.2 0

พ้นื ที่ทางซ้ายของ Z = –1.2 = (พื้นทีร่ ะหว่าง Z = –1.2 และ Z = 0) + (พืน้ ที่ทางขวาของ Z = 0)
= (พื้นทรี่ ะหว่าง Z = 0 และ Z = 1.2 ) + (พนื้ ท่ที างขวาของ Z = 0)
= 0.33849 + 0.5 = 0.8849

4)

0 1.66

พน้ื ทท่ี างซา้ ยของ Z = 1.66 = (พ้ืนทที่ างซ้ายของ Z = 0 ) + (พนื้ ทรี่ ะหวา่ ง Z = 0 และ Z = 1.66)
= 0.5 – 0.4515 = 0.9515

Page 16

วิชาคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เรื่อง การแจกแจงปกติ โรงเรียนสตรีนนทบรุ ี
ระดบั ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 ภาคเรยี นท่ี 2 กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์

5)

–0.57 0 1.05

พ้ืนทรี่ ะหวา่ ง Z = –0.57 และ Z = 1.05 = (พื้นทรี่ ะหวา่ ง Z = –0.57 และ Z = 0)
+ (พน้ื ทรี่ ะหว่าง Z = 0 และ Z = 1.05)
= (พน้ื ที่ระหวา่ ง Z = 0 และ Z = 0.57 )
+ (พ้นื ท่ีระหว่าง Z = 0 และ Z = 1.05)
= 0.2157 + 0.3531 = 0.5688

ตัวอย่างท่ี 2 ถ้าข้อมูลชุดหน่ึงมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 400 และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 100

จงหาว่ามีก่เี ปอร์เซ็นตข์ องข้อมูลซ่ึงมคี ่า

(1) มากกวา่ 538

(2) มากกวา่ 179

(3) นอ้ ยกวา่ 356

(4) น้อยกว่า 621

(5) ระหว่าง 318 และ 671

(6) ระหว่าง 484 และ 565

(7) ระหว่าง 249 และ 297

วิธีทา (1) ให้ x เป็นคา่ ของข้อมลู โดยกาหนดให้  = 400 และ  = 100
xμ
จาก z = 53σ8 400
จะได้ z =
100
= 1.38

จากตารางพน้ื ที่ใตเ้ ส้นโค้งปกตริ ะหว่าง z = 0 ถึง z = 1.38 เท่ากบั 0.4162
ดังนนั้ พนื้ ทใ่ี ตเ้ ส้นโคง้ ปกตเิ ม่อื z > 1.38 เทา่ กับ 0.5 – 0.4162 = 0.0838
นนั่ คือ มีขอ้ มลู 8.38% ของข้อมลู ทง้ั หมด มีค่ามากกว่า 538

Page 17

วชิ าคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรียนสตรีนนทบรุ ี
ระดบั ช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 6 ภาคเรยี นที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์

(2) จะได้ z = 179 400
100
= –2.21

จะไดพ้ น้ื ทใ่ี ต้เส้นโคง้ ปกติระหวา่ ง z = –2.21 ถงึ z = 0 เทา่ กับ 0.4864
ดังนน้ั พื้นทีใ่ ต้เสน้ โคง้ ปกติ เมื่อ z > –2.21 เท่ากับ 0.5 + 0.4865 = 0.9864
นั่นคือ มขี ้อมูล 98.64% ของข้อมลู ทัง้ หมด มีค่ามากกวา่ 179

(3) จะได้ z = 356 400
100
= –0.44

จะไดพ้ ้ืนท่ีใต้เสน้ โคง้ ปกตริ ะหวา่ ง z = –0.44 ถึง z = 0 เท่ากับ 0.1700

ดงั นนั้ พ้ืนทใ่ี ต้เส้นโคง้ ปกติ เมอื่ z < –0.44 เท่ากับ 0.5 – 0.1700 = 0.3300

นนั่ คอื มขี ้อมลู 33% ของขอ้ มูลท้ังหมด มีคา่ นอ้ ยกวา่ 356
621  400
(4) จะได้ z = 100

= 2.21

จากตารางพนื้ ทใ่ี ตเ้ ส้นโค้งปกตริ ะหวา่ ง z = 0 ถึง z = 2.21 เทา่ กบั 0.4864
ดงั นน้ั พนื้ ทใ่ี ต้เส้นโค้งปก เม่ือ z < 2.21 เทา่ กบั 0.5 + 0.4864 = 0.9864
นน่ั คอื มีขอ้ มูล 98.65% ของข้อมูลท้ังหมด มคี ่าน้อยกวา่ 621

Page 18

วิชาคณติ ศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรียนสตรีนนทบุรี
ระดับช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 ภาคเรียนที่ 2 กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์

(5) จะได้ z1 = 318 400 = –0.82
z2 = 671100400 = 2.71

100

จากตาราง พ้นื ท่ใี ต้เสน้ โค้งปกตริ ะหว่าง z = 0 ถึง z = 2.71 เทา่ กบั 0.4966
จะไดพ้ นื้ ทใ่ี ต้เส้นโค้งปกติระหวา่ ง z = –0.82 ถึง z = 0 เท่ากบั 0.2939
ดงั น้ัน พื้นท่ใี ต้เส้นโค้งปกติ เมือ่ –0.82 < z < 2.71 เทา่ กับ 0.4966 + 0.2939 = 0.7905
นนั่ คือ มขี อ้ มลู 79.05% ของขอ้ มูลท้งั หมด มีคา่ ระหว่าง 318 และ 671

(6) จะได้ z1 = 484 400 = 0.84
z2 = 565100400 = 1.65

100

จากตาราง พ้ืนทีใ่ ต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = 0 ถงึ z = 0.84 เท่ากับ 0.2995
จะไดพ้ น้ื ทใ่ี ต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = 0 ถงึ z = 1.65 เท่ากับ 0.4505
ดังนน้ั พนื้ ที่ใตเ้ ส้นโค้งปกติ เมือ่ 0.84 < z < 1.65 เท่ากับ 0.4505 – 0.2995 = 0.1510
นนั่ คือ มีขอ้ มลู 15.09% ของขอ้ มลู ทง้ั หมด มคี ่าระหว่าง 484 และ 565

Page 19

วชิ าคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรนี นทบุรี
ระดบั ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 6 ภาคเรียนที่ 2 กล่มุ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์

(7) จะได้ z1 = 249 400 = –1.51
z2 = 297100400 = –1.03

100

จากตาราง พ้นื ที่ใต้เส้นโค้งปกตริ ะหวา่ ง z = –1.51 ถงึ z = 0 เท่ากบั 0.4345
จะได้พ้ืนท่ีใตเ้ สน้ โคง้ ปกตริ ะหวา่ ง z = –1.03 ถงึ z = 0 เท่ากบั 0.3485
ดงั นั้น พ้ืนทใี่ ต้เสน้ โคง้ ปกติ เมื่อ –1.51 < z < –1.03 เทา่ กบั 0.4345 – 0.3485 = 0.0860
น่นั คือ มขี ้อมลู 8.6% ของขอ้ มลู ท้งั หมด มคี า่ ระหวา่ ง 249 และ 297

ตัวอยา่ งท่ี 3 น้าหนักสทุ ธขิ องกระปอ๋ งบรรจถุ ว่ั ท่ีผลิตโดยบริษทั แหง่ หน่งึ มีการแจกแจงแบบปกติโดยมีน้าหนักสุทธิ
เฉลี่ยเป็น 12.00 กรัม ถ้ากระป๋องที่มีน้าหนักสุทธิน้อยกว่า 11.88 กรัม มีอยู่ 11.51% จงหาความแปรปรวนของ
น้าหนักสทุ ธิของกระป๋องบรรจุถวั่ ที่ผลิตโดยบริษทั น้ี
วธิ ที า

จากรูป จะได้พ้นื ที่ใต้เส้นโคง้ ปกติจาก x = 11.88 ถงึ μ = 12.00 เท่ากบั 0.5–0.1151 = 0.3849

จากตาราง พ้ืนที่ใต้เสน้ โคง้ ปกติเปน็ 0.3849 ค่า z เท่ากบั 1.20
xμ
จาก z =
–1.20 = 11.σ88 2.00
=
σ -0.12σ = 0.1
-0.12
ดังนั้น ความแปรปรวนของน้าหนักสุทธขิ องกระปอ๋ งบรรจุถ่วั ท่ผี ลติ โดยบรษิ ทั น้ีเทา่ กับ 0.01

Page 20

วชิ าคณติ ศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เรื่อง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรนี นทบุรี
ระดบั ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 6 ภาคเรยี นที่ 2 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์

ตัวอย่างที่ 4 คะแนนสอบ SAT (SAT Scores) มีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 505 และส่วน
เบ่ียงเบนมาตรฐาน 111 จงหาพ้นื ท่ใี ต้เส้นโคง้ ปกติในขอ้ ต่อไปนี้

(1) คะแนน SAT อยรู่ ะหวา่ ง 400 และ 600
(2) คะแนน SAT มากกวา่ 700
(3) คะแนน SAT นอ้ ยกว่า 450

วิธีทา (1) ให้ x เป็นคะแนนสอบ SAT โดยกาหนด μ = 505 และ σ = 111
xμ
จาก z = 40σ0 505 = –0.946
จะได้ z1 = 600111505 = 0.856
=
z2 111

จากตาราง พน้ื ทใี่ ต้เสน้ โคง้ ปกตริ ะหว่าง z = 0 ถึง z = 0.94 เทา่ กบั 0.3264

พน้ื ท่ใี ตเ้ สน้ โค้งปกติระหวา่ ง z = 0 ถงึ z = 0.95 เทา่ กบั 0.3289

จะได้ พ้ืนทใ่ี ต้เส้นโคง้ ปกติระหว่าง z = 0 ถึง z = 0.946 เทา่ กับ
0.0025 0.006
0.3264   0.01  = 0.3279
 

จากตาราง พ้นื ทใ่ี ตเ้ สน้ โค้งปกตริ ะหวา่ ง z = 0 ถงึ z = 0.85 เทา่ กับ 0.3023

พ้นื ทีใ่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกตริ ะหว่าง z = 0 ถึง z = 0.86 เท่ากับ 0.3051

จะได้ พื้นทใี่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกติระหว่าง z = 0 ถงึ z = 0.856 เทา่ กบั
0.0028  0.006
0.3023   0.01  = 0.30398
 

ดังนนั้ พ้ืนทใี่ ต้เสน้ โคง้ ปกติของคะแนน SAT ทอ่ี ยรู่ ะหวา่ ง 400 และ 600 เท่ากับ
0.3279 + 0.30398 = 0.63188

Page 21

วชิ าคณติ ศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรีนนทบุรี
ระดบั ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 ภาคเรยี นที่ 2 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์

(2) จะได้ z = 700 505  1.757
111

จากตาราง พน้ื ท่ใี ตเ้ ส้นโคง้ ปกติระหวา่ ง z = 0 ถงึ z = 1.75 เทา่ กบั 0.4599

พืน้ ทใ่ี ต้เสน้ โค้งปกติระหว่าง z = 0 ถึง z = 1.76 เท่ากบั 0.4608

จะได้ พน้ื ท่ีใตเ้ สน้ โคง้ ปกติระหวา่ ง z = 0 ถึง z = 1.757 เทา่ กับ
0.0009  0.007
0.4599   0.01  = 0.46053
 

ดังนั้น พืน้ ทใี่ ต้เส้นโคง้ ปกตขิ องคะแนน SAT ที่มากกว่า 700 เท่ากับ

0.5 – 0.46053 = 0.03947

(3) จะได้ z = 450 505  –0.495
111

จากตาราง พื้นทใ่ี ตเ้ สน้ โค้งปกติระหว่าง z = 0 ถึง z = 0.49 เท่ากับ 0.1879

พืน้ ที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = 0 ถงึ z = 0.50 เท่ากับ 0.1915

จะได้ พื้นท่ใี ตเ้ สน้ โค้งปกตริ ะหว่าง z = 0 ถงึ z = 0.495 เทา่ กับ
0.0036  0.005
0.1879   0.01  = 0.1897
 

ดงั นน้ั พน้ื ทใี่ ตเ้ สน้ โค้งปกตขิ องคะแนน SAT ทน่ี อ้ ยกวา่ 450 เท่ากับ
0.5 – 0.1897 = 0.3103

Page 22

วิชาคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรียนสตรีนนทบุรี
ระดบั ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 6 ภาคเรยี นที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์

แบบฝึกหัด เรื่อง พนื้ ทีใ่ ต้กราฟโค้งปกติมาตรฐาน

1.จากเส้นโค้งปกติ จงหาพนื ้ ที่สว่ นแรเงา 1.2
1.1

0 1.5 -1.23 0
ตอบ....................................................................................................
ตอบ.........................................................................
1.4
1.3

-0.58 0 2.19 0

ตอบ........................................................................................................... ตอบ....................................................................................................

1.5 1.6

-2 0 0 1.35
ตอบ...............................................................................................................
ตอบ............................................................................................................
1.7
1.8

0 2.31 -1.36 0
ตอบ.............................................................................................................. ตอบ............................................................................................................

1.9 1.10

0 1.28 2.32 -1.24 0 1.58
ตอบ.............................................................................................................. ตอบ.............................................................................................................

Page 23

วชิ าคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรนี นทบุรี
ระดับชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 6 ภาคเรยี นที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

2.กาหนดพนื ้ ที่สว่ นที่แรเงาใต้โค้งปกติ จงหาคะแนนมาตรฐาน

2. 1 ถ้าพนื ้ ที่แรเงามีคา่ 0.1368 แล้ว z มีคา่ เท่าไร 2.2 ถ้าพฃั ้นท่ีแรเงามคี า่ 0.2266 แล้ว z มีคา่ เทา่ ไร

0z 0Z
2.3 ถ้าพนื ้ ท่ีแรเงามีค่า 0.4505 แล้ว z มคี า่ เท่าไร
2.4 ถ้าพนื ้ ที่แรเงามคี า่ 0.1131 แล้ว z มีคา่ เทา่ ไร

Z0 Z0

2.5 ถ้าพนื ้ ที่แรเงามีคา่ 0.7163 แล้ว z มีคา่ เทา่ ไร 2.6 ถ้าพนื ้ ที่แรเงามีคา่ 0.4728 แล้ว z มีคา่ เทา่ ไร

0z Z0

2.7 ถ้าพนื ้ ท่ีแรเงามคี า่ 0.7123 แล้ว z มีคา่ เท่าไร 2.8 ถ้าพนื ้ ท่ีแรเงามีคา่ 0.4718 แล้ว z มีคา่ เทา่ ไร

-1.58 0 z Z 0 1.6

2.9 ถ้าพนื ้ ท่ีแรเงามคี า่ 0.1522 แล้ว z มคี า่ เท่าไร 2.10 ถ้าพนื ้ ที่แรเงามีคา่ 0.7330 แล้ว z มคี า่ เทา่ ไร

Z 1.25 -Z 0 Z

Page 24

วชิ าคณติ ศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรีนนทบุรี
ระดบั ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 ภาคเรยี นท่ี 2 กลุม่ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์

แบบฝึกหดั 2.2

1.ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉล่ียเลขคณิต 400 และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 100 จงหาว่ามีกี่

เปอร์เซ็นต์ของข้อมลู ซงึ่ มคี ่า

(1) มากกว่า 538 (2) มากกวา่ 179

(3) น้อยกว่า 356 (4) น้อยกวา่ 621

(5) ระหวา่ ง 318 และ 671 (6) ระหว่าง 484 และ 565

2. ในการบรรจุกาแฟชนิดหนึ่งลงขวดให้มีน้าหนักสุทธิ 115 กรัม ถ้าน้าหนักของกาแฟที่บรรจุมีการแจกแจงปกติ

โดยมีน้าหนักโดยเฉล่ียเท่ากับ 115.5 กรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 0.3 กรัม จงหาว่ามีก่ีเปอร์เซ็นต์ที่

กาแฟในแต่ละขวดมีนา้ หนกั

(1) ระหวา่ ง 115 กรมั และ 115.5 กรมั (2) ระหวา่ ง 114.9 กรมั และ 115.5 กรัม

Page 25

วิชาคณติ ศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรีนนทบุรี
ระดับชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 6 ภาคเรียนท่ี 2 กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์

(3) ระหว่าง 115.2 กรมั และ 115.9 กรัม (4) ระหวา่ ง 14.75 กรัม และ 115 กรัม

(5) มากกวา่ 115.5 กรมั (6) น้อยกว่า 115 กรมั

3. คะแนนทดสอบความถนัดทางคณิตศาสตร์ (Mathematics Attitude Test) สาหรับกลุ่มนักเรียนหญิง มี
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 60 คะแนน ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน และกลุ่มนักเรียนชายมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 64
คะแนน ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 8 คะแนน ถ้าคะแนนของแตล่ ะกล่มุ ทกี ารแจกแจงปกติ จงหาวา่

(1) ถา้ นายไผทสอบได้ 62 คะแนน คะแนนของเขาเปน็ ตาแหน่งเปอรเ์ ซ็นไทล์ท่เี ท่าไรของคะแนนในกลุ่ม
นกั เรียนชาย

(2) ถ้านางสาวอาภัสราสอบได้ 73 คะแนน คะแนนของเขาเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าไรในกลุ่ม
นักเรยี นหญิง และเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ทเี่ ทา่ ไรในกลุ่มนักเรยี นชาย

Page 26

วิชาคณติ ศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรนี นทบุรี
ระดบั ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 ภาคเรียนที่ 2 กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์

4. การแจกแจงของคะแนนสอบครั้งหน่ึงเป็นการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 72 คะแนน และส่วน

เบ่ียงเบนมาตรฐาน 12 คะแนน จงหา

(1) คะแนนท่ีเป็นเปอรเ์ ซน็ ไทล์ที่ 25 (2) คะแนนที่เป็นเปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ่ี 90

5. ในการผลิตแผ่นพลาสติกของบรษิ ัทแห่งหนงึ่ ปรากฏว่าความหนาแน่นของแผ่นพลาสติกมีการแจกแจงแบบปกติ
โดยมีความหนาโดยเฉลี่ย 0.0625 เซนติเมตร ความแปรปรวนเป็น 0.00000625 เซนติเมตร2 จงหาว่าแผ่น
พลาสตกิ ทผ่ี ลิตได้มคี วามหนาอยรู่ ะหวา่ ง 0.0595 เซนตเิ มตร และ 0.0659 เซนตเิ มตรมีกี่เปอรเ์ ซน็ ต์

6. ให้ x เป็นความคลาดเคลื่อนในรอบ 24 ชั่วโมงของนาฬิกาท่ีผลิตโดยโรงงานแห่งหนึ่ง ถ้าความคลาดเคลื่อนมี
การแจกแจงปกติโดยมีคา่ เฉลี่ยเลขคณิต 0.00 วนิ าทีและความแปรปรวน 0.160 วินาที2 จงหา x ซึง่ ทาให้ 50.04%
ของนาฬิกาทั้งหมดท่ผี ลติ ได้จะมีความคลาดเคลอ่ื นระหว่าง x กับ 0.136 วนิ าที

7. น้าหนักสทุ ธิของกระป๋องบรรจุถั่วที่ผลติ โดยบริษทั แห่งหนึ่งมกี ารแจกแจงแบบปกติโดยมีน้าหนักสุทธิเฉลี่ยเป็น
12.00 กรมั ถ้ากระป๋องท่ีมีน้าหนักสทุ ธินอ้ ยกว่า 11.88 กรัม มีอยู่ 11.51% จงหาความแปรปรวนของนา้ หนกั สุทธิ
ของกระปอ๋ งบรรจถุ ั่วที่ผลติ โดยบรษิ ัทนี้

Page 27

วชิ าคณติ ศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เรื่อง การแจกแจงปกติ โรงเรียนสตรีนนทบุรี
ระดบั ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 6 ภาคเรียนท่ี 2 กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์

8. ถา้ x แทนคะแนนท่ีสนใจศกึ ษาและ P แทนพ้ืนท่ีใต้เส้นโคง้ ปกตขิ องคะแนนท่ีตา่ กวา่ x จงหาคา่ a, b, c และ d

จากข้อมลู ท่ีกาหนดใหต้ อ่ ไปน้ี

คา่ เฉลีย่ เลขคณิต สว่ นเบ่ยี งแบนมาตรฐาน x พื้นทีใ่ ต้เส้นโค้งปกติ (P)

3 12 d

10 2 c 0.18

a 3 6 0.09

10 b 12 0.60

9. คะแนนสอบ SAT (SAT Scores) มีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉล่ียเลขคณิต 505 และส่วนเบ่ียงเบน

มาตรฐาน 111 จงหาพ้นื ท่ใี ต้เสน้ โคง้ ปกติในข้อตอ่ ไปน้ี

(1) คะแนน SAT อยู่ระหวา่ ง 400 และ 600 (2) คะแนน SAT มากกว่า 700

(3) คะแนน SAT น้อยกว่า 450

Page 28

วิชาคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เรื่อง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรีนนทบุรี
ระดับชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6 ภาคเรียนท่ี 2 กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

แบบฝึกทกั ษะ เรือ่ ง การแจกแจงปกติ
1.ขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ มกี ารแจกแจงปกติ มคี า่ เฉลี่ยเลขคณิตเป็น 60คะแนนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10คะแนน
จะมี...เปอร์เซ็นตข์ องคา่ ของขอ้ มลู ซึ่งมคี ่าระหวา่ ง60และ70

2. ในการสอบคดั เลือกนักเรียนช้ันม.4มีผู้สมัคร 3,000คน ปรากฏว่าคะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ถ้าตดั สินผสู้ อบ
ไดค้ า่ มาตรฐานสงู กว่า 1 เขา้ เรยี นได้ จะมนี ักเรยี นสอบเข้าได้ทั้งหมด...คน

3. คะแนนสอบของนกั เรยี นกลมุ่ หนึง่ มกี ารแจกแจงปกติ มีคา่ เฉล่ยี เลขคณติ และส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของคะแนน
สอบเปน็ 68และ10คะแนน ตามลาดบั ถ้านายธงชัยสอบได้ 84คะแนนแล้วเขาจะมีตาแหนง่
ตรงกับเปอร์เซ็นไทลท์ ่ี...

4. ขอ้ มลู ชดุ หน่ึงมีการแจกแจงปกติ มคี ่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากบั 70และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่า 10 ถา้ พน้ื ท่ี
ใต้เสน้ ปกติ z = 0 ถึง z =0.842 เปน็ 0.3000 ดงั นนั้ เปอร์เซน็ ไทลท์ 8ี่ 0 มคี ่าเทา่ กบั ...

Page 29

วชิ าคณติ ศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เรื่อง การแจกแจงปกติ โรงเรยี นสตรนี นทบุรี
ระดับช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 6 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์

5. ในการสอบวิชาคณติ ศาสตรป์ รากฏวา่ มคี า่ เฉล่ียเลขคณติ คะแนนสอบเท่ากับ 84 คะแนนและ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่า 4คะแนน ถ้าให้เกรดตามเสน้ โค้งปกติ ปรากฏว่ามีนักเรียนไดเ้ กรด A
จานวน10.56% ดงั นั้นคะแนนตา่ สดุ ของเกรด A มคี า่ เท่ากับ...

6. ในการสอบครงั้ หน่ึง คะแนนสอบมีการแจกแจงปกตโิ ดยมีคา่ เฉลยี่ เลขคณติ และความแปรปรวนของคะแนนสอบ

เปน็ 25คะแนน และ 2 ตามลาดบั ถ้านาย ก. สอบไดค้ ะแนนตรงตาม Q1 และ นาย ข.

สอบไดค้ ะแนนตรงตาม D8 แลว้ คะแนนสอบของสองคนต่างกันมีค่าเท่ากับ... (ประมาณเปน็ จานวนเตม็ )

7. ในการสอบวชิ าสถติ ิของนกั เรยี น 550คน มีการแจกแจงปกติ มคี า่ เฉลยี่ เลขคณติ และสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของ
คะแนนสอบเปน็ 75 และ 12คะแนน ตามลาดับ ถ้าตัดสนิ วา่ นักเรียนทีไ่ ดร้ ะดับคะแนน4
จะตอ้ งไดค้ ะแนนต้งั แต่ 88 คะแนนขนึ้ ไป แลว้ จะมีผู้ใดระดบั คะแนน4 จานวน...คน

8. นักเรยี นช้นั ม.5 จานวน800คน สอบวิชาสถติ ิปรากฏว่า ได้ค่าเฉล่ียเลขคณติ เท่ากบั 60คะแนน
ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 8คะแนน ถา้ นายสุวัฒนส์ อบได้ 68คะแนน และนายสวุ ิทย์ สอบได5้ 2คะแนน
ถา้ ผลสอบครัง้ นี้ คะแนนกระจายเป็นโคง้ ปกติ จะมนี ักเรยี นทสี่ อบได้คะแนนมากกวา่ นายสวุ ทิ ย์แต่น้อยกว่านาย
สวุ ฒั น์ จานวน...คน

Page 30

วิชาคณติ ศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เรื่อง การแจกแจงปกติ โรงเรียนสตรนี นทบุรี
ระดับช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 6 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์

9. คะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนักเรยี นห้องหน่ึงมกี ารกระจายปกติโดยมีค่าเฉลีย่ เลขคณิตเป็น 64 คะแนน
ถา้ นกั เรียนท่สี อบได้คะแนนมากกวา่ 80คะแนน มีอยู่ 15.87% แลว้ จงหาสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนน
สอบวิชาคณิตศาสตร์

10. เงนิ เดือนของคนงานในโรงงานอตุ สาหกรรมแหง่ หนง่ึ มีการแจกแจงปกตมิ ีคา่ เฉล่ยี 2,000บาทและ
สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน 1,000บาท จงหาความน่าจะเปน็ ที่คนงานคนหน่ึงในโรงงานแห่งหนึง่ มีเงินเดอื น
ระหว่าง1,750บาทถงึ 2,500บาท

11. น้าหนกั ของหญิงกลมุ่ หนงึ่ มีคา่ เฉลย่ี เลขคณติ 45กิโลกรมั สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน 2กโิ ลกรัมและน้าหนกั ของ
กล่มุ ผู้ชายมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 57กโิ ลกรมั สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน 4กิโลกรมั น้าหนักของแต่ละกลมุ่ มกี ารแจกแจง
ปกติ เปอร์เซน็ ไทลท์ ่ี 97.5 ของนา้ หนักกลมุ่ หญิง มีคา่ ตรงกบั เปอร์เซน็ ไทลท์ ี่เทา่ ใดของนา้ หนักของกลุ่มชาย

12.ในการบรรจุผงซักฟอกยห่ี อ้ หนง่ึ ลงกลอ่ งขนาดครอบครวั ท่ีมีน้าหนกั สทุ ธโิ ดยเฉลยี่ 3,000กรมั
มสี ว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 100กรัม บริษทั กาหนดไวว้ ่ากลอ่ งทไ่ี ด้มาตรฐานจะต้องมีนา้ หนักสุทธิอยู่ระหว่าง
3,000 k กรัม และในการผลิตแต่ละครง้ั จะตอ้ งได้ของท่ีได้มาตรฐาน 95% (สมมตวิ ่าการแจกแจงของนา้ หนกั
ของผงซกั ฟอก เป็นการแจกแจงปกติ) จงหาคา่ ของk

Page 31

วิชาคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เร่ือง การแจกแจงปกติ โรงเรียนสตรีนนทบุรี
ระดับชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 ภาคเรยี นที่ 2 กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์

13.คะแนนไอคิวของนกั เรยี น 2กลุ่ม มีการแจกแจงปกตดิ งั นี้
กลุม่ นกั เรยี นชาย มีค่าเฉล่ยี เลขคณติ 100คะแนน ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 10คะแนน
กลมุ่ นกั เรยี นหญงิ มคี ่าเฉล่ยี เลขคณิต 90คะแนน สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน 20คะแนน

กาหนดให้ x เปน็ คะแนนของนกั เรยี นชายคนหนงึ่ ถ้าเปอร์เซน็ ของคะแนนระหวา่ ง x ถึงฐานนิยม
เทา่ กับเปอรเ์ ซน็ ของคะแนนระหวา่ ง 95ถงึ 105คะแนน ของกลมุ่ นักเรยี นหญงิ แล้ว x มคี ่าเทา่ ใด

Page 32