ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2020

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2020
Covid-19

ΘΕΜΑ 1

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + , x ℝ



και η ευθεία ε: y= -3x + 8 η οποία είναι εφαπτόμενη της Cψ στο σημείο

της Α(xo, f(xo) ).

α. Να δείξετε ότι α=4 και xo=1

Για α=4:

β. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

δ. Να βρείτε τις τιμές των κ,λ∈ ℝ με κ< -1 < λ

για τις οποίες ισχύει :

f(λ+1) – f(κ+1) = 8

ε. Να βρείτε το όριο:

k= lim ( ( )− 4) 3− 5 +7
( ( )−5) 2+ +3
→+∞

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln ( +1) , x > 0


α. Να αποδείξετε ότι:

i. 1 < f(x) < 1 , για κάθε x > 0
+1
ii. η εξίσωση:

( − 1)[( + 1) ( ) − 1] + ( − 2)(1 − ( )) = 0

με α,β> 0 έχει μοναδική ρίζα στο (1,2)

β. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί το −1 (1)

γ. Να λυθεί η εξίσωση : −1

( ( ) − 2) = 2 , x> 1


δ. Να δείξετε ότι:

( + 1) > ( + 1)

ε. Έστω η συνάρτηση ( ) = + + − 3 , x∈ ℝ

και α> 0 για την οποία ισχύει

( ( )) ≤ 1
−1
1
Να δείξετε ότι α =

ΘΕΜΑ 3
Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (0,+∞ )και για την
οποία ισχύουν:

• ( ΄( ) − ) = − ( )

• (1) = −1

α. Να δείξετε ότι ( ) = − 1 , x> 0



β. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f-1.

γ. Έστω οι συναρτήσεις g(x)= ex και h(x)= 1

Να αποδείξετε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν μοναδικό κοινό

σημείο με τετμημένη xo∈ (1 , 1)

2

δ. Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του ∈ (0,1) το όριο:

k = lim −

→ ( )

ε. Να λυθεί η εξίσωση :

+ 1 = + 1



στ. Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του λ> 0 για την οποία ισχύει:
( ) ≥ ( ) , ∈ ℝ

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η συνάρτηση ( ) = √( − 1)2 2 − 8 + 5 x∈ ℝ , λ> 0 για την
οποία ισχύει:
lim ( ) = 2

→+∞

α. Να δείξετε ότι λ=3

Για λ=3

β. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε

το σύνολο τιμών της.

γ. i. Nα βρείτε το όριο :

= lim [ (101 ) ∙ 10]
→+∞

ii. Για τις διάφορες τιμές του m∈ ℝ να βρείτε το όριο:
= lim ( ( ) − )

→+∞

δ. Να βρείτε τις τιμές των α,β για τις οποίες ισχύει:

√4 − 2 − 8 + 5 + √4 2 − 8 + 5 = 2

ε. Να δείξετε ότι η εξίσωση :
2( ) − 3 ( ) + 2 = 0
έχει ακριβώς τρείς ρίζες στο ℝ.

ΘΕΜΑ 5

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση ∶ ℝ → ℝ με τύπο:
2 + , < 1

f(x) = { , ≥ 1



α. Να δείξετε ότι α=1
β. Να δείξετε ότι το x=1 είναι κρίσιμο σημείο της f.
γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
δ. Έστω η συνάρτηση :

ℎ( ) = ( 2 − ) ( ) , ≥ 1
i. Να δείξετε ότι η h έχει μοναδικό ακρότατο στο xo∈ (1,e) , του οποίου να βρείτε
το είδος.
ii. Να αποδείξετε ότι:

ℎ΄( )( 0 − 1) + ℎ΄(1)( − 0) > 0