ทฤษฎีบทปีทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส
ผู้สอน : ครูสุจินตนา คงกระพนั ธ์

รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

bc เรียก
a
a วา่ ด้านประกอบมมุ ฉาก
b วา่ ด้านประกอบมมุ ฉาก
c วา่ ด้านตรงข้ามมมุ ฉาก

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก

ตวั อย่าง จากรูป จงหาวา่ ดา้ นใดคือดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก
C

AB
ตอบ ดา้ น AC หรือ AC

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก

ตวั อย่าง จากรูป จงหาวา่ ดา้ นใดคือดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก
ZX

Y
ตอบ ดา้ น XY หรือ XY

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

รูปสามเหลยี่ มมุมฉาก

ตวั อย่าง จากรูป จงหาวา่ ดา้ นใดคือดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก
P

O
Q

ตอบ ดา้ น OQ หรือ OQ

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

เม่ือกาหนดความยาวของดา้ นประกอบมุมฉากมาใหท้ ้งั สองดา้ น
แลว้ ทาการวดั ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉากจะไดผ้ ลดงั น้ี

cb a bc
a 345
5 12 13
6 8 10

7 24 25

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส c2 a2 + b2

a b c a2 b2 25 25
3 4 5 9 16 169 169
5 12 13 25 144 100 100
6 8 10 36 64
7 24 25 49 576 625 625

c2 = a2 + b2

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง จงเขียนความสมั พนั ธข์ องรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปน้ี
โดยอาศยั ทฤษฎีบทปี ทาโกรัส

x y x2 = z2 + y2
z

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง จงเขียนความสมั พนั ธข์ องรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปน้ี
โดยอาศยั ทฤษฎีบทปี ทาโกรัส

qp o2 = q2+ p2
o

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง จงเขียนความสมั พนั ธข์ องรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปน้ี
โดยอาศยั ทฤษฎีบทปี ทาโกรัส

s s2 = r2 + t2
tr

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง จงเขียนความสมั พนั ธ์ของรูปสามเหล่ียมมุมฉากต่อไปน้ี
โดยอาศยั ทฤษฎีบทปี ทาโกรัส

68 L2 = 62 + 82
L = 36 + 64
= 100

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง จงเขียนความสมั พนั ธ์ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปน้ี
โดยอาศยั ทฤษฎีบทปี ทาโกรัส

A

2 = 2 2

AC AB + BC

BC

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง จงหาค่าของ c จากรูปสามเหล่ียมมุมฉากต่อไปน้ี

c2 = a2 + b2

= 32 + 42

4 c = 9 +16

c2 = 25

3 cc = 55
c=5

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง จงหาค่าของ c จากรูปสามเหล่ียมมุมฉากต่อไปน้ี

c c2 = a2 + b2
= 62 + 82
8 = 36 + 64

6 c2 = 100
c  c = 1010

c = 10

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง จงหาค่าของ c จากรูปสามเหล่ียมมุมฉากต่อไปน้ี

7 c2 = a2 + b2
24
= 72 + 242
c = 49 + 576
c2 = 625
c  c = 25 25

c = 25

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง จงหาค่าของ b จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปน้ี

8 c2 = a2 + b2
b 172 = 82 + b2

289 = 64 + b2

17 289 − 64 = b2

225 = b2
15 = b

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง จงหาค่าของ a จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปน้ี

c2 = a2 + b2

a 252 = a2 + 242
25 625 = a2 + 576

625 − 576 = a2

24 49 = a2

7=a

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง จงหาความยาวรอบรูปสามเหล่ียมมุมฉากต่อไปน้ี
c2 = a2 + b2

20 = 122 +162

16 = 144 + 256

c2 = 400

12 c = 20 16 + 20 = 48 หน่วย
12 +
จะไดค้ วามยาวรอบรูปเท่ากบั

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง จงหาพ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยมต่อไปน้ี

พ.ท.สามเหลี่ยม = 1  ฐาน  สูง
2

16 20 = 1  12  สูง หา สูง
2

= 1  12  16
2

12 = 96 ตารางหน่วย

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง จงหาพ้ืนที่ของรูปสามเหล่ียมต่อไปน้ี
c2 = a2 + b2

20 202 = 122 + b2

400 = 144 + b2
400 −144 = b2

12 256 = b2

16 = b

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง จงหาพ้ืนท่ีของรูปสามเหล่ียมหนา้ จวั่ ต่อไปน้ี

A พ.ท.สามเหลี่ยม = 1  ฐาน  สูง
2

10 = 1  BC  AD หา AD
8 2

= 1  12  8
2

B 1D2 C = 48 ตารางหน่วย

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง จงหาพ้ืนท่ีของรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั ต่อไปน้ี

A c2 = a2 + b2

10 102 = 62 + b2
100 = 36 + b2
B6 D 100 − 36 = b2
C 64 = b2

8=b

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

บทกลบั ของทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

16 20 c2 = 400
12
a2 = 144
b2 = 256
a2 + b2 = 400

ถา้ a,b, c เป็นดา้ นของรูปสามเหล่ียมและ c2 = a2 + b2
จะไดว้ า่ รูปสามเหล่ียมดงั กล่าวเป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

บทกลบั ของทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

c2 = 484

18 22 a2 = 144
b2 = 324

12 a2 + b2 = 468

ถา้ a,b, c เป็นดา้ นของรูปสามเหล่ียมและ c2  a2 + b2
จะไดว้ า่ รูปสามเหลี่ยมดงั กล่าวไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

บทกลบั ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง จงหารูปสามเหล่ียมต่อไปน้ีเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่

75 a2 = 441

21 b2 = 5,184

72 c2 = 5,625
a2 + b2 = 5,625
c2 = a2 + b2

ดงั น้นั รูปสามเหลี่ยมดงั กลา่ วเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

บทกลบั ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง ดา้ นยาว 3, 4, 5 เป็นดา้ นของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่

35 a2 = 9
b2 = 16

4 c2 = 25
a2 + b2 = 25
c2 = a2 + b2

ดงั น้นั ความยาวดงั กล่าวเป็นดา้ นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

บทกลบั ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ตวั อย่าง ดา้ นยาว 6, 8, 9 เป็นดา้ นของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่

69 a2 = 36
b2 = 64

8 c2 = 81
a2 + b2 = 100
c2  a2 + b2

ดงั น้นั ความยาวดงั กลา่ วไม่ใช่ดา้ นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

การพสิ ูจน์ความเป็ นรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก

วธิ ีคดิ
1. ดูใหอ้ อกวา่ ตอ้ งการพิสูจน์รูปใด
2. หาความยาวใหไ้ ดค้ รบท้งั สามดา้ น
3. ใหด้ า้ นยาวที่สุดเป็น c ส่วนอีกสองดา้ นที่เหลือเป็น a, b
4. นาความยาวทุกดา้ นมายกกาลงั สอง
5. ถา้ c2 = a2 + b2 จะไดข้ อ้ สรุปวา่ สามเหล่ียมน้นั
เป็ นสามเหล่ียมมุมฉาก

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

การพสิ ูจน์ความเป็ นรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก

จงพิสูจนว์ า่ ABC เป็น มุมฉาก C

เป้าหมาย 2 = 2 + 2

AB AC CB

AB = 9 +16 12

= 25 A 9 D 16

2 = 625 B
มุมฉาก
AB

2 = 92 +122 2 AC 2 + 2

AC AB CB

= 225 =

2 = 122 +162 ดงั น้ัน ABC เป็น

CB

AC 2 + 2 = 400

CB = 625

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

การพสิ ูจน์ความเป็ นรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก P

จงตรวจสอบวา่ PQR เป็น มุมฉากหรือไม่

เป้าหมาย 2 = 2 2 17

QR QP + PR

QP = 17 8

2 = 289 Q 15 M 6 R

QP

2 = 62 + 82 2 = 172 − 82 QR = 21

PR QM

= 100 = 225 2 = 441
289 +100
2 + 2 = 389 QR

QP PR QM = 15 2 2

= QR  QP + 2

PR

QR = QM + MR

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

จบ
ทำแบบฝึ กหดั

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

จงหาความยาวของทีวี 20 นิ้ว ท่ีมีความสูงของจอ 12 นิ้ว

c2 = a2 + b2

20 202 = 122 + b2

iMath 12 400 = 144 + b2

1?6 400 −144 = b2

256 = b2

16 = b

ชายคนหน่งึ สงู 6 ฟตุ ยืนอย่หู า่ งจากจดุ ปลอ่ ยบอลลนู 400 ฟตุ
บอลลนู ลอยขนึ้ ไปจากจดุ ปลอ่ ยบอลลนู 306 ฟตุ จงหาว่าศรษี ะ
ชายคนนนั้ อย่หู า่ งจากบอลลนู ก่ีฟตุ