02 ฟังก์ชันและเศษส่วนย่อย

ฟังก์ชัน

(Function)

By Sujintana Khongkapan

- Kru BOW

สาระการเรยี นรู้

ฟงั ก์ชนั ตรรกยะ
ฟงั ก์ชนั พหนุ าม
เศษสว่ นยอ่ ย

- Kru BOW

ฟงั กช์ นั ตรรกยะ

(Rational Function)

“ เป็นฟังก์ชันพีชคณิตชนิดหนึ่ง ซ่ึงมีการนามาใช้ในวิชา

ช่างท่ีเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ประยุกต์ ในวิชาแคลคูลัสพื้นฐาน
มีการนาฟังก์ชันตรรกยะมาช่วยแก้ปัญหา เช่น การหาอินทิกรัล
ฟังก์ชันพีชคณิต ซ่ึงในบางคร้ังไม่สามารถหาอินทิกรัลได้โดยตรง

ตอ้ งนามาแยกเศษสว่ นยอ่ ยกอ่ น จึงจะหาอินทกิ รัลได้ ”

- Kru BOW

ฟังก์ชันพหนุ าม

บทนยิ าม

- Kru BOW

ตัวอยา่ งฟังกช์ ันพหนุ ามไดแ้ ก่

เปน็ ฟงั กช์ ันพหนุ ามดกี รี 6
เปน็ ฟงั กช์ นั พหุนามดีกรี 8
เป็นฟงั ก์ชันพหนุ ามดีกรี 9

ตัวอย่างฟงั กช์ ันท่ไี มใ่ ชพ่ หุนามไดแ้ ก่
เลขช้กี าลังเป็นลบ

เลขชก้ี าลังเป็นเศษส่วน

เลขชก้ี าลงั ไมเ่ ป็นจานวนเต็มบวก

- Kru BOW

ความหมายของฟงั ก์ชนั ตรรกยะ

บทนิยาม

- Kru BOW

ฟังกช์ นั ตรรยะมี 2 ชนิด คอื
1. ฟังก์ชนั ตรรกยะแท้ (ฟงั กช์ นั ตรรกยะท่ีเป็นเศษสว่ นแท้) หมายถงึ ฟงั กช์ นั ในรปู

2. ฟงั ก์ชนั ตรรกยะไม่แท้ (ฟังกช์ ันตรรกยะท่ไี มเ่ ป็นเศษส่วนแท้)
หมายถึง ฟังกช์ นั ในรูป

- Kru BOW

สามารถเขียนฟังก์ชันตรรกยะไม่แท้ให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันตรรกยะ
แท้รวมกับผลหารได้ โดยมวี ธิ กี ารเหมอื นกบั ทาเศษสว่ นเกินให้เป็นเศษส่วน
คละ ดงั นี้

เมอื่ ( ) คือ ฟงั กช์ ันตรรกยะท่ีไม่เปน็ เศษสว่ นแท้
( )
g(x) คือ ผลหารทเ่ี ป็นฟงั ก์ชันพหนุ าม

r(x) คือ เศษเหลอื ซ่งึ เป็นฟังกช์ ันพหุนามท่ีมีกาลังนอ้ ยกว่า Q(x)

( ) คอื ฟังก์ชันตรรกยะท่ีเปน็ เศษสว่ นแท้
( )

- Kru BOW

เศษส่วนยอ่ ย (Partial Fraction)

การหาผลบวก 2 + 3 เราทาได้โดยทาตัวสว่ นของเศษส่วนของสองจานวนให้
−1 −2
เท่ากันก่อนแล้วจึงหาผลบวก – ผลต่าง ดังนี้

ในทางตรงขา้ ม เราสามารถแยก 5 −1 ให้เป็น 2 ก ับ +2 1 −3ก2ับ ได ้ −3 2
( +1)( −2) +1

ซึ่งเรยี กว่า การแยกฟงั กช์ ันตรรกยะให้เปน็ เศษสว่ นยอ่ ย และเรียก

วา่ เศษสว่ นยอ่ ย - Kru BOW

การแยกฟังก์ชันตรรกยะให้เปน็ เศษสว่ นย่อย

การแยกฟงั กช์ นั ตรรกยะแท้ ( ) ใหเ้ ปน็ เศษส่วนย่อย มีข้ันตอนดังน้ี
( )
ขั้นท1่ี การแยกตัวของ Q(x) จะได้

ถา้ ( ) เป็นตวั ประกอบใด ๆ และ i เปน็ จานวนเตม็ บวก

เรียก ( ) = + ว่า ตวั ประกอบเชงิ เส้น
= ( + )
ว่า ตัวประกอบเชงิ เส้นซ้า
= 2 + + ว่า ตัวประกอบกาลงั สอง
= ( 2 + + ) วา่ ตัวประกอบกาลงั สองซา้
- Kru BOW

เชน่

- Kru BOW

ข้นั ท่ี2 เขียน ( ) เป็นเศษส่วนยอ่ ย
( )

เศษสว่ นยอ่ ย แตล่ ะตวั จะเขียนอยู่ในรูป

เมือ่ n เป็นจานวนเตม็ บวก และ A, B, ... เปน็ คา่ คงตวั
ตัวเศษสว่ นยอ่ ยจะเป็น A หรอื Ax+B ข้ึนอยกู่ บั ตัวส่วนว่าเป็นตวั ประกอบ
เชิงเส้นหรือเปน็ ตวั ประกอบกาลงั สองและจานวนของเศษส่วนย่อยจะเท่ากบั จานวนตัว
ประกอบของส่วน ดงั นี้

- Kru BOW

กรณีตัวส่วน Q(x) แยกได้ตัวประกอบเชงิ เส้น กรณีตัวส่วน Q(x) แยกได้ตัวประกอบกำลังสอง
เช่น เชน่

กรณีตัวส่วน Q(x) แยกได้ตัวประกอบเชงิ เส้นซ้ำ กรณีตัวส่วน Q(x) แยกได้ตัวประกอบกำลังสองซำ้
เชน่ เช่น

- Kru BOW

กรณตี วั สว่ น Q(x) แยกไดต้ วั ประกอบหลายแบบปนกัน
การกาหนดตัวเศษสว่ นยอ่ ยจะกาหนดให้สอดคลอ้ งกบั ตวั ส่วนของ
เศษสว่ นย่อยแตล่ ะรูปแบบ เช่น

- Kru BOW

ขั้นที่3 หาผลบวกของเศษสว่ นย่อยโดยใช้หลักการบวก - การลบเศษส่วน
ขนั้ ที่4 หาค่าคงตวั A, B, C, … ซง่ึ มีสองวิธคี อื

4.1 วธิ ีเปรยี บเทียบสัมประสิทธ์ิ
4.2 วิธีกาหนดค่าตัวแปร
ขนั้ ท่ี5 แทนค่าคงตวั A, B, C, ท่ไี ดใ้ นเศษส่วนย่อยแตล่ ะตัว

- Kru BOW

ตัวอยำ่ ง

ขั้นท่ี 1
ขน้ั ที่ 2
ขนั้ ท่ี 3

- Kru BOW

ตัวอย่ำง

ขั้นท่ี 4

ข้นั ที่ 5

- Kru BOW

วิธที ี่ 2 ข้นั ท่ี 5

ข้นั ท่ี 4 - Kru BOW

การแยกเศษส่วนย่อยของฟงั ก์ชันตรรกยะไม่แท้

การแยกฟังก์ชนั ตรรกยะไมแ่ ท้ออกเป็นเศษสว่ นย่อย จะทาไดโ้ ดย
การทาใหเ้ ปน็ ฟงั กช์ ันเศษสว่ นคละก่อน แล้วจงึ นาฟงั ก์ชันตรรกยะแท้ไป
แยกออกเป็นเศษสว่ นย่อย

- Kru BOW

ตัวอยำ่ ง

วธิ ที ำ

- Kru BOW

- Kru BOW

Thank You

- Kru BOW