treegon

อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ

อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ

กาหนด ABC เป็นรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก ท่มี ี มมุ ACB เป็นมมุ ฉาก

B

ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ดา้ นตรงขา้ มมมุ A

A C หรอื ดา้ นประชดิ มมุ B

ดา้ นประชดิ มมุ A
หรอื ดา้ นตรงขา้ มมมุ B

16

B

ด้านตรงข้ามมุม A A

C ดา้ นประชิดมมุ A

20

การเรยี กช่ือมมุ และดา้ นกรณีเขียน มมุ และดา้ นตา่ งกนั

มมุ B B เป็นดา้ นตรงขา้ มมมุ A
ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก หรอื ดา้ นประชิดมมุ B
a

มมุ A A b มมุ ฉาก

ดา้ นประชิดมมุ A
หรอื ดา้ นตรงขา้ มมมุ B

21

สรุปการเรยี กช่ือมมุ และดา้ นในรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก

B

c เรียก AB ว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ให้ยาว c หน่วย
a เรียก BC ว่า ด้านตรงข้ามมุม A ให้ยาว a หน่วย

เรียก AC ว่า ด้านประชิดมุม A ให้ยาว b หน่วย

Cb A

B

c เรียก AB ว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ให้ยาว c หน่วย
a เรียก AC ว่า ด้านตรงข้ามมุม B ให้ยาว b หน่วย

เรียก BC ว่า ด้านประชิดมุม B ให้ยาว a หน่วย

Cb A

28

ค่าของอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ คอื อตั ราสว่ นของความยาวดา้ น

สองดา้ นของสามเหล่ยี มมมุ ฉาก ซ่งึ จะมดี งั น้ี

sin A= ดา้ นตรงขา้ มมมุ  cos A= ดา้ นประชิดมมุ  tan A= ดา้ นตรงขา้ มมมุ 
ดา้ นประชิดมมุ 
ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก

cosec A= ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากsec A = ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก cot A = ดา้ นประชิดมมุ 
ดา้ นตรงขา้ มมมุ  ดา้ นประชิดมมุ  ดา้ นตรงขา้ มมมุ 

ทาความรูจ้ กั ...อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ 30

33

ขอ้ ตกลง ขา้ ม ดา้ นตรงขา้ มมมุ A
ฉาก
ชิด ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก
ดา้ นประชิดมมุ A

ตวั อย่าง จากรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC จงหา

จงหาอตั ราสว่ นตรโี กณมิติ sin A , cos A , tan A , sin B

B วธิ ีทา sin A = (ขา้ ม / ฉาก) = 3
55
3
cos A = (ชดิ / ฉาก) = 4
A C 5

4 tan A = (ขา้ ม / ชดิ ) = 3

4

sin B = (ขา้ ม / ฉาก) = 4
5

ไซนข์ องมมุ A เขียนว่า sine A หรอื เขยี นย่อวา่ sin A
เชน่ sin 30o , sin 45o , sin 60o

โคไซนข์ องมมุ A เขียนวา่ cosine A หรอื เขยี นยอ่ ว่า cos A
เช่น cos 30o , cos 45o , cos 60o

แทนเจนต์ของมุม A เขียนว่า tangent A หรือเขียนย่อว่า tan A
เชน่ tan 30o , tan 45o , tan 60o

อตั ราสว่ นตรโี กณมิตขิ องมมุ 30o และ 60o

A พจิ ารณารูปสามเหลย่ี มดา้ นเท่า ABC

2 30o 30o 2 มดี า้ นยาวดา้ นละ 2 หน่วย
(ใชค้ วามรู้ทฤษฎีบทปี ทาโกรัสพิจารณา )

3

B 60o 60o C จะได้ sin 30o = 1
1 1 2

sin 60o = 3 cos 30o = 3 cos 60o = 1
2 2 2

tan 30o = 1 tan 60o = 3 เป็นค่าท่คี วรจา
3

อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิของมมุ 45o

B พจิ ารณาสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC ดงั รูป

45o จะได้ sin 45o = 1
12
2

A 45o C cos 45o = 1
1 2

tan 45o = 1

เป็นค่าท่คี วรจา

ตวั อย่าง

จงหาอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ csc 30o , sec 30o , cot 30o

วธิ ีทา csc 30o 1 1 =2

=sin 30o =

1

2

sec 30o 1 = 1 =2
3 3
= cos 30o
=3
2

cot 30o = 1 = 1
1
tan 30o

3

ขอ้ ควรจา

csc A เป็นสว่ นกลบั ของ sin A

เช่น sin 30o = 1 ได้ csc 30o = 2 =2
2 1

sce A เป็นสว่ นกลบั ของ cos A

เช่น cos 45o = 1 ได้ sec 45o = 2 = 2
2 1

cot A เป็นสว่ นกลบั ของ tan A

เช่น tan 60o = 3 ได้ cot 60o = 1 3
3 1
=



ตวั อยา่ ง นายแดงยนื หา่ งจากเสาธง 100 เมตร เขามองไปยงั

ยอดเสาธงโดยทามมุ เงยกบั ยอดเสาธงเป็นมมุ 60o จงหาความสูง

ของยอดเสาธง ถา้ นายแดงสูง 170 เซนติเมตร

วิธที า (สรา้ งรูปประกอบการพจิ ารณา)

A จะได้ x = tan 60o

x 100

B 60o x = (100) tan 60o 173.2
100 x = 100 3 

1.7

ดงั น้ัน เสาธงสูง = 173.2 + 1.7

ประมาณ 174.9 เมตร

การหาอตั ราสว่ นตรโี กณมิตจิ ากวงกลมหน่ึงหน่วยจุดศูนยก์ ลาง (0,0)

sin 150o หรอื sin 5 (0,1)  cos 30o หรอื cos 
6
2 6

 3 , 1  5   3 , 1 
 − 2 2   2 2 
6 1 6

cos 150o หรอื cos 5 (-1,0) 2 30o (1,0) sin 30o หรอื sin 
6
O 3 2 6

 3 , − 1  7 2 116 3 , − 1 
 − 2 2  6 2 2 

รศั มียาว 1 หน่วย (0,-1) 3 สมการวงกลม คอื

เสน้ รอบวงยาว 2 2 x2 + y2 = 1

การหาค่าอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ 30o หรอื 

6

การหาอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิมมุ 45o หรอื 

4

(0,1)  cos 45o หรอื cos 
4
2  1, 1
 − 1, 1 3   2 2 
 2 2  1
4 2 4
sin 30o หรอื sin 
O 45o 4
1 +
(-1,0) 2 (1,0)

2 -

 − 1 ,− 1 54 7  1 ,− 1
 2 2  2 2 
4

(0,-1)

การหาอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ขิ องมมุ 60o หรอื 
3
 1
cos 2  หรอื cos 120o (0,1)  cos 3 = 2
2
3  − 1 , 3 2   1 3
 2 2  3 3 3  2
, 2  sin
2 60o
sin 2 หรอื sin 120o O1  = 3
3 3 2

(-1,0) (1,0)

 2

2

 − 1 , − 3 4  3 5  1 , − 3
 2 2  3 2 3  2 2 
(0,-1)

ตวั อยา่ ง จากรูป จงหาค่า cos 2  , sin 120o

3

วธิ ที า จากรูป เน่ืองจากสมาชกิ ตวั หนา้ ของคู่อนั ดบั คอื cos

ดงั นน้ั cos 2  = − 1
2
3
2
เน่อื งจาก 120 องศา คดิ เป็น 3 เรเดยี น
ดงั นนั้ sin 120o = 3 ( สมาชกิ ตวั หลงั คอื sin )
sin 2 =
3 2

หลกั การแปลง องศา เป็นเรเดียน (ใชส้ ดั สว่ น)

ตวั อยา่ ง การแปลงจาก 120 องศา เป็นเรเดยี น

180 = 120 x = 120  = 2
 x 180 3

ตวั อย่าง จงหาอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ sin 210o , csc 210o

วธิ ที า (เทยี บสดั ส่วน)

จะได้ 180 = 210 x = 7
 x 6
1
(พจิ ารณาจากวงกลม) จะได้ sin 210o = − 2

csc 120o = - 2 ( สว่ นกลบั ของ sin 120o )

ตวั อยา่ ง จงหาอตั ราสว่ นตรโี กณมิติของ cos 300o , sec 300o

วธิ ีทา ( เทยี บสดั ส่วน)

จะได้ 180 = 300 X = 5

x 3

พจิ ารณาจากวงกลม จะได้ cos 300o = 1
2
(ส่วนกลบั ของ cos 300o )
ดงั นน้ั sec 300o =2

2  (1 , 3)
2 2
3 3 60o

300o
 2 60o

4 5 1 ,− 3)
3 3( 2 2

ตวั อยา่ ง จงหาค่าของอตั ราสว่ นตรโี กณมิติ tan (-315o) , cot(-315o)

วธิ ีทา (ใชห้ ลกั การสมมาตรของวงกลมหน่ึงหน่วย )
cos sin
จาก tan x = sin x
cos x
( 1 , 1 )
4 2 2 ดงั น้ัน tan (-315o) = 1

O45o + cot (-315o) = 1

-
( cot ส่วนกลบั ของ tan )

−

4

ตวั อย่าง จงหาฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ทิ กุ ฟงั กช์ นั ของ 13 
6

วธิ ที า (พจิ ารณาวงกลม) ดงั นน้ั cos 13  = 1
6 2
 (0,1)
2  ( 1 , 3 ) sec 13 = 2
3 2 6 2 2

6
13  3
(-1,0) (1,0) sin 6 = 2

 0 2 csc 13  = 2 = 23
6 3 3
13 
4 5 tan 6 = 3
3 3  (0,-1) 3
cot 13  = 1 = 3
2 6 3 3

ตวั อย่าง ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ทิ กุ ฟงั กช์ นั ของ −17 
4
−17 
วธิ ที า (พจิ ารณาวงกลม) และเน่อื งจาก 4 = −4 +( −  )
4
cos( −174 ) = 1
(0,1) จะได ้ sec( −174 ) = 2

− 5 − 7 2
4 4

(-1,0) o (1,0) sin( −174 ) =− 1
− 2
-− 2  tan (−17 ) = −1
cot (− 174 ) = −1
1 1 4
3  ( 2 , − 2 )
− 4 − 4

(0,-1)



ประเมินการจดั การเรยี นการสอน ระยะท่ี 1 สปั ดาหท์ ่ี 1-5
รายวชิ าคณิตศาสตรพ์ ้นื ฐานอาชีพ หอ้ ง ชย.62.2

ใหน้ กั เรยี นสแกนและเขา้ ประเมนิ การจดั การเรยี นการสอน