สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

y

6 (0, 5)

5 (1, 4) x− y =3
4 (2, 3)
3 (3, 2) (5, 2)
2

1 (3, 0) (4, 1)
(5, 0)
x
−2 −1−1 0 1 2 345 6 7
(2, −1) x+ y =5
−2 (1, − 2)
−3 (0, − 3)

FMBN

ระบบสมการเชิงเส้ นสองตัวแปร

2x + 3y = 4 x + 3y = 1
3x − y = −5 −y = 4 − 2x

x − y =1 3 (x + y) = 57
y =3 4
3x − y = 40
0x + y = 3

FMBN

ระบบสมการเชิงเส้ นสองตัวแปร

x+ y =5 x 012345
x− y =3 1 y =5−x 5 4 3 2 1 0
2 y = x − 3 −3 −2 −1 0 1 2

y

6 (0, 5)

5 (1, 4) x− y =3
4 (2, 3)
3 (3, 2) (5, 2)
2

1 (3, 0) (4, 1) (4, 1)
(5, 0)
x
−2 −1−1 0 1 234 5 6 7
(2, −1) x+ y =5
−2 (1, − 2)
−3 (0, − 3)

FMBN

ระบบสมการเชิงเส้ นสองตัวแปร

ให้ a, b, d, e และ f เป็นจำนวนจรงิ ท่ี a, b ไมเ่ ป็น
ศนู ยพ์ รอ้ มกนั และ c, d ไมเ่ ป็นศนู ยพ์ รอ้ มกนั เรยี กระบบท่ี
ประกอบดว้ ยสมกำร

ax + by = e

cx + dy = f

ว่ำระบบสมกำรเชงิ เสน้ สองตวั แปรทม่ี ี x และ y เป็นตวั แปร

a และ c เป็นสมั ประสทิ ธขิ ์ อง x
b และ d เป็นสมั ประสทิ ธขิ ์ อง y

FMBN

ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

คำตอบของระบบสมกำรเชงิ เสน้ สองตวั แปร คอื คอู่ นั ดบั
(x, y) ทส่ี อดคลอ้ งกบั สมกำรทงั้ สองของระบบสมกำร หรอื

คอู่ นั ดบั (x, y) ทค่ี ำ่ x และคำ่ y ทำใหส้ มกำรทงั้
สองของระบบสมกำรเป็นจรงิ

FMBN

ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

3x − y = 3 x 0123
2x + y = 2 1 y = 3x − 3 −3 0 3 6
2 y = 2 − 2x 2 0 −2 −4

y 3x − y = 3

6

5

4

3 มเี พยี งคอู่ นั ดบั เดยี ว
2

1 x หรอื
มเี พยี งคำตอบเดยี ว
−2 −1−1 0 1 2 3 4 5 6 7
−2

−3

−4 2x + y = 2

FMBN

ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

x−2y =1 1 y
2x − 4y = 2 2

x y = x −1 y = 2x − 2 3
24
x−2y =1
0 −0.5 −0.5
2

1 2x − 4y = 2

10 0 −1 0 1 2 3 x
−1
2 0.5 0.5

31 1 −2

มหี ลำยคอู่ นั ดบั หรอื มหี ลำยคำตอบ

FMBN

ระบบสมการเชิงเส้ นสองตัวแปร y 3x = 2y − 6

3x = 2y − 6 1 8
2 y − 3x = −3 2
7

6

5

x y = 3x + 6 y = 3x − 3 4
22
3 2 y − 3x = −3
0 3 −1.5
2

1 x
−6 −5 −4 −3 −2 −1−1 0 1 2 3 4 5 6
1 4.5 0
−2

26 1.5 −3

−4

3 7.5 3 ไมม่ คี อู่ นั ดบั หรอื ไมม่ คี ำตอบ

FMBN

ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

สำหรบั ระบบสมกำรเชงิ เสน้ สองตวั แปรใด ๆ

ax + by = e

cx + dy = f

คำตอบของระบบสมกำรคอื คอู่ นั ดบั (x, y) ทท่ี ำใหส้ มกำรทงั้
สองเป็นจรงิ ซง่ึ เป็นไปได้ 3 กรณีคอื

มเี พยี งคำตอบเดยี ว
มหี ลำยคำตอบ
ไมม่ คี ำตอบ

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการแทนที ่

จดั สมกำรใดสมกำรหน่งึ ใหฝ้ ัง่ ซำ้ ยมเี พยี งตวั แปรหน่งึ ตวั
และสมั ประสทิ ธเิ์ป็นของมนั เป็น 1

นำตวั แปรทไ่ี ดไ้ ปแทนในอกี สมกำร

แกส้ มกำรเพอ่ื หำคำ่ ตวั แปร

นำตวั แปรทไ่ี ดไ้ ปแทนในสมกำรจำกขอ้ แรก

แกส้ มกำรเพอ่ื หำคำ่ ตวั แปร

F MBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการแทนที ่

จงแกร้ ะบบสมกำร 3x + 5y = 26

y = 2x

3x + 5y = 26

3x + 5(2x ) = 26
3x + 10x = 26
13x = 26
x = 26
13
=2

F MBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการแทนที ่

จงแกร้ ะบบสมกำร 3x + 5y = 26

y = 2x

แทน x = 2 ใน y = 2x

= 2( 2 )

=4

เน่ืองจาก x=2
y=4

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้คี อื ค่อู นั ดบั (2, 4)

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้ นสองตัวแปร วิธีการแทนที ่

จงแกร้ ะบบสมกำร 2x + 5y = 7

x = −1− y

2x +5y = 7
2( −1− y ) + 5y = 7

−2 − 2 y + 5y = 7

−2 + 3y = 7

3y = 7 + 2 = 9

y =9 =3
3

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้ นสองตัวแปร วิธีการแทนที ่

จงแกร้ ะบบสมกำร 2x + 5y = 7

x = −1− y

แทน y = 3 ใน x = −1− y

= −1− 3
= −4

เนื่องจาก x = −4
y=3

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้คี อื ค่อู นั ดบั (−4, 3)

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการแทนที ่

จงแกร้ ะบบสมกำร 2x = 4 − y

5x + 3y = 10

2x = 4− y
2x + y = 4

y = 4 − 2x

5x + 3y = 10
5x + 3( 4 − 2x ) = 10
5x +12 − 6x = 10

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการแทนที ่

จงแกร้ ะบบสมกำร 2x = 4 − y

5x + 3y = 10

5x +12 − 6x = 10
12 − x
−x = 10
= 10 − 12
= −2

x =2

FM BN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร การแทนที ่

จงแกร้ ะบบสมกำร 2x = 4 − y

5x + 3y = 10

แทน x = 2 ใน y = 4 − 2x
= 4 − 2( 2 )

= 4− 4 = 0

เนื่องจาก x=2
y=0

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้ีคอื ค่อู นั ดบั (2, 0)

FMB N

แบบทดสอบย่อยเกบ็ คะแนน 30 คะแนน

จงแกร้ ะบบสมกำรในแต่ละขอ้ ต่อไปน้โี ดยใชห้ ลกั กำรแทนท่ี

x + y = 12 4x + 3y = −5
y = 3x x = y−3

x + 3y = −28 3x + 2 y = 27
y = −5x x= y+4

5x + 2 y = −1 3x + 5y = 14
2x − y = −13 x − 2 y = −10

FMB N

แบบทดสอบย่อยเกบ็ คะแนน 30 คะแนน

จงแกร้ ะบบสมกำรในแต่ละขอ้ ต่อไปน้โี ดยใชห้ ลกั กำรแทนท่ี

3x + 4 = −y 3x − 2 y = 19
2x + y = 0 x+ y =8

2x −5 = −y 3x − y = 5
x +3y = 0 y = 3x − 5

7x + 4 y = 13 4x − y = −3
x+ y =1 y = 4x +3

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จดั สมกำรทงั้ หมดใหอ้ ย่ใู นรปู Ax + By = C
เลอื กวำ่ จะกำจดั ตวั แปรใดใหห้ ำยไปก่อน
ทำใหส้ มั ประสทิ ธขิ์ องตวั แปรดงั กล่ำวใหเ้ ทำ่ กนั ทงั้ สองสมกำร
โดยนำตวั เลขใด ๆ มำคณู ทุกพจน์ของสมกำร ซง่ึ อำจจะคณู
เพยี งแคส่ มกำรเดยี วหรอื ทงั้ สองสมกำรกไ็ ด้
เมอ่ื ไดส้ มกำรทม่ี สี มั ประสทิ ธขิ ์ องตวั แปรเท่ำกนั แลว้ กน็ ำ
สมกำรดงั กลำ่ วมำบวกหรอื ลบกนั

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

แกส้ มกำรหำคำ่ ของตวั แปร
นำคำ่ ตวั แปรทไ่ี ดไ้ ปแทนในสมกำรใดกไ็ ด้
แกส้ มกำรหำคำ่ ตวั แปรทเ่ี หลอื
จะไดค้ ำตอบของระบบสมกำรทต่ี อ้ งกำร

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร x + y = 5

x− y =3

x+y = 5 1
x−y = 3 2

1+ 2 (x+ y) + (x− y) = 5 + 3

x+y+x−y = 8

2x = 8
x =8 =4
2

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร x + y = 5

x− y =3

แทน x = 4 ใน 1 x=4

x+y = 5
4 +y = 5

y = 5−4
=1

y =1

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้คี อื ค่อู นั ดบั (4,1)

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร x + 2y =1

x−2y =5

x+2y = 1 1
x−2y = 5 2
2x = 6
1+ 2

2x = 6
x =6
2
=3

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร x + 2y =1

x−2y =5

แทน x = 3 ใน 1 x=3
x+2y = 1

3 +2y = 1

2y = 1 − 3

2 y = −2

y = −2 = −1
2

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้ีคอื ค่อู นั ดบั (3, −1)

FMB N

แบบทดสอบย่อยเกบ็ คะแนน 30 คะแนน

จงแกร้ ะบบสมกำรในแต่ละขอ้ ต่อไปน้โี ดยใชห้ ลกั กำรแทนท่ี

x+ y = 2 2x + y = −15
2x − y = 5 −x − y = 10

3x − y = −12 6x − y =1
x+ y = 4 5y = 17 + 6x

2x + y = −5 y = 9−6x
x− y = 2 −6x + 3y = 15

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร x + 2y = 7

2x − y = 4

2 2 x+2y = 7 1
3 +1 2x − y = 4 2

2 (2x − y) = 2  4 3
1
4x − 2y = 8
x+2y = 7

5x = 15

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร x + 2y = 7

2x − y = 4

แทน x = 3 ใน 1 5x = 15
x = 15
5
=3

x+2y = 7
3+2y = 7

2y = 7 − 3
=4

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร x + 2y = 7

2x − y = 4

2y = 4
y =4

2
=2

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้คี อื ค่อู นั ดบั (3, 2)

FMB N

แบบทดสอบย่อยเกบ็ คะแนน 30 คะแนน

จงแกร้ ะบบสมกำรในแต่ละขอ้ ต่อไปน้โี ดยใชห้ ลกั กำรแทนท่ี

2x − y = 12 4x − 3y = −19
3x + 2 y = −3 2x + y = 13

x+ y =3 x + 4 y = 16
−3x + 2 y = −19 3x + 5y = 20

x + 3y = 19 2x + y = 8
2x − y = 10 5x − 2 y = −16

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร 2x + 3y = −15

5x + 2y =1

2x + 3y = −15 1
5x + 2y = 1 2
3
2 1 4x + 6 y = −30 4
3 2 15x + 6 y = 3

3−4 −11x = −33

−11x = −33

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร 2x + 3y = −15

5x + 2y =1

−11x = −33

x = −33
−11

=3

แทน x = 3 ใน 2 5x + 2y = 1

5( 3 ) + 2 y = 1

15 + 2 y = 1

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร 2x + 3y = −15

5x + 2y =1

15 + 2 y = 1

2 y = 1 − 15

2y = −14
y= −14
=
2
−7

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้ีคอื ค่อู นั ดบั (3, − 7)

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร 2x + 4y = 5

4x + 8y = −9

2 1 2x + 4y = 5 1
4x + 8y = −9 2
4x + 8y = 10 3

2−3 0 + 0 = −19

0 = −19

ดงั นัน้ ระบบสมกำรน้ี ไม่มีคาตอบ

FMBN

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร 3x − y = 4

−9x + 3y = −12

3 1 3x − y = 4 1
−9x + 3y = −12 2
3
9x − 3y = 12

2+3 0+ 0 = 0

0=0

ดงั นัน้ ระบบสมกำรน้ี มีหลายคาตอบ

FMB N

แบบทดสอบย่อยเกบ็ คะแนน 30 คะแนน

จงแกร้ ะบบสมกำรในแต่ละขอ้ ต่อไปน้โี ดยใชห้ ลกั กำรแทนท่ี

5x − 3y = −20 3x −15y = 0
−3x + 6 y = 12 6x +10 y = 0

4x + 3y = −28 x+ y =7
5x − 6 y = −35 x + y = −3

2x −8y = 0 −x +3y = 4
4x +5y = 0 −2x + 6 y = 8

FMBN

โจทย์สมการเชิงเส้นสองตวั แปร

ผลบวกของจำนวนสองจำนวนมคี ำ่ เท่ำกบั 5 ขณะท่ี
ผลต่ำงของสองจำนวนน้เี ทำ่ กบั 3 จงหำจำนวนทงั้ สอง

กำหนดตวั แปร

ให้ x แทน จำนวนทหี่ นงึ่
y แทน จำนวนทสี่ อง

สรำ้ งระบบสมกำร

x+y =5 1
x −y =3 2

F MB N

โจทย์สมการเชิงเส้นสองตวั แปร 1
2
แกร้ ะบบสมกำร

x+y =5

x −y =3

1+ 2 2x =8

2x = 8

x =8
2

x =4

FMBN

โจทย์สมการเชิงเส้ นสองตัวแปร

แกร้ ะบบสมกำร

แทน x = 4 ใน 1 x+y =5
4+y =5

y = 5−4

y =1

ดงั นัน้ จำนวนสองจำนวนน้คี อื 4 และ 1

FMBN

โจทย์สมการเชิงเส้ นสองตัวแปร

ถำ้ ครง่ึ หน่งึ ของผลบวกของจำนวนสองจำนวนเป็น 43

และสำมเท่ำของจำนวนน้อย มำกกวำ่ สองเท่ำของจำนวนมำกอยู่ 23

จงหำจำนวนสองจำนวนนนั้

กำหนดตวั แปร

ให้ x แทน จำนวนน้อย
y แทน จำนวนมำก

สรำ้ งระบบสมกำร

1 (x + y ) = 43 1
2 2

3x − 2 y = 23

F MB N

โจทย์สมการเชิงเส้นสองตวั แปร 1
2
แกร้ ะบบสมกำร
3
1 (x + y ) = 43 4
2 2

3x − 2 y = 23

2 3 1 (x + y ) = 43
4 +2 2

x + y = 86

2x + 2 y = 172
3x − 2 y = 23

5x = 195

FMB N

โจทย์สมการเชิงเส้นสองตวั แปร

แกร้ ะบบสมกำร

5x = 195 = 39
x = 195
5

แทน x = 39 ใน 3 x + y = 86
39 + y = 86
= 47
y = 86 − 39

ดงั นัน้ จำนวนสองจำนวนน้คี อื 39 และ 47

FMBN

โจทย์สมการเชิงเส้ นสองตัวแปร

อตั รำคำ่ เขำ้ ชมกำรแขง่ ขนั ฟุตบอลนกั พเิ ศษครงั้ หน่งึ เป็น
ดงั น้ี ผใู้ หญ่คนละ 200 บำท เดก็ คนละ 100 บำท ปรำกฏว่ำมผี เู้ ขำ้
ชมทงั้ หมด 10,000 คน และขำยบตั รเขำ้ ชมไดเ้ งนิ 1,260,800 บำท
อยำกทรำบวำ่ มผี ใู้ หญ่และเดก็ เขำ้ ชมกำรแขง่ ขนั ฟุตบอลครงั้ น้อี ยำ่ ง
ละกค่ี น

FM BN

โจทย์สมการเชิงเส้นสองตวั แปร 1
2
กำหนดตวั แปร
ให้ x แทน จำนวนเดก็
y แทน จำนวนผใู้ หญ่

สรำ้ งระบบสมกำร

x + y = 10, 000

100x + 200 y = 1, 260,800

โจทย์สมการเชิงเส้นสองตวั แปร FM BN

แกร้ ะบบสมกำร = 10, 000 1
= 1, 260,800 2
x+ y = 1, 000, 000 3
= 260,800
100x + 200 y = 260,800

100  1 100x + 100 y 100
= 2, 608
2−3 0 + 100 y

y

FMB N

โจทย์สมการเชิงเส้นสองตวั แปร

แกร้ ะบบสมกำร

แทน y = 2608 ใน 1

x + y = 10, 000

x + 2, 608 = 10, 000
x = 10, 000 − 2, 608

= 7,392

ดงั นัน้ จำนวนผเู้ ขำ้ ชมกำรแขง่ ขนั ฟุตบอลครงั้ น้มี ี
ผใู้ หญ่ 2,608 คน
เดก็ 7,392 คน

FMBN

โจทย์สมการเชิงเส้นสองตวั แปร

FMBN

โจทย์สมการเชิงเส้ นสองตัวแปร

เมอื ง ก และเมอื ง ข อยหู่ ำ่ งกนั 480 กโิ ลเมตร ประวทิ ย์

ขบั รถยนตจ์ ำกเมอื ง ก ไปเมอื ง ข สว่ นกำนดำขบั รถยนตจ์ ำกเมอื ง ข

ไปเมอื ง ก บนเสน้ ทำงเดยี วกนั ทงั้ สองออกเดนิ ทำงเวลำ 6.00 น.

พรอ้ มกนั เขำจะพบกนั เวลำ 9.00 น. โดยประวทิ ยข์ บั รถไดร้ ะยะทำง

มำกกว่ำกำนดำ 30 กโิ ลเมตร จงหำวำ่ แต่ละคนขบั รถดว้ ยอตั รำเรว็

เท่ำไร

x กม./ชม. 9.00 น. y กม./ชม.

ก 3 ชม. 480 กม. 3 ชม. ข

FMB N

โจทย์สมการเชิงเส้ นสองตัวแปร

กำหนดตวั แปร
ให้ x แทน อตั รำเรว็ ของประวทิ ย์
y แทน อตั รำเรว็ ของกำนดำ

สรำ้ งระบบสมกำร

3x + 3y = 480 1
3x − 3y = 30 2

F MB N

โจทย์สมการเชิงเส้นสองตวั แปร = 480 1
= 30 2
แกร้ ะบบสมกำร

3x + 3y

3x − 3y

1 +2 6x = 510

6x = 510
x = 510
6
= 85