44
4.11 การนาํ ความรเู ร่ืองทศนยิ มไปใชใ นการแกโจทยปญ หา
ตัวอยา งที่ 1 เหล็กเสน กลมขนาดเสนผานศนู ยก ลาง 1.75 เซนตเิ มตร ยาว 1 เมตร จะหนกั
3.862 กิโลกรัม ถา เหล็กเสนขนาดเดยี วกนั นยี้ าว 1.25 เมตร จะหนกั กก่ี ิโลกรัม
วธิ ีทาํ เหล็กเสน กลมมขี นาดเสนผานศนู ยกลาง 1.75 เซนติเมตร
และยาว 100 เซนตเิ มตร หนัก 3.862 กิโลกรัม
ถายาว 1 เซนตเิ มตร หนกั 3.862 0.03862 กโิ ลกรมั
100
ดงั นนั้ เหลก็ เสน ขนาดเดมิ แตย าว 125 เซนตเิ มตร หนกั 0.03862125
= 4.8275กโิ ลกรัม
เหลก็ เสนขนาดเดมิ ยาว 1.25 เมตร หนกั 4.8275 กโิ ลกรมั
ตัวอยางท่ี 2 รปู สเ่ี หลีย่ มผืนผารูปหน่ึงมีพื้นท่ี 11.3364 ตารางเซนตเิ มตร ถา ดา นยาวเทากับ 4.23
เซนติเมตร ดา นยาวยาวกวา ดา นกวางเทา ไร
วิธที ํา พนื้ ทส่ี เี่ หลี่ยมผนื ผา = กวาง × ยาว
11.3364 = กวา ง × 4.23
ดังน้นั กวา ง = 11.3364
= 4.23
ดา นยาวยาวกวา ดา นขาง =
2.68เซนติเมตร
=
ดา นยาวยาวกวา ดานกวา ง = 4.23 2.68
1.55เซนติเมตร
1.55เซนติเมตร
45
แบบฝก หดั ท่ี 10
1. ใหนักศกึ ษาแกป ญ หาโจทยตอ ไปน้ี
1) เชอื กยาว 17.25 เมตร นําอีกเสนหนึ่งยาว 5.2 เมตร มาผกู ตอกนั ทําใหเ สยี เชอื กตรงรอยตอ
0.15 เมตร นาํ เชือกท่ตี อแลว มาวางเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา ใหดานกวางยาวดา นละ 1.5 เมตร ดา นยาวจะ
ยาวดา นละกี่เมตร
.................................................................................................... ......................................................
............................................................................................................................................ ..............
.................................................................................................... ......................................................
………………………………………………………………………………………………………
2. นํ้าตาลถุงหน่งึ หนัก 9.35 กิโลกรัม จาํ นวน 16 ถงุ ใชท าํ ขนมเฉลี่ยแลววนั ละ 4.4 กิโลกรมั จะใช
นาํ้ ตาลไดท ง้ั หมดก่ีวัน
...........................................................................................................................................................
.................................................................................................... ......................................................
........................................................................................................................ ..................................
………………………………………………………………………………………………………
3. หองรูปสีเ่ หลีย่ มผนื ผา กวา ง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร นาํ กระเบื้องรูปสเ่ี หล่ยี มจตั รุ สั ขนาด 32 ตาราง
เซนติเมตร มาปหู องจะตอ งใชก ระเบื้องกี่แผน
.................................................................................................... ......................................................
.............................................................................................................................. ............................
.................................................................................................... ......................................................
………………………………………………………………………………………………………
4. มที องคาํ แทงหน่ึงหนกั 12.04 กรมั ซอ้ื เพิ่มอีก 25.22 กรัม แบง ขายไปสองครง้ั หนกั ครัง้ ละ 8.02
กรัม ท่ีเหลือนาํ ไปทาํ แหวน 5 วง หนกั วงละ 3.45 กรัมเทาๆ กัน จะเหลือทองอีกกี่กรัม
.................................................................................................... ......................................................
.................................................................................................... ......................................................
.................................................................................................... ......................................................
………………………………………………………………………………………………………
46
บทที่ 3
เลขยกกําลัง
สาระสาํ คญั
สัญลกั ษณข องการเขยี นแทนการคณู จาํ นวนเดยี วกันซ้ํา ๆ หลาย ๆ คร้งั เขียนแทนดว ย an อานวา a
ยกกาํ ลงั n และการเขียนแสดงจํานวนในรปู สัญกรณวทิ ยาศาสตรไ ด
ผลการเรยี นรูทคี่ าดหวัง
1. บอกความหมายและเขยี นเลขยกกําลงั ทม่ี เี ลขชก้ี าํ ลังเปน จาํ นวนเตม็ แทนจาํ นวนทีก่ าํ หนดใหไ ด
2. บอกและนาํ เลขยกกําลังมาใชใ นการเขยี นแสดงจาํ นวนในรปู สัญกรณว ทิ ยาศาสตรไ ด
3. อธบิ ายการคณู และหารของเลขยกกําลังท่ีมีฐานเดยี วกัน และเลขช้ีกาํ ลังเปนจาํ นวนเตม็ ได
ขอบขายเน้อื หา
เรอ่ื งที่ 1 ความหมายและการเขยี นเลขยกกําลงั
เร่ืองที่ 2 การเขยี นแสดงจาํ นวนในรปู สัญกรณว ิทยาศาสตร
เรอื่ งที่ 3 การคณู และการหารเลขยกกาํ ลงั ทม่ี ีฐานเดียวกนั และเลขชก้ี ําลังเปน จาํ นวนเตม็
47
เร่อื งที่ 1 ความหมายและการเขียนเลขยกกําลงั
เลขยกกาํ ลงั หมายถงึ การใชส ญั ลกั ษณ เขียนแทนจาํ นวนทเ่ี กดิ ขนึ้ จากการคูณ ซาํ้ ๆ กนั หลายๆ ครงั้
เชน 3333 สามารถเขยี นแทนไดด ว ย 34 อานวา สามยกกําลังส่ี ซง่ึ มบี ทนยิ าม ดงั นี้
บทนิยามถา a แทนจํานวนใด ๆ และ n แทนจํานวนเตม็ บวก “a ยกกาํ ลัง n” หรอื “a กาํ ลงั n”
เขยี นแทนดว ย an = aaa......a
n
เรยี ก an วาเลขยกกาํ ลังทมี่ ี a เปน ฐานและ n เปนเลขช้ีกําลงั เชน
45 แทน 4 × 4 × 4 × 4 × 4
45 มี 4 เปนฐาน และมี 5 เปนเลขช้ีกาํ ลงั
สัญลักษณ 45 อา นวา “ส่ยี กกาํ ลังหา ” หรอื “สี่กาํ ลังหา” หรือกําลังหาของสี่
26 แทน 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
26 มี 2 เปน ฐาน และมี 6 เปน เลขชีก้ ําลัง
ในทาํ นองเดยี วกนั สัญลักษณ 26 อานวา “ลบสองทงั้ หมดยกกาํ ลังหก” หรอื กําลงั หกของ
ลบสอง
จงพิจารณาตารางตอ ไปนี้
เลขยกกาํ ลงั ฐาน เลขชก้ี าํ ลงั เขียนในรูปของการคณู แทนจาํ นวน
27
33 3 3 333 1,024
4 5 44444 16
45 -2 4 (-2)(-2)(-2)(-2)
1
24 4
1 2 1 2 11 x x x...( y ครง้ั )
2 2
22
xy x
y x x x...( y ครัง้ )
ตัวอยาง จงตอบคําถามตอ ไปนี้ วธิ ีทํา 1. 83 อา นวา 8 ยกกําลัง 3
2. 103 มี 10 เปนฐาน
1. 83 อานวาอยา งไร 3. 115 มี 5 เปนเลขชก้ี าํ ลงั
2. 103 มจี าํ นวนใดเปน ฐาน
3. 115 มจี ํานวนใดเปน เลขชกี้ าํ ลัง 4. 5 3 มีความหมายเทากบั 5 55
4. 5 3 มีความหมายอยางไร 5. (-5)5 อานวา (-5) ลบหาทั้งหมดยกกาํ ลงั หา
5. 55 อานวาอยา งไร
48
แบบฝก หดั ที่ 1
1. จงเขียนจํานวนตอ ไปน้ีในรปู เลขยกกาํ ลงั ท่มี เี ลขชี้กาํ ลงั เปนจํานวนเต็มทมี่ ากกวา 1 พรอ มทง้ั บอกฐาน
และเลขชก้ี าํ ลงั
1.1 25 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปนเลขช้ีกาํ ลัง
1.2 64= ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปนเลขชี้กาํ ลงั
1.3 169= ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปน เลขชีก้ ําลัง
1.4 729 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปน เลขชี้กาํ ลัง
1.5 -32 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปน เลขชี้กําลัง
1.6 -243 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปน เลขช้กี าํ ลงั
1.7 0.125 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปน เลขชี้กําลัง
2. จงเขยี นจํานวนทีแ่ ทนดวยสญั ลักษณต อไปน้ี
2.1 28 =…………………………………=………………………………
2.2 34 =…………………………………=………………………………
2.3 0.35 =…………………………………=………………………………
2.4 0.02 6 =…………………………………=………………………………
2.5 1 3 =…………………………………=………………………………
3 =…………………………………=………………………………
=…………………………………=………………………………
2.6 2 3 =…………………………………=………………………………
7
2.7 54
2.8 23
2.9 1 5 =…………………………………=………………………………
=…………………………………=………………………………
10
2.10 0.56
49
เรื่องท่ี 2 การเขียนแสดงจาํ นวนในรูปสัญกรณวทิ ยาศาสตร
การเขียนจาํ นวนท่มี คี า มากๆ ใหอ ยใู นรูปสัญกรณว ทิ ยาศาสตร มีรปู ทั่วไปเปน A × 10n เมอื่ 1
A < 10 และ n เปน จาํ นวนเตม็
พจิ ารณาการเขียนจํานวนทม่ี คี า มาก ๆ ใหอ ยใู นรูปสัญกรณว ทิ ยาศาสตรตอไปน้ี
1. 2,000 = 2 × 1,000
= 2 × 103
2. 800,000 = 8 × 100,000
= 8 × 105
ตวั อยางที่ 1 จงเขียน 600,000,000 ใหอ ยใู นรูปสัญกรณวิทยาศาสตร
วิธีทาํ 600,000,000 = 6 × 100,000,000
= 6 × 108
ตอบ 6 ×108
ตัวอยางท่ี 2 จงเขียน 73,200,000 ใหอยูในรปู สญั กรณว ทิ ยาศาสตร
วธิ ีทํา 73,200,000 = 732 × 100,000
= 7.32 × 100 × 100,000
= 7.32 × 102 × 105
= 7.32 × 107
ตวั อยา งท่ี 3 ดาวเสารมเี สนผา นศนู ยก ลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร จงเขียนใหอยใู นรปู สัญกรณ
วิทยาศาสตร
วธิ ที ํา ดาวเสารมเี สนผา นศูนยก ลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร
113,000,000 = 113 × 1,000,000
= 113 × 100 × 1,000,000
= 1.13 × 102 × 106
= 1.13 × 108
ตอบ 1.13 × 108 เมตร
50
แบบฝก หดั ที่ 2
1. จงเขียนจาํ นวนตอไปนใ้ี นรูปสญั กรณว ิทยาศาสตร
1. 400,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
2. 23,000,000,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3. 639,000,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
4. 247,500,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
2. ดาวเสารอยูหา งจากดวงอาทิตยป ระมาณ1,430,000,000 กโิ ลเมตร จงเขยี นใหอ ยใู นรูปสญั กรณ
วทิ ยาศาสตร
1,430,000,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3. สัญกรณว ทิ ยาศาสตรในแตล ะขอ ตอ ไปน้แี ทนจาํ นวนใด
3.1 2 ×106 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3.2 4.8 × 1013 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3.3 4.03 × 109 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
51
3.4 9.125 × 105 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3. การคูณและการหารเลขยกกําลังทม่ี ฐี านเดยี วกัน และเปน เลขช้กี ําลงั เปนจาํ นวนเตม็
3.1 การคณู เลขยกกาํ ลงั เมอ่ื เลขชีก้ ําลังเปน จาํ นวนเต็ม
พิจารณาการคณู เลขยกกําลงั ที่มีฐานเปน จาํ นวนเดยี วกนั ตอไปน้ี
23 × 24 = 222 2222
= 2 × 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 2
= 2 7 หรือ 234
32 33 = 3 3 3 3 3
= 3 × 3 × 3 × 3 ×3
= 35 หรอื 323
1 3 1 2 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
=
3 3
= 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
= 1 5 หรอื 1 32
3 3
การคณู เลขยกกําลงั ที่มฐี านเปนจาํ นวนเดยี วกันและมีเลขชก้ี ําลงั เปนจํานวนเต็มบวกเปนไปตาม
สมบตั ขิ องการคณู เลขยกกําลงั ดงั น้ี
เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ m และ n แทนจาํ นวนเต็มบวก =am an amn
52
แบบฝกหดั ที่ 3
1. จงเขียนจาํ นวนท่ีแทนดว ยสญั ลกั ษณต อไปน้ี
1.1 25 26 =……………………………=…………………………………
1.2 25 32 =……………………………=…………………………………
1.3 2 33 =……………………………=…………………………………
1.4 0.75 2 =……………………………=…………………………………
1.5 12 32 =……………………………=…………………………………
=……………………………=…………………………………
3
1.6 3 23
1.7 2 3 5 4 =……………………………=…………………………………
=……………………………=…………………………………
5 2
1.8 1 6 7 5
7 2
1.9 0.53 1 4 =……………………………=…………………………………
=……………………………=…………………………………
2
1.10 112 113
2. จงเขียนผลคณู ของจํานวนในแตล ะขอ ตอ ไปนี้ในรูปเลขยกกําลัง
2.1 22 23 27 =……………………………=…………………………………
2.2 33 3 35 =……………………………=…………………………………
2.3 5 × 625 ×5 2 =……………………………=…………………………………
2.4 121 × 11 ×112 =……………………………=…………………………………
53
2.5 34 33 37 =……………………………=…………………………………
3.2 การหารเลขยกกําลงั เมอ่ื เลขช้ีกําลงั เปน จาํ นวนเต็ม
การหารเลขยกกําลงั ท่ีมีฐานเปนจาํ นวนเดยี วกันและฐานไมเ ทา กับศูนยมีเลขชก้ี าํ ลังเปนจาํ นวนเต็ม
บวกในรูปของ am an จะพิจารณาเปน 3 กรณี คือ เม่อื m > n ,m = n และ m < nดังน้ี
กรณีท่ี 1 am an เมอ่ื a แทนจํานวนใด ๆ ทไี่ มใ ชศนู ย m,n แทนจํานวนเตม็ บวก และ m > n
พจิ ารณาการหารเลขยกกําลังตอไปน้ี
1. 25 = 22222
22 22
= 222
= 23 หรอื 252
2. 3 7 = 3333333
35 3 3 3 3 3
= 3 2 หรอื 3 75
3. 58 = 5 5 5 5 5 5 5 5
53 5 5 5
= 5 5 5 5 5
= 55 หรอื 583
จากการหารเลขยกกําลังขางตน จะเห็นวา ผลหารเปน เลขยกกําลงั ท่ีมฐี านเปนจํานวนเดิมและเลขชี้
กําลงั เทากับเลขช้กี ําลงั ของตวั ตั้งลบดว ยเลขชีก้ าํ ลังของตวั หาร ซึง่ เปน ไปตามสมบตั ิของการหารเลขยก
กาํ ลังดังน้ี
เม่อื a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศนู ย m , n แทนจาํ นวนเตม็ บวก และ m > n
=a m a n a mn
=m n mn
54
ตวั อยา งท่ี 1 จงหาผลลัพธ 510 54 = 5104
วธิ ีทํา 510
= 56
54
ตอบ 56
ตวั อยา งท่ี 2 จงหาผลลพั ธ 0.26 0.23
วิธที าํ 0.26 = 0.263
0.23
= 0.23
= 0.20.20.2
= 0.008
ตอบ 0.008
กรณที ี่ 2 a m a n เม่อื a แทนจํานวนใด ๆ ทไี่ มใชศนู ย m , n แทนจํานวนเตม็ บวก และ m = n
พิจารณา 54 54
ถาใชบ ทนิยามของเลขยกกําลงั จะได 54 = 5 5 5 5
54 5555
=1
ถา ลองใชส มบัตขิ องการหารเลขยกกาํ ลัง a m a n = amn , a o ในกรณที ี่ m = n จะได
=5 4 544
54
= 50
แตจากการใชบ ทนยิ ามของเลขยกกาํ ลงั ดงั ที่แสดงไวข างตน เราไดวา 54 54 1
ดังน้ัน เพื่อใหสมบัตขิ องการหารเลขยกกาํ ลัง a m a n = amn ใชไดใ นกรณีท่ี m = n ดว ยจงึ
ตองให 50 1ในกรณที ่ัว ๆ ไปมบี ทนิยามของ a0 ดังน้ี
บทนิยาม เมือ่ a แทนจํานวนใด ๆ ท่ไี มใ ชศ ูนย a0 1
55
จะเห็นวา a m a n = amn , a o เปนจรงิ ในกรณที ี่ m = n ดวย
ตวั อยางที่ 1จงหาผลลัพธ 73 75 = 738
78 78
วิธีทํา 73 75 = 78
78 78
= 788
= 70
=1
ตอบ 1
กรณีท่ี 3 a m a n เมอ่ื a แทนจาํ นวนใด ๆ ทีไ่ มใ ชศ นู ย m , n แทนจาํ นวนเต็มบวก และ m <
nพจิ ารณา25 28 ถาใชบทนิยามของเลขยกกําลงั
จะได 25 = 2 2 2 2 2
28 2 2 2 2 2 2 2 2
=1
222
=1
23
ถา ลองใชส มบตั ิของการหารเลขยกกาํ ลัง a m a n = ,amn a 0 ในกรณีท่ี m < nจะได
25 = 2 58
2 3
28
=
แตจากการใชบทนยิ ามของเลขยกกําลังขางตน เราไดวา 25 28 = 1 ดังนนั้ เพอ่ื ใหส มบตั ขิ อง
23
การหารเลขยกกาํ ลงั a m a n = amn ใชไดใ นกรณีท่ี m < n ดว ยจึงตอ งให 23 1 ในกรณที วั่ ๆ
23
ไปมบี ทนิยามของ an ดงั นี้
บทนยิ าม เม่อื a แทนจํานวนใด ๆ ท่ไี มใชศ ูนยแ ละ n แทนจํานวนเต็มบวก
=an 1
an
56
ตวั อยา งที่ 1 จงหาผลลพั ธ 116 114 117 ในรูปเลขยกกาํ ลังท่มี ีเลขชกี้ าํ ลงั เปน บวก
1113 113 112
วิธที ํา 116 114 117 = 11647
1113 113 112 111332
= 1117
1118
=
= 1117 18
= 111
ตอบ 1 1
11
11
57
แบบฝกหดั ท่ี 4
1. จงหาผลลัพธ
1.1 29 22
1.2 36 3
1.3 113 116
1.4 1 4 1 2
5
5
1.5 0.035 0.034
1.6 0.85 4 7
5
1.7 53 54 57
1.8 76 7 74
1.9 132 134 135
1.10 m6 m7 m4 เมื่อ m 0
2. จงหาผลลพั ธต อ ไปนใี้ นรปู ที่มเี ลขช้กี ําลงั เปน จาํ นวนเตม็ บวก
2.1 53 54
2.2 38 36
32
2.3 46 4
2.4 26 21
20
2.5 1.52
1.53
2.6 x2 x5 เมือ่ x 0
2.7 a3 a a0 a5 เมื่อ a 0
2.8 m7 เมอ่ื m 0
m5
58
บทท่ี 4
อตั ราสวนและรอ ยละ
สาระสาํ คญั
1. อตั ราสว นเปนการเปรียบเทยี บปริมาณ 2 ปรมิ าณขนึ้ ไป จะมหี นว ยเหมอื นกัน หรือตางกนั กไ็ ด
2. รอยละเปนอตั ราสวนแสดงการเปรยี บเทียบปริมาณใดปรมิ าณหนง่ึ ตอ 100
ผลการเรยี นรูท ่คี าดหวงั
1. บอกและกําหนดอัตราสว นได
2. สามารถคาํ นวณสัดสว นได
3. สามารถหาคา รอยละได
4. สามารถแกโจทยปญ หาในสถานการณต างๆ เกีย่ วกับอัตราสวน สดั สว น และรอ ยละได
ขอบขายเน้อื หา
เรอ่ื งที่ 1 อัตราสว น
เรื่องที่ 2 สัดสว น
เรอ่ื งท่ี 3 รอยละ
เรอื่ งที่ 4 การแกโ จทยป ญหาเกย่ี วกบั อตั ราสว น สัดสวน และรอยละ
59
เรื่องที่ 1 อัตราสวน
อัตราสวน (Ratio) ใชเ ปรยี บเทยี บปริมาณ 2 ปรมิ าณหรือมากกวา ก็ได โดยทีป่ รมิ าณ 2 ปรมิ าณท่ี
นํามาเปรยี บเทยี บกนั นัน้ จะมหี นวยเหมือนกนั หรือตา งกนั ก็ได
บทนิยาม อตั ราสวนของปริมาณ a ตอ ปริมาณ b เขยี นแทนดวย a : b หรอื a
b
เรยี ก a วา จาํ นวนแรกหรอื จํานวนท่หี นงึ่ ของอัตราสว น
เรียก b วา จาํ นวนหลงั หรอื จํานวนทสี่ องของอัตราสว น
(อตั ราสว น a : b หรือ a อานวา a ตอ b )
b
การเขียนอัตราสวน มี 2 แบบ
1. ปริมาณ 2 ปรมิ าณมีหนว ยเหมอื นกนั
เชน โตะตวั หนงึ่ มีความกวาง 50 เซนตเิ มตร ยาว 120 เซนตเิ มตร
เขียนเปนอตั ราสวนไดว า
ความกวา งตอ ความยาวของโตะ เทา กับ 50 : 120
2. ปริมาณสองปรมิ าณมหี นว ยตางกัน
เชน นมเปรี้ยว 4 กลอง ราคา 23 บาท
เขยี นเปนอตั ราสวนไดว า
อตั ราสวนของนมเปรี้ยวเปนกลองตอ ราคาเปนบาท เปน 4 : 23
ตัวอยางเชน
ถาเปน ปรมิ าณที่มีหนว ยเหมอื นกนั อัตราสว นจะไมม ีหนวยเขียนกํากบั เชน
มานะหนกั 25 กิโลกรมั มานหี นกั 18 กิโลกรมั
จะกลา ววาอัตราสวนของน้าํ หนกั ของมานะตอมานเี ทากับ 25: 18 หรือ 25
18
ถา เปน ปริมาณท่ีมหี นว ยตางกนั อตั ราสว นจะตอ งเขียนหนวยแตล ะประเภทกาํ กับดว ย เชน
สดุ าสงู 160 เซนติเมตร หนกั 34 กโิ ลกรมั
อตั ราสวนความสงู ตอ นํ้าหนักของสุดา เทากับ 160 เซนติเมตร : 34 กโิ ลกรมั
60
แบบฝกหดั ท่ี 1
1. จงเขยี นอตั ราสวนจากขอความตอไปน้ี
1). ระยะทางในแผนท่ี 1 เซนตเิ มตร แทนระยะทางจริง 100 กโิ ลเมตร
……………………………………………………………………………………………...
2). รถยนตแลนไดระยะทาง 200 กิโลเมตร ในเวลา 3 ชั่วโมง
……………………………………………………………………………………………...
3). โรงเรียนแหงหนง่ึ มคี รู 40 คน นกั เรียน 1,000 คน
……………………………………………………………………………………………...
4). อัตราการเตน ของหวั ใจมนุษยเปน 72 คร้ังตอ นาที
……………………………………………………………………………………………...
2. สลากกนิ แบงรัฐบาลแตล ะงวดเปนเลข 6 หลัก เชน 889748 ซงึ่ มหี มายเลขตา งกนั ทงั้ หมด 1,000,000 ฉบบั
ในจาํ นวนทัง้ หมดนม้ี ีสลากทีถ่ กู รางวัลเลขทา ย 2 ตวั ทง้ั หมด 10,000 ฉบับ ถูกรางวัลเลขทาย 3 ตวั 4,000
ฉบบั และถูกรางวลั ท่ี 1 อกี 1 ฉบบั
จงเขยี นอัตราสวนแสดงการเปรยี บเทยี บจํานวนตอ ไปน้ี
1) จาํ นวนทถี่ กู รางวัลที่ 1 ตอ ทั้งหมด
……………………………………………………………………………………………...
2) จํานวนทถ่ี กู รางวลั เลขทา ย 3 ตวั ตอทั้งหมด
……………………………………………………………………………………………...
3) จาํ นวนท่ถี กู รางวลั เลขทา ย 2 ตวั ตอ ท้งั หมด
……………………………………………………………………………………………...
4) อตั ราสวนของสลากทถี่ กู รางวัลเลขทาย 2 ตวั ตอ เลขทา ย 3 ตัว
……………………………………………………………………………………………...
3. พอ คา จดั ลกู กวาดคละสขี นาดเทา กนั ลงในขวดโหลเดียวกัน โดยนับเปน ชดุ ดงั นี้ “ลูกกวาดสีแดง 3 เม็ด สี
เขยี ว 2 เม็ด สีเหลอื ง 5 เมด็ ” จงหา
1) อัตราสวนจํานวนลกู กวาดสีแดงตอ ลูกกวาดท้ังหมด
……………………………………………………………………………………………...
2) อตั ราสวนของจํานวนลกู กวาดสแี ดงตอลูกกวาดสีเหลือง
……………………………………………………………………………………………...
3) ถา สุมหยบิ ลกู กวาดขน้ึ มาจากโหลจาํ นวน 5 เมด็ นาจะไดล กู กวาดสใี ดมากทสี่ ุด เพราะเหตใุ ด
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
61
อัตราสวนท่ีเทา กัน
การหาอัตราสว นทเี่ ทา กบั อตั ราสวนทกี่ าํ หนดให ทําไดโ ดยการคณู หรือหารอัตราสว นทัง้ ตวั แรก
และตวั ทสี่ องดว ยจํานวนเดียวกนั ตามหลักการ ดงั นี้
หลกั การคณู เมอ่ื คูณแตละจาํ นวนในอัตราสว นใดดว ยจํานวนเดียวกนั โดยทจ่ี าํ นวนน้ันไมเ ทา กบั ศนู ย
จะไดอ ตั ราสวนใหมที่เทากบั อัตราสวนเดมิ
นน่ั คือ a a c a d เม่ือ c 0 และ d 0
b bc bd
หลกั การหาร เม่อื หารแตล ะจํานวนในอตั ราสว นใดดว ยจาํ นวนเดียวกนั โดยที่จาํ นวนนน้ั ไมเทา กับศูนย
จะไดอัตราสว นใหมเทา กบั อัตราสวนเดมิ
น่ันคอื a a c a d เม่อื c 0 และ d 0
b bc bd
ตวั อยาง
จงหาอตั ราสว นอีก 3 อตั ราสว นทเี่ ทากับอัตราสว นทก่ี าํ หนด
3
วธิ ที ํา 3:4 หรอื 4
3 3 4 12
4 4 4 16
3 3 9 27
4 4 9 36
3 311 33
4 411 44
ดังน้นั 1126 , 27 , 33 เปนอัตราสว นที่เทา กับอตั ราสว น 3 : 4
36 44
การตรวจสอบการเทา กันของอตั ราสว นใดๆ ทําไดโดยใชล กั ษณะการคูณไขวไ ดโ ดยใชว ิธดี งั นี้
เมอ่ื a , b, c และ d เปน จาํ นวนนับ
1) ถา a d b c แลว a c
bd
62
2) ถา a d b c แลว a c
bd
ตวั อยาง จงตรวจสอบวา อตั ราสวนในแตละขอตอ ไปนเ้ี ทา กันหรอื ไม
1) 3 และ 5
46
2) 26 และ 39
30 45
1) พจิ ารณาการคูณไขวข อง 3 และ 5
46
เน่อื งจาก 36 = 18
45 = 20
ดงั นน้ั 36 45
นั่นคือ 3 5
46
2) พิจารณาการคณู ไขวข อง 26 และ 39
30 45
เน่อื งจาก 2645 = 1,170
30 39 = 1,170
ดงั นัน้ 26 45 = 30 39
นัน่ คอื 26 = 39
30 45
แบบฝก หดั ที่ 2
1. ถา อตั ราการแลกเปล่ียนเงนิ ดอลลารต อ เงินหนึ่งบาทเทากบั 1 : 43 จงเติมราคาเงินในตาราง
2. จงเขยี นอตั ราสวนทเี่ ทากบั อัตราสว นทกี่ ําหนดใหตอ ไปนี้มาอกี 3 อัตราสว น
1) 2 = ..............................................................................................................................
3
2) 5 = ..............................................................................................................................
9
63
3. จงตรวจสอบวาอตั ราสวนตอไปนีเ้ ทากนั หรือไม
อตั ราสวนที่กําหนดไว พจิ ารณาการคณู ไขว ผลการตรวจสอบ
5 10 5 12 = 10 6 5 10
1) 6 กับ 12 เพราะ 60 = 60 6 = 12
3 5 4 4
2) 3 กับ 4 เพราะ 15 16 34
4 5 45
3) 6 กับ 7
8 9
12 18
4) 10 กบั 15
5) 0.3 กับ 6
10 200
4. จงทําใหอตั ราสวนตอไปน้มี ีหนว ยเดยี วกนั และอยูในรูปอยา งงา ย
ตัวอยาง อัตราสว นความกวา งตอความยาวของโตะ เปน 50 เซนตเิ มตร : 1.2 เมตร
มคี วามหมายเหมือนกบั
50 เซนตเิ มตร : 1.2 x 100 เซนติเมตร
ดังนนั้ อัตราสวนความกวา งตอความยาวของโตะ เปน 50 : 120 หรือ 5 : 12
1) อตั ราสว นของจํานวนวันทนี่ าย ก. ทาํ งาน ตอ ช่วั โมงทนี่ าย ข. ทํางาน เปน 2 วนั : 10 ช่วั โมง ดงั น้นั
อตั ราสว นเวลาท่ีนาย ก. ทาํ งาน ตอ เวลาทีน่ าย ข. ทาํ งานเปน
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
2) อตั ราสวนของระยะทางจากบา นไปตลาด ตอระยะทางจากบานไปโรงเรยี นเปน 200 เมตร : 1.5 กโิ ลเมตร
ดงั นั้น อตั ราสว นของระยะทางจากบา นไปตลาด ตอระยะทางจากบา นไปโรงเรยี นเปน
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
64
อัตราสวนตอ เนอ่ื ง(อตั ราสว นของจํานวนหลายๆจาํ นวน)
ในสถานการณจรงิ ทเ่ี ก่ียวกบั ชีวิตประจาํ วนั เรามักจะพบความสมั พันธของจํานวนหลาย ๆ จํานวน
เชน ขนมผิงบา นคณุ ยาย ใชส วนผสมดังน้ี
แปงขา วเจา 3 ถว ยตวง
นาํ้ กะทิเขมขน 1 ถว ยตวง
น้ําตาลมะพรา ว 1 ถวยตวง
2
นนั่ คือ อัตราสว นของจํานวนแปงขาวเจาตอ นาํ้ กะทิเปน 3 : 1 หรือ 6 : 2
อัตราสวนของจํานวนนํ้ากะทติ อนาํ้ ตาลมะพราวเปน 1 : 1 หรอื 2 : 1
2
อตั ราสว นของจาํ นวนแปง ขา วเจาตอนาํ้ ตาลมะพรา วเปน 3 : 1 หรือ 6 : 1 หรือเขียนในรูปอัตราสวน
2
ของจาํ นวนหลาย ๆ จํานวน ดงั นี้
อัตราสว นของแปงขา วเจา ตอ นํา้ กะทิ ตอ นาํ้ ตาลมะพราว เปน 3 : 1 : 1 หรือ 6 : 2 : 1
2
ตัวอยา ง หองเรยี นหอ งหนง่ึ มอี ัตราสวนของความกวางตอความยาวหอ งเปน 3 : 4 และความสงู ตอความยาว
ของหองเปน 1 : 2 จงหาอตั ราสวนของความกวา ง : ความยาว : ความสงู ของหอ ง
วิธีทาํ อัตราสวนความกวา ง : ความยาวของหอ ง เทา กับ 3 : 4
อตั ราสว นความสูง : ความยาวของหอ ง เทา กบั 1 : 2 หรอื 1 x 2 : 2 x 2
เทากับ 2 : 4
นั่นคอื อัตราสว นความกวางตอความยาว ตอความสูงของหอง
เทา กบั 3 : 4 : 2
65
แบบฝก หดั ท่ี 3
1. พอ แบง เงนิ ใหล ูกสามคนโดยกําหนด
อัตราสวนของจํานวนเงนิ ลกู คนโต ตอ คนกลาง ตอ คนเล็กเปน 5 : 3 : 2 จงหาอัตราสว นตอไปนี้
1) อัตราสวนจาํ นวนเงินท่ีลกู คนโตไดรบั ตอ ลูกคนเล็ก
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
2) อัตราสว นจาํ นวนเงนิ ท่ีลูกคนเลก็ ไดรบั ตอ ลกู คนกลาง
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
3) อัตราสวนจํานวนเงินทีล่ ูกคนกลางไดรบั ตอ เงนิ ท้งั หมด
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
4) อัตราสวนจํานวนเงินทล่ี ูกคนเลก็ ไดรับตอ เงินทั้งหมด
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
2. เศรษฐคี นหนึ่งไดเขยี นพินัยกรรมไวกอนจะเสียชวี ติ วา ถา ภรรยาทก่ี ําลังตงั้ ครรภคลอดลูกเปนชายใหแ บง
เงินในพนิ ัยกรรมเปน อัตราสวนเงนิ ของภรรยาตอบตุ รชายเปน 1 : 2 แตถ าคลอดลกู เปนหญิงใหแ บง เงนิ ใน
พนิ ัยกรรมเปนอตั ราสวนเงนิ ของภรรยาตอบุตรหญงิ เปน 2 : 1 เมื่อเศรษฐีคนนเี้ สยี ชีวิตลงปรากฏวา ภรรยา
คลอดลกู แฝด เปน ชาย 1 คน หญงิ 1 คน จงหาอัตราสวนของเงนิ ในพนิ ัยกรรมของภรรยาตอ บุตรชาย ตอ บตุ ร
หญงิ
.............................................................................................................................................................
.................................................................................................... ........................................................
...................................................................................................................... ......................................
.................................................................................................... ........................................................
.................................................................................................... ........................................................
............................................................................................................................................................
.................................................................................................... ........................................................
.................................................................................................... ........................................................
.............................................................................................. ..............................................................
.................................................................................................... ........................................................
...................................................................................................................................... ......................
66
เรื่องที่ 2 สดั สว น
สัดสวนเปน การเขียนแสดงการเทา กนั ของอตั ราสวนสองอตั ราสวน
เชน a : b = c : d หรือ a c อา นวา เอตอบี เทา กับซีตอ ดี
bd
ตัวอยา งที่ จงหาคาm ในสัดสว น 3 5
m 12
วิธที ่ี 1 3 5
m 12
3 5 3 (ทําเศษใหเทากบั 3 โดยคณู ดวย 3 )
5
m 12 3 5
5
3 3
m 7.2
ดังนนั้ m มีคา เทา กบั 7.2
วธิ ที ่ี 2 3 5
m 12
35 (คูณไขว)
m 12
3 12 m
5
ดังน้นั m= 7.2
แบบฝกหดั ท่ี 4
1. จงเขยี นสัดสว นจากอัตราสวนตอ ไปน้ี
1) 3 ตอ 4 เทา กบั 6 ตอ 8 ……………………………………………………..
2) A ตอ 7 เทากบั 9 ตอ 27 ……………………………………………………..
3) 12 ตอ 10 เทา กบั B ตอ 5 ……………………………………………………..
4) 5 ตอ 4 เทากบั 65 ตอ D ……………………………………………………..
2. จงหาคา ตัวแปรจากสดั สว นท่ีกาํ หนดใหต อ ไปน้ี
1) A 12
3 15
……………………………………………………..………………………………………………
2) 3 21
B 28
……………………………………………………..………………………………………………
67
การแกโ จทยป ญ หาโดยใชส ดั สวน
ในชีวติ ประจาํ วันเราจะพบสถานการณทตี่ องแกไ ขปญ หาโดยการใชหลักการคดิ คาํ นวณ เชน
กาํ หนดอัตราสวนของเครอื่ งดืม่ โกโกสําเร็จรปู 1 ถว ย ตอผงโกโก 2 ชอ นโตะ ตอนาํ้ ตาล
1 ชอนโตะ ตอนํ้าตมสกุ 1 ถว ย เทากบั 1 : 2 : 1 : 1
ถามผี งโกโกทงั้ หมด 30 ชอนโตะ
สมมติวา ชงเครอ่ื งด่ืมได A ถว ย ใชน ้ําตาล B ชอนโตะ ครมี เทยี ม C ชอ นโตะ และนาํ้ ตม สกุ D ถวย
ดังน้นั อัตราสวนของจํานวนถวยโกโกท ี่ชงไดต อ จํานวนผงโกโก เทากบั 1 ถวย ตอ 2 ชอ นโตะ หรอื
A ถว ย ตอ 30 ชอนโตะ
นั่นคือ 1 : 2 = A : 30
หรอื 1 =A
จะไดวา
2 30
1 x 30 = Ax2
A = 15
ดงั นั้น ผงโกโก 30 ชอนโตะ จะชงเคร่ืองดื่มได 15 ถวย
ตัวอยางซ้ือสมโอมา 3 ลูก ราคา 50 บาท ถามีเงิน 350 บาท จะซื้อสม โอในอตั ราเดิมไดก ี่ลูก
วิธที ํา สมมติ มีเงนิ 350 บาท ซอื้ สมโอได A ลกู
ราคาของสมโอ 50 บาท ซื้อได 3 ลูก
จะไดว า A 50 = 3 350
=
A 50 = 3 350
50 50
A 21
จะซ้ือสม โอได 21 ลกู
68
แบบฝก หดั ที่ 5
1. ขายมะละกอ 3 ผล ราคา 50 บาท ถา ขาย มะละกอ 15 ผล จะไดเงินเทาไร
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
2. กศน.แหง หนงึ่ มนี กั ศกึ ษาทงั้ หมด 400 คน มจี าํ นวนนกั ศกึ ษาหญิงตอ จาํ นวนนกั ศกึ ษาชาย
เปน 5: 3 จงหาวา มีนกั ศึกษาชายกค่ี นและนกั ศกึ ษาหญงิ กีค่ น
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
3. พอแบงมรดกใหล กู สองคน โดยอตั ราสว นของสว นแบงของลกู คนโตตอ สวนแบง ลูกคนเลก็
เปน 7: 3 ถา ลกู คนโตไดเ งนิ มากกวาลกู คนเลก็ 80,000 บาท จงหาสวนแบง ทแี่ ตละคนไดร บั
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
69
เรือ่ งท่ี 3 รอ ยละ
ในชีวติ ประจําวันผูเรยี นจะเหน็ วา เราเกี่ยวของกบั รอยละอยเู สมอ เชน การซอ้ื ขาย กําไร
ขาดทนุ การลดหรือการเพิม่ ท่คี ดิ เปน รอยละ การคิดภาษมี ลู คา เพิ่ม ฯลฯ
คําวา รอ ยละ หรือ เปอรเซ็นต เปนอตั ราสวนแสดงการเปรยี บเทยี บปริมาณใดปรมิ าณหน่ึง
ตอ 100 เชน
รอ ยละ 50 หรอื 50% เขยี นแทนดว ย 50:100 หรือ 50
100
รอยละ 7 หรือ 7% เขยี นแทนดว ย 7:100 หรือ 7
100
การเขยี นอัตราสว นใดใหอ ยใู นรูปรอ ยละ จะตอ งเขยี นอัตราสวนนัน้ ใหอ ยใู นรูปทม่ี ีจํานวนหลงั
อัตราสว นเปน 100 ดังตวั อยางตอไปนี้
4 80 80 %
5 100
0.2 2 20 20 %
10 100
การเขียนรอยละใหเ ปน อัตราสว นทาํ ไดโ ดยเขยี นอัตราสว นที่มจี ํานวนหลังเปน 100 ดงั ตวั อยาง
ตอ ไปนี้
33%= 33
100
25.75 % = 25.75 2575 103
100 10000 400
ตวั อยาง จงเขียน 3 ใหอ ยูใ นรปู รอยละ
7
วธิ ีทําวธิ ที ี่ 1 ทําใหอ ตั ราสว น 3 โดยมจี ํานวนหลงั ของอัตราสวนเปน 100
7
100 300
3
3= 7 =7
100
7 7 100
7
ดังนน้ั 3 คดิ เปน รอ ยละ 300 หรอื 300 %
7 77
วธิ ีที่ 2 สมมติ 3 = รอ ยละ A หรือ A
=
7 100
3 x 100 Ax7
A= 3100 300
77
70
การคํานวณเกย่ี วกบั รอ ยละ
ผเู รียนเคยคํานวณโจทยป ญ หาเกย่ี วกบั รอยละมาแลว โดยไมไดใ ชสดั สว นตอไปน้จี ะเปนการนําความรู
เรอ่ื งสัดสวนมาใชคํานวณเกยี่ วกับรอยละ ซ่งึ จะพบใน 3 ลกั ษณะ ดงั ตัวอยา งตอไปนี้
1. 25% ของ 60 เทากับเทา ไร หมายความวา ถามี 25 สวนใน 100 สว น แลว จะมกี ีส่ วน
ใน 60 สวน
ใหม ี a สวนใน 60 สว น
เขยี นสดั สว นไดด ังน้ี a 25
60 100
จะได a 100 60 25
ดังน้นั a 60 25
100
a 15
นน่ั คอื 25% ของ 60 คอื 15
2. 9 เปน ก่เี ปอรเ ซน็ ตของ 45 หมายความวา ถามี 9 สว นใน 45 สว น แลวจะมกี ่ีสวน
ใน 100 สว น
ให 9 เปน x% ของ 45
x% หมายถึง x
100
เขียนสดั สวนไดด งั น้ี 9 x
45 100
จะได 9100 45 x
x 9 100
45
ดงั นนั้ x 20
นนั่ คอื 9 เปน 20% ของ 45
3. 8 เปน 25% ของจํานวนใด หมายความวา ถา มี 25 สวนใน 100 สว น แลวจะมี 8 สว นในกี่
สว น
ให 8 เปน 25% ของ y
เขียนสัดสวนไดด ังนี้ 8 25
y 100
จะได 8100 y 25
ดังนน้ั y 8 100
25
y 32
น้นั คอื 8 เปน 25% ของ 32
71
แบบฝกหดั ที่ 6
1. จงแสดงวธิ หี าคําตอบ
1) 15% ของ 600 เทากบั เทาไร
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...………………
……………………………………………………………………………...………………………
……………………………………………………………………...
2) 120% ของ 40 เทากับเทาไร
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...………………
……………………………………………………………………………...………………………
……………………………………………………………………...
3) 28 คดิ เปนก่ีเปอรเซ็นต ของ 400
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...………………
……………………………………………………………………………...………………………
……………………………………………………………………...
4) 1.5 เปนกเ่ี ปอรเซน็ ตของ 6
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...………………
……………………………………………………………………………...………………………
……………………………………………………………………...
5) 180 เปน 30 % ของจํานวนใด
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...………………
……………………………………………………………………………...………………………
……………………………………………………………………...
6) 0.125 เปน 25% ของจาํ นวนใด
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...………………
……………………………………………………………………………...………………………
……………………………………………………………………...
72
เรื่องท่ี 4 การแกโจทยป ญหาเกยี่ วกบั อัตราสวน สดั สวน และรอยละ
ใหนักเรยี นพจิ ารณาตวั อยา งโจทยปญหาและวิธแี กปญ หาเกีย่ วกับรอยละ โดยใชสดั สว น หรือ
อตั ราสวน ตอ ไปนี้
ตวั อยา ง 1 ในหมบู า นแหง หนึง่ มีคนอาศัยอยู 1,200 คน 6% ของจํานวนคนทีอ่ าศัยอยใู นหมูบา นทํางานใน
โรงงานสบั ปะรดกระปอง จงหาจาํ นวนคนงานทีท่ าํ งานในโรงงานแหง น้ี
วิธีทํา
ใหจ ํานวนคนทที่ ํางานในโรงงานสบั ปะรดกระปอง เปน s คน
อตั ราสว นของจาํ นวนคนท่ีทํางานในโรงงานตอจาํ นวนคนท้งั หมด เปน s
1,200
อัตราสวนดังกลา วคิดเปน 6% 6
100
เขยี นสดั สวนไดดังน้ี s 6
1,200 100
จะได s 100 1,200 6
ดังน้ัน s 1,200 6
100
s 72
นั่นคือ จํานวนคนงานท่ที าํ งานในโรงงานสบั ปะรดกระปอ งเปน 72 คน
ตอบ 72 คน
ตวั อยางท่ี 2
โรงเรียนแหง หนง่ึ มีนกั เรยี น 1,800 คน นกั เรียนคนทห่ี นักเกิน 60 กโิ ลกรมั มอี ยู 81 คน จงหาวา
จาํ นวนนกั เรยี นท่หี นกั เกนิ 60 กิโลกรัม คดิ เปน กีเ่ ปอรเซน็ ตข องจาํ นวนนกั เรียนท้ังหมด
วิธที ํา
ใหจํานวนนกั เรยี นทหี่ นกั เกนิ 60 กิโลกรัม เปน n% ของจํานวนนกั เรียนทงั้ หมด
เขยี นสดั สว นไดด ังนี้ n 81
จะได 100 1,800
n1,800 10081
n 100 81
1,800
ดงั นน้ั n 4.5
นน่ั คอื จาํ นวนนกั เรยี นที่หนกั เกิน 60 กิโลกรมั คิดเปน 4.5% ของจาํ นวนนกั เรียนท้งั หมด
ตอบ 4.5 เปอรเซ็นต
73
แบบฝก หดั ท่ี 7
จงแสดงวธิ ีหาคําตอบ
1. นกั ศกึ ษา กศน. 500 คน สอบไดเกรด 4 จํานวน 25% ของทงั้ หมด จงหาจํานวนนกั ศกึ ษาที่สอบได
เกรด 4
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
2. โรงเรียนแหง หนึ่งมีนกั เรียน 2,000 คน เปนชาย 40% ของทงั้ หมด ในจาํ นวนน้มี าจากตา งจงั หวัด
รอ ยละ60 จงหา
1) จาํ นวนนักเรยี นหญิง
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
2) จาํ นวนนักเรยี นชายท่ีไมไดมาจากตา งจังหวดั ทงั้ หมด
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
3. รานคา แหงหนึ่งประกาศลดราคาสินคาทกุ ชนิด รอยละ 20 ถาคณุ แมซ อ้ื เครอื่ งแกว มาไดร ับสวนลด
250 บาท จงหาวารา นคาปดราคาขายผลติ ภัณฑนน้ั กอ นลดราคาเทา ไร
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
74
4. แผนผงั สนามหญา แหงหนึ่งกวา ง 5 เซนตเิ มตร ยาว 8 เซนตเิ มตร ใชม าตราสว น 1 เซนตเิ มตร : 50
เมตร จงหาวา สนามหญา แหง นม้ี ีพนื้ ท่ีเทา ไร
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
5. นกนอยฝากเงินไวก ับธนาคารเปนเวลา 2 ป อัตราดอกเบี้ยรอ ยละ 3 ตอ ป คิดดอกเบีย้ ทบตน ทุก 12
เดอื นและถูกหักภาษีดอกเบีย้ 15% ถา นกนอยฝากเงนิ ไว 10,000 บาท ครบ 2 ป จะมีเงนิ ในบญั ชี
เทาไร
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
6. วีระซือ้ รถยนตมาคนั หน่ึงราคา 200,000 บาท นําไปขายตอไดกําไรรอยละ 20 ตอ มาเอาเงนิ ทั้งหมด
ไปเลน หุนขาดทนุ รอยละ 20 วีระจะมีเงนิ เหลอื จากการเลนหนุ เทา ไร
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...………
……………………………………………………………………………………...
75
บทที่ 5
การวัด
สาระสําคญั
1. การวดั ความยาวพืน้ ท่ี ท่ีมีหนวยตา งกันสามารถนาํ มาเปรยี บเทียบกันได
2. เครอ่ื งมือการวดั ตอ งเลือกใชใ หเ หมาะสมกับสง่ิ ท่จี ะวดั
3. การคาดคะเนเกิดจากประสบการณข องผูสงั เกตเปนสําคัญ
ผลการเรียนรทู ค่ี าดหวงั
1. บอกการเปรยี บเทียบหนว ยความยาวพน้ื ที่ในระบบเดยี วกนั และตางระบบได
2. เลอื กใชห นว ยการวดั เกีย่ วกับความยาวและพื้นทไ่ี ดอ ยางเหมาะสม
3. แสดงการหาพนื้ ทขี่ องรปู เรขาคณติ ได
4. สามารถแกโจทยป ญหาเกย่ี วกับพน้ื ท่สี ถานการณตา ง ๆ ในชีวิตประจาํ วนั ได
5. อธิบายวธิ กี ารคาดคะเนและนําวธิ กี ารไปใชใ นการคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด นาํ้ หนกั
ขอบขา ยเนอ้ื หา
เรอ่ื งท่ี 1 การเปรียบเทยี บหนวยความยาวและพน้ื ที่
เรือ่ งที่ 2 การเลือกใชหนว ยการวัด ความยาวและพืน้ ท่ี
เร่อื งท่ี 3 การหาพ้นื ท่ีของรูปเรขาคณิต
เรื่องท่ี 4 การแกโจทยปญ หาเกย่ี วกับพน้ื ท่ีในสถานการณต า ง ๆ
เรื่องท่ี 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด น้ําหนกั
76
เร่ืองที่ 1 การเปรยี บเทียบหนว ยความยาวและพน้ื ที่
การวัด
การวดั เปนเรอื่ งทมี่ ีความสาํ คัญ และจาํ เปน ตอ ชวี ติ ประจาํ วนั อยางมากในทุกยุคทกุ สมยั ในแตล ะถิ่น
ฐานแตละประเทศ จะมหี นวยการวัดท่แี ตกตางกนั ออกไป และเมอ่ื โลกเจรญิ กา วหนา ทง้ั ดานเทคโนโลยีและ
การสือ่ สาร จงึ มีความจาํ เปน ทต่ี องมีความชดั เจนของการสอื่ สารความหมายเกี่ยวกบั ปรมิ าณของการวดั
หนว ยการวัด เพือ่ ใหเกิดความสะดวกในการนาํ มาเปรียบเทยี บ และเพ่อื ประโยชนในการใชง าน
โดยทวั่ ไปคนเรามกั จะคุนเคยกับการวดั หมายถงึ การชัง่ การตวง การวัดความยาว การจบั เวลา เปน
ตน ในความเปน จริงนั้นการวดั มหี ลายอยา งเชน
1. การวดั ความยาว มีหนว ยเปน มิลลิเมตร เซนตเิ มตร น้วิ ฟตุ เมตร กโิ ลเมตร
2. การวดั พ้นื ท่ี มีหนว ยเปน ตารางวา ตารางเมตร งาน ไร
3. การชั่ง มหี นว ยเปน กรัม ขดี ปอนด ตัน
4. การตวง มหี นวยเปน ลกู บาศกเ ซนติเมตร ลติ ร ถงั
5. การวดั อณุ หภูมิ มีหนว ยเปน องศาเซลเซยี ส องศาฟาเรนไฮต
6. การวดั เวลา มีหนว ยเปน วนิ าที นาที ชวั่ โมง วนั ป
7. การวดั ความเรว็ หรืออัตราเร็ว มหี นว ยเปน กิโลเมตร/ช่วั โมง
1.1 การเปรยี บเทยี บการวัดความยาว
หนวยการวดั ความยาวที่นิยมใชก นั ในประเทศไทย
หนว ยการวดั ความยาวในระบบองั กฤษ
12 น้ิว เทา กบั 1 ฟตุ
หลา
3 ฟุต เทา กบั 1 ไมล
1,760 หลา เทากับ 1
หนวยการวดั ความยาวในระบบเมตรกิ
10 มิลลเิ มตร เทา กบั 1 เซนติเมตร
เมตร
100 เซนตเิ มตร เทา กับ 1 กิโลเมตร
1,000 เมตร เทา กับ 1
หนวยการวดั ความยาวในมาตรไทย
12 นว้ิ เทากับ 1 คบื
ศอก
2 คบื เทากับ 1
77
4 ศอก เทากบั 1 วา
20 วา เทา กับ 1 เสน
400 เสน เทากบั 1 โยชน
กาํ หนดการเทียบ 1 วา เทากับ 2 เมตร
หนวยการวดั ความยาวในระบบองั กฤษเทยี บกับระบบเมตรกิ ( โดยประมาณ )
1 น้วิ เทา กบั 2.54 เซนตเิ มตร
1 หลา เทากับ 0.9144 เมตร
1 ไมล เทากับ 1.6093 กิโลเมตร
ตวั อยาง การเปรียบเทียบหนว ยการวดั ในระบบเดียวกนั และตางระบบกนั
1. สุดาสูง 160 เซนตเิ มตร อยากทราบวาสุดาสูงกเ่ี มตร
เนือ่ งจาก 100 เซนติเมตร เทากับ 1 เมตร และสดุ าสูง 160 เซนตเิ มตร
ดังนน้ั สุดาสงู 160 = 1.60 เมตร
100
2. ความกวางของรว้ั บา นดานติดถนนเปน 1.05 กิโลเมตร อยากทราบวาความกวา งของรัว้ บา นดาน
ตดิ กบั ถนนเปน ก่ีเมตร
เนอ่ื งจาก 1 กโิ ลเมตร เทากบั 1,000 เมตร และรว้ั บา นกวา ง 1.05 กโิ ลเมตร
ดังนนั้ ความกวา งของรว้ั บานเปน 1.05 x 1,000 = 1,050 เมตร
1.2 การเปรยี บเทยี บการวดั พนื้ ที่
หนว ยการวดั พ้นื ทที่ ี่สาํ คญั ที่ควรรจู กั
หนว ยการวดั พื้นทใี่ นระบบเมตริก
1 ตารางเซนติเมตร เทากับ 100 หรือ 102 ตารางมิลลเิ มตร
ตารางเซนติเมตร
1 ตารางเมตร เทา กับ 10,000 หรอื 104 ตารางเมตร
1 ตารางกิโลเมตร เทา กบั 1,000,000 หรอื 106 ตารางน้ิว
ตารางนว้ิ
1 ตารางฟุต หนว ยการวดั พื้นทใ่ี นระบบองั กฤษ
1 ตารางหลา เทา กบั 144 หรอื 122
1 เอเคอร เทากบั 9 หรอื 32
1 ตารางไมล เทา กับ 4, 840 ตารางหลา
หรือ 1 ตารางไมล เทากับ 640 เอเคอร
เทา กบั 1, 7602 ตารางหลา
78
100 ตารางวา หนวยการวดั พ้ืนทใี่ นมาตราไทย
4 งาน เทา กับ 1 งาน
หรือ 400 ตารางวา เทากับ 1 ไร
เทา กบั 1 ไร
หนว ยการวดั พ้นื ทใ่ี นมาตราไทยเทียบกบั ระบบเมตริก
1 ตารางวา เทากบั 4 ตารางเมตร
1
หรอื 1 งาน เทากับ 400 ตารางเมตร
1
ไร เทา กับ 1, 600 ตารางเมตร
ตารางกโิ ลเมตร เทากับ 625 ไร
หนวยการวดั พื้นทใ่ี นระบบองั กฤษกบั ระบบเมตริก ( โดยประมาณ )
1 ตารางนวิ้ เทากบั 6.4516 ตารางเซนตเิ มตร
1 ตารางฟตุ เทากับ 0.0929 ตารางเมตร
1 ตารางหลา เทา กับ 0.8361 ตารางเมตร
1 เอเคอร เทากับ 4046.856 ตารางเมตร ( 2. 529 ไร )
1 ตารางไมล เทา กับ 2.5899 ตารางกโิ ลเมตร
ตัวอยาง
1. ทีด่ นิ 12.5 ตารางกโิ ลเมตร คดิ เปน กี่ตารางเมตร
เนื่องจากพื้นท่ี 1 ตารางกโิ ลเมตร เทากับ 106 ตารางเมตร
ดงั นน้ั พืน้ ท่ี 12.5 ตารางกิโลเมตร เทา กบั 12.5 x 106
= 1.25 x 107 ตารางเมตร
ตอบ 1.25 x 107ตารางเมตร
2. พน้ื ทชี่ ั้นลา งของบานรปู สเี่ หลี่ยมผืนผา กวา ง 6 วา ยาว 12 วา ผูร ับเหมาปูพนื้ คดิ คา ปูพนื้ ตาราง
เมตรละ 37 บาท จะตองเสียคา ปพู น้ื เปนเงนิ เทาไร
พน้ื ทช่ี ้นั ลางของบานมคี วามกวา ง 6 วา
ความยาว 12 วา
ดงั นั้น พื้นที่ชนั้ ลา งของบา นมพี ้นื ท่เี ปน 6 x 12 = 72 ตารางวา
พื้นที่ 1 ตารางวา เทากับ 4 ตารางเมตร
ถาคดิ พ้นื ทีเ่ ปนตารางเมตร พ้นื ท่ีชนั้ ลา งของบา นมีพ้นื ทเ่ี ปน
72 x 4 = 288 ตารางเมตร
ดังนนั้ เสียคา ปพู นื้ เปนเงนิ 288 x 37 = 10, 656 บาท
ตอบ 10, 656 บาท
79
แบบฝกหดั ที่ 1
1. จงเตมิ หนว ยความยาวหรอื หนวยพนื้ ทีใ่ หเ หมาะสมกับขอ ความตอไปนี้
1) ไมอัดชนดิ บางมคี วามหนาแผนละ 4 .........................................................................................
2) สมุดปกออนมคี วามกวาง 16.5 .....................ยาว 24......................หนา 4 ................................
3) จังหวัดเชยี งใหมและจังหวดั เลยอยหู างกนั ประมาณ 1,600 ......................................................
4) สนามฟตุ บอลแหงหนึ่งมคี วามกวาง 45 …………… มีความยาว 90 ..................... และถา ว่งิ
รอบสนามแหงนีส้ ามรอบ จะไดร ะยะทาง 1 ...............................
5) แผน ดสิ กมคี วามกวาง 9 ................... ยาว 9.4 ........................... และหนา 3 .........................
6) กระดาษ A4 มพี ื้นทปี่ ระมาณ 630 .........................................
7) หอ งเรียนมีพ้นื ทีป่ ระมาณ 80 ................................................
9) การวดั ความยาวของทีด่ ินในประเทศไทยนยิ มใชห นวยเปน ................... หรอื ....................
และอาจบอกจํานวนพน้ื ทข่ี องทดี่ นิ ตามมาตราไทยเปน ..........................หรืออาจบอกโดยใช
มาตรเมตริกเปน ........................ ก็ได
10) แมน าํ้ โขงชว งจงั หวดั มุกดาหารมีความกวา งประมาณ 200 ............................
2. จงเตมิ คําลงในชอ งวา งทกี่ าํ หนดใหถ กู ตอ ง
1) พนื้ ที่ 1 ไร เทา กบั ..................................... ตารางเมตร
2) พนื้ ท่ี 17 ตารางเมตร คิดเปน พ้ืนที่ .................................. ตารางเซนตเิ มตร
3) ทดี่ ิน 3,119 ตารางวา เทา กับทดี่ ิน ............................... (ตอบเปน ไร งาน ตารางวา)
4) กระดาษแผนหน่งึ มีพืน้ ท่ี 720 ตารางนวิ้ กระดาษแผน นม้ี ีพ้นื ที่ ............................ ตารางฟตุ
5) พ้นื ที่ 2 ตารางกโิ ลเมตร คดิ เปน พ้นื ท่ี .................... ตารางเซนติเมตร (ตอบในรปู A10n
เมอื่ 1 A 10 และ n เปนจาํ นวนเตม็ )
6) สวนสาธารณะแหงหนึ่งมพี ื้นท่ี 5 ไร 2 งาน 22 ตารางวา แลว สวนสาธารณะแหงนจี้ ะมพี น้ื ที่
.................... ตารางวา
7) ทีน่ า 2,900,000 ตารางเมตร เทากบั ทน่ี า ................................ ตารางกโิ ลเมตร
8) โลหะแผนหนึ่งมพี ้นื ที่ 3 ตารางฟตุ โลหะแผน นจี้ ะมพี ื้นที่ ................... .. ตารางนิว้
9) พน้ื ท่ี 9.5 ตารางวา จะเทา กับ .......................... ตารางเมตร
10) ลงุ สอนมที ่ีดนิ อยู 2 งาน 68 ตารางวา คดิ เปน พนื้ ท่ี ..................... ตารางเมตร แลวถา ลุงสอน
ขายท่ีดินไป ตารางเมตรละ 875 บาท ลงุ สอนจะไดรบั เงิน ...................... บาท แสดงวา ท่ีดิน
ของลุงสอน ราคาไรล ะ......................... บาท
80
3. จงตอบคาํ ถามตอ ไปนี้ พรอมแสดงวิธีทํา
1) สวนแหง หน่งึ มพี ื้นท่ี 4,800 ตารางเมตร คดิ เปน พื้นทก่ี ไี่ ร
2) พ้ืนท่ี 25 ตารางฟุต คิดพนื้ ท่ีกต่ี ารางเซนติเมตร
3) ลงุ แดงแบงท่ดี นิ ใหล กู ชาย 3 คน โดยแบงใหล กู ชายคนโตได 2 ไร ลูกชายคนกลาง 850 ตารางวา
และลกู ชายคนเลก็ ได 3,000 ตารางเมตร อยากทราบวาใครไดส ว นแบง ที่ดนิ มากท่ีสุด
4) พืน้ ที่ 5,625 ไร คดิ เปน พ้นื ท่ี ก่ีตารางกโิ ลเมตร
5) สมเกียรติซือ้ โลหะแผนชนดิ หนง่ึ 3 ตารางเมตร ราคา 456 บาท สมนึกซอ้ื โลหะแผนชนิดเดยี วกัน
4 ตารางหลา ราคา 567บาท อยากทราบวา ใครซอ้ื ไดถกู กวา กัน ตารางเมตรละกบ่ี าท (กําหนด 1 หลา =90
เซนติเมตร)
เร่ืองท่ี 2 การเลือกใชหนวยการวดั ความยาวและพืน้ ที่
การวดั ความยาว หรือการวัดพน้ื ท่ี ควรเลอื กใชห นว ยการวดั ที่เปน มาตรฐาน และเหมาะสมกบั สิ่งท่ี
ตอ งการวดั เชน
- ความหนาของกระเบอื้ งหรือความหนาของกระจก ใชหนวยวัดเปน "มลิ ลเิ มตร"
- ความยาวของกระเปา หรอื ความสงู ของนักเรยี น ใชห นว ยวดั เปน "เซนตเิ มตร"
- ความยาวของถนน ความสงู ของตกึ ใชหนวยวัดเปน "เมตร"
- ระยะทางจากรุงเทพฯ ถงึ นครศรธี รรมราช ใชหนว ยวดั เปน "กิโลเมตร"
แบบฝก หดั ท่ี 2
1.จงเติมหนวยการวัดที่เหมาะสมลงในชองวา ง
1.ความยาวของรั้วโรงเรียน …………………………………
2.ความหนาของหนังสือ ………………………………….
3. ระยะทางจากกรุงเทพฯ ถงึ เชยี งใหม… …………………………..
4. น้าํ หนักของแตงโม …………………………………………..
5. เวลาทน่ี ักเรียนใชใ นการวง่ิ แขงในระยะทาง 100 เมตร……………………..
6. อณุ หภมู ิหอ ง .....................................
7. พ้นื ที่สวน ......................................
8. ปรมิ าณของนาํ้ 1 เหยือก ......................................
9. สวนสูงของนกั เรียน .....................................
10. นํ้าหนักของขา วสาร 1 ถงุ ....................................
81
เรอื่ งที่ 3การหาพน้ื ทขี่ องรปู เรขาคณิต
1. รปู สามเหลยี่ ม
รูปสามเหลยี่ ม คือ รูปปด ที่มดี านสามดา น มุมสามมมุ เมือ่ กาํ หนดใหดานใดดา นหนึ่งเปน ฐานของ
รูปสามเหล่ียม แลว มุมท่อี ยูตรงขามกับฐานจะเปน มุมยอด และถาลากเสน ตรงจากมมุ ยอดมาตงั้ ฉากกบั ฐาน
หรอื สวนตอ ของฐานจะเรยี กเสน ต้ังฉากวา สว นสงู
จากรูปสามเหล่ียม ABC ใหกาํ หนด BC เปน ฐาน
เรยี ก A วา มมุ ยอด
เรียก AD วา สว นสูง
จากรูปที่ 1 รปู ที่ 2 รูปท่ี 3 พืน้ ที่รูปส่เี หลีย่ มผืนผา ABCD แตล ะรปู เทา กับ 12 ตารางหนวย และพนื้ ท่ี
สามเหลย่ี มแตละรปู เทากับครึ่งหนึ่งของพน้ื ทรี่ ปู สี่เหลย่ี มผนื ผา
จากสูตร พนื้ ท่ีรูปส่เี หลยี่ มผนื ผา = ฐาน x สงู
ดังนน้ั พ้ืนทรี่ ูปสามเหล่ียม = 1 ฐาน สูง
2
82
ตวั อยาง รปู สามเหล่ยี มรปู หน่ึงพ้ืนท่ี 40 ตารางเซนติเมตร และมีฐานยาว 8 เซนติเมตร จะมคี วามสงู ก่ี
เซนติเมตร
วธิ ีทาํ ใหความสงู ของสามเหลยี่ ม h เซนติเมตร
สูตร พื้นที่ = 1 ฐาน สงู
2
40 = 1 8 h
2
40 2 h
8
10 = h
ดังนั้น ความสูงของสามเหลย่ี มเทากับ 10 เซนตเิ มตร
แบบฝก หดั ท่ี 3
1. จงหาพ้ืนทีส่ วนทแ่ี รเงาของรปู ตอ ไปนี้ ตวั เลขทเ่ี ขียนกาํ กับดา นไวถ อื เปนความยาวของดาน และมหี นว ย
เปน หนว ยความยาว
............................................................................. .................................................................
............................................................................ ..................................................................
............................................................................ ..................................................................
....................................................................... ....................................................................
........................................................................... ...................................................................
........................................................................... ...................................................................
..................................................................... .........................................................................
83
2. รูปสามเหลย่ี มหน่ึงรปู มีพืน้ ท่ี 90 ตารางเซนตเิ มตร มีฐานยาว 12 เซนตเิ มตร จะมีความสูง
กี่เซนตเิ มตร
.................................................................................................... ........................................................
.................................................................................................. ..........................................................
.................................................................................................... ........................................................
.......................................................................................................................................... ..................
.................................................................................................... ........................................................
.................................................................................................. ..........................................................
.................................................................................................... ........................................................
.......................................................................................................................................... ..................
.................................................................................................... ........................................................
3. สามเหลยี่ มมุมฉาก ABC มีมมุ BAC เปนมุมฉาก และกาํ หนดความยาวของดานดังรูป จงหาความยาวของ
ดาน A
.................................................................................................... ........................................................
.................................................................................................... ........................................................
.............................................................................................................................................................
.................................................................................................... ........................................................
................................................................................................................... .........................................
.................................................................................................... ........................................................
84
4. จงหาพ้ืนท่ีของสวนทแ่ี รเงาของไมฉ ากรปู สามเหลี่ยม ซ่งึ มีขนาดตามรูป (ความยาวทก่ี าํ หนดมหี นวยเปน
เซนติเมตร)
30
.................................................................................................... ........................................................
.................................................................................................. ..........................................................
.................................................................................................... ........................................................
.......................................................................................................................................... ..................
.................................................................................................... ........................................................
.................................................................................................... ........................................................
.............................................................................................................................................................
2. รูปส่ีเหลยี่ ม
2.1 พื้นท่ีของรูปสีเ่ หลยี่ มมมุ ฉาก
บทนยิ าม รูปสเ่ี หล่ยี มมมุ ฉาก คือ รปู ส่เี หลี่ยมทมี่ มี มุ แตล ะมมุ เปน มุมฉาก
รูปส่เี หลยี่ มมุมฉากมี 2 ชนิด คือ
ก) รูปสเ่ี หล่ยี มจัตรุ สั
เปนรูปสีเ่ หลย่ี มมมุ ฉากทม่ี ีดานทกุ ดา นยาวเทา กัน
ข) รปู ส่เี หล่ียมผืนผา
เปนรูปสเี่ หลย่ี มมุมฉากทีม่ ดี า นตรงขา มยาวเทา กนั
85
ถาแบงรปู สเ่ี หลยี่ มมุมฉากออกเปน ตาราง ๆ โดยแบง ดา นกวางและดานยาวออกเปน สว นๆ เทาๆ กัน แลว
ลากเสน เชอ่ื มจดุ แบงดงั รูป
จากรูปตารางเล็กๆ ทเ่ี กดิ จากแบง แตละรูป จะมคี วามกวา ง 1 หนว ย และยาว1 หนว ย คดิ เปน พน้ื ที่ 1
ตารางหนว ย
การหาพื้นของสเ่ี หลยี่ มมมุ ฉากรปู ที่ 1
สี่เหล่ยี มมุมฉากรูปที่ 1 มดี า นกวา ง 3 หนว ย ดา นยาว 3หนว ย เม่ือแบง แลวไดจ าํ นวนตาราง 9 ตาราง
หรือมีพ้ืนท่ี 9 ตารางหนวย
ส่เี หล่ียมมุมฉากรูปท่ี 2 มดี า นกวา ง 3 หนวย ดา นยาว 4 หนว ย เมอื่ แบง แลว ไดจ าํ นวนตาราง 12
ตาราง หรอื มีพ้นื ท่ี 12 ตารางหนว ย
การหาพ้ืนทีด่ งั กลาว สามารถคาํ นวณไดจ ากผลคณู ของดา นกวา งและดานยาว
นัน่ คอื พืน้ ทรี่ ปู สี่เหลย่ี มมุมฉาก = ดานกวาง x ดา นยาว
ในกรณีที่เปนรูปสี่เหลีย่ มจัตรุ ัส จะมดี า นกวา งเทากบั ดานยาว
น่นั คือ พ้นื ทรี่ ปู สีเ่ หลย่ี มมมุ ฉาก = ดา น x ดา น
หรือ พืน้ ท่ีรูปส่ีเหลย่ี มมุมฉาก = (ดา น)2
ตัวอยางจงหาพื้นทข่ี องรปู สเี่ หล่ยี มตอ ไปน้ี
วธิ ีทาํ 86
(ก) พ.ท. สีเ่ หลย่ี มผนื ผา = กวาง x ยาว
= 5x8 ตอบ
= 40 ตารางหนวย ตอบ
ดังนั้น พ้นื ทสี่ เี่ หลย่ี มผืนผา เทา กับ 40 ตารางหนว ย ตอบ
(ก) พ.ท. สเ่ี หลีย่ มผืนผา = ดานx ดาน
= 4x 4
= 16ตารางเซนตเิ มตร
ดังน้ัน พนื้ ทส่ี ี่เหลย่ี มผืนผา เทา กับ 16ตารางเซนตเิ มตร
(ก) พ.ท. สเ่ี หล่ยี มผนื ผา = (2x3) + (4x7)
= 6+28
= 34ตารางน้ิว
ดังนั้น พน้ื ท่ีสี่เหล่ียมผืนผา เทา กับ 34ตารางนิ้ว
2.2 พ้นื ท่ีของรปู ส่ีเหลี่ยมดา นขนาน
บทนยิ าม รปู สเ่ี หลยี่ มดานขนาน คือ รปู สีเ่ หลยี่ มทีม่ ดี านตรงขามขนานกนั สองคู
87
การหาพืน้ ทข่ี องรปู สี่เหลี่ยมดา นขนาน
ถารูปสเี่ หลย่ี มดา นขนาน ABCD กาํ หนด a แทนความยาวของดาน AB และ b แทนความสงู DE
จากรปู ท่ี 1 ลากเสนทแยงมมุ BD และลาก DE ใหต ัง้ ฉากกบั AB ดงั รปู ท่ี 2 เราสามารถใชพน้ื ท่ี
ของรปู สามเหลย่ี มหาสตู รพืน้ ท่ีของรปู สีเ่ หลยี่ มดา นขนาน ABCD ไดด ังน้ี
พ้นื ทข่ี อง ABCD เทากบั ผลบวกของพนื้ ท่ี ABD และพื้นที่ CDB
เน่อื งจาก พ้ืนท่ี ABD เทากบั พืน้ ท่ี CDB
ดังนั้น พ้ืนที่ ABCD = 2 เทาของพืน้ ที่ ABD
= 2 1 a b
2
สูตรพน้ื ที่ รูปสี่เหลีย่ มดา นขนาน = ความยาวของฐาน x ความสูง
รปู ส่ีเหลย่ี มดานขนานทม่ี ดี านทกุ ดานยาวเทากนั และมุมไมเ ปนมุมฉาก เรยี กวา รปู สี่เหล่ียมขนม
เปยกปูน
ในกรณีเปน รูปสเ่ี หลยี่ มขนมเปยกปูน ถาลากเสนทแยงมมุ แบงรปู ส่เี หลย่ี มออกเปนรปู สามเหลี่ยม
สองรปู และไดสตู รดงั น้ี
สูตรพน้ื ท่ี ขนมเปย กปูน = 1 ผลคูณของเสนทแยงมมุ
2
ตัวอยาง จงหาพืน้ ทขี่ องสเ่ี หลย่ี มดา นขนาน ABCD
วธิ ที ํา
88
รูปสเ่ี หลีย่ มดานขนาน = ฐาน สูง ตอบ
= AB AB
= 10 7 ตารางเซนติเมตร
ดังน้นั พืน้ ทสี่ ่เี หล่ยี มดา นขนาน ABCD = 70 ตารางเซนตเิ มตร
2.3 พืน้ ท่ีของรปู ส่เี หลี่ยมคางหมู
บทนิยาม รปู สี่เหลยี่ มคางหมู คอื รูปสเ่ี หลี่ยมท่ีมดี า นขนานกันหน่ึงคเู ทานั้น
รปู สี่เหล่ยี มทั้งสามรูป แตละรูปมีดา นขนานกันเพียง 1 คูเทา นนั้ รปู สามเหลี่ยมทงั้ สามรูปจึงเปน
สเ่ี หล่ียมคางหมู
รูปสเ่ี หล่ียมรูปที่ 2 มีดานท่ีไมขนานกัน 1 ดา น ตง้ั ฉากกบั ดา นคูขนาน เรยี กรูปสเี่ หลี่ยมคางหมนู ้ีวา
สี่เหลย่ี มคางหมมู มุ ฉาก
รปู สเ่ี หลี่ยมรปู ที่ 3 มดี า นทีไ่ มขนานกนั ยาวเทา กนั เรยี กรปู สเ่ี หลยี่ มคางหมูน้ีวา สี่เหลี่ยมคางหมหู นา
จั่ว
รปู สีเ่ หลยี่ มคางหมู ABCD มดี าน AB ขนานกับดา น CD ลาก CE ใหต ง้ั ฉากกบั AB และ
ลากเสน ทแยงมมุ AC ดงั รูปท่ี 2
กําหนด a แทนความยาวของดา น AB
b แทนความยาวของดานCD
c แทนความสงู
เราสามารถใชพ้นื ท่ีของรูปสามเหล่ยี มหาสตู รพ้นื ทีข่ องรปู ส่เี หลยี่ มคางหมู ABCD ไดด ังนี้
89
พน้ื ที่ ABCD เทา กบั ผลบวกของ พน้ื ท่ี ABC และพ้นื ท่ี ACD
จากพนื้ ท่ี ABC = 1ac
2
พน้ื ท่ี ACD = 1 bc
2
ดังนัน้ พ้นื ท่ี ABCE = 1 a e 1 b e = 1 c (a b)
2 2 2
สูตร พื้นที่ คางหมู = 1 สงู ผลบวกดานคขู นาน
2
ตัวอยา ง จงหาพ้ืนทข่ี องส่เี หลย่ี ม ABCD
วิธที ํา
พื้นทสี่ เ่ี หล่ียมคางหมู ABCD = 1 สูง ผลบวกดา นคูขนาน
2
= 1 DE AB DC
2
= 1 6 12 8
2
= 3 20 ตารางเซนติเมตร
ดังน้นั พนื้ ทส่ี ่เี หลี่ยมคางหมู ABCD = 60 ตารางเซนตเิ มตร
2.4 พ้นื ทีข่ องสี่เหล่ียมรปู วา ว
บทนิยาม รูปส่ีเหล่ยี มรูปวาว คือ รปู สีเ่ หลีย่ มท่มี ดี านประชดิ กนั ยาวเทา กนั สองคู
เมือ่ ลากเสน ทแยงมมุ ของรูปสเ่ี หล่ียมรูปวา ว จะพบวา เสน ทแยงมมุ ตัดกนั เปน มุมฉาก และแบงคร่งึ
ซ่งึ กนั และกนั
การหาพื้นทร่ี ูปสี่เหลีย่ มรูปวาว 90
รูปส่เี หล่ียมรูปวาว ABCD มี AB AD และ BC CD
กําหนด a แทนความยาวของเสนทแยงมมุ AC
b แทนความยาวของเสน ทแยงมมุ BD
เสนทแยงมุม AC และ BD ตดั กันท่ีจดุ E
ทําให DE ตัง้ ฉากกบั AC
BE ตั้งฉากกบั AC
เราสามารถใชพ ้นื ทร่ี ปู สามเหลีย่ มหาสูตรพื้นท่ีสี่เหลยี่ มรูปวาว ABCD ไดดงั น้ี
พน้ื ที่ ABCD เทา กบั ผลบวกของ พนื้ ท่ี ACD และพ้ืนที่ ABC
จาก ABC = 1 a 1 b
ADC = 2 2
ดังนนั้ พืน้ ท่ี ABCD =
พ้ืนที่ ABCD= 1 a 1 b
2 2
=
= 1 a 1 b 1 a 1 b
2 2 2 2
1 a 1 b 1 b
2 2 2
1 a b b
2 2 2
1 ab
2
สตู ร พ้ืนท่ีส่เี หลย่ี มรปู วาว = 1 ผลคูณของเสน ทแยงมมุ
2
91
ตัวอยาง จงหาพ้นื ที่รูปสีเ่ หลยี่ มรปู วาว ABCD ที่มี BD 10 เซนตเิ มตร และ AC 12เซนตเิ มตร
วธิ ที าํ
พ้นื ทร่ี ูปวาว = 1 ผลคูณของเสน ทแยงมมุ
2
= 1 AC BD
2
= 1 12 10 ตารางเซนตเิ มตร
2
ดงั นน้ั พ้ืนทร่ี ูปสีเ่ หล่ยี มรูปวา ว ABCD = 60 ตารางเซนตเิ มตร
2.5 พน้ื ทีข่ องรูปสเ่ี หลี่ยมใดๆ
รูปสเี่ หลยี่ มใดๆ เปนรูปสี่เหลี่ยมท่ีไมเขาลกั ษณะของรปู สเ่ี หลี่ยมขา งตน การหาพ้ืนที่อาจทาํ ไดโ ดย
ลากเสน ทแยงมุม แลว หาพ้ืนที่ของรปู สามเหลยี่ มทเ่ี กดิ ขน้ึ
จากรูปสเ่ี หลี่ยม ABCD เปนรูปส่เี หล่ียมใดๆ จากเสน ทแยงมุม AC
จากจดุ B ลากเสน BEใหตัง้ ฉากกับ AC
D ลากเสน DF ใหตัง้ ฉากกับ AC
ซง่ึ เสน BE และ DF เรยี กวา เสนก่งิ
พื้นท่ี ABCD เทากบั ผลบวกของ พนื้ ที่ ABCและพื้นท่ี ADC
จากพืน้ ท่ี ABC = 1 AC BE
2
พื้นท่ี ABD = 1 AC DF
2
ดงั น้ัน พื้นที่ ABCE = 1 AC BE 1 AC DF
2 2
= 1 AC BE DF
2
92
สูตร พ้ืนที่สเ่ี หลย่ี มใดๆ = 1 ความยาวของเสน ทแยงมมุ ผลบวกของความยาวของเสนก่งิ
2
ตวั อยา ง จงหาพน้ื ทขี่ องรปู สเี่ หลย่ี ม ABCD มี AC = 10 เซนตเิ มตร เสน ก่ิง DF = 7 เซนตเิ มตร และ EB =
5 เซนติเมตร
วธิ ที าํ
พื้นท่ี ABCD = 1 เสน ทแยงมมุ ผลบวกของความยาวของเสนก่ิง
2
= 1 AC BE DF
2
= 1 10 7 5ตารางเซนติเมตร
2
ดังน้นั พน้ื ที่ ABCD = 60 ตารางเซนตเิ มตร
แบบฝกหดั ท่ี 4
93