ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

y

6 (0, 5)

5 (1, 4) x y 3
4
(2, 3) (5, 2)
3 (3, 2)
2

1 (3, 0) (4, 1)
(5, 0)
x
2 11 0 12 34 5 6 7
2 (2, 1) x y 5

(1,  2)
3 (0,  3)

ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

2x  3y  4 x  3y  1
3x  y  5 y  4  2x

x  y 1 3 (x  y)  57
y 3 4
3x  y  40
0x  y  3

ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

x y 5 x 012345
x y 3 1 y 5x 5 4 3 2 1 0
2 y  x  3 3 2 1 0 1 2

y

6 (0, 5)

5 (1, 4) x y 3
4 (2, 3)
3 (3, 2) (5, 2)
2

1 (3, 0) (4, 1) (4, 1)
(5, 0)
x
2 11 0 12 34 5 6 7
2 (2, 1) x y 5

(1,  2)
3 (0,  3)

ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

ให้ a, b, d, e และ f เป็นจำนวนจรงิ ท่ี a, b ไมเ่ ป็น
ศนู ยพ์ รอ้ มกนั และ c, d ไมเ่ ป็นศนู ยพ์ รอ้ มกนั เรยี กระบบท่ี
ประกอบดว้ ยสมกำร

ax  by  e

cx  dy  f

วำ่ ระบบสมกำรเชงิ เสน้ สองตวั แปรทม่ี ี x และ y เป็นตวั แปร
a และ c เป็นสมั ประสทิ ธขิ ์ อง x
b และ d เป็นสมั ประสทิ ธขิ ์ อง y

ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

คำตอบของระบบสมกำรเชงิ เสน้ สองตวั แปร คอื คอู่ นั ดบั
(x, y) ทส่ี อดคลอ้ งกบั สมกำรทงั้ สองของระบบสมกำร หรอื

คอู่ นั ดบั (x, y) ทค่ี ำ่ x และคำ่ y ทำใหส้ มกำรทงั้
สองของระบบสมกำรเป็นจรงิ

ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

3x  y  3 1 x 0123
2x  y  2 y  3x  3 3 0 3 6

2 y  2  2x 2 0 2 4

y 3x  y  3

6

5
4

3 มเี พยี งคอู่ นั ดบั เดยี ว
2 x หรอื
1
มเี พยี งคำตอบเดยี ว
2 11 0 1 2 3 4 5 6 7
2

3

4 2x  y  2

ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

x2y 1 1 y
2x  4y  2 2

x y  x 1 y  2x  2 3
24
2 x2y 1
0 0.5 0.5 2x  4y  2

1

10 0 1 0 1 2 3 x
1
2 0.5 0.5

31 1 2

มหี ลำยคอู่ นั ดบั หรอื มหี ลำยคำตอบ

ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร y 3x  2y  6

3x  2y  6 1 8
2y  3x  3 2
7

6

5

x y  3x  6 y  3x  3 4
22
3 2y  3x  3
0 3 1.5
2

1 x
6 5 4 3 2 11 0 1 2 3 4 5 6
1 4.5 0
2

26 1.5 3

4

3 7.5 3 ไมม่ คี อู่ นั ดบั หรอื ไมม่ คี ำตอบ

ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

สำหรบั ระบบสมกำรเชงิ เสน้ สองตวั แปรใด ๆ

ax  by  e

cx  dy  f

คำตอบของระบบสมกำรคอื คอู่ นั ดบั (x, y) ทท่ี ำใหส้ มกำรทงั้
สองเป็นจรงิ ซง่ึ เป็นไปได้ 3 กรณคี อื

มเี พยี งคำตอบเดยี ว
มหี ลำยคำตอบ
ไมม่ คี ำตอบ

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการแทนที่

จดั สมกำรใดสมกำรหน่งึ ใหฝ้ ัง่ ซำ้ ยมเี พยี งตวั แปรหน่งึ ตวั
และสมั ประสทิ ธเิ์ป็นของมนั เป็น 1
นำตวั แปรทไ่ี ดไ้ ปแทนในอกี สมกำร
แกส้ มกำรเพอ่ื หำคำ่ ตวั แปร
นำตวั แปรทไ่ี ดไ้ ปแทนในสมกำรจำกขอ้ แรก
แกส้ มกำรเพอ่ื หำคำ่ ตวั แปร

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการแทนที ่

จงแกร้ ะบบสมกำร 3x  5y  26 1
2
y  2x

แทน y = 2x ในสมกำรท่ี 1

3x  5y  26

3x  5(2x )  26
3x  10x  26

13x  26
x  26
13
2

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการแทนที ่

จงแกร้ ะบบสมกำร 3x  5y  26 1
2
y  2x

แทน x  2 ในสมกำรท่ี 2

 2( 2 )

4

เนื่องจาก x2
y4

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้คี อื ค่อู นั ดบั (2, 4)

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการแทนที ่

จงแกร้ ะบบสมกำร 2x  5y  7 1
2
x  1 y
แทน x = -1 – y ในสมกำรท่ี 1

2x 5y  7

2( 1 y )  5y  7

2  2y  5y  7

2  3y  7

3y  7  2  9

y 9 3
3

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการแทนที่

จงแกร้ ะบบสมกำร 2x  5y  7 1

x  1 y 2

แทน y  3 ใน สมกำรท่ี 2

x  1 3
x  4

เน่ืองจาก x  4
y3

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้ีคอื ค่อู นั ดบั (4, 3)

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการแทนที ่

จงแกร้ ะบบสมกำร 2x  4  y 1
2
5x  3y  10
3
จำกสมกำรท่ี 1 จะได้ y  4  2x

5x  3y  10
5x  3( 4  2x )  10
5x 12  6x  10
2
x

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร การแทนที ่

จงแกร้ ะบบสมกำร 2x  4  y

5x  3y  10

y  4  2x

แทน x  2 ในสมกำรท่ี 3

y  4  2( 2 )

y  4 4  0

เน่ืองจาก x2
y0

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้คี อื ค่อู นั ดบั (2, 0)

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จดั สมกำรทงั้ หมดใหอ้ ย่ใู นรปู Ax  By  C
เลอื กวำ่ จะกำจดั ตวั แปรใดใหห้ ำยไปก่อน
ทำใหส้ มั ประสทิ ธขิ์ องตวั แปรดงั กลำ่ วใหเ้ ท่ำกนั ทงั้ สองสมกำร
โดยนำตวั เลขใด ๆ มำคณู ทุกพจน์ของสมกำร ซง่ึ อำจจะคณู
เพยี งแคส่ มกำรเดยี วหรอื ทงั้ สองสมกำรกไ็ ด้
เมอ่ื ไดส้ มกำรทม่ี สี มั ประสทิ ธขิ ์ องตวั แปรเท่ำกนั แลว้ กน็ ำ
สมกำรดงั กลำ่ วมำบวกหรอื ลบกนั

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

แกส้ มกำรหำคำ่ ของตวั แปร
นำคำ่ ตวั แปรทไ่ี ดไ้ ปแทนในสมกำรใดกไ็ ด้
แกส้ มกำรหำคำ่ ตวั แปรทเ่ี หลอื
จะไดค้ ำตอบของระบบสมกำรทต่ี อ้ งกำร

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร x  y  5

x y 3

xy  5 1
xy  3 2

1 2 x y  x y  5  3

xyxy  8

2x  8
x 8 4
2

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร x  y  5

x y 3

แทน x  4 ใน 1 x4

xy  5
4 y  5

y  5 4
1

y 1

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้คี อื ค่อู นั ดบั (4,1)

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร x  2y 1

x2y 5

x2y  1 1
x2y  5 2

1 2 2x  6

x 3

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร x  2y 1

x2y 5

แทน x  3 ใน 1 x  2y  1

3 2y  1
2y  1  3
2y  2
y  2  1
2

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้ีคอื ค่อู นั ดบั (3, 1)

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร x  2y  7

2x  y  4

2 2 x2y  7 1
2
2x  y  4 3
4x  2y  8

3 1 5x  15
x 3

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร x  2y  7

2x  y  4

แทน x  3 ใน 1 x2y  7
3  2y  7

2y  4
y 2

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้คี อื ค่อู นั ดบั (3, 2)

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร 2x  3y  15

5x  2y 1

2 1 2x  3y  15 1
3 2 5x  2y  1 2
4x  6y  30 3
34 15x  6 y  3 4

11x  33

x 3

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร 2x  3y  15

5x  2y 1

แทน x  3 ใน 2 5x  2y  1

5( 3 )  2y  1

15  2y  1
2y  14

y  7

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้คี อื ค่อู นั ดบั (3,  7)

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร 2x  4y  5

4x  8y  9

2 1 2x  4y  5 1
4x  8y  9 2
23 4x  8y  10 3

0  19

ดงั นัน้ ระบบสมกำรน้ี ไมม่ ีคาตอบ

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร 3x  y  4

9x  3y  12

3 1 3x  y  4 1
9x  3y  12 2
3
9x  3y  12

23 0 0

ดงั นัน้ ระบบสมกำรน้ี มีหลายคาตอบ

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมกำร 3x  y  4

9x  3y  12

3 1 3x  y  4 1
9x  3y  12 2
3
9x  3y  12

23 0 0

ดงั นัน้ ระบบสมกำรน้ี มีหลายคาตอบ

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร

ผลบวกของจำนวนสองจำนวนมคี ำ่ เท่ำกบั 5 ขณะท่ี
ผลต่ำงของสองจำนวนน้เี ท่ำกบั 3 จงหำจำนวนทงั้ สอง

กำหนดตวั แปร

ให้ x แทน จำนวนทหี่ นงึ่
y แทน จำนวนทสี่ อง

สรำ้ งระบบสมกำร

xy 5 1
xy 3 2

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร 1
2
ต่อ x  y  5

xy 3

1 2 2x  8

x 8
2

x 4

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร

ต่อ
แทน x  4 ใน 1 4  y  5

y  5 4
y 1

ดงั นัน้ จำนวนสองจำนวนน้คี อื 4 และ 1

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร

ถำ้ ครง่ึ หน่งึ ของผลบวกของจำนวนสองจำนวนเป็น 43

และสำมเทำ่ ของจำนวนน้อย มำกกว่ำสองเทำ่ ของจำนวนมำกอยู่ 23

จงหำจำนวนสองจำนวนนนั้

กำหนดตวั แปร

ให้ x แทน จำนวนน้อย
y แทน จำนวนมำก

สรำ้ งระบบสมกำร

1 (x  y )  43 1
2 2

3x  2y  23

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร

แกร้ ะบบสมกำร

1 (x  y )  43 1
2
2
3x  2y  23 3
4
2 1 x  y  86
2 3 2x  2y  172

4 2 5x  195

x  195
5

 39

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร

ต่อ

แทน x  39 ใน 3 x  y  86
39  y  86
 47
y  86  39

ดงั นัน้ จำนวนสองจำนวนน้คี อื 39 และ 47

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร

อตั รำคำ่ เขำ้ ชมกำรแขง่ ขนั ฟุตบอลนดั พเิ ศษครงั้ หน่งึ เป็น
ดงั น้ี ผใู้ หญ่คนละ 200 บำท เดก็ คนละ 100 บำท ปรำกฏว่ำมผี เู้ ขำ้
ชมทงั้ หมด 10,000 คน และขำยบตั รเขำ้ ชมไดเ้ งนิ 1,260,800 บำท
อยำกทรำบว่ำมผี ใู้ หญ่และเดก็ เขำ้ ชมกำรแขง่ ขนั ฟุตบอลครงั้ น้อี ยำ่ ง
ละกค่ี น

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร 1
2
กำหนดตวั แปร
ให้ x แทน จำนวนเดก็
y แทน จำนวนผใู้ หญ่

สรำ้ งระบบสมกำร

x  y  10, 000

100x  200y  1, 260,800

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร

ต่อ

x  y  10, 000 1
2
100x  200y  1, 260,800 3

100  1 100x  100 y  1, 000, 000

23 0  100 y  260,800

y  260,800
100

 2, 608

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร

ต่อ

แทน y  2608 ใน 1

x  y  10, 000

x  2, 608  10, 000

x  10, 000  2, 608

 7,392

ดงั นัน้ จำนวนผเู้ ขำ้ ชมกำรแขง่ ขนั ฟุตบอลครงั้ น้มี ี
ผใู้ หญ่ 2,608 คน
เดก็ 7,392 คน

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร

เมอื ง ก และเมอื ง ข อยหู่ ่ำงกนั 480 กโิ ลเมตร ประวทิ ย์

ขบั รถยนตจ์ ำกเมอื ง ก ไปเมอื ง ข สว่ นกำนดำขบั รถยนตจ์ ำกเมอื ง ข

ไปเมอื ง ก บนเสน้ ทำงเดยี วกนั ทงั้ สองออกเดนิ ทำงเวลำ 6.00 น.

พรอ้ มกนั เขำจะพบกนั เวลำ 9.00 น. โดยประวทิ ยข์ บั รถไดร้ ะยะทำง

มำกกว่ำกำนดำ 30 กโิ ลเมตร จงหำว่ำแต่ละคนขบั รถดว้ ยอตั รำเรว็

เทำ่ ไร

x กม./ชม. 9.00 น. y กม./ชม.

ก 3 ชม. 480 กม. 3 ชม. ข

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร

กำหนดตวั แปร
ให้ x แทน อตั รำเรว็ ของประวทิ ย์
y แทน อตั รำเรว็ ของกำนดำ

สรำ้ งระบบสมกำร

3x  3y  480 1
3x  3y  30 2

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร 1
2
ต่อ

3x  3y  480

3x  3y  30

1 2 6x  510
x  510
6
 85

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร

ต่อ

แทน x  85 ใน 1 3x  3y  480

3( 85 )  3y  480

255  3y  480
3y
y  480  255  225

 225  75
3

ดงั นัน้ ประวทิ ยข์ บั รถดว้ ยอตั รำเรว็ 85 กโิ ลเมตร/ชวั่ โมง
กำนดำขบั รถดว้ ยอตั รำเรว็ 75 กโิ ลเมตร/ชวั ่ โมง

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร
การประยุกตเ์ กี่ยวกบั กระแสลมและกระแสน้า

V V Vตามน้า = น้านงิ่ + กระแสนา้
V V Vทวนนา้ = น้านง่ิ - กระแสน้า

**s = vt

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร

การประยุกตเ์ ก่ียวกบั กระแสลมและกระแสน้า

เรอื ลำหน่งึ แล่นตำมกระแสน้ำไดร้ ะยะทำง 20 กม. ใน
เวลำ 50 นำที ถำ้ แล่นทวนน้ำจะไดร้ ะยะทำง 15 กม. ในเวลำ 45
นำที จงหำอตั รำเรว็ ของเรอื ในน้ำนิ่งและอตั รำเรว็ ของกระแสน้ำ

กำหนดตวั แปร
ให้ x แทน อตั รำเรว็ เรอื ในน้ำนงิ่ ( กม./ชม.)
y แทน อตั รำเรว็ ของกระแสน้ำ( กม./ชม.)

ดงั นนั้ อตั รำเรว็ เรอื ตำมน้ำ คอื x  y กม./ชม.
อตั รำเรว็ เรอื ทวนน้ำ คอื x  y กม./ชม.

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร

การประยุกตเ์ ก่ียวกบั กระแสลมและกระแสน้า

ต่อ สรำ้ งระบบสมกำร 50  5 ชม.
แล่นตำมน้ำไดร้ ะยะทำง 20 กม.ในเวลำ 50 นำท60ี 6

จะได้ 5  x  y  20 1 45 3 ชม.
6 นำ6ท0ี 4
15 กม.ในเวลำ 45
แล่นทวนน้ำไดร้ ะยะทำง

จะได้ 3  x  y 15 2
3
4 4

1  6 จะได้ x  y  24

5

2  4 จะได้ x  y  20

3

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร
การประยกุ ตเ์ กี่ยวกบั กระแสลมและกระแสน้า

ต่อ 3  4

2x  44
x  22

แทน x  22 ใน 3 22  y  24

y 2

ดงั นนั้ อตั รำเรว็ เรอื ในน้ำนงิ่ 22 กม./ชม.
อตั รำเรว็ ของกระแสน้ำ 2 กม./ชม.

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร
การประยกุ ตเ์ ก่ียวกบั กระแสลมและกระแสน้า

นกอนิ ทรบี นิ ตำมลมไดร้ ะยะทำง 300 กม. ในเวลำ 8 ชม.
ถำ้ บนิ ตำ้ นลมในเวลำ 7 ชม. จะบนิ ไดร้ ะยะทำงเพยี ง 1 ของ

3

ระยะทำงดงั กล่ำว จงหำอตั รำเรว็ ของนำอนิ ทรยี เ์ มอ่ื บนิ ต้ำนลม
( ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง )

อตั รำเรว็ ของนำอนิ ทรยี เ์ มอ่ื ลมสงบ ประมำณ 25.9 กม. / ชม.
อตั รำเรว็ ของลม ประมำณ 11.6 กม. / ชม.
อตั รำเรว็ ของนำอนิ ทรยี เ์ มอ่ื บนิ ตำ้ นลม ประมำณ 14.3 กม. / ชม.

โจทยส์ มการเชิงเสน้ สองตวั แปร

การประยุกตเ์ ก่ียวกบั กระแสลมและกระแสน้า

ในเวลำ 5 ชม. เครอ่ื งบนิ เลก็ ลำหน่งึ บนิ ตำมลมไดร้ ะยะทำง 4,000 กม.
ในเวลำ 5 ชม.บนิ ทวนลมไดร้ ะยะทำง 3,000 กม. จงหำอตั รำเรว็ ของ
เครอ่ื งบนิ เลก็ ลำน้เี มอ่ื ลมสงบและอตั รำเรว็ ของกระแสลม

อตั รำเรว็ ของเครอ่ื งบนิ เลก็ ลำน้เี มอ่ื ลมสงบคอื 700 กม./ชม.
และอตั รำเรว็ ของกระแสลม คอื 100 กม./ชม.