เล่ม 5 การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ค30201

เร่ือง ระบบจานวนจรงิ
ช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 4

เล่มท่ี 5 การแก้สมการพหุนามตวั แปรเดยี ว

นางนภัสนนั ท์ เท่ียงโยธา
ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ชานาญการพเิ ศษ

********************************************************************************

กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์
โรงเรยี นพยคั ฆภูมวิ ทิ ยาคาร อาเภอพยคั ฆภมู ิพิสยั
จงั หวดั มหาสารคาม สานกั งานเขตพ้นื ทก่ี ารศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต ๒๖

คานา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ระบบจานวนจรงิ ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 4 เลม่ น้ี จดั ทาขึ้น
เพ่อื ใช้เป็นสอ่ื ประกอบการเรียนวิชาคณติ ศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม รหัสวชิ า ค30201
ระดับชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 4 ใหเ้ ปน็ ไปตามหลักการและจุดม่งุ หมายของหลกั สตู ร โดยผ้จู ดั ทาได้
วเิ คราะห์ หลกั การ จดุ มงุ่ หมาย มาตรฐาน จุดประสงค์การเรียนร้ขู องหลกั สตู รแกนกลางการศึกษา
ขั้นพื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551 ตลอดจนศึกษาแนวคดิ จิตวิทยาและทฤษฎีท่ีเกีย่ วขอ้ งในการสรา้ ง
แบบฝึกทกั ษะใหม้ คี วามเหมาะสมสอดคลอ้ งกบั ความรู้ ความสามารถและความสนใจเพื่อนาไปใช้
ให้เกิดประโยชนส์ งู สุด แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ระบบจานวนจรงิ ที่ผูจ้ ดั ทาได้สรา้ งข้นึ นี้
มที ง้ั หมด 10 เล่ม ประกอบด้วย

เลม่ ท่ี 1 จานวนจรงิ และสมบตั ขิ องจานวนจรงิ
เลม่ ที่ 2 สมบตั ิของจานวนจริง
เลม่ ท่ี 3 ทฤษฎบี ทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์
เลม่ ท่ี 4 ทฤษฎีบทตวั ประกอบและทฤษฎีบทตัวประกอบจานวนตรรกยะ
เล่มท่ี 5 การแกส้ มการพหุนามตัวแปรเดยี ว
เลม่ ท่ี 6 สมบัติของการไมเ่ ท่ากันและการดาเนินการบนช่วง
เล่มที่ 7 ชว่ งและการแกอ้ สมการ 1
เลม่ ท่ี 8 ช่วงและการแก้อสมการ 2
เลม่ ท่ี 9 การแกส้ มการในรูปคา่ สมั บูรณ์
เลม่ ท่ี 10 การแก้อสมการในรูปคา่ สัมบรู ณ์

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ระบบจานวนจรงิ แตล่ ะเลม่ มีองค์ประกอบครบถว้ น อาทิ
ผลการเรียนรู้ สาระสาคัญ จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน
แบบฝกึ ทักษะพร้อมเฉลย แบบทดสอบหลงั เรียน และเฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น

ผูจ้ ดั ทาหวังเปน็ อย่างยิ่งวา่ แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์เลม่ น้ี จะเปน็ ประโยชนต์ ่อนักเรียนและ
ผสู้ นใจนาไปใชใ้ นการจดั กิจกรรมการเรียนการสอนในเร่ือง ระบบจานวนจรงิ เพราะจะทาให้เขา้ ใจ
เนอ้ื หามากขน้ึ และได้ฝึกปฏิบัติในด้านทักษะ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ไปพร้อมกัน

นภสั นันท์ เทย่ี งโยธา

สารบญั
เร่ือง หนา้
คาช้แี จง ........................................................................................................................... ก
วตั ถุประสงค์ของการใช้แบบฝึกทักษะ ............................................................................. ข
คาแนะนาการใช้แบบฝึกสาหรับนกั เรียน ......................................................................... ค
คาแนะนาการใช้แบบฝึกสาหรับครู ................................................................................. ง
ผลการเรียนรู้ / สาระสาคัญ / จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ ..…….………..….…….…………..…….. 1
แบบทดสอบกอ่ นเรียน เล่ม 5 ………………….……………………………..……………………..…. 2
แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 5 เรอ่ื ง การแก้สมการพหุนามตัวแประเดียว

ใบความรทู้ ่ี 1 เรื่อง การแก้สมการพหนุ าม ....................................................... 4
แบบฝกึ ทักษะท่ี 1 ............................................................................................... 6
แบบฝึกทกั ษะที่ 2 ............................................................................................... 7
ใบความรทู้ ่ี 2 เรอื่ ง การแก้สมการพหุนามโดยใช้ทฤษฎบี ทเศษเหลือ .............. 8
แบบฝึกทกั ษะที่ 3 ............................................................................................... 10
แบบฝึกทักษะท่ี 4 ............................................................................................... 12
ใบความรู้ที่ 3 เรอ่ื ง การแก้สมการพหุนามโดยใช้การหารสงั เคราะห์ .............. 14
แบบฝกึ ทักษะท่ี 5 ............................................................................................. 16
แบบฝกึ ทักษะท่ี 6 ............................................................................................... 18
แบบทดสอบหลังเรยี น เล่ม 5 ............................................................................ 20
เกณฑ์การให้คะแนน ........................................................................................................ 22
บรรณานุกรม ................................................................................................................... 25
ภาคผนวก ........................................................................................................................ 26

สารบญั (ต่อ)

เร่อื ง หน้า
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น เล่ม 5...................................................................... 27
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 1 ....................................................................................... 28
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2 ....................................................................................... 29
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 3 ....................................................................................... 30
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 4 ....................................................................................... 32
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 5 ....................................................................................... 34
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 6 ....................................................................................... 36
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน เลม่ 5 .................................................................... 38

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 5 เรอื่ ง การแกส้ มการพหุนามตัวแปรเดยี ว ก

คาชแ้ี จง

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ระบบจานวนจริง สาหรับผู้เรยี นระดับช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 4
แบง่ ออกเป็น 10 เลม่ แต่ละเลม่ มสี ว่ นประกอบ ดังนี้

1. คาชแ้ี จง
2. คาแนะนาในการใช้แบบฝึกทักษะของนกั เรยี น
3. คาแนะนาในการใชแ้ บบฝกึ ทักษะของครู
4. ผลการเรียนรู้ / สาระสาคญั / จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
5. แบบทดสอบกอ่ นเรยี น
6. ส่วนเนื้อหา
7. แบบฝึกทกั ษะ
8. แบบทดสอบหลงั เรยี น
9. เกณฑ์การให้คะแนน
10. บรรณานุกรม
11. เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน
12. เฉลยแบบฝึกทักษะ
13. เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ 5 เรื่อง การแกส้ มการพหุนามตวั แปรเดียว ข

วตั ถปุ ระสงค์ในการใชแ้ บบฝึกทกั ษะ

การใชแ้ บบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ระบบจานวนจริง ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4
มีวตั ถปุ ระสงค์ เพ่อื

1. ให้ผู้เรียนมีความรคู้ วามเข้าใจในเนอ้ื หา เร่ือง ระบบจานวนจริง จากการศกึ ษาตวั อย่าง
และทาแบบฝึกอย่างต่อเนื่อง

2. เพื่อพัฒนาทกั ษะการคิดอย่างเปน็ ระบบมรี ะเบยี บแบบแผนและการตัดสินใจใหด้ ียิ่งข้นึ
3. เพ่ือให้ผู้เรยี นมีวนิ ัย มคี วามรับผดิ ชอบ มุ่งมั่นในการทางาน มีความซื่อสัตย์ ตระหนักใน
คณุ คา่ และมเี จตคติท่ีดีตอ่ วิชาคณติ ศาสตร์
4. เพือ่ ให้ผู้เรยี นสามารถนาความร้ทู ี่ไดศ้ กึ ษา ไปปรับใชใ้ นชีวิตประจาวันได้

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 5 เรื่อง การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดยี ว ค
เทา่ กัน

คาแนะนาสาหรบั นักเรียน

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ระบบจานวนจริง ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4
เล่ม 5 เร่อื ง การแก้สมการพหนุ ามตัวแประเดยี ว นักเรียนควรปฏิบัติตามคาแนะนา ดังน้ี

1. ศกึ ษาจดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ สาระสาคัญ ให้เข้าใจ
2. ทาแบบทดสอบกอ่ นเรียน
3. ศกึ ษาทาความเข้าใจเนื้อหาจากใบความรู้
4. ทาแบบฝกึ ทักษะทกุ แบบฝกึ หากมีข้อสงสยั ใหป้ รึกษาเพอื่ น หรอื ครูผู้สอน
5. ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะตามเฉลยทา้ ยเล่ม และรว่ มกนั สรุปองค์ความรูโ้ ดยครคู อยแนะแนวทาง
และอธบิ ายเพิ่มเติม
6. ทาแบบทดสอบหลังเรียน เพื่อดูความก้าวหนา้ ในการเรียนของนักเรียน
7. นักเรียนต้องมีความซ่ือสัตยต์ ่อตนเอง เปน็ คุณธรรมสูงสดุ ในการใชแ้ บบฝึกทักษะ
8. นกั เรียนจะตอ้ งทาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ถกู ต้องร้อยละ 80 ข้ึนไป ของจานวนข้อสอบ
ทั้งหมดของแตล่ ะแบบฝึก จึงถือว่าผ่านเกณฑ์การประเมิน

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 5 เร่ือง การแกส้ มการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว
ง

คาแนะนาสาหรบั ครู

การใชแ้ บบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ระบบจานวนจรงิ ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 4
เลม่ 5 เร่อื ง การแกส้ มการพหนุ ามตัวแประเดยี ว ครูผู้สอนมบี ทบาทสาคัญที่จะชว่ ยใหก้ ารเรียนรู้ของ
นักเรยี นบรรลวุ ัตถุประสงค์ ครผู ้สู อนจงึ ควรศึกษารายละเอยี ดเกี่ยวกับการปฏบิ ตั ิตนกอ่ นที่จะใชแ้ บบฝึก
ทกั ษะ ดงั น้ี

1. ครูต้องศึกษาเน้ือหาของแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ใหเ้ ข้าใจเป็นอย่างดี เพ่อื เป็นการเตรยี มตวั
ในการสอน

2. ครูต้องช้แี จงให้นักเรยี นเข้าใจเกยี่ วกบั การใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เพอ่ื ใหน้ กั เรียนรู้
บทบาทและหน้าทข่ี องนักเรียนและตอ้ งชแ้ี จงปลกู ฝงั คุณธรรมดา้ นความซ่ือสัตย์ ด้านการรักษาสง่ิ ของ
ส่วนรวมอยา่ งเคร่งครัด โดยไม่ขีดเขียนหรือทาใหแ้ บบฝึกทักษะคณิตศาสตรฉ์ ีกขาด

3. ครูต้องใหน้ กั เรยี นทาแบบทดสอบก่อนเรียน เพื่อสารวจความรู้พืน้ ฐานของนักเรยี น
4. แจ้งจดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ให้นกั เรยี นทราบ
5. จัดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชแ้ บบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เลม่ นี้ควบคูก่ ับแผนการจดั การเรียนรู้
วชิ าคณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ค30201
6. หากนักเรียนมีข้อสงสัยในการใชแ้ บบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ ครตู ้องให้คาแนะนาแกน่ ักเรียนทนั ที
7. เม่ือนกั เรียนทาแบบฝกึ ทักษะเสรจ็ แล้ว ใหช้ ่วยกันตรวจคาตอบจากเฉลย และรว่ มกันสรปุ
องค์ความรู้ โดยครแู นะแนวทาง และอธิบายเพิม่ เติม
8. หลังการเรยี นจบแล้ว ตอ้ งใหน้ ักเรียนทาแบบทดสอบหลังเรยี น
9. ตรวจแบบทดสอบหลงั เรียน และบันทกึ ผลคะแนนลงในแบบบันทกึ คะแนน

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 5 เรือ่ ง การแกส้ มการพหนุ ามตวั แปรเดียว 1

ผลการเรยี นรู้
แกส้ มการและอสมการพหุนามตัวแปรเดียวดกี รีไมเ่ กนิ สี่ได้

สาระสาคัญ
สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว หมายถงึ สมการทอ่ี ยู่ในรูป
anxn  an1xn1  ...  a1x  a0  0

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
1. ด้านความรู้ (K)
- สามารถหาคาตอบของสมการพหนุ ามกาลัง n เม่ือ an 1 โดยใช้ทฤษฏีบท 5 ได้
- สามารถหาคาตอบของสมการพหนุ ามกาลัง n เมอ่ื an 1 โดยใช้ทฤษฏีบท 5 ได้
- สามารถหาคาตอบของสมการพหนุ ามกาลัง n เมอ่ื an 1 โดยใช้ทฤษฏีบทเศษเหลือ
และการหารสงั เคราะห์ได้
- สามารถหาคาตอบของสมการพหนุ ามกาลงั n เม่อื an 1 โดยใชท้ ฤษฏีบทเศษเหลือ
และการหารสังเคราะห์ได้
2. ดา้ นทกั ษะกระบวนการ (P)
- มีความสามารถในการใหเ้ หตผุ ล สือ่ สาร สอื่ ความหมายทางคณิตศาสตร์ การเชื่อมโยง
มคี วามคดิ สรา้ งสรรค์ และสามารถนาไปใชแ้ ก้ปัญหาได้
3. ดา้ นคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A)
- ซ่อื สัตยส์ จุ ริต
- มุง่ มัน่ ในการทางาน
- มีระเบียบวนิ ัย
- มีจิตสาธารณะ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 5 เรอื่ ง การแก้สมการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว
2

แบบทดสอบก่อนเรยี นเล่ม 5

คาชแ้ี จง ให้นักเรยี นเลอื กคาตอบท่ีถกู ต้องทีส่ ุดแลว้ ทาเคร่ืองหมาย × ลงในกระดาษคาตอบที่กาหนดให้

(5 นาท)ี
1. ขอ้ ใดเป็นผลบวกของคาตอบของสมการ x3  x2 12x  0

ก. 2

ข. 1

ค. 1

ง. 2

2. ขอ้ ใดเป็นผลบวกของคาตอบของสมการ x(3x 2)  ( x 2)2

ก. 3

ข. 2

ค. 1

ง. 2

3. {3,2,1} เป็นเซตคาตอบของสมการใดต่อไปน้ี
ก. x3  6x2  11x  6  0
ข. x3  6x2  11x  6  0
ค. x3  5x2  11x  6  0
ง. x3  5x2  13x  6  0

4. ข้อใดเปน็ ผลบวกของคาตอบของสมการ x3 7x  6  0

ก. 3

ข. 1

ค. 0

ง. 1

5. ข้อใดเปน็ เซตคาตอบของสมการ 6x3  11x2  6x  1  0

ก. { 1 , 1 , 1 } ข. { 1 , 1 , 1}
3 2 3 2

ค. { 1 , 1 , 1} ง. { 1 , 1 , 1}
2 3 3 2

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ 5 เร่อื ง การแก้สมการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว 3

6. ขอ้ ใดคือเซตคาตอบของสมการ 2x3 3x2 11x  6  0

ก. { 1 , 2 , 3 }
2
1
ข. {3 ,  2 , 2}

ค. {3 , 2 ,  1 }
2
1
ง. { 3 , 2 , 2}

7. ขอ้ ใดคือคาตอบของสมการ x2  4x  21  0

ก. x   7 หรอื x  3

ข. x  7 หรอื x  3

ค. x  3 หรือ x  7

ง. x  7 หรือ x  3

8. ข้อใดคือเซตคาตอบของสมการ 4x4  25x2  36  0

ก. {2 , 1 ,  1 , 1 }
2 2
3 3
ข. { 2 , 1 , 2 , 3}

ค. {2 ,  3 , 3 , 2}
2 2
3 3
ง. {2 ,  2 , 2 , 3}

9. ข้อใดคือเซตคาตอบของสมการ 2x4 10x2 8  0

ก. {2 , 1 , 0 , 2}

ข. {2 , 1 , 1 , 2}

ค. {2 , 1 , 2 , 3}

ง. {2 , 1 , 1 , 3}

10. ข้อใดคือเซตคาตอบของสมการ x3 x2  6x  0
ก. {3 , 0 , 1}
ข. {3 , 2 , 1}
ค. {2 , 0, 2}
ง. {2 , 0, 3}

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 5 เรื่อง การแกส้ มการพหุนามตวั แปรเดียว 4

ใบความร้ทู ่ี 1
เร่อื ง การแกส้ มการพหนุ าม

พหุนามตัวแปร x เขียนในรูป anxn  an1xn1  ... a1x  a0  0 เมือ่ n เปน็ จานวนเตม็
บวก และ an , an-1 , … , a1 , a0 เป็นสัมประสทิ ธิข์ องพหุนามทเ่ี ป็นจานวนจริงโดยท่ี ถ้า an  0 จะ
เรียก
พหุนามน้วี ่า พหนุ ามดีกรี n

สญั ลักษณท์ ี่ใช้ p(x) แทนพหุนามที่อยู่ในรูปดังกลา่ ว และใช้ p(a) เปน็ คา่ ทไ่ี ดจ้ ากการแทน x
ในพหุนาม p(x) ดว้ ย a เช่น

ให้ p(x)  x3 4x2  3x  2
p(1)  คอื ค่าท่ีไดจ้ ากการแทนที่ x ใน p(x) ดว้ ย 1

ดังนนั้ p(1)  13 4(1)2 3(1)2
0

ทานองเดียวกัน p(2)  (2)3  4(2)2  3(2)  2

 28

สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ anxn  an1xn1  ... a1x  a0  0 และสามารถหาคาตอบ
ของสมการได้ โดยใชก้ ารแยกตวั ประกอบและอาศยั ทฤษฎีบท 5 ทีว่ า่ ผลคณู ของจานวนจริงสองจานวนเป็น
ศูนย์ แล้วจานวนจริงจานวนใดจานวนหนึง่ หรือทง้ั สองจานวนต้องเปน็ ศูนย์ ดงั แสดงในตัวอยา่ งต่อไปน้ี

(แสดงการคดิ แกป้ ัญหาตามขั้นตอนวธิ ขี องโพลยา)

ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคาตอบของสมการ 3x3  2x2 12x  8 (ข้นั ที่ 1)
วธิ ีทา จาก 3x3  2x2 12x  8 (ข้นั ที่ 2)
จะได้ 3x3  2x2 12x - 8  0 (ขนั้ ท่ี 3)

ดงั น้นั (3x2  2x2)  (12x  8)  0 (ขั้นที่ 4)

x2(3x 2)4(3x2)  0

(3x  2)(x 2)(x  2)  0

จะได้ 3x  2  0 หรือ x 2  0 หรือ x  2  0

หรอื x   2 หรอื x  2 หรอื x  2
3
2
 เซตคาตอบของสมการ คือ {  2 ,  3 , 2}

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 5 เร่ือง การแก้สมการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว
5

โดยทวั่ ไปในการแกส้ มการเม่ือไดเ้ ซตคาตอบแลว้ ควรจะตรวจคาตอบเสมอ ในกรณีแกส้ มการทาได้โดย

การแทนตวั แปรในสมการดว้ ยคาตอบ ซงึ่ สว่ นใหญจ่ ะไม่บงั คบั ว่าต้องเขยี นแสดงการตรวจคาตอบไว้ในการ

แสดงวธิ ีหาคาตอบ แตเ่ พ่ือใหเ้ กิดความมน่ั ใจจึงตรวจคาตอบก่อนทุกครงั้

ตัวยา่ งท่ี 2 จงหาเซตคาตอบของสมการ 2x3  3x2 18x  27  0

วิธที า จาก 2x3  3x2 18x  27  0 (ขัน้ ท่ี 1)

จะไดว้ ่า (2x3 3x2)  (18x 27)  0 (ข้นั ที่ 2)
x2(2x 3) 9(2x 3)  0 (ขั้นท่ี 3)

(x2 9)(2x3)  0

(x 3)(x  3)(2x3)  0

ดงั น้ัน 2x 3  0 หรอื x 3  0 หรือ x  3  0
หรือ x  3
หรอื x  3 หรอื x  3
2
3
 เซตคาตอบของสมการ คือ {  3 , 2 , 3} (ขน้ั ที่ 4)

วธิ ีการแก้สมการพหุนามขา้ งต้น ใช้ได้ในกรณีทีส่ ามารถจดั พจน์
ของพหนุ ามแล้วอาศยั สมบตั ิของจานวนจรงิ เพื่อแยกตัวประกอบ นอกจาก
วิธนี ีแ้ ล้วสามารถอาศยั ทฤษฎีบทเศษเหลือและการหารสังเคราะหช์ ว่ ย
ในการแยกตัวประกอบ ซ่งึ จะได้กลา่ วในลาดับถัดไป

.

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 5 เรอ่ื ง การแก้สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว
6

แบบฝึกทกั ษะท่ี 1

คาชแ้ี จง ใหแ้ สดงวิธหี าคาตอบ (ข้อละ 5 คะแนน) (ขั้นท่ี 1)
(แสดงการคดิ แกป้ ัญหาตามขั้นตอนวิธขี องโพลยา) (ข้ันท่ี 2)
(ขัน้ ที่ 3)
1. จงหาเซตคาตอบของสมการ x3  3x2 2x 6  0
วิธีทา จาก ________________________  0 (ขั้นท่ี 4)
ดังนน้ั ________________________  0 (ขัน้ ที่ 1)
________________________  0 (ขน้ั ที่ 2)
________________________  0 (ขั้นท่ี 3)
________________________  0
จะได้ _________________________________________________ (ข้ันท่ี 4)
หรือ _________________________________________________
 เซตคาตอบของสมการ คือ ______________________________

2. จงหาเซตคาตอบของสมการ y3  2y2  9y 18  0
วิธีทา จาก _________________________  0

ดังนัน้ _________________________  0
_________________________  0
_________________________  0
_________________________  0

จะได้ ________________________________________________
หรือ ________________________________________________
 เซตคาตอบของสมการ คือ ______________________________

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ 5 เรื่อง การแกส้ มการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว 7

แบบฝึกทกั ษะที่ 2

คาช้แี จง ให้หาเซตคาตอบของสมการ (ข้อละ 5 คะแนน)

(แสดงการคิดแก้ปัญหาตามขั้นตอนวธิ ขี องโพลยา)

1. จงหาเซตคาตอบของสมการ 4x3 3x2 64x  48

วธิ ีทา จาก ________________________ (ขัน้ ท่ี 1)
(ขั้นท่ี 2)
ดังนนั้ ________________________  0 (ขั้นที่ 3)

________________________  0 (ขั้นท่ี 4)
(ขน้ั ที่ 1)
________________________  0 (ขน้ั ที่ 2)
(ขั้นที่ 3)
________________________  0
(ขน้ั ที่ 4)
________________________  0

จะได้ ________________________________________________

หรอื ________________________________________________

 เซตคาตอบของสมการ คือ _____________________________

2. จงหาเซตคาตอบของ 4x3  27 12x2  9x  0

วธิ ที า จาก ______________________  0

ดงั นนั้ ______________________  0

______________________  0

______________________  0

______________________  0

______________________  0

จะได้ ________________________________________________

หรอื _________________________________________________

 เซตคาตอบของสมการ คือ _____________________________

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 5 เรอ่ื ง การแก้สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว 8

ใบความรู้ท่ี 2
การแก้สมการพหุนามโดยใช้ทฤษฏีบทเศษเหลือ

การแก้สมการพหุนามโดยใช้ทฤษฏบี ทเศษเหลอื เมือ่ an  1 (ขน้ั ท่ี 1)
(แสดงการคิดแกป้ ัญหาตามข้ันตอนวธิ ขี องโพลยา) (ข้นั ที่ 2)
ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคาตอบของสมการ x3  6x2 x  30  0 (ข้นั ท่ี 3)
วิธีทา ให้ p(x)  x3  6x2  x  30
(ขั้นท่ี 4)
จานวนท่ีหาร 30 ลงตวั คอื 1 ,  2 ,  3 ,  5 ,  6 , 10 , 15 ,  30
พิจารณา p(2)  (2)3  6(2)2 (2)  30

 8  24  2  30

0
จะได้ x  2 เป็นตวั ประกอบของ x3  6x2 x  30  0
นา x  2 ไปหาร x3  6x2  x  30 ไดผ้ ลหารคือ x2  8x 15
จาก x3  6x2  x  30  ( x 2)( x2  8x  15)

 (x2)(x3)(x5)
ดังนั้น x2  0 หรอื x3  0 หรือ x 5  0

หรือ x  2 หรอื x  3 หรือ x  5

 เซตคาตอบของสมการ คือ {2 , 3 , 5}

การแก้สมการพหนุ ามโดยใช้

ทฤษฏบี ทเศษเหลือ เมอ่ื an  1
อยใู่ นหน้าถดั ไปนะคะ

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 5 เร่อื ง การแกส้ มการพหุนามตัวแปรเดยี ว
9

การแกส้ มการพหุนามโดยใช้ทฤษฏบี ทเศษเหลือ เมือ่ an  1
(แสดงการคิดแกป้ ญั หาตามขั้นตอนวิธีของโพลยา)

ตัวอย่าง 2 จงหาเซตคาตอบของสมการ 12x3 16x2 5x 3 (ทฤษฎีบทเศษเหลือ)

วิธีทา ให้ p(x)  12x3 16x2 5x 3 (ขั้นที่ 1)

เนื่องจากจานวนทห่ี าร 3 ลงตัวคอื 1 ,  3

และจานวนทห่ี าร 12 ลงตวั คอื 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12

จะได้ x  k  1 , 3 ,  1 ,  1 ,  1 ,  1 ,  1 ,  3 ,  3 (ขั้นท่ี 2)
m 2 3 4 6 12 2 4
จาก p(x)  12x3 16x2 5x 3

พจิ ารณา p( 1 )  12( 21 )3  16( 1 )2  5( 21)  3 (ขั้นที่ 3)
2 2
12 16 5
 8  4  2  3

1 0
2
จะได้ x  เปน็ ตวั ประกอบของ 12x3 16x2 5x 3

นา x  1 ไปหาร p(x) จะไดผ้ ลหารเปน็ 12x2  22x  6
2
1
และ 12x3 16x2 5x 3  (x  2 ) (12x2  22x  6)

 (x  1 ) (2) (6x2 11x  3)
2
 (2x 1) (6x2 11x  3)

 (2x 1)(3x 1)(2x  3)
ดงั น้ัน ตวั ประกอบของ 12x2  22x  6 คือ (2x 1)(3x 1)(2x 3)

หรอื 2x 1  0 หรอื 3x 1  0 หรือ 2x  3  0

หรือ x  1 หรอื x   1 หรือ x   3
2 3 2
1 3 1
เซตคาตอบของสมการ คอื {  3 ,  2 , 2 } (ขนั้ ท่ี 4)

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 5 เรอื่ ง การแกส้ มการพหุนามตวั แปรเดียว
10

แบบฝึกทกั ษะที่ 3

คาช้แี จง ให้แสดงวิธีทา (ข้อละ 5 คะแนน) (แสดงการคิดแกป้ ญั หาตามขั้นตอนวธิ ขี องโพลยา) (ข้ันที่ 1)
(ข้นั ที่ 2)
1. จงหาเซตคาตอบของสมการ x3  4x2  x 6  0 (ขัน้ ที่ 3)
วิธีทา ให้ p(x)  _________________________________
จานวนที่หาร ____ ลงตัว คอื _____________________________ (ขน้ั ที่ 4)
พจิ ารณา p(1)  _________________________________
 _________________________________
0
 __________ เปน็ ตัวประกอบของ x3  4x2  x 6
นา ................. ไปหาร x3  4x2  x 6 ไดผ้ ลหารคือ ______________
จาก x3  4x2  x 6  ____________________________
 ____________________________
ดงั นนั้ _______  0 หรอื _______  0 หรือ _______  0
หรือ x  ______ หรอื x  ______ หรอื x  _______
 เซตคาตอบของสมการ คือ __________________________

แบบฝกึ ข้อที่ 2 อยู่ในหนา้ ถัดไปนะคะ

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 5 เรอื่ ง การแก้สมการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว 11

2. จงหาเซตคาตอบของสมการ x3  x2 14x  24  0

วธิ ที า ให้ p(x)  __________________________________ (ข้ันที่ 1)

จานวนที่หาร ____ ลงตวั คือ _____________________________ (ขั้นที่ 2)

พิจารณา p(2)  __________________________________ (ขนั้ ท่ี 3)

 ___________________________________

0

ดงั น้นั ______ เปน็ ตวั ประกอบ x3  x2 14x  24

นา นา ______ ไปหาร x3  x2 14x  24 ไดผ้ ลหารคอื ________________

จะได้ x3  x2 14x  24  _______________________

 _______________________

ดงั น้ัน _______  0 หรือ _______  0 หรอื _______  0

หรือ x  ______ หรือ x  ______ หรือ x  ______

 เซตคาตอบของสมการ คือ _______________________ (ขัน้ ท่ี 4)

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 5 เรอื่ ง การแก้สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว 12

แบบฝึกทักษะท่ี 4

คาช้แี จง ใหแ้ สดงวิธที า (ขอ้ ละ 5 คะแนน) (แสดงการคิดแกป้ ัญหาตามข้นั ตอนวธิ ีของโพลยา)

1. จงหาเซตคาตอบของสมการ 3x3  2x2 19x  6  0

วธิ ที า ให้ p(x)  3x3  2x2 19x  6 (ขั้นที่ 1)

เนือ่ งจากจานวนทหี่ าร ______ ลงตัว คือ ________________________

และจานวนท่ีหาร ______ ลงตวั คอื ___________________________

จะได้ x  k  ________________________________________ (ขัน้ ที่ 2)
m
จาก p(x)  3x3  2x2 19x  6

พจิ ารณา p(__)  _____________________________ (ขั้นที่ 3)

 _____________________________

0

จะได้ ________ เป็นตวั ประกอบ 3x3  2x2 19x  6

นา นา _________ ไปหาร 3x3  2x2 19x  6 ไดผ้ ลหารคอื ___________________

และ 3x3  2x2 19x  6  ___________________________

 ___________________________

ดังน้ัน _________  0 หรือ _________  0 หรอื ________  0

หรอื x _____ หรอื x  ______ หรอื x  ______

 เซตคาตอบของสมการ คอื ....................................... (ขัน้ ที่ 4)

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 5 เรอื่ ง การแกส้ มการพหุนามตวั แปรเดียว
13

2. จงหาเซตคาตอบของสมการ 2x3 3x2 7x 6  0

วธิ ีทา ให้ p(x)  2x3 3x2 7x 6 (ขน้ั ท่ี 1)

เน่อื งจากจานวนที่หาร _____ ลงตัว คอื __________________________

และจานวนทห่ี าร ______ ลงตวั คอื _____________________________

จะได้ x  k  __________________________________________ (ขน้ั ท่ี 2)
m
จาก p(x)  2x3 3x2 7x 6

พิจารณา p(___)  ___________________________ (ข้นั ท่ี 3)

 ___________________________
จะได้ ________ เป็นตัวประกอบของ 2x3 3x2 7x 6
นา ________ ไปหาร 2x3 3x2 7x 6 ได้ผลหารคือ ___________________
และ 2x3 3x2 7x 6  _________________________________

เน่ืองจาก ________________________ แยกตัวประกอบไม่ได้

ใช้สูตร x  3 32 4 (2) (2) ; b2 4ac  0
2(2)
จาก ax2 bx  c  0

a  _________ , b  _________ , c  _________

จะได้ x  ____________________________________

และ x  ________________________ ; ไมม่ ีคา่ x ทท่ี าใหส้ มการเป็นจรงิ

 เซตคาตอบของสมการ คือ _______________ (ขั้นที่ 4)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 5 เรอื่ ง การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดยี ว 14

ใบความร้ทู ี่ 3
เรื่อง การแกส้ มการพหุนามโดยใช้การหารสงั เคราะห์

การแก้สมการพหุนามโดยใช้การหารสังเคราะห์ เมื่อ an 1
(แสดงการคิดแกป้ ญั หาตามขัน้ ตอนวธิ ีของโพลยา)
ตวั อย่าง 3 จงหาเซตคาตอบของสมการ x4 2x3 13x2 14x24  0

วิธที า ให้ p(x)  x4 2x3 13x2 14x  24

จานวนทหี่ าร 24 ลงตัว คอื 1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  6 ,  8 , 12 ,  24

พจิ ารณา (x 1) 1 1 2 13 14 24
1 3 10 24 +

พิจารณา (x 2) 2 1 3 10 24 0

2 2 24 +

1 1 12 0
จะได้ x 1 และ x2 เป็นตัวประกอบของ x4 2x3 13x2 14x  24
และไดผ้ ลหาร คอื x2  x 12
และ x4 2x3 13x2 14x  24  (x 1) (x  2) (x2  x 12)

 (x 1)(x 2)(x 4)(x 3)
น่ันคอื ตวั ประกอบของ x4 2x3 13x2 14x  24  (x 1)(x 2)(x 4)(x 3)

หรือ x 1  0 หรอื x 2  0 หรือ x 4  0 หรอื x  3  0

หรือ x  1 หรอื x  2 หรอื x  4 หรอื x  3

 เซตคาตอบของสมการ คือ {3 , 1 , 2 , 4}

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 5 เร่อื ง การแก้สมการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว
15

การแกส้ มการพหุนามโดยใช้การหารสงั เคราะห์ เมื่อ an 1
(แสดงการคิดแกป้ ัญหาตามข้นั ตอนวธิ ขี องโพลยา)

ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซตคาตอบของสมการ 3x3 10x2  9x 2  0
วธิ ที า ให้ p(x)  3x3 10x2  9x 2

เน่อื งจากจานวนที่หาร 2 ลงตวั คือ 1 ,  2

และจานวนท่ีหาร 3 ลงตวั คือ 1 ,  3

จะได้ x  k   1 ,  2 ,  2
m 3
จาก p(x)  3x3 10x2  9x  2

พิจารณา (x 1) 1 3 10 9 2 +
3 7 2

3 7 2 0
จะได้ x 1 เป็นตวั ประกอบของ 3x3 10x2  9x 2 ไดผ้ ลหาร คอื 3x2 7x  2
และ 3x3 10x2  9x 2  (x 1) (3x2  7x  2)

 (x 1)(3x 1)(x 2)
น่ันคอื ตวั ประกอบ ของ 3x3 10x2  9x 2  (x 1)(3x 1)(x 2)

หรอื x 1  0 หรอื 3x 1  0 หรือ x 2  0

จะได้ x  1 หรอื x 1 หรือ x  2
3
1
 เซตคาตอบของสมการ คือ { 3 , 1 , 2}

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 5 เร่ือง การแก้สมการพหุนามตวั แปรเดยี ว 16

แบบฝกึ ทักษะท่ี 5

คาช้แี จง ใหแ้ สดงวธิ ีทา (ข้อละ 5 คะแนน)

1. จงหาเซตคาตอบของสมการ x3  x2 14x  24  0

วธิ ที า ให้ p(x)  x3  x2 14x  24 (ข้นั ที่ 1)
(ขน้ั ที่ 2)
จานวนที่หาร ______ ลงตวั คอื _______________________________ (ข้นั ท่ี 3)

พจิ ารณา _______ .... 1 1 14 24

+

จะได้ _______ เปน็ ตัวประกอบของ x3  x2 14x  24 ไดผ้ ลหาร คอื ____________
และ p(x)  x3  x2 14x  24  ___________________________

 ___________________________

ดงั น้นั ________  0 หรอื ________  0 หรือ ________  0

หรือ x _______ หรอื x  ______ หรอื x  _______

 เซตคาตอบของสมการ คือ ______________________ (ขั้นท่ี 4)

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 5 เร่ือง การแกส้ มการพหุนามตัวแปรเดยี ว 17

2. จงหาเซตคาตอบของสมการ 2x4 10x2  8  0

วิธีทา ให้ p(x)  2x4 10x2  8 (ขนั้ ที่ 1)
(ขน้ั ท่ี 2)
จานวนทห่ี าร ____ ลงตัว คือ _______________________ (ขน้ั ที่ 3)

จาก p(x)  2x4 10x2  8

พจิ ารณา _______ 1 2 0 10 0 8

+

พจิ ารณา _______ 1 2 2 8 8 0
2 0 8

จะได้ ______ และ _____ เป็นตัวประกอบของ 2x4 10x2  8 ได้ผลหารคอื ________
และ 2x4 10x2  8  ______________________________

 ______________________________

น่ันคอื ตัวประกอบ ของ 2x4 10x2  8 คือ _______________________________

ดังน้นั ______  0 หรอื ______  0 หรอื _______  0 หรือ _____  0

หรือ x _____ หรอื x _____ หรือ x _____ หรอื x  _____

 เซตคาตอบของสมการ คือ ______________________ (ขัน้ ท่ี 4)

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 5 เรอื่ ง การแก้สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว 18

แบบฝกึ ทักษะที่ 6

คาชี้แจง ให้แสดงวิธีทา (ขอ้ ละ 5 คะแนน)

1. จงหาเซตคาตอบของสมการ 2x3 5x2 2x  5  0

วิธีทา ให้ p(x)  2x3 5x2 2x  5 (ขัน้ ที่ 1)

เนอ่ื งจากจานวนทหี่ าร 5 ลงตัว คือ ________________________ (ขัน้ ท่ี 2)
(ขน้ั ที่ 3)
และจานวนท่หี าร 2 ลงตวั คอื ____________________________

จะได้ x  k  _____________________________________
m
จาก p(x)  2x3 5x2 2x  5

พจิ ารณา _______ 1 2 5 2 5

+

2

จะได้ ________ เปน็ ตวั ประกอบของ 2x3 5x2 2x  5 ได้ผลหารคือ ______________

และ 2x3 5x2 2x  5  ________________________________

 ________________________________

น่ันคอื ตวั ประกอบ ของ 2x3 5x2 2x  5 คือ _________________________

ดังนนั้ _______  0 หรือ______  0 หรือ ________  0

หรือ x  _______ หรอื x _______ หรือ x  ________

 เซตคาตอบของสมการ คือ _________________________ (ขนั้ ท่ี 4)

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 5 เร่ือง การแกส้ มการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว
19

2. จงหาเซตคาตอบของสมการ 3x4 8x3  x2  8x 4  0

วธิ ีทา ให้ p(x)  3x4 8x3  x2  8x 4 (ข้นั ที่ 1)

เนื่องจากจานวนท่หี าร 4 ลงตัว คือ ____________________________ (ข้นั ท่ี 2)
(ขั้นท่ี 3)
และจานวนทห่ี าร 3 ลงตวั คือ _______________________________

จะได้ x  k  _________________________________________
m
จาก p(x)  3x4 8x3  x2  8x 4

พิจารณา (x 1) 1 3 8 1 8 4

+

พจิ ารณา (x 1) 1 3

+

จะได้ ______ และ_______ เปน็ ตวั ประกอบของ 3x4 8x3  x2  8x 4

ไดผ้ ลหารคอื _________________________________

และ 3x4 8x3  x2  8x 4  ____________________________

 ____________________________

น่ันคอื ตวั ประกอบ ของ 3x4 8x3  x2  8x 4 คอื _______________________

ดงั นั้น x – 1  0 หรอื x + 1  0 หรือ 3x – 2  0 หรือ x – 2  0

จะได้ x  _____ หรอื x  _____ หรือ x _____ หรอื x  _____

 เซตคาตอบของสมการ คือ _____________________ (ข้ันที่ 4)

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 5 เร่อื ง การแกส้ มการพหุนามตวั แปรเดียว
20

แบบทดสอบหลังเรยี นเล่ม 5

คาชแ้ี จง ใหน้ ักเรียนเลือกคาตอบท่ีถูกต้องที่สดุ แล้วทาเคร่ืองหมาย × ลงในกระดาษคาตอบท่ีกาหนดให้

(10 นาท)ี

1. ข้อใดคือเซตคาตอบของสมการ 2x3 3x2 11x  6  0

ก. {  1 , 2 , 3 }
2
1
ข. {  3 ,  2 , 2 }

ค. {  3 ,  2 ,  1 }
2
1
ง. {3 , 2 , 2}

2. ขอ้ ใดคือคาตอบของสมการ x2  4x  21  0

ก. x   7 หรอื x  3

ข. x  7 หรอื x  3

ค. x  3 หรอื x  7

ง. x   7 หรือ x  3

3. ขอ้ ใดคือเซตคาตอบของสมการ 4x4  25x2  36  0

ก. {2 ,  1 ,  1 , 1 }
2 2
3 3
ข. { 2 , 1 , 2 , 3 }

ค. {2 ,  3 , 3 , 2}
2 2
3 3
ง. {2 ,  2 , 2 , 3}

4. ข้อใดคือเซตคาตอบของสมการ 2x4 10x2 8  0

ก. {2 , 1 , 0 , 2}

ข. {2 , 1 , 1 , 2}

ค. {2 , 1 , 2 , 3}

ง. {2 , 1 , 1 , 3}

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 5 เร่อื ง การแกส้ มการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว 21

5. ข้อใดคือเซตคาตอบของสมการ x3 x2  6x  0

ก. {3 , 0 , 1}

ข. {3 , 2 , 1}

ค. {2 , 0, 2}
ง. {2 , 0, 3}
6. ข้อใดเป็นผลบวกของคาตอบของสมการ x3  x2 12x  0

ก. 2

ข. 1
ค. 1

ง. 2

7. ข้อใดเป็นผลบวกของคาตอบของสมการ x(3x 2)  ( x 2)2

ก. 3

ข. 2

ค. 1

ง. 2

8. {3,2,1} เป็นเซตคาตอบของสมการใดตอ่ ไปนี้
ก. x3  6x2  11x  6  0
ข. x3  6x2  11x  6  0
ค. x3  5x2  11x  6  0
ง. x3  5x2  13x  6  0

9. ขอ้ ใดเปน็ ผลบวกของคาตอบของสมการ x3 7x  6  0

ก. 3

ข. 1
ค. 0

ง. 1

10. ขอ้ ใดเป็นเซตคาตอบของสมการ 6x3  11x2  6x  1  0

ก. {  1 , 1 , 1 } ข. {  1 , 1 , 1}
3 2 3 2

ค. {  1 , 1 , 1} ง. { 1 , 1 , 1}
2 3 3 2

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ 5 เรอ่ื ง การแกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี ว 22

เกณฑ์การให้คะแนน/เกณฑ์การตดั สิน

1. เกณฑ์การใหค้ ะแนน

แบบทดสอบก่อนเรียน (คะแนนเตม็ 10 คะแนน)

ข้อที่ รายการประเมนิ ระดบั คะแนน เกณฑ์การให้คะแนน

1 - 10 การตอบคาถาม 1 คาตอบถกู ต้อง
0 คาตอบไม่ถูกต้อง

แบบฝึกทกั ษะท่ี 1 ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน
(คะแนนเต็ม 10 คะแนน) 1 บอกวธิ ขี น้ั ที่ 1 ถูกตอ้ ง
1 แสดงวิธีขน้ั ที่ 2 ถูกต้อง
ขอ้ ท่ี รายการประเมนิ 2 แสดงวธิ ขี น้ั ที่ 3 ถูกต้อง
1 ข้นั ท่ี 4 คาตอบถูกตอ้ ง
1-2 การแสดงวธิ ที า
และหาคาตอบ

แบบฝึกทักษะที่ 2 (คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

ข้อท่ี รายการประเมนิ ระดบั คะแนน เกณฑ์การให้คะแนน
บอกวิธขี ้นั ท่ี 1 ถูกต้อง
1 แสดงวิธีขน้ั ที่ 2 ถกู ต้อง
แสดงวิธีขั้นที่ 3 ถูกต้อง
1-2 การแสดงวิธที า 1 ขัน้ ท่ี 4 คาตอบถูกตอ้ ง
และหาคาตอบ 2

1

แบบฝกึ ทักษะที่ 3 ระดบั คะแนน เกณฑ์การให้คะแนน
(คะแนนเตม็ 10 คะแนน) 1 บอกวิธีขัน้ ที่ 1 ถูกต้อง
1 แสดงวธิ ขี นั้ ท่ี 2 ถกู ต้อง
ข้อที่ รายการประเมนิ 2 แสดงวิธีขนั้ ท่ี 3 ถูกต้อง
1 ขน้ั ท่ี 4 คาตอบถูกต้อง
1-2 การแสดงวิธีทา
และหาคาตอบ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ 5 เร่ือง การแก้สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว
23

แบบฝึกทกั ษะท่ี 4 ระดบั คะแนน เกณฑ์การให้คะแนน
(คะแนนเต็ม 10 คะแนน) 1 บอกวิธขี ั้นที่ 1 ถูกตอ้ ง
1 แสดงวิธขี นั้ ท่ี 2 ถูกต้อง
ข้อท่ี รายการประเมิน 2 แสดงวิธขี ัน้ ที่ 3 ถกู ต้อง
1 ข้นั ท่ี 4 คาตอบถกู ตอ้ ง
1-2 การแสดงวธิ ที า
และหาคาตอบ

แบบฝึกทกั ษะท่ี 5 ระดบั คะแนน เกณฑ์การให้คะแนน
(คะแนนเตม็ 10 คะแนน) 1 บอกวิธีขน้ั ท่ี 1 ถูกตอ้ ง
1 แสดงวธิ ขี นั้ ที่ 2 ถกู ต้อง
ขอ้ ท่ี รายการประเมิน 2 แสดงวิธขี ั้นท่ี 3 ถูกต้อง
1 ขน้ั ท่ี 4 คาตอบถูกตอ้ ง
1-2 การแสดงวธิ ที า
และหาคาตอบ

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 6 ระดบั คะแนน เกณฑ์การให้คะแนน
(คะแนนเตม็ 10 คะแนน) 1 บอกวิธขี ้นั ที่ 1 ถูกต้อง
1 แสดงวธิ ีขัน้ ที่ 2 ถูกต้อง
ขอ้ ที่ รายการประเมิน 2 แสดงวิธีขัน้ ที่ 3 ถกู ต้อง
1 ขั้นท่ี 4 คาตอบถูกตอ้ ง
1-2 การแสดงวิธีทา
และหาคาตอบ

แบบทดสอบหลังเรยี น (คะแนนเตม็ 10 คะแนน)

ข้อที่ รายการประเมิน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน
คาตอบถูกต้อง
1 - 10 การตอบคาถาม 1 คาตอบไม่ถูกต้อง
0

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 5 เรอื่ ง การแก้สมการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว 24
2. เกณฑ์การตดั สนิ

แบบฝกึ ทกั ษะ
- แบบฝึกทกั ษะท่ี 1 และ 2 คะแนนเต็ม 20 คะแนน (ประกอบแผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 11 )
- แบบฝึกทักษะที่ 3 และ 4 คะแนนเต็ม 20 คะแนน (ประกอบแผนการจดั การเรยี นรูท้ ่ี 12 )
- แบบฝกึ ทกั ษะที่ 5 และ 6 คะแนนเต็ม 20 คะแนน (ประกอบแผนการจดั การเรียนรทู้ ่ี 13 )
- คะแนนรวมทุกแบบฝกึ เต็ม 60 คะแนน ต้องไดค้ ะแนนร้อยละ 80 หรือ 48 คะแนน
ขนึ้ ไป จึงจะถือวา่ ผา่ นเกณฑ์การประเมนิ

แบบทดสอบหลังเรยี น
- คะแนนเต็ม 10 คะแนน
- ได้คะแนนร้อยละ 50 หรือ 5 คะแนน ข้นึ ไป จงึ จะถือว่าผ่านเกณฑ์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 5 เรื่อง การแกส้ มการพหุนามตัวแปรเดยี ว 25

เดยี ว

บรรณานกุ รม ตรรกยะ

กนกวลี อษุ ณกรกุลและรณชัย มาเจรญิ ทรัพย.์ แบบฝึกหัดและประเมนิ ผล การเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์
ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4-6 เลม่ 1. กรงุ เทพมหานคร : เดอะบคุ ส์, 2553.

กมล เอกไทยเจริญ. คณิตศาสตรม์ ธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 เล่ม 1. กรงุ เทพมหานคร : ไฮเอด็ พับลชิ ชงิ่ ,
2551.

กระทรวงศึกษาธกิ าร. หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้นื ฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรงุ เทพมหานคร :
กระทรวงศกึ ษาธิการ, 2551.

จกั รินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. คมู่ ือประกอบการเรยี นรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4-6
เลม่ 1. กรุงเทพมหานคร : โรงพมิ พ์ธนธชั การพิมพ์, 2553.

ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. ระบบจานวนจริงระดบั มัธยมปลาย. กรุงเทพมหานคร : แมค็ , 2542.
_______. หนงั สือเรยี นเสริมคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 1.

กรุงเทพมหานคร : แม็ค, 2555.
ธนวัฒน์ สนทราพรพล. แบบฝกึ หดั และเทคนคิ คดิ โจทย์เร็ว คณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม มัธยมศึกษาปีท่ี 4

เล่ม 1. กรงุ เทพมหานคร : SCIENCE CENTER, ม.ป.ป.
นพพร แหยมแสง. คณติ ศาสตร์มธั ยมศึกษา 4. กรุงเทพมหานคร : สถาบนั พฒั นาคุณภาพวิชาการ

(พว.). 2546.
รณชัย มาเจรญิ ทรพั ย์. คมู่ ือเตรยี มสอบคณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ เล่ม 1. ม. 4-6 กลุ่มสาระการเรยี นรู้

คณิตศาสตร์. กรงุ เทพมหานคร : ภูมิบัณฑิต, ม.ป.ป.
สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี คู่มือครสู าระการเรียนรู้เพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์

เลม่ 1. ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 4. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ครุ ุสภาลาดพรา้ ว, 2547.
_______. หนังสือเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติมเล่ม 1. ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4-6 พมิ พ์ครง้ั ท่ี 3

กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ครุ สุ ภาลาดพร้าว, 2554.
สมัย เหลา่ วานชิ ย.์ คู่มอื เตรียมสอบคณิตศาสตร์ ม. 4-6 เล่ม 1. (พืน้ ฐานและเพิม่ เติม).

กรุงเทพมหานคร : ไฮเอด็ พับลิชช่งิ จากัด, 2557.

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 5 เรื่อง การแก้สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว 26
เดียว

ตรรกยะ
ตรรกยะ

เดียว

ภาคผนวก

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 5 เรอ่ื ง การแกส้ มการพหุนามตัวแปรเดยี ว
27

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนเลม่ 5
คาชี้แจง ใหน้ ักเรียนเลอื กคาตอบที่ถกู ต้องที่สุดแลว้ ทาเครื่องหมาย × ลงในกระดาษคาตอบท่ีกาหนดให้

ขอ้ ที่ คาตอบ

1 ข. 1

2 ค. 1

3 ก. x3  6x2 11x  6  0

4 ค. 0

5 ง. {1 , 1 , 1 }
2 3

6 ข. { 3 ,  1 , 2}
2

7 ค. x  3 หรอื x  7

8 ค. {  2 ,  3 , 3 , 2}
2 2

9 ข. {2 , 1 , 1 , 2}

10 ง. {2 , 0 , 3}

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ 5 เร่อื ง การแก้สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว
28

เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 1

คาชี้แจง ให้แสดงวิธีหาคาตอบ (ข้อละ 5 คะแนน) (ขั้นท่ี1)
1. จงหาเซตคาตอบของสมการ x3  3x2 2x 6  0 (ข้นั ที่ 2)
วิธที า จาก x3  3x2 2x 6  0 (ขั้นท่ี 3)
จะไดว้ า่ (x3  3x2)  (-2x 6)  0
x2(x 3) 2(x 3)  0 (ข้นั ท่ี 4)
(x  3)(x2 2)  0

(x  3)(x  2)(x  2)  0

ดงั น้นั x  3  0 หรอื x  2  0 หรือ x  2  0

หรือ x  3 หรือ x  2 หรือ x   2

 เซตคาตอบของสมการ คอื {3 ,  2 , 2}

2. จงหาเซตคาตอบของสมการ y3  2y2  9y 18  0

วธิ ที า จาก y3  2y2  9y 18  0 (ขน้ั ที่ 1)
(ข้ันที่ 2)
จะไดว้ า่ (y3  2y2)  (9y 18)  0 (ข้ันที่ 3)

y2(y  2)  9(y  2)  0 (ขนั้ ที่ 4)

(y  2)(y2  9)  0

(y  2)(y 3)(y  3)  0

ดงั นั้น y  2  0 หรอื y 3  0 หรอื y  3  0

หรือ y  2 หรอื y  3 หรือ y  3

 เซตคาตอบของสมการ คอื {3 , 2 , 3}

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ 5 เร่อื ง การแกส้ มการพหุนามตัวแปรเดยี ว 29
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 2

คาช้แี จง ใหห้ าเซตคาตอบของสมการ

1. จงหาเซตคาตอบของสมการ 4x3 3x2 64x  48

วธิ ีทา จาก 4x3 3x2 64x  48 (ขั้นท่ี 1)
(ขั้นท่ี 2)
จะได้ 4x3 3x2 64x  48  0 (ข้ันท่ี 3)

(4x3 3x2) (64x48)  0 (ขั้นที่ 4)
(ขน้ั ที่ 1)
x2(4x3)16(4x3)  0 (ขั้นท่ี 2)
(ขั้นท่ี 3)
(x2 16)(4x3)  0
(ขน้ั ท่ี 4)
(x 4)(x  4)(4x3)  0

ดงั นน้ั 4x 3  0 หรอื x 4  0 หรอื x  4  0

จะได้ x  3 หรือ x  4 หรอื x  4
4
3
เซตคาตอบของสมการ คือ {4 , 4 , 4}

2. จงหาเซตคาตอบของ 4x3  27  12x2  9x

วธิ ีทา จาก 4x3  27  12x2  9x

จะได้ 4x3 12x2 9x  27  0

(4x3 12x2)  (9x  27)  0

4x2(x 3) 9(x 3)  0

(x 3)(4x2 9)  0

(x 3)(2x 3)(2x  3)  0

ดงั นนั้ x 3  0 หรือ 2x 3  0 หรอื 2x  3  0

จะได้ x  3 หรือ x  3 หรอื x   3
2 2
3 3
 เซตคาตอบของสมการ คือ { 2 , 2 , 3 }

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 5 เรื่อง การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว
30

เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 3

คาชี้แจง ให้แสดงวิธีทา (ข้อละ 5 คะแนน) (แสดงการคิดแกป้ ญั หาตามข้นั ตอนวธิ ขี องโพลยา)

1. จงหาเซตคาตอบของสมการ x3  4x2  x 6  0 (ขน้ั ที่ 1)
วธิ ีทา ให้ p(x)  x3  4x2  x 6 (ขน้ั ท่ี 2)
จานวนท่หี าร 6 ลงตวั คอื 1 , 2 , 3 , 6 (ขั้นที่ 3)
พิจารณา p(1)  (1)3  4(1)2  (1) 6
(ขั้นท่ี 4)
 1416
0
 x 1 เปน็ ตัวประกอบของ x3  4x2  x 6
นา x 1 ไปหาร x3  4x2  x 6 ไดผ้ ลหารคือ x2  5x  6
จาก x3  4x2  x 6  (x 1)(x2 5x 6)

 (x 1)(x  2)(x  3)
ดังน้ัน x 1  0 หรอื x  2  0 หรอื x  3  0

หรือ x  1 หรอื x  2 หรือ x  3
 เซตคาตอบของสมการ คือ {3 , 2 , 1}

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 5 เร่ือง การแก้สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว
31

2. จงหาเซตคาตอบของสมการ x3  x2 14x  24  0 (ขน้ั ที่ 1)
วิธที า ให้ p(x)  x3  x2 14x  24 (ขนั้ ที่ 2)

จานวนทห่ี าร 24 ลงตวั คอื 1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  6 ,  8 , 12 ,  24

พิจารณา p(2)  (2)3  (2)2 14(2)  24 (ข้นั ที่ 3)

 8 4 28 24
0

ดังน้ัน x 2 เป็นตัวประกอบ x3  x2 14x  24
นา x 2 ไปหาร x3  x2 14x  24 ไดผ้ ลหารคอื x2  x 12

จะได้ x3  x2 14x  24  (x 2)(x2  x 12)

 (x 2)(x 3)(x  4) (ขั้นที่ 4)
ดงั นั้น x 2  0 หรือ x 3  0 หรือ x  4  0

หรือ x  2 หรือ x  3 หรือ x  4
 เซตคาตอบของสมการ คือ {4 , 2 , 3}

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ 5 เร่อื ง การแกส้ มการพหุนามตวั แปรเดียว
32

เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 4

คาชแ้ี จง ใหแ้ สดงวิธที า ( 10 คะแนน)

1. จงหาเซตคาตอบของสมการ 3x3  2x2 19x  6  0

วธิ ีทา ให้ p(x)  3x3  2x2 19x  6 (ข้นั ที่ 1)

เน่ืองจากจานวนท่ีหาร 6 ลงตวั คือ 1 ,  2 ,  3 ,  6 (ขน้ั ที่ 2)
(ขัน้ ที่ 3)
และจานวนที่หาร 3 ลงตัว คือ 1 ,  3

จะได้ x  k  1 , 2 , 3 , 6 ,  1 ,  2
m 3 3
จาก p(x)  3x3  2x2 19x  6

พจิ ารณา p(2)  3(2)3  2(2)2 19(2)  6

 24  8 38 6
0
จะได้ x 2 เปน็ ตัวประกอบ 3x3  2x2 19x  6
นา นา x 2 ไปหาร 3x3  2x2 19x  6 ไดผ้ ลหารคือ 3x2  8x 3
และ 3x3  2x2 19x  6  ( x 2)(3x2  8x 3)

 (x2)(3x1)(x3)

ดงั นน้ั x 2  0 หรอื 3x 1  0 หรือ x  3  0

หรอื x  2 หรอื x  1 หรอื x  3
3 (ขน้ั ที่ 4)
1
 เซตคาตอบของสมการ คอื {3 , 3 , 2}

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 5 เรอ่ื ง การแกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี ว 33
2. จงหาเซตคาตอบของสมการ 2x3 3x2 7x 6  0

วธิ ีทา ให้ p(x)  2x3 3x2 7x 6 (ข้ันท่ี 1)

เนอ่ื งจากจานวนท่หี าร 6 ลงตัว คือ 1 ,  2 ,  3 ,  6

และจานวนท่หี าร 2 ลงตวั คอื 1 ,  2

จะได้ x  k  1 , 2 , 3 , 6 ,  3 (ขั้นท่ี 2)
m 2 (ข้นั ที่ 3)
จาก p(x)  2x3 3x2 7x 6

พจิ ารณา p(3)  2 (3)3  3( 3 )2  7(3)  6

0

จะได้ x – 3 เปน็ ตัวประกอบของ 2x3 3x2 7x 6
นา x – 3 ไปหาร 2x3 3x2 7x 6 ได้ผลหารคอื 2x23x  2
และ 2x3 3x2 7x 6  ( x  3 ) ( 2x2  3x  2 )
เนอ่ื งจาก 2x23x  2 แยกตัวประกอบไมไ่ ด้

ใช้สูตร x b  b2  4ac ; b2 4ac  0
2a
จาก ax2 bx  c  0

a2 , b3 , c2

จะได้ x  3 32 4 (2) (2)
2(2)

และ x 3 7 ; ไม่มีคา่ x ที่ทาให้สมการเปน็ จรงิ
4
 เซตคาตอบของสมการ คือ {3} (ขั้นที่ 4)

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ 5 เร่อื ง การแก้สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว 34

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 5

คาช้แี จง ใหแ้ สดงวิธีทา (ขอ้ ละ 5 คะแนน)

1. จงหาเซตคาตอบของสมการ x3  x2 14x  24  0

วธิ ที า ให้ p(x)  x3  x2 14x  24 (ข้ันที่ 1)

จานวนทีห่ าร 24 ลงตวั คือ 1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  6 ,  8 , 12 ,  24 (ขั้นท่ี 2)

พจิ ารณา (x 2) 2 1 1 14 24 (ข้นั ที่ 3)
2 2 24 +

1 1 12 0

จะได้ x 2 เปน็ ตวั ประกอบของ x3  x2 14x  24 ได้ผลหารคือ x2  x 12

และ p(x)  x3  x2 14x  24  (x 2)(x2  x 12)

 (x 2)(x 4)(x 3)
ดังนนั้ x 2  0 หรอื x 4  0 หรือ x 3  0

หรือ x  2 หรอื x  4 หรือ x  3

เซตคาตอบของสมการ คือ {4 , 2 , 3} (ขนั้ ที่ 4)

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ 5 เรอ่ื ง การแกส้ มการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว
35

2. จงหาเซตคาตอบของสมการ 2x4 10x2  8  0 (ขน้ั ท่ี 1)
วิธีทา ให้ p(x)  2x4 10x2  8

เน่ืองจากจานวนท่หี าร 8 ลงตวั คือ 1 , 2 , 4 , 8

และจานวนทห่ี าร 3 ลงตัว คอื 1 ,  3

จะได้ x  k  1 ,  2 ,  4 , 8 ,  1 ,  2 ,  4 ,  8 (ขั้นท่ี 2)
m 3 3 3 3 (ขน้ั ท่ี 3)

จาก p(x)  2x4 10x2  8

พจิ ารณา (x 1) 1 2 0 10 0 8
2 2 8 8 +

พิจารณา (x 1) 1 2 2 8 8 0

2 0 8 +
2 0 8 0

จะได้ x – 1 และ x + 1 เปน็ ตัวประกอบของ 2x4 10x2  8 ได้ผลหารคือ 2x2  8
และ 2x4 10x2  8  ( x 1) ( x 1) (2x2  8 )

 (x 1)(x 1)(x 2)(x 2)
นั่นคือ ตัวประกอบ ของ 2x4 10x2  8 คอื ( x 1)( x 1)( x 2)( x 2)

ดังนนั้ x 1  0 หรอื x 1  0 หรอื x  2  0 หรอื x 2  0

หรือ x  1 หรอื x  1 หรือ x  2 หรือ x  2

 เซตคาตอบของสมการ คือ {2, 1 , 1 , 2} (ขนั้ ท่ี 4)

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ 5 เร่อื ง การแก้สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว 36
เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 6

คาช้แี จง ให้แสดงวิธที า (ข้อละ 5 คะแนน)

1. จงหาเซตคาตอบของสมการ 2x3 5x2 2x  5  0

วธิ ที า ให้ p(x)  2x3 5x2 2x  5 (ข้นั ท่ี 1)

เนือ่ งจากจานวนทีห่ าร 5 ลงตวั คือ 1 ,  5

และจานวนทหี่ าร 2 ลงตัว คอื 1 ,  2

จะได้ x  k  1 ,  5 ,  1 ,  5 (ขน้ั ท่ี 2)
m 2 2
จาก p(x)  2x3 5x2 2x  5

พิจารณา (x 1) 1 2 5 2 5 (ขนั้ ท่ี 3)
2 7 5 +

2 7 5 0

จะได้ x + 1 เปน็ ตวั ประกอบของ 2x3 5x2 2x  5 ไดผ้ ลหารคือ 2x2 7x  5

และ 2x3 5x2 2x  5  (x 1)(2x2 7x 5)

 (x 1)(x 1)(2x5)
น่ันคือ ตวั ประกอบ ของ 2x3 5x2 2x  5 คือ (x 1)(x 1)(2x5)

ดงั นนั้ (x 1)  0 หรอื x 1  0 หรอื 2x 5  0

หรือ x  1 หรอื x  1 หรือ x  5
2
5
เซตคาตอบของสมการ คือ {1 , 1 , 2 } (ขั้นท่ี 4)

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 5 เรือ่ ง การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว
37

2. จงหาเซตคาตอบของสมการ 3x4 8x3  x2  8x 4  0

วธิ ที า ให้ p(x)  3x4 8x3  x2  8x 4 (ข้นั ที่ 1)

เนื่องจากจานวนท่หี าร 4 ลงตัว คอื 1 ,  2 ,  4 (ข้นั ที่ 2)
(ข้นั ท่ี 3)
และจานวนที่หาร 3 ลงตัว คือ 1 ,  3

จะได้ x  k   1 ,  2 ,  4 ,  1 ,  2 ,  4
m 3 3 3
จาก p(x)  3x4 8x3  x2  8x 4

พจิ ารณา (x 1) 1 3 8 1 8 4 +
3 5 4 4

พจิ ารณา (x 1) 1 3 5 4 4 0

3 8 4 +

3 8 4 0

จะได้ x1 และ x 1 เปน็ ตัวประกอบของ 3x4 8x3  x2  8x 4

ได้ผลหารคือ 3x2 8x  4

และ 3x4 8x3  x2  8x 4  (x 1)(x1)(3x2 8x 4)

 (x 1)(x 1)(3x 2)(x 2)
น่ันคอื ตัวประกอบ ของ 3x4 8x3  x2  8x 4 คือ (x 1)(x 1)(3x 2)(x 2)

ดงั น้ัน x1  0 หรอื x 1  0 หรอื 3x2  0 หรอื x2  0

จะได้ x  1 หรอื x  1 หรือ x  2 หรอื x  2
3 (ข้นั ท่ี 4)
2
 เซตคาตอบของสมการ คอื {1 , 3 ,1 , 2}

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 5 เร่ือง การแก้สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว
38

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี นเล่ม 5

คาชี้แจง ให้นักเรียนเลอื กคาตอบที่ถูกต้องที่สุดแล้วทาเคร่ืองหมาย × ลงในกระดาษคาตอบที่กาหนดให้

ข้อ คาตอบ

1 ข. {3 ,  1 , 2}
2

2 ค. x  3 หรอื x  7

3 ค. { 2 ,  3 , 3 , 2}
2 2

4 ข. {2 , 1 , 1 , 2}

5 ง. {2 , 0 , 3}

6 ข. 1

7 ค. 1

8 ก. x3  6x2 11x  6  0

9 ค. 0

10 ง. {1 , 1 , 1 }
2 3