เล่ม 3 ทบ.เศษเหลือ -การหารสังเคราะห์

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ ค30201

เรือ่ ง ระบบจานวนจรงิ
ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4

เลม่ ท่ี 3 ทฤษฎบี ทเศษเหลือ-การหารสังเคราะห์

นางนภัสนันท์ เทยี่ งโยธา
ตาแหน่ง ครู วทิ ยฐานะ ชานาญการพิเศษ

********************************************************************************

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
โรงเรียนพยคั ฆภูมวิ ิทยาคาร อาเภอพยัคฆภมู ิพสิ ยั
จงั หวัดมหาสารคาม สานกั งานเขตพน้ื ที่การศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต ๒๖

คานา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ระบบจานวนจรงิ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 เลม่ นี้จดั ทาขน้ึ
เพื่อใชเ้ ป็นสื่อประกอบการเรียนวิชาคณติ ศาสตร์ รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ รหสั วิชา ค30201
ระดบั ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 4 ใหเ้ ป็นไปตามหลักการและจดุ มงุ่ หมายของหลักสูตร โดยผจู้ ดั ทาได้วเิ คราะห์
หลักการ จดุ ม่งุ หมาย มาตรฐาน จดุ ประสงค์การเรียนร้ขู องหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขนั้ พ้ืนฐาน
พุทธศักราช 2551 ตลอดจนศึกษาแนวคิดจติ วิทยาและทฤษฎีทเี่ กย่ี วข้องในการสร้างแบบฝึกทักษะให้มี
ความเหมาะสมสอดคลอ้ งกบั ความรู้ ความสามารถและความสนใจเพ่ือนาไปใช้ให้เกดิ ประโยชนส์ งู สดุ แบบฝกึ
ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ระบบจานวนจรงิ ท่ีผู้จัดทาได้สรา้ งข้นึ นี้มที ง้ั หมด 10 เลม่ ประกอบด้วย

เลม่ ที่ 1 จานวนจริงและสมบัตขิ องจานวนจริง
เลม่ ที่ 2 สมบตั ิของจานวนจริง
เลม่ ท่ี 3 ทฤษฎบี ทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์
เลม่ ที่ 4 ทฤษฎีบทตวั ประกอบและทฤษฎีบทตัวประกอบจานวนตรรกยะ
เลม่ ที่ 5 การแกส้ มการพหุนามตัวแปรเดียว
เลม่ ที่ 6 สมบัตขิ องการไม่เท่ากันและการดาเนนิ การบนชว่ ง
เล่มท่ี 7 ช่วงและการแก้อสมการ 1
เล่มที่ 8 ช่วงและการแกอ้ สมการ 2
เลม่ ท่ี 9 การแก้สมการในรูปค่าสมั บรู ณ์
เลม่ ท่ี 10 การแกอ้ สมการในรปู คา่ สมั บูรณ์

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ระบบจานวนจรงิ แตล่ ะเลม่ มีองคป์ ระกอบครบถ้วน อาทิ
ผลการเรียนรู้ สาระสาคญั จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น
แบบฝกึ ทักษะพร้อมเฉลย แบบทดสอบหลงั เรียน และเฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน

ผ้จู ดั ทาหวังเป็นอยา่ งยิ่งวา่ แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตรเ์ ลม่ นี้ จะเป็นประโยชนต์ ่อนักเรยี นและผู้สนใจ
นาไปใช้ในการจัดกจิ กรรมการเรยี นการสอนในเร่ือง ระบบจานวนจริง เพราะจะทาให้เขา้ ใจเนือ้ หามากขน้ึ
และไดฝ้ ึกปฏิบัตใิ นด้านทักษะ กระบวนการทางคณิตศาสตรไ์ ปพร้อมกัน

นภสั นนั ท์ เทย่ี งโยธา

สารบญั

เร่ือง หน้า
คาชแ้ี จง .......................................................................................................................... ก
วตั ถุประสงค์ของการใชแ้ บบฝึกทกั ษะ ............................................................................ ข
คาแนะนาการใช้แบบฝึกสาหรับนกั เรียน ........................................................................ ค
คาแนะนาการใชแ้ บบฝึกสาหรับครู ................................................................................. ง
ผลการเรียนรู้/สาระสาคัญ/จุดประสงค์การเรยี นรู้ ..…….……………….……….………………... 1
แบบทดสอบกอ่ นเรยี น เล่ม 3 ………………….……………………………..….…………………..…. 2
แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ 1 เรื่อง จานวนจริงและสมบัตขิ องจานวนจริง

ใบความรทู้ ่ี 1 เร่อื ง ทฤษฎีบทเศษเหลือ............................................................. 4
แบบฝึกทกั ษะท่ี 1 ............................................................................................... 6
แบบฝึกทักษะท่ี 2 ............................................................................................... 8
ใบความรทู้ ี่ 2 เร่อื ง การหารพหุนามด้วยพหนุ าม............................................... 9
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3 .............................................................................................. 11
แบบฝึกทกั ษะที่ 4 .............................................................................................. 13
แบบทดสอบหลงั เรยี น เล่ม 3 ........................................................................... 14
เกณฑ์การให้คะแนน ...................................................................................................... 16
บรรณานุกรม ................................................................................................................. 19
ภาคผนวก ...................................................................................................................... 20
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น เล่ม 3 .................................................................. 21
เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 1 ..................................................................................... 22
เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 2 ..................................................................................... 23
เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 3 ..................................................................................... 24
เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 4 ..................................................................................... 25
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน เล่ม 3 .................................................................. 26

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 3 ทฤษฎีบทเศษเหลือและการหารสงั เคราะห์ ก

คาช้แี จง

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ระบบจานวนจรงิ สาหรับผู้เรยี นระดบั ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4
แบง่ ออกเป็น 10 เล่ม แตล่ ะเล่มมีส่วนประกอบ ดงั นี้

1. คาชีแ้ จง
2. คาแนะนาในการใชแ้ บบฝกึ ทักษะของนักเรียน
3. คาแนะนาในการใชแ้ บบฝึกทักษะของครู
4. ผลการเรยี นรู้/สาระสาคญั /จุดประสงค์การเรยี นรู้
5. แบบทดสอบก่อนเรียน
6. ส่วนเนอื้ หา
7. แบบฝกึ ทักษะ
8. แบบทดสอบหลงั เรียน
9. เกณฑ์การให้คะแนน
10. บรรณานกุ รม
11. เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน
12. เฉลยแบบฝกึ ทักษะ
13. เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 3 ทฤษฎบี ทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์ ข
วตั ถปุ ระสงค์ในการใช้แบบฝึกทกั ษะ

การใชแ้ บบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ระบบจานวนจริง ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 มีวัตถุประสงค์
เพอื่

1. ใหผ้ ู้เรียนมคี วามรู้ความเข้าใจในเนอ้ื หา เร่อื ง ระบบจานวนจริง จากการศกึ ษาตวั อย่างและ

ทาแบบฝกึ อย่างต่อเน่ือง
2. เพอื่ พฒั นาทักษะการคดิ อย่างเป็นระบบมรี ะเบยี บแบบแผนและการตดั สินใจใหด้ ยี ่ิงขึ้น

3. เพอื่ ใหผ้ ้เู รยี นมีวนิ ัย มีความรับผดิ ชอบ มงุ่ มั่นในการทางาน ตระหนักในคณุ คา่ และมีเจตคตทิ ี่ดี

ตอ่ วิชาคณิตศาสตร์
4. เพื่อให้ผเู้ รยี นสามารถนาความรู้ท่ีได้ศกึ ษา ไปปรับใชใ้ นชวี ติ ประจาวนั ได้

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 3 ทฤษฎบี ทเศษเหลือและการหารสงั เคราะห์ ค
เทา่ กนั

คาแนะนาสาหรบั นกั เรยี น

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ระบบจานวนจรงิ ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4 เลม่ 3 ทฤษฎบี ทเศษเหลอื
และการหารสงั เคราะห์ นกั เรียนควรปฏบิ ตั ติ ามคาแนะนา ดังน้ี

1. ศกึ ษาจุดประสงค์การเรยี นรู้ สาระสาคัญ ให้เขา้ ใจ
2. ทาแบบทดสอบกอ่ นเรยี น
3. ศกึ ษาทาความเข้าใจเนื้อหาจากใบความรู้
4. ทาแบบฝกึ ทักษะทุกแบบฝกึ หากมีข้อสงสยั ให้ปรกึ ษากันภายในกล่มุ หรอื ครผู ้สู อน
5. เปลี่ยนกนั ตรวจแบบฝึกทักษะตามเฉลย และรว่ มกันสรุปองค์ความรูโ้ ดยครูคอยแนะแนวทาง
และอธบิ ายเพม่ิ เติม
6. ทาแบบทดสอบหลงั เรียน เพื่อดูความก้าวหนา้ ในการเรียนของนักเรยี น
7. นักเรยี นต้องมีความซ่ือสตั ย์ตอ่ ตนเอง เปน็ คุณธรรมสูงสุดในการใชแ้ บบฝึกทกั ษะ
8. นักเรยี นจะตอ้ งทาแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ถกู ต้องร้อยละ 80 ขึ้นไป ของจานวนข้อสอบ
ทั้งหมดของแตล่ ะแบบฝึก จึงถือว่าผา่ นเกณฑ์การประเมิน

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 3 ทฤษฎีบทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์
ง

คาแนะนาสาหรับครู

การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ระบบจานวนจรงิ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4
เลม่ 3 ทฤษฎีบทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์ ครผู ้สู อนมบี ทบาทสาคญั ท่จี ะช่วยให้การเรยี นรขู้ อง
นักเรียนบรรลุวตั ถุประสงค์ ครผู ู้สอนจึงควรศึกษารายละเอียดเกยี่ วกบั การปฏิบตั ิตนก่อนท่จี ะใช้แบบฝึกทกั ษะ
ดงั นี้

1. ครตู ้องศกึ ษาเน้ือหาของแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตรใ์ หเ้ ข้าใจเปน็ อยา่ งดี เพ่อื เปน็ การ
เตรยี มตัวในการสอน

2. ครูตอ้ งช้ีแจงใหน้ ักเรียนเข้าใจเกยี่ วกบั การใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เพอ่ื ใหน้ ักเรียนรู้
บทบาทและหน้าท่ีของนักเรยี นและตอ้ งชีแ้ จงปลูกฝงั คุณธรรมดา้ นความซื่อสัตย์ ดา้ นการรักษาสิง่ ของ
สว่ นรวมอย่างเคร่งครัด โดยไม่ขดี เขยี นหรือทาให้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตรฉ์ ีกขาด

3. ครตู อ้ งให้นักเรยี นทาแบบทดสอบก่อนเรียน เพื่อสารวจความรู้พ้นื ฐานของนักเรยี น
4. แจ้งจุดประสงค์การเรียนรู้ใหน้ ักเรยี นทราบ
5. จดั กิจกรรมการเรยี นรโู้ ดยใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์เลม่ น้คี วบคกู่ ับแผนการจดั การเรยี นรู้
วชิ าคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ค30201
6. หากนักเรยี นมีข้อสงสัยในการใชแ้ บบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ครูต้องให้คาแนะนาแกน่ ักเรียน
ทนั ที
7. เมอ่ื นักเรยี นทาแบบฝกึ ทักษะเสรจ็ แล้ว ใหช้ ่วยกันตรวจคาตอบจากเฉลย และรว่ มกันสรปุ
องค์ความรู้ โดยครแู นะแนวทาง และอธิบายเพมิ่ เติม
8. หลังการเรียนจบแล้ว ตอ้ งให้นักเรยี นทาแบบทดสอบหลงั เรยี น
9. ตรวจแบบทดสอบหลังเรยี น และบนั ทกึ ผลคะแนนลงในแบบบันทกึ คะแนน

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 3 เร่อื ง ทฤษฎีบทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์ 1

ผลการเรยี นรู้
แก้สมการและอสมการพหนุ ามตัวแปรเดยี วดกี รีไมเ่ กินส่ีได้

สาระสาคญั
สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว หมายถงึ สมการที่อยู่ในรูป anxn  an1xn1  ...  a1x  a0  0

จุดประสงค์การเรยี นรู้
1. ดา้ นความรู้ (K)
- สามารถใชท้ ฤษฎบี ทเศษเหลอื หาเศษจากการหารพหนุ ามด้วยพหนุ ามทีก่ าหนดให้ได้
- สามารถใชท้ ฤษฎบี ทเศษเหลือ หาค่าของตวั แปรจากพหุนามท่ีกาหนดให้ได้
- สามารถใช้วิธกี ารหารสงั เคราะห์ หาผลหาร และเศษจากการหารดว้ ยพหนุ ามท่ีกาหนดให้ได้
2. ดา้ นทกั ษะกระบวนการ (P)
- มคี วามสามารถในการใหเ้ หตุผล ส่อื สาร สอ่ื ความหมายทางคณิตศาสตร์ การเชื่อมโยง
มีความคิดสร้างสรรค์ และสามารถนาไปใชแ้ ก้ปัญหาได้
- มที ักษะในการทางานเป็นกลุ่ม
3. ดา้ นคุณลักษณะอนั พึงประสงค์ (A)
- ซอ่ื สตั ย์สุจรติ
- ใฝ่เรยี นรู้
- มีความรบั ผดิ ชอบ
- ทางานอย่างเปน็ ระบบ

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 3 เร่อื ง ทฤษฎบี ทเศษเหลอื และการหารสังเคราะห์
2

แบบทดสอบก่อนเรียน เล่ม 3

คาชแ้ี จง ให้นักเรียนเลือกคาตอบท่ีถูกต้องทีส่ ุดแล้วทาเคร่ืองหมาย × ลงในกระดาษคาตอบท่ีกาหนดให้
( 5 นาที )

1. ขอ้ ใดคือเศษเหลือทีเ่ กดิ จาการหาร x4  3x2  2x 1 ดว้ ย x 1
ก. 7
ข. 8
ค. 9
ง. 10

2. ขอ้ ใดคือเศษเหลอื ที่เกิดจาการหาร 5x4  2x2  2x  2 ดว้ ย x 1
ก. 1
ข. 2
ค. 3
ง. 4

3. ข้อใดคือเศษเหลือทเี่ กิดจาการหาร 8y3  2y2  5y  3 ดว้ ย 2y 3
ก. 20
ข. 36
ค. 48
ง. 60

4. ขอ้ ใดคือคา่ ของ K ทที่ าให้ x k หาร x2  5x 2 เหลอื เศษ 8

ก. k 1 หรอื k  2
ข. k  2 หรือ k  1
ค. k  3 หรอื k  2
ง. k  3 หรือ k  2

5. ขอ้ ใดคือคา่ ของ m ทท่ี าให้ a b หาร a3  3a2b  b3  m ลงตวั
ก.  b3
ข. a2
ค. a3
ง. b3

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ 3 เรื่อง ทฤษฎบี ทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์ 3

6. ข้อใดคือคา่ ของ m ท่ีทาให้ x m หาร x3 3 เหลอื เศษ 5
ก. 0
ข. 1
ค. 1
ง. 2

7. ขอ้ ใดคือผลหารทีเ่ กิดจาการหาร x3  5x2  2x  8 ดว้ ย x 2
ก. x2 3x 4
ข. x2  3x 4
ค. x2 3x  4
ง. x2  3x  4

8. ขอ้ ใดคือผลหารทเ่ี กิดจาการหาร 2x4  5x3  x2  3x 1 ด้วย 2x 1
ก. x3  3x2  x  1
ข. x3  3x2  x  1
ค. x3  3x2  x 1
ง. x3  3x2  x  1

9. ข้อใดคือผลหารท่เี กิดจาการหาร 8y3  2y2  5y  3 ด้วย 2y 3
ก. 4y2  7y 13 เศษ 30
ข. 4y2  7y 13 เศษ 36
ค. 4y2  7y 13 เศษ 36
ง. 4y2  7y 13 เศษ 30

10. ข้อใดคือผลหารทเี่ กิดจาการหาร x4  3x  5 ด้วย x 2

ก. x3 2x2 4x 5 เศษ 15
ข. x3  2x2 4x  5 เศษ 15
ค. x3 2x2 4x 5 เศษ 15
ง. x3 2x2 4x 5 เศษ 15

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 3 เร่อื ง ทฤษฎีบทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์ 4
แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 5 เรื่อง ทฤษฎบี ทเศษเหลอื

ใบความรทู้ ี่ 1
เรื่อง ทฤษฎบี ทเศษเหลือ

เมอื่ p(x) คอื พหนุ าม anxn  an1xn1  ...  a1x  a0  0 โดยที่ n เป็นจานวนเต็ม

บวก an , an1 , ... , a1 , a0 เปน็ จานวนจรงิ ซงึ่ an  0 ถ้าหารพหนุ าม p(x) ด้วยพหนุ าม

x  c เมอ่ื c เป็นจานวนจริงแลว้ เศษเหลือจะเท่ากับ p(c)

พิสูจน์

ให้ p(x) หารด้วย x  c แล้วได้ผลหารเปน็ q(x) และเศษเหลือเป็นพหนุ าม r(x)

ดังน้ัน p(x)  (xc)  q(x)  r(x) __________ (1)

ซง่ึ r(x) เป็นศูนย์หรอื เป็นพหุนามทม่ี ดี ีกรตี ่ากวา่ ดีกรขี อง x  c น่ันคือ มีดีกรีศนู ย์

สรปุ ไดว้ ่า r(x) เป็นคา่ คงตวั

ให้ r(x)  d เมอ่ื d เปน็ คา่ คงตวั

เขียนสมการ (1) ใหมไ่ ด้เป็น __________ (2)
p(x)  (xc)  q(x)  d

แทน x ในสมการ (2) ดว้ ย c

จะได้ p(c)  (x  c)  q(c)  d

d
นัน่ คอื เศษเหลอื จะเทา่ กบั p(c)
ตวั อยา่ ง 1 จงหาเศษทเ่ี หลอื จาการหาร p(x)  3x2  3x  2 ดว้ ย x 2 แล้วจะเหลอื เศษ

เทา่ กับ p(2)
วิธที า p(x)  3x2  3x  2

จาก ทฤษฎบี ทเศษเหลือ x c จะได้ x c  x  (c)

ดังน้นั x  2 จะได้ x 2  x  (2) นั่นคือ c  2
จะได้ p(2)  3(2)2  3(2)  2

 126  2
น่นั คือ p(2)  8

จะไดว้ า่ เศษท่ีเหลอื จากการหาร 3x2  3x  2 ด้วย x 2 คอื 8

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 3 เรือ่ ง ทฤษฎีบทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์

5

ตวั อย่าง 2 ถา้ หาร p(x)  2x4  7x3  x2  7x  3 ด้วย x 1 แล้วจะเหลือเศษ

เท่ากบั p(1)
วธิ ที า p(x)  2x4  7x3  x2  7x  3

จาก ทฤษฎบี ทเศษเหลอื x c จะได้ c  1
ดงั น้ัน p(1)  2(1)4  7(1)3  (1)2  7(1)  3

 27 173

น่นั คอื p(1)  0

ดงั นั้น เศษท่ีเหลือจากการหาร p(x)  2x4  7x3  x2  7x  3 ด้วย x 1 คอื 0

ตวั อยา่ ง 3 ถา้ หาร p( x )  9x3  4x 1 ด้วย x  1 แล้วจะเหลอื เศษเทา่ กับ p(12)
2
วิธที า p( x )  9x3  4x 1

จาก ทฤษฎบี ทเศษเหลือ xc จะได้ c  1
2
1 1 1
จะได้ p ( 2 )  9 ( 2 )3  4 ( 2 )  1

 9  16  8
8
1 17
นนั่ คือ p ( 2 )  8

ดังนั้น เศษทเ่ี หลือจากการหาร 9x3  4x  1 ดว้ ย x  1 คือ 17
2 18
ตวั อยา่ ง 4 ถา้ หาร p( x )  x4  2x2  x  2 ดว้ ย x  3 แล้ว

จะเหลอื เศษเทา่ กับ p(3)
วิธที า p( x )  x4  2x2  x  2

จาก ทฤษฎีบทเศษเหลือ x c จะได้ c  3

จะได้ p(3)  (3)4  2(3)2  (3)  2

 8118 (3) 2
นัน่ คือ p(3)  98

ดังน้ัน เศษที่เหลือจากการหาร x4  2x2  x  2 ดว้ ย x  3 คือ 98

ศึกษาตวั อยา่ งมา 4 ขอ้ แล้วตอ่ ไป
ลองมาฝกึ ทาแบบฝึกทักษะ กันนะคะ

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 3 เรอื่ ง ทฤษฎีบทเศษเหลอื และการหารสังเคราะห์
6

แบบฝึกทกั ษะท่ี 1

คาชี้แจง จงหาเศษเหลอื ทีเ่ กิดจากการหารพหุนามต่อไปน้ี (ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. ( x43x  5)  ( x  2) 4. ( x43x3  4x2  x  6)  ( x 1)
___________________________________
___________________________________ _________________________________
___________________________________
___________________________________ _________________________________
___________________________________
___________________________________ _________________________________
___________________________________
2. (2x3  7x2  5x  4 )  ( x  3) _________________________________
___________________________________
___________________________________ _________________________________
___________________________________
___________________________________ _________________________________
___________________________________
___________________________________ _________________________________
___________________________________
___________________________________ 5. (2x45x3  x2  3x 1)  (x  1 )
2
3. (6x313x2  4 )  ( x  2) _________________________________
___________________________________
___________________________________ _________________________________
___________________________________
___________________________________ _________________________________
___________________________________
___________________________________ _________________________________
___________________________________
___________________________________ _________________________________
___________________________________
_________________________________

_________________________________

_________________________________

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 3 เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์ 7

นอกจากนี้ นักคณติ ศาสตร์ใช้ ทฤษฎบี ทเศษเหลอื เขา้ มาช่วยแตง่ โจทย์ ถามหาสัมประสทิ ธ์ิ
ของตวั แปรในฟังก์ชั่นพหนุ าม

ตวั อย่าง จงหาค่า m จากเงือ่ นไขท่ีกาหนดให้

1) x 5 หาร x3 2x2  8x m ลงตัว

วธิ ีทา ให้ p( x )  x3  2x2  8x  mและ c  5

p( 5)  53  2(5)2  8(5) m

เนอ่ื งจาก x 5 หาร p( x) ลงตวั

แสดงว่า p(5) 0

53  2(5)2  8(5)  m  0

115m  0

 m  115

2) a b หาร a3 3a2b b3 m ลงตวั

วธิ ีทา ให้ p(a)  a3  3a2b  b3  m และ c  b

p(b)  b3  3b2b  b3  m

เนอื่ งจาก a b หาร p(a) ลงตัว

แสดงวา่ p(b) 0

b3 3b2b b3 m  0
b3 m  0

 m  b3

3) x m หาร x3 3 เหลือเศษ 5
วธิ ที า ให้ p( x )  x3  3 และ c  m

p(m)  m3  3
เน่ืองจาก x m หาร p( x) เหลอื เศษ 5

แสดงวา่ p(m) 5

จาก m3  3  5
จะได้วา่ m3  3  5

m3  8

 m 2

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 3 เรื่อง ทฤษฎีบทเศษเหลอื และการหารสังเคราะห์
8

แบบฝึกทกั ษะที่ 2

คาช้ีแจง จงหาค่าของ t จากการหารพหนุ ามต่อไปน้ี (ข้อละ 2 คะแนน)

1. x 3 หาร x3 4x2  x  t ลงตวั 4. x 1 หาร 3x4 2x3  tx 2

_________________________________________ เหลอื เศษ 2
_________________________________________
_________________________________________ ________________________________________
_________________________________________ ________________________________________
_________________________________________ ________________________________________
_________________________________________ ________________________________________
_________________________________________ ________________________________________
_________________________________________ ________________________________________
________________________________________
2. x 2 หาร 2x3  tx2 3x  4t ลงตัว ________________________________________
________________________________________
_________________________________________
_________________________________________ 5. x  t หาร x2  5x 2
_________________________________________
_________________________________________ เหลือเศษ 8
_________________________________________
_________________________________________ ________________________________________
_________________________________________ ________________________________________
_________________________________________ ________________________________________
_________________________________________ ________________________________________
________________________________________
3. x 1 หาร 2tx5  x3 3x2  t ________________________________________
________________________________________
เหลอื เศษ 4 ________________________________________
________________________________________
_________________________________________ ________________________________________
_________________________________________ ________________________________________
_________________________________________ ________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
______________________________

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ 3 เร่ือง ทฤษฎบี ทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์ 9

ใบความรทู้ ี่ 2
เร่ือง การหารพหนุ ามด้วยพหุนาม
**********************************************************************
ตัวอยา่ งการหารพหุนามดว้ ยพหนุ าม โดยใช้วธิ กี ารต้ังหาร หารยาว การหารสงั เคราะห์ และการใช้
ทฤษฎเี ศษเหลือ ดังนี้
ตัวอยา่ ง 1 ถ้าหาร p( x )  3x2  3x  2 ด้วย x 2 แล้วเศษจะเหลือเท่าไร

วิธีทา วิธีที่ 1 ใช้วธิ ตี งั้ หารธรรมดา

3x + 33x  3 ผลหาร
x  2 3x2  3x  2

3x2  6x - -

33xx62 -

8 เศษ
ดังนนั้ เม่อื หาร 3x2 3x  2 ดว้ ย x 2 แลว้ จะได้ผลลัพธ์เป็น 3x  3 เหลือเศษ 8

วิธีท่ี 2 ใช้วิธกี ารหารสังเคราะห์

หลักการ 1. นาตวั ตั้ง p( x )  3x2  3x  2 มาเรยี งลาดับจากมากไปหาน้อย

จะได้ p( x )  3x2  3x  2

2. นาสมั ประสทิ ธขิ์ องแตล่ ะตวั มาเรยี งกนั

จะได้ 3 3 2

3. เนอื่ งจากตวั หาร คือ x 2 ให้เอา +2 มาใช้หาผลหาร

จะได้ 2 3 3 2

4. ดึงสมั ประสทิ ธต์ิ วั แรกลงมาอยู่ในแถวผลหาร

จะได้ 2 3 3 2 แถวที่ 1

.............. แถวท่ี 2

3 แถวของผลหาร

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ 3 เรอื่ ง ทฤษฎบี ทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์ 10

5. นา 2 คณู กบั 3 แล้วนาผลคณู ไปไว้ในแถวท่ี 2 หลกั ที่ 2

จะได้ 2 3 3 2 แถวที่ 1

6 แถวที่ 2

3 แถวท่ี 3

6. นา 3 บวกกับ 6 แล้วนาผลลัพธ์มาไว้แถวที่ 3

2 3 3 2+ แถวท่ี 1
6 แถวที่ 2

33 แถวที่ 3

7. นา 2 คณู กับ 3 ในแถวของผลหารแลว้ นาผลคณู ไปไว้ในแถวท่ี 2 หลักท่ี 3

การดาเนนิ การหาร 2 3 3 2 + แถวที่ 1
เสรจ็ สนิ้ ตัวเลขท่ีอยู่ 6 6 แถวที่ 2
ในแถวท่ี 3 คือ
สมั ประสทิ ธิ์ของ 33 แถวที่ 3
ผลหาร โดยการหาร
หนึ่งครั้งกาลังของ 8. นา 2 บวกกับ 6 แล้วนาผลบวกมาไว้แถวที่ 3
ตัวแปรลดลง 1 จาก
ตัวตงั้ และตัวสุดท้าย 2 3 3 2 + แถวที่ 1
ทไ่ี ด้จากขนั้ ตอน 66 แถวที่ 2
การหารคือเศษ
33 8 แถวที่ 3

3x + 3 ผลหาร

8 คือ เศษทีเ่ หลือจากการหาร

หมายเหตุ การเขยี นสัมประสทิ ธิข์ อง p( x) ทเ่ี รยี งกาลังจากมากไปน้อย ถ้ากาลงั กระโดด

สัมประสทิ ธ์ิของกาลังท่หี ายไปคือเลข 0 เช่น (3x4  3x2  2x  4)  ( x  2)

เขยี นใหม่เรียงดีกรีได้เป็น (3x4  0x3  3x2  2x  4)  ( x  2)

2 3 0 3 2 4 แถวที่ 1
6 12 18 40 + แถวท่ี 2

3 6 9 20 36 เศษ

3x3  6x2  9x  20 ผลหาร

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 3 เร่อื ง ทฤษฎบี ทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์
11

แบบฝึกทกั ษะที่ 3

คาชแ้ี จง จงหาผลหารโดยวธิ หี ารสงั เคราะห์ (ข้อละ 2 คะแนน)

1. ( x4  5x2  4)  ( x  3) 2. ( x3  5x2  2x  8)  ( x  2)

_________________________________________ ________________________________________

_________________________________________ ________________________________________

_________________________________________ ________________________________________

_________________________________________ ________________________________________

_________________________________________ ________________________________________

_________________________________________ ________________________________________

_________________________________________ ________________________________________

_________________________________________ ________________________________________

_________________________________________ ________________________________________

_________________________________________ 4__. __(_x_3____2_x_2____5_x____6_)____(_x___ 1)

3_.___(_x_4____3_x_2____2_x___1)  ( x 1)

_________________________________________ ________________________________________

_________________________________________ ________________________________________

_________________________________________ ________________________________________

_________________________________________ ________________________________________

_________________________________________ ________________________________________

_________________________________________ ________________________________________

_________________________________________ ________________________________________

_________________________________________ ________________________________________

__________________________________________________________________________________5________.____________(______x_________4_____________________x_________3_____________________2______x_________2_____________________4______x____________2___4______)______________________________(______x_____________________2_________)_____________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________

________________________________________________

________________________________________________

________________________________________________

________________________________________________

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 3 เร่ือง ทฤษฎบี ทเศษเหลอื และการหารสังเคราะห์ 12

การหาผลหารเมื่อตัวหารอยู่ในรูปเศษสว่ น

ตวั อย่าง 2 จงหาผลหารของพหุนาม 3x3 8x2 2x 4 กบั ( x  2 )
3
วิธีทา p( x )  3x3  8x2  2x  4

2

3 3 8 2 4
2 4 4 +

3 6 6 0 หารลงตัว

3x2 6x 6 ผลหารทไ่ี ด้

แต่เนอื่ งจาก ตัวหารเปน็ เศษส่วน ใหน้ าตัวสว่ นของตัวหาร มาหารผลหารทไ่ี ด้

จะได้ 3 หารทกุ พจนข์ องผลหาร 3x2 6x 6

ดังนนั้ ผลลัพธข์ องข้อนี้ คอื x2 2x 2 ตอบ

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาผลหารของพหุนาม 8y3  2y2  5y  3 ดว้ ย 2y 3
วิธที า p(y)  8y3  2y2  5y  3

3

2 8 2 5 3
12 21 39
+

8 14 26 36 เศษเหลือ

8y2  14y  26 ผลหาร

แตเ่ นอ่ื งจาก ตวั หารเป็นเศษส่วน ใหน้ าตวั ส่วนของตัวหารมาหารผลหารท่ีได้

น่ันคอื นา 2 หารทุกพจนข์ องผลหาร 8y2 14y  26

ดงั น้ัน ผลลพั ธข์ องข้อนี้ คือ 4y2  7y 13 เศษ 36 ตอบ

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 3 เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทเศษเหลอื และการหารสังเคราะห์
13

แบบฝึกทกั ษะที่ 4

คาช้แี จง จงหาผลหารด้วยวธิ ีหารสังเคราะห์

1. (6x3 11x2  6x 1)  ( x 1) 2. (5x4  2x2  2x  2)  ( x 1)

______________________________________________ __________________________________________

______________________________________________ __________________________________________
______________________________________________ __________________________________________
______________________________________________ __________________________________________
______________________________________________ __________________________________________
______________________________________________ __________________________________________
______________________________________________ __________________________________________
______________________________________________

______________________________________________ __________________________________________

_3_.___(_4_x_3_____4_x_2____1__1_x____6__)_____(_2__x  1) 4__. __(4__x_3____2_x_2____6_x___1__) __ (2x  1)

________________________________________ __________________________________________

________________________________________ __________________________________________

________________________________________ __________________________________________

________________________________________ __________________________________________

________________________________________ __________________________________________

________________________________________ __________________________________________

________________________________________ __________________________________________

________________________________________ __________________________________________

________________________________________ __________________________________________

5. (8y3  2y2  5y  3)__ (2y  3)

___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
_____

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 3 เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทเศษเหลอื และการหารสังเคราะห์
14

แบบทดสอบหลังเรียนเลม่ 3

คาช้ีแจง ใหน้ ักเรียนเลอื กคาตอบท่ีถกู ต้องท่ีสุดแลว้ ทาเครื่องหมาย x ลงในกระดาษคาตอบทก่ี าหนดให้
(10 นาที)

1. ข้อใดคือคา่ ของ m ท่ที าให้ x m หาร x3 3 เหลอื เศษ 5
ก. 0
ข. 1
ค. 1
ง. 2

2. ขอ้ ใดคือผลหารที่เกิดจาการหาร x3  5x2  2x  8 ด้วย x 2
ก. x2 3x 4
ข. x2  3x 4
ค. x2 3x  4
ง. x2  3x  4

3. ข้อใดคือผลหารทีเ่ กิดจาการหาร 2x4  5x3  x2  3x 1 ด้วย 2x 1
ก. x3  3x2  x 1
ข. x3 3x2  x 1
ค. x3 3x2  x 1
ง. x3 3x2  x 1

4. ขอ้ ใดคือผลหารทเ่ี กิดจาการหาร 8y3  2y2  5y  3 ด้วย 2y 3
ก. 4y2  7y 13 เศษ 30
ข. 4y2  7y 13 เศษ 36
ค. 4y2  7y 13 เศษ 36
ง. 4y2  7y 13 เศษ 30

5. ข้อใดคือผลหารทเี่ กิดจาการหาร x4  3x  5 ด้วย x 2

ก. x3 2x2 4x 5 เศษ 15
ข. x3  2x2 4x  5 เศษ 15
ค. x3 2x2 4x 5 เศษ 15
ง. x3 2x2 4x 5 เศษ 15

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ 3 เร่ือง ทฤษฎีบทเศษเหลือและการหารสงั เคราะห์
15

6. ข้อใดคือเศษเหลือท่ีเกิดจาการหาร x4  3x2  2x 1 ดว้ ย x 1
ก. 7
ข. 8
ค. 9
ง. 10

7. ขอ้ ใดคือเศษเหลอื ทเี่ กิดจาการหาร 5x4  2x2  2x  2 ดว้ ย x 1
ก. 1
ข. 2
ค. 3
ง. 4

8. ข้อใดคือเศษเหลือทีเ่ กดิ จาการหาร 8y3  2y2  5y  3 ด้วย 2y 3
ก. 20
ข. 36
ค. 48
ง. 60

9. ขอ้ ใดคือค่าของ K ทที่ าให้ x k หาร x2  5x 2 เหลือเศษ 8

ก. k 1 หรอื k  2
ข. k  2 หรอื k  1
ค. k  3 หรือ k  2
ง. k  3 หรอื k  2

10. ขอ้ ใดคือคา่ ของ m ทท่ี าให้ a b หาร a3  3a2b  b3  m ลงตวั
ก.  b3
ข. a2

ค. a3
ง. b3

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 3 เรอ่ื ง ทฤษฎีบทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์ 16

เกณฑ์การให้คะแนน/เกณฑก์ ารตัดสิน
1. เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

แบบทดสอบก่อนเรยี น (คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

ข้อท่ี รายการประเมิน ระดบั คะแนน เกณฑ์การให้คะแนน

1 - 10 การตอบคาถาม 1 คาตอบถูกต้อง
0 คาตอบไม่ถกู ต้อง

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1 ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน
(คะแนนเตม็ 10 คะแนน) 2 แสดงวิธที าและคาตอบถูกต้อง
ขอ้ ที่ รายการประเมนิ 1 แสดงวิธที าถูกต้องแต่คาตอบ
ผดิ /แสดงวธิ ที าไมถ่ ูกต้อง/
1 - 5 แสดงวิธีทาและหาคาตอบ 0 คาตอบถกู
แสดงวธิ ที าและตอบไม่ถูกต้อง

แบบฝึกทักษะท่ี 2 (คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

ข้อท่ี รายการประเมนิ ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน

2 แสดงวธิ ีทาและคาตอบถกู ต้อง

1 แสดงวิธีทาถกู ต้องแต่คาตอบ

1 - 5 แสดงวิธีทาและหาคาตอบ ผดิ /แสดงวิธีทาไม่ถูกต้อง/
คาตอบถูก

0 แสดงวธิ ีทาและตอบไมถ่ ูกต้อง

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 3 เรือ่ ง ทฤษฎีบทเศษเหลอื และการหารสังเคราะห์
17

แบบฝกึ ทักษะที่ 3 (คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

ข้อที่ รายการประเมนิ ระดบั คะแนน เกณฑ์การให้คะแนน

2 แสดงวธิ ที าและคาตอบถูกต้อง

1 แสดงวิธที าถกู ต้องแต่คาตอบผดิ /

1 - 5 แสดงวิธที าและหาคาตอบ แสดงวิธีทาไมถ่ ูกต้อง/คาตอบถูก

0 แสดงวธิ ที าและตอบไมถ่ กู ตอ้ ง

แบบฝกึ ทักษะท่ี 4 (คะแนนเต็ม 10 คะแนน) เกณฑ์การให้คะแนน
ขอ้ ที่ รายการประเมนิ ระดับคะแนน แสดงวธิ ที าและคาตอบถูกต้อง
แสดงวธิ ที าถูกต้องแต่คาตอบผิด/
2 แสดงวิธที าไมถ่ ูกต้อง/คาตอบถูก
1 แสดงวธิ ีทาและตอบไมถ่ กู ตอ้ ง
1 - 5 แสดงวิธที าและหาคาตอบ
0

แบบทดสอบหลังเรยี น (คะแนนเตม็ 10 คะแนน)

ข้อที่ รายการประเมิน ระดบั คะแนน เกณฑ์การให้คะแนน
คาตอบถกู ต้อง
1 - 10 การตอบคาถาม 1 คาตอบไม่ถูกต้อง
0

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 3 เรื่อง ทฤษฎบี ทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์
18

2. เกณฑก์ ารตัดสิน
แบบฝกึ ทกั ษะ
- แบบฝึกทกั ษะที่ 1 และ 2 คะแนนเต็ม 20 คะแนน ( ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 7)
- แบบฝกึ ทักษะท่ี 3 และ 4 คะแนนเต็ม 20 คะแนน ( ประกอบแผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 8)
- คะแนนรวมทุกแบบฝกึ เต็ม 40 คะแนน ตอ้ งได้คะแนนรอ้ ยละ 80 หรอื 32 คะแนน ข้ึนไป

จึงจะถือวา่ ผ่านเกณฑ์การประเมิน
แบบทดสอบหลังเรียน

- คะแนนเตม็ 10 คะแนน
- ได้คะแนนร้อยละ 50 หรือ 5 คะแนน ขึ้นไป จึงจะถือวา่ ผ่านเกณฑ์

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 3 เรือ่ ง ทฤษฎบี ทเศษเหลอื และการหารสังเคราะห์ 19

บรรณานกุ รม

กนกวลี อษุ ณกรกุลและรณชัย มาเจริญทรัพย์. แบบฝกึ หัดและประเมินผล การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4-6 เลม่ 1. กรงุ เทพมหานคร : เดอะบคุ ส์, 2553.

กมล เอกไทยเจรญิ . คณติ ศาสตร์มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 เล่ม 1. กรุงเทพมหานคร : ไฮเอด็ พับลชิ ช่ิง,
2551.

กระทรวงศกึ ษาธกิ าร. หลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาขัน้ พนื้ ฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพมหานคร :
กระทรวงศึกษาธิการ, 2551.

จกั รนิ ทร์ วรรณโพธิ์กลาง. คู่มือประกอบการเรยี นรายวชิ าเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ มัธยมศึกษาปที ่ี 4-6
เลม่ 1. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ธนธัชการพิมพ์, 2553.

ทรงวทิ ย์ สวุ รรณธาดา. ระบบจานวนจริงระดบั มัธยมปลาย. กรงุ เทพมหานคร : แม็ค, 2542.
_______. หนงั สอื เรียนเสรมิ คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 ภาคเรยี นที่ 1.

กรุงเทพมหานคร : แมค็ , 2555.
ธนวฒั น์ สนทราพรพล. แบบฝกึ หัดและเทคนิคคดิ โจทย์เร็ว คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

เล่ม 1. กรุงเทพมหานคร : SCIENCE CENTER, ม.ป.ป.
นพพร แหยมแสง. คณิตศาสตรม์ ธั ยมศึกษา 4. กรุงเทพมหานคร : สถาบันพฒั นาคุณภาพวิชาการ

(พว.). 2546.
รณชยั มาเจรญิ ทรัพย์. คูม่ ือเตรยี มสอบคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม เลม่ 1. ม. 4-6 กลุ่มสาระการเรียนรู้

คณติ ศาสตร.์ กรงุ เทพมหานคร : ภูมบิ ณั ฑิต, ม.ป.ป.
สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. คู่มือครูสาระการเรียนรู้เพิม่ เติมคณิตศาสตร์

เลม่ 1. ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 4. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพค์ รุ สุ ภาลาดพร้าว, 2547.
_______. หนังสือเรียนรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติมเล่ม 1. ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4-6 พมิ พ์ครง้ั ท่ี 3

กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพค์ รุ ุสภาลาดพร้าว, 2554.
สมัย เหล่าวานชิ ย.์ คมู่ ือเตรยี มสอบคณิตศาสตร์ ม. 4-6 เล่ม 1. (พ้นื ฐานและเพ่มิ เติม).

กรุงเทพมหานคร : ไฮเอ็ดพับลิชช่ิง จากัด, 2557.

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 3 เรือ่ ง ทฤษฎีบทเศษเหลอื และการหารสังเคราะห์
20

ภาคผนวก

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 3 เร่อื ง ทฤษฎบี ทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์
21

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี นเลม่ 3

คาช้แี จง ใหน้ กั เรยี นเลอื กคาตอบท่ีถกู ต้องที่สุดแล้วทาเคร่ืองหมาย × ลงในกระดาษคาตอบที่กาหนดให้

ข้อที่ คาตอบ
1 ก. 7
2. ค. 3
3. ข. 36
4. ค. k  3 หรอื k  2
5. ง. b3
6. ง. 2
7. ก. x2 3x 4
8. ง. x3 3x2  x 1
9. ข. 4y2  7y 13 เศษ 36

10. ค. x3 2x2 4x 5 เศษ 15

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 3 เร่อื ง ทฤษฎีบทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์
22

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 1

คาชีแ้ จง จงหาเศษเหลอื ที่เกิดจากการหารพหุนามต่อไปนี้ (ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. ( x4  3x  5)  ( x  2) 4. ( x4  3x3  4x2  x  6)  ( x 1)
วิธีทา p( x )  x4  3x  5 วธิ ที า p( x )  x4  3x3  4x2  x  6

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ จะได้ c  2 จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ จะได้ c  1

p(2)  24  3(2)  5 p(1)  14  3(1)3  4(1)2  (1)  6
 166  5  13416

 15 7
 เศษทีเ่ หลอื จากการหารพหนุ าม คือ 15  เศษทเี่ หลือจากการหารพหนุ าม คอื 7

2. (2x3  7x2  5x  4)  ( x  3) 5. (2x4  5x3  x2  3x 1)  ( x  1 )
วิธีทา p( x )  2x3  7x2  5x  4 2
จาก ทฤษฎบี ทเศษเหลือ จะได้ c  3 วิธีทา p( x )  2x4  5x3  x2  3x 1

p(3)  2(3)3  7(3)2  5(3)  4 จากทฤษฎีบทเศษเหลอื จะได้ c = 1
 2(27)  7(9)  (15) 4 2
1 1 1 1 1
 54  63154 p ( 2 )  2 ( 2 )4  5( 2 )3  ( 2 )2  3( 2 )  1
 20
 เศษทีเ่ หลือจากการหารพหนุ าม คือ 20  2(116 )  5  1  3  1
8 4 2
3. (6x3 13x2  4)  ( x  2) 1 5 1 3
วิธีทา p( x )  6x3 13x2  4  8  8  4  2  1
จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ จะได้ c   2
 1 5  2 12  8
p(2)  6(2)3 13(2)2  4 8
 6(8) 13(4) 4 14
0  8

 เศษทีเ่ หลือจากการหารพหุนาม คอื 0  7
4
7
 เศษทีเ่ หลือจากการหารพหุนาม คือ 4

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 3 เรือ่ ง ทฤษฎีบทเศษเหลอื และการหารสังเคราะห์ 23

เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2

คาชแ้ี จง จงหาค่า t จากการหารพหุนามต่อไปน้ี (ข้อละ 2 คะแนน)

1. x 3 หาร x3 4x2  x  t ลงตัว 3. x 1 หาร 2tx5  x3 3x2  t

วธิ ที า p( x )  x3  4x2  x  t เหลือเศษ 4
วิธที า p( x )  2tx5  x3  3x2  t
ให้ x 3  0  c  3
ให้ x 1  0  c  1
จะได้ p(3)  (3)3  4(3)2  (3)  t

 27363  t p(1)  2t (1)5  (1)3  3(1)2  t
 2t(1)5  (1)3  3(1)2  t
 t 12
จาก x 3 หาร p( x) ลงตวั  2t 13  t

จะได้ p(3)  0  t2
จาก x 1 หาร p( x) เหลอื เศษ 4
t 12  0 ตอบ
นน่ั คอื t  12 จะได้ p(1)  4

2. x 2 หาร 2x3  tx2 3x  4t ลงตวั t2  4 ตอบ

วธิ ีทา p( x )  2x3  tx2  3x  4t t  42

ให้ x 2  0  c  2 t 2
จะได้ p(2)  2(2)3  t(2)2  3(2)  4t นั่นคอื t  2

 16 4t 6  4t 5. x  t หาร x2  5x 2 เหลอื เศษ 8

 8t10 วธิ ีทา p( x )  x2  5x  2
จาก x 2 หาร p( x) ลงตวั
ให้ x  t  0  c   t
จะได้ p(2)  0
จะได้ p(t)  (t )2  5(t)  2

8t 10  0  t2  5t  2

8t  0 เน่อื งจาก x  t หาร p( x) เหลอื เศษ 8

10 จะได้ p(t)  8
8
t    t2  5t  2  8

 t   5 t2 5t 6  0
4
5 (t3)(t2)  0
นนั่ คือ t   4 ตอบ
น่นั คือ t  2 และ t  3 ตอบ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 3 เรื่อง ทฤษฎีบทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์ 24

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 3

คาชแ้ี จง ใหห้ าผลหารของพหุนามต่อไปน้ี

1. ( x4  5x2  4)  ( x  3) 2. ( x3  5x2  2x  8)  ( x  2)

วิธที า p( x )  x4  5x2  4 วิธที า p( x )  ( x3  5x2  2x  8)

3 10 5 0 4 + 21 5 2 8 +
3 9 12 36 2 6 8

1 3 4 12 40 1 3 4 0

ผลลัพธ์คือ x3 3x2  4x 12 เศษ 40 ผลลพั ธค์ อื x2 3x 4

3. ( x4  3x2  2x 1)  ( x 1) 4. ( x3  2x2  5x  6)  ( x 1)
วธิ ีทา p( x )  ( x4  3x2  2x 1)
1 1 0 3 2 1 วิธีทา p( x )  x3  2x2  5x  6

1 1 4 6 + 1 1 2 5 6 +
1 1 4 6 7 1 1 6

ผลลพั ธ์คอื x3  x2  4x 6 เศษ 7 1 1 6 0

ผลลพั ธค์ อื x2  x 6

5. ( x4  x3  2x2  4x  24)  ( x  3)
วิธที า p( x )  x4  x3  2x2  4x  24

3 1 1 2 4 24 +
3 6 12 24

12 4 8 0

ผลลพั ธค์ อื x3  2x2  4x  8

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 3 เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์
25

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 4

คาชแ้ี จง ใหห้ าผลหารของพหุนามตอ่ ไปนี้

1. (6x3 11x2  6x 1)  ( x 1) 2. (5x4  2x2  2x  2)  ( x 1)
วธิ ีทา p( x )  5x4  2x2  2x  2
วธิ ีทา p( x )  6x3 11x2  6x 1
1 5 0 2 2 2 +
1 6 11 6 1 + 5535
6 5 1
55353
6 5 1 0

ผลลัพธ์คอื 6x2 5x 1 ผลลัพธค์ อื 5x3  5x2  3x  5 เศษ 3

3. (4x3  4x2 11x  6)  (2x 1) 4. (4x3  2x2  6x 1)  (2x 1)
วธิ ที า p(x)  4x3  2x2  6x 1
วิธที า p( x )  4x3  4x2 11x  6

 1 4 4 11 6  1 4 2 6 1
2 2 1 6 2 2 0 3
+
+

4 2 12 0 4 0 6 2

หารผลหาร ดว้ ย 2 หารผลหาร ดว้ ย 2

จะไดผ้ ลลพั ธ์ คอื 2x2  x 6 จะไดผ้ ลลพั ธ์ คอื 2x2 3 เศษ 2

5. (8y3  2y2  5y  3)  (2y  3)
วธิ ที า p( y )  8y3  2y2  5y  3

3

2 8 2 5 3 +
12 21 39

8 14 26 36

หารผลหาร ดว้ ย 2
จะได้ผลลพั ธ์ คือ 4y2  7y 13 เศษ 36

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 3 เรื่อง ทฤษฎบี ทเศษเหลอื และการหารสังเคราะห์
26

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี นเลม่ 3
คาช้แี จง ใหน้ กั เรยี นเลือกคาตอบท่ีถูกต้องที่สดุ แล้วทาเคร่ืองหมาย × ลงในกระดาษคาตอบ ที่กาหนดให้

ขอ้ ท่ี คาตอบ
1 ง. 2
2 ก. x2 3x 4
3 ง. x3 3x2  x 1
4 ข. 4y2  7y 13 เศษ 36

5 ค. x3 2x2 4x 5 เศษ 15

6 ก. 7
7 ค. 3
8 ข. 36
9 ค. k  3 หรอื k  2
10 ง. b3