เล่ม 2 สมบัติการบวก-การคูณของจำนวนจริง

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ ค30201

เร่ือง ระบบจานวนจรงิ
ช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 4

เลม่ ที่ 2 สมบตั กิ ารบวกและการคูณของจานวนจริง

นางนภัสนันท์ เท่ยี งโยธา
ตาแหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ชานาญการพิเศษ

********************************************************************************

กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์
โรงเรียนพยคั ฆภมู วิ ทิ ยาคาร อาเภอพยัคฆภมู ิพสิ ยั
จังหวดั มหาสารคาม สานกั งานเขตพน้ื ทีก่ ารศึกษามัธยมศกึ ษา เขต ๒๖

คานา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ระบบจานวนจริง ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 เลม่ น้จี ัดทาขน้ึ
เพ่ือใช้เป็นส่อื ประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม รหสั วิชา ค30201
ระดบั ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4 ให้เป็นไปตามหลักการและจุดมุ่งหมายของหลักสตู ร โดยผ้จู ดั ทาได้
วิเคราะห์ หลักการ จุดมงุ่ หมาย มาตรฐาน จดุ ประสงค์การเรียนรขู้ องหลกั สตู รแกนกลางการศึกษา
ข้นั พืน้ ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 ตลอดจนศึกษาแนวคิดจิตวิทยาและทฤษฎีทีเ่ กีย่ วข้องในการสร้างแบบ
ฝกึ ทกั ษะให้มคี วามเหมาะสมสอดคล้องกับความรู้ ความสามารถและความสนใจเพ่ือนาไปใช้ใหเ้ กิด
ประโยชน์สูงสดุ แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ระบบจานวนจริง ท่ผี ู้จัดทาไดส้ รา้ งข้ึนน้ี มีทั้งหมด
10 เลม่ ประกอบด้วย

เล่มท่ี 1 จานวนจรงิ และสมบตั ขิ องการเท่ากนั
เล่มที่ 2 สมบัตขิ องจานวนจริง
เล่มท่ี 3 ทฤษฎบี ทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์
เลม่ ที่ 4 ทฤษฎีบทตวั ประกอบและทฤษฎีบทตวั ประกอบจานวนตรรกยะ
เล่มที่ 5 การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดยี ว
เลม่ ที่ 6 สมบัติของการไม่เท่ากันและการดาเนินการบนชว่ ง
เลม่ ท่ี 7 ชว่ งและการแก้อสมการ 1
เล่มที่ 8 ช่วงและการแก้อสมการ 2
เล่มท่ี 9 การแกส้ มการในรปู คา่ สัมบูรณ์
เล่มท่ี 10 การแก้อสมการในรูปคา่ สมั บรู ณ์

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ระบบจานวนจรงิ แต่ละเลม่ มีองค์ประกอบครบถ้วน อาทิ
ผลการเรียนรู้ สาระสาคญั จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน เฉลยแบบทดสอบ
ก่อนเรยี น แบบฝึกทกั ษะพร้อมเฉลย แบบทดสอบหลงั เรียน และเฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น

ผ้จู ดั ทาหวงั เป็นอย่างยง่ิ ว่าแบบฝึกทักษะคณิตศาสตรเ์ ล่มนี้ จะเปน็ ประโยชน์ตอ่ นักเรยี น
และผู้สนใจนาไปใชใ้ นการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในเร่อื ง ระบบจานวนจรงิ เพราะจะทาให้
เขา้ ใจเนอ้ื หามากข้ึน และได้ฝึกปฏบิ ัติในด้านทักษะ กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ไปพร้อมกนั

นภัสนันท์ เทย่ี งโยธา

เรอ่ื ง สารบญั หนา้

คาช้ีแจง ................................................................................................................... ก

วัตถุประสงค์ของการใชแ้ บบฝึกทกั ษะ ..................................................................... ข

คาแนะนาการใชแ้ บบฝึกสาหรบั นักเรียน ................................................................. ค

คาแนะนาการใช้แบบฝึกสาหรับครู .......................................................................... ง

ผลการเรียนรู้ / สาระสาคัญ/จดุ ประสงค์การเรียนรู้ ..…….……………...…….…………… 1

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น เล่ม 2 ………………….……………………………..……………..…… 2

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 2 เรื่อง สมบัตขิ องจานวนจรงิ

ใบความรูท้ ่ี 1 เร่อื ง สมบัติของจานวนจรงิ ท่เี กีย่ วกบั การบวก ................... 4

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1 ........................................................................................ 5

แบบฝกึ ทักษะที่ 2 ........................................................................................ 6

ใบความรทู้ ่ี 2 เร่อื ง สมบัติของจานวนจริงที่เก่ียวกบั การคณู …………….….. 7

แบบฝึกทักษะท่ี 3 ........................................................................................ 8

แบบฝึกทกั ษะท่ี 4 ........................................................................................ 9

ใบความร้ทู ่ี 3 เรอื่ ง สมบัตเิ พ่มิ เตมิ ของระบบจานวนจรงิ .......................... 10

แบบฝึกทกั ษะท่ี 5 ....................................................................................... 14

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 6 ....................................................................................... 15

ใบความรทู้ ี่ 4 เรื่อง การลบ - หารจานวนจริง .......................................... 16

แบบฝึกทักษะที่ 7 ........................................................................................ 18

แบบฝึกทักษะท่ี 8 ........................................................................................ 19

แบบทดสอบหลังเรยี น เล่ม 2 ..................................................................... 20

เกณฑ์การให้คะแนน ................................................................................................ 22

บรรณานุกรม ........................................................................................................... 24

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ชุดที่ 1 เรือ่ ง จานวนจรงิ

สารบญั (ต่อ)

เรื่อง หน้า
ภาคผนวก ................................................................................................................... 25
26
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น เลม่ 2.................................................................. 27
เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 1 .................................................................................. 28
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 2 .................................................................................. 29
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 3 .................................................................................. 30
เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 4 .................................................................................. 31
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 5 .................................................................................. 32
เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 6 .................................................................................. 33
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 7 .................................................................................. 34
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 8 .................................................................................. 35
เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น เลม่ 2..................................................................

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 2 เรือ่ ง สมบตั ิของจานวนจริง
ก

คาชี้แจง

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ระบบจานวนจริง สาหรับผเู้ รยี นระดับชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4
แบง่ ออกเปน็ 10 เล่ม แต่ละเล่มมีส่วนประกอบ ดังน้ี

1. คาชแี้ จง
2. คาแนะนาในการใช้แบบฝึกทักษะของนกั เรียน
3. คาแนะนาในการใชแ้ บบฝกึ ทักษะของครู
4. ผลการเรยี นรู้/สาระสาคญั /จุดประสงค์การเรยี นรู้
5. แบบทดสอบกอ่ นเรยี น
6. สว่ นเนื้อหา
7. แบบฝกึ ทกั ษะ
8. แบบทดสอบหลังเรียน
9. เกณฑ์การให้คะแนน
10. บรรณานกุ รม
11. เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน
12. เฉลยแบบฝึกทักษะ
13. เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 2 เรือ่ ง สมบตั ิของจานวนจรงิ ข
วัตถุประสงคใ์ นการใช้แบบฝึกทักษะ

การใชแ้ บบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ระบบจานวนจรงิ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4
มวี ตั ถปุ ระสงค์ เพอื่

1. ให้ผู้เรียนมีความรู้ความเข้าใจในเน้ือหา เรื่อง ระบบจานวนจริง จากการศึกษาตัวอย่าง

และทาแบบฝกึ อยา่ งต่อเน่อื ง

2. เพอ่ื พฒั นาทกั ษะการคดิ อย่างเปน็ ระบบมรี ะเบยี บแบบแผนและการตัดสนิ ใจให้ดีย่งิ ขึน้

3. เพือ่ ใหผ้ เู้ รยี นมวี ินยั มคี วามรับผดิ ชอบ มุง่ ม่ันในการทางาน ตระหนกั ในคณุ ค่าและมี

เจตคติท่ดี ีต่อวิชาคณติ ศาสตร์
4. เพ่ือให้ผเู้ รียนสามารถนาความรู้ท่ีไดศ้ กึ ษา ไปปรบั ใชใ้ นชวี ติ ประจาวันได้

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 2 เร่อื ง สมบัติของจานวนจริง
เท่ากัน ค

คาแนะนาสาหรับนกั เรียน

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ระบบจานวนจรงิ ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 เลม่ 2 สมบตั ขิ อง
จานวนจริง นกั เรยี นควรปฏบิ ัติตามคาแนะนา ดงั นี้

1. ศึกษาจุดประสงค์การเรียนรู้ สาระสาคญั ให้เข้าใจ
2. ทาแบบทดสอบกอ่ นเรยี น
3. ศกึ ษาทาความเข้าใจเน้อื หาจากใบความรู้
4. ทาแบบฝึกทกั ษะทุกแบบฝึก หากมขี ้อสงสยั ใหป้ รกึ ษากนั ภายในกลมุ่ หรือครผู ู้สอน
5. เปล่ียนกันตรวจแบบฝกึ ทักษะตามเฉลย และร่วมกนั สรุปองค์ความรู้โดยครคู อย
แนะแนวทางและอธบิ ายเพิ่มเติม
6. ทาแบบทดสอบหลงั เรียน เพ่ือดูความกา้ วหน้าในการเรียนของนักเรยี น
7. นกั เรยี นต้องมีความซ่ือสตั ย์ตอ่ ตนเอง เปน็ คุณธรรมสงู สุดในการใชแ้ บบฝกึ ทักษะ
8. นักเรียนจะต้องทาแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ถกู ต้องร้อยละ 80 ขนึ้ ไป ของจานวน
ข้อสอบทง้ั หมดของแต่ละแบบฝึก จึงถอื วา่ ผา่ นเกณฑ์การประเมนิ

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 2 เรื่อง สมบตั ิของจานวนจรงิ ง

คาแนะนาสาหรบั ครู

การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ระบบจานวนจรงิ ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 2
สมบัติของจานวนจริง ครผู สู้ อนมบี ทบาทสาคญั ท่ีจะชว่ ยใหก้ ารเรียนรู้ของนกั เรยี นบรรลวุ ัตถุประสงค์
ครูผู้สอนจึงควรศึกษารายละเอียดเกี่ยวกบั การปฏิบตั ิตนกอ่ นทจี่ ะใช้แบบฝึกทักษะ ดังนี้

1. ครูตอ้ งศึกษาเนื้อหาของแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตรใ์ ห้เข้าใจเป็นอย่างดี เพื่อเปน็ การ
เตรยี มตวั ในการสอน

2. ครูตอ้ งช้แี จงใหน้ กั เรยี นเข้าใจเกี่ยวกับการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เพอื่ ใหน้ กั เรียนรู้
บทบาทและหน้าทีข่ องนักเรียนและตอ้ งชแ้ี จงปลูกฝังคุณธรรมดา้ นความซ่ือสัตย์ ดา้ นการรักษาสิง่ ของ
ส่วนรวมอยา่ งเคร่งครดั โดยไม่ขีดเขยี นหรือทาใหแ้ บบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ฉีกขาด

3. ครูตอ้ งให้นักเรียนทาแบบทดสอบก่อนเรยี น เพ่ือสารวจความรพู้ ืน้ ฐานของนักเรียน
4. แจง้ จุดประสงค์การเรยี นรู้ใหน้ ักเรียนทราบ
5. จัดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชแ้ บบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์เล่มน้ีควบค่กู ับแผนการจดั การเรยี นรู้
วิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ค30201
6. หากนกั เรยี นมขี ้อสงสัยในการใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ครูต้องให้คาแนะนาแก่นักเรียน
ทนั ที
7. เมื่อนกั เรยี นทาแบบฝกึ ทักษะเสรจ็ แล้ว ใหช้ ่วยกันตรวจคาตอบจากเฉลย และรว่ มกันสรุป
องค์ความรู้ โดยครแู นะแนวทาง และอธิบายเพิ่มเติม
8. หลงั การเรียนจบแลว้ ตอ้ งใหน้ ักเรยี นทาแบบทดสอบหลังเรียน
9. ตรวจแบบทดสอบหลังเรยี น และบันทกึ ผลคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 2 เรื่อง สมบตั ิของจานวนจรงิ 1

ผลการเรียนรู้

นาสมบตั ิต่าง ๆ เกี่ยวกับจานวนจรงิ และการดาเนนิ การไปใชไ้ ด้

สาระสาคัญ

1. สมบัติการบวก - คูณจานวนจรงิ มสี มบตั ิ ดังน้ี คอื

1. สมบัติปดิ 2. สมบัตกิ ารสลบั ท่ี

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุม่ 4. สมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์

5. สมบตั ิการมอี นิ เวอรส์ 6. สมบัติการแจกแจง

2. ระบบจานวนจริงมีระบบย่อย R+ ซง่ึ R R มสี มบตั เิ พ่ิมเตมิ อีก 3 ประการ คือ

1. 0  R และถ้า a เป็นจานวนจริงท่ี a  0 แลว้ ตอ้ งเปน็ ประการใดประการหนึ่ง

เท่านัน้ คือ ก. aR หรือ ข. - aR

2. ถ้า a , b R แล้ว a  bR

3. ถา้ a , b R แล้ว ab  R

3. การลบจานวนจรงิ เมอื่ a และ b เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ a b  a  (b)

4. การหารในระบบจานวนจรงิ เปน็ การหารจานวนจรงิ ด้วยจานวนจรงิ โดยเมอื่ a และ b

เป็นจานวนจริงใด ๆ b0 , a  ab1
b
จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

1. ดา้ นความรู้ (K)

- สามารถบอกสมบัติของการบวก - การคูณในระบบจานวนจริงได้

- สามารถนาสมบัตขิ องการบวก - การคณู ไปใชไ้ นการหาคาตอบในระบบจานวนจรงิ ได้
- สามารถบอกสมบตั ิของระบบจานวนจริงบน R+ ได้

- สามารถบอกนยิ ามเกย่ี วกับการลบ - หาร จานวนจรงิ ได้

2. ด้านทกั ษะกระบวนการ (P)

- มคี วามสามารถในการให้เหตุผล ส่ือสาร สอ่ื ความหมายทางคณิตศาสตร์ การเชื่อมโยง

และมีความคดิ สร้างสรรค์

3. ดา้ นคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์ (A)

- ซอื่ สัตย์สจุ ริต

- มรี ะเบยี บวินยั

- มคี วามเชื่อมนั่ ในตนเอง

- มีเจตคติทดี่ ีต่อวิชาคณิตศาสตร์

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 2 เรือ่ ง สมบัติของจานวนจรงิ 2

แบบทดสอบกอ่ นเรียน เล่ม 2

คาช้แี จง ให้นกั เรยี นทาเคร่ืองหมาย x ในช่องกระดาษคาตอบที่ถูกทีส่ ุดเพียงคาตอบเดียว ( 5 นาที )

1. ขอ้ ใดเป็นจรงิ ตามสมบตั ิการแจกแจง
ก. (35)(32)  3(52)
ข. 5(43)  543
ค. 4(6  3)  (6  3)4
ง. (23)  (25)  2(3  5)

2 ขอ้ ใดเป็นจริงตามสมบัติการสลบั ท่ี
ก. 5(2  7)  (52)  (57)
ข. 5  (2  7)  (5  2)  7
ค. 5  (27)  (27)  5
ง. 5 (27)  (52)7

3. ให้ a และ b เป็นจานวนจริงซึ่ง ab 1 แลว้ ข้อใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง
ก. a เปน็ เอกลักษณก์ ารบวก
ข. a เปน็ อนิ เวอรส์ การคณู ของ b
ค. a เป็นอนิ เวอรส์ การบวกของ b
ง. a เปน็ อนิ เวอรส์ การคูณของ a

4. ข้อใดต่อไปน้ีมสี มบัตกิ ารมีเอกลกั ษณ์ของการคูณ

ก. ab  a ข. a1  1

ค. ab  b ง. 10  0

5. ข้อใดต่อไปน้ีมสี มบัตกิ ารเปลี่ยนหมู่ของการคูณ
ก. (mn)k  k (mn)
ข. (mn)k  m(nk )
ค. [ (mn) k ]r  (mn)  (k r )
ง. [ (mn)(k r ) ]  (mk )  (nr )

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 2 เรื่อง สมบตั ิของจานวนจรงิ
3

6. ขอ้ ใดต่อไปน้ีมีสมบัตกิ ารมีอนิ เวอร์สของการบวก

ก. 0  0  0 ข. 0  5  5

ค.  5  5  0 ง. 1  1  1
2 2

7. ขอ้ ใดต่อไปน้ีมสี มบตั ิการเปล่ยี นกลมุ่ ของการบวก

ก. 1 2  3  (1 2)  3 ข. (1 2)  3 1 (2  3)

ค. 1 2  3  1 (2  3) ง. 1 (2  3)  (1 2  3)

8. ถ้า  ( x 1)  ( y 1)   ( x 1) แลว้ y มีคา่ เท่าไร

ก. 1 ข. 1

ค. x 1 ง. x 1

9. ถา้ a เป็นอินเวอร์สการบวกของ b แลว้ คา่ ของ c ที่ทาให้ 2a 2b 3c  4 เท่ากับ

ข้อใดตอ่ ไปน้ี

ก. 2 ข. 3
2
2 4
ค. 3 ง. 3

10. ข้อใดต่อไปน้ีเป็นอนิ เวอร์สการคณู ของ 3m2
n
n n
ก. 3m2 ข. m2

ค.  3n ง.  3m2
m2 n

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 2 เรื่อง สมบตั ิของจานวนจรงิ 4

ใบความรู้ท่ี 1
เร่อื ง สมบตั ขิ องจานวนจรงิ ทเ่ี ก่ียวกับการบวก

1. สมบตั ปิ ิดของการบวก ถ้า a และ b เปน็ จานวนจรงิ แล้ว a + b เป็นจานวนจริงด้วย
น่ันคอื เมื่อ R เปน็ เซตของจานวนจรงิ ถา้ aR และ bR แลว้ a  bR

2. สมบัติการสลับทีข่ องการบวก ในการบวกจานวนจรงิ สองจานวนเมอ่ื สลบั ท่จี านวนทั้งสอง
นั้นแลว้ ผลบวกจะเทา่ เดมิ นน้ั คือ a b  b  a โดยท่ี a, b เปน็ จานวนจริงใด ๆ

3. สมบตั ิการเปลีย่ นหมู่ของการบวก ในการบวกจานวนจรงิ สามจานวนจะบวกสอง จานวนหลัง
กอ่ นหรือสองแรกก่อน ผลบวกจะเท่าเดิม นน่ั คือ a  (b  c)  (a  b)  c
โดยที่ a, b และ c เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ

4. สมบัตเิ อกลักษณ์ของการบวก ในระบบจานวนจริงมี 0 เป็นเอกลกั ษณ์การบวกสาหรบั
จานวนจรงิ a ใด ๆ นั่นคอื 0  a  a  a 0

5. สมบตั กิ ารมีอนิ เวอรส์ การบวก ในระบบจานวนจริง ถา้ a เป็นจานวนจริง จะมจี านวนจรงิ
-a ซง่ึ a  (a)  0  (a)  a เรียก a และ –a วา่ เป็นอนิ เวอร์ส ซ่ึงกนั และกัน

ตัวอย่าง
1. สมบตั ปิ ิดสาหรับการบวก
2  (3) เป็นจานวนจรงิ
2. สมบตั กิ ารสลับที่ของการบวก

52  25

2  (a 1)  (a 1)  2
3. สมบัตกิ ารเปลย่ี นหมขู่ องการบวก

 5  (6  3)  (5  6)  3
[2  (a  b)]  3(a b)  2  [(a  b)]  3(a b)
4. สมบัตกิ ารมเี อกลักษณ์ของการบวก

20  2  02

(3)  0   3  0  (3)
5. สมบตั กิ ารมีอินเวอรส์ ของการบวก

2  (2)  0  (2)  2
(4)  4  0  4  (4)

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 2 เรื่อง สมบตั ิของจานวนจริง 5

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1

คาชแี้ จง ข้อความใดตอ่ ไปนี้เปน็ จริงตามสมบัติของจานวนจริงขอ้ ใดเมอื่ กาหนด x , y , z เป็นจานวนจริง
(10 คะแนน)

ข้อท่ี จานวน สมบตั ขิ องจานวนจริง
สาหรับการบวก

1 (6)  0   6

2 [ x  (10 y)]  5(x  y)  x  [(10  y)  5(x  y)]

3  1  1  0
7 7

4 2 (z 1)  2 (1 z)

5 2x  9  9  2x

6 80  8

7 (2x  y )  3z  2x  ( y  3z)

8 2  (2)  0

9 4 + 9 เปน็ จานวนจริง

10 0.2  x  x  0.2

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 2 เร่ือง สมบตั ิของจานวนจรงิ
6

แบบฝึกทกั ษะท่ี 2

คาชแี้ จง ให้นักเรียนใส่เคร่ืองหมาย  หนา้ ข้อความที่ถกู และใสเ่ ครื่องหมาย × หนา้ ขอ้ ความทผ่ี ดิ

(10 คะแนน)
ตวั อยา่ ง  4 เป็นอินเวอรส์ การบวกของ 4

1. 2 เป็นอินเวอรส์ การบวกของ  2
7 7

2. ถ้า a  b  0 แลว้ b คือ อนิ เวอรส์ การบวกของ a

3. อินเวอรส์ การบวกของ 1  b คือ a
a 1 ab

4. เซตของจานวนอตรรกยะมสี มบตั ปิ ิดสาหรบั การบวก

5. 0 เป็นอนิ เวอร์สการบวกของจานวนจรงิ

6. ในระบบจานวนเต็มมสี มบตั ปิ ิดของการบวก

7. 0 เปน็ เอกลักษณ์ของการบวก

8. 1 เป็นอินเวอร์สของการบวก

9. อนิ เวอรส์ การบวกของ  8 คอื 8
2 3 2 3

10. 2  2 เป็นจานวนจริง

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 เร่อื ง สมบัติของจานวนจรงิ 7

ใบความรู้ท่ี 2
เรือ่ ง สมบตั ิของจานวนจรงิ ท่เี กยี่ วกับการคูณ

สมบตั ิปิดของการคูณ ถา้ a และ b เป็นจานวนจรงิ แลว้ ab เปน็ จานวนจริงด้วย
กล่าวคือ เม่ือ R เป็นเซตของจานวนจริง ถ้า aR และ bR แลว้ abR

ตัวอยา่ ง 7(4) เปน็ จานวนจรงิ

สมบัตกิ ารสลับทีข่ องการคณู ถา้ a และ b เป็นจานวนจรงิ แล้ว ab  ba

ตวั อยา่ ง 1. (2)(3)  (3)(2)

2. 1  (3  5)  (3  5)  1
3 3

สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการคณู ถา้ a , b และ c เป็นจานวนจรงิ แลว้

a(bc)  (ab)c อาจเขียนแทนจานวนทัง้ สองด้วย abc

ตวั อยา่ ง 1. (86)  (12)  8  (6  (12))

2. (5  9 1 )  2  5  (9 1  2)
2 2
สมบัตกิ ารมีเอกลักษณ์ของการคูณ ในระบบจานวนจรงิ มี 1 เปน็ เอกลักษณก์ ารคูณ

สาหรับจานวนจริง a ใด ๆ น่นั คอื (1)(a)  a  (a)(1)

ตวั อยา่ ง 1. (1)  (x)  x

2. (5)  (1)  5

สมบัติการมีอินเวอรส์ การคณู ในระบบจานวนจรงิ ถา้ a เปน็ จานวนจรงิ

จะมจี านวนจรงิ a1 โดยที่ (a1) (a)  1  (a)(a 1) เรยี ก a และ a1 วา่ เปน็ อนิ เวอร์ส

การคณู ของ a
ตวั อยา่ ง 1. (6)  (16)  1

2.  5 5  1  1
5 5

นอกจากท่กี ล่าวแล้ว เมอื่ พจิ ารณาท้งั การบวกและการคูณยังมีสมบัตอิ ีกข้อหนงึ่ คือ

สมบัติการแจกแจง ถา้ a , b และ c เปน็ จานวนจริงแล้ว a(b  c)  ab  ac

และ (b  c)a  ba  ca
ตวั อย่าง 1. 3k  5k  (3  5)k

2. ( x  y)(z  t)  (x  y)z  ( x  y) t

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 2 เรื่อง สมบัติของจานวนจริง
แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 3 เรอื่ ง สมบตั กิ ารบวก - การคณู จานวนจรงิ 8

แบบฝึกทกั ษะที่ 3

คาชแี้ จง ใหน้ ักเรยี นใส่เครือ่ งหมาย  หน้าข้อความทถ่ี ูก และใส่เคร่ืองหมาย  หนา้ ขอ้ ความทีผ่ ิด
(10 คะแนน)

ตวั อยา่ ง  ในระบบจานวนเต็มมีสมบตั ิปดิ ของการหาร

1. เซตของจานวนอตรรกยะมีสมบัตกิ ารสลบั ท่ีของการคณู

2. เซตของจานวนตรรกยะมสี มบัติการเปลย่ี นหมู่ของการคูณ

3. ถา้ a  b  1 แลว้ b คอื อนิ เวอรส์ การคณู ของ a

4. 1 เป็นเอกลักษณ์การคณู ของจานวนจริง

5. ถา้ mn  1 แลว้ แสดงว่า n เปน็ อนิ เวอร์สการคูณของ 1
m

6. อนิ เวร์อสการคูณของ 3  2 คอื 3  2

7. อนิ เวอรส์ การคูณของ  5a2 คอื b
b 5a2

8. ระบบจานวนเต็มมีสมบตั ิการสลบั ท่ภี ายใต้การคูณ

9. ระบบจานวนตรรกยะมีสมบัติการเปลี่ยนหมูภ่ ายใต้การคูณ

10. เซตของจานวนอตรรกยะมีสมบตั ิปิดภายใต้การคณู

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ 2 เรือ่ ง สมบตั ิของจานวนจริง
9

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 4

คาชแ้ี จง ใหน้ กั เรยี นเติมชอ่ งวา่ งให้สมบรู ณ์โดยใช้สมบัตขิ องจานวนจริงทกี่ าหนดให้ (10 คะแนน)

ตวั อย่าง 1  2 = 1 การมอี ินเวอร์สการคูณ
2

ข้อที่ จานวน สมบตั ขิ องจานวนจรงิ

1 3  (4  5)  ................. 5 สมบัตกิ ารเปลีย่ นหมู่ของการคณู

2 (2) (3  5)  ( (................................ 5) สมบตั กิ ารแจกแจง
สมบัตกิ ารมีอนิ เวอร์สการคณู
3 มีจานวนจรงิ b ซึง่ ทาให้ 3  b  ........... สมบตั ิการสลับทข่ี องการคูณ
5
สมบตั ิปดิ ของการคูณ
4 1 ( 2  7 )  ...............................................
3

5 10  (5)  ...............................................

6 2a  3a  …………………………………………… สมบตั กิ ารแจกแจง
สมบัตกิ ารเปล่ียนหมู่ของการคณู
7 ( 5  9 1 )  2  ......................................... สมบตั กิ ารมีอนิ เวอร์สการคูณ
2 สมบัติการมเี อกลักษณ์การคูณ

8  5( 1 )  …………………………………………
5

9 1 a  ……………………………………………..

10 (x  y)(a  b)  ………………………………… สมบตั ิการแจกแจง

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ 2 เรอื่ ง สมบัติของจานวนจรงิ 10
ใช้

ใบความรทู้ ี่ 3
เรอื่ ง สมบตั ิเพิ่มเติมของระบบจานวนจรงิ

ระบบจานวนจริงมรี ะบบย่อย R+ ซง่ึ R R มีสมบัติเพิ่มเติมอีก 3 ประการ คือ

1. 0R และถ้า a เปน็ จานวนจรงิ ท่ี a  0 แล้วตอ้ งเปน็ ประการใดประการหน่ึงเท่านน้ั คือ
ก. aR หรือ ข.  a  R

2. ถา้ a , b R แลว้ ab R
3. ถา้ a , b R แล้ว ab  R

ทฤษฎีบทของระบบจานวนจรงิ

ทฤษฎบี ท 1 (กฎการตดั ออกสาหรบั การบวก)

เม่ือ a , b และ c เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ

1 ) ถ้า a  c  b  c แลว้ a  b

2) ถ้า a b  a  c แลว้ b  c

พสิ จู น์

1) ให้ a , b และ c เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ โดยท่ี ab  b  c

จะได้ (a  c)  (c)  (b  c)  (c)

a  (c  (c))  b  (c  (c)) (สมบัติการเปลี่ยนหมสู่ าหรับการบวก)

a0  b0 (สมบตั ิการมีอินเวอรส์ ของการบวก)

a  b (สมบตั ิการมเี อกลักษณ์สาหรับการบวก)

ดังน้นั ถ้า a  b  b  c แลว้ a  b

2) ให้ a , b และ c เป็นจานวนจริงใด ๆ โดยที่ ab  a c

จะได้ (a  c)  ( a)  (a  c)  (a)

(a)  (a  b)  (a)  (a  c) (สมบัตกิ ารสลับที่ของการบวก)

((a)  a)  b  ((a) a)  c (สมบตั กิ ารเปลีย่ นหมู่ของการบวก)

0b  0c (สมบตั กิ ารมอี นิ เวอรส์ ของการบวก)

bc (สมบัติการมเี อกลกั ษณส์ าหรับการบวก)

ดังนั้น ถ้า a  b  a  c แลว้ b  c

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 2 เร่ือง สมบัติของจานวนจรงิ
11

ทฤษฎีบท 2 (กฎการตัดออกสาหรบั การคูณ)

ให้ a , b และ c เปน็ จานวนจรงิ
1) ถ้า ac  bc และ c  0 แลว้ a  b
2) ถา้ ab  ac และ a  0 แลว้ b  c

พิสจู น์

1) ให้ a , b และ c เป็นจานวนจริงใด ๆ โดยที่ ac  bc และ c  0
จะได้ (ac)c1  (bc)c1
a ( cc1 )  b( cc1) (สมบตั กิ ารเปลี่ยนหมขู่ องการคูณ)

a 1  b1 (สมบัติการมอี ินเวอร์สของการคูณ)

a  b (สมบัตกิ ารมเี อกลักษณข์ องการคณู )

ดังนนั้ ถ้า ac  bc และ c  0 แลว้ a  b

2) ให้ a , b และ c เป็นจานวนจริงใด ๆ โดยท่ี ab  ac และ a  0
จะได้ (ab)a1  (ac)a1

a1(ab)  a1 (ac) (สมบัติการสลับที่ของการคณู )

(a1a)b  (a1 a) c (สมบตั กิ ารเปลยี่ นหมู่ของการคูณ)

1b  1c (สมบตั กิ ารมีอนิ เวอร์สของการคณู )

bc (สมบัตกิ ารมีเอกลกั ษณข์ องการคณู )

ดงั นน้ั ถ้า ab  ac และ a  0 แล้ว b  c

ทฤษฎีบท 3 เมื่อ a เป็นจานวนจรงิ จะได้ a  0  0

พสิ จู น์ ให้ a เป็นจานวนจริงใด ๆ

จาก 0  0  0

จะได้ a(0  0)  a  0

a0  a0  a0 (สมบตั ิการแจกแจง)

a  0  a  0  a  0  0 (สมบัตกิ ารมเี อกลักษณ์ของการบวก)

a0  0 (กฎการตัดออกของการบวก)

ดงั นั้น ให้ a เป็นจานวนจริง จะได้ a  0  0

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 2 เรื่อง สมบัติของจานวนจรงิ
12

ทฤษฎีบท 4 ถา้ a เป็นจานวนจริงใด ๆ (1)a  a

พิสจู น์ ให้ a เปน็ จานวนจริงใด ๆ

จาก a  (1)a  1a  (1)a (สมบตั ิการมีเอกลักษณข์ องการคณู )

a  (1)a  (1  (1))a (สมบตั ิการแจกแจง)

a  (1)a  0  a (สมบัตกิ ารมีอนิ เวอรส์ ของการบวก)

a  (1)a  a  0 (สมบตั กิ ารสลับทข่ี องการคณู )

a  (1)a  0 (ทฤษฎีบท 3)

a  (1)a  a  (a) (สมบัตกิ ารมอี ินเวอรส์ ของการบวก)

(1)a  a (กฎการตัดออกของการบวก)

ดงั นั้น ให้ a เป็นจานวนจริง จะได้ (1)a  a

ทฤษฎบี ท 5 เมอื่ a และ b เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ
ถ้า ab  0 กต็ ่อเมื่อ a  0 หรอื b  0

พสิ ูจน์ ให้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ
1) จงแสดงวา่ ถ้า ab  0 แล้ว a  0 หรือ b  0
ให้ ab  0
โดยทฤษฎบี ท 3 จะไดว้ ่า a  0 หรอื b  0
น่นั คอื ถา้ ab  0 แลว้ a  0 หรือ b  0
2) จงแสดงวา่ ถ้า a  0 หรอื b  0 แล้ว ab  0
กรณที ่ี 1 ให้ a  0 แต่ b  0
โดยทฤษฎีบท 3 จะได้ว่า ab  0
กรณีท่ี 2 ให้ b  0 แต่ a  0
โดยทฤษฎีบท 3 จะได้ว่า ab  0
กรณที ่ี 3 ให้ a  0 และ b  0
โดยทฤษฎบี ท 3 จะไดว้ ่า ab  0
จากทง้ั สามกรณี จะไดว้ ่า ถ้า a  0 หรอื b  0 แลว้ ab  0

ดังน้นั ให้ a และ b เปน็ จานวนจริง จะได้ ab  0 ก็ตอ่ เม่อื a  0 หรือ b  0

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 เรอื่ ง สมบตั ิของจานวนจรงิ
13

ทฤษฎบี ท 6 ให้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ จะไดว้ า่
1) a(b)  ab

2) (a)b  ab

3) (a)(b)  ab

พิสูจน์

1) ให้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ

จะได้ a  0  0 (ทฤษฎีบท 3)

a[b  (b)]  0 (สมบัตกิ ารมีอินเวอร์สของการบวก)

ab  a(b)  0 (สมบัติการแจกแจง)

[ab  a(b)]  (ab)  0  (ab)
(ab)  [ab  a(b)]  0  (ab) (สมบัติการสลับที่ของการบวก)

2) ให้ a และ b เปน็ จานวนจริงใด ๆ

จะได้ (a)b  b(a) (สมบัตกิ ารสลับทีข่ องการคูณ)

 ba (ทฤษฎีบท 6 ข้อท่ี 1)

 ab (สมบัติการสลบั ที่ของการคณู )

ดงั น้นั (a)b  ab

3) ให้ a และ b เป็นจานวนจริงใด ๆ

จะได้ (a)  0  0 (ทฤษฎบี ท 3)

(a)[b  (b)]  0 (สมบตั กิ ารมีอนิ เวอร์สของการบวก)

(a)b  (a)(b)  0 (สมบตั ิการแจกแจง)

(ab)  (a)(b)  0 (ทฤษฎบี ท 6 ข้อท่ี 1)

[(ab) (a)(b)]  ab  0  ab
ab  [(ab)  (a)(b)]  0  ab (สมบตั ิการสลบั ท่ขี องการบวก)

[ab  (ab)]  (a)(b)  0  ab (สมบัติการเปล่ยี นหมขู่ องการบวก)

0  (a)(b)  0  ab (สมบตั กิ ารมีอนิ เวอรส์ ของการบวก)

(a)(b)  ab (สมบัตกิ ารมเี อกลักษณ์ของการบวก)

ดงั นน้ั (a)(b)  ab

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 2 เรอ่ื ง สมบัติของจานวนจรงิ 14
ใช้

แบบฝึกทักษะที่ 5

จงแสดงวา่ “ สาหรับจานวนจริง a และ b ใด ๆ a  b  [(a)  (b)]  0 ”
พิสูจน์ ให้เติมเหตุผลลงในชอ่ งว่างใหส้ มบูรณ์ (10 คะแนน)

ขอ้ ที่ จานวน เหตผุ ล

1 a และ b เปน็ จานวนจรงิ กาหนดให้

2 a  (a)  0
3 [a  (a)]  b  0  b
4 {[a  (a)]  b}  (b)  (0  b)  (b)
5 [a  (a)]  [b  (b)]  0  [b  (b)]
6 [a  (a)]  [b  (b)]  0  0
7 [a  (a)]  [b  (b)]  0
8 a  [(a)  b]  (b)  0
9 a  [b  (a)]  (b)  0
10 a  b  [(a)  (b)]  0

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 เรื่อง สมบัติของจานวนจรงิ 15

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 6 เหตผุ ล
กาหนดให้
จงแสดงว่า “ สาหรบั จานวนจรงิ a ใด ๆ a0  0 และ 0a  0”
พิสูจน์ ให้เตมิ เหตผุ ลลงในช่องว่างใหส้ มบรู ณ์ (10 คะแนน)

ข้อท่ี จานวน

1 a เปน็ จานวนจรงิ

2 000 ……………………………………………….

3 a(0  0)  a0 ……………………………………………….

4 a(0  0)  a0  a0 ……………………………………………….

5 a0a0 a(00) ………………………………………………..

6 a0a0 a0 …………………………………………………

7 (a0  a0) [(a0 ) ]  a0 [(a0) ] …………………………………………………

8 a0  {a0 [(a0) ]}  a0 [(a0) ] …………………………………………………

9 a0  0  0 …………………………………………………

10 a0  0 …………………………………………………

11 0a  a0 …………………………………………………

12 0a  0 การถา่ ยทอด

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ 2 เรอ่ื ง สมบัติของจานวนจริง 16

ไปใช้

ใบความร้ทู ่ี 4 ใช้

เร่ือง การลบ - หาร จานวนจริง

บทนิยามการลบ เม่อื a และ b เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ a b  a  (b)
บทนิยามน้ีกล่าวว่า ab คอื ผลบวกของ a กับอินเวอรส์ การบวกของ b
เช่น 5  2  5  (2)  3
และ (4)  (3)  (4)  (3)  1
และ  a b  a  (b) โดยที่ a และ b เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ

ทฤษฎีบทเก่ียวกับการลบ
ทฤษฎบี ท 7 ถา้ a , b และ c เปน็ จานวนจรงิ
1. a(b  c )  ab  ac
2. (a b)c  ac bc
3. (a) (b c )  ab  ac

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงพสิ ูจน์ a(b c)  ab ac
พสิ ูจน์ a(b  c)  a[b  (c ) ] : นิยามการลบ
 ab  a(c) : การแจกแจง
 ab  (ac) : ทฤษฎีบท 6 [a(b)  ab]
 ab  ac: นิยามการลบ

บทนยิ ามการหาร เม่ือ a และ b เปน็ จานวนจริงใด ๆ ที่ b  0

a  a ( b1 )
b
a
จากบทนยิ าม b คือผลคณู ของ a กับอินเวอร์สการคณู ของ b

เนอ่ื งจาก 1  1( b1)  b1
b
a
จาก b  a  b1

จะได้ a  a  1
b b

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 2 เรื่อง สมบัติของจานวนจรงิ 17

ทฤษฎีบท 8 ถา้ a  0 จะได้ a1  0

ทฤษฎีบท 9 เม่ือ a , b , c และ d เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ

1. ( a )  a เมื่อ b , c  0
b bc เมื่อ b , c  0
c เมอ่ื b , d  0
a ac เม่อื b , d  0
2. b  bc เมอ่ื b , c  0
เม่ือ b , c  0
3. a  c  ad  bc
b d bd เมื่อ b , c , d  0
4. (ba)(dc ) ac
 bd

5. ( b )1  c
c b
a ac
6. (bc )  b

7. ((bdca))  ad
bc

ตัวอย่าง จงพิสูจนว์ า่ a  ac เมื่อ b,c  0
b bc
a
พสิ ูจน์ b  a ( b1) (บทนยิ ามของการหาร)

 a(b1)(1) (เอกลักษณ์การคูณ)

 (a(b1))(c1 c) (อินเวอรส์ การคูณ)

 ( ac ) ( c1 b1 ) (การสลบั ท่แี ละการเปลี่ยนหมู่)

 (ac ) (bc )1 (c1  b1 เปน็ อนิ เวอรส์ การคูณของ bc)

 ac (บทนิยามของการหาร)
bc

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 เรื่อง สมบัติของจานวนจรงิ 18

แบบฝึกทักษะท่ี 7

คาชี้แจง ใหเ้ ตมิ คาตอบในชอ่ งวา่ งให้สมบรู ณ์ (10 คะแนน)

1. จงแสดงวา่ “ถ้า x เปน็ จานวนจรงิ และ x  5  12 แล้ว x  7”

พสิ ูจน์ ใหเ้ ติมเหตผุ ลลงในช่องว่าง ( 5 คะแนน)

1. x  5 12 ( กาหนดให้ )

2. ( x  5)  (5) 12 (5) ( ) (ขอ้ 1)

3. x [ 5  (5) ] 12 (5) ( ) (ขอ้ 2)

4. x  0 12  (5) ( ) (ข้อ3)

5. x 12 (5) ( ) (ข้อ4)

6. x  12  5 ( ) (ขอ้ 5)

7. x7 ( จากข้อ 6 )

2. กาหนดให้ a , b และ c เป็นจานวนจริง จงแสดงว่า “a(b c)  ab ac ”

พิสูจน์ ใหเ้ ติมเหตผุ ลลงในช่องว่าง ( 5 คะแนน)

1. a , b และ c เป็นจานวนจรงิ ( กาหนดให้ )

2. b c b  (c) ( ) (ข้อ6)

3. a(b c)  a[b  (c) ] ( ) (ขอ้ 7)

4. a[b  (c) ]  ab a(c ) ( การแจกแจง )

5. a(c)  ac ( ) (ข้อ8)

6. ab a(c)  ab  (ac) ( ) (ขอ้ 9)

7. ab  (ac)  ab ac ( ความสัมพันธ์ระหวา่ งการบวกและการลบ)

8. a(b c)  ab ac ( ) (ข้อ10)

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 เรื่อง สมบัติของจานวนจริง 19
ใช้

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 8

คาช้แี จง ใหเ้ ตมิ คาตอบในช่องว่างให้สมบูรณ์ (10 คะแนน)

1. จงแสดงว่า “ a  b  a  b เม่ือ a , b และ c เป็นจานวนจริง และ c  0 ”
c c c
พิสจู น์ ใหเ้ ติมเหตผุ ลลงในชอ่ งวา่ ง ( 5 คะแนน)

1. a , b และ c เปน็ จานวนจรงิ และ c  0 ( )

2. ab  ( a  b ) 1 ( )
c c ( )
1 1 1 ( )
3. (ab) c  a c  b  c ( )

4. a  1  b  1  a  b
c c c c
ab a b
5. c  c  c

2. จงแสดงว่า “ ab  a  b เม่ือ a , b และ c เปน็ จานวนจรงิ และ c  0 ”
c c c
พิสูจน์ ใหเ้ ติมเหตผุ ลลงในช่องวา่ ง ( 5 คะแนน)

1. a , b และ c เปน็ จานวนจริง และ c  0 ( )

2. ab  ( a  b ) 1 ( )
c c ( )
1 1 1 ( )
3. ( a b ) c  a c  b c ( )

4. a 1  b  1  a  b
c c c c
ab a b
5. c  c  c

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ 2 เรอ่ื ง สมบตั ิของจานวนจรงิ
20

แบบทดสอบหลังเรียน เลม่ 2

คาช้แี จง ใหน้ ักเรยี นทาเคร่ืองหมาย x ในช่องกระดาษคาตอบท่ีถูกท่สี ดุ เพียงคาตอบเดียว ( 10 นาที )

1. ข้อใดต่อไปน้ีมีสมบตั ิการมีอนิ เวอร์สของการบวก

ก. 0  0  0

ข. 0  5  5

ค.  5  5  0

ง. 1  1  1
2 2
2. ข้อใดต่อไปน้ีมีสมบัติการเปล่ยี นกลมุ่ ของการบวก

ก. 1 2  3  (1 2)  3

ข. (1 2)  3  1 (2  3)

ค. 1 2  3 1 (2  3)

ง. 1 (2  3)  (1 2  3)

3. ถ้า  ( x 1)  ( y 1)   ( x 1) แลว้ y มคี ่าเทา่ ไร

ก. 1

ข. 1

ค. x 1

ง. x 1

4. ถา้ a เป็นอินเวอรส์ การบวกของ b แล้วคา่ ของ c ท่ีทาให้ 2a 2b 3c  4 เท่ากบั

ข้อใดตอ่ ไปนี้

ก. 2

ข. 3
2
2
ค. 3

ง. 4
3

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 2 เร่อื ง สมบตั ิของจานวนจรงิ 21

5. ข้อใดต่อไปน้ีเป็นอินเวอร์สการคณู ของ 3m2
n
n
ก. 3m2

ข. n
m2
 3n
ค. m2

ง.  3m2
n
6. ข้อใดเป็นจริงตามสมบัติการแจกแจง

ก. (35) (32)  3 (52)

ข. 5(43)  543

ค. 4(6  3)  (6  3)4

ง. (23)  (25)  2 (3  5)

7. ข้อใดเปน็ จริงตามสมบัติการสลับที่

ก. 5 (2  7)  (52)  (57)

ข. 5  (2  7)  (5  2)  7

ค. 5  (27)  (27)  5

ง. 5 (27)  (52)7

8. ให้ a และ b เปน็ จานวนจริงซ่ึง ab 1 แล้วข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู ต้อง

ก. a เป็นเอกลักษณก์ ารบวก

ข. a เป็นอินเวอร์สการคณู ของ b

ค. a เปน็ อินเวอรส์ การบวกของ b

ง. a เปน็ อนิ เวอรส์ การคณู ของ a

9. ขอ้ ใดต่อไปน้ีมีสมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์ของการคูณ

ก. ab  a

ข. a1  1

ค. ab  b

ง. 10  0

10. ข้อใดต่อไปน้ีมีสมบตั ิการเปลี่ยนหมูข่ องการคูณ

ก. (mn)k  k (mn)

ข. (mn)k  m(nk )

ค. [ (mn) k ]r  (mn)  (k r )

ง. [ (mn)(k r ) ]  (mk )  (nr )

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ 2 เร่อื ง สมบัติของจานวนจรงิ 22

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน/เกณฑ์การตดั สนิ

1. เกณฑก์ ารให้คะแนน

แบบทดสอบก่อนเรยี น (คะแนนเตม็ 10 คะแนน)

ขอ้ ท่ี รายการประเมนิ ระดบั คะแนน เกณฑ์การให้คะแนน

1 - 10 การตอบคาถาม 1 คาตอบถกู ต้อง
0 คาตอบไม่ถูกต้อง

แบบฝึกทักษะท่ี 1 (คะแนนเตม็ 10 คะแนน)

ข้อท่ี รายการประเมนิ ระดบั คะแนน เกณฑ์การให้คะแนน
คาตอบถูกต้อง
1 - 10 การตอบคาถาม 1 คาตอบไม่ถกู ต้อง
0

แบบฝกึ ทักษะที่ 2 (คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

ขอ้ ที่ รายการประเมนิ ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน
คาตอบถกู ต้อง
1 - 10 การตอบคาถาม 1 คาตอบไม่ถกู ต้อง
0

แบบฝึกทกั ษะท่ี 3 (คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

ข้อที่ รายการประเมนิ ระดบั คะแนน เกณฑ์การให้คะแนน
คาตอบถกู ต้อง
1 - 10 การตอบคาถาม 1 คาตอบไม่ถูกต้อง
0

แบบฝึกทักษะที่ 4 (คะแนนเตม็ 10 คะแนน)

ข้อท่ี รายการประเมนิ ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน
คาตอบถกู ต้อง
1 - 10 การตอบคาถาม 1 คาตอบไม่ถูกต้อง
0

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 5 (คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

ข้อที่ รายการประเมิน ระดบั คะแนน เกณฑ์การให้คะแนน
คาตอบถกู ต้อง
1 - 10 การตอบคาถาม 1 คาตอบไม่ถกู ต้อง
0

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 เรื่อง สมบัติของจานวนจรงิ
23

แบบฝึกทักษะที่ 6 (คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

ขอ้ ที่ รายการประเมิน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน
คาตอบถูกต้อง
1 - 10 การตอบคาถาม 1 คาตอบไม่ถกู ต้อง
0
เกณฑ์การให้คะแนน
แบบฝึกทกั ษะท่ี 7 (คะแนนเตม็ 10 คะแนน) คาตอบถูกต้อง
คาตอบไม่ถูกต้อง
ข้อท่ี รายการประเมนิ ระดบั คะแนน
เกณฑ์การให้คะแนน
1 - 10 การตอบคาถาม 1 คาตอบถกู ต้อง
0 คาตอบไม่ถกู ต้อง

แบบฝึกทักษะท่ี 8 (คะแนนเต็ม 10 คะแนน) เกณฑ์การให้คะแนน
คาตอบถกู ต้อง
ข้อที่ รายการประเมนิ ระดบั คะแนน

1. 1.1 - 1.5 การตอบคาถาม 1
2. 2.1 - 2.5 0

แบบทดสอบหลังเรยี น (คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

ข้อท่ี รายการประเมนิ ระดบั คะแนน

1 - 10 การตอบคาถาม 1

2. เกณฑ์การตัดสนิ
แบบฝกึ ทกั ษะ
- แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1 และ 2 คะแนนเต็ม 20 คะแนน ( ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ ท่ี 3 )
- แบบฝึกทกั ษะที่ 3 และ 4 คะแนนเต็ม 20 คะแนน ( ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ ท่ี 4 )
- แบบฝึกทักษะท่ี 5 และ 6 คะแนนเต็ม 20 คะแนน ( ประกอบแผนการจดั การเรียนรู้ ที่ 5 )
- แบบฝึกทกั ษะที่ 7 และ 8 คะแนนเต็ม 20 คะแนน ( ประกอบแผนการจดั การเรียนรู้ ท่ี 6 )
- คะแนนรวมทุกแบบฝกึ เต็ม 80 คะแนน ตอ้ งไดค้ ะแนนร้อยละ 80 หรอื 64 คะแนน ข้นึ ไป

จงึ จะถอื วา่ ผ่านเกณฑ์การประเมนิ
แบบทดสอบหลังเรียน
- คะแนนเตม็ 10 คะแนน
- ได้คะแนนร้อยละ 50 หรือ 5 คะแนนขน้ึ ไป จงึ จะถือว่าผ่านเกณฑ์การประเมิน

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 เรื่อง สมบตั ิของจานวนจรงิ 24
จานวนจรงิ

บรรณานกุ รม

กนกวลี อษุ ณกรกลุ และรณชัย มาเจรญิ ทรพั ย.์ แบบฝึกหัดและประเมินผล การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์
ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4-6 เลม่ 1. กรงุ เทพมหานคร : เดอะบคุ ส์, 2553.

กมล เอกไทยเจริญ. คณิตศาสตรม์ ธั ยมศึกษาปที ี่ 4 เล่ม 1. กรุงเทพมหานคร : ไฮเอด็ พับลชิ ชิ่ง,
2551.

กระทรวงศกึ ษาธิการ. หลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาขน้ั พืน้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรงุ เทพมหานคร :
กระทรวงศกึ ษาธิการ, 2551.

จักรินทร์ วรรณโพธิก์ ลาง. คมู่ ือประกอบการเรยี นรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์ มัธยมศึกษาปีที่ 4-6
เล่ม 1. กรงุ เทพมหานคร : โรงพมิ พ์ธนธชั การพิมพ์, 2553.

ทรงวทิ ย์ สวุ รรณธาดา. ระบบจานวนจริงระดบั มธั ยมปลาย. กรงุ เทพมหานคร : แม็ค, 2542.
_______. หนงั สือเรยี นเสริมคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ มธั ยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนท่ี 1.

กรงุ เทพมหานคร : แมค็ , 2555.
ธนวฒั น์ สนทราพรพล. แบบฝกึ หดั และเทคนิคคดิ โจทยเ์ ร็ว คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

เลม่ 1. กรุงเทพมหานคร : SCIENCE CENTER, ม.ป.ป.
นพพร แหยมแสง. คณิตศาสตร์มัธยมศึกษา 4. กรงุ เทพมหานคร : สถาบนั พฒั นาคุณภาพวชิ าการ

(พว.). 2546.
รณชยั มาเจรญิ ทรัพย.์ คู่มือเตรยี มสอบคณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ เลม่ 1. ม. 4-6 กลุ่มสาระการเรยี นรู้

คณิตศาสตร.์ กรงุ เทพมหานคร : ภมู ิบณั ฑติ , ม.ป.ป.
สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี คมู่ อื ครสู าระการเรยี นรเู้ พ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์

เล่ม 1. ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพค์ รุ สุ ภาลาดพร้าว, 2547.
_______. หนงั สือเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ เลม่ 1. ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 4-6 พมิ พ์คร้งั ท่ี 3

กรุงเทพมหานคร : โรงพมิ พ์ครุ สุ ภาลาดพร้าว, 2554.
สมัย เหล่าวานชิ ย์. คู่มอื เตรียมสอบคณิตศาสตร์ ม. 4-6 เลม่ 1. (พื้นฐานและเพิ่มเติม).

กรุงเทพมหานคร : ไฮเอด็ พบั ลชิ ช่งิ จากดั , 2557.

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ 2 เรื่อง สมบตั ิของจานวนจริง
25

ภาคผนวก

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 2 เรอ่ื ง สมบตั ิของจานวนจรงิ 26

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน เลม่ 2

คาชแี้ จง ใหน้ กั เรยี นทาเคร่ืองหมาย x ในช่องกระดาษคาตอบที่ถูกทส่ี ุดเพียงคาตอบเดียว

ข้อท่ี คาตอบ

1 ง. (23)  (25)  2  (3 5)

2 ค. 5 (27)  (27) 5

3 ข. a เป็นอินเวอร์สการคณู ของ b

4 ง. 1 0  0

5 ข. (mn)k  m(nk )

6 ค.  5  5  0

7 ข. (12) 3  1 (2 3)

8 ก. 1

9 ง. 4
3

10 ก. n
3m2

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 2 เรื่อง สมบตั ิของจานวนจริง
27

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 1

คาชแี้ จง ข้อความใดต่อไปนเี้ ป็นจรงิ ตามสมบัติของจานวนจรงิ ขอ้ ใดเมื่อกาหนด x , y , z เปน็ จานวนจริง
ตวั อยา่ ง 3  5R สมบัตปิ ดิ สาหรับการบวก

ข้อที่ จานวน สมบตั ิของจานวนจริง
สาหรบั การบวก
1 (6)  0  6 การมีเอกลักษณ์
ของการบวก
2 [ x  (10 y )]5( x  y )  x  [ (10 y ) 5( x  y ) ] การเปล่ยี นกลมุ่
ของการบวก
3  1  1  0
7 7 การมอี ินเวอร์สการบวก

4 2 (z 1)  2(1z) การสลบั ท่ีของการบวก

5 2x 9  92x การสลบั ที่ของการบวก

6 808 เอกลกั ษณ์ของการบวก

7 (2x  y ) 3z  2x  ( y 3z) การเปลี่ยนหมู่ของการบวก

8 2  (2)  0 การมอี นิ เวอร์สก์ ารบวก

9 4  9 เปน็ จานวนจริง สมบตั ิปดิ การบวก

10 0.2 x  x 0.2 การสลับที่ของการบวก

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 เรือ่ ง สมบัติของจานวนจรงิ 28

เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 2

คาชี้แจง ให้นักเรยี นใสเ่ คร่ืองหมาย  หน้าข้อความที่ถูก และใส่เครื่องหมาย × หน้าขอ้ ความทผ่ี ิด

ตัวอย่าง  4 เป็นอินเวอร์สการบวกของ 4

 1. 2 เป็นอนิ เวอร์สการบวกของ  2
7 7

 2. ถา้ ab  0 แลว้ b คือ อนิ เวอรส์ การบวกของ a

× 3. อินเวอร์สการบวกของ 1  b คอื a
a 1  ab

× 4. เซตของจานวนอตรรกยะมสี มบตั ิปิดสาหรับการบวก

× 5. 0 เปน็ อนิ เวอร์สการบวกของจานวนจรงิ

 6. ในระบบจานวนจรงิ มสี มบัตปิ ดิ ของการบวก

 7. 0 เป็นเอกลักษณ์ของการบวก
× 8. 1 เป็นอินเวอร์สของการบวก

 9. อินเวอรส์ การบวกของ  8 คอื 8
2 3 2 3

 10. 2  2 เป็นจานวนจริง

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 เรอ่ื ง สมบัติของจานวนจรงิ
29

เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 3
คาช้แี จง ให้นักเรียนใสเ่ ครอ่ื งหมาย  หนา้ ขอ้ ความทีถ่ ูก และใส่เคร่ืองหมาย × หน้าข้อความที่ผิด

ตวั อยา่ ง × ในระบบจานวนเต็มมสี มบัติปดิ ของการหาร

 1. เซตของจานวนอตรรกยะมสี มบตั ิการสลบั ทส่ี าหรับการคูณ

 2. เซตของจานวนตรรกยะมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการคณู

 3. ถา้ a  b  1 แลว้ b คอื อินเวอร์สการคณู ของ a

 4. 1 เปน็ เอกลักษณ์การคูณของจานวนจรงิ

× 5. ถ้า mn  1 แลว้ แสดงว่า n เป็นอนิ เวอรส์ การคณู ของ 1
m

 6. อินเวรอ์ สการคณู ของ 3  2 คือ 3  2

 7. อนิ เวอรส์ การคูณของ  5a2 คือ b
b 5a2

 8. ระบบจานวนเตม็ มสี มบัตกิ ารสลบั ทีภ่ ายใต้การคูณ

 9. ระบบจานวนตรรกยะมสี มบตั ิการเปลยี่ นหมภู่ ายใตก้ ารคูณ
× 10. เซตของจานวนอตรรกยะมสี มบตั ปิ ิดภายใตก้ ารคูณ

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ 2 เรอื่ ง สมบัติของจานวนจรงิ 30

เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 4

คาชแ้ี จง ให้นักเรียนเติมช่องว่างใหส้ มบูรณโ์ ดยใช้สมบตั ขิ องจานวนจรงิ ทก่ี าหนดให้ (10 คะแนน)

ตวั อย่าง 1  2  1 การมีอินเวอร์สการคูณ
2

ขอ้ ท่ี จานวน สมบัตขิ องจานวนจริง

1 3 (45)  (34) 5 สมบตั ิการเปล่ียนหมู่ของการคณู

2 (2) (3 5)  ((2)3)  ((2)5) สมบตั กิ ารแจกแจง
สมบตั กิ ารมีอินเวอร์สของการคณู
3 มีจานวนจรงิ b ซ่ึงทาให้ 3 b  1
5 สมบตั ิการสลับท่ีของการคณู
สมบัติปิดของการคณู
4 1 (2  7 )  ( 2  7 ) 1
3 3

5 10 (5) เป็นจานวนเต็ม

6 2a 3a  (2  3) a สมบตั กิ ารแจกแจง
สมบัตกิ ารเปลีย่ นหมู่ของการคูณ
7 ( 5  9 1 )  2  5(9  1  2) สมบัติการมีอนิ เวอร์สของการคณู
2 2 สมบตั กิ ารมเี อกลักษณ์การคูณ

8 5( 1 )  1
5

9 1a  a

10 ( x  y )(ab)  ( x  y )a ( x  y )b สมบตั กิ ารแจกแจง

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ 2 เร่อื ง สมบตั ิของจานวนจรงิ 31

เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 5

จงแสดงว่า “ สาหรบั จานวนจริง a และ b ใด ๆ a  b  [(a)  (b)]  0 ”
พสิ ูจน์ ใหเ้ ตมิ เหตุผลลงในช่องวา่ งให้สมบูรณ์

ขอ้ ท่ี จานวน เหตุผล

1 a และ b เปน็ จานวนจริง กาหนดให้
2 a  (a)  0 การมีอินเวอร์สการบวก
3 [a  (a)]  b  0  b การเทา่ กันของการบวก
4 {[a  (a)]  b}  (b)  (0  b)  (b) การเทา่ กันของการบวก
5 [a  (a)]  [b  (b)]  0  [b  (b)] การเปล่ียนหมกู่ ารบวก
6 [a  (a)]  [b  (b)]  0  0 การมอี ินเวอร์สการบวก
7 [a  (a)]  [b  (b)]  0 การมีเอกลกั ษณก์ ารบวก
8 a  [(a)  b]  (b)  0 การเปล่ยี นหมกู่ ารบวก
9 a  [b  (a)]  (b)  0
10 a  b  [(a)  (b)]  0 การสลับที่การบวก
การเปลย่ี นหมูก่ ารบวก

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ 2 เรอ่ื ง สมบตั ิของจานวนจรงิ
32

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 6 เหตผุ ล
กาหนดให้
จงแสดงวา่ “ สาหรบั จานวนจรงิ a ใด ๆ a0  0 และ 0a  0”
พิสูจน์ ใหเ้ ตมิ เหตุผลลงในช่องว่างให้สมบูรณ์

ข้อท่ี จานวน

1 a เป็นจานวนจริง

2 000 การมีเอกลักษณก์ ารบวก
3 a(0  0)  a0 การเท่ากนั ของการคณู
4 a(0  0)  a0  a0
5 a0a0 a(00) สมบตั กิ ารแจกแจง
6 a0a0 a0 สมบตั ิการแจกแจง
7 (a0  a0) [(a0 ) ]  a0 [(a0) ] การมีเอกลักษณ์การบวก
8 a0  {a0 [(a0) ]}  a0 [(a0) ] การเทา่ กนั ของการบวก
9 a0  0  0 การเปลีย่ นหมกู่ ารบวก
10 a0  0 การมีอินเวอร์สการบวก
11 0a  a0 การมีเอกลักษณ์การบวก
12 0a  0 การสลับทก่ี ารคูณ

การถ่ายทอด

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 เร่อื ง สมบตั ิของจานวนจริง 33
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 7 3

คาช้แี จง ให้เตมิ คาตอบในชอ่ งวา่ งใหส้ มบรู ณ์ ( 10 คะแนน)

1. จงแสดงวา่ “ถา้ x เปน็ จานวนจริง และ x  5 12 แล้ว x  7”

พสิ ูจน์ ใหเ้ ตมิ เหตผุ ลลงในชอ่ งว่าง ( 5 คะแนน)

1. x 5  12 ( กาหนดให้ )

2. ( x 5)  (5)  12 (5) ( การเทา่ กนั ของการบวก ) (ข้อ1)

3. x  [5 (5) ]  12 (5) ( การเปล่ียนหมกู่ ารบวก ) (ข้อ2)

4. x 0  12 (5) ( การมอี นิ เวอร์สการบวก ) (ข้อ3)

5. x  12 (5) ( การมีเอกลักษณ์การบวก ) (ข้อ4)

6. x  125 ( ความสัมพันธ์ระหว่างการบวกและการลบ ) (ขอ้ 5)

7. x7 ( จากข้อ 6 )

2. กาหนดให้ a , b และ c เป็นจานวนจรงิ จงแสดงว่า “ a(b c)  ab ac ”

พสิ จู น์ ใหเ้ ติมเหตผุ ลลงในชอ่ งวา่ ง ( 5 คะแนน)

1. a , b และ c เป็นจานวนจริง ( กาหนดให้ )

2. b c  b  (c) ( ความสมั พันธร์ ะหว่างการบวกและการลบ ) (ข้อ6)

3. a(b c)  a[b  (c ) ] ( การเท่ากนั ของการคณู ) (ขอ้ 7)

4. a[b  (c) ]  ab a(c) ( การแจกแจง )

5. a(c)  ac ( สมบัติตรงข้ามของผลคณู ) (ข้อ8)

6. ab a(c)  ab  (ac) ( การแทนคา่ ) (ขอ้ 9)

7. ab  (ac)  ab ac ( ความสัมพนั ธ์ระหว่างการบวกและการลบ )

8. a( b c )  ab ac ( การถ่ายทอด ) (ขอ้ 10)

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 2 เรอื่ ง สมบตั ิของจานวนจรงิ
34

เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 8

คาชี้แจง ใหเ้ ติมคาตอบในช่องว่างใหส้ มบูรณ์ (10 คะแนน)

1. จงแสดงวา่ “ a  b  a  b เม่อื a , b และ c เปน็ จานวนจรงิ และ c0”
c c
c
พิสูจน์ ให้เตมิ เหตุผลลงในช่องวา่ ง ( 5 คะแนน)

1. a , b และ c เป็นจานวนจริง และ c  0 ( กาหนดให้ )

2. ab  ( a  b ) 1 (ความสมั พันธ์ระหว่างการคณู และการหาร)
c c
1 1 1
3. ( a  b ) c  a c  b c ( การแจกแจง )

4. a  1  b  1  a  b (ความสัมพันธ์ระหวา่ งการคณู และการหาร)
c c c c
ab a b
5. c  c  c ( การถ่ายทอด )

2. จงแสดงวา่ “ a  b  a  b เมอ่ื a , b และ c เป็นจานวนจริง และ c  0 ”
c c c
พสิ จู น์ ให้เตมิ เหตผุ ลลงในชอ่ งวา่ ง ( 5 คะแนน)

1. a , b และ c เป็นจานวนจริง และ c  0 ( กาหนดให้ )

2. ab  ( a  b ) 1 (ความสัมพันธร์ ะหวา่ งการคณู และการหาร)
c c ( การแจกแจง )
1 1 1 (ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งการคณู และการหาร)
3. ( a  b ) c  a c  b  c ( การถา่ ยทอด )

4. a 1  b  1  a  b
c c c c
ab a b
5. c  c  c

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 เร่ือง สมบตั ิของจานวนจรงิ
35

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน เล่ม 2

คาชี้แจง ใหน้ กั เรียนทาเครื่องหมาย x ในช่องกระดาษคาตอบท่ถี ูกที่สุดเพียงคาตอบเดยี ว
ข้อท่ี คาตอบ

1 ค.  5  5  0

2 ข. (12) 3  1 (2 3)

3 ก. 1

4 ง. 4
3

5 ก. n
3m2

6 ง. (23)  (25)  2(3 5)

7 ค. 5 (27)  (27) 5

8 ข. a เปน็ อินเวอร์สการคณู ของ b

9 ง. 1 0  0

10 ข. (mn)k  m(nk)