ปก เอกสารประกอบการเรียนเลขยกกำลัง

1

เอกสารประกอบการเรยี น

รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน (ค32111)
ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 5

By : ครูอนั

ชอ่ื -นามสกุล................................................
เลขที่ .................

โรงเรียนวิมตุ ยารามพิทยากร

หนว่ ยกำรเรียนรูท้ ่ี 1 เลขยกกำลงั เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบว2ก

1.1 เลขยกกำลงั ที่มีเลขช้กี ำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

บทนยิ ำม เลขยกำลงั

ให้ เปน็ จำนวนจริง และ เป็นจำนวนเตม็ บวก เลขยกกำลังท่ีมี เปน็ ฐำน และ เป็นเลขช้ีกำลงั

มคี วำมหมำย ดังนี้

an = a⏟× a × a × … × a
n ตตวั วั

an อ่ำนวำ่ “เลขยกกำลงั n” หรอื “a กำลัง n หรือ “กำลงั n ของ a”

1. ให้นกั เรียนเขยี นแจกแจงเลขยกกำลัง พร้อมท้งั บอกฐำน เลขชก้ี ำลงั และผลลพั ธ์

95 = …………………………………………………………………… ฐาน........ เลขช้ีกาลงั ...... ผลลพั ธ.์ .....

(0.1)6 = ……………………………………………………………. ฐาน........ เลขช้ีกาลงั ...... ผลลพั ธ.์ .....

2−9 =…………………………………………………………………. ฐาน........ เลขช้ีกาลงั ...... ผลลพั ธ.์ .....

(−0.063)0 =…………………………………………………….. ฐาน........ เลขช้ีกาลงั ...... ผลลพั ธ.์ .....

(2)−3 = ……………………………………………………....... ฐาน........ เลขช้ีกาลงั ...... ผลลพั ธ.์ .....
3 ฐาน........ เลขช้ีกาลงั ...... ผลลพั ธ.์ .....

(−5)4 =…………………………………………………………….

−82 =……………………………………………………………. ฐาน........ เลขช้ีกาลงั ...... ผลลพั ธ.์ .....

3

หน่วยกำรเรียนรู้ท่ี 1 เลขยกกำลงั เลขยกกำลังที่มีเลขช้ีกำลงั เป็นจำนวนเต็มบวก

ทฤษฎบี ทที่ 1 สมบตั ิของเลขยกกำลงั

ให้ a, b เป็นจำนวนจรงิ ท่ไี มเ่ ป็นศูนย์ และ m, n เปน็ จำนวนเต็ม จะได้ว่ำ

1. am × an = am+n

2. (am)n = amn

3. (a × b)n = an × bn ขอ้ ควรระวงั ( + )2 ≠ 2 + 2

an an หรือ a −n bn oo ≠ 1
4. (b) = bn (b) = ൬a൰ (23)2 ≠ 232

am = am−n
5. an

am p amp
6. ൬bn ൰ = bnp

7. a0 = 11 เมอ่ื a ≠ 0
8. a−n
หรอื an = 1
1 a−n

= an

Note :

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………

หน่วยกำรเรียนรู้ท่ี 1 เลขยกกำลงั 4

เลขยกกำลังท่ีมีเลขชี้กำลงั เป็นจำนวนเต็มบวก

2. กจิ กรรม “คำตอบไหน คอื คเู่ ลขยกกำลงั ขงฉัน”
คำช้ีแจง ให้  ลงใน  ของคำตอบทถ่ี ูกตอ้ ง พร้อมแสดงวิธีคิดและบอกสมบัติของเลขยกกำลังท่ใี ช้

29 × 2−3 =  64  2−27 16…൬…32…24…൰…=………………1…6(…2…9…) …………1…6…(2…1…)
……………………………………………………………
…………………………………………………………… ……………………………………………………………
…………………………………………………………… ……………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………… 57 × 87 =  4014  หำคำ่ ไมไ่ ด้
……………………………………………………………
25 =  − 52  (−5)2 ……………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………… ……………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………… 83 × 25 =  544  หำค่ำไมไ่ ด้
…………………………………………………………… ……………………………………………………………
……………………………………………………………
( × 5)2 =  5 × 5  5 × 25 ……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………

2. จงเขยี นจำนวนตอ่ ไปนี้ให้อยู่ในรปู อย่ำงงำ่ ยและเลขยกกำลงั ทกุ จำนวนมเี ลขชี้กำลงั เป็นจำนวนเตม็ บวก พร้อมทัง้
เขยี นสมบัติของเลขยกกำลงั ที่ใช้

1) 85 × 43 2) 23 × 4−2 × (32−2 × 8)−1

วิธีคิด วธิ คี ิด

3) 36 × 10−5 4) 324 × 128−2
4 × 10−8
วิธีคิด
วิธีคิด

หน่วยกำรเรียนรู้ที่ 1 เลขยกกำลัง 5

5) 2−3×3−5 เลขยกกำลงั ที่มเี ลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
3−5×20
วิธคี ิด 6) (6)3 × 105
5

วิธคี ิด

7) (ab2c−1)2 8) (3ab−6)−4
วธิ ีคิด
วธิ คี ิด
10) (3a2)(2a4)(4a3)
9) 2a7b−3
18a−4b−3 วธิ ีคิด

วธิ คี ิด

11) (ab−7c5a−4b11c−3)−1 12) (a+1)5(a−1)4
วิธคี ิด (a4−1)2

วธิ คี ดิ

หน่วยกำรเรียนรู้ท 1 เลขยกกำลงั 6

13) ( 9 b−3c5)−2 เลขยกกำลังที่มีเลขช้ีกำลงั เป็นจำนวนเต็มบวก
16
14) (a−2−2a−1+1)
วธิ คี ิด a−2 − a−1
วธิ คี ิด

15) {(ab3−c2−a2−b2−c21)−2}2 16) 3(b+c)2(c−b)4
วิธคี ิด 6(c−b)2( + )5

วิธคี ิด

โจทย์ปญั หำ...

ถำ้ โกเ้ รียนดนตรีในแตล่ ะวนั ดงั นี้

วนั ที่ 1 เรยี น 16 นำที วันที่ 2 เรยี น 20 นำที วันท่ี 3 เรียน 24 นำที

วันท่ี 4 เรยี น 28 นำที วันที่ 5 เรียน 32 นำที

อยำกทรำบว่ำถำ้ โก้เรยี นดนตรีเป็นเวลำ 10 วนั โกจ้ ะใช้เวลำเรียนทัง้ หมดกี่นำที (เขียนตอบในรปู เลขยกกำลงั )

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………

หนว่ ยกำรเรียนรู้ท 1 เลขยกกำลงั 7

โจทยเ์ นน้ ทกั ษะกำรคดิ (ครสู อนจำกบนกระดำน) เลขยกกำลงั ที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

1. จงหำคำ่ ของ 3(3(3(−3)−2)−3)−1

2. จงหำค่ำของ ( −31 −−42 20 −1

)

3. จงหำคำ่ ของ (3×2 −1−4×2 −1)
2 −2 −1

หนว่ ยกำรเรียนรูท้ ่ี 1 เลขยกกำลัง 8

รำกที่ n ของจำนวนจรงิ

1.2 รำกที่ n ของจำนวนจรงิ ( ℎ Root of Real Number)

รำกที่ ของจำนวนจรงิ ( ℎ Root of Real Number) คือ จำนวนจริงตวั หนง่ึ ยกกำลัง แล้ว
เท่ำกับ เมอื่ > 1

ชวนคิด

กรณฑ์ท่สี อง สแควร์รูท รำกที่สอง มคี วำมหมำยเหมอื นกันหรือไม่ ?

นิยำมกรณฑ์ที่สองหรอื สแควรร์ ูท (√ ) คือ .....................................................................................................

นยิ ำมรำกที่สอง คอื ............................................................................................................................. ...........

ทบทวนควำมรู้

- รำกที่ 2 ของ a คอื จำนวนจรงิ ทยี่ กกำลงั สองแล้วเท่ำกบั a เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ √a และ − √a
- รำกที่ 3 ของ a คือ จำนวนจริงทีย่ กกำลังสำมแลว้ เทำ่ กับ a เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ …………………..

- รำกที่ 4 ของ 16 คือ จำนวนจรงิ ทีย่ กกำลังส่ีแล้วเท่ำกับ ………. เขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ ………………..

-

บทนิยำม 2

ให้ x และ y เป็นจำนวนจรงิ y เป็นรำกท่ี x กต็ อ่ เมื่อ y2 = x

ตวั อยำ่ ง มจี ำนวนจริง –4 และ 4 ที่ยกกำลงั สอง ได้ 16
หรอื เรียก -4, 4 เปน็ รำกทสี่ องของ 16

1. ใหน้ ักเรยี นตอบคำถำมต่อไปน้ี

หำรำกท่ี 2 ของ 64 .....................................................................................................
หำรำกท่ี 3 ของ 27 .....................................................................................................
หำรำกที่ 5 ของ 125 .....................................................................................................
หำรำกท่ี 2 ของ 7 .....................................................................................................
หำรำกท่ี 3 ของ -243 .....................................................................................................
หำรำกท่ี 3 ของ 5 ....................................................................................................

หน่วยกำรเรียนรู้ที่ 1 เลขยกกำลัง 9

บทนยิ ำม 3 รำกที่ n ของจำนวนจรงิ

ให้ และ เป็นจำนวนจรงิ และ เปน็ จำนวนเต็มท่ีมำกกวำ่ 1
เปน็ รำกท่ี ของ กต็ อ่ เมือ่ =

2. หำรำกที่ n ของจำนวนตอ่ ไปน้ี

72 คอื ......... เปน็ รำกท่ี ......... ของ ......... (−7)2 คือ ......... เปน็ รำกท่ี ....... ของ .........

19 คอื ......... เปน็ รำกท่ี ......... ของ ......... 25 คอื .........เป็นรำกท่ี ......... ของ ...........

(−9)3 คือ ......... เป็นรำกท่ี ......... ของ ......... (0.15)4 คือ ......... เป็นรำกท่ี ......... ของ .........

จำกบทนยิ ำม

เน่อื งจำกกำลงั สองของจำนวนจริงใด ๆ ต้องมำกกวำ่ หรือเทำ่ กับศนู ย์ จะเปน็ จำนวนจรงิ ลบไมไ่ ด้ ดงั น้ัน จะมี
รำกที่สองของจำนวนจรงิ บวกหรือศูนย์เท่ำนัน้ นัน่ คือ ให้บทนยิ ำมข้ำงตน้ ตอ้ งมำกกวำ่ หรือเทำ่ กบั ศูนย์เสมอ

เม่ือ y เปน็ จำนวนจริงใด ๆ จะได้ (−y2) = y2 ดังน้ัน ถำ้ มีจำนวนจริง ยกกำลงั สอง แล้วได้ กำลงั
สองของ – y ก็จะเปน็ ดว้ ย

ดังน้นั √x = y เม่อื x ≥ 0 หมำยควำมวำ่ y2 = x และ y ≥ 0

เงอื่ นไข รำกที่ n ของจำนวนจริง ผลลพั ธ์

x>0 กรณี n เป็นจำนวนคู่

x=0 รำกท่ี n ของ x จะมคี ำตอบ 2 ค่ำ คือ
x<0 จำนวนจรงิ บวกและจำนวนจรงิ ลบ
โดยที่ n√x เป็นจำนวนจรงิ บวก
และ−n√x เปน็ จำวนจริงลบ

รำกที่ n ของ x คอื 0

ไม่มีรำกที่สองของ x ทเี่ ป็นจำนวนจรงิ

หนว่ ยกำรเรียนรูท้ ่ี 1 เลขยกกำลงั 10

รำกท่ี n ของจำนวนจรงิ

เง่อื นไข รำกที่ n ของจำนวนจริง ผลลพั ธ์

x>0 กรณี n เปน็ จำนวนค่ี

x=0 รำกท่ี n จะมคี ำตอบเพยี งค่ำเดียว
x<0 คอื จำนวนจริงบวก n√x
รำกที่ n ของ x คือ 0

รำกท่ี n จะมีคำตอบเพยี งคำ่ เดียว
คอื จำนวนจริงลบ −n√x

3.จงเตมิ เคร่อื งหมำย < หรอื = หรือ > ใน  ทท่ี ำใหแ้ ต่ละข้อควำมต่อไปนี้เป็นจรงิ

1) √(−7)2 −7 2) 5√−32 − 5√32

3) 3√108  3√9 3√24 4) 12  √18
 3√18 3√6
3√4 √8

5) 6
3√4

ค่ำหลกั ของรำกท่ี n
บทนยิ ำม 4

ให้ , เป็นจำนวน และ เปน็ จำนวนเต็มทีม่ ำกกว่ำ 1
เป็นค่ำหลกั ของรำกที่ ของ กต็ อ่ เม่ือ

1. เปน็ รำกท่ี ของ และ
2. ≥ 0

จำกบทนยิ ำม จะได้วำ่ ถ้ำ เป็นคำ่ หลกั ของรำกที่ ของ x แล้ว x และ y เป็นจำนวนจรงิ บวกทง้ั คู่
หรอื เป็นจำนวนจริงลบทง้ั คู่ หรือเป็นศนู ย์ท้งั คู่

หนว่ ยกำรเรียนรู้ที่ 1 เลขยกกำลัง 11

รำกที่ n ของจำนวนจรงิ

กำรหำค่ำหลกั ของรำกที่ n

ตวั อยำ่ ง จงหำค่ำหลักของรำกที่ 2 ของ 16 หรอื √16
พจิ ำรณำ 1. y เปน็ รำกท่ี ของ x จะไดว้ ่ำ 4 และ -4 เป็นรำกที่ 2 ของ 16 และ
และ 2. xy ≥ 0 จะได้วำ่ (16)(4) ≥ 0 แต่ (16)(−4) < 0

ดังนนั้ ค่ำหลกั ของ 16 คอื 4 หรอื

กำรหำคำ่ ประมำณของรำกท่ี n

- คำนวณด้วยตนเอง
- ใช้เคร่ืองคดิ เลข

กำรหำค่ำประมำณโดยกำรคำนวณเอง ...

ตวั อยำ่ ง จงหำคำ่ ประมำณของ 3√65
ข้นั ที่ 1 หำจำนวนเตม็ ที่ยกกำลังแล้วใกลเ้ คียงกบั จำนวน 65 มำกทีส่ ดุ

เนื่องจำก 43 < 65 < 53

3√64 = 4 และ 3√125 = 5)

ดังน้ัน 3√65 มีคำ่ ประมำณมำกกวำ่ 4 แต่ไม่ถึง 5

ข้ันที่ 2 ประมำณคำ่ ของจำนวน

พจิ ำรณำจำก 4.1, 4.2, 4.3, ..., 4.9 นำจำนวนเหลำ่ น้ีมำกยกกำลัง 3 หำคำตอบ

เร่มิ จำก (4.1)3 = 68.921 มำกกว่ำ 65

(4.03)3 = 65.450827 มำกกว่ำ 65 เล็กนอ้ ย

(4.02)3 = 64.64808 น้อยกวำ่ 65 เล็กน้อย แตใ่ กลเ้ คยี งมำกทส่ี ดุ

ดงั นน้ั คำ่ ประมำณท่ีมที ศนิยม 2 ตำแหน่ง ของ 3√65 คอื 4.02

หนว่ ยกำรเรียนรูท้ ี่ 1 เลขยกกำลงั 12

รำกท่ี n ของจำนวนจรงิ

ค่าประมาณของรากที่ n √

*** คำ่ ท่ีควรจำ √2 = 1.414 , √3 = 1.732 , √5 = 2.236 1 1.000
32 1.149
ตำรำงคำ่ ประมำณ 243 1.246
1024 1.320
√ √ 3125 1.380
7776 1.431
1 1 1.000 1 1.000 16807 1.476
2 4 1.414 8 1.260 32768 1.516
3 9 1.732 27 1.442 59049 1.552
4 16 2.000 64 1.587 100000 1.585
5 25 2.236 125 1.710
6 36 2.449 216 1.817
7 49 2.646 343 1.913
8 64 2.828 512 2.000
9 81 3.000 729 2.080
10 100 3.162 1000 2.154

จงหำค่ำประมำณของจำนวนตอ่ ไปน้ี (ตอบเป็นทศนยิ ม 2 ตำแหนง่ )

1) คำ่ ประมำนของ √43 2) คำ่ ประมำนของ 3√29

3) คำ่ ประมำนของ √70 4) คำ่ ประมำนของ √120

หนว่ ยกำรเรียนรู้ท่ี 1 เลขยกกำลงั 13

ใบงำนควำมรู้ รำกท่ี n ของจำนวนจรงิ
เร่ือง ค่ำหลกั ของรำกที่ n

1. จงหำคำ่ หลักของรำกท่ี n ท่ีเป็นไปได้ของจำนวนต่อไปน้ี 2) ค่ำหลักของรำกท่ี 4 ของ 625
1) ค่ำหลกั ของรำกท่ี 3 ของ -125

3) คำ่ หลักของรำกที่ 5 ของ -32 4) คำ่ หลกั ของรำกท่ี 6 ของ 64

5) ค่ำหลักของรำกท่ี 4 ของ -1296 6) คำ่ หลักของรำกท่ี 6 ของ 729

7) ค่ำหลกั ของรำกที่ 3 ของ 343 8) ค่ำหลกั ของรำกท่ี 2 ของ 196

หนว่ ยกำรเรียนรทู้ ี่ 1 เลขยกกำลงั 14

สมบตั ริ ำกที่ n รำกท่ี n ของจำนวนจรงิ

ให้ และ เป็นจำนวนจริงท่มี ีรำกท่ี และ เป็นจำนวนเต็มทมี่ ำกกวำ่ 1

1. n√a = 1

an

2. (n√a)n = a เม่ือ n√a เปน็ จำนวนจรงิ

3. n√an = {| a | เม่อื n เปน็ จำนวนคี่บวก
เมื่อ n เป็นจำนวนคู่บวก

4. n√ab = n√a  n√b

5. n√ba = n√a เมื่อ b ≠ 0
n√b

4.จงเขียนจำนวนต่อไปนใี้ นรปู อย่ำงงำ่ ย

( 4√5)4 5√(−7)5 25
√5

√(−16)2 3√ 6 −9 4√( 2 + 2)4

หนว่ ยกำรเรียนรทู้ ่ี 1 เลขยกกำลัง รำกท่ี n ของจำนวน1จ5รงิ

กำรบวก ลบ คูณ และหำรของจำนวนในรูปกรณฑ์

1. ผลบวกและผลต่ำงของจำนวนในรปู กรณฑ์

กำรหำผลบวกและผลตำ่ งของจำนวนในรปู กรณฑ์ จะตอ้ งเป็นรำกที่เท่ำกนั และมจี ำนวนในเคร่อื งหมำย
กรณฑ์ท่ีเปน็ จำนวนเดยี วกัน

ตวั อยำ่ ง √2 + 3√2 , √25 − √125  √7 + 3√7 
2√5 + 3√3 
3√23 + 3√8 , √32 + √40 

2√3 + 3√2 

ตัวอยำ่ ง

√32 + √50 = √16 × 2 + √25 × 2 มเี ครอื่ งหมำยกรณฑอ์ นั ดบั เดียวกนั คอื อนั ดบั สอง
มีจำนวนภำยในกรณฑ์เหมือนกันคืออันดบั 5
= √16 √2 + √25 √2
= 4√2 + 5 √2
= 6√2

(2√3 − 2)2 =

………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………

……………………………………………………………………………………………….……………………………………………………

…………………………………………………………………….………………………………………………………………………………

………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………

2. ผลคณู ของจำนวนในรปู กรณฑ์
จำนวนในรูปกรณฑ์ทปี่ รำกฏเปน็ รำกท่เี ทำ่ กนั สำมำรถคูณกันได้ ใช้สมบตั ิของรำกที่ n

n√ab = n√a  n√b

กรณีที่ 1 รำกท่ี n เทำ่ กัน

ตวั อย่ำง √36 = √9 × 4 = √9  √4 = 3  2 = 6

2√50 = 2 × √25 × 2 =  √25  √2 = 2 5 √2 = 10√2

16

หน่วยกำรเรียนรทู้ ่ี 1 เลขยกกำลงั รำกที่ n ของจำนวนจรงิ

กรณที ี่ 2 รำกที่ n ไมเ่ ท่ำกัน

ตวั อย่ำง 2√5 + 3√3
เนื่องจำก 2√5 มอี นั ดบั กรณฑ์ที่ 2 และ 3√3 มอี ันดบั กรณฑท์ ่ี 3
หำ ค.ร.น. ของ 2 และ 3 คอื 6
ดังน้นั ทำ 2√5 และ 3√3 ให้เป็นอนั ดบั กรณฑท์ ่ี 6
พิจำรณำ 2√5 โดยนำ 3 คูณกับอันดับกรณฑ์ที่ 2

จะได้วำ่ 2√533 = 2 2×3√53 = 2 6√53 ( จำกสมบัติข้อท่ี 1 √ = 1 ) --- (1)
พจิ ำรณำ 3√3 โดยนำ 2 คูณกับอันดับกรณฑท์ ่ี 3


จะไดว้ ่ำ 3√322 = 3×2√32 = 6√32 ( จำกสมบัตขิ ้อที่ 1 √ = 1 ) --- (2)
จำก (1) และ (2) ทำใหอ้ ยใู่ นรปู อย่ำงง่ำย


2 6√53 × 6√32 = 2 6√53  32
= 2 6√125  9

ดังนัน้ = 2 6√1,125

3. ผลหำรของจำนวนในรูปกรณฑ์

จำนวนในรูปกรณฑ์ท่ปี รำกฏเปน็ รำกทเี่ ทำ่ กัน สำมำรถหำรกนั ได้ ใช้สมบัติของรำกท่ี n คือ

n√ab = n√a เม่ือ b ≠ 0
n√b

วิธกี ำรหำผลหำรของจำนวนในรูปกรณฑ์

- แบบอยำ่ งงำ่ ย (ใช้สมบัต)ิ 3√25  3√25 = 3√625 = 3√125 = 3√5233 = 5
3√40 2
40 8

17

หน่วยกำรเรียนรทู้ ี่ 1 เลขยกกำลัง รำกที่ n ของจำนวนจรงิ

- แบบตัวส่วนไม่ตดิ กรณฑ์ คอื กำรแปลงตัวส่วนใหอ้ ยู่ในรปู + √ หรือ − √ เรียกว่ำ สังยุค
ในกรณีท่ี a ≠ 0 ให้คณู ด้วยสังยุค
โดยทส่ี งั ยุคของ a + b√m คือ a − b√m
และสงั ยุคของ a − b√m คอื a + b√m
เม่อื นำสงั ยคุ มำคณู จะได้ ( + √ ) ( − √ ) = 2 − ( √ )2
หรอื (√a + √b)(√a − √b) = (√a)2 − (√b)2

ตัวอยำ่ ง จงหำสังยุคของ (5 + 2√3)
จำก สังยุคของ (5 + 2√3) คือ (5 − 2√3)
จะไดว้ ำ่ (5 + 2√3)(5 − 2√3) = 52 − (2√3)2

= 25 − 4(3)

ดงั น้ัน = 1

5. จงเขยี นจำนวนตอ่ ไปนี้ใหอ้ ยใู่ นรปู ทต่ี ัวส่วนไม่ตดิ กรณฑ์ 2) √21

1) √5 √15

2

3) 3√8 4) √2  √5

4√12 √20

หน่วยกำรเรียนรทู้ ่ี 1 เลขยกกำลงั 18

รำกท่ี n ของจำนวนจรงิ

ใบงำนควำมรู้
เร่ือง กำรบวก ลบ คูณ และหำรของจำนวนในรปู กรณฑ์

1. จงเขยี นจำนวนตอ่ ไปน้ีให้อยู่ในรปู อยำ่ งงำ่ ย 2) (7√5 − 3 √5) + (3√2 + √2)
1) √45 √20

3) 3√72 − 2√28 4) √2

1−√2

5) (2 + √3)2 6) 3√2+5

1−2√2

7) 3√4√ 3 9 8) √3 5 3 3√27 5 7

หน่วยกำรเรียนรู้ท่ี 1 เลขยกกำลงั 19

1.3 เลขยกกำลังท่มี เี ลขชก้ี ำลงั เปน็ จำนวนตรรกยะ เลขยกกำลังท่ีมีเลขช้กี ำลังเปน็ จำนวนตรรกยะ

ในทำงคณิตศำสตร์ จำนวนตรรกยะ คือ อัตรำส่วนของจำนวนเตม็ สองจำนวน มักเขยี นอยใู่ นรปู เศษสว่ น

เม่ือ และ เป็นจำวนเต็ม และ b ไม่เท่ำกับศูนย์ จำนนวนตรรกยะทุกจำนวนวสำมำรถเขียนไดใ้ นรปู ของ

ทศนิยมไมร่ ูจ้ บหรอื ทศนยิ มซ้ำอย่ำงใดอย่ำงหนึง่

บทนิยำม 5

ให้ a เปน็ จำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเตม็ บวกที่มำกกว่ำ 1 ถ้ำ มีรำกท่ี แล้ว 1 = n√a

an

จำกบทนิยำม

ถำ้ a ≥ 0 แล้ว หำ 1 ไดเ้ สมอ
an

ถ้ำ a > 0 แล้ว หำ 1 ได้เฉพำะกรณีท่ี เปน็ จำนวนค่ี
an

1 คอื ค่ำหลกั ของรำกที่ ของ โดยที่ 1n =a

an (an)

เงื่อนไข รำกที่ n ของจำนวนจริง ผลลัพธ์

เม่อื a < 0 และ a เปน็ จำนวนจรงิ ทม่ี ำกกวำ่ 1

n เปน็ จำนวนคู่บวก ไมส่ ำมำรถหำรำกที่ n ของ a ได้ เพรำะไม่มีจำนวน
n เปน็ จำนวนค่บี วก จรงิ ใด ๆ ท่ี ยกกำลงั คู่บวกแลว้ จะไดจ้ ำนวนลบ

รำกท่ี n ของ a คอื 0

ถ้ำ a < 0 1 = n√a ไม่มีควำมหมำยทำงคณิตศำสตร์

an

หนว่ ยกำรเรียนรทู้ ี่ 1 เลขยกกำลงั 20

เลขยกกำลงั ที่มีเลขช้กี ำลังเปน็ จำนวนตรรกยะ

เงอ่ื นไข รำกท่ี n ของจำนวนจริง ผลลพั ธ์

เม่อื a = 0 และ a เปน็ จำนวนจริงทมี่ ำกกวำ่ 1

1 ไมม่ คี วำมหมำยทำงคณติ ศำสตร์ ในกรณีที่ n

เปน็ จำนวนคู่บวก an

มคี ำ่ มำก ๆ จนเป็นอนันต์

เป็นจำนวนคบี่ วก ถ้ำ a = 0 แล้ว 1 = n√a
ถ้ำ a = 0
an

1 = n√a ไมม่ ีควำมหมำยทำงคณิตศำสตร์

an

บทนยิ ำม 5

ถำ้ a เปน็ จำนวนจริง m, n เปน็ จำนวนเต็มท่ี n > 1 และ m เป็นเศษส่วนอย่ ำ่ งตำ่ และ 1 เปน็ จำนวน

n an

จริง จะไดว้ ำ่

m = 1m = ( n√a)m

an ൬an൰

m 1 n√am

an = (am)n =

ตัวอย่ำง 1 จงเขียนจำนวนตอ่ ไปน้อี ยใู่ นรูปกรณฑ์

เชน่ 1 3√−27

(−27)3 =

81−54 = ……………………………………… 1 = ………………………………………

42

2

1 = ……………………………………… 243 =………………………………………

0.1253 2

33

11 = ……………………………………… 3 ) = ………………………………………

36 6 −(644

หนว่ ยกำรเรียนร้ทู ่ี 1 เลขยกกำลงั 21

เลขยกกำลังท่ีมเี ลขชี้กำลังเปน็ จำนวนตรรกยะ

ตวั อยำ่ ง 2 จงเขียนค่ำหลักของรำกท่ี n ของจำนวนต่อไปนใี้ นรูปเลขยกกำลัง

เช่น 3√216 = 1 = 6

(63)3

3√243 = ……………………………………… √64 = …………………………………………….

3√52 = ………………………………………… 6√(25x2)3 = ……………………………………..
(3√36)2 = ………………………………… √(6−4bb)42 = …………………………………………

1 4√(81a2 3 = ……………………………………
49
(√(−729)6 =………………………….. )

3√ 3√ = ……………………………………

กำรหำค่ำตวั แปร x จำกสมกำร

ถำ้ ฐำนเท่ำกัน แต่เลขชีก้ ำลังไม่เทำ่ กัน จะได้ ax = ay → x = y โดยที่ a = 0 และ a ≠ 1
ถำ้ ฐำนไม่เทำ่ กัน แต่เลขชก้ี ำลังเท่ำกนั จะได้ ax = by → x = 0 โดยที่ a, b > 0 และ a, b ≠ 1

ตวั อยำ่ ง 4 5x = 625 4x = 1 (9)3 = 2187
จะไดว้ ำ่ 5x = 54
ดังนน้ั x = 4 128 4 128

จงหำค่ำ x จำกสมกำรต่อไปน้ี

10x = 0.001

(5) = 0.16 22 +1 − 17(2 ) + 8

2

22

หน่วยกำรเรียนรทู้ ี่ 1 เลขยกกำลัง เลขยกกำลังที่มีเลขชีก้ ำลงั เปน็ จำนวนตรรกยะ

ตะลยุ โจทย์ขอ้ สอบโอเน็ต O-NET

1. กำหนดให้ และ เป็นจำนวนจริงทม่ี ำกกว่ำ 1 ถ้ำ √ เปน็ รำกท่ี 6 ของ แลว้ ข้อใดถกู (มนี ำ64)

1. 1 2. = 1 3. = 1

= 12 6 3

4. = 3 5. = 5

วิธคิ ดิ

2. พจิ ำรณำขอ้ ควำมตอ่ ไปน้ี ข้อใดถกู ต้อง (มีนำ64)

ก. 10010 = 10100 ข. 2 ค. 3√(1)4 < ( 1 )−34
4 27
(−4)5 = √24

วิธิคิด

3. กำหนดให้ 1 12 ข้อใดถูกตอ้ ง (มนี ำ64)

(34  24) = 24

1. 0 ≤ < 1 2. 11 3. 1 ≤ < 1
4 2
≤ <
4. 1 ≤ < 2 42

5. 2 ≤ ≤ 4

วิธคิ ิด

23