เอกสาร เรื่อง ตรรกศาสตร์

ตรรกศาสตร ์ บทที 2

2.1 ประพจน ์ ประโยคหรอ ื ขอ ้ ความท ี เปน จรงิหรอ ื เท ็ จ อยา ่ งใดอยา ่ งหน ง ึ เท ่ านน ั ประพจน ์ ค ื อ เดือนสงิหาคมม ี30 วน ั 7 {1, 3, 5, 7, 9} กร ุ ณารก ั ษาความสะอาด {ก, ข, ค} = {1, 2, 3} ท ํ าไมมาโรงเรย ี นสาย π > 3 1. 2. 3. 4. 5. 6. ต ั วอยา ่ ง จงพจิารณาประโยคหรอ ื ขอ ้ ความต ่ อไปน ี วา ่ เป น ประพจน ์ หรอ ืไม ่ ถ ้ าเป น จงบอกค ่ าความจรงิของประพจน ์ น ั น เป็นประพจน์ F เป็นประพจน์ T ไม่เป็น ประพจน์ เป็นประพจน์ F ไม่เป็นประพจน์ เป็นประพจน์ T

ประพจนเ ์ ชงิเดย ี ว และ ประพจนเ ์ ชงิประกอบ ประพจน ์ ม ี รป ู แบบ ค ื อ นเิสธ 4. ถ ้ า ... แล ้ ว ... และ 5. ก ็ ต ่ อเม อ ื หรอ ื ต ั วเช อ ื มทางคณิตศาสตร ์ มด ี ั งน ี 1. 2. 3. เชน ่ 2 เป นจา ํ นวนค ่ ู และ 2 หาร 4 ลงต ั ว ประพจน ์ เชงิเด ี ยว ประโยคเด ี ยว ประพจน ์ เชงิประกอบ ประโยคหลาย ๆ ประโยค เช อ ื มก ั น 2.2 การเชื อม ประพจน ์ หมายเหต ุ เรานยิมใชต ้ ัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพมิพเ์ล ็ ก p , q , r , s แทนประพจนต์ ่ าง ๆ

2.2.1 ค่าความจรง ิ ทเ ี ป นไปได ้ ของประพจน ์ ถ ้ า เป นประพจน ์ใด ๆ แล ้ ว ค ่ าความจรงิของ เป นได ้ กรณ ีได ้ แก ่ ซ ง ึ เขย ี นได ้ ด ั งตาราง 2 T , F P T F

2.2.1 ค่าความจรง ิ ทเ ี ป นไปได ้ ของประพจน ์ ถ ้ า และ เป นประพจน ์ใด ๆ แล ้ ว ค ่ าความจรงิของ ก ั บ เป นได ้4 กรณ ี ซ ง ึ เขย ี นได ้ ด ั งตาราง p q p 9 T สํ๋ T T T F F F T 㱺 F F

2.2.1 ค่าความจรง ิ ทเ ี ป นไปได ้ ของประพจน ์ ถ ้ า และ เป นประพจน ์ใด ๆ แล ้ ว ค ่ าความจรงิของ เป นได ้ กรณ ี ซ ง ึ เขย ี นได ้ ด ั งตาราง 1 8 p q r p q r T TTT ⑦ T T T ✓ T 7ᵗʰ F TTF ② T T F T - F -T TFT ③ T F T ได้F TFF ④ T F F T FTT ⑤ F T T F T F = ¥ FFT ⑦ . . . . . !. " ÷ F F T F F F

ตว ั เชื อมประพจน ์ 1.น ิ เสธ วธิ ใี ช ้ นา ํ ไปเติมหนา ้ประพจน ์ จะไดว ้ า ่ ~p ค ื อ ประพจนต ์ รงขา ้ มของ p นเิสธของประพจน ์ สญ ั ล ั กษณ ์ ต ั วอยา ่ ง ตารางค ่ าความจรงิของ และ วาร ีชอบเร ี ยนคณ ิ ตศาสตร ์ 2 + 3 = 5 1 < 4 วารี ไม่ชอบ เรียน คณิตศาสตร์ T 2+3 ≠ 5 F T 1 ≥ 4 F P nrp T F F T

ตว ั เชื อมประพจน ์ 2.และ วธิ ใี ช ้ใชว ้ างตรงกลางระหวา ่ งสองประพจน ์ จะไดว ้ า ่ p q อ ่ านวา ่ p และ q และ สญ ั ล ั กษณ ์ ตารางค ่ าความจรงิของ และ นอกจากค ํ าวา ่ และ สามารถใชค ้ ํ าอ ืน แทนได ้ เชน ่ แต ่ กับ ในขณะท ี ถ ึ งแมว ้ า ่ เป นต ้ น P 9 P ^ 9 T T T * T F F F T F F F F

ตว ั เชื อมประพจน ์ 3.หรอ ื วธิ ใี ช ้ใชว ้ างตรงกลางระหวา ่ งสองประพจน ์ จะไดว ้ า ่ p q อ ่ านวา ่ p หรอ ื q หรอ ื สญ ั ล ั กษณ ์ ตารางค ่ าความจรงิของ หรอ ื P 9 P V9 T T T T F T F T T F F F *

ตว ั เชื อมประพจน ์ 4.ถา ้ ... แลว ้ ... วธิ ใี ช ้ใชว ้ างตรงกลางระหวา ่ งสองประพจน ์ จะไดว ้ า ่ p q อ ่ านวา ่ ถ ้ า p แล ้ ว q ถ ้ า แล ้ ว สญ ั ล ั กษณ ์ ตารางค ่ าความจรงิของ ถ ้ า แล ้ ว p q p → 9 T T T T F F * F T T F F T

ตว ั เชื อมประพจน ์ 5.กต ็ อ ่ เมอ ื วธิ ใี ช ้ใชว ้ างตรงกลางระหวา ่ งสองประพจน ์ จะไดว ้ า ่ p q อ ่ านวา ่ p ก ็ ต ่ อเม อ ื q ก ็ ต ่ อเม อ ื สญ ั ล ั กษณ ์ ตารางค ่ าความจรงิของ ก ็ ต ่ อเม อ ื p q p q T T T T F F * F T F * F F T

สรป ุ ตว ั เชื อมประพจน ์ p q p q p q p q p q และ หรือ ถ้า . . . แล้ว. . . กิต่อเมื่อ T T T * T T T T. F F T F * F * F T F T T F * F F F F * T T

การหาค ่ าความจรง ิ ของประพจน ์

1) 0 เป นจา ํ นวนนับ และ 6 เป นจา ํ นวนเต ็ ม ต ั วอยา ่ งท ี 1 จงหาค ่ าความจรงิของประพจน์ต่ อไปน ี = F F ^ T Iii

2) 9 ไมเ ่ ท ่ าก ั บ 10 หรอ ื 10 ไมน ่ ้ อยกวา ่ 9 3) ถ ้ าแมงม ุ มเป นแมลง แล ้ วแมงม ุ มต ้ องม ี6 ขา 9≠10 _ 10 ¢9 - 0 - T V F → F \iy T T * i.

4 ) งู เ ห า ่ แ ล ะ งู จ ง อ า ง เ ป น ส ต ั ว ม ์ พ ี ษ ิ 5 ) 1 3 เ ป น จ า ํ น ว น เ ฉ พ า ะ -ก็ต่อเม อื 1 3 ม ต ี ั ว ป ร ะกอ บ คื อ 1 แ ล ะ 1 3 F ล T T T ¥% \iyT

P : T 9 ะ T _ nnoenon i. หาค่า ความจริง ~ P ^ 9 IT ' i 1 i. ประโยค สัญลักษณ์ คึ◦ P ^ q i/ . F i T \% F |. หา ค่า ความ จริง P V9 ประโยคสัญลักษณ์ P V 9 T i T T • หา ค่า ความจริง บ 9 → p ประโยคสัญลักษณ์ ~ 9 → p i.- i i. !/ i : ' T F. T o ~ p ←→ q i i !ภุ๋ i ÷ i F. -⇐ /

ต ั วอยา ่ งท ี 2 1) ก ํ าหนดให ้ a , b และ c เป นประพจน ์ ท ี มค ี ่ าความจรงิเป นจรงิจรงิเท ็ จ ตามล ํ าดับ จงหาค ่ าความจรงิของประพจน ์(a b) c ( an b) vc T T F kt

ต ั วอยา ่ งท ี 2 2) จงหาค ่ าความจรงิของประพจน ์ ~(a ~ b) เม อ ื a และ b เป นประพจน ์ ท ี มค ี ่ าความจรงิเป นจรงิ ~ ( a → ~ b) i. T รุ่ |บุ๋ # F

ต ั วอยา ่ งท ี 2 3) ก ํ าหนดให ้ p , q , r และ s เป นประพจน ์ ท ี มค ี ่ าความจรงเิ ป นจรงิเท ็ จ เท ็ จ และจรงิตามล ํ าดับ จงหาค ่ าความจรงิของประพจน ์[(p q) r ] (p s) i TIFIFi.ie = T , 1 ! \/ i t \!/ \ i/ ! ะ F ii./ T

การสรา ้ งตาราง ค ่ าความจรง ิ

การสรา ้ งตารางค ่ าความจรง ิ เปน การพจ ิ ารณาค ่ าความจรง ิ ท ี เปน ไปไดท ้ ก ุ รูปแบบของประพจน ์ ทบทวน ถ ้ าม ี1 ประพจน ์ ค ่ าความจรงิม ี รป ู แบบ ถ ้ าม ี2 ประพจน ์ ค ่ าความจรงิม ี รป ู แบบ ถ ้ าม ี3 ประพจน ์ ค ่ าความจรงิม ี รป ู แบบ I 8

ต ั วอยา ่ ง 1) ก ํ าหนด p และ q เป นประพจน ์ จงสรา ้ งตารางค ่ าความจรงิของ [(p q) p] q p q p →q cp→9)^P [cp→๚ ^P]→9 T. T ✓. T T ✓ T T F ✓ F F ✓ T F T✓ T F ✓ T F F✓ T F ✓ T

ต ั วอยา ่ ง *1) ก ํ าหนด p , q และ r เป นประพจน ์ จงสรา ้ งตารางค ่ าความจรงิของ (p q) r P 9 r p ^ 9 CP^9)→ r T T T T T T T F T F T F T F T T F F F T F T T . F . T F T F. F . F F T . F . T F F F. f _ T T

สจ ั นร ิ น ั ดร ์

สจ ั น ิ รน ั ดร ์ รูปแบบของประพจนท ์ ี มค ี ่ าความจรงิเป นจรงิทก ุ กรณ ี ค ื อ วธิส ี รา ้ งตารางค ่ าความจรงิ วธิห ี าขอ ้ ขด ั แยง ้ วธิต ี รวจสอบความเป นสจน ั ิรน ั ดรข ์ องประพจน ์ ท ํ าได้โดย 1. 2.

ต ั วอยา ่ ง 1) ก ํ าหนด p และ q เป นประพจน ์ จงตรวจสอบวา ่ รป ู แบบของประพจน ์ [(p q) p] ~q เป นสจ ั นริน ั ดรห ์ รอ ืไม ่ วธิท ี ํ า วธิท ี ี 1 สรา ้ งตารางค ่ าความจรงิ • ะ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ อ p q nrq p →9 Cp → 9) ^P [Cp→ 9) np] →~ 9 T T F T T F ¥ T F T F F T F T F T F T F F T T F T

วธิท ี ํ า วธิท ี ี 2 หาขอ ้ ขด ั แยง ้ ต ั วอยา ่ ง 1) ก ํ าหนด p และ q เป นประพจน ์ จงตรวจสอบวา ่ รป ู แบบของประพจน ์ [(p q) p] ~q เป นสจ ั นริน ั ดรห ์ รอ ืไม ่ [lp → ๚ ^ p ] → ~ 9 i Ii ! i ii . อ . ไม่ เกิดข้อขัดแย้ง 1 i 1 lti 1 I Ti FI iitt i. •: ไม่ เป็นนิรันดร์ 1 T T T T T

ต ั วอยา ่ ง 1) ก ํ าหนด p และ q เป นประพจน ์ จงตรวจสอบวา ่ รป ู แบบของประพจน ์ (p q) (q p) เป นสจ ั นริน ั ดรห ์ รอ ืไม ่ วธิท ี ํ า วธิท ี ี 1 สรา ้ งตารางค ่ าความจรงิ * •: เป็นสัจนิรันดร์ p q pnq qvp Cp ^ 9ง → cqvp) T T T T T T F F T T F T F T T F F F F T

วธิท ี ํ า วธิท ี ี 2 หาขอ ้ ขด ั แยง ้ ต ั วอยา ่ ง 1) ก ํ าหนด p และ q เป นประพจน ์ จงตรวจสอบวา ่ รป ู แบบของประพจน ์ (p q) (q p) เป นสจ ั นริน ั ดรห ์ รอ ืไม ่ • CP กุ 9) → Cqvp ) i ! ÷%! ! " T 1 I F 1 ⑦ T F ⑤ tกfง • : เป็นสัจนิรันดร์

การอ ้ างเหตผ ุ ล

การอา ้ งเหตุผล การตรวจสอบความสมเหตส ุ มผล ค ื อ การอ ้ างเหตผ ุ ลใด ๆ เรมิ จาก เหตห ุ รอ ื ขอ ้ ก ํ าหนด (Primise) ซ ง ึ อาจจะมห ี ลายๆ ขอ ้ ได ้ ดง ั น ั น การใหเ ้ หตผ ุ ลจง ึ เขย ี นเป นประโยค เง ื อนไขของประโยคเชงิประกอบได้เป น ( p p ... p ) C โดยท ี p p ... p ค ื อเหตห ุ รอ ื ขอ ้ ก ํ าหนด และ C ค ื อผล หรอ ื ขอ ้ สรุป

ต ั วอยา ่ ง 1) ก ํ าหนด p และ q เป นประพจน ์ จงพจิารณาวา ่ การอ ้ างเหตผ ุ ลนส ี มเหตส ุ มผลหรอ ืไม ่ เหต ุ 1. p q 2. p ผล q หาสัจนิรันดร์ ( ) เหตุ ผล C) ^ [ cp → 9) np] → q T ) 1 iii i F 1 Ii ะเ~~! " 1 1 T 1 F l 1 1 1 eri l ①T T ) ข้อขัดแย้ง i. เป็นสื่อนิรันดร์ T ⑤ • ° ◦ประพจน์นี้ สมเหตุสมผล #

ต ั วอยา ่ ง 1) ก ํ าหนด p และ q เป นประพจน ์ จงพจิารณาวา ่ การอ ้ างเหตผ ุ ลนส ี มเหตส ุ มผลหรอ ืไม ่ เหต ุ 1. p q 2. ~p ผล ~q " ( ) ( ง [CP ?9) ^ Gp)] → ~ q 1 1 ' Iii ! ! ผู่i 1 l 1 i I 1 tftil T I Ti :\ ไม่เกิดข้อ ขัดแย้ง F T F ↳ ไม่เป็นนิรันดร์ • ° .การอ้าง เหตุผล นี้ไม่สมเหตุสมผล

ต ั วอยา ่ ง 3) จงพจิารณาวา ่ การอ ้ างเหตผ ุ ลนส ี มเหตส ุ มผลหรอ ืไม ่ เหต ุ 1. ถ ้ าโชคสรา ้ งบา ้ นหล ั งใหมเ ่ สรจ ็ แล ้ วครอบครว ั ของโชคจะยา ้ ยมาอย ู ด ่ ว ้ ย 2. ถ ้ าครอบครว ั ของโชคจะยา ้ ยมาอย ู ด ่ ว ้ ย แล ้ วโชคจะไดด ้ แ ู ลพอ ่ แมท ่ ี ชราแล ้ ว ผล ถ ้ าโชคสรา ้ งบา ้ นหล ั งใหมเ ่ สรจ ็ โชคจะไดด ้ แ ู ลพอ ่ แมท ่ ี ชราแล ้ ว p q - ะ q → r - p → F เหตุ 1. p → 9 ผล p → r 2. q → r

เหตุ 1. p → 9 ผล p → r 2. q → r Sot [ p → 9) ^ cq → r ) ] → cp#) ' iii iiiiifl_iQ-i.li i 1 i i T 1 , | i Fi ' ' .ie/'tti , อี่ T F ITI :/\ tt) ขัดแย้ง 1 T T T ④ i. เป็นสื่อนิรันดร์ i. การอ้าง เหตุผล นี้ สมเหตุสมผล

ต ั วอยา ่ ง 3) จงพจิารณาวา ่ การอ ้ างเหตผ ุ ลนส ี มเหตส ุ มผลหรอ ืไม ่ เหต ุ 1. พฒ ั นาชอบสฟี า หรอ ื พฒ ั นช ี อบสช ี มพ ู 2. พฒ ั นาไมช ่ อบสฟี า ผล พฒ ั นไี มช ่ อบสช ี มพ ู * p ◦ 9 1) P V9 ↓ nr 2) nrp , พ ~ 9 [( pr g) ^ Gp)] nsnrq

SoF เหตุ 1) P V9 ผล nrq 2) ~ P จะไดี [( pv g) ^ Gp) ] พุ๋ ~ 9 i i i i F II iitiinpii.pt ' วี่ I ✗ T %\ ! \! F T F • : ไม่ขัดแย้ง •ะ ไม่เป็นสีจนิรันดร์ • ะ การ อ้าง เหตุผล นี้ ไม่ สมเหตุสมผล

ประโยคเป ด

ประโยคเปด ประโยคบอกเล ่ าหรอ ืประโยคปฏิเสธท ี มต ี ั วแปร ค ื อ เขาเปน นก ั รอ ้ ง x > 2 เรย ี ก เขา หรอ ื x ในท ี นว ี า ่ เปน ต ั วแปร และเรย ี ก ประโยคขา ้ งต ้ นวา ่ ประโยคเปด ต ั วอย 00 า ่ ง Lisa เป็นนักร้อง 772

ต ั วอยา ่ ง จงพจิารณาประโยคต ่ อไปนว ี า ่ เปน ประพจน ์ หรอ ืประโยคเปด หรอ ืไมใ่ ชท ่ ั ง ประพจนแ ์ ละประโยคเปด เขาก ํ าล ั งเรย ี นอย ู ช ่ น ั มธ ั ยมศ ึ กษาป ท ี 4 ใชห ่ รอ ืไม ่ เธอเป นนก ั รอ ้ งเพลงไทยสากลของโรงเรย ี น x - 6 = 0 1. 2. 3. 4. x - 1 5. กรุณาทิ งขยะใหเ ้ป นท ี 6. ถ ้ า x เป นจา ํ นวนเต ็ ม แล ้ ว ไมใ่ ชจ ่ า ํ นวนจรงิ 7. 5 - 1 < 2 และ 2 - 1 = 1 Cr ไม่ใช่ประพจน์ ไม่ใช่ปลียกเป่า - ไม่ใช่ประพจน์ เป็น ประโยค แปด = E ปฺ × × × × ↓ × X ✓

ต ั วบง ่ ปรม ิ าณ

ตัวบง ่ ปรม ิ าณ ค ํ าวา ่ “สา ํ หรบ ั …ทก ุ ต ั ว” และ “สา ํ หรบ ั …บางต ั ว” ค ื อ แทน สา ํ หรบ ั x ทก ุ ต ั ว แทน สา ํ หรบ ั x บางต ั ว U แทน R แทน Q แทน Z แทน N แทน แทนด ้ วยสญ ั ล ั กษณ ์t และ 7 ตามล ํ าด ั บ โดยใชส ้ ญ ั ล ั กษณ ์ Kr 7× I ]

ขอ ้ ความท ี ประกอบไปดว ้ ยสว ่ นท ี เปน ต ั วบง ่ ปรมิาณ และสว ่ นท ี เป นประโยคเป ด ค ื อ ข้อความทม ี ี ตัวบง ่ ปรม ิ าณ "สา ํ หรบั x ทก ุ ตัว x + 0 = x เม อ ื เอกภพสมัพทัธเ์ปน เซตของจา ํ นวนจรงิ" เขย ี นในรูปสญัลักษณไ์ดเ ้ปน "สา ํ หรบั x บางตัว x + x = x เม อ ื เอกภพสมัพทัธเ์ปน เซตของจา ํ นวนจรงิ" เขย ี นในรูปสญัลักษณไ์ดเ ้ปน เชน ่ ltx [× +0 = ×] , U = R 7 ×[ × + × = ×]µ- - R

คา ่ ความจรง ิ ของประโยค ทม ี ต ี ว ั บง ่ ปรม ิ าณ ตว ั เดย ี ว F T % ]

คา ่ ความจรง ิ ของประโยค ทม ี ต ี ว ั บง ่ ปรม ิ าณ ตว ั เดย ี ว

2. SoF ] - ×[ ×<o ] เมื่อ 0 = {0,47} a ] จะ เป็น จริง ก็ ย ต่อเมื่อ แทนค่าแล้ว า จริง อย่างน่◦ ตัว × × < 0 ผล 1. SdElfx [ ×ำ 8 ] เมื่อ U = {-1,0, ะ} 0 o < o F F จะ เป็น จริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่า แล้วได้จริงทั้งหมด × × " > 8 | ผล 4 4 < o F - 1 o i. 1) 2 > 8 F 7 7 < o F 02 > 8 F 2 22 > 8 F •:] × [× < 0] เมื่อ U = {ำ 4,7} •: Kr [×ำ 8 ] เมื่อ U = {ำำ2 } เป็น เท็จ เป็น เท็จ

4. Kx [× +า = 4] เมื่อ U = {1,2,3,4} a F เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่า แล้ว ทุก ตัวเปนจริง × × +า = 4 ผล 3. SoF ] × [ × 2 ≥o ] เพื่อ U=2/ Ce 1 1+1 = 4 F ] เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าแล้ว จริง อย่างน่◦ยา ตัว 2 2+1 = 4 F เลือก 1 : จะ เห็น ว่า 1 EZ และ 12≥ 0 เป็นจริง • ° ◦ ]× [ × 2 ≥ 0 ] เมื่อ U= Z เป็นจริง 3 3 + า = 4 T 4 4 +า = 4 F • ° . Kr[× +า = 4] เมื่อ U = {1,33,4} เป็นจริง

↓ V เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าแล้ว ทุก ตัว เป็นจริง เลือก 1 : จะ เห็น ว่า 1 เป็นจำนวนจริง แต่ 1 ไม่เป็น จำนวนอตรรก ยะ . ะ F i. Kx [ × เป็นจำนวน อ๓ราย:] เมื่อ U = R เป็น เท็จ

↓ V เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าแล้ว ทุก ตัว เป็นจริง p × ↑ แอน"ฅั๋↳ บาน""" " ๐ ถิอ เป็นจํานวนคี่ → ° เป็นจำนวน"" | T ถ้า "° F r → r Fwยิ๊.. ผั๊.. . .. 1 ถ้า 1 เป็นจำนวนคี่ → 1 เป็นจำนวนเฉพาะ ถือว่า เป็น F T → F ไ • ° ◦ ปู้ × [ถ้า × เป็นจำนวนคี่ แล้ว × เป็นจำนวนเฉพาะ] เมื่อ U= {0,32,3,4,5} เป็น เท็จ