MENYELIDIKI SIFAT-SIFAT BANGUN GEOMETRI Disusun oleh: Shelvina Mei Ekasari K1320068 Universitas Sebelas Maret BAB 3 E-Modul Matematika Kelas 8
PETUNJUK PENGGUNAAN E-MODUL CAPAIAN PEMBELAJARAN MENU UTAMA MATERI PEMBELAJARAN SOAL-SOAL DAFTAR ISI E-MODUL i TUJUAN PEMBELAJARAN
ii 2.Garis Sejajar dan Segi Banyak a. Garis sejajar dan sudut Sudut sehadap..................................................... Sudut dalam bersebrangan.................................. Sudut luar bersebrangan...................................... Sudut dalam sepihak............................................ Sudut luar sepihak............................................... Sudut bertolak belakang...................................... Sifat-sifat garis sejajar.......................................... .................................10 ..........................................11 12 13 14 15 16 17 18 b. Sudut segi banyak (poligon) Sudut dalam dan sudut luar segitiga.................. Jumlah sudut dalam segi banyak....................... Jumlah sudut luar segi banyak........................... ..................................21 23 24 25 3. Kekongruenan Bangun-bangung Geometri a. Bangun-bangun geometri yang kongruen Syarat-syarat kekongruenan segitiga Cara membuktikan sifat bangun geometri b. c. ...........27 .............29 ....................30 .............34 Soal-soal 1.Latihan Soal................................................................ 2.Game.......................................................................... 3.Kuis............................................................................. Daftar Pustaka.............................................................. ....................................................................... 34 37 37 37 39 Menu Utama........................................................................... Daftar Isi................................................................................ Petunjuk Penggunaan E-Modul......................................... Capaian Pembelajaran....................................................... Tujuan Pembelajaran.......................................................... Materi Pembelajaran........................................................... 1.Pengantar Materi a. Garis b. Kedudukan dua garis c. Sudut d. Jenis-jenis sudut e. Hubungan antar sudut i ii iii iv vi ..........................................................1 ........................................................................3 4 7 8 9 ............................................... ....................................................................... ..................................................... ............................................. v
Buka e-modul dan pelajari menu yang ada. Pahami cara menavigasi dengan menggunakan tombol-tombol e-modul. 1. Baca pengantar untuk memahami apa yang akan Anda pelajari. 2. Bacalah setiap langkah dengan cermat. Jangan melompati bagian-bagian yang penting! 3. Jika e-modul menyertakan video atau gambar, manfaatkan kesempatan untuk menonton atau melihat. Hal ini akan mempermudah Anda untuk memahami materi. 4. Kerjakan latihan dan kuis yang disediakan untuk menguji pemahaman Anda. 5. Jika mengalami kesulitan, mintalah bantuan pada guru. 6. iii Tombol-tombol pada e-modul Halaman utama/sampul Menu utama Daftar isi Kembali/sebelumnya Berikutnya/selanjutnya Thumbnail Notes Share Print Download Toggle sound Zoom in Full screen
iv Peserta didik dapat menggunakan hubungan antar-sudut yang terbentuk oleh dua garis yang berpotongan, dan oleh dua garis sejajar yang dipotong sebuah garis transversal untuk menyelesaikan masalah (termasuk menentukan jumlah besar sudut dalam sebuah segitiga, menentukan besar sudut yang belum diketahui pada sebuah segitiga). Mereka dapat menjelaskan sifat-sifat kekongruenan dan kesebangunan pada segitiga dan segiempat, dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
Dapat menjelaskan arti dan sifat dari sudut bertolak belakang. 1. Dapat menjelaskan arti dari sudut sehadap dan sudut berseberangan. 2. Dapat memahami hubungan antara garis sejajar, sudut sehadap, dan sudut berseberangan. 3. Dapat mengonfirmasi secara logis sifat-sifat yang terkait dengan sudut dalam dan luar segitiga dengan menggunakan sifat garis sejajar. 4. Dapat mencari jumlah sudut dalam dan jumlah sudut luar poligon berdasarkan sifatsifat sudut segitiga. 5. Dapat menyelidiki bangun-bangun geometri yang kongruen. 6. Dapat mencari syarat agar kedua segitiga tersebut kongruen. 7. Dapat menentukan syarat kekongruenan segitiga dan mencari apakah dua segitiga kongruen atau tidak dengan menggunakan syarat-syarat tersebut. 8. Dapat menunjukkan atau mampu memahami bukti sifat-sifat bangun geometri. 9. Dapat menjelaskan urutan pembuktian dari sifat-sifat suatu bangun geometri, dan melakukan pembuktian sifat-sifat gambar sederhana. 10. v
Pengantar materi Garis Sejajar dan segi banyak Kekongruenan bangun-bangun geometri vi
Pengantar materi Garis dan sudut merupakan dua komponen geometri yang banyak digunakan dalam berbagai bidang kehidupan. Salah satu contohnya adalah lempar lembing. Coba perhatikan bentuk lembing tersebut! Lembing membentuk suatu garis yang lurus bukan? Seorang atlet lempar lembing harus memperhitungkan sudut lemparan lembingnya agar lembing jatuh pada jarak yang sejauh mungkin dari tempat pelemparan. Dapatkah Anda menyebutkan contoh lainnya yang menunjukkan betapa pentingnya pengetahuan tentang garis dan sudut untuk diaplikasikan dalam kehidupan? Pada bab ini kamu akan mempelajari garis sejajar dan segi banyak serta kekongruenan bangun-bangun geometri. 1
PETA Materi 2
Garis 3 Garis AB melaui titik A dan titik B Karena garis tidak memiliki ujung dan pangkal, maka sangat sulit kita mengatakan ada ukuran panjang dari garis tersebut. Contoh garis seperti di bawah ini: Sinar garis AB berpangkal di titik A dan melalui titik B Sinar adalah bagian dari garis yang memiliki satu titik awal dan memanjang tanpa henti ke satu arah. Contoh sinar garis seperti di bawah ini: Ruas garis AB berpangkal di titik A dan berujung di titik B Ruas garis adalah bagian dari garis yang diketahui titik ujung dan pangkalnya. Contoh ruas garis seperti di bawah ini: Sebagaimana diketahui bahwa geometri dibangun atas dasar unsur-unsur yang tidak didefinisikan yaitu: titik, garis, dan bidang. Dalam sebuah garis terdapat kumpulan titik-titik yang saling bersebelahan dan memanjang ke dua arah. Selain garis, ada juga istilah ruas garis dan sinar garis. Lalu apa perbedaan masingmasing istilah tersebut?
Kedudukan dua Garis Kedudukan dua garis dapat berupa dua garis sejajar, berpotongan, berimpit, dan bersilangan. Dalam kehidupan seharihari, Anda dapat menjumpai kedudukan dua garis. Dapatkah Anda menyebutkon contoh benda atau garis-garis tersebut dalam kehidupan sehari-hari? Apakah perbedaan dari keempat jenis kedudukan dua garus tersebut? 4 a. Dua Garis Sejajar Dua garis dikatakan sejajar jika tidak mempunyai titik persekutuan dan jarak antara dua garis selalu sama. Contoh dua garis sejajar dalam kehidupan sehari-hari Perhatikan gambar di atas! Gambar tersebut adalah lintasan sepeda yang berada di jalan raya. Garis pada lintasan sepeda tersebut menunjukkan jalur yang harus ditempuh oleh pengendara sepeda. Sehingga setiap pengendara di jalan raya seperti pengendara sepeda, motor, dan mobil tidak bersinggungan, karena sudah memiliki jalur bagian masingmasing.
Kedudukan dua Garis b. Dua Garis Berpotongan Dua garis dikatakan berpotongan jika mempunyai tepat satu titik persekutuan Contoh dua garis berpotongan dalam kehidupan sehari-hari Perhatikan gambar di atas! Gambar tersebut adalah batas ubin lantai yang menunjukkan garis-garis saling berpotongan. Garisgaris tersebut memisahkan ubin satu dengan ubin yang lainnya. Garis batas atas atau garis batas bawah ubin berpotongan dengan di satu titik pada garis samping ubin. Garis-garis tersebut terletak pada satu bidang (lantai). batas atas batas bawah batas samping c. Dua Garis Berimpit Dua garis dikatakan berimpit jika melalui titik-titik yang sama. 5
Kedudukan dua Garis Perhatikan gambar di atas! Garis-garis yang melalui dua jarum jam yang ditunjukkan pada pukul 12.00 menunjukkan dua garis yang berimpit. Dua garis yang melalui jarum jam 12.00 terlihat seperti satu garis sehingga sulit dibedakan jika ketebalan dua garis tersebut sama. Contoh dua garis berimpit dalam kehidupan sehari-hari d. Dua Garis Bersilang Dua garis dikatakan bersilangan jika kedua garis tidak sejajar dan tidak mempunyai titik persekutuan. Contoh dua garis bersilang dalam kehidupan sehari-hari Perhatikan gambar di samping! Jembatan melintas sungai dan tidak memotong sungai tersebut (tidak berpotongan). Jembatan dan sungai terletak pada satu bidang. 6
Sudut Kaki Sudut Kaki Sudut Daerah Sudut Titik Sudut Perhatikan gambar meja dan jam berikut ini! Bagian benda-benda di atas membentuk sudut. Dapatkah Anda memeberikan contoh benda di sekitarmu yang dapat membentuk sudut? Apa jenis sudut yang terbentuk? Sebelum mempelajari sudut lebih lanjut, perhatikan bagian-bagian sudut berikut! 1.Jenis-jenis Sudut Berdasarkan besarnya, sudut dibagi menjadi sudut lancip, sudut siku-siku, sudut tumpul, sudut lurus, dan sudut refleks. Sudut lancip Sudut lancip Sudut tumpul Sudut lancip Sudut tumpul Sudut siku-siku Sudut siku-siku 7
Jenis-jenis Sudut a. Sudut Lancip c. Sudut Tumpul b. Sudut Siku-siku Besar sudut lancip antara 0° dan 90° 8 Besar sudut siku-siku adalah 90° Besar sudut tumpul antara 0° dan 180° Besar sudut lurus adalah 180° Besar sudut refleks lebih dari 180° dan kurang dari 360°. Sudut refleks tidak memiliki sisi lurus. Sudut refleks dapat dibentuk dengan memutar salah satu sisi sudut tumpul melewati sudut siku-siku. Sudut refleks dapat dibagi menjadi dua sudut lancip. d. Sudut Lurus Sudut lancip Sudut siku-siku Sudut tumpul Sudut lurus Sudut refleks Sudut refleks Sudut refleks
HUbungan antar Sudut a. Sudut Berpelurus (Suplemen) b. Sudut Berpenyiku (Komplemen) c. Sudut Bertolak Belakang Dua sudut dikatakan berpelurus jika jumlah besar kedua sudut sama dengan 180 Dua sudut dikatakan berpenyiku jika jumlah besar kedua sudut sama dengan 90 a + b = 90 Sebelumnya telah dipelajari mengenai kedudukan dua garis, di antaranya garis sejajar, berpotongan, berimpit, dan bersilangan. Sama halnya dengan kedudukan dua garis-garis tersebut. sepasang sudut juga dapat saling berhubungan. Hubungan antarsudut di antaranya adalah sudut-sudut berpelurus, berpenyiku dan bertolak belakang. 2. Hubungan Antar Sudut Dua sudut dikatakan bertolak belakang, yaitu dua sudut yang menghadap ke arah berlawanan yang dibentuk oleh sepasang garis berpotongan. Dua sudut yang saling bertolak belakang besarnya sama. a + b = 180 9
Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat ditarik tepat satu garis yang sejajar dengan garis itu Aksioma Garis sejajar Garis transversal Garis sejajar dan segi banyak 1. Garis Sejajar Sebelumnya telah dijelaskan mengenai apa itu garis sejajar. Dua garis dikatakan sejajar jika tidak mempunyai titik persekutuan dan jarak antara dua garis selalu sama. Garis sejajar juga memiliki sifat-sifat garis sejajar. Sebelum Anda membahas sifat-sifat garis sejajar, terlebih dahulu pelajari aksioma berikut ini! Perhatikan gambar di bawah ini! Misalkan terdapat garis g dan titik K yang berada di luar garis g. Menurut aksioma, melalui titik K hanya dapat ditarik tepat satu garis yang sejajar dengan garis g, yaitu garis l. Lalu, bagaimana jika ada dua garis sejajar dan dipotong oleh garis transversal? Apakah akan terbentuk beberapa pasangan sudut yang saling berhubungan? Sebelumnya, coba klik peta di samping ini untuk memahami lebih lanjut hubungan antar sudut! 10
11 Materi ini dimulai dari sudut sehadap PETUNJUK SUDUT DALAM SEPIHAK SUDUT LUAR SEPIHAK SUDUT BERTOLAK BELAKANG Hubungan Sudut pada Garis Sejajar SUDUT SEHADAP SUDUT DALAM BERSEBRANGAN SUDUT LUAR BERSEBRANGAN
Isilah titik-titik berikut dengan cermat dan teliti! A C B D E F H I G 12 Sudut Sehadap Besar sudut-sudut sehadap nilainya sama. Untuk membuktikan kebenarannya, lakukan kegiatan berikut! A Perhatikan gambar di samping! B Membuktikan Besar Sudut Sehadap yang Besarnya Sama
Isilah titik-titik berikut dengan cermat dan teliti! Sudut Dalam BERSEBRANGAN Perhatikan gambar di samping! Besar sudut-sudut dalam bersebrangan nilainya sama. Untuk membuktikan kebenarannya, lakukan kegiatan berikut! Membuktikan Besar Sudut Dalam Bersebrangan yang Besarnya Sama A B A B 13
Isilah titik-titik berikut dengan cermat dan teliti! Sudut Luar BERSEBRANGAN Perhatikan gambar di samping! Besar sudut-sudut luar bersebrangan nilainya sama. Untuk membuktikan kebenarannya, lakukan kegiatan berikut! Membuktikan Besar Sudut Luar Bersebrangan yang Besarnya Sama A B 14
Jumlah sudut-sudut dalam sepihak adalah 180 . Untuk membuktikan kebenarannya, lakukan kegiatan berikut! Sudut DALAM Sepihak A Perhatikan gambar di samping! B Isilah titik-titik berikut dengan cermat dan teliti! Membuktikan Besar Sudut Dalam Sepihak yang Jumlahnya 180 A B 15
Jumlah sudut-sudut dalam sepihak adalah 180 . Untuk membuktikan kebenarannya, lakukan kegiatan berikut! Isilah titik-titik berikut dengan cermat dan teliti! Sudut Luar SePihak Perhatikan gambar di samping! Membuktikan Besar Sudut Luar Sepihak yang Jumlahnya 180 A B 16
Isilah titik-titik berikut dengan cermat dan teliti! Sudut Bertolak belakang Perhatikan gambar di samping! Sebelumnya sudah dijelaskan bahwa dua sudut yang saling bertolak belakang besarnya sama. Untuk membuktikan kebenarannya, lakukan kegiatan berikut! Membuktikan Besar Sudut Bertolak Belakang yang Besarnya Sama A C B D O https://youtu.be/8w2RtbZdJnI 17 Untuk memahami materi hubungan dua sudut, Anda dapat mengunjungi video pembelajaran di bawah ini!
Sifat-sifat garis sejajar Setelah mempelajari hubungan sudut pada garis sejajar, terdapat beberapa sifat-sifat garis sejajar sebagai berikut: Melalui satu titik di luar sebuah garis hanya dapat dibuat satu garis yang sejajar dengan garis tersebut. Perhatikan gambar di samping ini! Titik P berada di luar garis m. Melalui titik P dapat dibuat garis yang tak berhingga banyaknya. Dari garis-garis yang melalui titik P tersebut, hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis m, yaitu garis a. Garis m sejajar dengan garis a ditulis m // a. 1. 2. Jika satu garis memotong salah satu dari dua garis sejajar, garis tersebut juga akan memotong garis yang kedua. Perhatikan gambar di samping. Garis a sejajar dengan garis b. Garis y memotong garis a, maka garis y juga akan memotong garis b. Selain itu pada gambar tersebut membentuk sudut sehadap, sudut luar dan dalam bersebrangan, sudut luar dan dalam sepihak, serta sudut bertolak belakang a b y 18
Jarak dua garis sejajar merupakan panjang ruas garis yang tegak lurus dengan kedua garis tersebut. Perhatikan gambar di samping. Garis k sejajar dengan garis . Ruas garis PQ tegak lurus dengan garis k dan garis , maka jarak antara garis k adalah d = PQ. Sifat-sifat garis sejajar Jika sebuah garis sejajar dengan dua garis yang lain, ketiga garis tersebut akan saling sejajar. Perhatikan gambar di samping. Garis t sejajar dengan garis u dan garis s, maka garis s, t, dan u saling sejajar. 3. 4. Dari sifat-sifat garis sejajar terdapat syarat-syarat garis sejajar sebagai berikut: Memiliki Arah yang Sama Garis-garis sejajar memiliki arah yang sama atau sejajar satu sama lain. Artinya, garis-garis tersebut tidak akan perpotongan. Jika ditarik ke dalam sepanjang panjangnya, mereka tidak akan saling bersilangan. 1. Memiliki Jarak yang Tetap Jarak antara kedua garis sejajar panjangnya tetap konstan. Artinya, garis-garis tersebut akan selalu memiliki jarak yang sama satu sama lain, tidak peduli seberapa panjang atau pendek garis tersebut. 2. Kemiringan yang Sama Kecenderungan atau kemiringan kedua garis juga biasanya akan selalu sama. Kemiringan maksudnya adalah sudut yang dibentuk oleh garis-garis tersebut terhadap suatu garis referensi, seperti garis horizontal. 3. 19
∠U +∠T = 180º (sudut berpelurus) 3xº + 120º = 180º 3xº = 180º – 120º 3xº = 60º xº = xº = 20º Jadi, nilai x adalah 20º 60º 3 Kuis Hubungan Sudut pada Garis Sejajar Perhatikan gambar di bawah ini! Jika besar ∠P = 120º , ∠U = 3xº dan ∠W = 2yº Tekan Quiz Time untuk memulai kuis! Penyelesaian: Diketahui: ∠P = 120º ∠U = 3xº ∠W = 2yº ∠P =∠T (sudut sehadap) Ditanya: Nilai x? Jawab: Karena ∠P dan ∠T merupakan pasangan sudut sehadap yang besar sudutnya sama, maka Untuk mengukur kemampuan Anda pada materi hubungan sudut pada garis Sejajar. Kerjakan kuis berikut ini! Contoh Soal! 20
sudut segi banyak (poligon) 2. Sudut Segi Banyak (Poligon) Sebelum menginjak ke materi sudut segi banyak, perhatikan video youtube berikut ini! Anda telah mempelajari segi banyak beraturan dan tidak beraturan. Selanjutnya untuk mengukur kemampuan Anda tentang segi banyak, perhatikan gambar di bawah ini! Untuk memahami materi lebih dalam, mari ikuti aktivitas selanjutnya! 21 Pada gambar tersebut mana yang merupakan segi banyak? Dan kenapa dikatakan segi banyak? Apa yang membedakan segi banyak dengan bangun datar lainnya?
sudut segi banyak (poligon) SUDUT DALAM & SUDUT LUAR SEGITIGA JUMLAH SUDUT DALAM SEGI BANYAK JUMLAH SUDUT LUAR SEGI BANYAK Materi ini dimulai dari sudut dalam & sudut luar segitiga PETUNJUK 22
Sudut dalam segitiga yaitu sudut yang dibentuk oleh dua sisi segitiga dan terletak di dalam segitiga. Jumlah sudutnya adalah 180 . Besar sudut luar segitiga = jumlah dua besar sudut dalam yang tidak berpelurus dengan sudut luar itu A B C D A B C sudut dalam dan sudut luar segitiga Sudut luar segitiga yaitu sudut yang dibentuk oleh sisi segitiga dan perpanjangan sisi lainnya. Sudut Dalam Segitiga Sudut Luar Segitiga 23 Klik gambar di bawah ini untuk mengakses link YouTube Klik gambar di bawah ini untuk mengakses link YouTube
2 3 Jumlah sudut dalam segitiga 1 + jumlah sudut dalam segitiga 2 180°+180° = 360° Atau 2 × Jumlah sudut dalam segitiga 2 × 180° = 360° 2 diperoleh dari jumlah sudut segi empat dikurangi 2 Jadi, besar sudut dalam segi empat adalah 360° 24 3 × Jumlah sudut dalam segitiga 3 × 180° = 540° 3 diperoleh dari jumlah sudut segi lima dikurangi 2 Jadi, besar sudut dalam segi lima adalah 540° 2.Jumlah Sudut Dalam Segi Lima 1. Jumlah Sudut Dalam Segi Empatl 3.Jumlah Sudut Dalam Segi Enam 4. Jumlah Sudut Dalam Segi Tujuh jumlah sudut dalam segi banyak (poligon) Sehingga jumlah sudut dalam segi banyak dapat dirumuskan sebagai berikut 4 × Jumlah sudut dalam segitiga 4 × 180° = 720° 4 diperoleh dari jumlah sudut segi enam dikurangi 2 Jadi, besar sudut dalam segi enam adalah 720° 5 × Jumlah sudut dalam segitiga 5 × 180° = 900° 5 diperoleh dari jumlah sudut segi tujuh dikurangi 2 Jadi, besar sudut dalam segi tujuh adalah 900°
Pada gambar di samping, sudut dalam dan sudut luar membentuk garis lurus–saling bertumpu 180º Sudut Dalam Sudut Luar jumlah sudut luar segi banyak (poligon) Sudut luar segi banyak adalah sudut antara poligon dan garis yang diperpanjang dari titik sudut poligon. Perhatikan gambar di bawah ini! Sudut Luar Jumlah dari Sudut Luar adalah 360º Jumlah sudut luar suatu poligon adalah 360º Untuk memahami lebih lanjut jumlah sudut luar segi banyak (poligon). Perhatikan ilustrisai YouTube di bawah ini! 25
26 Kuis Sudut segi banyak (poligon) Perhatikan gambar di bawah ini! Penyelesaian: Diketahui: Ditanya: Besar ∠KLM? Jawab: ∠NKM + ∠MKL = ∠MKL+∠KLM+∠LMK ∠NKM = ∠KLM+∠LMK (6x+20)º = 4xº + 50º (6x–4x)º = 50º–20º 2xº = 30º x = 15º Sehingga besar ∠KLM adalah 4x = 4 (15º) = 60º Contoh Soal! Besar ∠KLM adalah... ∠NKM + ∠MKL = 180º (sudut berpelurus) ∠MKL+∠KLM+∠LMK = 180º (jumlah sudut dalam segitiga) Tekan Quiz Time untuk memulai kuis! Untuk mengukur kemampuan Anda pada materi sudut segi banyak (poligon). Kerjakan kuis berikut ini!
Kekongruenan bangunbangun geometri Bagaimana Anda dapat mengidentifikasi dua bangun geometri dikatakan kongruen? Supaya Anda dapat mengetahui dan memahami jawaban pertanyaan tersebut silakan amati gambargambar di bawah ini dengan seksama! Perhatikan gambar di bawah ini! Dua gambar mobil yang kongruen Dua gambar mobil yang tidak kongruen Dua gambar kursi yang kongruen Dua gambar kursi yang tidak kongruen Coba amati gambar pigura lukisan yang memiliki ukuran di bawah ini secara saksama! Dua pigura lukisan yang kongruen 40 cm 40 cm 60 cm 60 cm Dua pigura lukisan yang kongruen 40 cm 40 cm 30 cm 80 cm Untuk memahami materi kekongruenan lebih lanjut, mari simak penjelasan selanjtnya! 27
Kekongruenan bangunbangun geometri BANGUN-BANGUN GEOMETRI YANG KONGRUEN SYARAT-SYARAT KEKONGRUENAN SEGITIGA CARA MEMBUKTIKAN SIFAT BANGUN GEOMETRI 28 Materi ini dimulai dari bangun-bangun geometri yang kongruen PETUNJUK
Bangun-bangun geometri yang kongruen K N M L P Q S R Untuk memahami bangun geometri yang kongruen, coba perhatikan contoh soal di bawah ini! Diketahui trapesium KLMN ≅ trapesium PQRS, panjang KL = 16 cm, PQ = 8 cm, dan QR = 9 cm. Tentukan panjang sisi-sisi yang lainnya. Alternatif Penyelesaian: Karena trapesium KLMN ≅ trapesium PQRS, maka: LM = KN = PS = QR = 9 cm, MN = PQ = 8 cm, dan SR = KL = 16 cm Dari contoh soal dan mengidentifikasi gambar sebelumnya, dapat kita simpulkan: Jika dua bangun datar memiliki sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka dua bangun tersebut dikatakan kongruen (sama dan sebangun). Jika dua bangun datar kongruen (sama dan sebangun), maka berlaku: 1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, dan 2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. 29
Syarat-syarat kekongruenan segitiga Segitiga merupakan sebuah bangun datar. Dengan demikian, jika pada dua segitiga memiliki sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang serta sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka kedua segitiga itu disebut kongruen. Dua buah segitiga yang kongruen akan tepat saling menutupi atau saling berimpit. Lalu bagaimana cara menyelidiki (membuktikan) dua buah segitiga yang kongruen? Untuk membuktikan dua segitiga kongruen, dapat dilakukan beberapa cara yang dibedakan berdasarkan panjang sisi dan besar sudut pada kedua segitiga itu. Dari aktivitas di atas jika dua buah segitiga memiliki panjang sisi yang bersesuaian sama besar, maka kedua segitiga tersebut pasti kongruen. Dua segitiga kongruen jika ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi, sisi, sisi atau S-S-S) a. Untuk mengetahui syarat ini, lakukan aktivitas berikut bersama teman sebangkumu! Gambarlah dua buah segitiga dengan ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang dari selembar kertas, kemudian gunting kedua segitiga tersebut. 1. Tumpuk/impitkan kedua segitiga itu! Apakah kedua segitiga tersebut saling menutupi? 2. Apakah kedua segitiga itu dapat dikatakan sebagai dua segitiga yang kongruen? Jelaskan! 3. 4.Apa yang Anda dapat simpulkan dari aktivitas ini? 30
Jika ΔKLM diimpitkan pada ΔPQR, maka: KM menempati PR, sebab KM = PR ∠M menempati ∠R, sebab ∠M = ∠R LM menempati QR, sebab LM = QR Lalu apakah KL akan menempati PQ? Diketahui bahwa: KM menempati PR, sehingga K menempati P LM menempati QR, sehingga L menempati Q Dengan demikian, KL menempati PQ dan KL = PQ. Syarat-syarat kekongruenan segitiga Dua segitiga kongruen jika dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (sisi, sudut, sisi atau S-Sd-S) b. Perhatikan gambar di atas ini! K M L P Q R Dengan demikian, cara untuk membuktikan dua segitiga kongruen adalah dengan memperlihatkan bahwa kedua segitiga memiliki dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit sama besar. Jadi, ΔKLM tepat saling menutupi dengan ΔPQR, sehingga dapat dikatakan bahwa ΔKLM kongruen dengan ΔPQR, ditulis ΔKLM ≅ ΔPQR. 31
Dua segitiga kongruen jika satu sisi yang bersesuaian sama panjang dan dua sudut yang terletak pada sisi itu sama besar (sudut, sisi, sudut atau Sd-S-Sd) c. Q R P S U T Jika ΔPQR diimpitkan pada ΔSTU, maka: ∠P menempati ∠S, sebab ∠P = ∠S PQ menempati ST, sebab PQ = ST ∠Q menempati ∠T, sebab ∠Q = ∠T Perhatikan, perpotongan garis PR dan QR adalah titik R. Perpotongan garis SU dan TU adalah titik U. Sehingga PR berimpit dengan SU dan QR berimpit dengan TU. Akibatnya titik R juga berimpit dengan titik U ∠R = ∠U. Perhatikan gambar di atas ini! Jadi, ΔPQR tepat saling menutupi dengan ΔSTU, sehingga dapat dikatakan bahwa ΔPQR kongruen dengan ΔSTU, ditulis ΔPQR ≅ ΔSTU. Dengan demikian, cara untuk membuktikan dua segitiga kongruen adalah dengan memperlihatkan bahwa kedua segitiga memiliki sisi yang bersesuaian sama panjang dan dua sudut yang terletak pada sisi itu sama besar. Syarat-syarat kekongruenan segitiga 32
d.Dua segitiga kongruen jika dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi di hadapan salah satu sudut sama panjang (sudut, sudut, sisi atau Sd-Sd-S) Perhatikan gambar di atas ini! Syarat-syarat kekongruenan segitiga A C B D E F Jika ΔABC diimpitkan pada ΔDEF, maka: AB menempati DE, sebab AB = DE ∠A menempati ∠D, sebab ∠A = ∠D ∠C menempati ∠F, sebab ∠C = ∠F Karena B merupakan titik potong AB dan CB, E merupakan titik potong DE dan FE, dan AB menempati DE (diketahui), maka CB berimpit dengan FE dan titik B juga berimpit dengan titik E atau ∠B = ∠E. Jadi ΔABC tepat saling menutupi dengan ΔDEF, sehingga dapat dikatakan bahwa ΔABC kongruen dengan ΔDEF, ditulis ΔABC ≅ ΔDEF. Dengan demikian, cara untuk membuktikan dua segitiga kongruen adalah dengan memperlihatkan bahwa kedua segitiga memiliki dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi di hadapan salah satu sudut sama panjang . 33
Oleh karena itu, kita dapat menulis pernyataan yang akan dibuktikan seperti berikut. Pada ∆ACO dan ∆BDO, jika AO = BO dan CO = DO, maka AC = BD. Cara membuktikan sifat bangun geometri Untuk memahami cara membuktikan sifat bangun geometri yang, coba perhatikan contoh soal di bawah ini! Perhatikan gambar di bawah ini! Jelaskan bahwa jika ruas garis AB dan CD berpotongan di titik tengah O, maka AC= BD. Soal Cara Dengan menggunakan aturan kongruensi dua segitiga, tunjukkan bahwa ∆ACO dan ∆BDO kongruen, serta jelaskan mengapa AC = BD. Bukti Untuk membuktikan sebuah pernyataan, kita perlu untuk dapat membedakan “bagian yang diketahui” dan “bagian yang harus dibuktikan”. Pada Contoh di atas, (I) bagian yang diketahui adalah AO = BO, CO = DO dan (II) bagian yang harus dibuktikan adalah AC = BD 34
Cara membuktikan sifat bangun geometri Cara Menulis Pembuktian Untuk memahami pembedaan antara pengandaian dan kesimpulan, serta menyusun proses pembuktian dari sifat-sifat bangun geometri. Perhatikan langkah-langkah berikut ini! Diketahui ruas garis AB dan CD berpotongan di titik M, buktikan bahwa jika AC // DB dan AM = BM, maka CM = DM. Soal Cara Pengandaiannya adalah AC // DB dan AM = BM. Kesimpulannya adalah CM = DM. Agar dari pengandaian sampai pada kesimpulan, maka kita perlu menunjukkan kekongruenan antara ∆AMC dan ∆BMD. Bukti 35
36 Kuis KekoNgruenan Bangun Geometri Perhatikan gambar di bawah ini! Diketahui∠ACD = ∠BCD dan ∠ADC = ∠BDC = 90º. Buktikan ΔACD ≅ ΔBCD! Penyelesaian: Diketahui: Ditanya: Buktikan ΔACD ≅ ΔBCD! Jawab: Contoh Soal! Tekan Quiz Time untuk memulai kuis! ∠ACD = ∠BCD ∠ADC = ∠BDC Pada ΔACD dan ΔBCD, sisi CD = CD (berimpit) Karena ΔACD dan ΔBCD memiliki satu sisi yang bersesuaian sama panjang, yaitu CD = CD dan dua sudut yang terletak pada sisi itu sama besar, yaitu ∠ACD = ∠BCD dan ∠ADC = ∠BDC, maka terbukti bahwa ΔACD ≅ ΔBCD. Ingat 2 syarat kekongruenan! 1.Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, dan 2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Untuk mengukur kemampuan Anda pada materi kekongruenan. Kerjakan kuis berikut ini!
Latihan soal Game Kuis 37
38 GAME sifat-Sifat bangun geometri PESAWAT TERBANG (HUBUNGAN ANTAR SUDUT) GAME SHOW (SEGI BANYAK) PASANGAN YANG COCOK (KEKONGRUENAN) Game ini dimulai dari pesawat terbang PETUNJUK
39