โครงงานคณิตณิศาสตร์ เรื่อ รื่ ง การศึก ศึ ษาการหาปริมริาตรทรงกรวยหน้า น้ ตัด ตั รูป รู วงรี ที่เ ที่ กิดกิจากการตัด ตั กรวยด้ว ด้ ยระนาบที่ทำ ที่ ทำมุม มุ องศา กับ กั ฐาน โดย นายเตโชวัฒ วั น์ เนื่อ นื่ งจำ นงค์ นายนวพล คงปลื้ม ลื้ นางสาวชลดา บัว บั ทอง ครูที่รูปที่ รึก รึ ษา นางสาวณฐิณีฐิ ณี มณีว ณี รรณ นางสุวสุรรณา อักอัษรศิลศิป์ โรงเรีย รี นบ้า บ้ นบึง บึ “อุต อุ สาหกรรมนุเ นุ คราะห์”ห์ สำ นัก นั งานเขตพื้น พื้ ที่ก ที่ ารศึก ศึ ษามัธ มั ยมศึก ศึ ษาชลบุรี บุ รี ระยอง รายงานฉบับบันี้เ นี้ป็นป็ ส่วส่นประกอบของโครงงานคณิตณิศาสตร์ ประเภทสร้าร้งทฤษฎีหฎีรือรืคำ อธิบธิายทางคณิตณิศาสตร์ ระดับดัชั้นชั้มัธมัยมศึกศึษาตอนปลาย เนื่อ นื่ งในงานศิลศิปหัตหัถกรรมนักนัเรียรีนครั้งรั้ที่ 71 ประจำ ปีกปีารศึกศึษา 2566
โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง การศึกษาการหาปริมาตรทรงกรวยหน้าตัดรูปวงรี ที่เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบที่ทำมุม องศา กับฐาน โดย นายเตโชวัฒน์ เนื่องจำนงค์ นายนวพล คงปลื้ม นางสาวชลดา บัวทอง โรงเรียนบ้านบึง “อุตสาหกรรมนุเคราะห์” สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาชลบุรี ระยอง รายงานฉบับนี้เป็นส่วนประกอบของโครงงานคณิตศาสตร์ ประเภทสร้างทฤษฎีหรือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ ระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย เนื่องในงานศิลปหัตถกรรมนักเรียนครั้งที่ 71 ประจำปีการศึกษา 2566
บทคัดย่อ การศึกษาการหาปริมาตรทรงกรวยหน้าตัดรูปวงรีที่เกิดจากการตัดกรวย ด้วยระนาบที่ทำมุม องศา กับฐาน ระดับชั้น มัธยมศึกษาตอนปลาย ประเภท สร้างทฤษฎีหรือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ คณะผู้จัดทำ นายเตโชวัฒน์ เนื่องจำนงค์ นายนวพล คงปลื้ม นางสาวชลดา บัวทอง ครูที่ปรึกษา นางสาวณฐิณี มณีวรรณ นางสุวรรณา อักษรศิลป์ สถานศึกษา โรงเรียนบ้านบึง “อุตสาหกรรมนุเคราะห์” อำเภอบ้านบึง จังหวัดชลบุรี ปีการศึกษา 2566 _________________________________________________________________________ การศึกษาในครั้งนี้ มีจุดมุ่งหมายเพื่อศึกษาการหาปริมาตรทรงกรวยหน้าตัดรูปวงรีที่เกิดจาก การตัดกรวยตรงด้วยระนาบที่ทำมุม องศา กับฐาน จากความยาวของรัศมีของกรวยตรง หน่วย ความสูงของกรวยตรง ℎ หน่วย และมุม องศา ผลการศึกษาพบว่า การหาปริมาตรทรงกรวย หน้าตัดรูปวงรีที่เกิดจากการตัดกรวยตรงด้วยระนาบที่ทำมุม องศา กับฐาน มีสูตรมาตรฐาน ดังนี้ V = 2 3 tan 3 tan r h h r h r − + โดยที่ V แทน ปริมาตรของกรวยเอียง ℎ แทน ความสูงของกรวย แทน รัศมีของกรวยตรง แทน มุมเกิดจากการตัดกรวยตรงด้วยระนาบที่ทำมุม องศากับฐาน ก
กิตติกรรมประกาศ ในการจัดทำโครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง“การศึกษาการหาปริมาตรทรงกรวยหน้าตัดรูปวงรีที่ เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบที่ทำมุม องศา กับฐาน” ในครั้งนี้ประสบความสำเร็จไปได้ด้วยดี เนื่องจากได้รับความอนุเคราะห์ จากครูณฐิณี มณีวรรณ ครูสุวรรณา อักษรศิลป์ และครูทัศน์พล ถกลพัฒนกุล ผู้ให้คำปรึกษาในการทำโครงงาน แนะนำหลักแนวคิดวิธีการ และสนับสนุนช่วยเหลือใน การศึกษาหาข้อมูล อธิบายหลักทฤษฎีต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการจัดทำโครงงานในครั้งนี้ ขอขอบคุณคณะผู้บริหารโรงเรียนบ้านบึง “อุตสาหกรรมนุเคราะห์” ทุกท่าน และคณะครู กลุ่มสาระการเรียนคณิตศาสตร์ทุกท่าน ที่อำนวยความสะดวกในการจัดทำโครงงานอย่างดียิ่ง และสนับสนุนการดำเนินการศึกษาโครงงานเล่มนี้จนสำเร็จด้วยดี ขอขอบพระคุณบิดา มารดา ที่คอยให้การสนับสนุน ช่วยเหลือและเป็นกำลังใจในการทำ โครงงานนี้ให้สำเร็จลุล่วงได้ด้วยดี ความดีอันเกิดจากการทำโครงงานในครั้งนี้ คณะผู้จัดทำขอมอบเป็นเครื่องตอบแทนพระคุณ บิดา มารดา ครู อาจารย์ และผู้มีพระคุณทุกท่าน ที่ได้ถ่ายทอดความรู้และให้ความช่วยเหลือแนะนำ และเป็นกำลังใจให้แก่คณะผู้จัดทำตลอดมา คณะผู้จัดทำ ข
สารบัญ เรื่อง หน้า บทคัดย่อ ก กิตติกรรมประกาศ ข บทที่ 1 บทนำ 1 ที่มาและความสำคัญของโครงงาน 1 วัตถุประสงค์ 1 ขอบเขตของโครงงาน 2 ผลที่คาดว่าจะได้รับ 2 บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวข้อง 3 การหาปริมาตรของกรวย 3 เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 4 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 7 อัตราส่วนตรีโกณมิติ 8 เวกเตอร์ในสามมิติ 10 สมการเส้นตรง 11 โปรแกรม Geogebra 12 บทที่ 3 วิธีการดำเนินการ 16 บทที่ 4 ผลการดำเนินการ 18 บทที่ 5 สรุปผล อภิปรายผล และข้อเสนอแนะ 28 สรุปผลการศึกษา 28 อภิปรายผล 28 ข้อเสนอแนะ 29 บรรณานุกรม 30 ภาคผนวก 32
1 บทที่ 1 บทนำ ที่มาและความสำคัญของโครงงาน “ภาคตัดกรวย” เป็นหัวข้อหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย ซึ่งปรากฏใน บทเรียนเรื่อง “เรขาคณิตวิเคราะห์” ที่มีเนื้อหาเกี่ยวกับการศึกษารูปในระนาบที่เกิดจากการตัดกันของ ระนาบกับกรวย ทำให้เกิดเป็นรอยตัดรูปต่าง ๆ ได้แก่ วงกลม วงรีพาราโบลา และไฮเพอร์โบลา ในบทเรียนนี้จะได้เรียนรู้การนำคณิตศาสตร์ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตจริง โดยเน้นการนำความรู้ไปใช้ใน การแก้ปัญหา อีกทั้งเรื่องภาคตัดกรวยมีความสำคัญ และเป็นพื้นฐานสำหรับการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูง ในปัจจุบันมีการศึกษาและนำสมบัติต่าง ๆ ของภาคตัดกรวยไปใช้ประโยชน์ในชีวิตประจำวัน เพื่อการอำนวยความสะดวก กรวยเอียงเป็นรูปทรงหนึ่งที่ได้รับความนิยมในการนำไปพัฒนา บรรจุภัณฑ์หรือออกแบบวัสดุสิ่งของเครื่องใช้ต่าง ๆ เพื่อตอบสนองความต้องการของมนุษย์และเพื่อ ความทันสมัยมากขึ้น เช่น ซองใส่เครป แท่งม้วนแป้ง กรวยใส่ไอศกรีม กรวยใส่อาหาร แม้กระทั่งการ ออกแบบโต๊ะและเก้าอี้ เป็นต้น ประกอบกับทางคณะผู้จัดทําสังเกตเห็นว่า เมื่อมีระนาบมาตัดกับกรวย แล้วทำมุมแหลมกับแกนของกรวย จะได้รอยตัดระหว่างกรวยกับระนาบเป็นรูปวงรี ซึ่งเป็นเนื้อหาที่ คณะผู้จัดทำกำลังศึกษา จึงได้แนวคิดในการนำองค์ความรู้ในชั้นเรียนไปพัฒนาต่อยอดและเชื่อมโยง กับหลักทฤษฎีต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ ด้วยเหตุนี้คณะผู้จัดทำจึงมีความสนใจศึกษาและคิดค้นโครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง “การศึกษา การหาปริมาตรทรงกรวยหน้าตัดรูปวงรีที่เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบที่ทำมุม องศา กับฐาน” เพื่อศึกษาการหาปริมาตรทรงกรวยที่มีหน้าตัดรูปวงรีโดยเกิดจากการตัดกรวยที่มีส่วนสูง h หน่วย รัศมีr หน่วย ด้วยระนาบที่ทำมุมต่าง ๆ กับฐาน เพื่อเป็นการเชื่อมโยงความรู้เดิมในระดับมัธยมศึกษา ตอนปลาย พัฒนาต่อยอดความรู้ใหม่ในคณิตศาสตร์ขั้นสูง และเป็นแนวทางในการพิสูจน์โดยใช้ความรู้ ทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายมาปรับประยุกต์ วัตถุประสงค์ของโครงงาน เพื่อศึกษาการหาปริมาตรทรงกรวยหน้าตัดรูปวงรีที่เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบที่ทำ มุม องศา กับฐาน
2 ขอบเขตของโครงงาน ขอบเขตด้านเนื้อหา 1. สมการเส้นตรง 2. การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 3. การหาปริมาตรทรงกรวย 4. อัตราส่วนตรีโกณมิติ 5. เรขาคณิตวิเคราะห์ภาคตัดกรวย 6. เวกเตอร์ในสามมิติ 7. โปรแกรม Geogebra ขอบเขตด้านระยะเวลา 3 กรกฎาคม 66 – 10 พฤศจิกายน 66 ผลที่คาดว่าจะได้รับ ได้สูตรมาตรฐานในการหาปริมาตรทรงกรวยหน้าตัดรูปวงรีที่เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบที่ทำ มุม องศา กับฐาน
3 บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวข้อง ในการศึกษาค้นคว้าโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง “การศึกษาการหาปริมาตรทรงกรวย หน้าตัดรูปวงรีที่เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบที่ทำมุม องศา กับฐาน” ในครั้งนี้มีเอกสาร ที่เกี่ยวข้อง ดังนี้ 1. การหาปริมาตรของกรวย 2. เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 3. การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 4. อัตราส่วนตรีโกณมิติ 5. เวกเตอร์ในสามมิติ 6. สมการเส้นตรง 7. โปรแกรม GeoGebra 1. การหาปริมาตรของกรวย ในทางคณิตศาสตร์ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบ เดียวกันกับฐาน และสองเส้นที่ต่อระหว่างจุดที่เป็นยอดแหลมและจุดใด ๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของ เส้นตรง เรียกว่า กรวย (cone) ภาพแสดงส่วนต่าง ๆ ของกรวยตรง และกรวยเอียง ปริมาตรของกรวย มีค่าเท่ากับ 1 3 พื้นที่ฐาน สูงตรง หรือ 1 2 3 r h เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของกรวย และ h แทนความสูงของกรวย
4 2. เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 2.1 ระยะทางระหว่างจุดสองจุด ระยะทางระหว่างจุด ( ) 1 1 1 P x , y และ ( ) 2 2 2 P x , y เขียนแทนด้วย P1 2 P จะได้ว่า ( ) ( ) 2 1 2 2 P x y 1 2 = − − + 1 2 หรือ ( ) ( ) 2 2 P x 1 2 2 1 2 1 P = − − x y + y 2.2 จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด ให้ Q x y ( , ) เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด ( ) 1 1 1 P x , y และ ( ) 2 2 2 P x , y จะได้ว่า พิกัดของจุด Q กำหนดโดย 1 2 2 x x x = + และ 1 2 2 y y y = + Y X Y X ( ) 1 1 1 P x , y ( ) 2 2 2 P x , y PP1 2 ( ) 1 1 1 P x , y ( ) 2 2 2 P x , y Q x y ( , )
5 2.3 ภาคตัดกรวย ภาคตัดกรวย คือ รูปในระนาบที่เกิดจากการตัดกันของระนาบกับกรวย ซึ่งรอยตัดเป็น เส้นโค้ง มี 4 ลักษณะ ได้แก่ วงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลา วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา 2.4 วงรี วงรี คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ ในเซตนั้นไปยัง จุดที่ตรึงอยู่กับที่สองจุดมีคาคงตัว โดยคาคงตัวนี้ตองมากกวาระยะห่างระหว่างจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสองจุด เรียกจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสองจุดนี้วา “โฟกัสของวงรี” จากรูป จะได้ว่า PF PF QF QF 1 2 1 2 + = + = ค่าคงตัว F2 F1 P Q
6 ส่วนประกอบต่าง ๆ ของวงรี ในวงรีจะประกอบไปด้วยส่วนต่าง ๆ ดังนี้ F1 และ F2 เป็นโฟกัสของวงรี V1 และ V2 เป็นจุดยอดของวงรี เรียกส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดยอด นั่นคือ VV1 2 ว่า แกนเอกของวงรี โดยโฟกัสของวงรีจะอยู่บนแกนเอกเสมอ และเรียก BB1 2 ว่า แกนโทของวงรี สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h k , ) มีข้อสรุป ดังนี้ ลักษณะของวงรี แกนเอกขนานแกน X แกนเอกขนานแกน Y สมการรูปแบบ มาตรฐาน ( ) ( ) 2 2 2 2 1 x h y b k a − − + = โดยที่ a b 0 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 x h y k b a − − + = โดยที่ a b 0 จุดยอด (h a k − , ) และ (h a k + , ) (h k a , − ) และ (h k a , + ) โฟกัส (h c k − , ) และ (h c k + , ) โดยที่ 2 2 2 c = a −b (h k c , − ) และ (h k c , + ) โดยที่ 2 2 2 c = a −b ความยาวแกนเอก 2a หน่วย 2a หน่วย ความยาวแกนโท 2b หน่วย 2b หน่วย V2 V1 F2 F1 B1 B2 O
7 พื้นที่ของรูปวงรีที่มีแกนเอกยาว 2a หน่วย และแกนโทยาว 2b หน่วย เท่ากับ ab เมื่อ a คือความยาวครึ่งแกนเอกของวงรี และ b คือความยาวครึ่งแกนโทของวงรี 3. การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ให้ 1 2 1 2 1 a a b b c , , , , และ 2 c เป็นจำนวนจริงที่ 1 1 a b, ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และ 2 2 a b, ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน ระบบที่ประกอบด้วยสมการ 1 1 a x b y + = 1 c 2 2 a x b y + = 2 c เรียกว่า ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ที่มี x และ y เป็นตัวแปร โดยที่ 1 2 a a, เป็นสัมประสิทธิ์ของ x และ 1 2 b b, เป็นสัมประสิทธิ์ของ y คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ คู่อันดับ ( x y , ) ที่สอดคล้องกับสมการ ทั้งสองของระบบสมการ หรือ คู่อันดับ ( x y , ) ที่ค่า x และ y ทำให้สมการทั้งสองของระบบสมการ เป็นจริง เมื่อเขียนกราฟของแต่ละสมการบนแกนคู่เดียวกัน จะได้ว่า จุดตัดของกราฟ เป็นคำตอบของ ระบบสมการ ซึ่งระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร อาจมีเพียงคำตอบเดียว มีหลายคำตอบ หรือไม่มีคำตอบ ก็ได้ การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร จะใช้สมบัติการเท่ากัน ซึ่งได้แก่ สมบัติสมมาตร สมบัติ ถ่ายทอด สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน และสมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน เช่น การหาคำตอบของระบบสมการ x y + = 2 4 และ 2 3 1 x y − = ทำได้ดังนี้ ให้ x y + 2 = 4 (1) และ 2 3 x y − = 1 (2) (1 2 ) จะได้ 2 4 x y + = 8 (3) (3 2 ) −( ) จะได้ (2 4 2 3 x y x y + − − ) ( ) = 8 1− 2 4 2 3 x y x y + − + = 7 7y = 7 y = 1 แทนค่า y ด้วย 1 ในสมการ (1) จะได้ว่า x + 2 1( ) = 4
8 x + 2 = 4 x = 2 ดังนั้น คำตอบของระบบสมการนี้ คือ (2, 1) จากการแก้ระบบสมการข้างต้น การที่นำสมการ (1) คูณด้วย 2 ตลอดสมการ พบว่า สัมประสิทธิ์ของ x จะมีค่าเท่ากับสมการ (2) และกำหนดให้เป็นสมการ (3) เมื่อนำสมการ (3) ลบ ด้วยสมการ (2) จะสามารถกำจัดตัวแปร x และหาค่าของตัวแปร y ได้ เมื่อทราบค่าของ ตัวแปร y แล้วจึงนำไปแทนในสมการใดสมการหนึ่งเพื่อหาค่าของตัวแปร x ในที่นี้เลือกแทนในสมการ (1) จะได้ค่าของตัวแปร x เมื่อนำสมการ x y + = 2 4 และ 2 3 1 x y − = ไปเขียนกราฟลงบนแกนคู่เดียวกัน พบว่า เส้นตรงทั้งสองตัดกันที่จุด (2, 1) ดังรูป ซึ่งคำตอบของระบบสมการมีเพียงคำตอบเดียว คือ (2, 1) 4. อัตราส่วนตรีโกณมิติ ตรีโกณมิติ ตรงกับคำในภาษาอังกฤษ Trigonometry หมายถึง การวัดรูปสามเหลี่ยม ซึ่งได้มี การนำความรู้วิชาตรีโกณมิติไปใช้หาระยะทาง พื้นที่ มุม และทิศทางที่ยากต่อการวัดโดยตรง พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉาก โดยด้านตรงข้ามมุม A B, และ C ยาว a b, และ c หน่วย ตามลำดับ
9 อัตราส่วนตรีโกณมิติ ประกอบไปด้วย 1. ไซน์ (sine) ของมุม A คือ อัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามมุม A ต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ a c เขียนแทนด้วย sin A 2. โคไซน์ (cosine) ของมุม A คือ อัตราส่วนของความยาวของด้านประชิดมุม A ต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ b c เขียนแทนด้วย cos A 3. แทนเจนต์ (tangent) ของมุม A คือ อัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามมุม A ต่อ ความยาวของด้านประชิดมุม A หรือ a b เขียนแทนด้วย tan A ซึ่ง sin tan cos A A A = โดยที่ cos 0 A 4. เซแคนต์ (secant) ของมุม A คือ ส่วนกลับของ cos A เขียนแทนด้วย sec A ซึ่ง 1 sec cos A A = โดยที่ cos 0 A 5. โคเซแคนต์ (cosecant) ของมุม A คือ ส่วนกลับของ sin A เขียนแทนด้วย cosec A ซึ่ง 1 cosec sin A A = โดยที่ sin 0 A 6. โคแทนเจนต์ (tangent) ของมุม A คือ ส่วนกลับของ tan A เขียนแทนด้วย cot A ซึ่ง 1 cot tan A A = หรือ cos cot sin A A A = โดยที่ sin 0 A และ cos 0 A เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ ให้ เป็นมุมใด ๆ จะได้ว่า 2 2 sin cos 1, + = 2 2 1 tan sec + = และ 2 2 1 cot cosec + = A C B a b c
10 5. เวกเตอร์ในสามมิติ เวกเตอร์ คือ ปริมาณที่มีทั้งขนาด และทิศทาง จะใช้สัญลักษณ์ AB แทนเวกเตอร์ที่มี A เป็น จุดเริ่มต้น และ B เป็นจุดสิ้นสุด ซึ่งมีทิศทางจากจุด A ไปยังจุด B ในกรณีที่ต้องการกล่าวถึงเวกเตอร์ใด ๆ โดยที่ไม่ต้องการระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของ เวกเตอร์ จะใช้อักษรตัวเดียว เช่น u ดังแสดงในรูป จะใช้สัญลักษณ์ AB และ u แทนขนาดของ AB และ u ตามลำดับ u ขนานกับ v ก็ต่อเมื่อ u และ v มีทิศทางเดียวกันหรือทิศทางตรงข้ามกัน โดยใช้ สัญลักษณ์ u v // แทน u ขนานกับ v u เท่ากับ v ก็ต่อเมื่อ u และ v มีขนาดเท่ากันและมีทิศทางเดียวกัน โดยใช้สัญลักษณ์ u v = แทน u เท่ากับ v นิเสธของ u คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ u แต่มีทิศทางตรงข้ามกับ u นิเสธของ u เขียนแทนด้วย −u ซึ่ง − − = ( u u ) เวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ จะเขียน a b c แทนเวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่จุดกำเนิด และสิ้นสุดที่จุด (abc , , ) หรือเริ่มต้นที่จุด ( x y z , , ) และสิ้นสุดที่จุด ( x a y b z c + + + , , ) ถ้าให้ AB เริ่มต้นที่จุด ( ) 1 1 1 A x y z , , และสิ้นสุดที่จุด ( ) 2 2 2 B x y z , , จะเขียนแทน AB ด้วย 2 1 2 1 2 1 x x y y z z − − − ซึ่ง ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 AB x x 2 2 1 2 1 = − + + y z − − y z ให้ a b c d e , , , , และ f เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะได้ว่า (1) a d b e c f = ก็ต่อเมื่อ a d b e = = , และ c f =
11 (2) นิเสธของ a b c คือ a b c − หรือ a b c − − − (3) a d a b e b c f d e c f = (4) a ka k b kb c kc = เมื่อ k เป็นจำนวนจริงใด ๆ 6. สมการเส้นตรง 6.1 สมการเส้นตรงในสามมิติ การกำหนดเส้นตรงในสามมิติ ประกอบไปด้วย เวกเตอร์ระบุทิศทาง และจุดใดจุดหนึ่งที่ ผ่านเส้นตรง ซึ่งเส้นตรงนั้นจะขนานกับเวกเตอร์ระบุทิศทาง จะได้ว่า สมการเส้นตรงที่มี a b c เป็นเวกเตอร์ระบุทิศทาง และผ่านจุด ( ) 0 0 0 x y , , z จะอยู่ในรูปแบบ สมการอิงตัวแปรเสริม คือ 0 0 0 x x = + = + = + at y y bt z z ct เมื่อ t เป็นจำนวนจริงใด ๆ 6.2 สมการระนาบ การกำหนดระนาบในสามมิติ ประกอบไปด้วย เวกเตอร์แนวฉาก ซึ่งตั้งฉากกับระนาบ ดังกล่าว และจุดใดจุดหนึ่งที่ผ่านระนาบนั้น
12 จะได้ว่า สมการระนาบที่มี a b c และ ผ่านจุด ( ) 0 0 0 x y , , z คือ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 a x x b y y c z z − + − + − = 0 6.3 ระยะทางระหว่างจุดกับระนาบ ระยะทางระหว่างจุด ( ) 0 0 0 x y , , z กับระนาบ Ax By Cz D + + + = 0 เท่ากับ 0 0 0 2 2 2 A by Cz D A x B C + + + + + 7. โปรแกรม GeoGebra โปรแกรม GeoGebra เป็นโปรแกรมที่เปิดเสรี (Open source) หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า เป็น โปรแกรมที่เปิดเผยหลักการแหล่งที่มา ตลอดจนรหัสต้นฉบับให้กับสาธารณชนได้เข้าร่วมพัฒนาโปรแกรม และไม่มีค่าใช้จ่ายในการนำโปรแกรมมาใช้งาน ซึ่งปัจจุบัน โปรแกรม GeoGebra ได้ถูกนำมาใช้เป็นสื่อ การเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์อย่างแพร่หลาย ความเป็นมาของโปรแกรม GeoGebra โปรแกรม GeoGebra ถูกพัฒนาขึ้นในปี 2001 จากการทำวิทยานิพนธ์ของ Markus Hohenwarter ที่มหาวิทยาลัย Zalzburg ประเทศออสเตรเลีย สามารถนำมาใช้ได้ทั้งครูและนักเรียน ตั้งแต่ระดับมัธยมศึกษาถึงระดับมหาวิทยาลัย (Judith, 2008) สามารถนำมาใช้ได้โดยไม่เสียค่าลิขสิทธิ์ ต่อมาปี 2007 Michael Borcherds ชาวอังกฤษได้นำทีมพัฒนาต่อมาจนเป็นที่นิยมแพร่หลายไปทั่วโลก และถูกแปลจากภาษาอังกฤษเป็นภาษาต่างๆ หลายภาษา ปัจจุบันถูกพัฒนามาจนถึง version 5 และยัง ไม่หยุดเพียงเท่านี้
13 โปรแกรม GeoGebra สามารถดาวน์โหลดมาใช้ได้จากเว็บไซต์ www.geogebra.org โดย หน้าต่างเว็บไซต์จะเป็นดังรูป ลักษณะของโปรแกรม GeoGebra โปรแกรม GeoGebra โปรแกรมเรขาคณิตแบบพลวัตที่ใช้ในการสร้างสื่อ การเรียนการสอน มีผู้กล่าวถึงโปรแกรม GeoGebra ไว้ดังนี้ Mathcenter Forum กล่าวว่า โปรแกรม GeoGebra เป็นซอฟท์แวร์ทางคณิตศาสตร์ที่ เหมาะกับการวาดรูปที่ไม่มีความสัมพันธ์สลับซับซ้อนมากนัก การวาดกราฟของฟังก์ชันต่าง ๆ และ การวาดรูปพาลาโบลา วงรี หรือไฮเพอร์โบลา (Mathcenter Forum , 2556) geogebra.org อธิบายเกี่ยวกับโปรแกรม GeoGebra ไว้ว่าเป็น ซอฟท์แวร์ทางคณิตศาสตร์ แบบพลวัต ออกแบบมาเพื่อใช้ในการเรียนการสอนวิชาเรขาคณิตและพีชคณิตในระดับมัธยมศึกษา และระดับมหาวิทยาลัย สามารถดาวน์โหลดไฟล์มาติดตั้งได้ฟรีหรือเปิดใช้งานผ่านอินเทอร์เน็ตโดยใช้ GeoGebra WebStar ซึ่งสามารถใช้ได้ในระบบปฏิบัติการทุกระบบ (geogebra.org, 2562) อดิศักดิ์ มหาวรรณ กล่าวว่า โปรแกรม GeoGebra เป็น open Source ที่ใช้สำหรับเขียน กราฟ แบบ 2 มิติ สามารถสร้างสื่อการเรียนการสอน แบบโต้ตอบกับผู้เรียนได้ (อดิศักดิ์ มหาวรรณ, 2562) ปิยะวุฒิ ศรีชนะ กล่าวว่า โปรแกรม GeoGebra เป็นหนึ่งในโปรแกรม เรขาคณิตแบบพลวัต สามารถนำมาใช้ได้โดยไม่เสียค่าลิขสิทธิ์ เหมาะสำหรับการนำมาผลิต สื่อการสอนที่เป็นพลวัต ตั้งแต่ ระดับมัธยมศึกษาจนถึงระดับมหาวิทยาลัย โดยการสร้างและส่งออกไฟล์ในรูปของ Java ซึ่งเป็นสื่อที่มี ปฏิสัมพันธ์กับผู้เรียนและผู้เรียนสามารถ ปรับแต่งค่าในเนื้อหาขณะที่เรียนรู้ได้เป็นอย่างดี (ปิยะวุฒิ ศรี ชนะ)
14 พงศักดิ์ วุฒิสันต์ กล่าวว่า GeoGebra มาจากคำว่า Geometry รวมกับ Algebra เป็นโปรแกรม ทางคณิตศาสตร์อีกโปรแกรมหนึ่งที่น่านำมาใช้ ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ผู้ใช้ สามารถทำความ เข้าใจได้ง่าย สามารถสร้างกราฟ ภาคตัดกรวย แสดงสมการทั่วไปหรือสมการ มาตรฐานของกราฟนั้น ๆ ได้ด้วย นอกจากนี้ ยังมีวิดีโอสอนการใช้งานมากมายใน youtube ทั้ง ภาษาอังกฤษ ฝรั่งเศส สเปน ฯลฯ (พงศักดิ์ วุฒิสันต์, 2556) International GeoGebra Institute กล่าวว่า โปรแกรม GeoGebra เป็นโปรแกรมที่เกี่ยว กับ ความรู้และองค์ประกอบต่าง ๆ เชิงคณิตศาสตร์แทบ ทุกชนิด ไม่ว่าจะเป็นเรื่องเรขาคณิต (Geometry) พีชคณิต (Algebra) ตรีโกณมิติ (Trigonometric) กราฟ (Graph) สถิติ (Statistics) แคลคูลัส (Calculus) รวมถึงการใช้ สูตรคำนวณหาค่าต่าง ๆ และกระบวนการประยุกต์ใช้ของคณิตศาสตร์ในรูปแบบต่างๆ ได้ อย่างละเอียด สามารถใช้เป็นสื่อการสอนสำหรับอาจารย์ในการสอน ให้นักเรียนเข้าใจ ในหลักสูตรต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ในการใช้งานและสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับ สิ่งอื่น ๆ ในชีวิตประจำวันได้ดีมากยิ่งขึ้น (Internationnal GeoGebra Institute, 2558) นอกจากนี้โปรแกรมยังมีฟีเจอร์ที่ใช้สำหรับการใส่สูตรต่างๆ เข้าไปประกอบกับ รูปภาพ หรือ โมเดลแบบ 3 มิติ (3D) ให้ได้สามารถเรียนรู้และวิเคราะห์ เพื่อสร้างความเข้าใจ ในหลักการคำนวณ ของ สูตรต่าง ๆ ได้อย่างรวดเร็วและแม่นยำมากขึ้น ซึ่งสามารถนำโปรแกรม นี้ไปประยุกต์ใช้กับวงการ อาชีพที่ เกี่ยวข้องกับการใช้คณิตศาสตร์ในคำนวณตัวเลข หรือ ค่าต่าง ๆ อย่าง วิศวกร หรือ นักวิทยาศาสตร์ได้ โปรแกรมสามารถใช้งานได้ฟรีและรองรับการใช้งานในระบบปฏิบัติการที่ หลากหลายของทั้งใน คอมพิวเตอร์และแท็บเล็ต (Tablet) บนระบบปฏิบัติการที่หลากหลายนั้น ได้แก่ ระบบ Windows ระบบ Mac OS ระบบ iOS และระบบ Android รองรับการใช้งานในหลายภาษา สามารถสร้างกราฟ และ รูปทรง เรขาคณิตต่างๆ พร้อมใส่ค่าสูตรคำนวณได้ การสอนคณิตศาสตร์โดยโปรแกรม GeoGebra การสอนคณิตศาสตร์โดยใช้โปรแกรม GeoGebra นั้นมีผู้กล่าวถึงโดยสรุปดังนี้ Lopez กล่าวถึง การใช้โปรแกรม GeoGebra มาปรับใช้ใน การสอนวิชาคณิตศาสตร์ ในการ อบรมครูคณิตศาสตร์ระดับ ประถมศึกษาของประเทศสเปน สรุปได้ว่า โปรแกรม GeoGebra เป็น โปรแกรมที่ใช้งานได้สะดวก นักเรียนสามารถเรียนรู้ ได้ง่าย เป็นเครื่องมือช่วยในการตรวจสอบ คุณสมบัติและความสัมพันธ์ของรูปร่าง ที่ไม่สามารถ ทำลงในกระดาษได้ นอกจากนี้อาจช่วยสร้างแรง บันดาลใจในการแก้ปัญหาให้กับนักเรียนที่ ไม่เก่งวิชาคณิตศาสตร์ แต่การเรียนการสอนโดยใช้ โปรแกรม GeoGebra จำเป็นจะต้องมี ความเข้าใจ เกี่ยวกับศัพท์ทางเรขาคณิต (Lopez, 2009)
15 กล่าวโดยสรุป สื่อการเรียนการสอนที่สร้างจากโปรแกรม GeoGebra จะเป็นสื่อที่มีความเป็น พลวัต ซึ่งนักเรียนจะเรียนรู้และทำความเข้าใจมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ได้ง่าย การเขียนกราฟเส้นตรง นั้นสามารถกำหนดสมการในรูป natural form หรือ แบบ slope form ขึ้นมาก่อนค่อยเขียนกราฟ หรือ จะเขียนเส้นตรงก่อนแล้วค่อยกำหนดสมการก็ได้ ซึ่งโปรแกรมสามารถใช้งานได้ฟรีและรองรับการ ใช้งาน ในหลากหลายระบบปฏิบัติการของทั้งในคอมพิวเตอร์และแท็บเล็ต (Tablet) บน ระบบปฏิบัติการที่ หลากหลาย คือ ระบบ Windows ระบบ Mac OS ระบบ iOS และระบบ Android รองรับการใช้งานใน หลากหลายภาษา สามารถสร้างกราฟ และรูปทรง เรขาคณิตต่าง ๆ พร้อมกับใส่ค่าสูตรคำนวณได้ สามารถส่งเสริมการเรียนรู้ได้และนักเรียนสามารถใช้ได้ทั้งในโรงเรียน และที่บ้าน จากการศึกษาพบว่า โปรแกรม GeoGebra เป็นโปรแกรมสำเร็จรูปทางคณิตศาสตร์แบบ พลวัตที่ โต้ตอบกับผู้ใช้งานสำหรับการศึกษาคณิตศาสตร์ สามารถเรียนรู้เกี่ยวกับเรขาคณิต พีชคณิต แคลคูลัส วงกลม ส่วนตัดของวงกลม มีคำสั่งในการสร้างที่หลากหลาย นอกจากนี้โปรแกรม GeoGebra ยังมี ความสามารถในการส่งออกไฟล์ที่สร้างขึ้นในรูปแบบของภาษา Java ซึ่งเป็นสื่อ ปฏิสัมพันธ์กับผู้เรียน เครื่องมือพื้นฐานของโปรแกรม GeoGebra คือ จุด เวกเตอร์ สมการของ เส้นตรง ภาคตัดกรวยหรือ ฟังก์ชัน เนื่องจากโปรแกรม GeoGebra เป็นเครื่องมือในการสร้างแบบ พลวัตจึงสามารถใช้งานได้กับ เรขาคณิตแบบพลวัตอื่น ๆ นอกจากนี้ยังสามารถใส่พิกัดของจุดหรือ เวกเตอร์ สมการของเส้นตรง ภาคตัด กรวยหรือฟังก์ชันและตัวเลขที่มุมได้โดยตรง ดังนั้น โปรแกรม GeoGebra จึงออกแบบมาเพื่อใช้ในการ เรียนการสอนคณิตศาสตร์ รวมทั้งยังใช้ได้หลายภาษาตาม คำสั่งของเครื่องมือ (ชัญญา อุทิศ, 2557) เนื่องจาก เนื้อหาของระบบสมการ สิ่งสำคัญที่สุดคือการแก้ ระบบสมการเพื่อหาคำตอบของระบบสมการ และการวาดกราฟเพื่อแสดงการหาคำตอบของระบบสมการ แต่ในการสอนปกตินั้นครูผู้สอนจะต้องวาด กราฟเองด้วยระบบมือบนกระดานซึ่งใช้เวลาค่อนข้างมาก และกราฟที่ได้ในบางครั้งก็ไม่ได้สัดส่วน ทำให้ การเรียนการสอนแต่ละครั้งไม่ราบรื่นและใช้เวลาในการ สอนแต่ละครั้งคอนข้างนานและสามารถ ยกตัวอย่างประกอบการสอนได้ค่อนข้าง ไม่ตรงกับตัวอย่าง ของแผนการจัดการเรียนรู้ (จารุต วรสาร ประภาพร หนองหารพิทักษ์และปวีณา ขันธ์ศิลา, 2562) ปัญหาเหล่านี้จึงเป็นปัญหาที่ต้องได้รับการแก้ไข อย่างเร่งด่วน ดังนั้น สื่อโปรแกรม GeoGebra จะช่วยลดเวลาครูผู้สอนในการเรียนกราฟของระบบสมการ ทำให้เรียนเข้าในเนื้อหาที่สอนได้มากขั้นและ กราฟที่ได้ก็มีความความเคลื่อนน้อยลงและสามารถส่งเสริม การเรียนรู้ได้และนักเรียนสามารถใช้ได้ทั้ง ในโรงเรียนและที่บ้าน
17 บทที่ 3 วิธีการดำเนินการ วิธีการดำเนินงานในการจัดทำโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง “การศึกษาการหาปริมาตรทรงกรวย หน้าตัดรูปวงรีที่เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบที่ทำมุม องศา กับฐาน” คณะผู้จัดทำได้ดำเนินการ ดังนี้ ที่ วัน เดือน ปี กิจกรรม การดำเนินการศึกษา ผู้รับผิดชอบ 1 3-10 ก.ค. 66 สมาชิกในกลุ่มช่วยกันศึกษาวิธีการและประเภทของ การทำโครงงานคณิตศาสตร์อย่างถูกต้อง คณะผู้จัดทำทุกคน 2 11-24 ก.ค. 66 สมาชิกในกลุ่มร่วมกันคิดและวางแผน ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ที่จะนำไปสู่การทำโครงงาน และร่วมกัน คัดเลือกหัวข้อโครงงาน คณะผู้จัดทำทุกคน 3 25 ก.ค. 66 ส่งหัวข้อโครงงานคณิตศาสตร์ ต่อครูที่ปรึกษา คณะผู้จัดทำทุกคน 4 26 ก.ค. 66 - 7 ส.ค. 66 ทำการอภิปรายกันภายในกลุ่มในหัวข้อทาง คณิตศาสตร์เรื่อง การศึกษาการหาปริมาตรทรง กรวยหน้าตัดรูปวงรีที่เกิดจากการตัดกรวยด้วย ระนาบที่ทำมุม องศา กับฐาน คณะผู้จัดทำทุกคน 5 8-15 ส.ค. 66 กำหนดแนวทางและขอบเขตการศึกษาร่วมกับ ครูที่ปรึกษา คณะผู้จัดทำทุกคน และครูที่ปรึกษา 6 16-31 ส.ค. 66 ทบทวนความรู้เบื้องต้นและทฤษฎีต่าง ๆ ที่เกี่ยวกับ สมการเส้นตรง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร การหาปริมาตรทรงกรวยและอัตราส่วนตรีโกณมิติ คณะผู้จัดทำทุกคน และครูที่ปรึกษา 7 1-7 ก.ย. 66 ศึกษาเนื้อหาเพิ่มเติม เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะห์ภาคตัด กรวยเวกเตอร์ในสามมิติ คณะผู้จัดทำทุกคน 8 8-16 ก.ย. 66 ศึกษาการใช้โปรแกรม Geogebra ในการสร้าง รูปทรงสามมิติ คณะผู้จัดทำทุกคน และครูที่ปรึกษา 9 17-30 ก.ย. 66 สรุปการศึกษารวบรวมข้อค้นพบความรู้ ทฤษฎี หลักการ แนวคิด ระเบียบวิธี และผลลัพธ์จาก การศึกษาต่อครูที่ปรึกษาโครงงาน เพื่อรับการ วิพากษ์และแก้ไขจากครูที่ปรึกษาโครงงาน คณะผู้จัดทำทุกคน
17 ที่ วัน เดือน ปี กิจกรรม การดำเนินการศึกษา ผู้รับผิดชอบ 10 1-16 ต.ค. 66 จัดพิมพ์รูปเล่มโครงงาน และออกแบบโปสเตอร์ คณะผู้จัดทำทุกคน 11 17-31 ต.ค. 66 จัดทำแผ่นพับแนะนำโครงงาน คณะผู้จัดทำทุกคน 12 1-10 พ.ย. 66 สมาชิกในกลุ่มร่วมกันนำเสนอต่อครูที่ปรึกษา และ คณะครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณะผู้จัดทำทุกคน
15 บทที่ 4 ผลการดำเนินการ จากการดำเนินการศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทสร้างทฤษฎีหรือคำอธิบายทาง คณิตศาสตร์เรื่อง “การศึกษาการหาปริมาตรทรงกรวยหน้าตัดรูปวงรีที่เกิดจากการตัดกรวยด้วย ระนาบที่ทำมุม องศา กับฐาน” ในครั้งนี้ คณะผู้จัดทำได้ผลการศึกษา ดังนี้ การพิสูจน์การหาปริมาตรกรวยเอียง กำหนดให้ c เป็นกรวยตรง ซึ่งรัศมีที่ฐานยาว r หน่วย และสูง h หน่วย เพราะฉะนั้น ให้ c เป็นกรวยที่มีฐานอยู่บนระนาบ XY และยอดของกรวยอยู่ที่ C h (0, 0, ) มีจุด A r (0, , 0 − ) และ B r (0, , 0) อยู่ที่ฐานของกรวย โดยที่ r 0 และ h 0 ให้ p เป็นระนาบ ซึ่งทำมุม องศา กับฐานของกรวย โดยที่ 0 arctan h r และผ่านจุด A ไปตัดกรวย ทำให้เกิดรอยตัดรูปวงรี โดยให้ e เป็นรูปวงรีจากรอยตัดดังกล่าว จะได้รูปวงรี e ที่มีจุดยอดอยู่ที่ จุด A และจุด D ดังรูป จากการตัดกรวยข้างต้น จะได้กรวยเอียง ที่มีฐานเป็นรูปวงรี และ C เป็นยอดของกรวย ซึ่ง การหาปริมาตรของกรวยเอียง จะแบ่งการหาเป็น 3 ขั้นตอนดังนี้ ขั้นตอนที่ 1 หาพื้นที่ฐานของกรวยเอียง ขั้นตอนที่ 2 หาสูงตรงของกรวยเอียง ขั้นตอนที่ 3 หาปริมาตรของกรวยเอียง
19 ขั้นตอนที่ 1 หาพื้นที่ฐานของกรวยเอียง เนื่องจาก กรวยเอียงมีฐานเป็นรูปวงรี และพื้นที่ของรูปวงรีมีค่าเท่ากับ ab เมื่อ a แทนความยาวครึ่งแกนเอกของวงรี และ b แทนความยาวครึ่งแกนเอกของวงรี ดังนั้น จะแบ่งการหาออกเป็น 2 ขั้นตอนย่อย ได้แก่ หาความยาวครึ่งแกนเอกของวงรี และ หาความยาวครึ่งแกนเอกของวงรี 1.1 หาความยาวครึ่งแกนเอกของวงรี เนื่องจาก A และ D เป็นจุดยอดของวงรี จะได้ว่าแกนเอกของวงรียาว AD ซึ่งสามารถหาพิกัดของจุด D จากการตัดระนาบ p ด้วยเส้นตรง BC ดังนี้ พิจารณาการหาสมการระนาบ p ดังนี้ ให้ n เป็นเวกเตอร์แนวฉากหนึ่งหน่วย ของระนาบ p โดยที่ n อยู่บน ระนาบ YZ จะได้ ( ) ( ) 0 0 cos 90 sin sin 90 cos n = + = − + เนื่องจาก สมการระนาบที่มี a b c เป็นเวกเตอร์แนวฉาก และผ่านจุด ( ) 0 0 0 x y z , , คือ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 a x x b y y c z z − + − + − = 0 ดังนั้น สมการระนาบ p ที่มี 0 sin cos n = − เป็นเวกเตอร์แนวฉาก และผ่านจุด A r (0, , 0 − ) คือ
20 0 0 sin cos 0 ( x y r z − + − − − + − ) ( )( ( )) ( )( ) = 0 (− + + sin cos )( y r z ) ( ) = 0 (− + + tan )( y r z ) = 0 z = (tan )( y r + ) นั่นคือ ระนาบ p มีสมการเป็น z y r = + (tan )( ) พิจารณาการหาสมการเส้นตรง BC ดังนี้ เนื่องจาก สมการเส้นตรงที่มี a b c เป็นเวกเตอร์ระบุทิศทาง และผ่านจุด ( ) 0 0 0 x y z , , จะอยู่ในรูปแบบสมการอิงตัวแปรเสริม คือ 0 0 0 x x at y y = + = +bt z z ct = + เมื่อ t เป็นจำนวนจริงใด เมื่อพิจารณาบนเส้นตรง BC จะได้ว่า มี BC เป็นเวกเตอร์ระบุทิศทาง ซึ่ง 0 0 0 0 0 C B C B C B x x BC y y r r z z h h − − = − = − = − − − และเส้นตรง BC ผ่านจุด B จะได้สมการเส้นตรง BC ในรูปแบบสมการอิงตัวแปรเสิรม คือ 0( ) ( ) B B B x x t y y r t z z ht = + = + − = + เมื่อ t เป็นจำนวนจริงใด ๆ จาก B y y rt = − และ B z z ht = + จะได้ว่า B B y y z z t r h − − = = − นั่นคือ y r z r h − = − ซึ่งได้ว่า ( ) h z y r r = − − เพราะฉะนั้น สมการเส้นตรง BC คือ ( ) h z y r r = − − เมื่อ x = 0 ต่อไปจะหาพิกัดของจุด D จากการแก้ระบบสมการ ดังนี้ เมื่อ x = 0 ให้ z = (tan )( y r + ) (1) และ z = ( ) h y r r − − (2) จาก (1) และ (2) จะได้ (tan )( y r + ) = ( ) h y r r − − y r tan tan + = ( ) h y r r − − 2 ry r tan tan + = − + hy hr
21 hy ry + tan = 2 hr r − tan (h r y + tan ) = 2 hr r − tan y = 2 tan tan hr r h r − + แทนค่า y ด้วย 2 tan tan hr r h r − + ใน (1) จะได้ z = ( ) 2 tan tan tan hr r r h r − + + z = ( ) 2 2 tan tan tan tan hr r hr r h r − + + + z = 2 tan tan hr h r + ดังนั้น จุด D มีพิกัดเป็น 2 tan 2 tan 0, , tan tan hr r hr h r h r − + + ให้ D เป็นภาพฉายของจุด D บนระนาบ XY จะได้ว่า จุด D มีพิกัดเป็น 2 tan 0, , 0 tan hr r h r − + ดังรูป ดังนั้น ADD เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ว่า sin DD AD = เพราะฉะนั้น ( ) 1 2 tan 2 2 sin sin tan cos tan cos sin DD hr hr hr AD h r h r h r = = = = + + + นั่นคือ แกนเอกของวงรียาว 2 cos sin hr h r + เนื่องจาก a แทนความยาวครึ่งแกนเอกของวงรี แสดงว่า cos sin hr a h r = +
22 1.2 หาความยาวครึ่งแกนโทของวงรี ให้ E เป็นจุดกึ่งกลางของ AD ซึ่งเป็นแกนเอกของวงรี ดังนั้น E เป็นจุดศูนย์กลางของวงรี ซึ่งจะได้ว่า E x = 0 0 0 2 2 A D x + x + = = E y = 2 A D y + y = 2 1 tan 2 tan hr r r h r − − + + = 2 2 1 tan tan 2 tan hr r hr r h r − − + − + = 2 1 2 tan 2 tan r h r − + = 2 tan tan r h r − + และ E z = 1 2 tan tan 0 2 2 tan tan A D z z hr hr h r h r + = + = + + ดังนั้น จุด E มีพิกัดเป็น 2 tan n 0 t ta ta , n , an r hr h r h r − + + ให้ q เป็นระนาบที่ผ่านจุด E และขนานกับระนาบ XY ซึ่งระนาบ q ตัดกับ กรวย c เกิดรอยตัดรูปวงกลม และไปตัดวงรี e ที่จุด F โดยที่ 0 F x จะพบว่า EF เป็นความยาวครึ่งแกนโทของวงรี ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่เป็นรอยตัดของระนาบ q กับกรวย c จะได้ว่า จุด O มีพิกัดเป็น tan t 0, 0, an hr h r + และ OF คือรัศมีของวงกลมดังกล่าว
23 พิจารณาการหา OF ดังนี้ ให้ F เป็นจุดซึ่งอยู่ที่ฐานของกรวย c โดยที่จุด C F, และ F อยู่บน เส้นตรงเดียวกัน จะได้ว่า CFO CF O และจากสมบัติของความคล้าย จะได้ว่า O F CO OF CO = เนื่องจาก OF r CO h = = , และ tan tan C hr O h h r = − + ดังนั้น OF = ( ) CO OF CO = tan tan h hr r h r h − + = 2 tan tan tan h hr hr r h r h + − + = 2 tan h r h r h + = tan hr h r + พิจารณาการหา OE ดังนี้ เนื่องจาก O มีพิกัดเป็น tan t 0, 0, an hr h r + และจุด E มีพิกัดเป็น 2 tan n 0 t ta ta , n , an r hr h r h r − + + ดังนั้น OE = O E y y − = 2 tan 0 tan r h r − − + = 2 tan tan r h r + = 2 tan tan r h r + เพราะว่า 2 tan 0 tan r h r +
24 พิจารณาการหา EF (ความยาวครึ่งแกนโทของวงรี) ดังนี้ เนื่องจาก O EF เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มี OF เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก และ O E EF , เป็นด้านประกอบมุมฉาก จากทฤษฎีบทพีโกรัส จะได้ว่า ( ) 2 OF = ( ) ( ) 2 2 O E EF + ( ) 2 EF = ( ) ( ) 2 2 O F O E − ( ) 2 EF = 2 2 2 ta tan n tan hr r h r h r + − + ( ) 2 EF = ( ) 2 2 2 4 2 tan tan h r r h r − + ( ) 2 EF = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 tan tan r h r h r − + ( ) 2 EF = ( )( ) ( ) 2 2 tan tan tan r h r h r h r − + + ( ) 2 EF = ( ) 2 tan tan r h r h r − + ดังนั้น EF = tan tan h r r h r − + เนื่องจาก b แทนความยาวครึ่งแกนโทของวงรี แสดงว่า tan tan h r b r h r − = +
25 เนื่องจาก พื้นที่ของรูปวงรีมีค่าเท่ากับ ab ซึ่ง cos sin hr a h r = + และ tan tan h r b r h r − = + เพราะฉะนั้น พื้นที่ของรูปวงรีมีค่าเท่ากับ tan cos sin tan hr h r r h r h r − + + นั่นคือ พื้นที่ฐานของกรวยเอียงมีค่าเท่ากับ 2 tan cos sin tan r h h r h r h r − + + ขั้นตอนที่ 2 หาสูงตรงของกรวยเอียง ให้ h แทนสูงตรงของกรวยเอียง จะได้ว่า h คือ ระยะทางจากจุด C ไปยังระนาบ p เนื่องจากระยะทางระหว่างจุด ( ) 0 0 0 x , , y z กับระนาบ Ax By Cz D + + + = 0 คือ 0 0 0 2 2 2 Ax A By Cz D B C + + + + + ซึ่งจุด C มีพิกัดเป็น (0, 0, h) และระนาบ p มีสมการเป็น z y r = + (tan )( ) หรือ (tan tan 0 ) y z r − + = เพราะฉะนั้น h = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 tan 0 1 tan 0 tan 1 h r + + + + − + − = 2 tan 1 r h tan + − = 2 tan sec r h − = tan sec r h −
26 h = r h sin cos − h = h r cos sin − พิจารณาค่าของ h r cos sin −ดังนี้ ให้ arctan h r = ดังนั้น 0 90 เนื่องจาก 0 arctan h r ดังนั้น 0 90 ทำให้ได้ว่า cos 0 cos cos cos90 นั่นคือ 1 cos cos 0 แสดงว่า h h h cos cos 0 นั่นคือ 0 cos cos h h h และจาก 0 90 จะได้ว่า sin 0 sin sin sin 90 นั่นคือ 0 sin sin 1 แสดงว่า 0 sin sin − − − r r r นั่นคือ − − − r r r sin sin 0 เนื่องจาก 0 cos cos h h h และ − − − r r r sin sin 0 ดังนั้น − − − r h r h r h cos sin cos sin (*) จาก arctan h r = จะได้ว่า เป็นมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่ง 0 90 ที่มีด้านตรงข้าม ยาว h หน่วย ด้านประชิดมุม ยาว r หน่วย และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 2 2 h r + หน่วย ทำให้ได้ว่า 2 2 2 2 cos sin 0 r h h r h r h r h r − = − = + + และจาก (*) จะได้ว่า − − r h r h 0 cos sin แสดงว่า h h r h r = − = − cos sin cos sin
27 ขั้นตอนที่ 3 หาปริมาตรของกรวยเอียง จากสูตร ปริมาตรของกรวย = 1 3 พื้นที่ฐาน สูงตรง ให้ V แทนปริมาตรของกรวยเอียง ซึ่งมีพื้นที่ฐานเท่ากับ 2 tan cos sin tan r h h r h r h r − + + และสูงตรงเท่ากับ h r cos sin − เพราะฉะนั้น V = ( ) 2 1 tan cos sin 3 cos sin tan r h h r h r h r h r − − + + = 2 cos sin tan 3 cos sin tan r h h r h r h r h r − − + + = 2 cos sin cos tan 3 tan cos sin cos h r r h h r h r h r − − + + = 2 tan tan 3 tan tan r h h r h r h r h r − − + + V = 2 3 tan 3 tan r h h r h r − + *******************************************************************************************
28 บทที่ 5 สรุป อภิปรายผล และข้อเสนอแนะ ในการจัดทำโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง “การศึกษาการหาปริมาตรทรงกรวยหน้าตัดรูปวงรีที่ เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบที่ทำมุม องศา กับฐาน” ในครั้งนี้ คณะผู้จัดทำโครงงานได้สรุปผล การศึกษา อภิปรายผล และมีข้อเสนอแนะ ดังนี้ สรุปผลการศึกษา สูตรมาตรฐานในการหาปริมาตรทรงกรวยหน้าตัดรูปวงรีที่เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบ ที่ทำมุม องศา กับฐาน ดังนี้ V = 2 3 tan 3 tan r h h r h r − + โดยที่ V แทน ปริมาตรของกรวยเอียง ℎ แทน ความสูงตรงของกรวยตรง แทน รัศมีของกรวยตรง แทน มุมเกิดจากการตัดกรวยตรงด้วยระนาบที่ทำมุม องศา กับฐาน อภิปรายผล จากการศึกษาการหาปริมาตรทรงกรวยหน้าตัดรูปวงรีที่เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบที่ทำ มุม องศา กับฐาน โดยใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์เรื่อง สมการเส้นตรง การแก้ระบบสมการเชิงเส้น สองตัวแปร การหาปริมาตรทรงกรวย อัตราส่วนตรีโกณมิติเรขาคณิตวิเคราะห์ ภาคตัดกรวย เวกเตอร์ในสามมิติและโปรแกรม Geogebra พบว่า สูตรการหาปริมาตรทรงกรวยหน้าตัดรูปวงรีที่ เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบที่ทำมุม องศา กับฐาน หรือ สูตรการหาปริมาตรกรวยเอียง คือ V = 2 3 tan 3 tan r h h r h r − + เมื่อนำค่า ℎ ค่า และมุม แทนในสมการข้างต้น จะได้ปริมาตรของกรวยหน้าตัดรูปวงรีที่เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบที่ทำมุม องศา กับฐาน ตรงกันกับปริมาตรที่ได้จากการคำนวณโดยใช้โปรแกรม Geogebra แสดงว่า สูตรมาตรฐานในการหา ปริมาตรทรงกรวยหน้าตัดรูปวงรีที่เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบที่ทำมุม องศา กับฐาน สามารถ ใช้ได้ในทุกกรณี
29 ข้อเสนอแนะ ศึกษาการใช้วิธีพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์รูปแบบอื่นในการหาปริมาตรทรงกรวยหน้าตัดรูปวงรีที่ เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบที่ทำมุม องศา กับฐาน
25 บรรณานุกรม ชัยศักดิ์ ลีลาจรัสกุล. โครงงานคณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ : เดอะมาสเตอร์กรุ๊ป แมเนจเม้นท์, 2542 ดำรง ทิพย์โยธา, ณัฏฐนาถ ไตรภพ, สุรชัย สมบัติบริบูรณ์. (2558). แคลคูลัส 2. พิมพ์ครั้งที่ 1. กรุงเทพมหานคร : สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย มานัส ทิพย์สัมฤทธิ์กุล. กิจกรรมการเรียนรู้สู่โครงงานคณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ : เป็นภาษาและศิลปะ จำกัด, 2550. วิไลวรรณ สีแดด. การพัฒนาชุดกิจกรรม เรื่องเวกเตอร์ในสามมิติ ผ่าน GeoGebra Applet สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5. โครงการวิจัยและพัฒนานวัตกรรมแลกเป้า สพฐ. ปีงบประมาณ 2561. (ออนไลน์). แหล่งที่มา : http://www.ska2.go.th/reis/data/research/25620911_144600_8624.pdf. 3 ตุลาคม 2556 ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2554). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตาม หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. พิมพ์ครั้งที่ 1. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2554). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตาม หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. พิมพ์ครั้งที่ 3. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2554). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตาม หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. พิมพ์ครั้งที่ 3. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2556). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 3 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตาม หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. พิมพ์ครั้งที่ 4. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว
26 สมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทย ในพระบรมราชูปถัมภ์. (2564). ว่าด้วยเรื่องคณิตศาสตร์ ระดับมัธยม : ภาคตัดกรวยจริงฤา? 1. วารสารคณิตศาสตร์Mathematical Journal. (ออนไลน์). แหล่งที่มา : http://www.mathassociation.net/view/iWorkbook.php. 20 กันยายน 2566 สุนทรีย์ ปาลวัฒน์ชัย. หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2. กรุงเทพมหานคร : แม็คเอ็ดดูเคชัน, 2561
32 ภาคผนวก
33 คณะผู้จัดทำ ศึกษา รวบรวมข้อค้นพบความรู้ ทฤษฎี
34 คณะผู้จัดทำ ศึกษา รวบรวมข้อค้นพบความรู้ ทฤษฎี (ต่อ)
35 คณะผู้จัดทำร่วมกันคำนวณหาปริมาตรทรงกรวยหน้าตัดรูปวงรี ที่เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบที่ทำมุม θ องศา กับฐาน จากสูตร V = 2 3 tan 3 tan r h h r h r − + และใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์ Geogebra เพื่อพิสูจน์ปริมาตรที่หาได้
36 คณะผู้จัดทำฝึกซ้อมการนำเสนอโครงงานคณิตศาสตร์ ต่อครูที่ปรึกษาโครงงาน และคณะครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
37