โครงงานคณิต

โครงงานคณิตณิศาสตร์ เรื่อรื่ง การหาสมการเส้น ส้ สัมสัผัสผัของกราฟพาราโบลา โดย นายเตโชวัฒวัน์ เนื่อนื่งจำ นงค์ นายนวพล คงปลื้มลื้ นายธาราพงษ์ รอดฝุ่นฝุ่ ครูที่รูที่ปรึกรึษา นางสาวณฐิณีฐิ ณีมณีวณีรรณ นางประคอง โสภาพ โรงเรียรีนบ้า บ้ นบึงบึ “อุตสาหกรรมนุเนุคราะห์”ห์ สำ นักนังานเขตพื้นพื้ที่การศึกษามัธมัยมศึกษาชลบุรี ระยอง รายงานฉบับบันี้เ นี้ป็น ป็ ส่วส่นประกอบของโครงงานคณิตณิศาสตร์ ประเภทสร้าร้งทฤษฎีหฎีรือรืคำ อธิบธิายทางคณิตณิศาสตร์ ระดับดัชั้นชั้มัธมัยมศึกษาตอนต้นต้ เนื่อนื่งในงานศิลปหัตหัถกรรมนักนัเรียรีนครั้งรั้ที่ 70 ประจำ ปีกปีารศึกษา 2565

โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง การหาสมการเส้นสัมผัสของกราฟพาราโบลา โดย นายเตโชวัฒน์ เนื่องจำนงค์ นายนวพล คงปลื้ม นายธาราพงษ์ รอดฝุ่น โรงเรียนบ้านบึง “อุตสาหกรรมนุเคราะห์” สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาชลบุรี ระยอง รายงานฉบับนี้เป็นส่วนประกอบของโครงงานคณิตศาสตร์ ประเภทสร้างทฤษฎีหรือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ ระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น เนื่องในงานศิลปหัตถกรรมนักเรียนครั้งที่ 70 ประจำปีการศึกษา 2565

บทคัดย่อ การหาสมการเส้นสัมผัสของกราฟพาราโบลา ระดับชั้น มัธยมศึกษาตอนต้น ประเภท สร้างทฤษฎีหรือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ คณะผู้จัดทำ นายเตโชวัฒน์ เนื่องจำนงค์ นายนวพล คงปลื้ม นายธาราพงษ์ รอดฝุ่น ครูที่ปรึกษา นางสาวณฐิณี มณีวรรณ นางประคอง โสภาพ สถานศึกษา โรงเรียนบ้านบึง “อุตสาหกรรมนุเคราะห์” อำเภอบ้านบึง จังหวัดชลบุรี ปีการศึกษา 2565 ________________________________________________________________________________ การศึกษาในครั้งนี้ มีจุดมุ่งหมายเพื่อศึกษาสูตรการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด กำเนิด กำหนดโดยสมการ x 2 = 4cy และ y 2 = 4cx และสูตรการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอด อยู่ที่จุด (h,k) กำหนดโดยสมการ (x – h)2 = 4c(y – k) และ (y – k)2 = 4c(x – h) ผลการศึกษาพบว่า สมการ เส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด คือ x1 (x – x1 ) = 2c(y – y 1 ) และ y 1 (y – y 1 ) = 2c(x – x1 ) ตามลำดับ สมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (h,k) คือ (x - x1 )(x1 - h) = 2c(y - y 1 ) และ (y - y 1 )( y 1 - k) = 2c(x - x1 ) ตามลำดับ ก

กิตติกรรมประกาศ ในการจัดทำโครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง“การหาสมการเส้นสัมผัสของกราฟพาราโบลา” ในครั้งนี้ ประสบความสำเร็จไปได้ด้วยดี เนื่องจากได้รับความอนุเคราะห์ ช่วยเหลือ ให้คำปรึกษา คำแนะนำ จากครูณฐิณี มณีวรรณ และ ครูประคอง โสภาพ ครูที่ปรึกษาโครงงาน ที่คอยเป็นผู้ให้คำปรึกษา แนะนำ แนวคิดวิธีการ และสนับสนุนช่วยเหลือในการศึกษาหาข้อมูล อธิบายหลักทฤษฎีต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับ การจัดทำโครงงานในครั้งนี้ ขอขอบคุณคณะผู้บริหารโรงเรียนบ้านบึง “อุตสาหกรรมนุเคราะห์” ทุกท่าน และคณะครูกลุ่มสาระ การเรียนคณิตศาสตร์ทุกท่าน ที่ให้ความสะดวกในการจัดทำโครงงานอย่างดียิ่งและสนับสนุนการดำเนิน การศึกษาโครงงานเล่มนี้จนสำเร็จด้วยดี ขอขอบพระคุณบิดา มารดา ที่คอยให้การสนับสนุน ช่วยเหลือและเป็นกำลังใจในการทำโครงงานนี้ให้ สำเร็จลุล่วงได้ด้วยดี ความดีอันเกิดจากการทำโครงงานในครั้งนี้ คณะผู้จัดทำขอมอบเป็นเครื่องตอบแทนพระคุณบิดา มารดา ครู อาจารย์ และผู้มีพระคุณทุกท่าน ที่ได้ถ่ายทอดความรู้และให้ความช่วยเหลือแนะนำ และเป็น กำลังใจให้แก่คณะผู้จัดทำตลอดมา คณะผู้จัดทำ ข

สารบัญ เรื่อง หน้า บทคัดย่อ ก กิตติกรรมประกาศ ข บทที่ 1 บทนำ 1 ที่มาและความสำคัญของโครงงาน 1 วัตถุประสงค์ 1 ขอบเขตของโครงงาน 2 ผลที่คาดว่าจะได้รับ 2 บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวข้อง 3 วงกลม 3 พาราโบลา 6 เส้นสัมผัส 7 การแก้สมการระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 7 สมการกำลังสอง 8 ความชันของเส้นตรง 9 โปรแกรม Geogebra 10 บทที่ 3 วิธีการดำเนินการ 13 บทที่ 4 ผลการดำเนินการ 14 ตอนที่ 1 ผลการศึกษาสูตรการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด กำหนดโดยสมการ x 2 = 4cy และ y 2 = 4cx 14 ตอนที่ 2 ผลการศึกษาสูตรการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (h, k) กำหนดโดยสมการ (x - h) 2 = 4c(y - k)และ (y - k) 2 = 4c(x - h) 18 บทที่ 5 สรุปผล อภิปรายผล และข้อเสนอแนะ 23 สรุปผลการศึกษา 23 อภิปรายผล 24 ข้อเสนอแนะ 24 บรรณานุกรม 25 ภาคผนวก 26

สารบัญตาราง เรื่อง หน้า ตารางที่ 1 แสดง สรุปผลการศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง “การหาสมการเส้นสัมผัสของกราฟพาราโบลา ” 23

1 บทที่ 1 บทนำ ที่มาและความสำคัญของโครงงาน จากการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง วงกลม มีทฤษฎีบทความสัมพันธ์ระหว่างเส้นสัมผัสกับรัศมี ของวงกลม กล่าวว่า “เส้นสัมผัสวงกลมจะตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส” และ “เส้นตรงที่ตั้งฉากกับ รัศมีของวงกลมที่จุดจุดหนึ่งบนวงกลมจะเป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดนั้น” และได้ศึกษาการหาสมการเส้นสัมผัส ที่มาสัมผัสวงกลมโดยใช้ความรู้เรื่องความชันและการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร จากนั้นคณะผู้จัดทำ เกิดความสงสัยว่า “ถ้าเปลี่ยนจากวงกลมเป็นกราฟของฟังก์ชันกำลังสองหรือพาราโบลา จะสามารถหาสมการ เส้นสัมผัสของพาราโบลาได้หรือไม่” จากบทเรียน เรื่อง กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ที่คณะผู้จัดทำได้เคยศึกษาในภาคเรียนที่ 1 พบว่า กราฟของฟังก์ชันกำลังสองจะมีลักษณะเป็นพาราโบลา ที่กำหนดด้วยสมการแบบต่าง ๆ ดังนี้ y = ax 2 , y = ax 2 + k , y = a(x - h)2 , y = a(x - h)2 + k และ y = ax 2 + bx + c โดยเนื้อหาการเรียนกราฟของ ฟังก์ชันกำลังสองในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 จะเน้นไปที่การศึกษาและสำรวจลักษณะของ พาราโบลาในรูปแบบต่าง ๆ คณะผู้จัดทำจึงได้ศึกษาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ พาราโบลา พบว่า ในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 มีเนื้อหาที่เพิ่มขึ้นจากเดิม เช่น ส่วนประกอบต่าง ๆ ของพาราโบลา พาราโบลาที่มี ลักษณะตะแคงซ้ายขวา รวมไปถึงพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด กำหนดด้วยสมการมาตรฐาน x 2 = 4cy และ y 2 = 4cx พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (h,k) กำหนดด้วยสมการ (x - h)2 = 4c(y - k) และ (y - k)2 = 4c(x - h) เป็นต้น ด้วยเหตุนี้คณะผู้จัดทำจึงมีความสนใจศึกษาการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ จุดกำเนิด ที่กำหนดโดยสมการ x 2 = 4cy และ y 2 = 4cx และสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (h,k) ที่กำหนดโดยสมการ (x - h)2 = 4c(y - k) และ (y - k)2 = 4c(x - h) เพื่อเป็นการเชื่อมโยงความรู้เดิม ของระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น และต่อยอดความรู้ใหม่ในระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย วัตถุประสงค์ 1. เพื่อศึกษาสูตรการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด กำหนดโดยสมการ x 2 = 4cy และ y 2 = 4cx 2. เพื่อศึกษาสูตรการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (h,k) กำหนดโดยสมการ (x - h)2 = 4c(y - k) และ (y - k)2 = 4c(x - h)

2 ขอบเขตของโครงงาน ขอบเขตด้านเนื้อหา 1. วงกลม 2. พาราโบลา 3. เส้นสัมผัส 4. การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 5. สมการกำลังสอง 6. ความชันของกราฟ ขอบเขตด้านระยะเวลา 3 กรกฎาคม 65 – 10 ธันวาคม 65 ผลที่คาดว่าจะได้รับ 1. ได้สูตรการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด กำหนดโดยสมการ x 2 = 4cy และ y 2 = 4cx 2. ได้สูตรการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (h, k)กำหนดโดยสมการ (x - h)2 = 4c(y - k) และ(y - k)2 = 4c(x - h) 3. ได้พัฒนาเจตคติที่มีต่อวิชาคณิตศาสตร์

3 บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวข้อง ในการศึกษาค้นคว้าโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง “การหาสมการเส้นสัมผัสของกราฟพาราโบลา” ในครั้งนี้ มีเอกสารที่เกี่ยวข้อง ดังนี้ 1. วงกลม 2. พาราโบลา 3. เส้นสัมผัส 4. การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 5. สมการกำลังสอง 6. ความชันของเส้นตรง 1. วงกลม วงกลม คือเซตของจุดทุกจุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะทางคงตัว จุดคงที่ เรียกว่า จุด ศูนย์กลาง ส่วนระยะคงที่เรียกว่า รัศมี นิยามของสมการวงกลม คือ วงกลม (Circle) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่ห่างจากจุด ๆ หนึ่งตรึงอยู่กับที่เป็นระยะทางคงตัว จุด ที่ตรึงอยู่กับที่นี้เรียกว่า จุดศูนย์กลาง (center) ของวงกลม และระยะทางคงตัวดังกล่าวเรียกว่า รัศมี(radius) ของวงกลม จุด C(h, k) เป็นจุดคงที่ เรียกว่า จุดศูนย์กลาง |CP| = ระยะทางคงที่ เรียกว่ารัศมี รูปที่ 1 สมการวงกลม

4 รูปแบบของสมการวงกลม − − D E , 2 2 รูปแบบของสมการวงกลม จุดศูนย์กลาง รัศมี x 2 + y2 = r2 (x – h)2 + (y – k)2 = r2 x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (0, 0) (h, k) − − D E , 2 2 r r 2 2 D E - 4F 2 + ข้อสังเกตุ 1. ถ้า D 2 + E2 – 4F = 0 กราฟที่ได้จะเป็นจุดวงกลม 2. ถ้า D 2 + E2 – 4F > 0 กราฟที่ได้จึงเป็นวงกลม 3. ถ้า D 2 + E2 – 4F < 0 จะไม่เกิดกราฟในระบบจำนวนจริง ข้อสำคัญ ในเรื่องวงกลม ถ้าต้องการหาสมการวงกลม จะต้องทราบ 1. จุดศูนย์กลาง 2. รัศมี การหาจุดศูนย์กลางของวงกลม การหาจุดศูนย์กลางของวงกลม จะหาได้ด้วยวิธีดังต่อไปนี้ 1. โจทย์กำหนดมาให้โดยตรง เช่นให้จุดศูนย์กลางคือ C(h,k) 2. โจทย์กำหนดมาให้ทางอ้อม เช่นจุดที่เส้นตรงตัดกัน 3. โจทย์กำหนดมาให้ โดยมีความสัมพันธ์กับกราฟอื่นๆ การหาความยาวรัศมี การหาความยาวรัศมี จะหาได้ด้วยวิธีดังต่อไปนี้ 1. โจทย์กำหนดมาให้โดยตรง (2πr) 2. โจทย์กำหนดมาให้ทางอ้อม เช่นความยาวระหว่างจุดสองจุด หาได้จากสูตร |P1P2 | = 2 2 1 2 1 2 (x - x ) + (y - y ) รูปที่ 2 รูปแบบของสมการวงกลม วงกลม

5 3. โจทย์กำหนดจุดศูนย์กลาง (h, k) และเส้นสัมผัส Ax + By + C = 0 เราจะหาทั้งเส้นผ่านศูนย์กลางและ รัศมีได้จากสูตรต่อไปนี้ เส้นผ่านศูนย์กลาง d = 1 1 2 2 | Ax By C | + + A + B รัศมี r = 2 2 | Ah Bk C | + + A + B ความยาวของเส้นสัมผัส ให้ |PQ| เป็นความยาวของเส้นสัมผัสที่ลากจากจุด P มาสัมผัสวงกลมที่จุด Q 1. ถ้าสมการวงกลมคือ x 2 + y2 = r2 แล้ว |PQ| = 2 2 2 1 1 x + y - r ดังรูป 2. ถ้าสมการวงกลมคือ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 แล้ว |PQ| = 2 2 2 1 1 (x - h) + (y - k) - r ดังรูป 3. ถ้าสมการวงกลมคือ x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 แล้ว |PQ| = 2 2 x y Dx + Ey + F + + ดังรูป

6 2. พาราโบลา พาราโบลา คือ เซตของจุดบนพื้นระนาบซึ่งมีระยะห่างจากจุดคงที่ เท่ากับระยะที่ห่างจากเส้นคงที่ จุดคงที่คือจุดโฟกัส (Focus) เส้นตรงที่คงที่คือเส้นไดเรกตริกซ์ (Directrix) เส้นลาตัสเลกตัม (Latus Rectum) คือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดโฟกัสและตั้งฉากกับแกนของรูป แกนของรูปหรือแกนสมมาตร คือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและผ่านจุดโฟกัส คอร์ดของพาราโบลา คือเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุด 2 จุด ที่ต่างกันของพาราโบลาและคอร์ดที่ลากผ่านจุดโฟกัส เรียกว่า Focus ส่วนคอร์ดที่ลากผ่านจุดโฟกัสด้วย และตั้งฉากกับแกนของรูปด้วย เรียกว่า ลาตัสเรกตัม (Latus Recrum) ข้อสังเกต จากสมการ จะต้องมีตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งอยู่ในรูปกำลังสอง และอีกตัวหนึ่งยกกำลังหนึ่ง และอยู่ที่เทอม ที่บวกลบกัน กราฟที่ได้จึงจะเป็นกราฟพาราโบลา รูปแบบของพาราโบลาที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดที่จุด (0,0) และแกนของรูปทับแกน y

7 พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดที่จุด (0,0) และแกนของรูปทับแกน x เราสามารถสรุปสมการพาราโบลาออกมาได้ดังนี้ x 2 = 4cy รูปสมการ y 2 = 4cx V(0, 0) F(0, 0) y = -c |4c| รูปหงาย (เปิดบน) รูปคว่ำ (เปิดล่าง) (-2c, c), (2c, c) จุดยอด จุด Focus สมการไดเรกตริกซ์ ความยาวเส้นลาตัสเรกตัม ถ้า c > 0 ถ้า c < 0 จุดปลายเส้นลาตัสเรกตัม V(0, 0) F(c, 0) x = -c |4c| รูปตะแคงขวา(เปิดขวา) รูปตะแคงซ้าย(เปิดซ้าย) (c, 2c), (c, -2c) 3. เส้นสัมผัส เส้นสัมผัส คือ เส้นตรงที่ตัดเส้นโค้งเส้นหนึ่ง ณ ตำแหน่งที่จุดตัดทั้งสองใกล้ชิดกันมากจนถือได้ว่าเป็นจุดเดียวกัน จุดสัมผัส คือ จุดที่เส้นสัมผัสแตะเส้นโค้ง 4. การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ระบบสมการเชิงเส้น คือ สมการเชิงเส้นมากกว่า 1 สมการขึ้นไป แต่ละสมการจะมีตัวแปรมากกว่า 1 ตัว ถ้าตัวแปร 2 ตัวจะเรียกว่า สมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึ่งในระบบนี้จะมีสมการอย่างน้อย 2 สมการ จึงจะหาค่า คำตอบของตัวแปรได้ โดยตัวแปรทุกตัวในสมการจะต้องอยู่ในรูปกำลังหนึ่ง และอยู่ในรูปผลบวกหรือผลต่าง ระหว่างตัวแปร รูปแบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร a1x + b1y = c1 เมื่อ a1 และ b1 ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน a2x + b2y = c2 เมื่อ a2 และ b2 ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

8 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ใช้สมบัติการเท่าเทียมกันกับการบวกและการคูณเช่นเดียวกันกับ การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว นั่นคือ สมบัติเกี่ยวกับการบวก และการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากันย่อมเท่ากัน หลักการสำคัญที่ใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 1. โดยวิธีแทนค่าตัวแปรตัวหนึ่งในรูปตัวแปรอีกตัวหนึ่ง 2. โดยการเขียนตัวแปรตัวหนึ่งในรูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่งทั้งสองสมการแล้วนำมาเท่ากั้น เข้าสมการ ใหม่ 3. โดยการทำสัมประสิทธิ์ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งทั้งสองสมการให้เท่ากัน ท่ากบ ค.ร.น. ของสัมประสิทธิ์ เดิม ของตัวแปรนี้ทั้งสองสมการ แล้วนำมาบวกหรือลบกัน 5. สมการกำลังสอง สมการกำลังสอง คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 2 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสอง คือ ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ a ≠ 0 การแก้สมการมีขั้นตอนดังนี้ 1. แยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c = 0 2. ใช้สมบัติของจำนวนจริงที่ว่า ถ้า ab = 0 จะได้ว่า a = 0 หรือ b = 0 ในการหาคำตอบของ สมการ การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ หลักในการจัดการแก้สมการกำลังสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ 1. จัดสมการที่อยู่ในรูป ax2 + bx + c = 0 2. กรณีที่ a ไม่เท่ากับ 1 ให้นำ a หารตลอด 3. จัดสมการทางซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ 4. จัดสมการทางซ้ายมือต่อจากข้อ 3 โดยใช้ผลต่างของกำลังสอง แล้วแยกตัวประกอบ 5. ให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับ 0 แล้วหาค่าของตัวแปร การแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร จากสูตร x = 2 -b b -4ac 2a จะสามารถพิจารณาคำตออบของสมการได้ดังนี้ 1. ถ้า b 2 – 4ac > 0 คำตอบของสมการคือ 2 -b+ b -4ac 2a และ 2 -b - b -4ac 2a 2. ถ้า b 2 – 4ac = 0 คำตอบของสมการจะมีคำตอบเดียว คือ − b 2a

9 3. ถ้า b 2 – 4ac < 0 คำตอบของสมการจะหาไม่ได้ หรือไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ นั่นคือ สมการกำลังสอง ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบได้จากสูตร x = 2 -b b -4ac 2a ถ้า r1 และ r2 เป็นคำตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ a ≠ 0 แล้ว r1 + r2 = − b 2a r1 - r2 = c 2a เราสามารถแยกตัวประกอบของสมการโดยใช้สูตรได้ดังนี้ ax 2 + bx + c = a(x – r1 )(x – r2 ) 6. ความชันของเส้นตรง สมการเส้นตรงรูปแบบทั่วไปคือ Ax + By + C = 0 และสมการรูปแบบมาตรฐานของเส้นตรงจะเขียนอยู่ ในรูป y = mx + c ความชันของเส้นตรงส่วนใหญ่นิยมใช้ m แทนความชัน การหาความชันนั้นเราจะต้องรู้จุดบนเส้นตรง อย่างน้อย 2 จุด สมมติให้ (x1 , y1 ) และ (x2 , y2 ) เป็นจุดบนเส้นตรง L จะได้ว่า ความชันของเส้นตรง L หาได้จาก m = 2 1 2 1 y - y x x - L (x2 , y2) Y (x1 , y1 ) X • •

10 7. โปรแกรม GeoGebra โปรแกรม GeoGebra เป็นโปรแกรมที่เปิดเสรี (Open source) หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า เป็นโปรแกรมที่ เปิดเผยหลักการแหล่งที่มา ตลอดจนรหัสต้นฉบับให้กับสาธารณชนได้เข้าร่วมพัฒนาโปรแกรมและไม่มีค่าใช้จ่ายใน การนำโปรแกรมมาใช้งาน ซึ่งปัจจุบัน โปรแกรม GeoGebra ได้ถูกนำมาใช้เป็นสื่อการเรียนการสอนวิชา คณิตศาสตร์อย่างแพร่หลาย ความเป็นมาของโปรแกรม GeoGebra โปรแกรม GeoGebra ถูกพัฒนาขึ้นในปี 2001 จากการทำวิทยานิพนธ์ของ Markus Hohenwarter ที่มหาวิทยาลัย Zalzburg ประเทศออสเตรเลีย สามารถนำมาใช้ได้ทั้งครูและนักเรียนตั้งแต่ระดับมัธยมศึกษาถึง ระดับมหาวิทยาลัย (Judith, 2008) สามารถนำมาใช้ได้โดยไม่เสียค่าลิขสิทธิ์ ต่อมาปี 2007 Michael Borcherds ชาวอังกฤษได้นำทีมพัฒนาต่อมาจนเป็นที่นิยมแพร่หลายไปทั่วโลก และถูกแปลจากภาษาอังกฤษ เป็นภาษาต่างๆ หลายภาษา ปัจจุบันถูกพัฒนามาจนถึง version 5 และยังไม่หยุดเพียงเท่านี้ โปรแกรม GeoGebra สามารถดาวน์โหลดมาใช้ได้จากเว็บไซต์ www.geogebra.org โดยหน้าต่าง เว็บไซต์จะเป็นดังรูป ลักษณะของโปรแกรม GeoGebra โปรแกรม GeoGebra โปรแกรมเรขาคณิตแบบพลวัตที่ใช้ในการสร้างสื่อ การเรียนการสอน มีผู้กล่าวถึงโปรแกรม GeoGebra ไว้ดังนี้ Mathcenter Forum กล่าวว่า โปรแกรม GeoGebra เป็นซอฟท์แวร์ทางคณิตศาสตร์ที่ เหมาะกับการวาดรูปที่ไม่มีความสัมพันธ์สลับซับซ้อนมากนัก การวาดกราฟของฟังก์ชันต่าง ๆ และ การวาดรูปพาลาโบลา วงรี หรือไฮเพอร์โบลา (Mathcenter Forum , 2556) geogebra.org อธิบายเกี่ยวกับโปรแกรม GeoGebra ไว้ว่าเป็น ซอฟท์แวร์ทางคณิตศาสตร์ แบบพลวัต ออกแบบมาเพื่อใช้ในการเรียนการสอนวิชาเรขาคณิตและพีชคณิตในระดับมัธยมศึกษา

11 และระดับมหาวิทยาลัย สามารถดาวน์โหลดไฟล์มาติดตั้งได้ฟรีหรือเปิดใช้งานผ่านอินเทอร์เน็ตโดยใช้ GeoGebra WebStar ซึ่งสามารถใช้ได้ในระบบปฏิบัติการทุกระบบ (geogebra.org, 2562) อดิศักดิ์ มหาวรรณ กล่าวว่า โปรแกรม GeoGebra เป็น open Source ที่ใช้สำหรับเขียน กราฟแบบ 2 มิติ สามารถสร้างสื่อการเรียนการสอน แบบโต้ตอบกับผู้เรียนได้ (อดิศักดิ์ มหาวรรณ, 2562) ปิยะวุฒิ ศรีชนะ กล่าวว่า โปรแกรม GeoGebra เป็นหนึ่งในโปรแกรม เรขาคณิตแบบพลวัต สามารถ นำมาใช้ได้โดยไม่เสียค่าลิขสิทธิ์ เหมาะสำหรับการนำมาผลิต สื่อการสอนที่เป็นพลวัต ตั้งแต่ ระดับมัธยมศึกษา จนถึงระดับมหาวิทยาลัย โดยการสร้างและส่งออกไฟล์ในรูปของ Java ซึ่งเป็นสื่อที่มี ปฏิสัมพันธ์กับผู้เรียนและ ผู้เรียนสามารถ ปรับแต่งค่าในเนื้อหาขณะที่เรียนรู้ได้เป็นอย่างดี (ปิยะวุฒิ ศรีชนะ) พงศักดิ์ วุฒิสันต์ กล่าวว่า GeoGebra มาจากคำว่า Geometry รวมกับ Algebra เป็นโปรแกรมทาง คณิตศาสตร์อีกโปรแกรมหนึ่งที่น่านำมาใช้ ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ผู้ใช้ สามารถทำความเข้าใจได้ง่าย สามารถสร้างกราฟ ภาคตัดกรวย แสดงสมการทั่วไปหรือสมการ มาตรฐานของกราฟนั้น ๆ ได้ด้วย นอกจากนี้ ยังมี วิดีโอสอนการใช้งานมากมายใน youtube ทั้ง ภาษาอังกฤษ ฝรั่งเศส สเปน ฯลฯ (พงศักดิ์ วุฒิสันต์, 2556) International GeoGebra Institute กล่าวว่า โปรแกรม GeoGebra เป็นโปรแกรมที่เกี่ยว กับความรู้ และองค์ประกอบต่าง ๆ เชิงคณิตศาสตร์แทบ ทุกชนิด ไม่ว่าจะเป็นเรื่องเรขาคณิต (Geometry) พีชคณิต (Algebra) ตรีโกณมิติ (Trigonometric) กราฟ (Graph) สถิติ (Statistics) แคลคูลัส (Calculus) รวมถึงการใช้ สูตรคำนวณหาค่าต่าง ๆ และกระบวนการประยุกต์ใช้ของคณิตศาสตร์ในรูปแบบต่างๆ ได้ อย่างละเอียด สามารถ ใช้เป็นสื่อการสอนสำหรับอาจารย์ในการสอน ให้นักเรียนเข้าใจ ในหลักสูตรต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ในการใช้งาน และสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับ สิ่งอื่น ๆ ในชีวิตประจำวันได้ดีมากยิ่งขึ้น (Internationnal GeoGebra Institute, 2558) นอกจากนี้โปรแกรมยังมีฟีเจอร์ที่ใช้สำหรับการใส่สูตรต่างๆ เข้าไปประกอบกับ รูปภาพ หรือ โมเดลแบบ 3 มิติ (3D) ให้ได้สามารถเรียนรู้และวิเคราะห์ เพื่อสร้างความเข้าใจ ในหลักการคำนวณ ของสูตรต่าง ๆ ได้อย่าง รวดเร็วและแม่นยำมากขึ้น ซึ่งสามารถนำโปรแกรม นี้ไปประยุกต์ใช้กับวงการ อาชีพที่เกี่ยวข้องกับการใช้ คณิตศาสตร์ในคำนวณตัวเลข หรือ ค่าต่าง ๆ อย่าง วิศวกร หรือ นักวิทยาศาสตร์ได้ โปรแกรมสามารถใช้งานได้ฟรี และรองรับการใช้งานในระบบปฏิบัติการที่ หลากหลายของทั้งในคอมพิวเตอร์และแท็บเล็ต (Tablet) บน ระบบปฏิบัติการที่หลากหลายนั้น ได้แก่ ระบบ Windows ระบบ Mac OS ระบบ iOS และระบบ Android รองรับการใช้งานในหลายภาษา สามารถสร้างกราฟ และรูปทรง เรขาคณิตต่างๆ พร้อมใส่ค่าสูตรคำนวณได้ การสอนคณิตศาสตร์โดยโปรแกรม GeoGebra การสอนคณิตศาสตร์โดยใช้โปรแกรม GeoGebra นั้นมีผู้กล่าวถึงโดยสรุปดังนี้ Lopez กล่าวถึงการใช้ โปรแกรม GeoGebra มาปรับใช้ใน การสอนวิชาคณิตศาสตร์ ในการ อบรมครูคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาของ ประเทศสเปน สรุปได้ว่า โปรแกรม GeoGebra เป็น โปรแกรมที่ใช้งานได้สะดวก นักเรียนสามารถเรียนรู้ ได้ง่าย

12 เป็นเครื่องมือช่วยในการตรวจสอบ คุณสมบัติและความสัมพันธ์ของรูปร่างที่ไม่สามารถ ทำลงในกระดาษได้ นอกจากนี้อาจช่วยสร้างแรง บันดาลใจในการแก้ปัญหาให้กับนักเรียนที่ ไม่เก่งวิชาคณิตศาสตร์ แต่การเรียนการ สอนโดยใช้ โปรแกรม GeoGebra จำเป็นจะต้องมี ความเข้าใจเกี่ยวกับศัพท์ทางเรขาคณิต (Lopez, 2009) กล่าวโดยสรุป สื่อการเรียนการสอนที่สร้างจากโปรแกรม GeoGebra จะเป็นสื่อที่มีความเป็น พลวัต ซึ่ง นักเรียนจะเรียนรู้และทำความเข้าใจมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ได้ง่าย การเขียนกราฟเส้นตรง นั้นสามารถกำหนด สมการในรูป natural form หรือ แบบ slope form ขึ้นมาก่อนค่อยเขียนกราฟ หรือจะเขียนเส้นตรงก่อนแล้ว ค่อยกำหนดสมการก็ได้ ซึ่งโปรแกรมสามารถใช้งานได้ฟรีและรองรับการ ใช้งานในหลากหลายระบบปฏิบัติการ ของทั้งในคอมพิวเตอร์และแท็บเล็ต (Tablet) บน ระบบปฏิบัติการที่หลากหลาย คือ ระบบ Windows ระบบ Mac OS ระบบ iOS และระบบ Android รองรับการใช้งานในหลากหลายภาษา สามารถสร้างกราฟ และรูปทรง เรขาคณิตต่าง ๆ พร้อมกับใส่ค่าสูตรคำนวณได้ สามารถส่งเสริมการเรียนรู้ได้และนักเรียนสามารถใช้ได้ทั้งใน โรงเรียน และที่บ้าน จากการศึกษาพบว่า โปรแกรม GeoGebra เป็นโปรแกรมสำเร็จรูปทางคณิตศาสตร์แบบ พลวัตที่โต้ตอบ กับผู้ใช้งานสำหรับการศึกษาคณิตศาสตร์ สามารถเรียนรู้เกี่ยวกับเรขาคณิต พีชคณิต แคลคูลัส วงกลม ส่วนตัดของ วงกลม มีคำสั่งในการสร้างที่หลากหลาย นอกจากนี้โปรแกรม GeoGebra ยังมีความสามารถในการส่งออกไฟล์ที่ สร้างขึ้นในรูปแบบของภาษา Java ซึ่งเป็นสื่อ ปฏิสัมพันธ์กับผู้เรียน เครื่องมือพื้นฐานของโปรแกรม GeoGebra คือ จุด เวกเตอร์ สมการของ เส้นตรง ภาคตัดกรวยหรือฟังก์ชัน เนื่องจากโปรแกรม GeoGebra เป็นเครื่องมือใน การสร้างแบบ พลวัตจึงสามารถใช้งานได้กับเรขาคณิตแบบพลวัตอื่น ๆ นอกจากนี้ยังสามารถใส่พิกัดของจุดหรือ เวกเตอร์ สมการของเส้นตรง ภาคตัดกรวยหรือฟังก์ชันและตัวเลขที่มุมได้โดยตรง ดังนั้น โปรแกรม GeoGebra จึง ออกแบบมาเพื่อใช้ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ รวมทั้งยังใช้ได้หลายภาษาตาม คำสั่งของเครื่องมือ (ชัญญา อุทิศ, 2557) เนื่องจาก เนื้อหาของระบบสมการ สิ่งสำคัญที่สุดคือการแก้ ระบบสมการเพื่อหาคำตอบของระบบ สมการและการวาดกราฟเพื่อแสดงการหาคำตอบของระบบสมการ แต่ในการสอนปกตินั้นครูผู้สอนจะต้องวาด กราฟเองด้วยระบบมือบนกระดานซึ่งใช้เวลาค่อนข้างมาก และกราฟที่ได้ในบางครั้งก็ไม่ได้สัดส่วน ทำให้การเรียน การสอนแต่ละครั้งไม่ราบรื่นและใช้เวลาในการ สอนแต่ละครั้งคอนข้างนานและสามารถยกตัวอย่างประกอบการ สอนได้ค่อนข้าง ไม่ตรงกับตัวอย่าง ของแผนการจัดการเรียนรู้ (จารุต วรสาร ประภาพร หนองหารพิทักษ์และ ปวีณา ขันธ์ศิลา, 2562) ปัญหาเหล่านี้จึงเป็นปัญหาที่ต้องได้รับการแก้ไขอย่างเร่งด่วน ดังนั้น สื่อโปรแกรม GeoGebra จะช่วยลดเวลาครูผู้สอนในการเรียนกราฟของระบบสมการ ทำให้เรียนเข้าในเนื้อหาที่สอนได้มากขั้น และ กราฟที่ได้ก็มีความความเคลื่อนน้อยลงและสามารถส่งเสริมการเรียนรู้ได้และนักเรียนสามารถใช้ได้ทั้ง ใน โรงเรียนและที่บ้าน

บทที่ 3 วิธีการดำเนินการ วิธีการดำเนินงานในการจัดทำโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง “การหาสมการเส้นสัมผัสของกราฟพาราโบลา” คณะผู้จัดทำได้ดำเนินการดังนี้ ที่ วัน เดือน ปี กิจกรรม การดำเนินการศึกษา ผู้รับผิดชอบ 1 3-10 ก.ค. 65 สมาชิกในกลุ่มช่วยกันศึกษาวิธีการและประเภทของการ ทำโครงงานคณิตศาสตร์อย่างถูกต้อง คณะผู้จัดทำทุกคน 2 11-24 ก.ค. 65 สมาชิกในกลุ่มร่วมกันคิดและวางแผน ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ที่จะนำไปสู่การทำโครงงาน และร่วมกัน คัดเลือกหัวข้อโครงงาน คณะผู้จัดทำทุกคน 3 25 ก.ค. 65 ส่งหัวข้อโครงงานคณิตศาสตร์ ต่อครูที่ปรึกษา คณะผู้จัดทำทุกคน 4 26 ก.ค. 65 - 15 ส.ค. 65 ทำการอภิปรายกันภายในกลุ่มในหัวข้อทางคณิตศาสตร์ เรื่อง การหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลา โดยใช้การ แก้ระบบสมการเชิงเส้นและการหาความชัน คณะผู้จัดทำทุกคน 5 16-31 ส.ค. 65 กำหนดแนวทางและขอบเขตการศึกษาร่วมกับครูที่ปรึกษา คณะผู้จัดทำทุกคน และครูที่ปรึกษา 6 1-16 ก.ย. 65 ทบทวนความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับความชันของกราฟ สมการ กำลังสอง และการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คณะผู้จัดทำทุกคน และครูที่ปรึกษา 7 17-30 ก.ย. 65 ศึกษาเนื้อหาเพิ่มเติม เรื่อง พาราโบลา และสมการเส้นสัมผัส คณะผู้จัดทำทุกคน 8 1-31 ต.ค. 65 หาสูตรการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลามีจุดยอดอยู่ที่ จุดกำเนิด ที่กำหนดโดยสมการ x 2 = 4cy และ y 2 = 4cx สมการพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (h,k) ที่กำหนดโดย สมการ (x - h)2 = 4c(y - k) และ (y - k)2 = 4c(x - h) คณะผู้จัดทำทุกคน และครูที่ปรึกษา 9 1-16 พ.ย. 65 สรุปการศึกษารวบรวมข้อค้นพบความรู้ ทฤษฎี หลักการ แนวคิด ระเบียบวิธี และผลลัพธ์จากการศึกษาต่อครูที่ ปรึกษาโครงงาน เพื่อรับการวิพากษ์และแก้ไขจากครูที่ ปรึกษาโครงงาน คณะผู้จัดทำทุกคน 10 17-21 พ.ย. 65 จัดพิมพ์รูปเล่มโครงงาน คณะผู้จัดทำทุกคน 11 22-30 พ.ย. 65 จัดทำบอร์ดนำเสนอโครงงานและแผ่นพับแนะนำโครงงาน คณะผู้จัดทำทุกคน 12 1-10 ธ.ค. 65 สมาชิกในกลุ่มร่วมกันนำเสนอต่อครูที่ปรึกษา และคณะ ครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณะผู้จัดทำทุกคน

14 บทที่ 4 ผลการดำเนินการ จากการดำเนินการศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทสร้างทฤษฎีหรือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ เรื่อง “การหาสมการเส้นสัมผัสของกราฟพาราโบลา” ในครั้งนี้ คณะผู้จัดทำได้ผลการศึกษาแบ่งเป็น 2ตอน ตามลำดับ ดังนี้ ตอนที่ 1 ผลการศึกษาสูตรการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด กำหนดโดย สมการ x 2 = 4cy และ y 2 = 4cx ตอนที่ 2 ผลการศึกษาสูตรการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (h, k)กำหนดโดย สมการ (x - h) 2 = 4c(y - k) และ (y - k) 2 = 4c(x - h) โดยแต่ละตอนมีรายละเอียดดังต่อไปนี้ ตอนที่ 1 ผลการศึกษาสูตรการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด กำหนด โดยสมการ x 2 = 4cy และ y 2 = 4cx จากภาพข้างต้น พาราโบลา ที่กำหนดโดยสมการ x 2 = 4cy มีจุดยอดอยู่ที่ (0,0) มีลักษณะหงายหรือ คว่ำ ตามค่า c (ถ้า c > 0 กราฟหงาย และ c < 0 กราฟคว่ำ) มีเส้นสัมผัสมาสัมผัสเส้นโค้งพาราโบลาที่จุด สัมผัส สามารถกำหนดด้วยระบบสมการ ดังนี้ x 2 = 4cy …………….. (1) y - y 1 = m(x - x1 ) …………….. (2) y - y 1 =m(x - x1 ) x 2 = 4cy แก้ระบบสมการ หาความชัน (m)

15 จากสมการ (1) จะได้ y = x 2 4c แทนค่า y = x 2 4c ใน ..... (2) จะได้ x 2 4c - y 1 = m(x - x1 ) x 2 - 4cy 1 4c = m(x - x1 ) x 2 - 4cy 1 = 4mc(x - x1 ) x 2 - 4cy 1 = 4mcx - 4mcx1 x 2 - 4cy 1 - 4mcx + 4mcx1 = 0 x 2 - (4mc)x + (4mcx1 - 4cy 1 ) = 0 จะได้ a = 1 , b = -4mc , c = 4mcx1 - 4cy 1 จากการแก้สมการกำลังสอง โดยใช้สูตร x = -b ± √b 2 - 4ac 2a เนื่องจากเส้นสัมผัส สัมผัส พาราโบลา เพียงจุดเดียวเท่านั้น ดังนั้น b 2 - 4ac = 0 จะได้ว่า (-4mc) 2 - 4(1)(4mcx1 - 4cy 1 ) = 0 16m 2 c 2 - 16mcx1 + 16cy 1 = 0 4m 2 c 2 - 4mcx1 + 4cy 1 = 0 (2mc)2 - 2(2mc)x1 + (x1 ) 2 = 0 (2mc - x1 ) 2 = 0 จัดให้อยู่ในรูปทั่วไปของสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จัดสมการให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ (น 2 - 2นล + ล 2 ) = (น - ล) 2

16 นั่นคือ 2mc - x1 = 0 จะได้ m = x1 2c แทนค่า m = x1 2c ใน ..... (2) จะได้ y - y 1 = x1 2c (x - x1 ) ดังนั้น x1 (x - x1 ) = 2c(y - y 1 ) ******************************************************************************************* จากภาพข้างต้น พาราโบลา ที่กำหนดโดยสมการ y 2 = 4cx มีจุดยอดอยู่ที่ (0,0) มีลักษณะหงายหรือ คว่ำ ตามค่า c (ถ้า c > 0 กราฟหงาย และ c < 0 กราฟคว่ำ) มีเส้นสัมผัสมาสัมผัสเส้นโค้งพาราโบลาที่จุด สัมผัส สามารถกำหนดด้วยระบบสมการ ดังนี้ y 2 = 4cx …………….. (1) y - y 1 = m(x - x1 ) …………….. (2) y 2 = 4cx y - y 1 =m(x - x1 ) แก้ระบบสมการ หาความชัน (m)

17 จากสมการ (1) จะได้ x = y 2 4c แทนค่า x = y 2 4c ใน ..... (2) จะได้ y - y 1 = m( y 2 4c - x1 ) y - y 1 = m( y 2 - 4cx1 4c ) 4cy - 4cy 1 = m(y 2 - 4cx1 ) my 2 - 4mcx1 - 4cy + 4cy 1 = 0 my 2 - (4c)y + (4cy 1 - 4mcx1 ) = 0 จะได้ a = m , b = -4c , c = 4cy 1 - 4mcx1 จากการแก้สมการกำลังสอง โดยใช้สูตร x = -b ± √b 2 - 4ac 2a เนื่องจากเส้นสัมผัส สัมผัส พาราโบลา เพียงจุดเดียวเท่านั้น ดังนั้น b 2 - 4ac = 0 จะได้ว่า (-4c) 2 - 4(m)(4cy 1 - 4mcx1 ) = 0 16c 2 - 16mcy 1 + 16m 2 cx1 = 0 4c 2 - 4mcy 1 + 4m 2 cx1 = 0 (2c)2 - 2(2c)(my 1 ) + m 2 (4cx1 ) = 0 (2c)2 - 2(2c)(my 1 ) + m 2 (y 1 ) 2 = 0 (2c)2 - 2(2c)(my 1 ) + (my 1 ) 2 = 0 จัดให้อยู่ในรูปทั่วไปของสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จัดสมการให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ (น 2 - 2นล + ล 2 ) = (น - ล) 2

18 (2c - my 1 ) 2 = 0 นั่นคือ 2c - my1 = 0 จะได้ m = 2c y 1 แทนค่า m = 2c y 1 ใน ..... (2) จะได้ y - y 1 = 2c y 1 (x - x1 ) ดังนั้น y 1 (y - y 1 ) = 2c(x - x1 ) ******************************************************************************************* ตอนที่ 2 ผลการศึกษาสูตรการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (h, k)กำหนด โดยสมการ (x - h) 2 = 4c(y - k)และ (y - k) 2 = 4c(x - h) จากภาพข้างต้น พาราโบลา ที่กำหนดโดยสมการ (x - h) 2 = 4c(y - k) มีจุดยอดอยู่ที่จุด (h,k) จะมีลักษณะหงายหรือคว่ำ ตามค่า c (ถ้า c > 0 กราฟหงาย และ c < 0 กราฟคว่ำ) มีเส้นสัมผัสมาสัมผัส เส้นโค้งพาราโบลาที่จุดสัมผัส สามารถกำหนดด้วยระบบสมการ ดังนี้ (x - h) 2 = 4c(y - k) …………….. (1) y - y 1 = m(x - x1 ) …………….. (2) (x - h)2 =4c(y - k) y - y 1 =m(x - x1 ) แก้ระบบสมการ หาความชัน (m)

19 จากสมการ (1) จะได้ y = (x - h) 2 + 4ck 4c แทนค่า y = (x - h) 2 + 4ck 4c ใน ..... (2) จะได้ (x - h) 2 + 4ck 4c - y 1 = m(x - x1 ) (x - h) 2 + 4ck - 4cy 1 4c = m(x - x1 ) (x - h) 2 + 4ck - 4cy 1 = 4mc(x - x1 ) x 2 - 2xh + h 2 + 4ck - 4cy 1 = 4mcx - 4mcx1 x 2 - 2xh + h 2 + 4ck - 4cy 1 - 4mcx + 4mcx1 = 0 x 2 - (2xh + 4mcx) + (h 2 + 4ck - 4cy 1 + 4mcx1 ) = 0 x 2 - (2h + 4mc)x + (h 2 + 4ck - 4cy 1 + 4mcx1 ) = 0 จะได้ a = 1 , b = -(2h + 4mc) , c = h 2 + 4ck - 4cy 1 + 4mcx1 จากการแก้สมการกำลังสอง โดยใช้สูตร x = -b ± √b 2 - 4ac 2a เนื่องจากเส้นสัมผัส สัมผัส พาราโบลา เพียงจุดเดียวเท่านั้น ดังนั้น b 2 - 4ac = 0 จะได้ว่า [-(2h + 4mc)] 2 - 4(1)(h 2 + 4ck - 4cy 1 + 4mcx1 ) = 0 (2h)2 + 2(2h)(4mc) + (4mc)2 - 4h 2 - 16ck + 16cy 1 - 16mcx1 = 0 4h 2 + 16mch + 16m 2 c 2 - 4h 2 - 16ck + 16cy 1 - 16mcx1 = 0 16mch + 16m 2 c 2 - 16ck + 16cy 1 - 16mcx1 = 0 4mch + 4m 2 c 2 - 4ck + 4cy 1 - 4mcx1 = 0 จัดให้อยู่ในรูปทั่วไปของสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0

20 4m 2 c 2 - (4mcx1 - 4mch) + (4cy 1 - 4ck) = 0 4(mc)2 - (4mc)(x1 - h) + (4c)(y 1 - k) = 0 (2mc)2 - 2(2mc)(x1 - h) + (x1 - h) 2 = 0 [2mc - (x1 - h)] 2 = 0 นั่นคือ 2mc - (x1 - h) = 0 จะได้ m = x1 - h 2c แทนค่า m = x1 - h 2c ใน ..... (2) จะได้ y - y 1 = x1 - h 2c (x - x1 ) ดังนั้น (x - x1 )(x1 - h) = 2c(y - y 1 ) ******************************************************************************************* จัดสมการให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ (น 2 - 2นล + ล 2 ) = (น - ล) 2 (y - k)2 =4c(x - h) y - y 1 =m(x - x1 )

21 จากภาพข้างต้น พาราโบลา ที่กำหนดโดยสมการ (y - k) 2 = 4c(x - h) มีจุดยอดอยู่ที่จุด (h,k) จะมีลักษณะตะแคงซ้ายหรือขวา ตามค่า c (ถ้า c > 0 กราฟตะแคงขวา และ c < 0 กราฟตะแคงซ้าย) มีเส้นสัมผัสมาสัมผัสเส้นโค้งพาราโบลาที่จุดสัมผัส สามารถกำหนดด้วยระบบสมการ ดังนี้ (y - k) 2 = 4c(x - h) …………….. (1) y - y 1 = m(x - x1 ) …………….. (2) จากสมการ (1) จะได้ x = (y - k) 2 + 4ch 4c แทนค่า x = (y - k) 2 + 4ch 4c ใน ..... (2) จะได้ y - y 1 = m( (y - k) 2 + 4ch 4c ) - mx1 y - y 1 = m(y - k) 2 + 4mch - 4mcx1 4c 4cy - 4cy1 = m(y - k) 2 + 4mch - 4mcx1 m(y - k) 2 + 4mch - 4mcx1 - 4cy + 4cy1 = 0 my 2 - 2mky + mk 2 + 4mch - 4mcx1 - 4cy + 4cy1 = 0 my 2 - (2mky - 4cy) + mk 2 + 4mch - 4mcx1 + 4cy1 = 0 my 2 - (2mk - 4c)y + (mk 2 + 4mch - 4mcx1 + 4cy1 ) = 0 จะได้ a = m , b = -(2mk - 4c) , c = mk 2 + 4mch - 4mcx1 + 4cy1 จากการแก้สมการกำลังสอง โดยใช้สูตร x = -b ± √b 2 - 4ac 2a เนื่องจากเส้นสัมผัส สัมผัส พาราโบลา เพียงจุดเดียวเท่านั้น ดังนั้น b 2 - 4ac = 0 แก้ระบบสมการ หาความชัน (m) จัดให้อยู่ในรูปทั่วไปของสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0

22 จะได้ว่า [-(2mk - 4c)] 2 - 4(m)(mk 2 + 4mch - 4mcx1 + 4cy1 ) = 0 (2mk)2 - 2(2mk)(4c) + (4c)2 - 4m 2 k 2 - 16m 2 ch + 16m 2 cx1 + 16mcy 1 = 0 4m 2 k 2 - 16mkc + 16c 2 - 4m 2 k 2 - 16m 2 ch + 16m 2 cx1 + 16mcy 1 = 0 -16mkc + 16c 2 - 16m 2 ch + 16m 2 cx1 + 16mcy 1 = 0 -4mkc + 4c 2 - 4m 2 ch + 4m 2 cx1 + 4mcy 1 = 0 4c 2 + (4mcy 1 - 4mkc) + (4m 2 cx1 - 4m 2 ch) = 0 4c 2 + 4mc(y 1 - k) + m 2 (4c(x1 - h)) = 0 (2c)2 + 2(2c)(m(y 1 - k)) + m 2 (y 1 - k) 2 = 0 [2c - m(y 1 - k)] 2 = 0 นั่นคือ 2c - m(y 1 - k) = 0 จะได้ m = 2c y 1 - k แทนค่า m = 2c y 1 - k ใน ..... (2) จะได้ y - y 1 = 2c y 1 - k (x - x1 ) ดังนั้น (y - y 1 )( y 1 - k) = 2c(x - x1 ) ******************************************************************************************* จัดสมการให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ (น 2 + 2นล + ล 2 ) = (น + ล) 2

23 บทที่ 5 สรุป อภิปรายผล และข้อเสนอแนะ ในการจัดทำโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง “การหาสมการเส้นสัมผัสของกราฟพาราโบลา” ในครั้งนี้ คณะผู้จัดทำโครงงานได้สรุปผลการศึกษา อภิปรายผล และมีข้อเสนอแนะ ดังนี้ สรุปผลการศึกษา 1. สูตรการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด กำหนดโดยสมการ x 2 = 4cy และ y 2 = 4cx ตามลำดับ ดังนี้ x1 (x - x1 ) = 2c(y - y 1 ) y 1 (y - y 1 ) = 2c(x - x1 ) 2. สูตรการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (h,k) กำหนดโดยสมการ (x - h) 2 = 4c(y - k) และ (y - k) 2 = 4c(x - h) ตามลำดับ ดังนี้ (x - x1 )(x1 - h) = 2c(y - y 1 ) (y - y 1 )( y 1 - k) = 2c(x - x1 ) เพื่อความเข้าใจง่ายขึ้น คณะผู้จัดทำได้สรุปผลการศึกษาในรูปแบบตารางเพิ่มเติม ดังตารางที่ 1 ตารางที่ 1 แสดง สรุปผลการศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง “การหาสมการเส้นสัมผัสของกราฟพาราโบลา” พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (h, k) x 2 = 4cy y 2 = 4cx (x - h)2 = 4c(y - k) (y - k) 2 = 4c(x - h) สมการเส้นสัมผัส คือ x1 (x - x1 ) = 2c(y - y 1 ) สมการเส้นสัมผัส คือ y 1 (y - y 1 ) = 2c(x - x1 ) สมการเส้นสัมผัส คือ (x - x1 )(x1 - h) = 2c(y - y 1 ) สมการเส้นสัมผัส คือ (y - y 1 )( y 1 - k) = 2c(x - x1 )

24 อภิปรายผล จากการศึกษาสูตรการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด กำหนดโดยสมการ x 2 = 4cy และ y 2 = 4cx และ สมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (h, k)กำหนดโดยสมการ (x - h) 2 = 4c(y - k) และ (y - k) 2 = 4c(x - h) โดยใช้ความรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง สมการกำลังสอง กำลังสองสมบูรณ์ และการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร พบว่า สมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มี จุดยอดอยู่ที่จุด (h, k)คือ (x - h) 2 = 4c(y - k) และ (y - k) 2 = 4c(x - h) และเมื่อนำค่า (h, k) = (0, 0) ที่ได้ จากพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด แทนในสมการข้างต้น จะได้ว่าสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่มีจุด ยอดอยู่ที่จุดกำเนิด คือ x 2 = 4cy และ y 2 = 4cx นั่นคือ สูตรการหาสมการเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่ สามารถใช้ได้ในทุกกรณี คือ (x - h) 2 = 4c(y - k) และ (y - k) 2 = 4c(x - h) ข้อเสนอแนะ 1. ควรศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับการหาสมการเส้นสัมผัสของกราฟรูปแบบอื่นในภาคตัดกรวย เช่น วงรี ไฮเพอร์โบลา 2. ควรศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับสมการเส้นตรงที่ตัดกราฟพาราโบลามากกว่า 1 จุด

25 บรรณานุกรม จักรินทร์วรรณ โพธิ์กลาง. คู่มือประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.4-6. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ พ.ศ.พัฒนา จำกัด. พญาไทย, 2554 ชัยศักดิ์ ลีลาจรัสกุล. โครงงานคณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ : เดอะมาสเตอร์กรุ๊ป แมเนจเม้นท์, 2542 มานัส ทิพย์สัมฤทธิ์กุล. กิจกรรมการเรียนรู้สู่โครงงานคณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ : เป็นภาษาและศิลปะ จำกัด, 2550. ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2560). คู่มือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์(ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา ขั้นพื้นฐาน ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3. พิมพ์ครั้งที่ 1. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพร้าว. ติวฟรี. วงกลม (Circle) คณิตศาสตร์ ม.4. ติวฟรีดอทคอม. (ออนไลน์). แหล่งที่มา : https://www.tewfree.com>วงกลม. 15 กันยายน 2565 ติวฟรี. พาราโบลา (Parabola) คณิตศาสตร์ ม.4. ติวฟรีดอทคอม. (ออนไลน์). แหล่งที่มา : https://www.tewfree.com>พาราโบลา. 20 กันยายน 2565

26 ภาคผนวก

27 คณะผู้จัดทำ ศึกษา รวบรวมข้อค้นพบความรู้ ทฤษฎี

28 คณะผู้จัดทำ ศึกษา รวบรวมข้อค้นพบความรู้ ทฤษฎี(ต่อ)

29 คณะผู้จัดทำ คำนวณหาสมการเส้นสัมผัสของกราฟพาราโบลา จากสูตร (x - h) 2 = 4c(y - k) และ (y - k) 2 = 4c(x - h) และใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์ Geogebra เพื่อพิสูจน์สมการเส้นสัมผัสที่หาได้

30