ตัวชี้วัด ห.ร.ม. และ ค.ร.น. • หา ห.ร.ม. ของจ านวนนับไม่เกิน 3 จ านวน • หา ค.ร.น. ของจ านวนนับไม่เกิน 3 จ านวน • แสดงวิธีหาค าตอบของโจทย์ปัญหา โดยใช้ความรู้เกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. หน่วยการเรียนรู้ที่ 1
หนูดีก าลังวางแผนช่วยแม่ท างานบ้าน ดังนี้ ช่วยถูบ้านทุก ๆ 2 วัน ช่วยขัดห้องน้ าทุก ๆ 3 วัน และช่วยซักผ้าทุก ๆ 4 วัน ถ้าวันนี้ตรงกับวันที่ 1 มกราคม พ.ศ. 2563 ในเดือนนี้จะมีวันใดบ้างที่หนูดี จะท างานบ้านทั้ง 3 อย่างพร้อมกัน
ตัวประกอบ จ านวนเฉพาะ และตัวประกอบเฉพาะ ตัวประกอบ กิจกรรมหาจ านวนที่หารลงตัว ขั้นตอน 1 ให้นักเรียนจับคู่กับเพื่อน จากนั้นให้แต่ละคู่จับบัตรตัวเลขครั้งละ 2 ใบ โดยจับบัตรตัวเลขจ านวน 5 ครั้ง เพื่อสร้างจ านวนที่มีสองหลัก 5 จ านวน 2 แต่ละคู่ช่วยกันหาว่า มีจ านวนใดบ้างที่น าไปหารจ านวนที่สร้างได้จากข้อ ลงตัว 1 3 เมื่อท าเสร็จเรียบร้อยแล้วให้ออกมาน าเสนอหน้าชั้นเรียน อุปกรณ์ บัตรตัวเลข 0-9
หนูดีมีตุ๊กตาเป็ด 8 ตัว หนูดีจะจัดเรียงตุ๊กตาเป็ด ตามแนวตั้งและแนวนอนได้อย่างไรคะ ตัวประกอบ จ านวนเฉพาะ และตัวประกอบเฉพาะ
เรียงตามแนวตั้ง เรียงตามแนวตั้ง × = 1× = หนูดีจัดเรียงตุ๊กตาเป็ดตามแนวตั้ง 1 แถว แถวละ 8 ตัว หรือ 8 แถว แถวละ 1 ตัว ตัวประกอบ จ านวนเฉพาะ และตัวประกอบเฉพาะ
เรียงตามแนวนอน เรียงตามแนวนอน × = × = หนูดีจัดเรียงตุ๊กตาเป็ดตามแนวนอน 4 แถว แถวละ 2 ตัว หรือ 2 แถว แถวละ 4 ตัว ตัวประกอบ จ านวนเฉพาะ และตัวประกอบเฉพาะ
จ านวนที่หารจ านวนนับนั้นได้ลงตัว เรียกว่า ตัวประกอบ แสดงว่า , , และ สามารถหาร ได้ลงตัว ดังนั้น , , และ เป็นตัวประกอบของ ตัวประกอบ จ านวนเฉพาะ และตัวประกอบเฉพาะ
จะเห็นว่า จ านวนนับที่น าไปหาร ได้ลงตัว คือ , , และ ดังนั้น มีตัวประกอบ 4 ตัว คือ , , และ เรามาหาตัวประกอบทุกตัวของ กัน 6 ÷ 1 = 6 6 ÷ 2 = 3 6 ÷ 3 = 2 6 ÷ 4 = 1 เศษ 2 6 ÷ 5 = 1 เศษ 1 6 ÷ 6 = 1 ตัวประกอบ จ านวนเฉพาะ และตัวประกอบเฉพาะ
จ านวนนับทุกจ านวนมี และจ านวนนับนั้นเป็นตัวประกอบเสมอ ตัวประกอบ จ านวนเฉพาะ และตัวประกอบเฉพาะ
จ านวนนับ ตัวประกอบ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 จ านวนเฉพาะ 1 1, เรามาหาตัวประกอบ ของจ านวนนับต่อไปนี้ ตัวประกอบ จ านวนเฉพาะ และตัวประกอบเฉพาะ 2 1, 3 1, 2, 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 4
จะเห็นว่า , , และ มีตัวประกอบเพียง ตัว คือ และตัวมันเอง เราเรียกจ านวนนับ ที่มีตัวประกอบเพียง ตัวเท่านั้นว่า จ านวนเฉพาะ เพื่อน ๆ คิดว่า 1 เป็นจ านวนเฉพาะหรือไม่คะ ตัวประกอบ จ านวนเฉพาะ และตัวประกอบเฉพาะ
ตัวประกอบเฉพาะ จ านวนนับ ตัวประกอบ 1, 3, 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ตัวประกอบที่เป็นจ านวนเฉพาะ 1, 2, 4, 8 1, 7 1, 2, 3, 6 1, 5 1, 2, 4 1, 3 1, 2 1 ตัวประกอบ จ านวนเฉพาะ และตัวประกอบเฉพาะ เรามาหากันว่า ตัวประกอบของแต่ละจ านวน มีจ านวนใดเป็นจ านวนเฉพาะ 2 3 2 5 2, 3 7 2 3
ตัวประกอบเฉพาะ จ านวนนับ ตัวประกอบ 1, 3, 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ตัวประกอบที่เป็นจ านวนเฉพาะ 1, 2, 4, 8 1, 7 1, 2, 3, 6 1, 5 1, 2, 4 1, 3 1, 2 1 ตัวประกอบเฉพาะ ตัวประกอบ จ านวนเฉพาะ และตัวประกอบเฉพาะ ตัวประกอบที่เป็นจ านวนเฉพาะ เรียกว่า ตัวประกอบเฉพาะ 2 3 2 5 2, 3 7 2 3
การแยกตัวประกอบ พิจารณาการเขียน 20 ในรูปการคูณ 20 = 10 × 2 หรือ 20 = 5 × 4 จะเห็นว่า 10 และ 4 ไม่เป็นตัวประกอบเฉพาะ ดังนั้น สามารถเขียน 10 และ 4 ในรูปการคูณของตัวประกอบต่อไปอีก
การแยกตัวประกอบ 20 = 10 × 2 หรือ 20 = 5 × 4 = 5 × 2 × 2 ดังนั้น การเขียน 20 = 5 × 2 × 2 เป็นการเขียน 20 ในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะ เรียกการเขียนจ านวนนับในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะว่า การแยกตัวประกอบ = 5 × 2 × 2 10 5 × 2 4 2 × 2
การแยกตัวประกอบ 48 = 8 × 6 การแยกตัวประกอบของ 48 โดยใช้การเขียนในรูปผลคูณของตัวประกอบ = 4 × 2 × 3 × 2 = 2 × 2 × 2 × 3 × 2 = 2 4 × 3 ดังนั้น 48 = 2 4 × 3 การคูณจ านวนที่เท่ากันหลาย ๆ จ านวน สามารถเขียนในรูปเลขยกก าลังได้ เช่น × × = อ่านว่า สองยกก าลังสาม
การแยกตัวประกอบ การแยกตัวประกอบของ 48 โดยใช้การตั้งหาร ดังนั้น 48 = 2 4 × 3 24 12 6 2) 48 2) 2) 2) 3
การแยกตัวประกอบ 2 การแยกตัวประกอบของ 48 โดยใช้แผนภาพต้นไม้ 2 2 2 ดังนั้น 48 = 2 4 × 3 48 8 6 4 3
กิจกรรมการแยกตัวประกอบ ขั้นตอน ครูแจกกระดาษ A4 ให้นักเรียนคนละ 1 แผ่น จากนั้นก าหนดให้นักเรียนหญิงแต่ละคน มีค่าเท่ากับ 2 และนักเรียนชายแต่ละคน มีค่าเท่ากับ 3 ครูจับสลากจ านวนนับที่ต้องการให้แยกตัวประกอบ จากนั้นให้แต่ละคนเขียนค าตอบลงในกระดาษ A4 ถ้าเขียนในรูปการแยกตัวประกอบได้ถูกต้อง ครูเขียนคะแนน 1 คะแนน ลงในกระดาษ A4 ให้นักเรียนจัดกลุ่ม โดยให้เท่ากับผลคูณในสลากที่ครูจับได้ เช่น 24 แต่ละกลุ่มต้องมีนักเรียนหญิง 3 คน และนักเรียนชาย 1 คน ใครจับกลุ่มได้ถูกต้องครูเขียนคะแนนเพิ่มอีก 1 คะแนน อุปกรณ์ กระดาษ A4 และสลากจ านวนนับ การแยกตัวประกอบ
กิจกรรมการหา ห.ร.ม. ขั้นตอน ให้นักเรียนจับกลุ่ม กลุ่มละ 3 คน จากนั้นครูแจกกระดาษ A4 ให้กลุ่มละ 1 แผ่น ให้แต่ละกลุ่มช่วยกันหาวิธีแบ่งกลุ่มนักเรียน โดยมีข้อมูลและเงื่อนไข ดังนี้ ช่วยกันคิดแก้ปัญหาลงในกระดาษ A4 จากนั้นส่งตัวแทนออกมาน าเสนอหน้าชั้นเรียน อุปกรณ์ กระดาษ A4 ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม) นักเรียนชั้น ป.6 มีอยู่ 3 ห้อง แต่ละห้องมีจ านวนนักเรียน ดังนี้ 36, และ 44 คน ถ้าต้องการจัดนักเรียนเป็นกลุ่ม กลุ่มละเท่า ๆ กัน โดยไม่คละห้องกันและไม่เหลือเศษ จะจัดนักเรียนได้กี่กลุ่ม กลุ่มละกี่คน
ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม) การหาจ านวนนับที่หาร 10 และ 16 ลงตัว จ านวนนับที่หารจ านวนตั้งแต่ 2 จ านวนขึ้นไปได้ลงตัว เรียกว่า ตัวหารร่วมหรือตัวประกอบร่วม จะเห็นว่า 2 เป็นตัวหารร่วมที่มีค่ามากที่สุด เรียก 2 ว่า ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของ 10 และ 16 จ านวนนับที่หาร 10 ลงตัว ได้แก่ 1, 2, 5 และ 10 จ านวนนับที่หาร 16 ลงตัว ได้แก่ 1, 2, 4, 8 และ 16 ดังนั้น ตัวหารร่วมของ 10 และ 16 คือ 1 และ 2 1 2 1 2
จ านวนนับที่หาร 16 ลงตัว ได้แก่ 1, 2, 4, 8 และ 16 จ านวนนับที่หาร 20 ลงตัว ได้แก่ 1, 2, 4, 5, 10 และ 20 จ านวนนับที่หาร 24 ลงตัว ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 และ 24 ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม) การหา ห.ร.ม. ของ 16, 20 และ 24 โดยการหาตัวประกอบ ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 16, 20 และ 24 คือ 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 ตัวหารร่วมของ 16, 20 และ 24 คือ 1, 2 และ 4
ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม) การหา ห.ร.ม. ของ 16, 20 และ 24 โดยการแยกตัวประกอบ การหา ห.ร.ม. ของจ านวนตั้งแต่ 2 จ านวนขึ้นไป โดยใช้การแยกตัวประกอบ หาได้จากผลคูณของตัวประกอบ ที่ซ้ ากันของทุกจ านวนเหล่านั้นมาคูณกัน ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 16, 20 และ 24 คือ 4 ห.ร.ม. ของ 16, 20 และ 24 คือ 2 × 2 = 4 16 = 2 × 2 × 2 × 2 20 = 2 × 2 × 5 24 = 2 × 2 × 2 × 3 2 × 2 2 × 2 2 × 2 2 × 2
ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม) การหา ห.ร.ม. ของ 16, 20 และ 24 โดยการตั้งหาร ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 16, 20 และ 24 คือ 4 8 10 12 2) 16 20 24 2) 4 5 6 ห.ร.ม. ของ 16, 20 และ 24 คือ 2 × 2 = 4
กิจกรรมหาจ านวนปริศนา ขั้นตอน ให้นักเรียนจับคู่กับเพื่อน จากนั้นครูแจกกระดาษ A4 แล้วชูบัตรตัวเลขที่มีกระดาษปิดตัวเลขไว้ ให้แต่ละคู่ช่วยกันหาจ านวนในบัตรตัวเลขที่ครูปิดไว้ โดยพิจารณาตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ครูสุ่มตัวแทนให้ออกมาน าเสนอหน้าชั้นเรียน อุปกรณ์ กระดาษ A4 และบัตรตัวเลข ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น) • จ านวนนับที่ปิดไว้มีค่ามากกว่า 17 แต่น้อยกว่า 25 • จ านวนนับที่ปิดไว้หารด้วย 3 ลงตัว • เมื่อน าจ านวนนับนี้บวกด้วย 3 ผลบวกที่ได้หารด้วย 3 และ 7 ลงตัว
จ านวนนับที่มี 3 หารลงตัว ได้แก่ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, … จ านวนนับที่มี 4 หารลงตัว ได้แก่ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, … การหาจ านวนนับที่ 3 และ 4 หารลงตัว จ านวนที่ 3 และ 4 หารลงตัว เรียกว่า ตัวคูณร่วมของ 3 และ 4 จะเห็นว่า 12 เป็นตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุด เรียก 12 ว่า ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของ 3 และ 4 ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น) 12 12 24 24 ดังนั้น ตัวคูณร่วมของ 3 และ 4 ได้แก่ 12, 24, …
จ านวนนับที่มี 4 หารลงตัว ได้แก่ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … จ านวนนับที่มี 6 หารลงตัว ได้แก่ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, … จ านวนนับที่มี 8 หารลงตัว ได้แก่ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, … หา ค.ร.น. ของ 4, 6 และ 8 โดยการหาตัวคูณร่วม ดังนั้น ค.ร.น. ของ 4, 6 และ 8 คือ 24 ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น) 24 24 24 ตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุดของ 4, 6 และ 8 คือ 24
หา ค.ร.น. ของ 4, 6 และ 8 โดยการแยกตัวประกอบ การหา ค.ร.น. ของจ านวนนับตั้งแต่ 2 จ านวนขึ้นไป โดยใช้การแยกตัวประกอบ เมื่อแยกตัวประกอบของแต่ละจ านวนแล้ว เลือกตัวประกอบที่ซ้ าของทุกจ านวน เลือกตัวประกอบ ที่ซ้ าของบางจ านวน และเลือกตัวประกอบตัวที่ไม่ซ้ ามาทุกตัว จากนั้นน าตัวประกอบที่เลือกไว้มาคูณกันทั้งหมด ดังนั้น ค.ร.น. ของ 4, 6 และ 8 คือ 24 ค.ร.น. ของ 4, 6 และ 8 คือ 2 × 2 × 2 × 3 = 24 ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น) 4 = 2 × 2 6 = 2 × 3 8 = 2 × 2 × 2 2 2 2 2 2
หา ค.ร.น. ของ 4, 6 และ 8 โดยการตั้งหาร 2 3 4 2) 4 6 8 2) 1 3 2 ดังนั้น ค.ร.น. ของ 4, 6 และ 8 คือ 24 ค.ร.น. ของ 4, 6 และ 8 คือ 2 × 2 × 2 × 3 = 24 ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น)
กิจกรรมช่วยกันแก้โจทย์ปัญหา ขั้นตอน ให้นักเรียนจับคู่กับเพื่อน จากนั้นครูแจกกระดาษ A4 ให้แต่ละคู่ช่วยกันวางแผนและหาค าตอบของโจทย์ปัญหาต่อไปนี้ เมื่อแต่ละคู่ท าเสร็จเรียบร้อยแล้ว ให้ตัวแทนออกมาน าเสนอหน้าชั้นเรียน อุปกรณ์ กระดาษ A4 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. นิธิศวางแผนขายคุกกี้ในงานตลาดนัดโรงเรียน โดยมีคุกกี้รสนม 24 ชิ้น คุกกี้รสช็อกโกแลต 28 ชิ้น และคุกกี้รสผลไม้รวม 32 ชิ้น นิธิศจัดคุกกี้ใส่ถุง ถุงละเท่า ๆ กัน โดยไม่คละรสและไม่เหลือเศษ • นิธิศจะจัดคุกกี้ได้กี่ถุง และถุงละกี่ชิ้น (คิดทุกวิธีที่เป็นไปได้) • ถ้านิธิศขายคุกกี้ราคาถุงละ 10 บาท นิธิศจะได้เงินทั้งหมดกี่บาท • จ านวนคุกกี้ที่มากที่สุดที่นิธิศสามารถจัดใส่ถุงได้เป็นเท่าใด
การวางแผนแก้โจทย์ปัญหา นาราต้องการแบ่งกระดุมใส่ถุงโดยไม่ปนกัน ถุงละเท่า ๆ กัน ดังนั้น จึงหาตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของ 30, 24 และ 18 ซึ่งจะได้จ านวนกระดุมแต่ละถุง จากนั้นน าจ านวนกระดุมในแต่ละถุงที่หาได้หารด้วยจ านวนกระดุมแต่ละสี เพื่อหาจ านวนถุงของกระดุมแต่ละสี นารามีกระดุมสีขาว 30 เม็ด กระดุมสีชมพู 24 เม็ด กระดุมสีฟ้า 18 เม็ด นาราต้องการแบ่งกระดุมใส่ถุง โดยไม่ปนกัน ถุงละเท่า ๆ กัน และไม่มีกระดุมเหลือ นาราจะแบ่งกระดุมได้มากที่สุดถุงละกี่เม็ด และกระดุมแต่ละสีแบ่งได้กี่ถุง โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
การแก้โจทย์ปัญหา กระดุมสีขาว 30 เม็ด กระดุมสีชมพู 24 เม็ด กระดุมสีฟ้า 18 เม็ด หา ห.ร.ม. ของ 30, 24 และ 18 ได้ ดังนี้ 15 12 9 2) 30 24 18 3) 5 4 3 จะได้ว่า ห.ร.ม. ของ 30, 24 และ 18 คือ 2 × 3 = 6 ดังนั้น นาราจะแบ่งกระดุมได้ถุงละ 6 เม็ด กระดุมสีขาว 30 ÷ 6 = 5 ถุง กระดุมสีชมพู 24 ÷ 6 = 4 ถุง กระดุมสีฟ้า 18 ÷ 6 = 3 ถุง โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
การวางแผนแก้โจทย์ปัญหา วันที่ป้าพรต้องเดินทางไปรับการตรวจรักษาทั้ง 2 โรงพยาบาลพร้อมกัน เป็นการหาตัวคูณร่วมของ 45 และ 60 เนื่องจากต้องการหาวันที่ป้าพรจะต้องเดินทางไปรับการตรวจรักษาทั้ง 2 โรงพยาบาลพร้อมกัน ดังนั้น จึงหาตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของ 45 และ 60 ป้าพรต้องเดินทางไปรับการตรวจรักษาที่โรงพยาบาล ก ทุก ๆ 45 วัน และรับการตรวจรักษาที่โรงพยาบาล ข ทุก ๆ 60 วัน ถ้าวันนี้ป้าพรต้องเดินทางไปรับการตรวจรักษา ทั้ง 2 โรงพยาบาลพร้อมกัน แล้วอีกกี่วันที่ป้าพรจะต้อง เดินทางไปรับการตรวจรักษาทั้ง 2 โรงพยาบาลพร้อมกันอีกครั้ง โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
การแก้โจทย์ปัญหา หา ค.ร.น. ของ 45 และ 60 ได้ ดังนี้ 15 20 3) 45 60 5) 3 4 จะได้ว่า ค.ร.น. ของ 45 และ 60 คือ 3 × 5 × 3 × 4 = 180 ดังนั้น อีก 180 วัน ป้าพรจะต้องเดินทางไปรับการตรวจรักษา ทั้ง 2 โรงพยาบาลพร้อมกันอีกครั้ง ป้าพรต้องเดินทางไปรับการตรวจรักษาที่โรงพยาบาล ก ทุก ๆ 45 วัน และรับการตรวจรักษาที่โรงพยาบาล ข ทุก ๆ 60 วัน โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
เฉลยค าตอบ หนูดีก าลังวางแผนช่วยแม่ท างานบ้าน ดังนี้ ช่วยถูบ้านทุก ๆ 2 วัน ช่วยขัดห้องน้ าทุก ๆ 3 วัน และช่วยซักผ้าทุก ๆ 4 วัน ถ้าวันนี้ตรงกับวันที่ 1 มกราคม พ.ศ. 2563 ในเดือนนี้จะมีวันใดบ้างที่หนูดี จะท างานบ้านทั้ง 3 อย่างพร้อมกัน
การแก้โจทย์ปัญหา หา ค.ร.น. ของ 2, 3 และ 4 ได้ ดังนี้ 2) 2 3 4 จะได้ว่า ค.ร.น. ของ 2, 3 และ 4 คือ 2 × 3 × 2 = 12 ดังนั้น วันที่หนูดีจะท างานบ้านทั้ง 3 อย่างพร้อมกัน คือ ทุก ๆ 12 วัน ซึ่งหนูดีจะท างานบ้านทั้ง 3 อย่างพร้อมกันในวันที่ 12 และ 24 มกราคม วันที่หนูดีจะท างานบ้านทั้ง 3 อย่างพร้อมกัน เป็นการหาตัวคูณร่วมของ 2, 3 และ 4 เฉลยค าตอบ 1 3 2