1

1

รางวัลของคนน่ารัก
คือ

การตรวจงานนะคะ



สรุปความรู้
บทที่ 1



ลำดับ

ลำดับเลขคณิต/ลำดับเรขาคณิต

•ลำดับเลขคณิต ลำดับที่มีผลต่างระหว่างพจน์ ที่ n+1 กับพจน์ ที่ n

เป็นค่าคงตัว เรียก ผลต่างร่วม แทนด้วย d

an = a1 +(n-1)d d=พจน์ หลัง-พจน์ หน้ า

d = +2 +2 +2

ex. จงหาพจน์ ที่ 10 ของลำดับเลขคณิต 3,5,7,9,…

a n = a 1 +(n-1)d

a10= 3+(10-1)2 = 21 #

•ลำดับเรขาคณิต ลำดับที่มีอัตราส่วนระหว่างพจน์ ที่ n+1 กับ

พจน์ ที่ n เป็นค่าคงตัว เรียกค่าคงตัว ว่า อัตราส่วนร่วม ( r )

a n = a1 rn-1 r= พจน์ หลัง
พจน์ หน้ า

r = x5 x5

ex. จงหาพจน์ ที่ 7 ของลำดับเรขาคณิต 4,20,100

a n = a1 rn-1
a 7 = 4 (5) 7-1
a 7 = 4 (5) 6 = 62,500 #

ลิมิตของลำดับอนันต์

ถ้า nli_m>∞ a n = L แล้วเรียก a n ว่า ลำดับลู่เข้า
ถ้า nli_m>∞ a n = หาค่าไม่ได้ แล้วเรียก an ว่า ลำดับลู่ออก

ทฤษฎีการหาลิมิตของลำดับ

lim
1) n _> ∞ c = c เมื่อ c เป็นค่าคงที่

2) lim can = c lim a n

n _> ∞ n _> ∞

3) lim ( an + =bn ) = lim an + lim bn

n _> ∞ n _> ∞ n _> ∞

4) nlim_> ∞( a n b n) ( lim an) ( lim bn )

n _> ∞ n _> ∞

lim an = alim n

n _> ∞ n _> ∞

5) bn lim b n

n _> ∞

6) lim ( an )k = ( lim a n )k

n _> ∞ n _> ∞

{7) ( 1 ) 0;k>0
lim nk = ∞;k<0

n _> ∞

{8) 0 ; |r| < 1
lim rn = หาค่าไม่ได้ ; |r| > 1

n _> ∞

อนุกรม

อนุกรมเลขคณิต/อนุกรมเรขาคณิต/อนุกรมอนันต์

•อนุกรมเลขคณิต ผลบวก n พจน์ แรกของอนุกรมเลขคณิต

S = (a + a )nรู้พจน์แรกและพจน์1สุดท้ายn และ Sn = ใช้เมื่อทราบ a1 และ d
หาได้จากสูตร n2
n (2a2 1 + (n-1)d)

•อนุกรมเรขาคณิต ผลบวก n พจน์ แรกของอนุกรมเลขคณิต

หาได้จากสูตร Sn = a1 ( 1 - rn ) ; r =/ 1
1-r

•อนุกรมอนั นต์ lnim_> ∞an

หาได้จากสูตร S∞ = 1 a 1
-
r

ex. จงหาผลบวกอนุกรมอนั นต์ 1 + 1 + 1 + 1 +…

2 4 8

1 = 1

r= 2 2
1

S∞ = 1 a 1r
-

=1 1 1

- 2

1

=2

1

1x 2 = 2#

1

สัญลักษณ์แทนการบวก

Σ อ่านว่า ซิกมา

n สิ้นสุดที่ไหน

Σ xi สิ่งที่นำมาบวก

i=1 เริ่มต้นที่ไหน

สมบัติของสัญลักษณ์แทนการบวก Σ

n

1) Σ c = nc เมื่อ c เป็นค่าคงตัว

i=1

nn

2) Σ ca i = c Σ ai เมื่อ c เป็นค่าคงตัว

i=1 i=1

n nn

3) Σ ( ai + bi ) = Σ ai + Σ bi

i=1 i=1 i=1

n nn

4) iΣ=1 ( ai - bi ) = iΣ=1 ai - iΣ=1 bi

nn n
การหาผลบวก n พจน์ แรกในรูป ,iΣ=1 i iΣ=1 i2 และ iΣ=1 i 3

n n( n + 1 )
1) iΣ=1 i =
2

n i2 n( n + 1 ) ( 2n + 1 )

2) Σ = 6

i=1

2 n2
[ ] ( )=
n i3 n( n + 1 ) = Σ i

3) Σ 2 i=1

i=1

การประยุกต์ของลำดับ
และอนุกรม

•ดอกเบี้ยทบต้น

เงินรวม = p ( 1 + r )kn

k

ex. เริ่มฝากเงินด้วยเงิน 100,000 บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย 4% ต่อปี จงหา

จำนวนเงินเมื่อฝากครบ 19 ปี

วิธีทำ เงินรวม = p ( 1 + r )kn

k

P = 100,000 เงินรวม = 100,000 ( 1 + 0.04 ) 1(10)

1

r=4 = 0.04 = 100,000 (1.04)10
100 ~ 148024.43#

k=1

n = 10

•มูลค่าเงินปัจุบัน และ อนาคต วิธีทำ [ ]kn

S=P 1+r

k

P = 10,000

[ ]kn มูลค่าอนาคต r=3 = 0.03
100
S=P 1+r
k=4
k

n=3

[ ]P = S 1 + r -kn มูลค่าปัจจุบั [ ]kn
k
S=P 1+r
ex. ฝากเงิน 10,000 กับธนาคารแห่งหนึ่ งที่ให้
อัตราดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 3 เดือน จงหามูลค่า k
อนาคตของเงินฝาก เมื่อสิ้นปีที่3 โดยไม่มีการฝาก
และถอนเงินในระหว่างนี้ [ ] 4(3)

S =10,000 1 + 0.03

4

[ ]12

S =10,000 1.0075

S ~10,938.07 #

การประยุกต์ของลำดับ
และอนุกรม

•ค่างวด

การรับหรือการจ่ายค่างวดมีลักษณะ 3 ประการ

+ รับหรือจ่ายเท่ากันทุกงวด
+ รับหรือจ่ายติดต่อกันทุกงวด
+ รับหรือจ่ายตอนต้นงวดหรือสิ้นสุดงวด
แบ่งออกเป็น 2 กรณี
กรณีที่ 1 ค่างวดที่รับหรือจ่ายตอนต้นงวด

R = เงินเเต่ละงวด

R (1+r) ((1+r)n -1) n = จำนวนงวดทั้งหมด

r r = i
100

กรณีที่ 2 ค่างวดที่รับหรือจ่ายตอนสิ้นงวด

R = เงินเเต่ละงวด

R ((1+r) -1)n n = จำนวนงวดทั้งหมด

r i
100
r =



1473893926263907763