รากที่ n ของจำนวนจริง

ก

รายงานเล่มน้ีจดั ทาข้ึนเพอ่ื เป็นส่วนหน่ึงของวชิ า เทคโนโลยดี ิจิทลั เพ่ือใหไ้ ดศ้ ึกษาหา
ความรู้ในเร่ืองของ รากที่ n ของจานวนจริง โดยไดศ้ กึ ษาผา่ นแหล่งความรู้ต่างๆ อาทิเช่น
หนงั สือ และแหล่งความรูจ้ ากเวบ็ ไซตต์ ่างๆ โดยรายงานเล่มน้ีตอ้ งมีเน้ือหาเกยี่ วกบั รากท่ี
n ของจานวนจริง

ผจู้ ดั ทาคาดหวงั เป็นอยา่ งยง่ิ วา่ การจดั ทาเอกสารฉบบั น้ีจะมีขอ้ มูลท่ีเป็น
ประโยชนต์ ่อผทู้ ี่สนใจศกึ ษารากท่ี n ของจานวนจริงเป็นอยา่ งดี

พรรษมน เวฬุวนารักษ์

คานา ข
สารบญั
รากที่ n ของจานวนจริง ก
ข
-รากท่ี n ของจานวนจริง 1
- ค่าหลกั ของรากท่ี n 5
- แบบฝึกหดั 9

1

รากท่ี n ของจานวนจริง

(nth Root of Real Number)

รากท่ี n ของจำนวนจริง (nth Root of Real Number)

บทนยิ าม 1

ให้ x และ y เป็นจำนวนจรงิ
Y เป็นรำกท่ีสองของ x ก็ต่อเม่ือ y2 = x

เนื่องจากกาลงั สองของจานวนจริงใดๆ ตอ้ งมากกวา่ หรือเท่ากบั ศูนย์ จะเป็นจานวนจริงลบไม่ได้
ดงั น้นั จะมีรากที่สองของจานวนจริงบวกหรือศูนยเ์ ท่านน่ั นน่ั คือ x ในบทนยิ ำมขำ้ งตน้ ตอ้ ง
มำกกว่ำหรอื เทำ่ กบั ศนู ยเ์ สมอ เช่น

4 เป็นรากที่สองของ 16 เพราะ 42 = 16

0 เป็นรำกท่ีสองของ 0 เพรำะ 02 = 0

ถา้ x≥ 0 แลว้ x จะมีรำกท่ีสองท่ีมำกกว่ำหรอื เทำ่ กบั ศนู ยเ์ สมอ เรยี กรำกนีว้ ่ำ รำกทสี่ องทไ่ี ม่
เป็ นจำนวนเตม็ ลบ ของ x และแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ √ โดยเครอ่ื งหมำย √ เรยี กว่ำ เครอ่ื งหมำย
กรณฑ์ (radical sign)

เม่ือ y เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ จะได้ (-y)2 = y2 ดงั นนั้ ถำ้ มีจำนวนจรงิ y ยกกำลงั สอง แลว้ ได้ x กำลงั
สองของ -y ก็จะเป็น x ดว้ ย

ดงั น้นั สาหรับ x > 0 จะมีรากที่สองของ x สองรำก คือ √ และ -√ โดยที่ √ เป็น
จานวนจริงบวก และ -√ เป็นจานวนจริงลบ

2

ถำ้ x = 0 แลว้ จะมีจำนวนจรงิ จำนวนเดียว คือ 0 เป็นรำกท่ีสองของ x นน้ั คือ √0 = 0
ถา้ x = 0 แลว้ จะมีรำกท่ีสองของ x ท่ีเป็นจำนวนจรงิ
ดงั น้นั √ = y เม่ือ x≥ 0 หมายความวา่ y2 = x และ y ≥ 0

ตวั อยำ่ งที่ 1

จงหา
1) รากท่ีสองของ 16
2) รากที่สองของ 2
3) รากที่สองของ 3

วธิ ีทา 1) เนื่องจาก 42 = 16 และ (-4)2 = 16
ดงั น้นั รากท่ีสองของ 16 คือ 4 และ -4
2) เน่ืองจาก (√2)2= 2 และ (−√2)2 = 2
ดงั น้นั รากที่สองของ 2 คือ (√2 และ (−√2)

3) เน่ืองจาก (√3)2 = 3 และ (−√3)2 = 3
ดงั น้นั รากท่ีสองของ 3 คือ √3 และ -√3

ตวั อยำ่ งที่ 2

จงหา
1)√9
วธิ ีทา เนื่องจาก 32 = 9 และ 3 ≥ 0 ดงั น้นั √9 = 3

ทฤษฎบี ท 2

ให้ x≥ 0 และ y ≥ 0 จะได้
√ ∙ √ = √

3

ทฤษฎบี ท 3

ให้ x≥ 0 และ y ≥ 0 จะได้

=
√

ตวั อยำ่ งท่ี 3

จงเขยี นจำนวนต่อไปนใี้ ห้อย่ใู นรูปอย่ำงง่ำย

1) √3 ∙ √6 2) 14/√2

วิธีทำ 1) √3 ∙ √6 = 3 × 6 = √3 × 3 × 2 = 3√2
2) 14/√2 = 14/2 = √7

ในกรณที ว่ั ไป รากที่ n ของจานวนจริง มบี ทนิยามดังนี้

บทนยิ าม 2

ให้ x และ y เป็นจำนวนจรงิ และ n เป็นจำนวนเตม็ ท่ีมำกกว่ำ 1
y เป็นรำกท่ี n ของ x ก็ตอ่ เม่ือ yn = x

หมายเหตุ ถา้ n เป็นจานวนค่ีแลว้ รากท่ี n ของ x ที่เป็นจานวนจริง จะมีรากเดยี ว และถา้ n
เป็นจานวนคู่แลว้ เมื่อ > 0 รากท่ี n ของ x ท่ีเป็นจานวนจริง จะมีสองราก

ตวั อยำ่ งที่ 4

จงพจิ ารณาวา่
1) 2 เป็นรากที่ 4 ของ 16 หรือไม่ เพราะเหตุใด
2) -2 เป็นรากที่ 4 ของ 16 หรือไม่ เพราะเหตุใด
3) -3 เป็นรากท่ี 5 ของ -243 หรือไม่ เพราะเหตุใด
4) 3 เป็นรากท่ี 5 ของ -243 หรือไม่ เพราะเหตุใด

4

วธิ ีทา 1) 2 เป็นรากท่ี 4 ของ 16 เพราะ 24 = 16
2) -2 เป็นรากท่ี 4 ของ 16 เพราะ (-2)4 = 16
3) -3 เป็นรากที่ 5 ของ -243 เพราะ (-3)5 = -243
4) 3 ไม่เป็นรากที่ 5 ของ -243 เพราะ 35 = 243 และ 243 ≠ -243

ตวั อยำ่ งท่ี 5 2) รำกท่ี 5 ของ -243

จงหำ
1) รำกท่ี 4 ของ 16

วธิ ีทา 1) เนื่องจาก 24 = 16 และ (-2)4 = 16
ดงั น้นั รากท่ี 4 ของ 16 มีสองราก คือ 2 และ -2

2) เน่ืองจาก (-3)5 = -243
ดงั น้นั รากที่ 5 ของ -243 มีรากเดียว คือ -3

5

ค่าหลกั ของรากท่ี n ของจำนวนจริง
(Principle nth Root of Real Numbers)

บทนยิ าม 3

ให้ x และ y เป็นจำนวนจรงิ และ n เป็นจำนวนเต็มท่ีมำกกวำ่ 1

y เป็นค่ำหลักของรำกท่ี n ของ x ท่ีเขียนแทนดว้ ย ก็ตอ่ เม่ือ
1) y เป็นรำกท่ี n ของ x

2) xy ≥ 0

สาหรับ อ่ำนวำ่ กรณฑท์ ่ี n ของ x หรอื คำ่ หลกั ของรำกท่ี n ของ x
หมำยเหตุ 1.การระบุกรณฑท์ ี่ n เม่ือ n เป็นจำนวนจรงิ เต็มบวกท่ีมำกกวำ่ 1 ทำไดโ้ ดยกำร
เขียน n ทำงดำ้ นซำ้ ยของเคร่อื งหมำยกรณฑ์ ดงั นี้ และจะเรียก วำ่ เป็น อนั ดบั ท่ี หรอื ดชั นี (index)
ของกรณฑ์ แต่ถำ้ n = 2 นิยมเขียน √ แทน 2√

2.จากนิยาม 3 จะไดว้ า่ ถา้ y เป็นคำ่ หลกั ของรำกท่ี n ของ x แลว้ x และ y เป็นจำนวน
จรงิ บวกทงั้ คู่ หรอื เป็นจำนวนจรงิ ลบทงั้ คู่ หรอื เป็นศนู ยท์ ง้ั คู่

ตวั อยำ่ งท่ี 6

จงหา

1) ค่าหลกั ของรากที่ 4 ของ 16
2) ค่าหลกั ของรากท่ี 3 ของ -125
3) ค่าหลกั ของรากที่ 4 ของ -16

วธิ ีทา 1) เนื่องจากรากท่ี 4 ของ 16 คือ 2 และ -2

และ 16(2) > 0 แต่ 16(-2) < 0

ดงั น้นั ค่าหลกั ของรากท่ี 4 ของ 16 คือ 2

2) เนื่องจากรากท่ี 3 ของ -125 มีรากเดียว คือ -5

และ (-125)(-5) > 0

ดงั น้นั ค่าหลกั ของรากที่ 3 ของ -125 คือ -5

6

3) เนื่องจากจานวนจริงบวกและจานวนจริงลบยกกาลงั ดว้ ยจานวนคู่ จะได้
ผลลพั ธเ์ ป็นจานวนจริงบวก ดงั น้นั จึงไม่มีรากที่ 4 ของ -16 ในระบบ
จานวนจริง จะไดว้ า่ ไม่มีค่าหลกั ของรากท่ี 4 ของ -16 ในระบบจานวนจริง

ทฤษฎบี ท

ให้ x และ y เป็นจำนวนจรงิ และ n เป็นจำนวนเตม็ ท่ีมำกกว่ำ 1 โดยท่ี x
และ y มีรำกท่ี n จะได้

∙ =

ทฤษฎบี ท

ให้ x และ y เป็นจำนวนจรงิ และ n เป็นจำนวนเต็มท่ีมำกกว่ำ 1
โดยท่ี x และ y มีรำกท่ี n จะได้ และ y ≠ 0 จะได้

= /

y

หมายเหตุ 1.ถา้ x < 0 หรือ y < 0 แลว้ จะใชท้ ฤษฎีบท 3 และ 4 ไดเ้ ม่ือ n เป็นจำนวนค่ีบวกเท่ำน่นั

2. ถา้ x เป็นจำนวนจรงิ และ n เป็นจำนวนค่ีบวก แลว้ − = - −
3. ถำ้ x เป็นจำนวนจรงิ และ n เป็นจำนวนเต็มท่ีมำกกวำ่ 1 แลว้

1) = x เม่ือ n เป็นจำนวนค่ี เชน่ 9 (−2)9 = -2

2) = x, x≥ 0 เมอ่ื n เป็นจำนวนคู่
-x, x<0

เช่น 8 28 = 2 และ 2 (−2)8 = -(-2) = 2

7

ตวั อยำ่ งท่ี 7

จงหำ
1) √125
2) ∛8
3) ∛81
4) ∛−1000

วธิ ีทา 1) √125 = √5 × 5 × 5 = 5√5
2) ∛8 = ∛2 × 2 × 2 = 2
3) ∛81 = ∛3 × 3 × 3 × 3 = 3∛3
4) ∛−1000 = ∛(−10)(−10)(−10) = -10

ตวั อยำ่ งท่ี 8

จงเขียนจานวนต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งง่าย

1) ∛2 ∙ ∛3 2) ∛72
∛6

วธิ ีทา 1) ∛2 ∙ ∛3 = ∛2 × 3 = ∛6
2) ) ∛72 = 3 72/6 = ∛12
∛6

8

ตวั อยำ่ งท่ี 9

จงเขียนจานวนต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปท่ีตวั ส่วนไม่ติดกรณฑ์

1. 6
√2

วธิ ีทำ 6 6 2 = 6√2 = 3√2
=
√2 √2 √2 2

ลองทำแบบฝึกหดั
กนั เถอะ

9

บบ กหั 1

่อ ....................................................................................................เลขท.่ี ............... ้ัน................
1.จงหาค่าของ
1.1 รากท่ี 7 ของ 128 คือ .....................................................................................................

1.2 รากที่ 6 ของ 125 คือ .....................................................................................................

1.3 รากท่ี 8 ของ -625 คือ .....................................................................................................

1.4 รากท่ี 5 ของ 243 คือ .....................................................................................................

1.5 รากท่ี 4 ของ -81 คือ .....................................................................................................

1.6 รากที่ 2 ของ 121 คือ .....................................................................................................

1.7 รากที่ 2 ของ 900 คือ .....................................................................................................

1.8 รากที่ 3 ของ 343 คือ .....................................................................................................

1.9 รากท่ี 4 ของ 1296 คือ .....................................................................................................

2.จงหาค่าหลกั ของจานวนต่อไปนี้ 10
ขอ้ จานวนในรูปกรณฑ์
ค่าหลกั ของรากที่ n
2.1 √25 ........................................................................
........................................................................
2.2 √64 ..........................................................................
2.2 ∛125 .........................................................................
2.4 ∛−27 ..........................................................................
2.5 6√(18)6 ..........................................................................
.........................................................................
2.6 5√−32 .........................................................................
2.7 5√243 ........................................................................
28 3√8/27
2.9 4√81

11

บบ กหดั ที่ 2

่อ ....................................................................................................เลขท.่ี ............... ้ัน................

คา ี้ จง ใหนักเรียนตอบคา ามต่อไปนี้
1. รากท่ี n ของจานวนจริง a จะเขียนดว้ ยสญั ลกั ษณ์
................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
2. ให้ n เป็นจานวนเตม็ ที่มากกวา่ 1 a และ b เป็นจานวนจริง
b เป็นรากท่ี n ของ a ก็ต่อเม่ือ
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
3. ถา้ a = 0 แลว้ ค่าหลกั ของรากที่ n ของจานวนจริง a =
………………………………………………………………................................................
................................................................................................................................................
4. ถา้ a > 0 ค่าหลกั ของรากที่ n ของจานวนจริ ง a =
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
5. ถา้ a < 0
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.

12