เซตและเลขยกกำลัง

คณิตศาสตร์

เซต(SET)



และ



เลขยกกำลัง
(EXPONENTIAL)




น.ส.จิรนันท์ เย็นนะสา ม.6/5 เลขที่ 20

เซต
(SET)

เซต (SET)

ความหมายของเซต

ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "เซต" หมายถึง กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง
ชุด เเละเมื่ อกล่าวถึงเซตของสิ่งใดๆ จะทราบได้ทันทีว่าในเซตนั้นมีอะไรบ้าง

เราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า 'สมาชิก'
สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต ชื่ อเเละสมาชิกของเซต
1. สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตต่างๆ ได้
2. ชื่ อเซตนิยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C, ...

∈3. สัญลักษณ์ แทนคำว่า " เป็นสมาชิกของ "
∉ แทนคำว่า " ไม่เป็นสมาชิกของ "

ลักษณะของเซต

เซตว่าง (EMPTY SET) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก เขียนแทนด้วย " { } " หรือ ∅
เช่น เซตของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 2
เซตของสระในคำว่า " อรวรรณ "

เซตจำกัด (FINITE SET) คือ เซตที่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้
เช่น ∅ มีจำนวนสมาชิกเป็น 0

{ 1, 2, 3, ... , 50 } มีจำนวนสมาชิกเป็น 50
เซตอนันต์ (INFINITE SET) คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้

เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, 4, ... }
เ ซ ต ข อ ง จุ ด บ น ร ะ น า บ

การเขียนเซต



1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก (TABULAR FORM)
หลักการเขียน
1. เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปีกกา
2. สมาชิกเเต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องจุลภาค (,)
3. สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว
4. ในกรณีที่มีจำนวนสมาชิกมากๆ ให้เขียนสมาชิกอย่างน้อย 3 ตัว เเล้วใช้จุด 3

จุด (TRIPPLE DOT) เเล้วจึงเขียนสมาชิกตัวสุดท้าย

2. การเขียนเซตแบบบแกเงื่ อนไขของสมาชิกในเซต (SET BUILDER FORM)
หลักการเขียน
1. เขียนเซตด้วยวงเล็บปีกกา
2. กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย L ( L อ่านว่า โดยที )

เเล้วตามโดยเงื่ อนไขของตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ { X L เงื่ อนไขของ X }

ความสัมพันธ์ของเซต




1. เซตที่เท่ากัน (EQUAL SETS) คือ เซตสองเซตจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่ อ เซตทั้งสองมี

สมาชิกเหมือนกันสัญลักษณ์ เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย A = B

เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทนด้วย A ≠ B

2. เซตที่เทียบเท่ากัน (EQUIVALENT SETS) คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และ

สมาชิกของเซตจับคู่กันได้พอดีแบบหนึ่งต่อหนึ่งสัญลักษณ์ เซต A เทียบ
เท่ากับ เซต B แทนด้วย A ⟷ B
* หมายเหตุ 1. ถ้า A = B แล้ว A ⟷ B

2. ถ้า A ⟷ B แล้ว ไม่อาจสรุปได้ว่า A = B




สับเซต (SUBSET)




ถ้า สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกในเซต B เเล้ว เซต A จะเป็นสับเซต

ของเซต B B

⊂สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B
⊄เซต B ไม่เป็นสับเซตของเซต A เขียนแทนด้วย A

สมบัติของสับเซต

⊂1. A A ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของมันเอง )
⊂2. A U ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
⊂3. ∅ A ( เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
⊂4. ถ้า A ∅ เเล้ว A = ∅
⊂ ⊂ ⊂5. ถ้า A B เเละ B C เเล้ว A C (สมบัติการถ่ายทอด)
⊂ ⊂6. A = B ก็ต่อเมื่ อ A B เเละ B A

7. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก N ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2^N ( 2 ยกกำลัง N )

สับเซต

สับเซตแท้




⊂นิยาม A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่ อ A B เเละ A ≠ B

ตัวอย่าง กำหนดให้ A = { A, B, C } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A

วิธีทำ สับเซตแท้ของ A ได้แก่ ∅, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}

หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก N ตัว สับเซตแท้ของเซต A จะมีทั้งสิ้น 2^N-1 (2

ยกกำลัง N-1) สับเซต เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ของสับเซตออกมาในรูป

แผนภาพได้ดังนี้






⊂A B

เพาเวอร์เซต (POWER SET)




ถ้า A เป็ตเซต เเล้ว เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกประกอบไป
ด้วยสับเซตของ A ทั้งหมด

สัญลักษณ์ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A) = {สับเซตทั้งหมด
ของ A}

ตัวอย่าง A = {1, 2}
วิธีทำ สับเซตของ A คือ ∅, {1}, {2}, A
ดังนั้น P(A) = { ∅, {1}, {2}, A }
สมบัติของเพาเวอร์เซต
กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ

∈ ⊂1. ∅ P(A) เพราะ ∅ A เสมอ
⊂2. ∅ P(A) เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต เเล้ว P(A) ก็เป็นเซต
∈ ⊂3. A P(A) เพราะ A A เสมอ

4. ถ้า A เป็นเซตจำกัด เเละ N(A) คือจำนวนสมชิกของ A เเล้ว P(A) จะมี
สมาชิก 2^ N(A) ( 2 ยกกำลัง N(A) ) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซตของ A)

⊂ ⊂5. A B ก็ต่อเมื่ อ P(A) P(B)
∩ ∩6. P(A) P(B) = P(A B)
∪ ⊂ ∪7. P(A) P(B) P(A B)

เอกภพสัมพัทธ์ (RELATIVE UNIVERSE)



เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะกล่าวถึงสิ่งที่เป็น
สมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่ นใดที่ไม่เป็นสมาชิกของเซตนี้ โดยทั่วไป
จะใช้สัญลักษณ์ U แทนเซตที่เป็นเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
A = {1, 3, 5, 7}

B = {2, 4, 8}

∈ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ U = { X N | 1 < X < 20 }
∈A = { X N | X = N + 3 เมื่ อ N เป็นจำนวนนับคี่ }
∈B = { X N | X = N + 3 เมื่ อ N เป็นจำนวนนับคู่ }

นั่นคือ ทั้ง A และ B เป็นสับเซตของ U

แผนภาพของเวนน์ - ออยเออร์ (VENN - EULER DIAGRAM)




แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ คือ แผนภาพแสดงความเกี่ยวข้องของเซตต่างๆ
ซึ่งชื่ อที่ใช้เรียกเป็นชื่ อของนักคณิตศาสตร์สองคน คือ
จอห์น เวนน์ เเละ เลโอนาร์ด ออยเลอร์

การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์
การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ มักเขียนเเทนเอกภพสัมพัทธ์ U ด้วยรูป
สี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปปิดใดๆ ส่วนเซต A, B, C, D, ... ซึ่งเป็นเซตย่อยของ U อาจ
เขียนแทนด้วยวงกลมหรือวงรีหรือรูปปิดใดๆ โดยให้ภาพที่แทนเซตย่อยอยู่ใน
รูปปิดใดๆ ที่แทนเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่าง
กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
A = { 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, C = { 3, 5, 6, 7 }
เราจะสามารถจะเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ แสดงภาพภพ

สัมพัทธ์ U ของเซตย่อยต่างๆ ดังแผนภาพต่อไนี้

ถ้าเซต A เเละเซต B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

ถ้าเซต A เเละ เซต B มีสมาชิกร่วมกันบางส่วน (แต่ไม่ทั้งหมด) แผนภาพจะมีลักษณะ
ดังนี้

⊂ถ้าเซต A B เเต่ A ≠ B แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

ถ้าเซต A = B แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

การดำเนินการบนเซต



การดำเนินการระหว่างเซต คือ การนำเซตต่างๆ มากระทำกันเพื่ อให้เกิดเป็นเซต
ใหม่ ซึ่งทำได้ 4 วิธี คือ
1. ยูเนียน (UNION)

∪ยูเนียนของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A หรือ เซต B

เขียนแทนด้วย A B

∪ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
เ ร า ส า ม า ร ถ เ ขี ย น ก า ร ยู เ นี ย น ใ น แ ผ น ภ า พ ไ ด้ ดั ง นี้

2. อินเตอร์เซกชัน (INTERSECTION)
อินเตอร์เซกชันของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A

เเละเซต B

∩เขียนแทนด้วย A B
∩ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

ดังนั้น A B = { 3 }
เ ร า ส า ม า ร ถ เ ขี ย น ก า ร ยู เ นี ย น ใ น แ ผ น ภ า พ ไ ด้ ดั ง นี้

3. คอมพลีเมนต์ (COMPLEMENT)
คอมพลีเมนต์ของของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ

เอกภพสัมพัทธ์ แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A
เขียนแทนด้วย A'

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }
ดังนั้น A' = { 4, 5}

เ ร า ส า ม า ร ถ เ ขี ย น ก า ร ยู เ นี ย น ใ น แ ผ น ภ า พ ไ ด้ ดั ง นี้

4. ผลต่างของเซต (DIFFERENCE)
ผลต่างของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต

A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A - B

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A - B = { 1, 2 }
เ ร า ส า ม า ร ถ เ ขี ย น ก า ร ยู เ นี ย น ใ น แ ผ น ภ า พ ไ ด้ ดั ง นี้

สัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนต่างๆ ที่ควรทราบ

ส ม บั ติ ก า ร ดำ เ นิ น ก า ร บ น เ ซ ต



สมบัติพื้ นฐาน

∪ ∪1. A ∅ = A, A U = U
∩ ∩A ∅ = ∅, A U = A

∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪2. A B C = A (B C) = (A B) C
∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩A B C = A (B C) = (A B) C

∪ ∩ ∪ ∩ ∪3. A (B C) = (A B) (A C)
∩ ∪ ∩ ∪ ∩A (B C) = (A B) (A C)

4. (A')' = A B'
B'
∪ ∩(A B)' = A'
∩ ∪(A B)' = A'

∩5. A - B = A B'

เพิ่มเติม

⊂ถ้า A B เเล้ว 1. A - B = ∅
∩2. A B = A
∪3. A B = B

การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด

1. เซตจำกัด 2 เซต B)]

∪ ∩N(A B) = N(A) + N(B) - N(A B)
∪ ∩N[(A - B) (B - A)] = N(A) + N(B) - 2[N(A

2. เซตจำกัด 3 เซต B) - N(A C) - N(B C)

∪ ∪ ∩ ∩ ∩N(A B C) = N(A) + N(B) + N(C) - N(A
∩ ∩+ N(A B C)

แบบฝึกหัด



เลขยกกำลัง
(EXPONENTIAL)

เลขยกกำลัง

เลขยกกำลัง คือ การเขียนตัวเลขที่มีการคูณซ้ำหลาย ๆ ครั้งในรูปแบบย่อ ให้
สามารถอ่านได้เข้าใจได้ง่ายขึ้นและไม่สับสน จึงเขียนในรูปแบบของ เลขยกกำลัง
โดยมีส่วนประกอบทั้งหมด 2 ส่วน คือ ฐานของเลขยกกำลัง และ เลขชี้กำลัง

ความหมายของเลขยกกำลัง

เลขยกกำลัง ฐาน และเลขชี้กำลัง

จำนวนที่สามารถเป็นฐานได้มีหลายรูปแบบ เช่น จำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มลบ เศษส่วน ทศนิยม ยกตัวอย่างเช่น 24 (-2)4 (เลขยกกำลัง-
เศษส่วน)2 0.45

ข้อสังเกต: อ่านไม่เหมือนกัน ผลลัพธ์ไม่เท่ากัน

ลบสองทั้งหมดยกกำลังสี่

(-2)4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16

ลบสองยกกำลังสี่

-24 = – (2 X 2 X 2 X 2) = -16

จะเห็นว่า (-2)4 มีค่าไม่เท่ากับ -24 แค่ใส่วงเล็บ ผลลัพธ์ก็ต่างกันแล้ว ดัง
นั้นเพื่ อน ๆ ต้องระวังการใส่วงเล็บให้ดีนะ เราลองมาดูตัวอย่างอื่ น ๆ
เพิ่มกันดีกว่า

54 = 5 X 5 X 5 X 5 = 625

(5)4 = (5)(5)(5)(5) = 625

-54 = -(5 X 5 X 5 X 5) = -(625) = -625

(-5)4 = (-5)(-5)(-5)(-5) = (25)(25) = 625

สมบัติต่าง ๆ ของเลขยกกำลัง



สมบัติของเลขยกกำลัง คือ ตัวช่วยในการจัดรูปของเลขยกกำลังให้สามารถเข้าใจ
ได้ง่ายขึ้นและสั้นลง โดยมีสมบัติ 7 ข้อ ในทั้งหมด 7 ข้ออาจจะมีเงื่ อนไขพิเศษอื่ น ๆ ที่
สามารถทำให้เกิดสมบัติอื่ น ๆ เข้ามาอีก แต่ในที่นี้เราขอยกตัวอย่าง ทั้ง 7 ข้อมา
เท่านั้น เพื่ อให้ไม่เกิดความสับสน

สมบัติข้อที่ 1 จะช่วยให้เราสามารถประหยัดเวลาในการคำนวณได้มาก คือ เมื่ อ
เราพบเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากับ 0 จะทำให้เลขยกกำลังตัวนั้นมีค่าเท่ากับ

1 ได้ทันที

สมบัติข้อที่ 2 โดยปกติแล้วการเขียนเลขยกกำลังนิยมเขียนให้เลขยกกำลังมีค่า
เป็นบวกอยู่เสมอ เพราะฉะนั้นสมบัตินี้จะช่วยให้เราสามารถเปลี่ยนเลขยกกำลัง

ที่ติดลบให้มาเป็นบวกได้

สมบัติข้อที่ 3 “เลขฐานเหมือนกันคูณกัน เลขยกกำลังนำมาบวกกัน” สมบัติใน
ข้อนี้จะช่วยให้เราสามารถยุบเลขยกกำลังที่มีเลขฐานเดียวกัน ให้สามารถเขียน

เพียงตัวเดียวได้

สมบัติข้อที่ 4 “ฐานเหมือนกันหารกัน เลขยกกำลังนำมาลบกัน” สมบัติในข้อนี้จะ
ช่วยให้เราสามารถยุบเลขยกกำลังที่มีเลขฐานเดียวกัน ให้สามารถเขียนเพียง

ตัวเดียวได้

สมบัตข้อที่ 5 สมบัติการกระจายเลขยกกำลัง เพื่ อความสะดวกในการยุบเลขยก
กำลังที่มีการซ้อนกัน ซึ่งควรระวังวงเล็บดี ๆ เนื่ องจากความหมายจะเปลี่ยนไป

ทันที ถ้าไม่ได้ใส่วงเล็บ

สมบัติข้อที่ 6 นี้คล้ายกับสมบัติข้อที่ 5 คือ ใช้หลักการการกระจายเหมือนกัน ข้อ
ควรระวังของสมบัตินี้คือ สามารถกระจายได้แค่การคูณและการหารเท่านั้น โดย

เลขยกกำลังจะไม่สามารถกระจายได้ในการบวกและการลบเด็ดขาด

สมบัติข้อที่ 7 นี้คล้ายกับสมบัติข้อที่ 5 และ 6 คือ ใช้หลักการการกระจายเหมือน
กัน ข้อควรระวังของสมบัตินี้คือ สามารถกระจายได้แค่การคูณและการหาร
เท่านั้น โดยเลขยกกำลังไม่สามารถกระจายได้ในการบวกและการลบเด็ดขาด



แบบฝึกหัด