1-Complexes-Rév-Bac18-SE

Mr ABIDI Farid Révision Bac 2018 SE
NOMBRES COMPLEXES

Exercice 1:

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O,  ). Pour tout entier naturel n, on note An
u,v

le point d’affixe zn défini par : z0 = 1 et zn+1 =  3  3 i  zn.
4 4

On définit la suite (rn) par rn = |zn| pour tout entier naturel n.

1. Donner l’écriture exponentielle du nombre complexe 3  3 i .
44

2. a. Montrer que la suite (rn) est géométrique de raison 3 .
2

b. En déduire l’expression de rn en fonction de n.
c. Que dire de la longueur OAn lorsque n tend vers +∞ ?

3. a. Démontrer que le triangle OAnAn+1 est rectangle en An+1.

b. Démontrer par récurrence que : zn = rn ei n .
6

c. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles An est un point de l’axe des ordonnées.

d. Compléter la figure donnée ci-dessous, en représentant les points A6, A7, A8 et A9. (Les traits

de construction seront apparents.)

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NOMBRES COMPLEXES

Exercice 2:

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct  O,    . On considère les points A et B d’affixes
 
u, v

respectives a  1  i 3 et b  3  1 i .
22 22

1. a- Donner l’écriture exponentielle de chacun des nombres complexes a et b.

b- Vérifier que b est une racine carrée de a.
2. Soit C le point d’affixe c = a + b.

a- Placer les points A, B et C.

b- Vérifier que ca  2 6 i .

2 e4

3. On considère dans l’ensemble , l’équation (E) : z2  z  c  0 .
a- Vérifier que b est une solution de l’équation (E).
b- On désigne par d la deuxième solution de l’équation (E).

Montrer que d  2 6 i11 .

2 e 12

c- Placer alors le point D d’affixe d.

Exercice 3:

1. Soit  un réel de l’intervalle 0, .

Résoudre dans l’ensemble l’équation z2  2iz 1 e2i  0.

2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct    , on considère les
 
O,u, v

points A, M et N d’affixes respectives -1 + i, i  ei et i  ei où  est un réel de 0, .



a- Montrer que les vecteurs AM et AN sont orthogonaux.

b- Montrer que lorsque  varie dans 0, les points M et N varient sur un cercle  que l’on

déterminera.

3. a- Déterminer en fonction de  l’aire S  du triangle AMN.

b- Déterminer la valeur de  pour laquelle l’aire S  est maximale et placer dans ce cas les points
M et N sur le cercle  .

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NOMBRES COMPLEXES

Exercice 4:
On considère le polynôme, à variable complexe z, P(z)  9z4  24z3  50z2  24z  41.
1. Montrer que si z0 est une racine de P, alors z0 est aussi de P.

2. Vérifier que i est une racine de p et en déduire une autre racine de P.

3. Déterminer trois nombres complexes a, b et c tels que pour tout nombre complexe z,

Pz  z2 1az2  bz  c .

4. Résoudre dans l’équation P(z) = 0.

5. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct  O,    (unité graphique 3 cm).
 
u, v

On désigne par A, B, C et D les points d’affixes respectives zA  i , zB  i ,

zC  4  5i et zD  4  5i.
3 3 3 3

a- Placer les points A, B, C et D.

b- Montrer que zC  zA et zC  zB sont imaginaires purs.
zD  zA zD  zB

c- En déduire la nature exacte des triangles ACD et BCD.

d- Montrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et

le rayon.

Exercice 5 :

Dans la figure ci-dessous,  O,    est un repère orthonormé direct du plan, (C) est le cercle de
 
u, v

centre O et de rayon 1 et A est le point de (C) d’abscisse 5 1 et d’ordonnée positive. On note
naal’al’afffixfiexeddeeAA. . 4

1. Soit  une mesure de l’angle     .
 
u, OA

a- Donner , en fonction de  , l’écriture exponentielle de a , a , a2 et 2

a.

b- Construire sur l’annexe les points B, C et D d’affixes a , a2 et 2

a.

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NOMBRES COMPLEXES

2. a- Justifier que a  a  5 1
2

b- Montrer que a et a sont les solutions de l’équation (E) : z2  5 1 z  1  0 .
2

3. a- Montrer que pour tout nombre complexe z, z5  1   z  1  2  5 1z    5  1 z  
z  1 z2 1
 2  2 

b- En déduire que a est une racine cinquième de l’unité.

4. a- Donner sous forme exponentielle les racines cinquièmes de l’unité distinctes de 1.

2i

b- Vérifier que e 5 est l’unique racine cinquième de l’unité dont la partie réelle est la partie

imaginaire sont strictement positives.

2i

c- En déduire que a  e 5 .

5. Soit I le point d’affixe 1. Montrer que I, A, C, D et B sont les sommets d’un pentagone régulier.

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Suites réelles

Exercice 1

On considère les fonction f et h définies sur l’intervalle K = [1, 2] par :

f x  1 2lnx 1  lnx2 1 et hx  f x  x .

fx  2  2x . En déduire que les fonctions f et h sont

x  1 x2  1
 1.a- ,
Vérifier que , pour tout x de K

strictement décroissantes sur K.

b- Montrer que, si x appartient à K , alors f(x) appartient à K.
c- Montrer que l’équation f(x) = x admet une unique solution  .

2. Ci-dessous est tracée la courbe (C) de la fonction g définie sur 0, par

x g  x 2 2x  1 dans un repère orthonormé  O,    du plan.
x2  
 1 i, j

a- Justifier que, pour tout x de K, fx  1 .

4

b- Montrer que , pour tout x de K, f x    1 x   .

4

3. On considère la suite un  de premier terme u0  1 telle que, pour tout entier naturel n,
5

un1  f un  .

a- montrer que, pour tout n > 0, 1  un  2 .

b- Montrer que , pour tout n > 0, un1   1 un   .
4

c- Montrer que, pour tout entier n , un    1 n+1 . En déduire la limite de la suite un  .
 4 

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Suites réelles

Exercice 2

1. Soit un  la suite géométrique de premier terme u0  1 et de raison 1 .
3 3

a) Calculer u1 .

b) Déterminer lim un .

n

c) Pour tout entier naturel n, on pose Sn  u0  u1  ...  un .

Montrer que Sn  1 1  1  .
2 3n1 

2. En étudiant les variations de la fonction h : x ex 1 x , montrer que, pour tout réel x,
1 x  ex .

3. Soit vn  la suite définie, pour tout entier naturel n , par vn  1 u0   1 u1  ... 1 un  .

a) Calculer v0 et v1 .

b) Montrer que la suite vn  est croissante.

c) Montrer que, pour tout entier naturel n, vn  e .11 1 
2 3n1 

d) Montrer que la suite vn  est convergente.

e) Soit la limite de vn  . Montrer que 1   e .

Exercice 3

Pour tout entier naturel non nul n , on pose 1 xn ln( 2  x) dx .
Un =
0

1) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que : U1  2ln2 5.
4

2) a- Montrer que pour tout n > 0, U n  0 .

b- Montrer que la suite U est décroissante et en déduire qu'elle est convergente.

3) a- Montrer que pour tout n > 0, 0 Un  ln 2 .
n1

b- En déduire la limite de la suite U .

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Suites réelles
Exercice 4

Soit  un réel strictement supérieur à 1. La courbe (C) ci-dessus , représente la fonction f définie

sur , par f x  1 ex . L’axe des abscisses est asymptote à (C) et (C) admet une demi-
x  ex

tangente parallèle à l’axe des abscisses au point d’abscisse  .

1. Déterminer une primitive F de f sur , .

n1

2. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose un  f x dx .
n

a- Déterminer la valeur exacte de u2 puis donner une valeur arrondi de u2 au centième.

b- Montrer que, pour tout x de [n, n+1], f n 1  f x  f n et en déduire que
f n 1  un  f n .

c- Déduire que la suite un  est décroissante.

d- Montrer que la suite un  est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 5

On considère la suite un  définie pour tout entier naturel n par : un  e1 nx dx .
0 1 ex

1. a) Démontrer que u0  u1  1.

b) Calculer u1 et en déduire u0.

2. Prouver que pour tout entier naturel n, un  0 .

3. a) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, un  un1  1 en .
n

b) En déduire que pour tout entier naturel n non nul , un  1 en .
n

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Suites réelles

4. Prouver que un  converge vers une limite que l’on précisera.

Exercice 6

Soit f la fonction définie sur 0, par f x  ln  x  1  . On désigne par (C) la courbe
 x 

représentative de f dans un repère orthonormé  O,    .
 
i, j

1. Calculer lim f x et lim f x . Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
x0 x

2. a) Montrer que , pour tout x > 0, fx  1 .

x x  1

b) Dresser le tableau de variation de f.

3. Tracer (C).

4. Soit n un entier naturel non nul.

a) Montrer que l’équation fx  1 admet une solution unique xn dans 0, .

n

b) Vérifier que xn  1 .

1

en 1

c) Calculer lim xn .
n n

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Géométrie dans l’espace

Exercice 1 :

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct  O,     , on considère le
 
i, j, k

point A(-2, 0, 1) et la droite  dont une représentation paramétrique est

x  1  .
y  2 ,  
z  2  

1. a) Vérifier que la droite  ne passe pas par A.

b) Montrer que le plan (P) dont une équation cartésienne est x – z + 3 = 0 passe

par A et contient la droite  .

2. On considère dans le plan (P) le cercle (C ) de centre I(-3, -1, 0) et de rayon 3 .

a) Montrer que la droite  est tangente au cercle (C) au point B(-2, -2, 1).

b) Vérifier que A appartient à (C) et déterminer les coordonnées du point C de

 tel que (AC) soit tangente à (C).

3. On considère un point Mm  3, 1, m , où m est un réel différent de 3.

a) Montrer que I est le projeté orthogonal de M sur le plan (P).
   

b) Calculer, en fonction de m , le déterminant dét  IM, IA, IB .


c) Déterminer les coordonnées du point M tel que le volume du tétraèdre ABIM soit
égal à 2.

Exercice 2:

 Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct O,i, j, k , on considère les

points A(1,-1,1) , B(-2,2,1) , I  1 ,  1 ,1 et la droite (D) dont une représentation
 2 2

x 1 t .
paramétrique est y  t , t 

z  2t

1. Ecrire un système une représentation paramétrique de la droite (AB).

2. Monter que les droites (D) et (AB) se coupent en I.
3. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (P) déterminé par (D) et (AB) est

x + y + z – 1 = 0.

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Géométrie dans l’espace

4. On considère le point H  2,1, 5  .
 2 

a) Vérifier que I est le projeté orthogonal de H sur (P).

b) Vérifier que (D) et (AB) sont perpendiculaires.

c) K est un point de (D) tel que IK = IA. Calculer le volume du tétraèdre HABK.

Exercice 3
Dans la figure ci-contre, OABCDEFG est un cube
d’arête 1. On munit l’espace du repère orthonormé

   
direct  O, OA, OC, OD  .


1. a- Déterminer les composantes du vecteur



AC AD .
b- En déduire qu’une équation cartésienne du
plan (ACD) est x + y + z – 1 = 0.

2. Soit  la droite passant par O et perpendiculaire au plan (ACD).

a- Donner une représentation paramétrique de la droite  .

b- Déterminer les coordonnées du point H, intersection de  et du plan (ACD).

3. Pour tout réel m, on désigne par Sm l’ensemble des points M(x, y, z) de l’espace
tels que : x2  y2  z2  2mx  2my  2mz 1 3m2  0 .

a- Montrer que pour tout réel m, Sm est une sphère dont on précisera de centre Im
et le rayon r.

b- Déterminer les valeurs de m pour lesquelles Sm passe par le point A.

4. a- Vérifier que les centres des sphères S0 et S2 sont deux points de la droite  .

3

b- Justifier que le plan (ACD) coupe les deux sphères S0 et S2 suivant un même

3

cercle qu’on précisera.

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Géométrie dans l’espace

Exercice 4 :

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct  O,     .
 
i, j, k

1. Soit P et Q les plans d’équations respectives x+ y – z – 5 = 0 et x + y – z + 7 = 0.

Montrer que P et Q sont strictement parallèles.
2. Soit S l’ensemble des points M(x, y, z) de l’espace tels que

x2  y2  z2  2x  4y  2z 1  0 .

a) Justifier que S est la sphère de centre I(1, 2, 1) et de rayon R = 5 .

b) Montrer que P  S est un cercle C de centre J(2, 3, 0) dont on déterminera le

rayon.

c) Déterminer Q S .

3. On donne les points A(0, 0, 1) , B(0, 1, 2) et C(2, 2, 5).



a) Déterminer les composantes du vecteur AB AC .

b) Montrer que pour tout point M(x, y, z) de l’espace,

      2  x  y  z  1 .
 .
AB AC AM



4. Déterminer l’ensemble des points M de la sphère S pour lesquels ABCM est un

tétraèdre de volume égal à 2.

Exercice 5 :

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct  O,     , on considère les
 
i, j, k

points A(1,0,2) ,B(-2,1,-1) et C(0,0,1).



1. a) Déterminer les composantes du vecteur AB AC .

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Géométrie dans l’espace

b) Déduire que les points A, B et C déterminent un plan P dont une équation

cartésienne est x-z+1=0.

2. On considère les points I(1, -1, -1) et J   1 , 1, 1  et soit  la droite passant par I
 2 2 

et perpendiculaire à P.

a) Montrer que la droite  coupe le plan P en J.

b) Calculer la distance IJ.
3. Soit S l’ensemble des points M(x, y, z) de l’espace vérifiant
x2  y2  z2  2x  2y  2z  2  0 .

a) Montrer que S est une sphère de centre I et de rayon R que l’on déterminera.

b) Montrer que le plan P coupe la sphère S suivant le cercle C de centre J et de
rayon 1 .

2

4. On considère le point N1 cos , 1 sin , 3 , où 0, 2 .

a) Vérifier que N est un point de la sphère S.
b) Justifier que N n’appartient pas au plan P.

  
c) Montrer que  AB AC .AN  5  cos  .


d) En déduire la valeur de  pour laquelle le volume du tétraèdre ABCN est
minimal.

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Fonctions ln et exp

Exercise 1:

Soit f la fonction définie sur par f(x) = 2 e2x  ex .

On note Cf la courbe de f dans un repère orthonormé (O, i , j )
On donne dans l'annexe ci - jointe la courbe  de la fonction u: x 2ex
1) a- Dresser le tableau de variation de f

b- Etudier la position de Cf et  puis placer sur  le point B intersection de  et Cf

c- Utiliser  pour placer sur l'axe des abscisses les réels  ln 4 et  ln 2 .

d- Tracer Cf dans l'annexe. ( on précisera l'intersection de Cf avec les axes du repère) .
2) Calculer l'aire A du domaine du plan limité par Cf et les droites y = 0 , x = - ln 4 et x = - ln 2

3) Soit g la restriction de f sur l'intervalle I =  ln 4, 

a- Montrer que g réalise une bijection de I vers un intervalle J que l'on précisera
b- Tracer dans le même repère Cg1 courbe de g1 .

c- Calculer l'aire A' de la partie

du plan limitée par Cg1 et les droites

d’équations y  ln  1  , x  1
 4  8

et x = 0 .
d- Montrer que pour tout x de J,

g1( x)  ln  1  1 8x  .
 4 

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Fonctions ln et exp

Exercice 2 : et (C) sa courbe dans un repère orthonormé
Soit f la fonction définie sur par f(x) =

1) a- Calculer et .Interpréter graphiquement ces résultats

b- Vérifier que pour tout réel x f’(x)=

c- Dresser le tableau de variation de f.
d- Ecrire l’équation de la tangente T au point d’abscisses 0
e- On donne le tableau de signe suivant :

x- 0 +
-
f(x)-( ) +

Montrer que le point A(0, ) est un point d’inflexion pour la courbe de f.

2) Tracer (C) et T

3) a- Vérifier que pour tout réel x f(x)=
b- Calculer l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C) ,l’axe des abscisses et les

droites d’équations x= -1 et x = 1
4) a- Montrer que f admet une fonction réciproque f-1 définie sur ]0, 1[

b- Expliciter f-1(x) pour tout x dans ]0, 1[.
5) Soit n un entier supérieur ou égal à 2

a- Montrer que l’équation f(x)= admet dans une unique solution xn

b- Vérifier que xn = ln( ) ,déduire la limite de xn quand n tend vers + .

Exercice 3:

La figure ci-dessous, montre la courbe représentative () , dans un repère orthonormé

 O,    , de la fonction g définie sur l’intervalle 0,  par g x  a  bx  2ln x , où a et b sont
 
u, v

deux réels à déterminer. La courbe (  ) coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisse 1 et

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Fonctions ln et exp

 tel que 3    4 et admet qu’au point d’abscisse 2 une tangente parallèle à la droite des

abscisses y



O   x



1- a- Montrer que, pour tout x de ]0; [ par h(x) = 1 – x + 2lnx.

b- Vérifier que 3,51   3,52 .

Soit f la fonction définie sur ]0; [ par f (x)  1  2ln x .
x2

On désigne par (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ; i , j ) .

2- a- Déterminer le point d’intersection de (C ) avec l’axe des abscisses.

b- Montrer que les axes du repère sont asymptotes à (C ) .

3- a- Dresser le tableau de variations de f et montrer que f ( )  1 .


b- Tracer (C ) .

c- Calculer , l’aire A   en unités d’aire, de la partie du plan limitée par (C) et les droites

d’équations respectives x = 1 , x =  et y = 0.
4- a- Montrer que la restriction de f à l’intervalle [1;  [ admet une fonction réciproque f 1 .

 b- Montrer que f 1 est dérivable en 1 est déterminer f 1  1  .
   

n 1

5. Soit (I n ) la suite définie, pour n  4 , par In  f (x) dx .

n

a- Démontrer que, pour tout x dans l’intervalle [ 4; [ , 0  f (x)  1 .
x

b- En déduire que, pour tout entier naturel n  4, 0 In  ln  n 1  .
 n 

c- Montrer que la suite (In ) est convergente et donner sa limite.

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Fonctions ln et exp

Exercice 4:

Soit f la fonction définie sur 0, par f x  x 1 ln x . La courbe représentative (C) de la

fonction f est donnée ci-dessous.

Partie A

1. Etudier le signe de f(x) suivant les valeurs du nombre réel x.
2. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.

3. Déterminer la dérivée de la fonction f sur l’intervalle 0, et dresser le tableau de
variation de f sur 0, .

4. Soit a un nombre réel strictement positif. On considère la tangente Ta  au point A de la

courbe (C) d’abscisse a.
a- Déterminer, en fonction de a, les coordonnées du point A’, point d’intersection de la

droite Ta  et de l’axe des ordonnées.
b- Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente Ta  . Sur la figure,

construire la tangente Ta  au point A placé sur la figure.

Partie B

Soit a un nombre réel strictement positif. On note l’aire A(a) la mesure en unités d’aire, de
l’aire de la région du plan limitée par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites
d’équations respectives x = a et x = e.

e

1. Justifier que A(a) = f x dx .
a

2. Calculer A(a) en fonction de a.

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Statistiques & Probabilités

Exercice 1 :
Le tableau suivant donne, en milliers, le nombres de Pactes civils de solidarités (PACS) signés
chaque année en Tunisie :

Années 2011 2012 2013 2014 2015

Rang de 0 1 2 3 4

l’année, xi

Nombres de 22,1 19,4 25 31,1 39,6

PACS en

milliers, yi

1. a- A l’aide de la calculatrice , donner l’équation de la droite d’ajustement de y en x par la

méthode des moindres carrés, sous la forme y = ax + b. Par suite , on pose f(x) = ax + b.

b- En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu’en 2018, donner une estimation du

nombres de milliers PACS signés en 2018.

2. On modélise le nombre de milliers de PACS durant l’année 2000 +x ( x entier naturel) à l’aide
de la fonction g définie par g(x)  1, 6.x2 1,8.x  21, 4 .

a- En utilisant ce second modèle, calculer le nombre de milliers de PACS en 2018.
b- On suppose que l’évolution se poursuit selon ce modèle jusqu’en 2021.

Le nombre de milliers de PACS en 2021 sera-t-il supérieur à 100 milles ? justifier.

Exercice 2:
Une urne U contient neuf boules : trois boules rouges numérotées 0 , deux boules vertes
numérotées 1 et quatre boules bleues numérotées 2.
Partie A
On tire simultanément et au hasard 3 boules de cette urne.
On considère les évènements suivants :
M : « les trois boules tirées sont de la même couleur »
N : « le produit des nombres portés par les trois boules tirées est égal à 0 ».
1) Calculer p(M).

2) a- vérifier que pN  16 .

21

 b- Calculer pM N et vérifier que p M  N  3 .
4

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Mr ABIDI Farid Révision Bac 2018 SE
Statistiques & Probabilités

3. Sachant que les trois boules tirées n’ont pas la même couleur, calculer la probabilité que le
produit des nombres portés par les trois boules tirées soit égal à 0.

Partie B
Dans cette partie, on tire au hasard une boule de l’urne U.
On ne remet pas cette boule dans l’urne :

 Si la boule tirée est numérotée 0, on tire alors simultanément et au hasard deux boules
de U.

 Si la boule tirée n’est pas numérotée 0, on tire alors au hasard une boule de U.
Calculer la probabilité que la somme des nombres portés par les boules tirées soit égal à 3.

Exercice 3:
Un amateur fabrique des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des
composants en apparence tous identiques mais dont certains présentent un défaut. On estime
que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02.

Partie A

On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important
que l’achat de 50 composants soit assimilé à 50 tirages indépendants avec remise, et on appelle
X le nombre de composants défectueux achetés. Cet amateur achète 50 composants.

1. Quelle est la probabilité qu’exactement deux des composants achetés soient défectueux ?
donner une valeur approchée de cette probabilité à 10−1 près.

2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des composants achetés soit défectueux ? Donner une
valeur approchée de cette probabilité à 10−2 près.

3. Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux ?

Partie B

On suppose que la durée de vie T1 (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi
exponentielle de paramètre 1  5104 et que la durée de vie T2 (en heures) de chaque
composant non défectueux suit une loi exponentielle de paramètre 2  104 .

1. Calculer la probabilité que la durée de vie d’un composant soit supérieur à 1 000 heures :
a) Si ce composant est défectueux ;
b) Si ce composant n’est pas défectueux.

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Mr ABIDI Farid Révision Bac 2018 SE
Statistiques & Probabilités

Donner une valeur approchée de ces probabilités à 10−2 près.
2. Soit T la durée de vie (en heures) d’un composant acheté au hasard.

Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état de marche après t

heures de fonctionnement est : pT  t  0,02.e5104 t  0,98.e104 t .

3. Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner 1 000 heures après son
installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux ?
Donner une valeur de cette probabilité à 10−2 près.

Exercice 4 :
On dispose de deux boîtes identiques B1 et B2 .
Dans la boîte B1 il y a quatre boules rouges et deux boules blanches et dans la boîte B2 , il y a

quatre boules rouges, trois boules blanches et une boule noire.

A- On met les deux boîtes B1 et B2 dans un même sac. On tire au hasard une boîte de ce sac

puis on tire au hasard et simultanément trois boules de cette boîte.
1) Soit les événements suivants :

E : « les boules tirées sont trois boules rouges de la boîte B1».

F : « les trois boules tirées sont rouges ».

1
a- Montrer que la probabilité de E est égale à 10 .

b- Calculer la probabilité de F.
2) a- Quelle est la probabilité d'obtenir la boule noire parmi les trois boules tirées ?

b- Quelle est la probabilité de tirer trois boules de trois couleurs différentes ?

B- On met toutes les boules des deux boîtes B1 et B2 dans une urne U.

On tire simultanément et au hasard trois boules de l'urne U.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées.

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Mr ABIDI Farid Révision Bac 2018 SE
Statistiques & Probabilités

1) Déterminer la loi de probabilité de X.
2) Calculer l'espérance mathématique E(X).

Exercice 5:

Une urne contient n  10 boules ( n  2 ): n boules blanches, 6 boules rouges et 4 boules noires.
A- On tire simultanément et au hasard 2 boules de l’urne.

1) Calculer la probabilité q(n) de tirer deux boules blanches.

2) On note p(n) la probabilité de tirer deux boules de même couleur.

a- Montrer que p(n) = n 2  n  42 .
(n 10)(n  9)

b- Vérifier que lim p(n) = lim q(n). Interpréter ce résultat.
n n

c- Existe-t-il un cas où p(n) = 31 ?
105

B- On suppose dans cette partie que n = 3.

Un jeu consiste à tirer simultanément et au hasard 2 boules de l'urne.
Si les 2 boules tirées sont de même couleur, le joueur marque + 4 points ;

Sinon, il marque –1 point.
Le joueur répète le jeu deux fois en remettant, après le premier jeu, les boules tirées dans

l’urne.

Soit X la variable aléatoire égale à la somme des points marqués par le joueur.
1) Justifier que les valeurs de X sont : –2 ; 3 et 8.

2) Déterminer la loi de probabilité de X.
3) Calculer l’espérance mathématique E(X).

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Mk;>gxr ABIDI Farid TUNISIENNE Révision BEapcre2u0v1e8; Mathematiques SE

REPUBLIQUE L’EDUCATION |; Section : Sciences experimentales
MINISTERE DE Xv!

1 ••o«# Duree : 3h'**»*%•*•» Coefficient : 3
X; EXAMEN DU BACCALAUREAT
>X Session de controle

SESSION 2017

Le sujet comporte 4 pages .La page 4/4 est a rendre avec la cople.

Exercice 1 (5 points) G

( kjOn munit Pespace d’un repere orthonorme direct o, i, j, . I
l
l

Dans la figure ci-contre OABCGDEF est un cube tel que I

I E
B
A(3,0,0) ; C(0,3,0) et G(0,0,3). DI

I

1) a) Justifier que E a pour coordonnees (3,3,3) et donner j |k -f
celles de D. J
i

b) Determiner les coordonnees du point Q milieu de[CD] . /S o c

2) a) Determiner les composantes du vecteur AE A AG . *

¥

b) Calculer le volume du tetraedre OAEG . A
3) On designe par P le plan passant par les points A , E et G.

a) Montrer que la droite (CD) est perpendiculaire au plan P.

b) Montrer qu’une equation cartesienne du plan Pest x - y + z -3 = 0 .

4) Soit (S) Pensemble des points M(x, y ,z) de Pespace

tels que x2 + y2 + z2 -3x -3y -3z + 6 = 0

a) Montrer que (S) est une sphere dont on precisera le centre et le rayon.
b) Montrer que (S) et P sont tangents en un point H dont on determinera les coordonnees.

Exercice 2 (5points)

A/1) a) Justifier que

b) Determiner les racines cubiques du nombre complexe 2 A/2 i.

( )2) Le plan est rapporte a un repere orthonorme direct O, u, v

Dans la figure de Pannexe ci-jointe :
- (C )estle cercle de centre O et de rayon A/2 .

- —A et D sont les points d’affixes respectives z - A/2 i et ZD =~ 2A/2 i.
^a) Construire dans Pannexe les points B et C d’affixes respectives

. n . 571

zg = A/2 e 6 et ZQ = A/2 e 6 . / /A

—/b) que Zg = /—A6 . A 2 et que ZQ = 6 . A 2
que (BC)
c) +i +i
Verifier _L2(AD).2 22
Montrer

d) Montrer que le quadrilatere ABDC est un losange.

1/4

B/ Soit aun nombre complexe non nul. On designe par M, N et P les points d’affixes

frespectives
zM = a , . 271 K- >

zN = ae 3 et Zp = ae

1) a) Calculer zN3 et zP3 .
b) En deduire la nature du triangle MNP .

2) Soit Q le point d’affixe zQ = a3 .

a) Montrerque

(le quadrilatere MNQP est un losange) equivaut a ( a3 = -2a ).

b) Determiner les valeurs de a pour lesquelles MNQP est un losange.

Exercice 3 (5 points)

Soit f la fonction definie sur ]0,+co[ par f (x) ln(x) et (C) sa courbe representative dans
ln(x +1)

( )un repere orthonorme o,i, j .

1) a) Calculer lim f (x). Interpreter graphiquement le resultat.

—x »0+

—b) Verifier 1 ).
que pour tout reel xe|0,+oo[ , ln(x + l)=ln(x)+ ln (l + x

c) Deduire que lim f (x) = 1. Interpreter graphiquement le resultat.
X -*+OC

2) a) Montrer que pour toutx e ]0, +oo[ , f '(x) = x (ln(x + 1) - In x) + ln(x + 1)
x (x + l)ln 2 (x + 1)

b) En deduire que f est strictement croissante sur [] 0, + QO .

c) Dresser le tableau de variation de la fonction f.

d) Tracer la courbe (C) tout en precisant son intersection avec l’axe des abscisses.

3) Montrer que f admet une fonction reciproque f 1 definie sur ]- oo,l [ .

—4) Pour tout entier naturel _ 1( ).
n >2, on pose an =f
n

a) Calculer lim an .
n ~*+oo

xnanb) Montrer que est une solution de l’equation = x + 1.

c) Calculer lim (an )n .
n-» +oo

2 /4

Exercice 4 ( 5 points )
Dans la figure ci-dessous :

. j(la courbe (C) est la representation graphique dans un repere orthogonal o,i, j d’une

fonction f solution d’une equation differentielle du type y' = ay + b oil a G 1* et b G M .
. la droite D est la tangente a (C) au point O.
. f(4) = 2-2e-l
_
On designe par S l’aire en (u.a ) de la partie hachuree et on admet que S = I .
8e

2- D
(C)

—2 2 e-1

* - ~-~ 1

i -t
i
! 3

/ TT

TT 4

O t1 :
S
f

1) a) Par une lecture graphique, donner f (0) et f '(0) .

^ — —2)
b) En deduire que b=- .

a) Justifier que pour tout reel x, f (x) = 1 ( f '(x) 1
a 2
V

b) En deduire que S= -2 e-l

a

c) Montrer alors que a = -0,25 .

3) Montrer que pour tout reel x, f (x)= 2 - 2e-0.25x

4) On admet que la restriction de la fonction f sur l’intervalle [0, + oo[ modelise revolution de

la hauteur d’une certaine espece de mai's. Autrement d i t : si on note h(t) la hauteur en

metres de cette espece de mai's a 1’instant t (exprime en semaines) alors h (t)= 2 - 2 e- 0.251

a) Determiner la hauteur d’une plante de mais au bout de trois semaines.

b) Au cours de quelle semaine la hauteur d’une plante de mai's depassera-t-elle 198 cm ?

3 /4

Section : N° description : Serie : Signatures des surveiHants

Nom et Prenom :

Date et lieu de naissance : . .

X

Epreuve : Mathematiques Section : Sciences experimentales

Annexe a rendre avec la copie

-D

4 /4

smm Révision BaEcp2r0e1u8ve : Mathematiques SE

Mr ABIDIRFEaPrUidBLIQUE TUNISIENNE Section : Sciences experimentales
MINISTERE DE L’EDUCATION
Duree : 3h Coefficient : 3
••o««
Session principale X
EXAMEN DU BACCALAUREAT
X
SESSION 2017 X
X

Le sujet comporte 4 pages .La page 4/4 est a rendre avec la copie.

Exercice 1 ( 5 points )

( jL’espace est rapporte a un repere orthonorme direct o, i, j, k .

On considere les points A(2,2,l), B(0,-2,4) etC(2,0,- 4).

1) a) Determiner les composantes du vecteur OB A BC.

b) On note P le plan (OBC).

En remarquant que OB A BC = 4 OA , justifier que la droite (OA) est perpendiculaire

au plan P en O.

Vc) Montrer que la distance du point O a la droite (BC) est egale a 2 .

2) Soit (S) l’ensemble des points M( x, y,z) de l’espace tels que :

x2 + y2 + z2 - 4x -4y - 2z -2 = 0.

VTlMontrer que (S) est la sphere de centre A et de rayon .

3) a) Calculer la distance OA.
b) En deduire que le plan P coupe la sphere (S) suivant un cercle (C) de centre O

et de rayon 4l .

c) Montrer que la droite (BC) est tangente au cercle (C).

4) On considere le point H(l,-1,0).

a) Montrer que H est le point de contact de la droite (BC) et du cercle (C).

b) Determiner une equation cartesienne du plan Q tangent a (S) en H.

Exercice 2 ( 4,5 points )

1) On considere dans C l’equation (E) : z2 - (VJ + 2i) z + 1 + 4>/Ji = 0.

a) Calculer { ^[5 + 2ij .

( V )b) Verifier que le discriminant de l’equation ( E ) est A =-3 5 + 2i 2.

c) En deduire que les solutions de (E) sont :

et b = (-s/5 + 2i) l -iyfe

2

1/4

( vjestDans la figure 1 de Pannexe ci-jointe, o,u, un repere orthonorme direct du plan,

(C) est le cercle de centre O et de rayon 3.

V2) Soit Q le point d’affixe ? + 2i.

a) Montrer que le point Q appartient a (C).

b) Construire alors le point Q.

3) Soient A et B les points d’affixes respectives les nombres complexes a e t b.

a) Montrer que les points A et B appartiennent au cercle (C).

b) Verifier que OA + OB = OQ .

c) En deduire que le quadrilatere OAQB est un losange.

d) Construire alors les points A et B.

Exercice 3 (7points)

( j eSoient f la fonction definie sur IR par f (x ) = l + x2 x e t (C) s a courbe representative dans

j j(un repere orthogonal o,i, .

1) a) Calculer lim f ( x).

——X > 00

b) Montrer que lim f (x ) =- oo et interpreter graphiquement le resultat.

x —> —oo x

c) Montrer que lim f ( x )= 0 et interpreter graphiquement le resultat.
X-» +00 _

2) a) Montrer que pour tout reel x, f '( x ) = - ( x - l ) e x .

b) Dresser le tableau de variation de f.

3) a) Determiner une equation cartesienne de la tangente a (C) au point J d’abscisse 0.

b) Soient A et B les points de (C) d’abscisses respectives 1 et 3.

Montrer que A et B sont deux points d’inflexion de (C).

4) Dans la figure 2 de l’annexe ci-jointe :

( )r- ( ) est la courbe representative dans le repere o,i, j de la fonction g definie surIR

par g(x) = ex .

- E et F sont les points de (f ) d’abscisses respectives (-1) et lnlO-3.

- G est le point de coordonnees (0 , 1-6e ).

a) Exprimer f (l) e n fonction de g(-l) et f (3) en fonction de g(-3).

b) En remarquant que 10 g(-3) = g(l n l O - 3), placer les points A et B dans l’annexe.

2/4

—5) a) Soit K le point de coordonnees ( 1 1 , 0).
2
Montrer que la droite ( BK) est la tangente a la courbe (C) au point B.

b) Tracer la courbe (C) dans Pannexe (On placera les tangentes a ( C) en A, en J et en B ).

6) Soit S l’aire en (u.a) delapartie E du plan limitee par la courbe ( C ), l’axe des

abscisses et les droites d’equations cartesiennes x = 0 et x = 3 .

a) Hachurer E .

( jeb) Soit F la fonction definie sur IR par F(x) = - x2 + 2x + 3 x.

Montrer que F est une primitive de f sur IR.
c) Calculer S.

—d) Verifier que la valeur moyenne de f sur Pintervalle [0,3] est egale a> 1 -6e 3.

e) Tracer dans la figure 2 un rectangle d’aire egale a S.

Exercice 4 (3,5points)

Si une femme enceinte porte un seul foetus, on dit qu’elle a une grossesse unique sinon on dit
qu’elle a une grossesse multiple.
Dans une ville, une etude faite sur une population de femmes enceintes montre que

• le pourcentage des femmes ayant une grossesse multiple est de 5%,

• parmi les femmes ayant une grossesse multiple, 55% finissent par accoucher dans le delai prevu,
• parmi les femmes ayant une grossesse unique, 92 % finissent par accoucher dans le delai prevu.

On choisit au hasard une femme de cette population.
On designe par U et D les evenements suivants :

U : « la femme a une grossesse unique ».
D : « la femme accouche dans le delai prevu ».

1) a) Determiner p(U)

b) En utilisant les evenements U et D, traduire en terme de probabilites

les pourcentages 92 % et 55 %.

2) a) Calculer p(D) .

b) Une femme a accouche dans le delai prevu, montrer que la probability que sa grossesse

soit unique est egale a 0,9694.

3) Le service de matemite de cette ville prevoit qu’en Juillet 2017, n femmes enceintes

devraient accoucher dans le delai prevu, ( n >2 ).
On note pn la probability qu’au moins une de ces femmes ait une grossesse multiple.
a) Exprimer pn en fonction de n.

b) Quel est le nombre minimal des femmes qui devront accoucher en Juillet 2017
dans le delai prevu pour que la probability pn soit superieure a 0,9 ?

3/4

Section : N° d’inscription : Serie : Signatures des surveillants

Nom et Prenom :

Date et lieu de naissance :

X

Epreuve : Mathematiques Section : Sciences experimentales

Annexe a rendre avec la copie

Figure 1 i

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4/4