Diferensial Fungsi Sederhana

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan
dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan
diferensial dapat pula disidik kedudukan–kedudukan khusus dari fungsi yang sedang
dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya – jika ada. Pada
makalah ini membahas diferensial yang menyangkut fungsi yang mengandung hanya
satu variabel bebas dalam persamannya. Pengertian diferensial, hakekat derivat, kaidah–
kaidah diferensial, penggunaanya dalam penyidikan titik ekstrim sebuah fungsi dan
penerapan ekonominya diuraikan di sini.

1.1 KUOISIEN DIFERENSI DAN DERIVATIF

Jika y = f(x) dan terdapat tambahan variabel bebas x sebesar  x (baca : “delta
x” ), maka bentuk persamaannya dapat dituliskan menjadi :

y = f (x)

y + y = f (x + x)

y = f (x + x)− y

y = f (x + x)− f (x)

Dimana  x adalah tambahan x, dan  y adalah tambahan y berkenaan dengan
adanya tambahan x. Jadi  y timbul karena adanya  x. Apabila ruas kiri dan ruas kanan
persamaan terakhir di atas sama–sama dibagi  x, maka diperoleh :

()()

Bentuk Δy/Δx disebut dengan hasilbagi perbedaan atau kuesion diferensi
(difference quotiont), mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y
terhadap variabel bebas x.

Proses penurunan sebuah fungsi, disebut juga proses pendiferensian atau
diferensiasi, pada dasarnya merupakan penentuan limit suatu kousien diferensi dalam
hal pertambahan variabel bebasnya sangat kecil atau mendekati nol. Hasil dari proses
diferensiasi disebut turunan atau derivatif (derivative).

Jadi, diferensial adalah proses untuk memperoleh derivative (turunan).
Diferensiable yaitu fungsi yang mempunyai derivative atau dapat didiferensialkan.

Notasi diferensial dari suatu fungsi f(x) sebagai berikut :
Jika suatu fungsi ; Y = f (x) didiferensialkan/diturunakan maka turunan pertamanya :
Y’ = f’ (x) = dy = Δy (dy/dx = deye de-eks, Δ = delta)

1.2 KAIDAH-KAIDAH DIFERENSIASI

Secara umum, membentuk turunan sebuah fungsi dapat dilakukan dengan cara
terlebih dahulu menemukan kuosien diferensianya, kemudian menentukan limit kousien
diferensi tersebut untuk pertambahan variabel bebas mendekati nol. Jelasnya, langkah–
langkahnya adalah sebagai berikut :

1. Andaikan fungsi aslinya ialah y = f (x)

2. Masukkan tambahan x dan tambahan y untuk memperoleh y + y = f (x + x)

3. Manipulasikan untuk memperoleh y = f (x + x)− f (x)

4. Bagi kedua ruas dengan  x sehingga diperoleh kuosien diferensinya

()()

5. Tentukan limitnya untuk  x → 0, sehingga diperoleh turunan fungsinya
()()

1.3 DERIVATIF DARI DERIVATIF

Sesungguhnya setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali, tergantung
pada derajatnya. Dengan perkataan lain, turunannya masih bisa diturunkan lagi.
Turunan pertama (firs derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi awal atu
fungsi aslinya. Turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari
turunan pertama, turunan ketiga (third derivative) adalah turunan dari turunan kedua,
dan seterusnya.

Contoh : y = f (x) = x3 – 4x2 + 5x - 7

y’ = dy/dx = 3x2 – 8x + 5

y” = dy/dx = 6x - 8
y”’ = dy/dx = 6

= dy/dx = 0

1.4 HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA
Pendekatan kalkulus diferensial amat berguna untuk menyidik bentuk gambar

suatu fungsi non-linear. Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama (first
derivative) dan turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi, akan dapat dikenali
bentuk gambar fungsi tersebut.

1.5 FUNGSI MENAIK DAN FUNGSI MENURUN
Derivatif pertama dari sebuah fungsi non–linear dapat digunakan untuk

menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik ataukah menurun pada
kedudukan tertentu. Dalam kasus khusus, derivatif pertama dapat pula menunjukkan
titik ekstrim sebuah fungsi non-linear.
Decreasing Function (Fungsi Menurun)

Fungsi menurun adalah suatu kondisi dimana
nilai fungsi y menurun pada saat nilai x
bertambah sehingga kemiringan kurva negatif. y’
= dy/dx = tg α < 0

Increasing Function (Fungsi Menaik)
Fungsi menaik adalah suatu kondisi dimana nilai
fungsi y menaik pada saat nilai x bertambah
sehingga kemiringan kurva positif: y’ = dy/dx =
tg α > 0

1.6. TITIK EKSTRIM : MAKSIMUM - MINIMUM DAN TITIK BELOK
FUNGSI

Titik maksimum dan titik minimum suatu fungsi kuadrat atau kubik (jika ada),
serta titik beloknya, dapat dicari melalui penelusuran terhadap derivatif pertama dan
derivatif kedua fungsinya. Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik
(titik) ekstrimnya, sedangkan derivatif kedua bermanfaat guna mengetahui jenis titik (-
titik) ekstrim yang bersangkutan dan menentukan letak titik beloknya.