matematika PERSAMAAN KUADRAT B U K U P E G A N G A N S I S W A M A T E M A T I K A S M P / M T S P P G P R A J A B A T A N G E L O M B A N G 1 2 0 2 2 L I S T Y A H I K M A W A T I
Hak Cipta TIDAK DIPERDAGANGKAN Belajar Matematika Dengan Menggunakan Metode Problem Based Learning Untuk Kelas IX SMP/MTS Penulis : Pembimbing : Ukuran Buku : 210 x 297 mm i Listya Hikmawati PPG Prajabatan Gelombang 1 2022 Indonesia, Universitas Islam Malang Dr. Yayan Eryk., M.Pd.
Kata Pengantar Puji syukur terhadap Tuhan Yang Maha Esa, karena atas limpahan rahmat dan karunia-Nya, penyusunan buku Matematika sub bab Persamaan Kuadrat untuk SMP kelas IX dapat diselesaikan Buku ini menyajikan materi pembelajaran persamaan kuadrat secara sederhana, efektif, dan mudah dimengerti yang disertai dengan contoh soal dalam kehidupan sehari-hari. Selain itu juga dilengkapi dengan contoh soal dan latihanlatihan dari setiap materi. Sesuai dengan tujuan dan pembelajaran matematika, siswa diharapkan dapat memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep dan mengaplikasikannya untuk memecahkan masalah. Siswa juga diharapkan mampu menggunakan penalaran, mengkomunikasikan gagasan dengan berbagai perangkat matematika, serta memiliki sikap menghargai matematika dalam kehidupan. Akhirnya kami mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu penerbitan buku ini. Penyusun ii sub aksi nyata pada mata kuliah teknologi baru dan pengajaran Buku ini disusun sebagai salah satu tugas akhir pada topik 7: Meningkatkan Pembelajaran dengan Multimedia. Malang, 19 Januari 2023
Daftar Isi Hak Cipta ………………………………………………………………………………………... i Kata Pengantar ……………………………………………………………………………...ii Daftar Isi ……………………………………………………………………………………... iii Petunjuk Buku………………………………………………………………………………….iv Sub bab Persamaan Kuadrat ……………………………………………………...ix Peta Konsep …………………………………………………………………………………….x Pengenalan Tokoh ………………………………………………………………………. xi 1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat …………………………………. 1 2. Menetukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat ……………….. 2 3. Jenis-Jensi Akar-Akar Persamaan Kuadrat ……………... 5 4. Jumlah Dan Hasil Kali …………………………………………………….. 6 5. Menyusun Persamaan Kuadrat ………………………………………7 Uji Kompetensi I …………………………………………………………………………...11 iii
PETUNJUK UMUM PENGGUNAAN BUKU iv
Persamaan Kuadrat Materi bahasan yang akan dipelajari Kompetensi Inti Kompetensi Inti Matematika SMP Kelas IX Kurikulum 13 Kompetensi Dasar Kompetensi Dasar Matematika SMP Kelas IX Kurikulum 13 Indikator Pencapaian Penanda/harapan pencapaian siswa dalam pembelajaran v
Peta Konsep Poin-poin yang akan dipelajari pada sub bab ini Contoh Soal yang digunakan untuk pemahaman siswa Masalah Permasalahn konstektual untuk mendalami materi vi
Ayo menalar Latihan bagi siswa untuk memhamai materi secara konstektual vii
Persamaan Kuadrat 3. Memahami dan menerapkan pengetahuan (factual, konseptual, dan procedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata 4. Mengolah, menyaji, dan menalar dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di KOMPETENSI INTI 3.2 Menjelaskan persamaan kuadrat dan karakteristiknya berdasarkan akarakarnya serta cara penyelesaiannya 4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan permasalahan kuadrat KOMPETENSI DASAR IPK 3.2 3.2.1 Siswa dapat menjelaskan pengertian dan akarkteristik persamaan kuadrat dengan benar 3.2.2 Siswa dapat menyelesaikan permasalahan mengenai persamaan kuadrat dengan tepat IPK 4.2 4.2.1 Siswa dapat menyajikan masalah konstektual dalam bentuk persamaan kuadrat dengan tepat 4.2.2 Siswa dapat menyelesaikan masalah konstektual mengenai persamaan kuadrat dengan tepat Indikator Pencapaian Kompetensi Dasar viii
ix
Peta Konsep PERSAMAAN KUADRAT (PK) Menetukan Akar-Akar PK Diskriminan Jenis-Jenis Akar Rumus Jumlah dan Hasil Menyusun PK Pemfaktoran Melengkapkan Kuadrat Sempurna Rumus ABC x
Kenali Beliau dikenal sebagai penemu aljabar dan nol. Nama asli dari al khawarizmi ialah Muhammad Ibn Musa Al khawarizmi. Beliau dilahirkan di Bukhara, hidup di Khawarizm, Usbekistan pada tahun 194 H / 780 M dan meninngal tahun 266 H / 850 M di Baghdad. Al Khawarizmi sebagai guru aljabar di Eropa. Beliau telah menciptakan secans dan tangen dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda beliau bekerja di bawah pemerintahan khalifah Al Ma’mun, di Bayt Al Hikmah di Baghdad, dan beliau juga bekerja dalam sebuah observatory yaitu tempat belajar matematika dan astronomi. Beliau pernah memperkenalkan angka – angka India dan cara – cara perhitungan India pada dunia Islam. Al Khawrizmi adalah seorang tokoh yang pertama kali memperkenalkan aljabar dan hisab. Banyak lagi ilmu pengetahuan yang beliau pelajari dalam bidang matematika dan menghasilkan konsep – konsep matematika yang begitu populer yang masih digunakan sampai sekarang. xi
MATERI PEMBELAJARAN 1. BENTUK UMUM Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua yang dapat ditulis dalam bentuk Keterangan : a : koefisien x 2 b : koefisien x c : konstanta Contoh : 4x2 + 3x + 7, maka a = 4, b = 3, dan c = 7 x 2 – 8x - 3, maka a = 1, b = -8, dan c = -3 2x2 + x + 2, maka a = 2, b = 1, c = 2 ax2 + bx + c = 0 , dengan a ≠ 0, a, b, c € R Selembar karton berbentuk persegi panjang akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara membuang persegi seluas 3 × 3 cm2 di masing-masing pojoknya. Apabila panjang alas kotak 2 cm lebih dari lebarnya dan volum kotak itu adalah 105 cm3 . Tentukanlah panjang dan lebar alas kotak tersebut. MASALAH 1.1 Penyelesaian 1
2. AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Akar atau penyelesaian sebuah persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah nilai pengganti x yang memenuhi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, umumnya dinotasikan x1 dan x2. Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan tiga cara, yaitu memfaktorkan, melengkapkan bentuk kuadrat, dan menggunakan rumus ABC. A. PEMFAKTORAN Jika suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat di faktorkan menjadi bentuk P x Q = 0, maka akar-akar persamaan kuadrta tersebut dapat ditentukan dengan cara pemfaktoran Contoh : Akar-akar dari x 2 - 5x + 6 = 0 adalah (x-2)(x-3) = 0 Maka akar-akarnya adalah 2 dan 3 dengan (x-2) sebagai P dan (x-3) sebagai Q Selembar karton berbentuk empat persegi panjang akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara membuang persegi seluas 2 × 2 cm2 pada masing-masing pojok persegi panjang tersebut. Panjang bidang alas kotak adalah 4 cm lebih besar dari lebarnya dan volume kotak itu 90 cm3 . Maka tentukan panjang dan lebar alas kotak tersebut. MASALAH 2.1 Penyelesaian 2
B. MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA Mengubah persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 menjadi bentuk (x ± p)2 = q, dengan q ≥ 0. Bentuk (x ± p)2 = q, disebut dengan kuadrat sempurna. Contoh : Tentukan nilai x dari persamaan x 2 - 4x + 1 = 0 x 2 - 4x + 1 = 0 x 2 - 2.2x = -1 x 2 - 2.2x + 22 = -1 +22 (x - 2)2 = 3 x - 2 = ± √ 3 Maka x1 = 2 + √ 3 dan x2 = 2 - √ 3 C. MENGGUNAKAN RUMUS ABC Cara ini sama halnya dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, digunakan ketika persamaan kuadrat tidak bisa diselesaikan dengan cara pemfaktoran ataupun dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Mensubtitusikan nilai a, b, c pada persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 pada rumus Penyelesaian Jika salah satu akar persamaan 2x2 – x - 4 = 0 adalah p, maka nilai 4p4 – 4p3 + 3p2 - p = ………... MASALAH 2.2 a b b ac x 2 4 2 3
Contoh : Nilai x yang memenuhi 2x 2 + 5x - 2 = 0 a = 2, b = 5, c = -2 Maka atau Penyelesaian Nilai dari MASALAH 2.2 4 5 41 4 5 25 16 2.2 5 5 4.2( 2) 2 x x x 4 5 41 x 4 5 41 x ...... 5 ... 5 5 5 5 4
3. JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT Sebelum membahas tentang jenis akar persamaan kuadrat, kamu akan dikenalkan terlebih dahulu dengan istilah diskriminan. Apa itu diskriminan? Diskriminan atau biasa dilambangkan D adalah hubungan antar koefisien yang menentukan besar dan jenis akar persamaan kuadrat. Pada pembahasan sebelumnya, kamu sudah mengenal rumus ABC. Dari persamaan atau rumus tersebut, besaran yang dimaksud diskriminan adalah b 2 - 4ac. Nah, jenis akar persamaan kuadrat ternyata bergantung pada nilai diskriminannya (D). Berikut penjelasannya : 1. Jika nilai D > 0, maka suatu persamaan kuadrat akan memiliki dua akar real yang tidak sama besar (x1 ≠ x2 ) 2. Jika nilai D = 0, maka suatu persamana kuadrat akan memiliki dua akar real dan kembar 3. Jika nilai D < 0, maka suatu persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akarnya imajiner). Jika persamaan kuadrat ditulis dalam bentuk grafik, akan muncul grafik parabola seperti bentuk lintasan bola yang ditendang dengan kemiringan tertentu Contoh : Tentukan jenis akar persaman kuadrat x2 + 16x + 64 = 0 Ingat! Untuk menentukan jenis akarnya kamu harus mencari nilai determinannya x 2 + 16x + 64 = 0 Maka niali a = 1, b = 16, c = 64 D = b2 - 4ac. = (16)2 - 4.1.64 = 256 - 256 = 0 Oleh Karena itu D = 0, maka persamaan x2 + 16x + 64 = 0 memiliki akar yang kembar (sama) dan real. Jika persamaan kuadrat x2 + (k - 1)x + 1 = 0 mempunayo akar-akar real dan berbeda, maka nilai k yang memenuhi adalah…. MASALAH 3.1 5
4. JUMLAH DAN HASIL KALI Apabila x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Maka jumlah akarakar (x1 + x2) dan hasil kali akar-akar (x1 . x2) persamaa kuadrat tu ditentukan oleh : Contoh : Tentukan jumlah dan hasil kali dari persamaan kuadrat 2x2 - 6x + 3 = 0 Diketahui : a = 2, b = -6, c = 3 Jumlah akar - akar (x1 + x2) = - b/a = -(-6)/2 = 3 Hasil kali akar - akar x1 . x2 = c/a = 3/2 Penyelesaian Jumlah akar - akar (x1 + x2) = - b/a Hasil kali akar - akar x1 . x2 = c/a Carilah pembuktian dari rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat! MASALAH 4.1 6
5. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT Dalam menyusun persamaan kuadrat, kita perlu memperhatikan dua bentuk berikut : A. Menyusun Persamaan Kuadrat Yang Akar-Akarnya Telah Diketahui Jika akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2 telah diketahui (ditentukan), maka persamaan kuadrat itu ditentukan oleh : Contoh : Persamaan kuadrat memiliki akar 4 atau –2. Maka persamaan kuadrat dari akar-akar tersebut adalah x1 = 4 dan x2 = -2 x 2 - (x1 + x2) x + x1 . x2 = 0 x1 + x2 = 4 + (-2) = 2 x 2 - (2) x - 8 = 0 x1 . x2 = 4.(-2) = -8 Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya 4 atau –2 adalah x2 - 2 x - 8 = 0 Penyelesaian (x - x1)(x - x2) = 0 x 2 - (x1 + x2) x + x1 . x2 = 0 7
B. Menyusun Persamaan Kuadrat Dari Akar-Akar Persamaan Kuadrat Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah α dan β ari akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui adalah x1 dan x2 . Maka persamaan kuadrat baru ditentukan oleh : Contoh : Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 - 2 x - 3 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya α = x1 + 1dan β = x2 + 1 x 2 - 2 x - 3 = 0 x1 + x2 = -b/a = -(-2)/1 = 2 x1 . x2 = c/a = -3/1 = -3 α = x1 + 1dan β = x2 + 1 Maka : α + β = (x1 + 1)+ ( x2 + 1) = x1 + x2 + 2 = 2 + 2 = 4 α . β = (x1 + 1) ( x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 = -3 + 2 + 1 = 0 x 2 - (α + β) x + α . β = 0 x 2 - (4)x + 0 = 0 x 2 - 4x = 0 Jadi persamaan kuadrat dari α dan β adalah x2 - 4x = 0 x 2 - (α + β) x + α . β = 0 Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 - x - 3= 0 maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 2 + x2 2 dan 2x1 + 2x2 adalah….. MASALAH 5.1 Penyelesaian 8
Buatlah permasalahan yang ada dalam kehidupan sehari-hari yang bekaitan dengan materi persamaan kuadrat, dan selesaikan penyelesaiaanya serta ilustrasikan permasalahan tersebut secara secara visual ! AYO MENALAR Pada permasalahan ini, Guru memberikan arahan kepada siswa untuk membentuk suatu kelompok yang terdiri dari 3 siswa untuk mengerjan permasalahan diatas. TEMPEL ILUSTRASI VISUALMU 9
OPERASI PENYELESAIAN KESMPULAN 10
SOAL : 1. Jika a dan b bilangan bulat sehingga √2019+2√2018 merupakan solusi persamaan kuadrat x 2 + ax + b = 0, maka a + b =…….. a. –2018 c. –2020 b. –2019 d. –2021 2. Jika c, d adalah solusi dari x 2 + ax + b = 0 dan a, b adalah solusi dari x 2 + cx + d = 0 untuk a,b,c,d bukan nol, maka nilai a + b + c + d =…… a. –2 c. 1 b. –1 d. 2 3. Jika p dan q akar-akar persamaan x 2 − x + 1 = 0, nilai dari p 2017 + q2017 adalah….. a. 2 c. 0 b. 1 d. –1 4. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 + x − 3 = 0, maka hasil dari 4x1 2 + 3x2 2 + 2x1 + x2 adalah……. a. 21 c. 23 b. 22 d. 24 5. Persamaan kuadrat 2x2 + 3x − 4 = 0 mempunyai akar-akar a dan b. Nilai dari (4a2 + 6a + 2)(2b2 + 3b + 5) =………. a. 63 c. 80 b. 70 d. 90 6. Jika semua akar-akar persamaan x 2 − 6x + q = 0 merupakan bilangan bulat positif, maka jumlah semua nilai q yang mungkin adalah ……. a. 8 c. 20 b. 9 d. 22 7. Diketahui x1 dan x2 merupakan akar-akar x 2 + 2ax + b2 = 0. Jika x1 2 + x2 2 = 10, maka nilai b 2 adalah ……… a. 4a2 + 10 c. 2a2 + 5 b. 4a2 - 10 d. 2a2 - 5 UJI KOMPETENSI 11