LKS KELAS 8 MATEMATIKA SMP

BENTUK ALJABAR

A. Pengertian Bentuk Aljabar, Suku dan Variabel

Pak Amir memiliki 15 ekor ayam dan 20 ekor bebek. Kemudian
seluruh ayam dan bebek tersebut dijual ke pasar. Harga satu ekor ayam

adalah x rupiah dan harga seekor kambing adalah y rupiah. Berapa
uang yang diperoleh Pak Amir ?

Dari cerita di atas, hasil penjualan ayam dan bebek Pak Amir dapat dituliskan dalam
bentuk aljabar :

15 x + 20 y

Dengan 15 x dan 20 y disebut suku
x dan y disebut variabel
15 adalah koefisien dari 6 x, dan
10 adalah koefisien dari 10 y

Lebih jelas, perhatikan bentuk aljabar berikut :
(i) Bentuk ax (dengan a ≠o)

Bentuk ini dinamakan suku kata / suku tunggal berderajat satu
(ii) Bentuk ax + b (dengan a ≠ o)

Bentuk ini dinamakan suku dua / binom berderajat satu dengan satu variabel.
(iii) Bentuk : ax2 + bc + c (dengan a ≠ o)

Bentuk ini dinamakan suku banyak (polinom) berderajat dua dengan satu
variabel. Bentuk ini secara khusus disebut suku tiga atau trinom berderajat dua
dengan satu variabel. Tiga buah suku yang berbeda, yaitu : ax2, bx, dan
konstanta c.

1

(iv) Bentuk ax2y + bxy2 + c
Bentuk ini dinamakan suku banyak atau trinom berderajat dua dengan dua

variabel. Nama khusus bentuk ini adalah suku tiga atau trinom berderajat dua
dengan dua variabel. Tiga buah suku yang berbeda masing-masing adalah ax2y,
bxy2, dan c.
Contoh 1 :
Sebutkan jenis suku banyak berikut ini dan tulislah suku-suku yang berbeda
dalam suku banyak tersebut.
a. x2 + x + 4
b. 5x2 – 7 + 3x
c. 2 + 4x
Jawab :
a. x2 + x + 4 disebut suku tiga atau trinom berderajat dua dengan satu variabel.

Tiga suku yang berbeda tersebut adalah x2, x, dan 4
b. 5x2 – 7 + 3x disebut suku tiga atau trinom berderajat dua dengan satu

variabel. Tiga suku yang berbeda adalah 5x2 – 7 + 3x.
c. 2 + 4x disebut suku dua atau binom berderajat satu dengan satu variabel.

Dua suku yang berbeda adalah 2 dan 4.
Berdasarkan contoh 1 kita dapat menjawab pertanyaan apa yang dimaksud
dengan suku-suku sejenis?

Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai faktor huruf (variabel)
yang sama dan pangkat pada variabel yang bersesuaian juga sama.

Contoh 2 :
Berikut ini diberikan contoh suku-suku sejenis.
a. -9x, 4x, x
b. 5x2, -x2, -8x2
c. 2xy, xy, -xy
d. -3x2y, x2y, 2 x2y

5

2

Latihan A
1. Tentukan suku, variabel, koefisien dan konstanta pada masing-masing bentuk
aljabar berikut :
a. 2p + 3q + 9
b. 1 x2 + 6y – 3z + 5
4
c. 4m – 3m2
2. Tuliskan suku-suku yang sejenis pada masing-masing bentuk aljabar berikut ini :
a. -6x + 3y + 2x – 5y + 9
b. 4ab – 5bc + 3ab + 6bc

B. Operasi hitung pada bentuk aljabar
B.1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar
Perlu diperhatikan!!
a. Suku - suku sejenis
b. Sifat-sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan
(i) ab + ac = a (b+c) atau a (b+c) = ab + ac
(ii) ab – ac = a (b-c) atau a (b-c) = ab – ac
c. Hasil perkalian dua bilangan bulat
x=
xӨ=Ө
Өx=Ө
ӨxӨ=
Keterangan :
 = Bilangan positif
Ө = Bilangan negatif

Contoh :
1) Sederhanakan bentuk aljabar berikut ini !

a. 4x + 3x
b. 9x2 – 3x2 + 2x + 2 – 5x

3

Jawab :

a. 4x + 3x = (4 + 3) x

= 7x (sifat distributif)

b. 9x2 – 3x2 + 2x + 2 – 5x = 9x2 – 3x2 + 2x – 5x + 2 (sifat komutatif)

= (9x2 – 3x2) + (2x – 5x) + 2 (sifat asosiatif)

= (9 – 3) x2 + (2 – 5x) + 2 (sifat distributif)

= 6x2 – 3x + 2 (aturan perkalian tanda)

2) Tentukan jumlah dari 10x2 – 7x + 6 dan -2x2 + 5x – 12 kemudian sederhanakan.

Jawab :
(10x2 – 7x + 6) + (-2x2 + 5x – 12) = 10x2 – 7x + 6 -2x2 + 5x – 12)

= 10x2 – 2x2 – 7x + 5x + 6 – 12
= 8x2 – 2x – 6

Atau
10x2 – 7x + 6
-2x2 + 5x – 12 +
8x2 – 7x – 6

3) Sederhanakan
a. 5p – 4 p
b. 8p2 – 2pq – 4 pq2 + 5pq

Jawab :
a. 5p – 4 p = (5-4) p
=p
b. 8p2 – 2pq – 4 pq2 + 5pq = (8p2 – 4 p2) – 2pq + 5pq
= 8p2 + 3pq

4) Kurangkan 8x – 4y dari 3x – 5y, kemudian sederhanakan.
Jawab :
3x – 5y - (8x -4y) = 3x – 5y – 8x + 4y
= 3x – 8x – 5y + 4y
= –5x – y

4

Perkalian Bentuk Aljabar
a. Perkalian suku satu dengan suku dua

a(x + y) = ax + ay dan a(x – y) = ax - ay

(x + y)a = ax + ay (x + y)a = ax - ay

Contoh :
Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini !

a. 2 (x + y)
b. -3 (3a – 4b)
Jawab :
a. 2 (x + y) = 2x + 3y
b. -3(3a – 4b) = -3 )3a) – 3 (-4b)

= -9a + 12b

b. Perkalian suku dua dengan suku dua

(x + y) (a + y) = x (a + b) + y (a + b)
= ax + bx + ay + by

Contoh :
Sederhanakan bentuk berikut ini :

a. (2x + 3 (5x + 2)
b. (6x – 1) (x – 5)
Jawab :
a. (2x + 3) (5x + 2) = 2x (5x + 2) + 3 (5x + 2)

= 10x2 + 4x + 15 x + 6
= 10x2 + 19x + 6
b. (6x – 1) (x – 5) = 6x2 – 30x – x + 5
= 6x2 – 31x + 5

5

c. Perkalian antar suku banyak
Pada saat kita melakukan perkalian antar suku dua dengan menggunakan sifat

distributif ternyata kita telah melakukan operasi perkalian dan penjumlahan. Hal ini
berarti kita telah melakukan perkalian antar suku banyak. Agar lebih jelas,
perhatikan contoh berikut ini.
Contoh :

Sederhanakanlah : (3x – 2) (2x2 + 5x + 3)
Jawab :

(3x – 2) (2x2 + 5x + 3) = 3x (2x2 + 5x + 3) – 2 (x2 + 5x + 3)
= 6x3 + 15x2 + 9x – 4x2 – 10x – 6
= 6x3 + (15x2 – 4x2) + (9x – 10x) – 6
= 6x3 + 11x2 – x – 6

3. Pembagian Bentuk Aljabar

Jika dua bentuk aljabar memiliki faktor-faktor yang sama, maka hasil pembagian

kedua bentuk aljabar tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk sederhana dengan

memperhatikan faktor-faktor yang sama.

Contoh :

1) Tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut ini.

a. 10x2 : 5x
b. 30 x3y : (-2xy)

Jawab :

a. 10x2 : 5x = 10x2
5x

=  10  x2 
 5 x

= 2x

30x2 y
b. 30x3y : (-2xy) =

 2xy

=  30  x3  y 
 2 x y

= -15x2

6

2) Tentukan hasil pembagian x2 + 8x + 12 dengan x + 2
Jawab :
x6
x  2 x2  8x  12
x2  2y 
6x 12
6x 12 
0
Jadi hasil pembagian x2 + 8x + 12 dengan x + 2 adalah x + 6

4. Pemangkatan Bentuk Aljabar
Perlu diingat arti pemangkatan!
a2 = a x a
Perhatikan!
4a2 = 4 x a x a
(4a)2 = 4a x 4a
-(4a)2 = - (4a x 4a)
(-4a)2 = (-4a) x (-4a)

Contoh :
Tentukan hasil pemangkatan bentuk aljabar berikut !

a. (5xy)3
b. (-3x2y3)2
c. - (4xy2)4
Jawab :
a. (5xy)3 = (5xy) x (5y) x (5xy)

= 125x3y3

b. (-3x2y3)2 = (-3x2y3) x (-3x2y3)
= 9x4y6

c. - (2xy2)4 = -(4xy2) x (4xy2) x (4xy2) x (4xy2)
= -256x4y8

7

5. Pemangkatan Suku Dua
Dalam menentukan hasil pemangkatan suku dua, koefisien dari suku-sukunya

dapat diperoleh dari bilangan-bilangan yang terdapat pada segitiga Pascal.
Hubungan antara segitiga Pascal dengan pemangkatan suku dua, yaitu (a + b) n

dan (a – b) n, ditunjukkan seperti berikut ini.

1 (a + b)1 dan (a – b)1
11 (a + b)2 dan (a – b)2
121 (a + b)3 dan (a – b)3
1331 (a + b)4 dan (a – b)4
14641

dan seterusnya
Bilangan - bilangan pada segitiga Pascal diatas merupakan koefisien suku-suku
pada hasil pemangkatan bentuk aljabar suku dua.

Koefisien suku-suku pada hasil pemangkatan suku dua diperoleh dari bilangan-
bilangan pada segitiga pascal.

121 (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
1331 (a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
14641 (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
1 5 10 10 5 1 (a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5

Perhatikan, pangkat dari a turun, dan pangkat dari b naik !

Contoh:
1. Tentukan hasil pemangkatan berikut ini!

a. (p + 5)2
b. (4x – 3y)2

8

Jawab:
Untuk (a + b)2 dan (a – b)2, bilangan segitiga pascalnya adalah 1,2,1, sehingga
penjabarannya sebagai berikut :

a. (p + 5)2 = 1 (p)2 + 2 (p)(5) + 1 (5)2
= p2 + 10p + 25

b. (4x – 3y)2 = 1 (4x)2 + 2 (4x) (-3y) + 1 (-3y)2
= 16x2 – 24xy + 9y2

2. Tentukan hasil pemangkatan berikut ini !
a. (2x + y)3
b. (3x – 2y)3

Jawab :
a. (2x + y)3 = 1 (2x)3 + 3 (2x)2 (y) + 3 (2x) (y)2 + 1 (y)3
= 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3

b. (3x – 2y)3 = 1 (3x)3 + 3 (3x)2 (-2y) + 3 (3x) (-2y)2 + 1 (-2y)3
= 1 (27x3) + 3 (9x2) (-2y) + 3 (3x) (4y2) + 1 (-8y3)
= 27x3 – 54x2y + 36xy2 - 8y3

Latihan B
1. Sederhanakan bentuk aljabar berikut!
a. 7a – 15a
b. 10 + 5(2x – 1)

2. Tentukan jumlah dari :
a. 4a + 3 dan 5a + 4
b. 3(2a + 5b + 1) dan 5b – 3a + 2

3. Kurangkanlah !
a. 8x + 16 dari 5x + 20
b. 4a – 10b – 8c dari – 2a + 4b – 5c

9

4. Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut!
a. a 3a + 2b)
b. (x – 3)(x + 15)
c. (y + 4) (y2 + 2y + 1)

5. Tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut!
a. 20 a2b : 4a
b. -x4y2 : (-xy)

6. Tentukan hasil pemangkatan bentuk aljabar berikut!
a. (-5a)2
b. (3 x 3y)2
c. (6x – 5y)2
d. (a + 2b)3

C. Menentukan faktor – faktor suku aljabar
C.1. Bentuk ax + ay

Bentuk diatas mengingatkan kita pada sifat distributif berikut ini.
ab + ac = = a(b + c), untuk setiap a, b, dan c  R
Sifat ini menunjukkan bahwa penjumlahan suku-suku dinyatakan sebagai bentuk
perkalian. Faktor persekutuan itu adalah a dan (b + c)
Berdasarkan uraian tersebut kita dapat memfaktorkan bentuk ax + ay sebagai
berikut :

(i) ax + ay = a(x + y)
(ii) ax – ay = a(x – y)
Contoh :
Faktorkan bentuk-bentuk berikut.
a. 3x – 9x3
b. x2yz + xy2z + xyz2

10

Jawab :
a. Faktor persekutuan Terbesar (FPB) dari 3x dan 9x3 adalah 3x, maka :

 3x–  3x 9x3 
9x3 = 3x 3x  3x  3x 1  3x2

b. FPB dari x2yz, xy2z dan xyz2 adalah xyz, maka :

x2yz + xy2z + xyz2 = xyz  x2 yz  xy 2 z  xyz 2   xyz(x  y  z)
xyz xyz xyz

C.2. Selisih Dua Kuadrat
Selain dua kuadrat dari suatu variabel atau bilangan dapat kita ubah ke bentuk

perkalian sebagai berikut :
Apabila a, b  R, maka
(a + b) (a – b) = a(a – b) + (b(a – b)

= a2 – ab + ab – b2
= a2 – b2
Jadi, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

Contoh :

Faktorkan selisih dua kuadrat berikut.
a. a2 – 25
b. 8x2 – 50y2
c. 4x2 – 81
d. (x + y)2 - 49

Jawab :
a. a2 – 25 = a2 – 52 = (a + 5) (a – 5)
b. 8x2 – 50y2 = 2(4x2 – 25y2) = 2(2x)2 – (5y)2 = 2(2x + 5y) (2x – 5y)
c. 4x2 – 81= (2x)2 – 92 = (2x + 8)(2x – 9)
d. (x + y)2 – 49 = (x+y2) – 72 = (x + y + 7) (x + y -7)

11

C.3. Bentuk Kuadrat dan Faktor-faktornya
Bentuk kuadrat ini dari polinom adalah ax2 + bx + c dengan a, b, c  R dan a ≠ 0.
Bentuk kuadrat ini ada yang dapat difaktorkan dan ada pula yang tidak dapat
difaktorkan. Pemfaktorn kudrat tersebut dapat dirinci sebagai berikut.

1. Bentuk : ax2 + bx + c dengan c > 0
Untuk memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, mula-mula kita misalkan :

ax2 + bx + c = (x + p) (x + q).
Dengan menguraikan ruas sebelah kanan, kita akan memperoleh hubungan p, q
dengan b, c.

ax2 + bx + c = (x + p) (x + q) = x2 + px + qp + pq
ax2 + bx + c = x2 + (p + q) x + pq
Hubungan yang diperoleh adalah :
p + q = b dan p  q = c
Nilai p dan q diproses dari kedua hubungan tersebut. Agar hal ini lebih jelas kita
lihat contoh berikut.
Contoh 1:
Faktorkan ax2 + 3x + 2
Jawab :
Cara 1 : (cara langsung)
ax2 + 3x + 2 dengan b = 3 dan c = 2
Berdasarkan hubungan diatas, diperoleh :
p x q = 2  p = 1 dan q = 2
p+q=3
hal ini berarti :
x2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2)

Cara 2 : (cara tak langsung)
ax2 + 3x + 2 dengan b = 3 dan c = 2

Berdasarkan hubungan diatas, diperoleh :

p x q = 2  p = 1 dan q = 2
p+q=3

12

Hal ini berarti :
x2 + 3x + 2 = x2 + x + 2x + 2
= (x2 + x) + (2x + 2)
= x(x + 1) + 2(x + 1)
= (x + 2) x (x + 1)

Jadi, hasil pemfaktoran dari x2 + 3x + 2 adalah (x + 2) (x + 1)

Contoh 2:
Faktorkanlah !
a. x2 – 5x + 6
b. x2 + 5x + 6

Jawab :
a. x2 – 5x + 6 dengan b = -5 dan c = 6
berdasarkan hubungan diatas, diperoleh :
p x q = c = 6  p = -3 dan q = -2
p x q = b = -5
Berdasarkan cara (1), diperoleh :
x2 – 5x + 6 = (x – 3) (x - 2)

b. x2 + 5x + 6 dengan b = 5 dan c = 6
Berdasarkan hubungan p, q dengan b, c diperoleh :
p x q = c = 6  p = 3 dan q = 2
p+q=b=5

Berdasarkan cara (2) diperoleh :
x2 + 5x + 6 = x2 + 3x + 2x + 6

= (x2 + 3x) + (2x + 6)
= x(x + 3) + 2(x + 3)
= (x + 2) (x + 3)
Jadi, (x2 + 5x + 6) = (x + 2) (x + 3)

13

Berdasarkan contoh 1 dan contoh 2 dapat disimpulkan sebagai berikut:
1. Jika x2 + bx + c dengan b > 0 dan c > 0 maka nilai p dan q
bertanda positif.
2. Jika x2 + bx + c dengan b < 0 dan c > 0 maka nilai p dan q
bertanda negatif.

2. Bentuk : x2 + bx + c dengan c < 0
Pada bentuk ini juga akan diterapkan hubungan seperti pada bentuk x2 + bx + c

dengan c < 0

Contoh:

Faktorkanlah !
x2 + x – 12

Jawab:
x2 + x – 12 dengan b = 1 dan c = - 12

Kita akan menjawab soal ini dalam dua cara sebagai berikut:

Cara 1: (cara langsung)

p x q = -12  p = 4 dan q = -3
p+q=1
Hal ini berarti : x2 + x – 12 = (x + 4) (x – 3)

Cara 2 : (cara tak langsung)

Berdasarkan hubungan p, q dengan b, c diperoleh :

p x q = -12  p = 4 dan q = -3
p+q=1

Hal ini berarti :
x2 + x – 12 = x2 + 4x – 3x – 12
= (x2 + 4x) – (3x + 12) (sifat asosiatif dan distributif)
= x (x + 4) – 3(x + 4) (sifat distributive)
= (x – 3) (x + 4)

Jadi, x2 + x – 12 = (x – 3) (x + 4)

14

3. Bentuk : ax2 + bx + c, dengan a ≠ 1
Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1, jika faktornya ada dan mudah dikerjakan, kita

dapat menganggap bentuk tersebut mempunyai faktor sebagai berikut :

ax2 + bx + c = ax  pax  q

a
Dari faktor diatas, kita mencari hubungan p dan q terhadap a, b, dan c.
Hubungan itu dapat dicari dengan cara berikut ini.

ax2 + bx + c = ax  pax  q

a
Kedua ruas dikalikan dengan a, hingga diperoleh :
a2x2 + abx + ac = (ax + p) (ax + q)
dengan menguraikan ruas kanan akan diperoleh :

sama

a2x2 + a b x + ac = a2x2 + a (p + q) x + pq

sama

Berdasarkan bentuk diatas diperoleh hubungan :
p+q=b
p x q = ac

15

Hubungan antara p dan q terhadap a, b, dan c menunjukkan pencarian bilangan
yang hasil kalinya ac dan jumlahnya b. Secara bagan dapat dilukiskan sebagai
berikut :

?p

Bilangan x ac x ac
mana yang

memenuhi

? a
+ +

b b

Pemfaktoran bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 dilakukan dalam tiga cara, yaitu
cara langsung, cara tak langsung dan cara kreatif.
Contoh 1:
Faktorkanlah 3x2 – 4x – 4
Jawab :

3x2 – 4x – 4 dengan a = 3, b = -4, dan c = - 4
Cara 1: (cara langsung)
Hubungan yang diperoleh :
p x q = ac
p+q=b
hubungan yang diperoleh :
p x q = ac  p x q = - 12  p = - 6 dan q = 2
p+q=b p+q=-4

Hal ini berarti :

3x2 – 4x – 4 = 3x  63x  2

3

= 3x  23x  2

3

16

Jadi, 3x2 – 4x – 4 = (x – 2(3x + 2) atau
3x2 – 4x – 4 = (3x + 2)(x – 2)

Cara 2 : (cara tak langsung)

p x q = ac  p x q = - 12  p = - 6 dan q = 2
p+q=b p+q=-4

Hal ini berarti :
3x2 – 4x – 4 = 3x2 – 6x + 2x – 4

= (3x2 – 6x) + (2x – 4) (sifat asosiatif)
= 3x(x – 2) + 2(x – 2) (sifat distributif)
= (3x + 2) (x – 2)
Jadi, 3x2 – 4x – 4 = (3x + 2)(x – 2)

Contoh 2:
Faktorkanlah 4x2 – 12xy + 9y2 dengan cara tak langsung.

Jawab :
4x2 – 12xy + 9y2 dengan a = 4, b = -12y, dan c = 9y2
Hubungan yang diperoleh :

p x q = ac = 4 . 9y2 = 36y2 = (-6y) . (-6y)  p = - 6y dan q = -6y
p + q = b = -12y = (-6y) + (-6y)

Hal ini berarti :
4x2 – 12xy + 9y2 = 4x2 – 6yx – 6yx + 9y2

= (4x2 – 6yx) – (6yx – 9y2)
= 2x(2x – 3y) – 3y(2x – 3y)
= (2x – 3y) (2x – 3y) = (2x – 3y)2
Jadi, 4x2 – 12xy + 9y2 = (2x – 3y)2

Untuk menjawab soal diatas dapat pula dilakukan dengan rumus :
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 dengan syarat 2 a2 . b2` = 2ab.

17

Karena 2 4x2 . 9 y2 = 12 xy (terpenuhi),
maka :

 4x2 – 12xy + 9y2 = 4x2  9y2 2 = (2x – 3y)2

Latihan C
Faktorkan masing-masing bentuk aljabar berikut !

1. x2 – 7x + 12
2. a2 + 9a – 10
3. 6 -7k – k2
4. 6x2 – 19x + 15
5. 24x2 + 2x – 1
6. 15 – 7p – 2p2
7. (a – b)2 – x2
8. 100 – 9b2
9. 4x2y2 – 9z2
10. 36m2 – 25 (m + 4)2

D. Operasi Pecahan dalam Bentuk Aljabar
D.1. Menyederhanakan Pecahan Aljabar

Telah dikemukakan bahwa jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dibagi
dengan bilangan yang sama kecuali nol, maka diperoleh pecahan baru yang senilai,
tetapi menjadi lebih sederhana, misalnya :

18  3x61  3
24 4x61 4

Dengan demikian, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan memiliki faktor yang
sama, maka pecahan tersebut dapat disederhanakan. Hal ini berarti, bahwa untuk
menyederhanakan pecahan aljabar, harus diingat kembali berbagai bentuk aljabar yang
dapat difaktorkan beserta aturan faktorisasinya.

18

Contoh :

Sederhanakanlah pecahan-pecahan aljabar berikut ini !

1. 4a 12b
8

2. x2  4x
x2 16

3. 2x
x2  4

Jawab :
1. 4a 12b = 4(a  3b)

88
= (a  3b)
2

2. x2  4x  x(x  4)
x2 16 (x  4)(x  4)
=x
x4

3. xx  2x
x2  4 (x  2)(x  2)

=  (x  2)
(x  2)(x  2)

= 1   1
x2 x2

D.2. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar
Pada buku kelas VII, telah dipelajari bahwa pecahan-pecahan yang mempunyai

penyebut sama dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara penjumlahan atau
mengurangkan pembilang-pembilangnya.

19

Contoh :
1. 2  3  2  3

aa a
=5
a

2. 4  1  4 1
x3 x3 x3
=3
x3

Jika penyebut-penyebutnya berbeda, maka penyebut-penyebut tersebut harus
disamakan lebih dahulu. Untuk menyamakan penyebut-penyebut pecahan, tentukan
Kelipatan Persekutuan Kecil (KPK) dari penyebut-penyebut tersebut. Kemudian
masing-masing pecahan diubah menjadi pecahan lain yang senilai, dan penyebutnya
merupakan KPK yang sudah ditentukan.
Contoh :
Sederhanakan pecahan-pecahan aljabar berikut ini :

2x 1  2(2x 1)
43

Jawab :
2x 1  2(2x 1) = 3(2x 1  4(2)(2x 1)
4 3 4(3) 3(4)
= 6x  3  8(2x 1)
12 12
= (6x  3)  8(2x 1)
12
= 6x  3 16x  8
12
= 10x 11
12

20

D.3. Perkalian dan pembagian Pecahan Aljabar
Pada waktu kelas VII sudah mempelajari bahwa hasil perkalian dua pecahan

dapat diperoleh dengan mengalikan pembilang dengan pembilang, dan penyebut dengan
penyebut, yaitu :

a x c  axc
b d bxd
Dengan menggunakan sifat diatas, maka dapat ditentukan hasil perkalian
pecahan-pecahan dalam bentuk aljabar.

Contoh : Pembilang dan penyebut dibagi
1. a x 3b  3ab dengan b

b b  2 b(b  2)

= 3a
b2

a2 9 a  (a  3)(a  3) x a Pembilang dan penyebut dibagi
2. x dengan a(a + 3)
a a3 a a3

= a(a  3)(a  3)
a(a  3)

= a3
1

=a–3
Untuk pembagian dua pecahan, telah dibahas bahwa dengan suatu pecahan sama
dengan mengalikan pecahan tersebut terhadap kebalikannya, yaitu :

a : c  a x d  axd
b d b c bxc

Contoh : Pembilang dan penyebut dibagi
a : 2a  a x a  3 dengan a

a  2 a  3 a  2 2a 21
= a(a  3)
2a(a  2)
= a3
2(a  2)

= a3
2(a  2)

= a3
2a  4

D.4. Menyederhanakan Pecahan Bersusun (suplemen)

Suatu pecahan yang pembilang atau penyebut atau kedua-duanya memuat

pecahan disebut pecahan bersusun. Misalnya :

11 1 1
a b atau a
a2 b ab

ba

Pecahan bersusun dapat disederhanakan dengan mengalikan pembilang dan

penyebut dengan Kelipatan Persekutuan Kecil (KPK) dari penyebut pecahan yang

terdapat pada pembilang maupun penyebut pecahan bersusun. Dengan demikian

pembilang maupun penyebut pecahan bersusun tidak lagi memuat pecahan.

Contoh :

Sederhanakan pecahan-pecahan berikut ini !

1 1
1. 3

11
24

1 3
2. a
1
a2 9

Jawab :

1 1 121  1  12 adalah KPK dari 2, 3 dan 4
3 =  3
1. 11
12 1  1 
24 2 4

= 12  4
63

22

= 16 = 5 1
33

2. 1 3 = a 2  1  3 a2 adalah KPK dari a dan a2
a a  23

1 9 a 2  1  9
a2  a2 

a  3a 2
=

1  9a2

= a(1  3a)
(1  3a)(1  3a)

=a
(1  3a)

Latihan D
Sederhanakanlah !

60x3 y
1.

 45 y3

2. 9x  36 y
3

3. x2  2x  1
x2 1

x2  4x  3
4. x2  2x  1
5. 2  5

x3 x
6. 1  1

x 1 x 1
7. a  2 x 5

b a2  4
8. m : m  3

m1 m1

b a
9. b

2 b
a

x2  y2
10. y x

11
xy y 2

24

RANGKUMAN

1. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari
masing-masing variabel yang sama.

2. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat
diselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dan
distributif dengan memperhatikan suku-suku yang sejenis.

3. Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah menyatakanbentuk
penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian dari bentuk aljabar
tersebut.

4. Untuk menyederhanakan pecahan aljabar dapat dilakukan dengan
memfaktorkan pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu,
kemudian dibagi dengan faktor sekutu dari pembilang dan penyebut
tersebut.

25

RELASI DAN FUNGSI

A. Pengertian Relasi
Dalam kehidupan sehari – hari, banyak kita temukan hubungan, misalnya

hubungan pertemanan, hubungan pekerjaan, hubungan kegemaran, dll.
Kata “ hubungan “ dapat digunakan untuk menghubungkan dua

( himpunan ) dan hubungan tersebut memiliki sebuah “ nama “. Misalkan ada dua

kelompok, yaitu kelompok nama orang dan nama pekerjaan, lalu kedua kelompok
tersebut kita hubungkan dengan nama hubungan “ bekerja sebagai “, seperti terlihat

pada gambar berikut.

Berdasarkan gambar disampung, kita

Himpunan Bekerja sebagai Himpunan dapat menyatakan hubungan berikut
Nama Orang Pekerjaan ini.
Adi bekerja sebagai dosen dan
Adi Dosen pedagang
Ida Hakim Ida bekerja sebagai pramugari
Yana Guru Yana bekerja sebagai hakim
Yani Pedagang Yani bekerja sebagai guru
Pramugari

Jadi, relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan
yang memasangkan anggota – anggota himpunan A dengan
anggota – anggota himpunan B

Contoh 1:
Misalkan ada dua himpunan A dan B dengan
A =  1, 4, 9 
B =  1, 2, 3, 4 
Relasi dari A ke B diberi nama kuadrat dari. Relasi
tersebut, digambarkan pada gambar berikut ini.

26

Pada realisasi tersebut dapat A B
kita nyatakan hal –hal Kuadrat dari
berikut : 1
1 adalah kuadrat dari 1 1 2
4 adalah kuadrat dari 2 4 3
9 adalah kuadrat dari 3 4
4 tidak mempunyai pasangan 9

B. Menyatakan Relasi
Relasi antar dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :
1. Diagram panah
2. Diagram Cartesius
3. Himpunan pasangan berurutan
Contoh :
Diketahui himpunan anak A = Adi, citra, Mila, Kevin dan himpunan permainan
B = Basket, Voli, Tenis meja  Relasi “Gemar bermain“
Nyatakan relasi dua hitungan itu dengan :
a. Diagram panah
b. Diagram Cartesius
c. Himpunan pasangan berurutan

Jawab:

a. Diagram panah

A Gemar B
Adi Bermain Basket
Citra bermain
Voli
Mila
Tenis
Kevin meja

27

b. Diagram cartesius
B

Tenis meja
Voli

Basket

A

Adi Citra Mila Kevin

c. Himpunan pasangan berurutan = ( Adi, Voli ), ( Adi, Tenis meja ), ( Citra,
Basket ), ( Mila, Tenis meja), ( Kevin, Tenis meja ) 

Latihan A dan B

1. Buatlah diagram panah yang menunjukkan relasi “ faktor dari “ dari himpunan
K = 0, 1, 2 ke himpunan L = 4, 5, 6

2. Diketahui P = Q = 1, 2, 3, 4
a. Buatlah diagram panah untuk relasi “ faktor dari “ himpunan P ke himpunan Q!
b. Nyatakan relasi tersebut sebagai himpunan berurutan!

28

C. Fungsi dan Pemetaan

Perhatikan diagram panah berikut !

A Gemar B
Bermain
Semarang Jateng
Yogya DIY A = Himpunan kota
Pati Jatim B = Himpunan propinsi

Pnprogo

Setiap kota terletak pada satu propinsi, tidak ada kota yang terletak pada beberapa
propinsi

Pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke B adalah relasi
khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat

satu anggota B

Contoh:
Nyatakan diagram - diagram panah berikut ini, apakah pemetaan atau bukan ?

AB AB AB

au au au
v v v

bw bw bw
cx cx cx

(i) (ii) (iii)

Jawab :
Gambar (i) bukan pemetaan, karena ada anggota A, yaitu b yang memiliki lebih dari
satu pasangan di B.
Gambar (ii) adalah pemetaan, karena masing-masing anggota A memiliki tepat satu
pasangan di B.

29

Gambar (iii) bukan pemetaan, karena ada anggota A, yaitu b yang tidak memiliki
pasangan di B.

Dari contoh-contoh diatas, ternyata untuk mengetahui apakah suatu relasi

merupakan pemetaan atau bukan, yang terutama perlu diperhatikan adalah anggota-

anggota himpunan A.

Berikut ini dibahas mengenai istilah-istilah pada pemetaan. Perhatikan diagram

pemetaan berikut ini !

AB
a1
b 2 Bayangan (peta) dari a
c3
d 4 Daerah hasil (range)

Daerah asal Daerah kawan
(domain) (kodomain)

Gambar 2.8

Perhatikan Gambar di atas!
P = {a, b, c, d} disebut daerah asal (domain)
Q = {1, 2, 3, 4} disebut daerah kawan (kodomain)
{2, 3, 4} disebut daerah hasil (range), yaitu himpunan anggota-anggota Q yang
mempunyai pasangan dengan anggota-anggota P.

a dipasangkan dengan 2, dapat ditulis a  2, dibaca “ a dipetakan ke 2”
pada bentuk a  2, 2 disebut bayangan atau peta dari a.

Pemetaan adalah relasi khusus, maka pemetaanpun dapat dinyatakan dengan
diagram panah, diagram cartesius atau himpunan pasangan berurutan.

Banyak pemetaan dari dua himpunan
Diket:
A = {1, 2} dan B = {3}

30

Banyak pemetaan dari A ke B adalah 1 yaitu :

AB

1
3

2

Dengan memperhatikan banyak anggota domain dan kodomain, banyak cara
pemetaan ditentukan dengan cara berikut:

Jika banyak anggota himpunan A = n(A)
Jika banyak anggota himpunan B = n(B)

Maka banyak, pemetaan dari A ke B adalah nBnA

Contoh :
A = {a, b, c}
B = {1, 2 }

Banyak pemetaan dari A ke B = nBnA

= 23
=8

D. Korespondensi satu-satu

Perhatikan diagram panah berikut !

A B B A

Beribu kota Beribu kota

Indonesia Jakarta Jakarta Indonesia
Malaysia Manila Manila Malaysia
Philipina Philipina
Kuala Lumpur Kuala Lumpur

Setiap negara dipasangkan tepat satu dengan ibukotanya dan setiap ibukota
dipasangkan tepat satu dengan negaranya.

31

Himpunan A dikatakan berkorespondensi satu-satu dengan
himpunan B jika setiap A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

Dan setiap anggota B dipasangkan tepat satu anggota A.
Dengan demikian, banyak anggota himpunan A dan B haruslah sama.

Latihan C dan D

1. Diagram panah berikut menunjukkan relasi dari himpunan M ke himpunan N.

Manakah yang merupakan pemetaan dan manakah yang merupakan korespondensi

satu-satu ?

MN MN MN

  
  
  

(i) (ii) (iii)

MN MN MN

  
  
  

(iv) (v) (vi)

2. Setiap himpunan pasangan berurutan berikut ini menunjukkan relasi dari himpunan
A ke himpunan B. Relasi manakah yang merupakan pemetaan?
a. {(1,2), (2,2), (3,2)}
b. {(a, 1), (b, 2), (b,3), (c, 4)}
c. {(p, 1), (q, 2), (r, 1), (s, 2)}

3. Berapakah banyak pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut!
a. Dari himpunan K = {a, b, c, d} ke himpunan L = {1,2,3}.
b. Dari himpunan m = {p, q, r} ke himpunan N = {1,2,3,4}

32

4. Diantara pasangan – pasangan himpunan berikut, manakah yang dapat
berkorespondensi satu – satu?
a. A = {0,2,4,6} dan B = {1,2,5,7}
b. P = {titik sudut ABC} dan
Q = {warna lampu lalu lintas}
c. K = {huruf vokal} dan
L = {hari dalam seminggu}
d. M = {p,q,r,s}dan
N = {Faktor dari 8}

E. Menghitung Nilai Fungsi

Menghitung nilai suatu fungsi berarti kita mengsubstitusi nilai variabel bebas ke

dalam rumus fungsi sehingga diperoleh variabel bergantungnya. Berikut ini

diberikan beberapa contoh menentukan nilai suatu fungsi.

Contoh 1

Pemetaan f : g  R ditentukan oleh f (x) = 2 + x dengan G = {-1, 0, 1, 2, 3, 4} dan

R adalah himpunan bilangan real.

a. Hitunglah f (3), f (0), dan f (-1)

b. Tentukan daerah hasil dari f

Jawab :

a. f (3) = 2 + 3 = 5, f(0) = 2 + 0 = 2, dan f(-1) = 2 + (-1) = 1

b. Dengan memasukkan setiap anggota domain

G = {-1, 0,1,2,3,4} ke dalam variabel bebas x pada rumus fungsi f(x) = 2 + x,

mak diperoleh.

F(-1) = 1 f(1) = 3 f(3) = 5

F(0) = 2 f(2) = 4 f(4) = 6

Jadi, daerah hasil dari f adalah {1,2,3,4,5,6}.

Contoh 2
Diketahui fungsi f : x  3x – 1. Tentukan :
a. Rumus fungsi,
b. Nilai fungsi untuk x = -3 dan x = 2

33

Jawab :

F : x  3x -1
a. Rumus fungsi adalah f(x) = 3x – 1

b. Nilai fungsi untuk x = -3; f(-3) = 3 (-3) -1

= -9 -1

Nilai fungsi untuk x = 2; f(2) = -10
= 3(2) – 1

=5

Jadi, nilai fungsi untuk x = -3 adalah -10 dan untuk x = 2 adalah 5

Contoh 3
Fungsi g : x  2x 2 - 1

Tentukan :

a. g(-2)

b. nilai a, jika g(a) = 49

Jawab :
G : x  2x2 - 1

a. g(x) = 2x 2 - 1 b. g(a) = 49
g(a) = 2a 2 - 1
g(-2) = 2  22 - 1

= 2x4–1 2a 2 - 1 = 49
= 8–1 2a 2 = 50

=7 a 2 = 50
2

a 2 = 25

a = 5 atau -5  52 = 25 dan

 52 = 25

F. Menentukan Bentuk Fungsi

Untuk menentukan bentuk ungsi jika diketahui nilai dan data fungsi, dapat
dilakukan nilai menggunakan rumus umum fungsi, yaitu f(x) = ax + b (untuk fungsi

linear) sehingga terbentuk persamaan dalam a dan b dengan cara mengganti nilai
variabel x. untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh – contoh berikut ini!

34

Contoh:

Suatu fungsi ditentukan dengan rumus f(x) = ax + b. jika diketahui f(4) = 5 dan f(-2)

= -7, tentukan:

a. Nilai a dan b

b. Bentuk fungsinya

c. Bayangan dari -4

Jawab :

a. f(x) = ax + b

f(4) = 5 dan f(-2) = -7

f(x) = ax + b, maka f(4) = a(4) + b = 5
4a + b = 5 ……………………… (1)

f(-2) = a (-2) + b = -7
-2a + b = -7 ………………..... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh Nilai a = 2 disubstitusikan ke

persamaan (1)

4a + b = 5 4a + b = 5

-2a + b = -7 _ 4(2) + b = 5

6a = 12 8+b = 5

a = 12 = 2 b = 5 – 8 = -3
6

Jadi, nilai a = 2 dan b = -3

b. f(x) = ax + b, dengan a = 2, dan b = -3

f(x) = 2x + (-3)
f(x) = 2x – 3
Jadi, bentuk fungsinya adlah f(x) = 2x – 3

c. f(x) = 2x – 3
f(-4) = 2(-4) – 3

= -8 -3 = -11

Jadi, bayangan dari -4 adalah -11

35

Latihan E dan F
1. Untuk f : x  2x + 5, tentukan :
a. Rumus fungsi f
b. Bayangan (peta) dari 4 dan -6
2. Untuk fungsi f : x  8x – 3, tentukan :
a. f(2)
b. f(-5)
3. Suatu fungsi f dinyatakan dengan rumus f(x) = sx + t. jika f(3) = 13 dan f(-1) = 1
a. Nilai s dan t
b. F(5)!
4. Pada fungsi g : x  px + q, diketahui g(3) = 5 dan g(1) = -3. Hitunglah :
a. Nilai p dan q
b. Bentuk fungsinya
c. G(-6)!

G. Penerapan Relasi dan Fungsi

Contoh :

Empat orang anak bernama Dila, Adi, Citra, dan Eli, Dila, Adi, berbadan tinggi,

sedangkan ank lain tidak. Serta berambut keriting, anak yang lain tidak. Adi, Citra,

dan Eli berkulit putih, anak yang lain tidak.

a. Buatlah diagram panah yang menghubungkan setiap anak yang lainnya !

b. Siapakah yang berbadan tinggi dan berkulit putih ?

c. Siapakah yang berkulit kuning tetapi tidak berambut keriting ?

Jawab :

a. A B

Dita   Tinggi
Adi   Keriting
Citra   Kuning
Eli 

36

b. Anak yang berbadan tinggi dan berkulit putih adalah Adi
c. Anak yang berkulit putih tidak berambut keriting adalah Adi dan Edi

Latihan G

Mia dan Siti adalah anak – anak yang pandai, Adi dan Siti keduanya berbadn tinggi,
sedngkan Mia dan Andi adalah anak – anak yang jujur.
a. Gambarlah diagram panah yang menghubungkan setiap anak dengan sifatnya.
b. Siapakah yang berbadan tinggi dan pandai?

37

RANGKUMAN

1. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan anggota –
anggota himpunan A dengan anggota – anggota himpunan B

2. Pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang
memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B

3. Pemetaan atau fungsi dapat dinyatakan dengan :
a. diagram panah
b. diagram Carterius,
c. himpunan pasangan berurutan

4.

AB
Pada diagram pemtaan disamping :

1   a {1, 2, 3, 4} disebut domain atau daerah asal

2   b {a, b, c, d} disebut kodomain atau daerah kawan

3  c {a, c, d} disebut range atau daerah hasil
4 d

5. Jika A dan B adalah himpunan, n(A) = A dan n(B) = b maka banyak semua
pemetaan yang mungkin :
a. dari A ke B adalah b a
b. dari B ke A adalah a b

6. Jika A dan B adalah himpunan, A dan B berkorespondensi satu – satu maka
n(A) = n(B)

7. Dalam persamaan grafik fungsi y = f(x) = ax + b, nilai y bergantung pada nilai x.
Variabel x disebut variabel bebas dan variabel y disebut variabel bergantung.

8. Pada fungsi f(x) = ax + b dengan a > 0 atau a bilangan positif (+), jika variabel x
diganti dengan bilangan yang makin besar atau nik, maka nilai fungsinya juga
berubah menjadi semakin besar atau naik.

9. Pada fungsi f(x) = ax + b dengan a < 0 atau a bilangan negtif (-), jika variabel x
diganti dengan bilangan yang makin besr atau naik, maka nilai fungsinya
berubah menjadi semakin kecil atau menurun.

38

GRADIEN, PERSAMAAN DAN GRAFIK GARIS LURUS

A. Gradien

Pengertian Gradien

Gradien suatu garis adalah kemiringan garis terhadap sumbu mendatar. Dalam
penentuan besar gradien, kita harus membaca unsur – unsur ( titik ) pada garis dari

kiri ke kanan.

1. Garis dengan gradien positif

Garis dengan gradien positif mempunyai kemiringan dari dasar kiri menuju

puncak kanan yang naik dengan kenaikan yang stabil ( tetap )
Garis – garis di bawah ini mempunyai gradien positif

2. Gradien dengan gradien negatif

Garis dengan gradien negatif mempunyai kemiringan dari puncak kiri menuju

dasar kanan. Misalnya turun 4 satuan untuk setiap langkah 1 satuan ke kanan

yang turun dengan penurunan yang stabil ( tetap )

3. Gradien suatu garis yang melalui pusat 0(0,0) dan titik A(x1, y1)
Gradien suatu garis yang melalui titik asal 0(0,0) dan titik sembarang (x1,y1)

dapat ditentukan nilanya dengan membandingkan komponen y ( ordinat) dan

komponen x ( absis) dari titik sembarang (x1,y1) tersebut. Gradien suatu garis
biasanya dinotasikan dengan huruf kecil m.

m = komponen y atau m  y1
komponen x y1

Contoh:

Tentukan gradien garis yang melalui pangkat koordinat(0,0) dan titik berikut.

a.P(3,6) b.Q(-10,5) c.R(8,2) d.(S(-4,-8)

Jawab:

a. mOP = 6  2 c. mOR = 2  1
3 84

b. mOQ = 5 1 d. mOS = 8 2
 10 2 4

39

4. Gradien Garis yang Melalui Titik A(x1,y1) dan B(x2,y2)

Diberikan garis l, pilih dua titik sembarang A(x1,y1) an B(x2,y2) pad agaris

tersebut, maka akan diperoleh gradien garis l yang ditentukan oleh :

m1 = komponen y pada garis l atau ml  y2  y1
komponen x pada garis l x2  x1

Contoh:

Hitunglah gradien garis yang melalui titik (2,-1) dan (4,5)

Jawab:

Gambar di samping menunjukkan 5
sebuah garis yang melalui titik – titik
tersebut. Segitiga siku – siku sebagai

pedoman untuk menentukan gradien

garis tersebut. Perhatikan langkah

berikut : (x2,y2) -1 2 4
(x1,y1) (4,5)
(2,-1)

Substitusikan ke rumus gradien, diperoleh :

m= y 2  y1  5  (1) 3
x  x1 42
2

5. Gradien Garis ax + by + c = 0
Dalam menentukan gradien garis yang berbentuk ax + by + c = o, kita harus
mengubahnya ke bentuk y=mx+c
ax + by +c = 0  by –ax – c
y=-a
b
Perhatikan bentuk y = - a x  c dan y  mx  c
bb
Gradien (m) = - a
b
Gradien garis ax + by + c = 0 adalah m = - a
b

40

6. Menggambar Garis Jika Gradien dan Satu Titik Yang Dilaluinya Diketahui
Untuk menggambar sebuah garis jika diketahui gradien = m dan satu titik
A(x1,y1) yang dilaluinya dapat kita gunakan cara berikut ini :
Gradien = m = komponen y
komponen x

7. Gradien Garis Yang Saling Sejajar

Garis – garis yang sejajar memiliki gradien yang sama
Atau

Jika garis – garis memiliki gradien yang sama, maka
pasti garis – garis tersebut saling sejajar

Contoh :
Garis g yang bergradien - 3 1 sejajar dengan garis l. Tentukan gradien garis l !

2
Jawab :
Karena garis g sejajar dengan garis l, maka gradien garis 8 = gradien garis l.
Jadi, gradien garis l = gradien garis g = -3 1

2

8. Gradien Garis Yang Saling Tegak Lurus

Hasil kali gradien – gradien garis yang saling tegak lurus
adalah – 1

Catatan :

Untuk garis tegak dan garis mendatar, walaupun kedua garis itu saling
tegak lurus, tetapi kesimpulan di atas tidak berlaku, karena garis tegak
( vertikal ) tidak mempunyai gradien dan garis mendatar bergradien 0

Contoh :
Garis k yang bergradien 2 tegak lurus dengan garis l. Tentukan gradien garis l !

5
Jawab:
Misalkan gradien garis k = mk dan gradien garis l = m1 maka :

41

mk x ml = -1 Atau m1xm1  1

2 xm1  1 m1   l
5 mk

m1 = -1 : 2 =- 1
5 2

m1 = -1 x 5   2 1 m1 = - 5  2 1
22 22

jadi, gradien garis l adalah -2 1
2

Latihan A

1. Tentukan gradien garis yang melalui dua titik berikut :
a. (0,0) dan (4,10)
b. (-7,5) dan (4,-8)

2. Tentukan gradien garis berikut :
a. 3x + 6y +10 = 0
b. -3x - 6y - 4 = 0

3. Suatu garis P bergradien -2. Tentukan gradien garis lain, jika garis itu :
a. Sejajar dengan garis P
b. Tegak lurus dengan garis P

B. Persamaan Garis Lurus
B.1 Persamaan garis y = mx bergradien m melalui titik 0(0,0)
Contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui pangkat koordinasi dan bergradien -2 1
2
Jawab :
a. Gradien = -2 1 , maka m = -2 1
22
Garis melalui titik pangkal koordinat, yaitu titik (0,0)
Persamaan garisnya adalah y = mx
y = -2 1 x
2

42

B.2 Persamaan garis y = mx + c bergardien m melalui titik ( 0, c )
Contoh :
Tentukan persamaan – persamaan garis bergradien 4 dan melalui titik ( 0,-7)
Jawab :
Gradien = 4, maka m = 4
Melalui (0.-7), maka c = -7
Persamaan garisnya adalah :
y = mx + c
y = 4x – 7

B.3 Persamaan garis dengan gradien m melalui titik ( x1,y1)

Persamaan garis yang melalui sembarang titik ( x1,y1) dan bergradien m
adalah y -y1 = ( x - x1)

Contoh :

Tentukan persamaangaris yang melalui titik A(-2,1) dan bergradien 3!

Jawab :

Titik A(-2,1), maka x1 = - 2 dan y1=1

Gradien = 3, maka m = 3

Persamaan garisnya:
y – y1 = m(x-x1)
y – 1 =3(x-(-2))
y – 1 = 3(x+2)

y-1 = 3x + 6 atau y-1-3x-6 = 0
y = 3x+6 + 1 y – 3x- 7 = 0
y = 3x +7 3x – y + 7 = 0

Jadi, persamaan garis yang melalui titik A(-2,1) dan bergradien 3 adalah y = 3x+7
atau 3x – y + 7 = 0

43

B.4 Persamaan Garis Melalui Titik ( x1, y1) dan ( x2, y2)

Rumus persamaan garis yang melalui sembaranng titik ( x1, y1) dan ( x2, y2) adalah :
y  y1  x  x1
y2  y1 x2  x1

Contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik K(-1,0) dan L(3,-8) !
Jawab :
K(-1,0), maka x1 = - 1 dan y1 = 0
L (3,-8), maka x2 = 3 dan y2 = -8

y  y1  x  x1
y2  y1 x2  x1
y  0  x  (1)
 8  0 3  (1)

y  x 1
8 4
4y = -8(x+1)  perkalian silang
4y = -8x – 8
4 y   8x  8  kedua ruas dibagi 4
44

y = -2x - 2 atau 2x + y + 2 = 0
Jadi, persamaan garis yang melalui titik K (-1,0) dan L (3,-8) adalah
y = -2x - 2 atau 2x+y+2 = 0

B.5 Persamaan Garis Yang Saling Sejajar Dan Saling Tegak Lurus
Contoh :
1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,1) dan sejajar dengan garis
ber-persamaan y = 2x + 3 !
Jawab :
g1 = y = 2x + 3, maka m1 = 2
Garis saling sejajar, maka gradiennya harus sama, yaitu :
m2 = m1 = 2

44

Garis yang diminta yaitu g2 melalui titik (3,1), maka x1 = 3 dan y1 = 1
Persamaan garis g2 adalah :
y – y1 = m2 (x - x1)

y – 1 = 2( x- 3)
y - 1 = 2x - 6

y = 2x – 6 + 1
y = 2x - 5 atau 2x – y - 5 = 0

2. Tentukan persamaan garis yang memalui titik C(-4,-1) dan tegak lurus
dengan garis y = - 2 x + 5
3
Jawab :
g1 = y = - 2 x + 5, maka gradien = - 2  m1 = - 2
3 33
Karena garis g2 tegak lurus dengan garis g1, maka m1 x m2 = - 1
m1.m2 =-1
2
- . m2 = -1
3
2
m2 = -1 : (- )
3
= -1 x (- 3 ) = 3 = 1 1
22 2
Garis g2 melalui titik C(-4,-1)
Maka x1 = -4 dan y1 = - 1
Persamaan garis g2 adalah :
y - y1 = m2 ( x-x1)
y – (-1) = 1 1 (x-(-4))
2
y +1 = 1 1 (x + 4 )
2
y+1= 11 x+6
2
y = 1 1 x +6 – 1
2
y= 11x+5
2

45

Latihan B

1. Tentukan persamaan garis luruis yang melalui titik pangkal koordinat
dan mempunyai gradien :
a. -4
b. 1
2

2. Tentukan persamaan garis lurus yang mempunyai gradien 2 dan
melalui titik ( 4, -6 )

3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1,3) dan B ( 5,6)
4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4,-6) dan sejajar dengan

garis 2y=3x+8
5. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-6,-8) dan tegaklurus

dengan garis 2x+5y=-10

46

C. Penerapan Persamaan Garis Lurus
Konsep persamaan garis lurus dapatd igunakan dalam kehidupan sehari – hari,

misalnya pada fungsi permintaan dan penawaran dalam bidang ekonomi, dan

program linear.

Contoh :

1. Sepuluh buku akan terjual jika harganya ( dalam ribuan) Rp. 60 danb 20

buku akan terjual jika harganya Rp. 40. Tentukan :

a. Fungsi permintaanya

b. Banyak buku yang diminta, jika harga per unit Rp. 30

Jawab :

a. Q1 = 10 dan P1 = 60  ( 10,60 )

Q2 = 20 dan P2 = 40  ( 20, 40 )

Untuk menentukan fungsi permintaannya, kita tentukan persamaan garis

yang melalui titik ( Q1, P1) dan ( Q2, P2), yaitu :
P – P1= m(Q-Q1)

P – P1 = P2 P1 ( Q – Q1)  m = P2  P1
Q2  Q2 Q2  Q1

P – 60 = 40  60 (Q 10)
20 10

P – 60 = -2 (Q-10 )
P – 60 = - 2Q + 20

2Q = 20 + 60 – P
2Q = 80 – P

Q = 80  P
2

Q = 40 – 0,5 P
Jadi, fungsi permintaanya adalah Q = 40 – 0,5 P

b. Harga barang per unit Rp 30  P = 30
Q = 40 – 0,5 P  fungsi permintaan ( berdasarkan hasil jawaban a)
Q = 40 – 0,5 (30)
Q = 40 – 15  Q = 25
Jadi, banyak buku yang diminta pada harga Rp 30.000 adalah 25 buah

47

2. Diketahui fungsi penawaran dari suatu barang adalah Q = -12 + 2P

a. Buatlah grafiknya!

b. Pada harga berapa ( dalam ribuan ) penjual tidka lagi menjual

barangnya di pasar?

c. Berapa banyak barang yang dapat dijual jika harga ( dalam ribuan )

adalah Rp 15?

Jawab : P
a. Terlebih dahulu dibuat tabel
Grafiknya:

Q = -12 + 2 P Q=-12+2P

Q0 -12

P60

(Q,P) (0,6) (-12,0)

-12 O Q

b. Penjual tidak menjual barang, berarti Q = 0
Pada grafik terlihat, jika Q =0 maka P = 6
Hal ini berarti penjual tidak menjual barang jika harga Rp 6.000

c. Qs = -12 + 2P  Ps = 15
= -12 + 2(15)
=-12+30
= 18

Jadi, jika harga Rp 15.000 makabanyak barang yang terjual adalah 18 unit.

Latihan C

1. Sepuluh unit buku terjual jika harganya ( dalam ribuan ) Rp. 40 dan 20 unit
buku akan terjual jika harganya Rp. 30
Tentukan :
a. fungsi permintaannya
b. banyak barang yang diminta , jika harga per unit Rp. 30

48

2. Sepeda merk “ Kuat “ jika dijual seharga ( dlaam ribuan ) Rp. 300 per unit
akan laku sebanyak 1.000 unit, dan pada setiap kenaikan harga sebesar Rp.
100, jumlah penjualannya bertambah sebanyak 400 unit. Tentukan
a. fungsi penawarannya
b. banyak sepeda yang ditawarkan jika harga per unit Rp. 250

49

RANGKUMAN

A. Gradien

Gradien suatu garis adalah kemiringan garis terhadap sumbu mendatar. Dalam
penentuan besar gradien, kita harus membaca unsur – unsur ( titik ) pada garis dari kiri

ke kanan.

1. Garis dengan gradien positif

Garis dengan gradien positif mempunyai kemiringan dari dasar kiri menuju puncak

kanan yang naik dengan kenaikan yang stabil ( tetap )
Garis – garis di bawah ini mempunyai gradien positif

2. Gradien dengan gradien negatif

Garis dengan gradien negatif mempunyai kemiringan dari puncak kiri menuju

dasar kanan. Misalnya turun 4 satuan untuk setiap langkah 1 satuan ke kanan yang

turun dengan penurunan yang stabil ( tetap )

3. Gradien suatu garis yang melalui pusat 0(0,0) dan titik A(x1, y1)
Gradien suatu garis yang melalui titik asal 0(0,0) dan titik sembarang (x1,y1) dapat
ditentukan nilanya dengan membandingkan komponen y ( ordinat) dan komponen

x ( absis) dari titik sembarang (x1,y1) tersebut. Gradien suatu garis biasanya
dinotasikan dengan huruf kecil m.

m = komponen y atau m  y1
komponen x y1

4. Gradien Garis Yang Melalui Titik A(x1,y1) dan B(x2,y2)
Diberikan garis l, pilih dua titik sembarang A(x1,y1) an B(x2,y2) pad agaris tersebut,
maka akan diperoleh gradien garis l yang ditentukan oleh :

m1 = komponen y pada garis l atau ml  y2  y1
komponen x pada garis l x2  x1

6. Menggambar Garis Jika Gradien dan Satu Titik Yang Dilaluinya Diketahui

Untuk menggambar sebuah garis jika diketahui gradien = m dan satu titik

A(x1,y1) yang dilaluinya dapat kita gunakan cara berikut ini :

Gradien =m = komponen y
komponen x

50