BAC
مجلة خاصة
25مسألة شاملة
جمع و إعداد :خالد بخاخشة
هذه نسخة مجانية من مجلة المسائل الشاملة لطلاب البكالوريا
ـ الشعب العلمية ـ
تتوفر النسخة المدفوعة على :
حلول مفصلة للتمارين
سعر النسخةالمدفوعة 055 :دج
تواصل معنا عبر صفحة أكاديمية الرياضيات
لا أسمح بالنسخ و لا التعديل و لا استخدام هذا العمل لأغراض تجارية
آخر تحديث 52 :نوفمبر 5255
مسألة 01من إعداد خالد بخاخشة
g (Iالدالة المعرفة على كما يلي . g(x) x ex :
)1أدرس إتجاه تغ ّير الدالة . g
)2أ ـ بيّن أن المعادلة g(x) 0تقبل حلا وحيدا بحيث . 0.57 0.56 :
بـ ـ استنتج حسب قيم العدد الحقيقي ، xإشارة ). g(x
f (IIالدالة المعرفة على كما يلي . f (x) x xe1x :
) (Cfتمثيلها البياني في المستوي المنسوبإلى المعلم المتعامد و المتجانس ). (O;i, j
)1أحسب ) lim f (xو ). lim f (x
y مقارب x x
. (Cfعند ) مائل للمنحنى ـ أ )2
) (ذو المعادلة x بيّن أن المستقيم
بـ ـ أدرس وضعية ) (Cfبالنسبة للمستقيم ). (
)3أ ـ بين أنه من أجل كل عدد حقيقي . f (x) e1x g(x 1) ، x
بـ ـ استنتج إتجاه تغ ّير الدالة fو شكل جدول تغ ّيراتها .
. f ( ،ثم أعط حصرا لـ )1 f ( ) 1 2 1 ب ّين أن : )4
)5ب ّين أن للمنحنى ) (Cfنقطة إنعطاف يُطلب تعيين إحداثييها.
)6أ ـ حل في كلا من المعادلتين f (x) 0 :و . f (x) 1ثم فسر بيانيا النتائج المحصل عليها .
بـ ـ أكتب معادلة المماس ) (Tللمنحنى ) (Cfفي النقطة ذات الفاصلة.1
)7أحسب ) ، f (1ثم أنشئ كلا من ) (T) ، (و ) ) . (Cfنأخذ ( f ( 1) 0.4 :
)8عيّن بيانيا قيم العدد الحقيقي mالتي من أجلها يكون للمعادلة em1x xحلين متمايزين .
h )9الدالة المعرفة على كما يلي (Ch ) . h(x) x xe1x :تمثيلها البياني .
إشرح كيفية إنشاء المنحنى ) (Chإعتمادا على المنحنى ) ، (Cfثم أنشئه .
(IIIعدد حقيقي موجب تماما .
)1باستعمال المكاملة بالتجزئة عيّن دالة أصلية للدالة x xe1xعلى و التي تنعدم عند . 0
)2أ ـ أحسب بدلالة المساحة ) A(للحيز المستوي المحدد بالمنحنى ) (Cfو المستقيمات التي معادلاتها x ، x 0 :و . y x
بـ ـ تحقق أن . lim A() e :
مسألة 20من Bac Amérique du Sud 2002ـ بتصرف ـ
g (Iالدالة المع ّرفة علىكما يلي . g(x) ex x 1 :
)1أدرس تغيرات الدالة . g
)2أ -ب ّين أن المعادلة g(x) 0تقبل حلا وحيدا بحيث . 1.2 1.3:
بـ -استنتج إشارة ) g(xعلى .
. f )(x 1 x كما يلي : (IIنعتبر الدالة fالمع ّرفة على
1 ex
) (Cfتمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ). (O;i, j
)1أحسب ) lim f (xو ، lim f (x)ثم فسر النتيجة الثانية بيانيا .
x x
)2أ -ب ّين أن المستقيم ) (ذو المعادلة y x 1مقارب مائل للمنحنى ) (Cfعند .
بـ -أدرس وضعية المنحنى ) (Cfبالنسبة لـ ). (
. f (x) )ex g(x ، أ -بيّن أنه من أجل كل عدد حقيقي x )3
(1 ex )2
بـ -استنتج إتجاه تغيّر الدالة ، fثم ش ّكل جدول تغ ّيراتها .
1
)4بيّن أن f ( ) و أن . f ( ) 0
)5تحقق أن y x هي معادلة لـ ) (Tمماس المنحنى ) (Cfفي النقطة التي فاصلتها .
)6أنشئ كلا من ) (T) ، (و ) . (Cf
)7ناقش بيانيا و حسب قيم الوسيط الحقيقي mعدد حلول المعادلة . f (x) x f (m) :
n )8عدد طبيعي بحيث . n 2
ليكن Anمساحة الحيز المستوي المحدد بالمنحنى ) (Cfو المستقيمات التي معادلاتها x n ، x 2 :و. y 1
. 7 xex x xex ، x أ ـ بين أنه من أجل كل 2
8 ex 1
. In بـ ـ نضع n xexdx :
2
باستعمال المكاملة بالتجزئة ،أحسب Inبدلالة . n
جـ ـ أعط حصرا لـ Anبدلالة . In
. lim An لـ بالنسبة تستنتج ماذا . lim In دـ أحسب
n n
مسألة 03من Bac Polynésie 2003ـ بتصرف ـ
f (Iالدالة المع ّرفة على كما يلي . f (x) ex cos x :
) (Cfتمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ) . (O;i, jالوحدة . 2cm
)1أ ـ بين أنه من أجل كل عدد حقيقي . ex f (x) ex ، x
بـ ـ أحسب ) . lim f (xفسر النتيجة بيانيا .
x
الفواصل . محور حامل (Cمع f عيّن فواصل نقط تقاطع المنحنى ) )2
)3
. ; المجال على f لندرس
2 2
. cos x sin x 2 cos x 4 : x لدينا 2 ; 2 بيّن أنه من أجل كل أـ
بـ ـ أحسب ). f (x
. ; المجال على تغيّراتها جدول شكل ثم ، على ومتناقصة ; المجال على متزايدة f الدالة أن ب ّين ـ جـ
2 2 4 ; 2 4
2
. (Cf ) للمنحنى إنعطاف نقطة 0 الفاصلة ذات النقطة أن بيّن ثم ، x 2 ; كل أجل من )f (x أحسب دـ
2
. (Cfعلى المجال المنحنى ) ـ أنشئ هـ
2 ;
2
. وحيدا حلا ;0 المجال في تقبل f )(x 1 المعادلة أن بيّن )4
2 2
(IIنضع من أجل كل عدد طبيعي . In ex cos(nx)dx ، n
0
)1بيّن أنه من أجل كل عدد طبيعي ، cos(n ) (1)n ، nو أن . sin(n ) 0 :
. In (1)n e 1 : أن ب ّين ، مرتين بالتجزئة التكامل باستعمال )2
1 n2
. lim I n استنتج . In e 1 ، ب ّين أنه من أجل كل عدد طبيعي n )3
1 n2
n
(IIIنعتبر المعادلات التفاضلية :
). y 2 y 1 ex sin x .....(E ، )y 2 y 1 0 .....(E
yدالة معرفة و قابلة للإشتقاق على .
أجب بصحيح أو خطأ مع التبرير في كل حالة مما يلي :
2
(E) )1تقبل كثير حدود من الدرجة الأولى كحل .
)2لتكن gدالة موجبة معرفة على .إذا كانت gحل للمعادلة ) (Eفإنها متزايدة على .
)3الدالة x 3e2x 1حل للمعادلة ). (E
2
)4الدالة الأصلية Fللدالة fو التي تنعدم عند 0هي حل للمعادلة ). (E
مسألة 04من Bac Antilles-Guyane2001ـ بتصرف ـ
(Iنعتبر المعادلة التفاضلية . y 2 y xex .... () :
)1حل في المعادلة التفاضلية . y 2 y 0 .... () :
u )2الدالة المعرّفة على كما يلي . u(x) (ax b)ex :حيث aو bعددان حقيقيان .
أ -ع ّين العددين الحقيقين aو bبحيث تكون الدالة uحلا للمعادلة ). (
بـ -بيّن أن vحل للمعادلة ) (إذا و فقط إذا كان u vحلا للمعادلة ). (
. جـ -استنتج مجموعة حلول المعادلة ). ( )3
عيّن حل المعادلة ) (و الذي ينعدم عند 0
(IIالدالة العددية gمعرّفة على كما يلي . g(x) 2ex x 2 :
جدول )1أ -أحسب ) lim g(xو ). lim g(x
x x
. تغ ّيراتها g
،ثم ش ّكل بـ -أدرس إتجاه تغ ّير الدالة
)2أ -ب ّين أنّ المعادلة g(x) 0تقبل ح ّلين أحدهما معدوم و الآخر بحيث . 1.6 1.5 :
بـ -استنتج تبعا لقيم العدد الحقيقي xإشارة ). g(x
(IIIنعتبر الدالة fالمع ّرفة على كما يلي . f (x) e2x (x 1)ex :
) (الوحدة 2cm . (O; i, )j المتجانس و المتعامد إلى المعلم المنسوب المستوي في ) (Cfتمثيلها البياني
. )1أ -أحسب )lim f (x
x
بـ -أحسب ) . lim f (xف ّسر النتيجة بيانيا .
x
)2أ -ب ّين أ ّنه من أجل كل عدد حقيقي . f (x) ex.g(x) ، x
بـ -استنتج اتجاه تغ ّير الدالة ، fثم ش ّكل جدول تغ ّيراتها .
. ،ثم استنتج حصرا للعدد ) f ( f ( ) 2 2 ب ّين أن : )3
4
)4أنشئ المنحنى ) . (Cf
) (Chتمثيلها البياني . )5نعتبر الدالة hالمعرّفة على كما يلي . h(x) f ( x ) :
أ -بيّن أن الدالة hزوجية .
بـ -إشرح كيفية إنشاء المنحنى ) (Chإعتمادا على ) ، (Cfثم أنشئه في نفس المعلم السابق .
جـ -ناقش بيانيا و حسب قيم الوسيط الحقيقي mعدد حلول المعادلة . h(x) m :
0
(IVعدد حقيقي ،بحيث . 0 :نضع . A() f (x)dx :
)1أعط تفسيرا بيانيا للعدد ). A(
0
)2أ -أحسب باستعمال المكاملة بالتجزئة التكامل . xexdx :
بـ -استنتج ) A(بدلالة .
)3أحسب ). lim A(
3
مسألة 05من إعداد خالد بخاخشة
)Iنعتبر المعادلة التفاضلية (E) .....y y ex :
)1ب ّين أن الدالة uالمعرّفة على بـ u(x) xex :هي حل للمعادلة التفاضلية ). (E
)2نعتبر المعادلة التفاضلية . (E) ..... y y 0 :
حل المعادلة التفاضلية ). (E
v )3دالة معرّفة و قابلة للإشتقاق على .
بيّن أن v :حل للمعادلة التفاضلية ) (Eإذا و فقط إذا كانت v uحل للمعادلة التفاضلية ). (E
)4استنتج حلول المعادلة التفاضلية ). (E
)5عيّن الحل الخاص gللمعادلة ) (Eو الذي يحقق . g(0) 2
f )IIالدالة العددية المع ّرفة على كما يلي . f (x) (x 2)ex :
) (Cfتمثيلها البياني في المستوي منسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ). (O;i, j
)1أحسب ) lim f (xو ) lim f (xو فسّر النتيجة الثانية بيانيا .
x x
)2أدرس إتجاه تغ ّير الدالة ، fثمّ ش ّكل جدول تغيّراتها .
)3أ -ب ّين أن المنحنى ) (Cfيقبل نقطة إنعطاف يُطلب تعيين إحداثييها .
بـ -أكتب معادلة المماس ) (Tللمنحنى ) (Cfفي النقطة .
. (Cf و) ثم أنشئ )(T f 5 ، )f (2 أحسب )4
2
h )5الدالة المعرّفة على كما يلي . h(x) ( x 2)e x :و ليكن ) (Chتمثيلها البياني .
أ -أدرس قابلية إشتقاق الدالة hفي . 0
بـ -ب ّين أن الدالة hزوجية .
جـ -إشرح كيفية إنشاء المنحنى ) (Chإعتمادا على المنحنى ) ، (Cfثم أنشئه في نفس المعلم السابق .
k )6الدالة المع ّرفة على كما يلي . k(x) f (x)2 :
أدرس تغيّرات الدالة ، kثم ش ّكل جدول تغيّراتها .
)IIIليكن mوسيط حقيقي .نعتبر الدالة fmالمعرّفة على كما يلي . fm (x) (x m)ex :و ليكن ) (Cmتمثيلها البياني .
. lim و )fm (x lim )fm (x أحسب )1
x x
)2أ -ب ّين أنه من أجل كل عدد حقيقي . fm(x) (x m 1)ex ، x
بـ -شكّل جدول تغ ّيرات الدالة . fm
)3نسمي ) (Tmمماس المنحنى ) (Cmفي النقطة ذات الفاصلة . 0
أ -بيّن أن معادلة لـ ) (Tmمن الشكل . y (1 m)x m :
بـ -ب ّين أن كل المستقيمات ) (Tmتمر من نقطة ثابتة يُطلب تعيين إحداثييها .
Mm )4نقطة من المنحنى ) (Cmفاصلتها xmحيث . xm 1 m :
أثبت أنه عندما mيمسح فإن Mmتنتمي إلى منحن ُيطلب تعيين معادلته .
4
مسألة 06من بكالوريا المغرب 2019ـ بتصرف ـ
f ) Iالدالة العددية المع ّرفة على المجال 0; كما يلي . f (x) x 1 ln x 1 (ln x)2 :
22
) (Cfتمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ). (O;i, j
هندسيا . ف ّسر النتيجة ثم lim أحسب )f (x )1
x0
. )f (x x 1 1 ln x 1 ln x ، 0; من أ -تحقق أنه من أجل كل x )2
2 2
بـ -أحسب ). lim f (x
x
)3أ -بيّن أن لكل xمن المجال (x 1) lnx 0 : 0;1و أن لكل xمن . (x 1) ln x 0 ، 1;
x 1 ln x
. )f (x x : من 0; أنه من أجل كل x بـ -بيّن
جـ ـ ش ّكل جدول تغ ّيرات الدالة . f
في نقطتين يطلب تعيين إحداثييهما . y x 1 يقطع المستقيم ) (ذو المعادلة أن المنحنى ) (Cf أ -ب ّين )4
2
بـ -أدرس الوضع النسبي للمنحنى ) (Cfوالمستقيم ). (
)5عيّن إحداثيي النقطة Aمن ) (Cfالتي يكون فيها المماس ) (Tموازيا للمستقيم ) ، (ثم أكتب معادلة للمماس ). (T
. f (x) 2 ln x : من 0; أنه من أجل كل x أ -ب ّين )6
x2
بـ -استنتج أن المنحنى ) (Cfيقبل نقطة إنعطاف ،يطلب تعيين إحداثييها .
)7أنشئ كلا من ) (Cf ) ، (و ). (T
)8ناقش بيانيا و حسب قيم الوسيط الحقيقي mعدد حلول المعادلة . f (x) x 2m :
)9أ -ب ّين أن الدالة x x ln x xهي دالة أصلية للدالة x ln xعلى المجال . 0;
e
بـ -باستعمال التكامل بالتجزئة بيّن أن . (ln x)2 dx e 2 :
1
جـ -أحسب مساحة الحيّز المستوي المحدد بالمنحنى ) (Cfو المستقيمات التي معادلاتهما x e ، x 1:و . y x
)IIلتكن ) (unالمتتالية العددية المع ّرفة بـ ، u0 1 :و من أجل كل عدد طبيعي . un1 f (un ) ، n
)1أ -برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي .1 un e ، n
بـ -بيّن أن المتتالية ) (unمتزايدة .
جـ -استنتج أن المتتالية ) (unمتقاربة .
)2أحسب نهاية المتتالية ) . (un
مسألة 07من بكالوريا المغرب 1978ـ بتصرف ـ
. f )(x cos x : يلي كما ; 3 المجال على المعرفة الدالة f (I
1 sin x 2 2
) (Cfتمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ). (O;i, j
)1أحسب ) lim f (xو ) ( . lim f (xإرشاد :يمكنك استخدام تقنية تبديل المتغ ّير بوضع ) t sin x :
3
x x
2 2
. تغ ّيراتها جدول شكّل ثم ، ; 3 المجال على f أدرس إتجاه تغ ّير الدالة )2
2
2
5
. (Cf للمنحنى ) تناظر مركز ; 0 النقطة -ب ّين أن أ )3
2
بـ -ب ّين أن هي نقطة إنعطاف للمنحنى ) . (Cf
جـ -أكتب معادلة المماس ) (Tللمنحنى ) (Cfفي النقطة .
)4ب ّين أنه يوجد مماسين لـ ) (Cfمعامل توجيههما ، 1يُطلب كتابة معادلتهيما .
)5أنشئ كلا من ) (Tو ) . (Cf
. ; 3 المجال في f )(x x المعادلة m حلول عدد m الحقيقي الوسيط قيم وحسب بيانيا ناقش )6
2 2
. )g(x ln(1 sin )x : يلي كما ; 3 المجال على المعرفة الدالة g (II
2 2
) (تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ). (O;i, j
تغ ّيراتها . جدول ش ّكل ثم ، ; 3 على المجال g أدرس تغيّرات الدالة )1
2 2
)2أكتب معادلة المماس ) (للمنحنى ) (في النقطة ذات الفاصلة . 0
)3ب ّين أن المستقيم ذو المعادلة x محور تناظر للمنحنى ) . (
2
)4أنشئ المنحنى ) . (
. ; 3 المجال في 1 sin x e m ناقش بيانيا وحسب قيم الوسيط الحقيقي mعدد حلول المعادلة 0 )5
2 2
مسألة 08من Bac France 1997ـ بتصرف ـ
. )g(x ln 1 1 2 : كما يلي ;0 المجال على المعرفة الدالة g (I
x2 x2 1
. lim )g(x و lim )g(x أحسب )1
x
x0
. )g(x )2(x2 1 ، x 0; أ ـ بيّن أنه من أجل كل )2
x(x2 1)2
بـ ـ استنتج إتجاه تغ ّير الدالة ، gثم شكل جدول تغيّراتها .
)3أ ـ ب ّين أن المعادلة g(x) 0تقبل في المجال 0; حلا وحيدا ،ثم تحقق أن . 0.5 0.6 :
بـ ـ استنتج إشارة ) g(xعلى المجال . 0;
. f )(x x ln 1 1 ; f (IIالدالة المعرفة على المجال 0; كما يلي x 0 :
x2
f (0) 0
) (Cfتمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ) . (O;i, jالوحدة . 4cm
1 ب ّين أن الدالة fمستمرة عند 0من اليمين. )1
x2 أحسب )، lim xf (xثم استنتج )). lim f (xيمكنك وضع )2
( t x x
،ثم فسر النتيجة بيانيا lim )f (x أحسب )3
x
x0
)4أ ـ ب ّين أنه من أجل كل . f (x) g(x) ، x0;
بـ ـ استنتج إتجاه تغيّر الدالة ، fثم شكل جدول تغيراتها .
) . f ( .ثم أعط حصرا للعدد f ( ) 1 2 2 ب ّين أن : )5
6
)6أنشئ المنحنى ) ). (Cfنأخذ ( f ( ) 0.8
)7عدد حقيقي حيث . 0 1:
أ ـ أحسب بالسنتمر المربع المساحة ) S(للح ّيز المستوي المحدّد بالمنحنى ) (Cfو حامل محور الفواصل و المستقيمات التي
معادلاتها x 1 :و . x
. )lim S( أحسب ـ بـ
0
مسألة 09من بكالوريا الجزائر ـ علوم الطبيعة و الحياة 9111ـ بتصرف ـ
. )f (x 2x ln(x ) 1 : بـ 1; المجال على المعرّفة f العددية الدالة نعتبر
x 1
) (Cfتمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامـد و المتجانـس ). (O;i, j
)1أ -أحسب ). lim f (x
x
) f (x) 2x (x 1) ln(x )1 (لاحظ أنّ ،ثم ف ّسر النتيجة بيانيا . lim )f (x بـ -أحسب
x 1
x 1
تفيغ ايّلرناتقهاط.ة ذات جدول ،ثم ش ّكل f أدرس إتجاه تغيّر الدالة أـ )2
) (Cf (Tللمنحنى ) ـ أكتب معادلة المماس بـ
. المعدومة الفاصلة
جـ -أثبت أ ّن ) (Cfيقبل نقطة إنعطاف ،يطلب تعيين إحداثييها .
)3ب ّين أن المعادلة f (x) 0تقبل حلّين أحدهما معدوم و الآخر بحيث . 3.9 4 :
() )4المنحنى الممثل للدالة . x ln x 2
أ -إشرح كيفية إنشاء المنحنى ) (إعتمادا على المنحنى الممثل للدالة اللوغاريتمية النبيرية .
بـ -ب ّين أن . lim f (x) (2 ln x) 0ماذا تستنتج .
x
جـ ـ أنشئ كلا من ) (و ) . (Cf
. 2x a x b 1 يكون: x ;1 كل أجل من ، بحيث )5أ ـ جد العددين الحقيقيين b ، a
x 1
بـ ـ تح ّقق أنّ الدالة x (x 1) ln(x 1) xهي دالة أصلية للدالة ) x ln(x 1على المجال . 1;
جـ ـ إستنتج دالة أصلية للدالة fعلى المجال . 1;
)6أ ـ أحسب المساحة ) S(للحيز المستوي المح ّدد بالمنحنى ) ، (Cfمحور الفواصل و المستقيمين اللذين معادلتاهما. x ، x 0 :
. S( ) )( 3 : أ ّن من تحقّق ـ بـ
1
h )7الدالة العددية المعرّفة على كما يلي . h(x) ex ln(1 e2x ) :
ب ّين أ ّن إشارة ) h(xمن إشارة ) f (e2xث ّم استنتج تغيّرات الدالة hعلى .
مسألة 12من إعداد خالد بخاخشة
g (Iالدالة العددية المعرفة على المجال 0; كما يلي . g(x) x ln x :
)1أحسبب ) lim g(xو ). lim g(x
x
x0
)2أدرس إتجاه تغ ّير الدالة ،ثم شكّل جدول تغ ّيراتها .
)3استنتج أنه من أجل كل عدد حقيقي xمن المجال . g(x) 1 ، 0;
. )f (x x 2 2 ln x : الدالة العددية المع ّرفة على المجال 0; كما يلي f (II
x x
) (Cfتمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامـد و المتجانـس ). (O;i, j
الثانية بيانيا . فسّر النتيجة . )f (x و -أحسب أ )1
lim lim )f (x
x
x0
7
بـ -أحسب . lim f (x) xماذا تستنتج ؟
x
جـ -أدرس وضعية المنحنى ) (Cfبالنسبة للمستقيم ) (ذا المعادلة . y x
. f (x) ) g(x2 ، أ -ب ّين أ ّنه من أجل كل xمن المجال 0; )2
x2
بـ ـ استنتج إتجاه تغ ّير الدالة fو ش ّكل جدول تغ ّيراتها .
جـ ـ ب ّين أن للمنحنى ) (Cfنقطة إنعطاف ُيطلب تعيين إحداثييها .
)3أ ـ ب ّين أنه يوجد مماس وحيد ) (Tللمنحنى ) (Cfيوازي المستقيم ) ، (ثم أكتب معادلة لـ ). (T
بـ ـ أثبت أنه يوجد مماس وحيد ) (Tللمنحنى ) (Cfيمر من مبدأ المعلم ،معادلته . y (1 e)x
)4أ ـ بين أن المنحنى ) (Cfيقطع حامل محور الفواصل في نقطة وحيدة فاصلتها x0بحيث . 0.3 x0 0.4 :
بـ ـ أنشئ كلا من ) (T) ، (و ) . (Cf
جـ ـ عيّن قيم الوسيط الحقيقي mالتي تقبل من أجلها المعادلة f (x) x mحلّين مختلفين .
xعلى المجال . 0; ln x للدالة أصلية دالة (1جد (III
x
. vn en1 ،نضع : (2من أجل كل عدد طبيعي n
f (x) x dx
en
أ ـ بين أنه من أجل كل عدد طبيعي . vn 0 ، n
بـ ـ أعط تفسيرا هندسيا للعدد ، v0ثم أحسب vnبدلالة . n
جـ ـ أحسب بدلالة nالمجموع . Sn v0 v1 .... vn :
) (Cتمثيلها البياني . . f (x) x )(1 ln x الدالة المعرفة على المجال 0; بــ : f عدد حقيقي موجب تماما . (IV
x
)1ب ّين أن كل المنحنيات ) (Cتمر من نقطة ثابتة يُطلب تعيين إحداثييها .
. Gمرجح الجملة المثقلة (A;1),(B; 1),(C;1) ) ، C(1; و لتكن و B1; 2 ، A ; 2 ln النقط نعتبر )2
أ ـ ع ّين بدلالة إحداثيي النقطة . G
بـ -عيّن المحل الهندسي للنقط Gلما يمسح . 0;
مسألة 11من Bac Liban 2009ـ بتصرف ـ
fالدالة المعرفة على كما يلي . f (x) 1 x ln(1 ex ) :
3
) (Cfتمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ). (O;i, j
)1أ ـ أحسب ). lim f (x
x
. (Cfعند ) للمنحنى مائل مقارب y 1x المعادلة ذو )( المستقيم أن بين ـ بـ
3
جـ ـ أدرس وضعية المنحنى ) (Cfبالنسبة للمستقيم ). (
. )f (x 2 )x ln(1 ex )2
أ ـ بين أنه من أجل كل عدد حقيقي ، x
بـ ـ أحسب )3 . lim f (x
x
. (Cfعند ) للمنحنى مائل مقارب y 2 x المعادلة ذو )( المستقيم أن بين ـ جـ
3
د ـ أدرس وضعية المنحنى ) (Cfبالنسبة للمستقيم ). (
. f (x) ex 2 أ ـ ب ّين أنه من أجل كل عدد حقيقي ،x )3
)3(ex 1
بـ ـ أدرس إتجاه تغير الدالة ، fثم شكل جدول تغيراتها .
8
)4أكتب معادلة المماس ) (Tللمنحنى ) (Cfفي النقطة ذات الفاصلة . 0
x )5عدد حقيقي غير معدوم M .و Nنقطتان ) (Cfمن فاصلتاهما xو xعلى الترتيب .
بيّن أن للشعاع MNمنحى ثابت يُطلب تعيينه .
)6أنشئ كلا من ) (T) ، () ، (و ) . (Cf
. )f (x m حلول المعادلة x : الحقيقي mعدد ناقش بيانيا وحسب قيم الوسيط )7
3
n )8عدد طبيعي غير معدوم .
نسمي unمساحة الحيز المستوي المحدد بالمنحنى ) (Cfو المستقيم ) (و المستقيمين اللذين معادلتاهما x 0و . x n
n
أ ـ برر أنه من أجل كل . un ln(1 ex)dx ، n
0
بـ ـ ب ّين أنه من أجل كل . ln(1 x) x ، x0, ثم استنتج أنه من أجل كل عدد حقيقي . ln(1 ex) ex ، x
جـ ـ بيّن أنه من أجل كل . un 1 ، n
جـ ـ هل المتتالية (un )n1متقاربة ؟
مسألة 10من بكالوريا السنغال 0202ـ بتصرف
. )f (x 1 3ex x ـ كما يلي : نعتبر الدالة fالمع ّرفة على
x 2 ; ex 2 ;
)ln(x 1 0
x
x 1
x0
) (Cfتمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ). (O;i, j
)1بيّن أن الدالة fمستمرة عند . 0
. f (x) 2 1 2(e )x 1 1 : أن ب ّين ، x 0 أجل من ـ أ )2
x0
x ex 2
. lim f (x) 2 بـ ـ أحسب
x0
x0
جـ ـ هل الدالة fقابلة للإشتقاق عند 0؟
)3نعتبر الدالة gالمع ّرفة على المجال 0; كما يلي . g(x) ln x x :
أ -أدرس تغ ّيرات الدالة gعلى المجال ، 0; ثم ش ّكل جدول تغيّراتها .
بـ -ب ّين أنه من أجل كل x 0فإن . ln x x :
جـ -استنتج أنه من أجل كل x 0فإن . ln(x 1) (x 1)2 :
)4أ -أحسب ) lim f (xو ) . lim f (x
x x
بـ -أحسب ) f (xمن أجل x 0مستنتجا إشارتها .إرشاد :يمكنك الإستعانة بالسؤال ( 2جـ)
جـ -أحسب ) f (xمن أجل x 0مستنتجا إشارتها .
د -ش ّكل جدول تغيّرات الدالة . f
)5أ -أحسب lim f (x) (x 1)و ، lim f (x) (x 2)ثم فسّر النتيجتين بيانيا .
x x
بـ -أدرس وضعية المنحنى ) (Cfبالنسبة للمستقيمين ) (و ) (اللذين معادلتاهما y x 1 :و . y x 2
)6من أجل ، x 0جد إحداثيي النقطة Aمن ) (Cfالتي يكون فيها المماس ) (Tموازيا للمستقيم ) ، (ثم أكتب معادلة لـ ). (T
)7ب ّين أن المنحنى ) (Cfيقطع حامل محور الفواصل في نقطة وحيدة فاصلتها x0بحيث . 1.35 x0 1.34
)8أنشئ كلا من (T) ، () ، () :و ) . (Cf
)9ناقش بيانيا و حسب قيم الوسيط الحقيقي mعدد و إشارة حلول المعادلة . f (x) x m :
)11أحسب مساحة الحيّز المستوي المحدد بالمنحنى ) (Cfو المستقيمات التي معادلاتها x ln 3 ، x 0 :و . y x 1
9
مسألة 13من بكالوريا المغرب 0221ـ بتصرف ـ
نعتبر الدالة fالمع ّرفة كما يلي . f (x) ln(ex 2 ex 2) :
) (Cfتمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ). (O;i, j
)1ب ّين أنّه من أجل كل عدد حقيقي xفإن ، ex 2 ex 2 ( ex 1)2 1 :ثم استنتج أن fمعرّفة على .
)2أ -أحسب ). lim f (x
x
. النتيجة بيانيا فسّر ثم lim f )(x أحسب - بـ
x
. 2 2 أ -بيّن أنّه من أجل كل عدد حقيقي xفإن : )3
f (x) x ln 1 ex ex
بـ -استنتج أ ّن المستقيم ) (الذي معادلته y xمقارب مائل للمنحنى ) (Cfعند .
جـ -بيّن أ ّنه من أجل كل عدد حقيقي xمن . ex 2 ex 2 ex ، 0;
د -استنتج أ ّنه من أجل كل عدد حقيقي xمن f (x) x ، 0;
)4أ -ب ّين أ ّنه من أجل كل عدد حقيقي xفإن . f (x) ex ( ex 1) :
ex 2 ex 2
. تغ ّيراتها جدول شكّل fو الدالة إتجاهتغيّر استنتج ثم ، f )(x إشارة أدرس - بـ
. (ex )5أ -بيّن أ ّنه من أجل كل عدد حقيقي ex 2)2 2 ، x
f (x)
2(ex 2 ex 2)2
بـ -استنتج أن المنحنى ) (Cfيقبل نقطتي إنعطاف يطلب تعيين إحداثييهما .
)6عيّن إحداثيي النقطة Aمن ) (Cfالتي يكون فيها المماس ) (Tموازيا للمستقيم ) . (أكتب معادلة لـ ). (T
)7أنشئ كلا من ) (T) ، (و ) . (Cf
)8ناقش بيانيا ،حسب قيم الوسيط الحقيقي ، mعدد حلول المعادلة . ex exm 2(1 ex ) :
مسألة 14من بكالوريا السنغال 0209ـ بتصرف ـ
. )g(x x 1 1 ln(1 )x ; 0بـ: المجال على المعرفة الدالة g لتكن (I
1
)1أحسب ). lim g(x
x
)2أدرس إتجاه تغ ّير الدالة gعلى المجال ،0; ثم شكل جدول تغ ّيراتها .
)3استنتج إشارة ) g(xعلى المجال . 0;
ex 1 ln(1 x) ; x 0
. f )(x 2ex كما يلي : (IIنعتبر الدالة fالدالة المعرفة على
x ex 1
; x0
) (Cfتمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ). (O;i, j
)1بيّن أن الدالة fمستمرة عند . 0
)2أحسب ) lim f (xو ) ، lim f (xو فسر النتيجة الثانية بيانيا .
x x
. f )(x )f (0 1 الدالة;0fعند، ،0xث1مفxxسeر الن)تxيجxة1ب(يnاlنيا أثبت أن من أجل كل أـ )3
x 0 ex ـ أدرس قابلية إشتقاق بـ
.
)4أ ـ أحسب ) f (xعلى كل من المجالين 0; و . ;0
بـ ـ أدرس إتجاه تغ ّير الدالة ، fثم شكل جدول تغيّراتها .
10
)5بيّن أن المعادلة f (x) 0تقبل حلا وحيدا من المجال ، ;0ثم تحقق أن . 0.7 0.6 :
)6أ ـ ب ّين أن المستقيم ) (ذو المعادلة y xمقارب مائل للمنحنى ) (Cfعند .
بـ ـ أدرس وضعية المنحنى ) (Cfبالنسة للمستقيم ) (على المجال . ;0
)7أنشئ كلا من ) (و ) . (Cf
)8ناقش بيانيا و حسب قيم الوسيط الحقيقي ، mعدد و إشارة حلول المعادلة . f (x) x m
(IIIليكن عدد حقيقي من المجال ;0بحيث ) . العدد المعرف في الجزء (IIالسؤال( 5
و لتكن ) S(مساحة الحيز المستوي المحصور بالمنحنى ) (Cfو المسقيم ) (و المستقيمات التي معادلاتها x و . x
)1أحسب ) S(بدلالة و .
)2استنتج ). lim S(
مسألة 15من Bac Amérique du Nord 2002ـ بتصرف ـ
g (Iالدالة المعرّفة على المجال 0; بـ . g(x) ln(1 x) x :
)1أدرس تغيّرات الدالة . g
)2استنتج أنه من أجل كل عدد حقيقي موجب aلدينا . ln(1 a) a :
(IIنعتبر الدالة f1المعرّفة على المجال 0; كما يلي . f1(x) ln(ex x) x :
. lim .ثم استنتج )f1(x f1(x) ln 1 x ، تحقق أنه من أجل كل x0; )1
ex
x
)2أدرس إتجاه تغيّر الدالة ، f1ثم شكل جدول تغيّراتها .
المجال 0; كما يلي :
k .وسيط حقيقي موجب تماما . fk (x) ln(ex kx) x الدالة المعرّفة على نعتبر الدالة fk (III
) (Ckتمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ) . (O;i, jالوحدة . 5cm
. lim .ثم استنتج )fk (x fk )(x ln 1 k x ، ب ّين أنه من أجل كل x0; )1
ex
x
)2أدرس إتجاه تغيّر الدالة ، fkثم شكل جدول تغيّراتها .
. fk (x) k ، بيّن أنه من أجل كل x0; )3
e
)4أكتب معادلة لـ ) (Tkمماس المنحنى ) (Ckفي النقطة ذات الفاصلة . 0
m )5و pعددان حقيقيان موجبان تماما حيث . p m :
أدرس الوضع النسبي للمنحنيين ) (Cmو ) . (Cp
)6أنشئ كلا من المنحنيين ) (C1و ) (C2و المماسين ) (T1و ) . (T2
(IVعدد حقيقي موجب تماما .نرمز بـ ) A(لمساحة الحيز المستوي المحدد بحامل محور الفواصل و المنحنى ) (Ckو المستقيمات التي
معادلاتها x 0 :و . x
)1بيّن أن ) . A() k xexdx :يمكنك الإعتماد على الجزء ( (I
0
)2باستعمال المكاملة بالتجزئة ،أحسب . xexdx
0
)3نقبل أن لـ ) A(نهاية عند .
بيّن أن . lim A() k :فسر النتيجة هندسيا .
11
مسألة 16من إعداد خالد بخاخشة
(Iنعتبر الدالة gالمع ّرفة على كما يلي . g(x) 1 (1 2x)e2x :
)1أدرس تغيّرات الدالة . g
)2استنتج أنه من أجل كل عدد حقيقي . g(x) 0 ، x
f (IIالدالة العددية المعرفة على كما يلي . f (x) x (x 1)e2x :
) (Cfالمنحنى الممثل للدالة fفي مستو منسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ). (O;i, j
)1أحسب ) lim f (xو ) . lim f (x
x x
)2أ -ب ّين أن المستقيم ) (ذو المعادلة y xمقارب مائل للمنحنى ) (Cfعند .
بـ -أدرس وضعية ) (Cfبالنسبة للمستقيم ). (
)3أ ـ ب ّين أنه من أجل كل عدد حقيقي . f (x) g(x)، x
بـ ش ّكل جدول تغ ّيرات الدالة . f
)4أ -ب ّين أن المنحنى ) (Cfيقطع حامل محور الفواصل في نقطة وحيدة فاصلتها x0بحيث. 0.9 x0 0.8
بـ -ب ّين أن المنحنى ) (Cfيقبل نقطة إنعطاف ُيطلب تعيين إحداثييها .
). (T للمماس معادلة أكتب ثم ، )( للمستقيم موازيا ) (T المماس فيها يكون ((CCfال.تي Aمن ) f -ع ّين إحداثيي النقطة جـ
) (Tو ) أنشئ كلا من )، ( د-
هـ -ناقش بيانيا و حسب قيم الوسيط الحقيقي mعدد حلول المعادلة . x me2x 1:
H )5الدالة العددية المعرفة على كما يلي H(x) (x )e2x :حيث و عددان حقيقيان .
ع ّين و بحيث تكون Hدالة أصلية للدالة . x (x 1)e2x :استنتج دالة أصلية للدالة fعلى .
)6عدد حقيقي موجب تماما .
أ -أحسب ) S(مساحة الحيّز المستوي المحدد بالمنحنى ) (Cfو المستقيمات التي معادلاتها x 0 ، y x :و . x
) . S( 1 حتى يكون : قيمة بـ -ع ّين
2
جـ -أحسب ). lim S(
)7لتكن ) (unالمتتالية العددية المع ّرفة بـ ، u0 2 :و من أجل كل عدد طبيعي . un1 f (un ) ، n
أ -برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي . un 1 ، n
بـ -ب ّين أن المتتالية ) (unمتزايدة تماما .
. lim u n أحسب ثم ، متقاربة ) (un المتتالية أن استنتج - جـ
n
(IIIنعتبر الدالة fkالمعرفة على كما يلي k . fk (x) x (x 1)ekx :وسيط حقيقي غير معدوم .
) (Ckالمنحنى الممثل للدالة fkفي مستو منسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ). (O;i, j
)1بيّن أن كل المنحنيات ) (Ckتمر من نقطتين ثابتتين ُيطلب تعيين إحداثييهما .
. ) (Ck للمنحنى إنعطاف نقطة هي k 2 ;1 fk 2 1 النقطة أن بيّن )2
k k
)3بيّن أن المستقيم ذو المعادلة y xمقارب مائل للمنحنى ) . (Ck
)4ب ّين كل المنحنيات ) (Ckتقطع محور الفواصل على الأقل في نقطة فاصلتها kبحيث . 1 k 0
)5أدرس الوضع النسبي للمنحنيين ) (Ckو ). (Ck1
n )6عدد طبييعي بحيث . n 2نسمي fknالمشتق من الرتبة nللدالة . fk
برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي . fkn (x) kn1 n k(x 1) ekx ، n 2
12
مسألة 17من بكالوريا الجزائر 9191ـ بتصرف ـ
. )f1(x ex و f0 )(x 1 1 x كما يلي : )Iنعتبر الدالتين f0و f1المع ّرفتين على
1 ex e
) (C0و ) (C1تمثيلاهما البيانيين في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس )( . (O;i, jالوحدة . ) 2cm
)1أدرس تغيّرات كلا من الدالتين f0و . f1
. y 1 و x 0 : معادلتاهما الذين المستقيمين من كل إلى ب ّين أن المنحنيين ) (C0و ) (C1متناظران بالنسبة )2
2 )3
أنشئ المنحنيين ) (C0و ) . (C1
)4عدد حقيقي موجب تماما .
. y1 و x، x 0 : معادلاتهما التي المستقيمات و )(C1 بالمنحنى المحدد المستوي الح ّيز أحسب ) S(مساحة أ-
. -أحسب )lim S( بـ
. 1 عن يختلف حقيقي عدد )II
2
. f )(x ex 1 كما يلي : نعتبر الدالة العددية fالمع ّرفة على
1 ex
) (Cتمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ). (O;i, j
)1أدرس حسب قيم الوسيط تغ ّيرات الدالة . f
)2أ -ب ّين أن كل المنحنيات ) (Cتمر من نقطة ثابتة يطلب تعيين إحداثييها .
بـ -بيّن أن النقطة هي مركز تناظر و نقطة إنعطاف للمنحنى ) . (C
. 1 عن يختلف حقيقي عدد )3
2
أ -تحقق أنه إذا كان 1فإن المنحنيين ) (Cو ) (Cمتناظران بالنسبة إلى حامل محور التراتيب .
بـ -استنتج أنه إذا كان 1فإن المنحنيين ) (Cو ) (Cمتناظران بالنسبة إلى مستقيم ثان يطلب تعيينه .
.فسّر النتيجة بيانيا . f )(x 1 2 f )(x جـ -تحقق أنه من أجل كل عدد حقيقي ، x
1 2 1 2
مسألة 18من بكالوريا تونس 0229ـ بتصرف ـ
f (Iالدالة المعرفة على كما يلي . f (x) (1 x)e2x :
) (Cfتمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ). (O;i, j
)1أحسب ) lim f (xو ) . lim f (xفسر النتيجة الثانية بيانيا .
x x
)2أدرس إتجاه تغ ّير الدالة ، fثم شكل جدول تغ ّيراتها .
. يطلب تعيين إحداثييها نقطة إنعطاف للمنحنى ) (Cf أثبت أن )3
في النقطة . معادلة المماس ) أكتب )4
(Tللمنحنى ) (Cf
)5أنشئ كلا من ) (Tو ) . (Cf
)6ناقش بيانيا وحسب قيم الوسيط الحقيقي ، mعدد و إشارة حلول المعادلة . f (x) f (m) :
)7أحسب مساحة الحيز المستوي المحدد بالمنحنى ) ، (Cfحامل محور الفواصل و المستقيمات التي معادلاتها x 0 :و . x 1
(IIنعتبر الدالة fالمعرفة على كما يلي . f (x) (1 x)ex :وسيط حقيقي غير معدوم .
و ليكن ) (Cتمثيلها البياني .
)1بين أن كل المنحنيات ) (Cتمر من نقطتين ثابتتين ُيطلب تعيين إحداثييهما .
( )ناقش حسب قيم . lim )f (x و lim )f (x أحسب )2
)3
x x
أدرس إتجاه تغيّر الدالة ، fث ّم ش ّكل جدول تغ ّيراتها .
13
)4أ -ب ّين أن للمنحنى ) (Cنقطة إنعطاف ُ يطلب تعيين إحداثييها .
بـ -أكتب معادلة المماس ) (Tللمنحنى ) (Cفي النقطة .
. In 1 x)n e2xdx : نضع ، n معدوم غير طبيعي عدد كل أجل من (III
(1
0
. lim In استنتج . 1 In e2 ، n )1بيّن أنه من أجل كل
n 1 n 1
n
. lim nIn استنتج . 2In1 (n 1)In 1، n )2ب ّين أنه من أجل كل
n
. un 2n In ، n )3نضع ،من أجل كل
!n
. 2n1 1 ، n أ ـ برهن بالتراجع أنه من أجل كل
!n
. un 2e2 ، n بـ ـ استنتج أنه من أجل كل
n 1
. lim un أحسب ـ جـ
n
. un1 2n un ، n )4أ ـ بين أنه من أجل كل
!)(n 1
. un 1 e2 n 2k ، n بـ ـ أثبت أنه من أجل كل
2 k0
!k
. n 2k استنتج ـ جـ
lim k0 !k
n
مسألة 19من بكالوريا الجزائر 9111ـ بتصرف ـ
fmالدالة العددية للمتغ ّير الحقيقي xحيث m . fm (x) e2x (1 m)ex m:وسيط حقيقي .
) (Cmالتمثيل البياني للدالة fmفي المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ). (O;i, j
)Iنضع فيما يلي . m 1 :
)1أدرس تغ ّيرات الدالة . f1
)2أ ـ ب ّين أن المنحنى ) (C1يقبل نقطة الإنعطاف A0يطلب تعيين إحداثييها .
بـ ـ أكتب معادلة المماس للمنحنى )(C1عند النقطة ، A0ثم أنشئه .
جـ ـ أنشئ المنحنى ) ( (C1نأخذ . ) i 2 cm :
)IIفيما يلي نعتبر mوسيط حقيقي كيفي :
)1أ -بيّن أن جميع المنحنيات ) (Cmتشترك في نقطة ثابتة يطلب تعيين إحداثييها .
بـ ـ ناقش حسب قيم الوسيط الحقيقي mوجود نقاط تقاطع المنحنى ) (Cmمع حامل محور الفواصل .
)2أدرس تغيّرات الدالة ، fmثم عيّن المستقيمات المقاربة للمنحنى ) . (Cm
)3أ ـ نعتبر mعدد حقيقي حيث . m m :أدرس الوضع النسبي للمنحنيين ) (Cmو ) . (Cm
إعطاء يطلب )(P المنحنى (C3في نفس المعلم السابق . ببـرـهأنن أشنئذر(وداوتنالمدنراحسنيةاالتت )غيّmرا(Cتال)نالمقنطح انليتيينتق)ب2لCع(ندوها) )4
الدالة fmقيم حدية تنتمي إلى
معادلة له مستقلة عن الوسيط الحقيقي . m
14
مسألة 02من بكالوريا المغرب 0209ـ بتصرف ـ
. f1 )(x 2ex x و f0 )(x 2ex يلي : كما f0 (Iو f1الدالتان المعرفتان على
1 ex 1 ex
) (C0و ) (C1التمثيلان البيانيان للدالتين f0و f1في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ) . (O;i, jالوحدة . 2cm
)1أدرس تغيّرات كلا من الدالتين f0و ، f1ثم شكّل جدول تغيّراتهما .
. yx2 و yx : الترتيب على معادلتيهما ) (و )( الومنضحعنيىة)) ((CC11بيالقنبلسبمة إستلىقيمكينلممقنا)ربي(ن بيّن أن أ- )2
و ). ( -أدرس بـ
)3بيّن أن النقطة ذات الفاصلة 0مركز تناظر و نقطة إنعطاف لكل من ) (C0و ). (C1
2ex )4أنشئ كلا من ) (C0و ) . (C1
1 ex
nعدد طبيعي بحيث . n 2 . fn )(x nx كما يلي : fn (IIالدالة العددية المعرّفة على
) (Cnتمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ). (O;i, j
المحصل عليها بيانيا . ثم فسر النتيجة ، ( lim fn )(x أحسب )nx 2 أ- )1
مقاربا مائلا ،يُطلب تعيين -ب ّين أن المنحنى بـ
مستقيما x
. معادلته ) (Cnيقبل عند
. )fn (x 2ex n ، أ -بيّن أنه من أجل كل عدد حقيقي x )2
(1 ex )2
. (1 4ex )2 1، بـ -أثبت أنه من أجل كل عدد حقيقي x
ex
جـ -استنتج إتجاه تغيّر الدالة ، fnثم ش ّكل جدول تغ ّيراتها .
)3أ -أكتب معادلة المماس ) (Tnللمنحنى ) (Cnفي النقطة ذات الفاصلة . 0
بـ -ب ّين أن النقطة هي نقطة الإنعطاف الوحيدة للمنحنى ) . (Cn
)4أ -بيّن أنه من أجل كل عدد طبيعي ، n 2يوجد عدد حقيقي وحيد nهو حل للمعادلة fn (x) 0و يحقق. 0 n 1
بـ -ب ّين أنه من أجل كل عدد طبيعي . fn1(n ) 0 ، n 2
جـ -استنتج أن المتتالية (n )n2متناقصة .
. 1 n 1 2e ، n 2 أ -ب ّين أنه من أجل كل عدد طبيعي )5
n n 1 e
. lim n n 1 : أن بيّن ثم ، lim n بـ -استنتج :
n n
)6لكل عدد حقيقي ، 0نضع S() :مساحة الحيّز المستوي المحصور بالمنحنى ) (Cnو المستقيمات التي معادلاتها على
الترتيب x 0 ، y nx 2 :و . x
أ -أحسب ) S(بدلالة .
بـ -أحسب ). lim S(
15
مسألة 02من bac Métropole 0991ـ بتصرف ـ
nعدد طبيعي غير معدوم .
gn (Iالدالة العددية المعرّفة على المجال 0; كما يلي . gn (x) x2 n nln x :
. lim gn )(x و lim g n )(x أ ـ أحسب )1
x
x0
بـ -أدرس إتجاه تغ ّير الدالة ، gnثم ش ّكل جدول تغ ّيراتها .
)2أ -بيّن أن المعادلة gn (x) 0تقبل حلا وحيدا nبحيث . 1 n e :
x n n ln x بـ -استنتج إشارة ) gn (xعلى المجال . 0;
x
)fn (x : كما يلي المع ّرفة على المجال 0; (IIنعتبر الدالة العددية fn
) (Cnتمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس )( (O;i, jالوحدة ) 2cm
. بيانيا الثانية النتيجة فسر . lim fn )(x و lim )fn (x أحسب )1
x
x0
)2أ -بيّن أن المستقيم ) (nذي المعادلة y x nمقارب مائل للمنحنى ) (Cnعند .
بـ -أدرس وضعية المنحنى ) (Cnبالنسبة للمستقيم ) . (n
. fn(x) )gn (x ، ;0 من أ -بيّن أنه من أجل كل x )3
x2
بـ -استنتج إتجاه تغيّر الدالة ، fnثم شكّل جدول تغيّراتها .
. fn (n ) 2n n n تحقق أن : )4
n
)5ب ّين أنه يوجد مماس ) (Tnللمنحنى ) (Cnيوازي المستقيم ) ، (nثم أكتب معادلة لـ ) . (Tn
)6أ -تحقق أن t 1هو الحل الوحيد للمعادلة . 1 t 2ln t :
بـ -ب ّين أنه يوجد مماس وحيد ) (dnللمنحنى ) (Cnيشمل مبدأ المعلم ،ثم أكتب معادلة لـ ) . (dn
h (IIIالدالة العددية المعرّفة على المجال 0; كما يلي h(x) fn1(x) fn (x) :
)1أدرس تغ ّيرات الدالة . h
)2ب ّين أن المعادلة h(x) 0تقبل حلا وحيدا بحيث . 0.5 0.6 :
)3استنتج الوضع النسبي للمنحنيين ) (Cnو ). (Cn1
)4ب ّين أنه من أجل كل . fn ( ) ، n ماذا تستنتج ؟
(IVأ -أرسم المنحنى ) 1.2 2 1.3 ( . (C2و ) f (2 ) 1.1
بـ -عيّن قيم الوسيط الحقيقي mالتي تقبل من أجلها المعادلة f2 (x) mxحلّين مختلفين .
مسألة 00من بكالوريا الجزائر 0225ـ بتصرف ـ
. f (x) ln(x 1) xوسيط حقيقي موجب تماما . : يلي كما 1 المجال ; على المعرفة f العددية الدالة نعتبر (I
) (Cالمنحنى الممثل للدالة fفي المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامـد و المتجانـس ). (O;i, j
)1أدرس تغ ّيرات الدالة . f
)2استنتج أنه من أجل كل عدد حقيقي xموجب تماما يكون . ln(x 1) x :
)3بيّن أن كل المنحنيات ) (Cتمر من نقطة ثابتة يُطلب تعيينها .
16
n )4عدد طبيعي أكبر تماما من f(n) ، 1المشتق النوني للدالة . f
(1)n1(n 1)! n
(x 1)n
. f )(n )(x أثبت أن :
(IIنفرض فيما يلي . 1 :
. ln(1 ) ln 1 : يكون معدوم غير طبيعي عدد كل أجل من أنه بيّن ، الأول الجزء من ()2 السؤال باستعمال - أ )1
. ln(1 )n 1 1 1 .... 1 : يكون n معدوم غير طبيعي عدد كل أجل من أنه استنتج - بـ
2 3 n
. lim 1 1 1 .... 1 استنتج - جـ
2 3 n
n
)2أ -عيّن إحداثيي النقطة wالتي يكون فيها معامل توجيه المماس للمنحنى ) (C1يساوي. 1
بـ -أكتب معادلة المماس ) (Tللمنحنى ) (C1في النقطة . w
جـ -أنشئ ) (Tو ). (C1
)3ناقش بيانيا و حسب قيم الوسيط الحقيقي mعدد و إشارة حلول المعادلة . ln(x 1) 2x m :
g )4الدالة العددية المعرّفة على كما يلي . g(x) ln(1 x ) x :
أ -أدرس قابلية إشتقاق الدالة gعند . x0 0
بـ -إشرح كيفية إنشاء ) (Cgمنحنى الدالة إعتمادا على ) ، (C1ثم أنشئه في نفس المعلم السابق .
)5أ -باستعمال المكاملة بالتجزئة جد دالة أصلية للدالة ) x ln(1 xعلى المجال . 1;
بـ -عدد حقيقي حيث . 1 0
أحسب ) S(مساحة الحيّز المستوي المحدد بالمنحنى ) (C1و المستقيمات التي معادلاتها x 0 ، y x :و . x
. lim جـ -أحسب )S(
1
مسألة 03من بكالوريا تونس 0290ـ بتصرف ـ
(Iنعتبر الدالة العددية f2المعرّفة على المجال 0; كما يلي f2(x) x2 ln x :
) (C2تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس )(O;i, j
.فسّر النتيجة الثانية بيانيا . lim )f2 (x و lim )f2 (x أحسب )1
x
x0
)2أدرس إتجاه تغ ّير الدالة ، f2ثم ش ّكل جدول تغ ّيراتها .
)3أ -ب ّين أن1هو الحل الوحيد للمعادلة . x2 1 ln x 0 :
بـ -أثبت أنه يوجد مماس وحيد للمنحنى (C2 )يشمل مبدأ المعلم ،يطلب كتابة معادلة له .
)4أحسب ) ، f2 (eثم أنشئ المماس و المنحنى ) . (C2
)5ناقش بيانيا و حسب قيم الوسيط الحقيقي mعدد حلول المعادلة . x2 mx ln x 0
k (IIعدد طبيعي بحيث ، k 2نعتبر الدالة العددية fkالمعرّفة على المجال 0; كما يلي fk (x) xk ln x :
) (Ckتمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس )(O;i, j
تعيين إحداثييها , ُيطلب االلمننحسنبيياللتم)نkحن(Cييتمنر)مkنCن(قوط)1ةوkاCح(د .ة بيّن أن كل )1
أدرس الوضع )2
. lim fk )(x و lim )fk (x أحسب )3
x
x0
)4أ -أحسب . fk(x) :
. 1 ln k تساوي و 1 بـ -ب ّين أن الدالة fkتقبل قيمة ح ّدية صغرى عند
k kk
17
. uk 1 )5نضع من أجل كل ، k 2
kk
. lim uk استنتج ثم ، ln uk ln k أ -تحقق أن :
k
k
بـ -لتكن ) A(1;0و Akالنقطة ذات الإحداثيات )) . (uk; fk (uk
أحسب نهاية المسافة AAkلما kيؤول إلى .
مسألة 04
نعتبر الدالة fkالمعرفة على 0; بـ . fk (x) x(ln x)2 k x :حيث kوسيط حقيقي .
و ليكن ) (Ckالمنحنى الممثل للدالة fkفي المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ) . (O;i, jالوحدة . 2cm
(Iنفرض فيما يلي k 0 :و ليكن ) (C0المنحنى الممثل للدالة . f0
t عند حساب النهاية عند . ) 0 x ( يمكن وضع : . lim )f0 (x و lim أحسب )f0 (x )1
x0 x
)2أدرس إتجاه تغ ّير الدالة ، f0ثم شكل جدول تغيّراتها .
)3أكتب معادلة المماس ) (Tللمنحنى ) (C0في النقطة ذات الفاصلة . e
)4أنشـئ كلا من المستقيم ) (Tو المنحنى ) . (C0
(IIنفرض فيما يلي k :عدد حقيقي كيفي .
. lim )fk (x و lim )fk (x أحسب )1
x0 x
)2أحسب ، fk(x) :ثم أدرس إشارتها و ذلك حسب قيم . k
)3نعتبر Akهي النقطة من المنحنى ) (Ckالتي فاصلتها . 1
ب ّين أن المماس ) (Tkعند النقطة Akللمنحنى ) (Ckهو المستقيم ) . (OAk
)4أ ـ بيّن أنه من أجل كل x0; الوضع النسبي للمنحنيين ) (Ckو ) (Ckيترتب على مقارنة العددين kو . k
بـ ـ إستنتج الوضع النسبي للمنحنيين C3و . C2
. gk )(x fk )(x ; )5نعرف على المجال 0; الدالة gkكما يلي x 0 :
gk )(0 0
.مـاذا تعني هذه النتيجة المحصل عليها ؟ lim gk (x) )gk (0 أحسب :
x
x0
مسألة 05من Bac Métropole 1992ـ بتصرف ـ
nعدد طبيعي غير معدوم .
)x n ln(x 1
gn (x) x 1 الدالة المعرفة على المجال 1;بـ : gn (I
. lim gn )(x و lim )gn (x ـ أحسب أ )1
x
x1
بـ ـ أدرس إتجاه تغيّرا الدالة ، gnثم شكل جدول تغيراتها .
)2أحسب ) gn (0و استنتج إشارة ) gn (xعلىالمجال . 1;
fn (IIالدالة المعرفة على المجال 1; بـ . fn (x) xn ln(x 1) :
. ;(O i , )j المتجانس و المعلم المتعامد nمfن نفيق المطتسيتنوثايبالتمتنيسنو ُيبطإللىب و ليكن ) (Cnالمنحنى الممثل للدالة
تعيينهما . )1بيّن أن كل المنحنيات ) (Cnتمر
)2أدرس تغ ّيرات الدالة ، fnثم شكل حسب شفعية ، nجدول تغيرات الدالة . fn
)3أدرس الوضع النسبي للمنحنيين ) (Cnو )، (Cn1
)4أنشئ كلا من ) (C1و ) . (C2
18
1
(IIIنضع من أجل كل عدد طبيعي nغير معدوم . un xn ln(x 1)dx ،
0
.0 un ln 2 معدوم ، غير n طبيعي أنه من أجل كل عدد ـ أثبت أ )1
n 1
بـ ـ بيّن أن المتتالية ) (unمتقاربة ،ثم استنتج نهايتها .
. 0 un 1 ، بحيث يكون :من أجل كل n n0 جـ ـ ع ّين أصغر عدد طبيعي n0
2022
.1 x2 1 dx .أحسب x2 x 1 1 أ ـ بملاحظة أنه من أجل كل، x0;1 )2
0 x x 1 x 1
بـ ـ باستعمال التكامل بالتجزئة ،أحسب . u1
)3أ ـ نضع :من أجل كل ، n 2و من أجل كل. Sn 1 x .... (1)n xn ، x0;1
. Sn 1 (1)n1xn1 بين أن :
1 x x1
1 1 .... (1)n 1 xn1 : أن بين ، بـ ـ باستعمال عبارتي
2 n 1 x 1
ln 2 (1)n1
0
. dx Sn
. un ln 2 (1)n1 2 1 .... (1)n : أن أثبت السابقة النتائج و بالتجزئة التكامل باستعمال ـ جـ
n 1 n 1 ln 1 2 n 1
The only way to learn mathematics is to do mathematics
19
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
مجلة المسائل الشاملة
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
مجلة خاصة بالمسائل الشاملة
- 1 - 21
Pages: