หนังสือการบวกลบพหุนาม (1)

พหุนาม




การบวกและ
การลบพหุนาม

คำนำ

หนังสือการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์ระดับ
มัธยมศึกษาปีที่ 2 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม เป็น
ส่วนหนึ่งของรายวิชาคณิตศาสตร์ จัดทำขึ้นเพื่อประกอบ
การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ หนังสือเล่มนี้เกี่ยวกับการ
บวกและการลบพหุนาม สามารถนำความรู้มาใช้ให้เกิด
ประโยชน์แก่ตนเอง และผู้อื่นจัดทำได้จัดทำหนังสือเล่ม
เล็กเล่มนี้ขึ้นสำหรับครูนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2
รวมไปถึงผู้ที่สนใจได้ศึกษาหาความรู้และนำผลที่ได้มา
พัฒนาความรู้ให้เกิดประโยชน์สูงสุด

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่าหนังสือเล่มนี้จะเป็น
ประโยชน์ต่อผู้ที่สนใจศึกษาหาความรู้เกี่ยวกับการบวก
และการลบพหุนาม เพื่อรวบรวมเนื้อหาต่อไปทางผู้จัดทำ
หนังสือเล่มเล็กเล่มนี้จึงขอขอบคุณเป็นอย่างสูงมา ณ
โอกาสนี้

สารบ
ัญ

เรื่อง หน้า

การบวกและการลบพหุนาม 1
- พหุนาม 3
- การบวกพหุนาม 6
- การลบพหุนาม 10

แบบฝึกหัด

1

การบวกและ
การลบพหุนาม

พหุนาม

พหุนาม ในคณิตศาสตร์ หมายถึง นิพจน์ที่สร้างจาก
ตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวและสัมประสิทธิ์ โดยใช้การดำเนิน
การแค่ การบวก การลบ การคูณ และการยกกำลังโดยที่
เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

ให้นักเรียนพิจารณานิพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. 2
2. 3x + 7
3. 6x + (-4y) + x2
4. 5x2+ (-2x) + (-4x) + 9

จะเห็นว่า นิพจน์ในข้อ 1 เป็นเอกนาม
นิพจน์ในข้อ 2 อยู่ในรูปการบวกของเอกนามสองเอกนาม
นิพจน์ในข้อ 3 อยู่ในรูปการบวกของเอกนามสามเอกนาม
นิพจน์ในข้อ 4 อยู่ในรูปการบวกของเอกนามสีเอกนาม

เราเรียก นิพจน์เช่นในข้อ 1, 2, 3 และ 4 ว่า พหุนาม

นิพจน์ที่อยู่ในรูปเอกนาม หรือเขียนอยู่ในรูปการบวกกันของ
เอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไปได้ เรียกว่า พหุนาม (polynomial)

2

พหุนาม

เพื่อความสะดวกในการอ้างถึง เราจะเรียกแต่ละเอกนามที่ปรากฏ
ในพหุนามว่า พจน์ (term) ในกรณีที่พหุนามนั้นมีเอกนามที่คล้ายกัน
จะเรียกเอกนามที่คล้ายกันว่า พจน์ที่คล้ายกัน (like termill) เช่น

-4x3+ 3x2- 2x + x2เป็นพหุนามที่มีพจน์ คือ -4x3, 3x2, 2x , x2

ในกรณีที่พหุนาม มีพจน์บางพจน์เป็นพจน์ที่คล้ายกัน เราสามารถ
รวมพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกันเพื่อทำให้เป็นพหุนามในรูปที่ไม่มีพจน์ที่
คล้ายกันเลย ดังตัวอย่างต่อไปนี้

1. 4x + x – 5 = (4x + x) – 5
= 5x – 5

2. -3x2+ 14 + 7x2+ 2 = (-3x2+7x2) + (14 + 2)
= 4x2+ 16

เรียกพหุนามที่ไม่มีพจน์ที่คล้ายกันเลยว่า พหุนามในรูปผลสำเส็จ
(polynomial in the simplest form )

3

การบวกและ
การลบพหุนาม

การบวกพหุนาม



พิจารณาสองพหุนามต่อไปนี้

3x - 6 และ 2x + 9

เขียนพหุนามทั้งสองนี้ในรูปการณ์บวกดังนี้

(3x - 6) + (2x + 9)

เมื่อทำพหุนาม (3x - 6) + (2x + 9) ให้เป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จ
จะได้ดังนี้

(3x - 6) + (2x + 9) = 3x – 6 + 2x + 9

= (3x + 2x) + (-6 + 9)

= 5x+3

เรียกพหุนาม 5x+3 ว่าผลบวกของพหุนาม 3x - 6 และ 2x + 9
นั่นคือ (3x - 6) + (2x + 9) = 5x + 3

4

การบวกพหุนาม



การหาผลบวกของพหุนามใช้หลักเกณฑ์ดังนี้

การหาผลบวกของพหุนาม ทำได้โดยนำพหุนามมาเขียนในรูปการณ์
บวก และถ้ามีพจน์ที่คล้ายกัน ให้บวกพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้

1.) -4x2+ 7 และ x2- 5

วิธีทำ (-4x2+ 7) + (x2- 5) = -4x2+ 7 + x2- 5
= (-4x2+ x2 ) + (7 - 5)
= -3x2+ 2

ตอบ -3x2+ 2

2.) 3x2+ x - 8 และ x2+ 6

วิธีทำ (3x2+ x – 8) + (x2+ 6) = 3x2+ x - 8 + x2+ 6
ตอบ 4x2+ x – 2 = (3x2+ x2) + x + (-8 + 6)
= 4x2+ x – 2

5

การบวกพหุนาม



ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวกของ 8x – 1 ,-x2– 9x และ x2+ 4

วิธีทำ (8x – 1) + (-x2– 9x) + (x2+ 4) = 8x – 1 - x 2– 9x + x2+ 4
ตอบ -x2+ 3 = (-x2+ x2) + (8x - 9x) + (-1 + 4)
= -x2+ 3

6

การบวกและ
การลบพหุนาม

การลบพหุนาม




การลบพหุนามทำได้ในทำนองเดียวกันกับการลบเอกนาม โดยเขียน
พหุนามในรูปการลบให้อยู่ในรูปการบวกพหุนาม ซึ่งต้องใช้พหุนามตรง
ข้าม

พิจารณาพหุนาม x - 4
เราจะหาพหุนามที่นำมาบวกกับพหุนาม x - 4 แล้วได้พหุนาม 0
เนื่องจาก (x - 4) + (-x + 4) = x – 4 – x + 4

=0

ดังนั้น พหุนาม -x + 4 เป็นพหุนามที่นำมาบวกกับพหุนาม x - 4
แล้วได้พหุนาม 0

เรียกพหุนาม -x + 4 ว่า พหุนามตรงข้ามของพหุนาม x - 4

เขียนแทนพหุนามตรงข้ามของพหุนาม x - 4 ด้วย - (x - 4)
นั่นคือ - (x - 4) = -x + 4

และเมื่อพิจารณาแต่ละพจน์ของพหุนาม -x + 4 กับ x - 4 จะเห็นว่า

-x + x = 0 เรียก -x ว่าพจน์ตรงข้ามของ x

และ 4 + (-4) = 0 เรียก 4 ว่าพจน์ตรงข้ามของ -4

จึงกล่าวได้ว่า พหุนามตรงข้ามของ x - 4 คือ ผลบวกของพจน์ตรงข้าม
ของแต่ละพจน์ของ x - 4

7

การลบพหุนาม



โดยทั่วไป เราสามารถแสดงได้ว่า พหุนามตรงข้ามของพหุนามใด
เท่ากับผลบวกของพจน์ตรงข้ามของแต่ละพจน์ของพหุนามนั้น

การหาผลลบของพหุนามสองพหุนาม ทำตามข้อตกลงดังนี้

พหุนามตัวตั้ง - พหุนามตัวลบ = พหุนามตัวตั้ง + พหุนามตรงข้ามของพหุนามตัวลบ

ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลลบ (2x3- 13) – (-9x3)

วิธีทำ (2x3- 13) - (-9x3) = (2x3– 13) + 9x3
= 2x3– 13 + 9x3

= 11x3– 13

ตอบ 11x3– 13

8

การลบพหุนาม



เนื่องจาก พหุนามตรงข้ามของพหุนามตัวลบ เท่ากับผลบวกของ
พจน์ตรงข้ามของแต่ละพจน์ของพหุนามตัวลบนั้น ดังนั้น ในทางปฏิบัติ
การลบพหุนามสามารถใช้หลักเกณฑ์ดังนี้

การลบพหุนามด้วยพหุนาม ทำได้โดยบวกพหุนามตัวตั้ง
ด้วยพจน์ ตรงข้ามของแต่ละพจน์ของพหุนามลบ

ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลลบ (15x + 2) – (x2+ 12x – 6)

วิธีทำ (15x + 2) – (x2+ 12x – 6) = (15x + 2) + (-x2) + (-12x) + 6
= 15x + 2- x2- 12x + 6

= -x2+ 3x + 8

ตอบ -x2+ 3x + 8

9

การลบพหุนาม



ตัวอย่างที่ 5 จงหาผลลบ (3x2- 5x -10) – (3x2- 14x -15)

วิธีทำ
(3x2- 5x -10) – (3x2- 14x -15) = 3x2- 5x -10 + (-3x2) + 14x + 15
= 9x + 5

ตอบ 9x + 5

พิจารณาหารหาผลลัพธ์ในตัวอย่างที่ 5 โดยใช้วิธีการเช่นเดียวกับการบวก
และการลบจำนวนจริง ดังนี้

(3x2- 5x -10) – (3x2- 14x -15) = 3x2- 5x -10 - 3x2+ 14x + 15
= 9x + 5

จะเห็นว่าได้ผลลัพธ์เท่ากัน
ดังนั้น การบวกและการลบพหุนามสามารถใช้วิธีการเช่นเดียวกับการบวกและ
การลบจำนวนจริง

10

แบบฝึกหัด

จงหาผลบวกของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้

1. (5x3+ 7) และ (x3- x + 2)
2. (x2+ x) และ (2x - 1)
3. (x2+ 5x + 1) และ (-x2+ 3x - 1)
4. (2x2+ 3x - 5) และ (-7x2+ 1)
5. (13s + 16) และ (-8s - 20)

จงหาผลลบของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ โดยใช้พหุนามแรกที่
กำหนดให้เป็นตัวตั้ง

1. 6x และ (4x + 7)
2. (3 + 2x) และ (4x2- 2x +10)
3. (4t4+ 7t3- 5 ) และ (9t3+ 1)
4. (7x2- 8x + 11) และ (2x2+ 10 + 1)
5. (x2- 6) และ (x3- x)

11

แบบฝึกหัด

จับคู่โจทย์และผลลัพธ์ของการบวกและการลบพหุนามให้ถูกต้อง

8xz - 4x + 6z2 2x3- x2+ 9x -5 -7x + 15

-2x2-2x - 10 -7x2+ 14x + 3 6xz + 6x -6z2

7z2+ 3z - 10 2x3+ x2- 3x -5

1. ( -12x + 15 ) + 5x
2. 3z2+ ( 4z2+ 3z - 10 )
3. ( 3 + 5x + x2) – ( 8x2– 9x )
4. (-x2+ x -1 ) – ( x2+ 3x + 9 )
5. ( 2x3+ 3x - 5 ) + ( 6x - x2)
6. ( 2x3+ 3x - 5 ) - ( 6x - x2)
7. ( 7xz + x ) + ( 5x - xz - 6z2 )
8. ( 7xz + x ) - ( 5x - xz - 6z2 )