สมบัติอื่น ๆ ของเลขชี้กำลัง

หนงั สอื เรยี นอเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ (E-Book)
เรอ่ื ง สมบัติอ่นื ๆ ของเลขยกกำลัง

เสนอ
ผู้ชว่ ยศำสตรำจำรย์ ดร.พรหมมำ วหิ คไพบูลย์

จดั ทำโดย
นำงสำวอภญิ ญำ บศุ ยจติ ต์
รหัสนกั ศึกษำ 6310121204048
ชั้นปที ่ี 3 หมูเ่ รียนท่ี 2
สำขำคณิตศำสตร์ คณะวทิ ยำลัยกำรฝึกหัดครู

หนงั สอื เรยี นอเิ ล็กทรอนิกส์ (E-Book) เลม่ นเี้ ป็นส่วนหนงึ่ ของรำยวชิ ำ
เทคโนโลยีดิจิทลั เพอ่ื กำรจัดกำรเรยี นร้คู ณติ ศำสตร์
รหสั วิชำ 4092107
ภำคเรียนท่ี 1 ปีกำรศกึ ษำ 2565
มหำวิทยำลัยรำชภฏั พระนคร

ก

คำนำ

หนงั สอื อิเลก็ ทรอนกิ ส์ (E-Book) เร่อื งสมบตั ิอน่ื ๆ ของเลขยกกำลัง เล่มนี้ จัดทำ
ขึ้นเพ่อื สง่ เสริมกำรเรยี นกำรสอนทำงคณิตศำสตร์ ระดับช้นั มัธยมศึกษำปที ี่ 2 มีเนื้อหำ
เกย่ี วกับบทนยิ ำมและสมบัตขิ องเลขยกกำลังและแบบฝึกหดั โดยจะมงุ่ เนน้ ให้ผทู้ ศ่ี ึกษำมกี ำรฝกึ
คดิ หำคำตอบจำกโจทย์ทกี่ ำหนดให้ พรอ้ มทัง้ สำมำรถประเมนิ ตนเองได้จำกกำรตรวจสอบ
เฉลย อีกทง้ั ยังสำมำรถพัฒนำผศู้ กึ ษำให้เกดิ กำรเรียนรดู้ ว้ ยตนเองมำกย่งิ ขึน้

หนงั สอื อิเลก็ ทรอนิกส์ (E-Book) เรอ่ื งสมบัตอิ ื่น ๆ ของเลขยกกำลงั เล่มนี้ ทำง
ผูจ้ ดั ทำหวังวำ่ จะเปน็ ประโยชนต์ อ่ ผู้ท่สี นใจศกึ ษำ และผ้สู อนทีน่ ำไปประกอบกำรเรียนกำรสอน
เพ่ือพัฒนำทกั ษะทำงคณิตศำสตร์ให้มีประสทิ ธิภำพมำกสงู มำกขึน้

นำงสำวอภิญญำ บศุ ยจิตต์
ผ้จู ัดทำ

สารบญั ข

เรื่อง หน้า
สมบัตอิ น่ื ๆ ของเลขยกกำลัง
1
เลขยกกำลังที่มฐี ำนเป็นเลขยกกำลัง 2
เลขยกกำลังท่ีมีฐำนทีอ่ ยใู่ นรูปกำรคณู ของจำนวนหลำย ๆ จำนวน 3
เลขยกกำลังที่มฐี ำนที่อยู่ในรูปกำรหำรของจำนวนหลำย ๆ จำนวน 4
แบบฝกึ หัด 7
เฉลยแบบฝกึ หดั 11
บรรณำนกุ รม

1

สมบตั ติ า่ ง ๆ ของเลขยกกาลัง

เลขยกกาลงั ทม่ี ฐี านเปน็ เลขยกกาลัง

เราเคยเรยี นเร่อื งเลขยกกาลงั ที่มีฐานเปน็ จานวนใด ๆ มาแลว้ เช่น
84 เป็นเลขยกกาลงั ทีมี 8 เปน็ ฐาน และ 4 เป็นเลขช้ีกาลงั
เราอาจเขียนแทน 8 ด้วย 23
ดงั นัน้ 84 อาจเขียนแทนดว้ ย (23)4
(23)4 เป็นเลขยกกาลังที่มี 23 เปน็ ฐาน และ 4 เป็นเลขชี้กาลัง

ใหพ้ ิจารณาความหมายของเลขยกกาลังทม่ี ฐี านเป็นเลขยกกาลงั ต่อไปน้ี
(32)4 เป็นเลขยกกาลงั ทม่ี ี 32 เปน็ ฐาน และ 4 เป็นเลขช้ีกาลัง
(32)4 = 32 × 32 × 32 × 32
(32)4 = 3(2+2+2+2)
จะได้ (32)4 = 38 หรอื 3(2×4)

จากการหาผลลพั ธ์ของเลขยกกาลงั ข้างตน้ จะสังเกตเห็นวา่ เลขช้ีกาลงั ของ
ผลลัพธ์หาไดจ้ ากผลคณู ของเลขช้กี าลังของฐานกับเลขชก้ี าลงั ของเลขยกกาลงั น้นั
จึงได้สมบตั ิของเลขยกกาลงั ดังน้ี

บทนยิ าม

เมอื่ a แทนจานวนใด ๆ ทไ่ี ม่ใชศ่ ูนย์ m และ n แทนจานวนเต็ม
(am)n = am × n
= amn

2

สมบัตติ ่าง ๆ ของเลขยกกาลัง

เลขยกกาลังท่มี ีฐานอยใู่ นรปู ของการคณู
จานวนหลาย ๆ จานวน

143 เป็นเลขยกกาลงั ทมี ี 14 เป็นฐาน และ 3 เปน็ เลขชกี้ าลัง
เราอาจเขยี นแทน 14 ด้วย 2×7
ดังน้นั 143 อาจเขยี นแทนด้วย (2×7)3
143 เป็นเลขยกกาลงั ทม่ี ี (2×7) เปน็ ฐาน และ 3 เป็นเลขช้ีกาลัง

ให้พิจารณาความหมายของเลขยกกาลังทีม่ ฐี านอยู่ในรูปของการคูณจานวน
หลาย ๆ จานวนต่อไปนี้
(2×5)3 เป็นเลขยกกาลังท่มี ี (2×5) เปน็ ฐาน และ 3 เป็นเลขชกี้ าลงั
(2×5)3 = (2×5) × (2×5) × (2×5)
(2×5)3 = (2×2×2) × (5×5×5)
(2×5)3 = 23 × 53
จะได้ (2×5)3 = 23 × 53

จากผลลัพธ์ข้างตน้ เป็นไปตามสมบัตขิ องเลขยกกาลัง ต่อไปน้ี

บทนยิ าม

เมือ่ a แทนจานวนใด ๆ ทไี่ มใ่ ช่ศนู ย์ และ n แทนจานวนเต็ม
(ab)n = anbn

3

สมบตั ติ า่ ง ๆ ของเลขยกกาลัง

เลขยกกาลงั ทมี่ ีฐานอยใู่ นรูปของการหาร
จานวนหลาย ๆ จานวน

ให้พจิ ารณาความหมายของเลขยกกาลังท่ีมีฐานอยู่ในรูปของการคูณจานวน
หลาย ๆ จานวนตอ่ ไปน้ี

(72)3 เปน็ เลขยกกาลังที่มี (27) เป็นฐาน และ 3 เป็นเลขช้ีกาลงั

(2)3 = (2) × (2) × (2)

7 777

(27)3 = (2×2×2) × (7×7×7)

(2)3 = 23 × 73

7

จะได้ (2)3= 23
73
7

จากผลลัพธข์ ้างตน้ เป็นไปตามสมบตั ิของเลขยกกาลงั ต่อไปน้ี

บทนยิ าม

เม่ือ a แทนจานวนใด ๆ ทไี่ มใ่ ช่ศนู ย์ และ n แทนจานวนเต็ม

(a)n = an
bn
b

4

สมบัตติ า่ ง ๆ ของเลขยกกาลัง

แบบฝึกหัด

เลขยกกาลังทีม่ ีฐานเป็นเลขยกกาลงั

1.) จงหาผลลพั ธ์เลขยกกาลงั (52)4 มี 52 เปน็ ฐานและ 4 เป็นเลขชี้กาลัง
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

2.) จงหาผลลัพธ์ของเลขยกกาลงั [(-3)-2]5 มี (-3)-2 เป็นฐาน และ 5
เปน็ เลขช้ีกาลงั
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

3.) จงหาผลคูณ (42)4 × 52
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

5

สมบัติตา่ ง ๆ ของเลขยกกาลงั

แบบฝึกหัด

เลขยกกาลงั ที่มฐี านอยู่ในรูปการคูณของจานวนหลาย ๆ จานวน

1.) จงเขยี น 217 ในรูปการคูณของเลขยกกาลังที่มีฐานเป็นจานวนเฉพาะ
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

2.) จงหาผลลัพธ์ (2×7)5
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

3.) จงหาผลลพั ธ์ 23 × 32 × 52
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

6

สมบัติต่าง ๆ ของเลขยกกาลัง

แบบฝกึ หัด

เลขยกกาลงั ทม่ี ีฐานอยู่ในรูปการหารของจานวนหลาย ๆ จานวน

1.) จงเขียน (8)3 ในรปู เศษสว่ นของเลขยกกาลงั ที่มีฐานเปน็ จานวนเฉพาะ

9

……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

2.) จงหาผลลพั ธ์ (54)3
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

3 4 23 -3

3.) จงหาผลลพั ธ์ (4) × (32)

…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………

7

สมบัติตา่ ง ๆ ของเลขยกกาลัง

เฉลยแบบฝึกหดั

เลขยกกาลังท่มี ีฐานเปน็ เลขยกกาลงั

1.) จงหาผลลัพธ์ของเลขยกกาลงั (52)4 มี 52 เปน็ ฐานและ 4 เป็นเลขช้ีกาลงั .
วิธที า (52)4 = 52× 52 × 52 × 52 .
.
(52)4 = 5(2+2+2+2) .
(52)4 = 58
ดงั นนั้ (52)4 = 58

2.) จงหาผลลพั ธ์ของเลขยกกาลัง [(-3)-2]5 มี (-3)-2 เปน็ ฐาน และ 5 เป็น .
.
เลขชกี้ าลัง .
.
วธิ ที า [(-3)-2]5 = (-3)-2× (-3)-2 × (-3)-2 × (-3)-2
[(-3)-2]5 = (-3)[(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)]
[(-3)-2]5 = (-3)-10

ดังนั้น [(-3)-2]5 = (-3)-10

3.) จงหาผลคณู (42)4 × 52 .
.
วิธีทา (42)4 × 52 = 42 × 42× 42 × 42 × (5×5) .
(42)4 × 52 = 4(2+2+2+2) × (5×5) .
(42)4 × 52 = 48 × 25 .
(42)4 × 52 = 1,638,400

ดงั น้นั (42)4 × 52 = 1,638,400

8

สมบัตติ า่ ง ๆ ของเลขยกกาลัง

เฉลยแบบฝกึ หดั .
.
เลขยกกาลังท่ีมีฐานอยู่ในรูปการคูณของจานวนหลาย ๆ จานวน
.
1.) จงเขียน 217 ในรูปการคูณของเลขยกกาลังที่มีฐานเป็นจานวนเฉพาะ .
วธิ ที า 217 = (3×7)7 .
ดังนน้ั 217 = (3×7)7

2.) จงหาผลลพั ธ์ (2×7)4
วธิ ที า (2×7)4 = 144

(2×7)4 = 38,416
ดงั นนั้ (2×7)4 = 38,416

3.) จงหาผลลัพธ์ 23 × 32 × 52 .
วธิ ที า 23 × 32 × 52 = (2×2×2) × (3×3) × (5×5) .
.
23 × 32 × 52 = 8×9×25 .
23 × 32 × 52 = 1,800
ดังนน้ั 23 × 32 × 52 = 1,800

9

สมบตั ติ า่ ง ๆ ของเลขยกกาลงั

เฉลยแบบฝกึ หัด

เลขยกกาลังทม่ี ีฐานอยู่ในรูปการหารของจานวนหลาย ๆ จานวน

1.) จงเขียน (89)3 ในรูปเศษส่วนของเลขยกกาลังทีม่ ฐี านเปน็ จานวนเฉพาะ
(2×2×2)3
วิธีทา (89)3 = (3×3)2 .

(8)3 = (23)3 .
(32)3 .
9
.
ดงั นน้ั (98)3 = (23)3
(32)3 .
.
2.) จงหาผลลพั ธ์ (4)3 .
5
วิธีทา ((5454))33 =
= (5433)

(4×4×4)

(5×5×5)
(4)3 = 64
(5 4)3 125
ดงั น้ัน
= 64
5 125

10

สมบตั ติ ่าง ๆ ของเลขยกกาลัง

เฉลยแบบฝกึ หดั

เลขยกกาลังที่มีฐานอยู่ในรูปการหารของจานวนหลาย ๆ จานวน

3 4 23 -3

3.) จงหาผลลัพธ์ (4) × (32)

3 4 ×23 -3 34 23×(-3)
44 32×(-3)
( ) ( )วิธที า×32 = .
.
4 .
.
( ) ( )34 ×23 -3 34 2-9 .
44 3-6
× 32 =

4

( ) ( )3 4 23 -3
× 32
4 = 81 × 1024

256 729

( ) ( )3 4 23 -3 108 = 1
×
4 32 = 2268 21

34 23 -3
32
× = 108 = 1

4 2268 21
( ) ( )ดงั นนั้

11

บรรณานุกรม

นิรนาม. (ม.ป.ป.) คณติ ศาสตร์ ม.2 สมบัติอื่น ๆ ของเลขยกกาลัง. สืบคน้ 15 กรกฎาคม 2565, จาก
https://www.mathmyself.com/M2/P29/138/%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0
%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%AD%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%99-%E0%B9%86-
%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%A2%E0%B8%
81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87.htm

มูลนธิ กิ ารศึกษาทางไกลผ่านดาวเทยี ม. (2563). สมบัติอน่ื ๆ ของเลขยกกาลัง (1). สืบคน้ 15 กรกฎาคม
2565, จาก

https://dltv.ac.th/teachplan/episode/22741?fbclid=IwAR32R9YTwayZ_7TeyluBMTbjDVPvRIKKRUn-
BtUAr5CHoJtzE-JE8pnYLt0