TUGAS PBA-MODUL HIMPUNAN-PRADYANA SHINTA-020-3A1

TINJAUAN MATA PELAJARAN

A. Deskripsi Mata Pelajaran
Penguasaan konsep dan ruang lingkup materi tentang himpunan sangat penting

karena semua cabang-cabang matematika bertumpu pada konsep dasar dan teori
himpunan. Penguasaan konsep dan teori himpunan yang memadai akan bermanfaat bagi
seorang guru atau calon guru.

Sebelum kita memahami materi himpunan, coba kalian sebutkan contoh-contoh dari
hewan herbivora. Sebut saja ada sapi, kambing, kelinci, kuda dan yang lainnya. Kumpulan
hewan-hewan tersebut bisa kita sebut sebagai himpunan hewan herbivora.

Bagaimana kalau himpunan nama-nama hari yang berawalan huruf B? Tidak ada kan.
Lalu bagaimana cara menuliskan himpunan yang tidak memiliki anggota.

Semua pertanyaan-pertanyaan di atas akan kita ketahui jawabannya pada pembahasan
himpunan berikut. Selain itu, kita juga akan memahami apa itu irisan, gabungan, selisih,
dan komplemen dari himpunan.

B. Kegunaan Himpunan
Membahas mengenai manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari, tentunya kita

bertanya “Apa manfaat himpunan dalam kehidupan kita sehari-hari?” Kita belum tahu
betapa pentingnya himpunan yang merupakan dasar dari segala ilmu Matematika.

Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah
dan akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika
memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan
logika antara lain:
1. Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis,

lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.
2. Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
3. Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan

mandiri.
4. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas

sistematis.
5. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir,

kekeliruan serta kesesatan.
6. Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 1

C. Kompetensi Dasar 4.4
Menyelesaikan masalah kontekstual yang
Kompetensi Dasar berkaitan dengan himpunan, himpunan
3.4 bagian, himpunan semesta, himpunan
Menjelaskan himpunan, himpunan bagian, kosong, komplemen himpunan dan operasi
himpunan semesta, himpunan kosong, biner pada himpunan
komplemen himpunan, dan melakukan
operasi biner pada himpunan menggunakan
masalah kontekstual

D. Bahan Pendukung
Belajar himpunan tidak hanya sekedar mengerjakan soal ataupun mendengarkan

penjelasan dari guru. Tetapi, dapat menggunakan alat peraga atau bahan pendukung
lainnya seperti membuat alat peraga kemudian mempraktekkan bagaimana menggunakan
alat peraga tersebut dengan mengkaitkan pada materi himpunan. Serta dapat juga dengan
melihat dan mendengarkan pada sajian power point/video di layar LCD proyektor yang
disediakan oleh guru. dan masih banyak lagi.

E. Petunjuk Belajar
Untuk mencapai hasil belajar yang maksimal, dengan menggunakan modul ini, maka
langkah-langkah yang perlu dilakukan yaitu :
1. Pelajari materi himpunan dengan cermat.
2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului
merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada.
Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi
yang terkait.
4. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat dan teliti. Jika anda menemui kesulitan
dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
5. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian
tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang
berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga
akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 2

PENDAHULUAN

A. Deskripsi Modul
Dalam modul ini anda akan mempelajari 6 Kegiatan Belajar yang terdiri dari yaitu:
a. Kegiatan Belajar 1 membahas tentang perngertian himpunan dan cara menyatakan
himpunan
b. Kegiatan Belajar 2 membahas tentang himpunan bagian
c. Kegiatan Belajar 3 membahas tentang himpunan kosong
d. Kegiatan Belajar 4 membahas tentang himpunan semesta
e. Kegiatan Belajar 5 membahas tentang komplemen himpunan
f. Kegiatan Belajar 6 membahas tentang operasi biner pada himpunan
Kemudian dalam modul ini terdapat beberapa contoh soal dan ada latihan untuk anda
kerjakan sebagai bentuk bahwa anda sudah memahami materi himpunan.

B. Indikator Pencapaian Kompetensi 4.4.1
Menyelesaikan masalah konstektual yang
Indikator Pencapaian Kompetensi berkaitan dengan himpunan
3.4.1 4.4.2
Menjelaskan himpunan dengan menggunakan Menyelesaikan masalah konstektual yang
masalah konstektual berkaitan dengan himpunan bagian
3.4.2 4.4.3
Menjelaskan himpunan bagian dengan Menyelesaikan masalah konstektual yang
menggunakan masalah konstektual berkaitan dengan himpunan semesta
3.4.3 4.4.4
Menjelaskan himpunan semesta dengan Menyelesaikan masalah konstektual yang
menggunakan masalah konstektual berkaitan dengan himpunan kosong
3.4.4 4.4.5
Menjelaskan himpunan kosong dengan Menyelesaikan masalah konstektual yang
menggunakan masalah konstektual berkaitan dengan komplemen himpunan
3.4.5 4.4.6
Menjelaskan komplemen himpunan dengan Menyelesaikan masalah konsektual yang
menggunakan masalah konstektual berkaitan dengan operasi biner pada
3.4.6 himpunan
Menjelaskan operasi biner pada himpunan
menggunakan masalah konstektual

C. Deskripsi Perilaku Awal
Sebelum kita mempelajari himpunan, siswa dapat mengulang kembali materi yang

telah didapat pada kelas VII yaitu materi himpunan. Pada materi himpunan ini tidak beda
jauh dengan materi saat di kelas VII. Untuk mengasah atau menentukan tingkat
pemahaman kalian tentang fungsi himpunan, dalam modul ini juga disajikan contoh soal
atau soal latihan pada setiap kegiatan belajar, juga soal tes formatif pada akhir
pembelajaran yang ada di akhir modul. Dalam modul ini juga disediakan rangkuman
materi di akhir modul dan kunci jawaban untuk soal – soal latihan. Namun diharapkan

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 3

siswa mengerjakan latihan dengan jujur tanpa melihat kunci jawaban yang ada pada
modul.
D. Urutan Butir Modul
1. Kegiatan Belajar 1
2. Kegiatan Belajar 2
3. Kegiatan Belajar 3
4. Kegiatan Belajar 4
5. Kegiatan Belajar 5
6. Kegiatan Belajar 6
E. Petunjuk Belajar
Untuk mencapai hasil belajar yang maksimal, dengan menggunakan modul ini, maka
langkah-langkah yang perlu dilakukan yaitu :
1. Pelajari materi himpunan dengan cermat.
2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului

merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada.

Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi
yang terkait.
4. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat dan teliti. Jika anda menemui kesulitan
dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
5. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian
tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang
berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga
akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 4

KEGIATAN BELAJAR

KEGIATAN BELAJAR 1

HIMPUNAN DAN CARA MENYATAKAN HIMPUNAN

TUJUAN KEGIATAN BELAJAR 1

1. Melalui kegiatan menyaksikan slide power point, siswa dapat menjelaskan pengertian
himpunan secara tepat

2. Melalui kegiatan mendengarkan penjelasan guru, siswa dapat memeriksa sebuah
kumpulan termasuk himpunan atau bukan himpunan secara teliti

3. Melalui kegiatan mengerjakan soal, siswa menjelaskan cara menyatakan sebuah
himpunan secara benar

URAIAN MATERI

A. Himpunan
Himpunan merupakan kumpulan atau kelompok benda (obyek) yang telah terdefinisi
dengan jelas. Contoh :
• Kumpulan objek yang merupakan himpunan yaitu: kumpulan kursi yang ada di
rumah, ini termasuk himpunan karena semua orang yang di tanya akan berkata sama
yang termasuk kursi yaitu sofa, kursi goyang, dll. Kumpulan buah-buahan, ini
termasuk himpunan karena semua orang akan berkata sama bahwa yang termasuk
buah-buahan : mangga, rambutan, dll.
• Kumpulan objek yang bukan himpunan yaitu: Kumpulan siswa lahir bulan agustus
yang panda, ini bukan himpunan karena semua orang yang di tanya akan berbeda ,
yang termasuk siswa yang pandai (tidak dapat diukur/ relatif), apakah yang pandai itu
yang pandai matematika, atau pandai IPA). Kumpulan buah-buahan yang lezat, ini
bukan himpunan karena semua orang yang ditanya akan berbeda jawabannya , yang
termasuk buah lezat iru relatif.
Lambang Himpunan

Himpunan dinyatakan dengan huruf kapital A, B, C, N, P, dst. . Anggota himpunan
dinyatakan dengan huruf kecil, dalam kurung kurawal, dan anggota satu dengan yang
lainnya dipisahkan dengan tanda koma. Anggota yang sama cukup ditulis sekali.

Contoh:

• Himpunan huruf vokal dapat ditulis V = {a, i, u, e, o} dengan anggotanya yaitu a, i, u,
e, dan o.

• Himpunan bilangan cacah dapat ditulis C = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} dengan anggotanya
yaitu 0, 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

• Himpunan bilangan prima dapat ditulis P = {2, 3, 5, 7, . . .} dengan anggotanya yaitu
2, 3, 5, 7, dan seterusnya.

• K adalah himpunan huruf pembentuk kata “ MATEMATIKA”, dapat ditulis, K = {m,
a, t, e, i k} atau K = {k, a, t, e, m, i}, bukan K = {m, a, t, e, m, a, t, i, k, a}.

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 5

Anggota himpunan pada contoh 1 dan 4 berhingga. Himpunan seperti ini disebut himpunan
berhingga. Sedangkan contoh 2 dan 3 mempunyai anggota tak terbatas (dicirikan dengan
tiga buah titik terakhir). Himpunan seperti ini disebut himpunan tak berhingga.

B. Cara Menyatakan Himpunan
Ada beberapa cara menyatakan himpunan. Cara- cara menyatakan himpunan tersebut dapat
dijelaskan sebagai berikut.
1. Enumerasi
Jika sebuah himpunan terbatas dan tidak terlalu besar kita bisa menyajikannya dengan
cara enumerasi maksudnya menulis semua elemen himpunan yang bersangkutan
diantara dua buah kurung kurawal {}.
Contoh: Himpunan k berisi lima bilangan ganjil positif
maka, k ={1, 3, 5, 7, 9}

2. Simbol-simbol Baku
Beberapa himpunan dituliskan dengan simbol-simbol baku. simbol baku ditulis dalam
bentuk huruf tebal (boldface), yang sering digunakan untuk mendefinisikan himpunan,
antara lain sebagai berikut,
• P adalah bilangan bulat positif
• N adalah bilangan asli
• Z adalah bilangan bulat
• Q adalah bilangan rasional
• R adalah bilangan rill
• C adalah bilangan kompleks
• U adalah bilangan universal atau semesta
Contoh:
U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A={1, 3, 5}

3. Notasi Pembentuk Himpunan
Cara penyajian ini dengan cara himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus
dipenuhi oleh anggotanya. Notasi { x l syarat yang harus dipenuhi oleh x } aturan yang
digunakan dalam menulis syarat keanggotaan:
a) Bagian dikiri tanda | melambangkan elemem himpunan, dibaca dimana atau
sedemikian sehingga
b) Bagian dikanan tanda | menunjukkan syarat keanggotaa himpunan
c) Setiap tanda (,) didalam syarat keanggotaan dibaca
Contoh:
C adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5
C = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5}
maka notasi ringkasnya:
C = { x | x ϵ bilangan bulat, x < 5}

4. Diagram Venn
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu
gambar (diagram) yang dinamakan Diagram Venn. Aturan dalam pembuatan diagram
Venn adalah sebagai berikut,
1. Menggambar sebuah persegi panjang untuk menunjukkan semesta dengan
mencantumkan huruf S di pojok kiri atas.

2. Menggambar kurva tertutup sederhana yang menggambarkan himpunan.

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 6

3. Memberi noktah (titik) berdekatan dengan masing-masing anggota himpunan.
Contoh :
Misalkan S ={1, 2, 3,…7, 8, 9}, A ={1, 2, 3, 4, 5} dan B ={ 2, 5, 6, 7}. Ketiga
himpunan tersebut ditulis dalam diagram venn. Perhatikan bahwa A dan B mempunyai
anggota yang sama yaitu 2 dan 5. Anggota S yang lain yaitu 8 dan 9 tidak termasuk
dalam himpunan A dan B

5. Metode Deskripsi (kata-kata)
Menyatakan suatu himpunan dengan kata-kata atau hanya menyebutkan sifat
keanggotaannya saja. Contoh :
B adalah himpunan nama bulan dalam setahun
= { 10 20}

6. Mendaftarkan Anggotanya
Menyatakan suatu himpunan dengan mendaftarkan anggota-anggotanya satu persatu.
Contoh :
= { , , } himpunan nama hari huruf awal “S”
= {1,2,3,6,9,18} himpunan bilangan factor daro 18

7. Kardinalitas
Menyatakan ukuran banyaknya elemen berbeda yang terkandung oleh himpunan
tersebut. Notasi : n(A) atau | |. Contoh :
= { , ℎ , , }
n(A) = 4 atau | | = 4

Latihan !
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakan latihan di bawah
ini:
1. Berikut ini adalah beberapa contoh kumpulan. Tentukan manakah yang merupakan

himpunan dan manakah yang bukan himpunan.
a) Kumpulan anak-anak cerdas.
b) Kumpulan anak-anak TK Harapan Ibu yang berusia 5 tahun.
c) Kumpulan binatang berkaki empat.
d) Kumpulan siswa kelas Ia yang memakai jam tangan.

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 7

e) Kumpulan lagu-lagu indah.
f) Kumpulan makanan lezat.
g) Kumpulan huruf-huruf vokal.
h) Kumpulan warna-warna pelangi.
i) Kumpulan mahasiswa UT yang berambut panjang.
j) Kumpulan kendaraan beroda 3.
2. Sebutkan yang merupakan suatu himpunan dalam kehidupan sehari-hari! (min. 3)
3. Nyatakanlah himpunan-himpunan di bawah ini dengan menggunakan notasi pembentuk
himpunan dan diagram venn !
a. P adalah himpunan bilangan bulat kurang dari 20
b. Q adalah himpunan bilangan ganjil kurang dari 15
c. R adalah himpunan bilangan asli antara 1 sampai 15
4. Nyatakanlah himpunan-himpunan di bawah ini dengan menggunakan kardinalitas !
a. = { , , , , }
b. = {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23}
c. = { , ℎ ℎ , , }

Rambu-rambu Jawaban Latihan

1. Untuk dapat menyelesaikan soal nomor 1, Anda harus mengingat kembali pengertian
himpunan. Himpunan adalah sekumpulan benda- benda atau obyek yang dapat
didefinisikan atau diterangkan dengan jelas. Jadi ketika kita diminta memilih mana yang
termasuk anggota dan yang tidak termasuk anggota dapat berdasarkan definisi yang
diminta dan kita dapat menyebutkan tanpa keraguan. Jadi jawaban untuk nomor 1 adalah
a) bukan himpunan
b) himpunan
c) himpunan
d) himpunan
e) bukan himpunan
f) bukan himpunan
g) himpunan
h) himpunan
i) bukan himpunan
j) himpunan

2. Untuk dapat menyelesaikan soal nomor 2, anda harus mengingat kembali pengertian
himpunan. Himpunan adalah sekumpulan benda- benda atau obyek yang dapat
didefinisikan atau diterangkan dengan jelas. Untuk jawaban nomor 2 bisa bebas yang
penting terdapat unsur dalam kehidupan sehari-hari. Serta lihatlah lingkungan sekitar.
Jadi, jawaban nomor 2 adalah
a. himpunan kursi di dalam kelas A
b. himpunan hewan yang berkaki empat
c. himpunan mahasiswa yang sedang belajar di kelas A
d. himpunan setumpuk buku yang berada di asat meja belajar
e. himpunan hewan karnivora
f. himpunan ikan yang berada di laut

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 8

g. dst.
3. Untuk menyelesaikan soal nomor 3 lihat kembali pada cara menyatakan himpunan

dengan notasi pembentuk. Jadi, jawaban nomor 3 yaitu
Notasi pembentuk yaitu cara penyajian dengan cara himpunan menyatakan dengan
menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.
a. P adalah himpunan bilangan bulat kurang dari 20

= |ℎ 20

= | < 20, ∈
b. Q adalah himpunan bilangan ganjil kurang dari 15

= |ℎ 15
= | < 15, ∈
c. R adalah himpunan bilangan asli antara 1 sampai 15
= |ℎ 1 15
= |1 < < 15, ∈
4. Untuk menyelesaikan soal nomor 4 lihat kembali pada cara menyatakan himpunan
dengan kardinalitas. Jadi, jawaban nomor 4 yaitu
Menyatakan ukuran banyaknya elemen berbeda yang terkandung oleh himpunan tersebut.
Notasi : n(A) atau |A|.

a. = { , , , , }
n(A) = 5 atau |A| = 5

b. = {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23}
n(A) = 12 atau |A| = 12

c. = { , ℎ ℎ , , }
n(A) = 3 atau |A| = 3

RANGKUMAN
Secara umum pembahasan terkait dengan kegiatan belajar 1 dapat disimpulkan sebagai
berikut,

1. Himpunan merupakan kumpulan atau kelompok benda (obyek) yang telah terdefinisi
dengan jelas.

2. Himpunan dinyatakan dengan huruf kapital A, B, C, N, P, dst. . Anggota himpunan
dinyatakan dengan huruf kecil, dalam kurung kurawal, dan anggota satu dengan yang
lainnya dipisahkan dengan tanda koma.

3. Cara Menyatakan suatu himpunan yaitu :
a. Enumerasi
b. Simbol-simbol Baku
c. Notasi Pembentuk
d. Kardinalitas
e. Mendaftarkan Anggotanya
f. Metode Deskripsi
g. Diagram Venn

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 9

TES FORMATIF 1

1. Dari kumpulan berikut, yang dapat dinyatakan sebagai himpunan adalah ....
A. kumpulan orang pandai
B. kumpulan orang kaya
C. kumpulan siswa di kelas yang berkacamata
D. kumpulan bunga indah

2. Notasi pembentuk himpunan berikut yang benar untuk himpunan A = {2,3,5,7},
adalah .…
A. A = {x │x < 7, x ϵ bilangan prima}
B. A = {x │x < 8, x ϵ bilangan asli}
C. A = {x │x < 7, x ϵ bilangan cacah}
D. A = {x │x < 8, x ϵ bilangan prima}

3. Himpunan B adalah himpunan warna pada lampu lalu-lintas maka pernyataan di bawah
ini yang benar adalah .…
A. Kuning ϵ B
B. Hijau ϵ A
C. Merah ϵ A
D. Hitam ϵ A

4. Himpunan G adalah himpunan bilangan genap antara 24 dan 35, jika himpunan G ditulis
dengan cara mendaftar anggota-anggotanya maka diperoleh .…

A. {24, 26, 28, 30, 32, 34}

B. {26, 28, 30, 32, 34}

C. {26, 28, 30, 32, 34, 36}

D. {24, 26, 28, 30, 32, 34, 36}
5. A = {x│3 ≤ x < 10, x ϵ bilangan asli}, n (A) adalah ....

A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
6. Berikut ini pernyataan yang bukan himpunan adalah ….
A. kumpulan bunga putih
B. kumpulan bilangan
C. kumpulan makanan enak
D. kumpulan huruf vokal
7. Manakah anggota himpunan dari himpunan hewan reptil….
A. {ular, ayam, bebek, buaya}
B. {buaya, ular, komodo, kadal}
C. {burung, bebek, buaya, bunglon}
D. {aligator, itik, kelinci, kucing}
8. Nyatakan himpunan kata “PERPUSTAKAAN” dengan menggunakan cara mendaftarkan
anggotanya….
A. {P, E, R, P, U, S, T, A, K}
B. {P, E, R, U, S, T, A, K, A}
C. {P, E, R, U, S, T, A, K, N}
D. {P, E, P, U, S, T, K, A, A}
9. B = {x | x < 25, x ϵ bilangan genap}, n(B) adalah….
A. 9
B. 10

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 10

C. 11
D. 12
10. L = {tunas, spora, umbi, rhizome, stolon} dari himpunan disamping, nama himpunan L
adalah….
A. himpunan perkembangbiakan tumbuhan dengan cara generatif
B. himpunan perkembangbiakan tumbuhan dengan cara vegetatif
C. himpunan perkembangbiakan tumbuhan dengan cara umbi
D. himpunan perkembangbiakan tumbuhan dengan cara stek batang

Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban tes formatif 1 yang terdapat di bagian

akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk

mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan belajar 1.

= ℎ × 100%

ℎ

Arti tingkat penguasaan,
a. 90 - 100% = baik sekali
b. 80 - 89% = baik
c. 70 - 79% = cukup
d. < 70% = kurang

Apabila Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan
kegiatan belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi kegiatan
belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 11

KEGIATAN BELAJAR 2
HIMPUNAN BAGIAN

TUJUAN KEGIATAN BELAJAR 2
1. Melalui kegiatan menyaksikan slide power point, siswa dapat menjelaskan pengertian

himpunan bagian secara tepat
2. Melalui kegiatan mengerjakan soal, siswa dapat menjelaskan cara menentukan anggota

sebuah himpunan bagian secara benar
URAIAN MATERI
Dalam matematika, terutama teori himpunan, suatu himpunan A adalah himpunan bagian atau
subset dari himpunan B bila A “termuat” di dalam B. Notasi dari himpunan bagian yaitu ⊂ ,
jika notasi bukan himpunan bagian yaitu ⊄. Contoh: Untuk memahami himpunan bagian,
perhatikanlah himpunan berikut ini.
S = {semua siswa kelas VII di sekolahmu}
A = {semua siswa kelas VIIA di kelasmu}
B = {semua siswa perempuan VIIA di kelasmu}
C = {semua siswa laki-laki VIIA di kelasmu}
Dari contoh di atas diperoleh keterangan sebagai berikut:
• Himpunan B dan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A karena setiap anggota

himpunan B dan C merupakan anggota himpunan A.
• Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan S karena setiap anggota

himpuna A merupakan anggota himpunan S.
• Himpunan B bukan merupakan himpunan bagian dari himpunan C begitu juga

sebaliknya, karena tidak ada anggota himpunan B yang merupakan anggota himpunan C
dan sebaliknya.
Perhatikan diagram Venn berikut.

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 12

• Himpunan B adalah himpunan bagian dari himpunan A, karena anggota B juga
anggota A.

• Himpunan A himpunan bagian dari himpunan S, karena anggota A juga anggota S.
• Himpunan B dikatakan bukan himpunan bagian dari C atau sebaliknya karena anggota

B bukan merupakan anggota C, demikian juga sebaliknya. Misalnya P = {a, i, e, o, u}
dan Q = {a, i}, R = {n, o, u},
• Himpunan Q adalah himpunan bagian dari himpunan P, karena setiap anggota Q juga
merupakan anggota , ditulis ⊂ .
• Tidak semua anggota R merupakan angota P, yaitu n ditulis ∉ . Jadi, himpunan R
bukan merupakan himpunan bagian dari himpunan P, ditulis ⊄ .

Perlu kita perhatikan dengan teliti bahwa dalam pengertian himpunan bagian ini terdapat hal
yang menarik, yaitu setiap himpunan selalu mempunyai himpunan kosong dan himpunan
yang sama persis dengan himpunan itu sendiri sebagai himpunan bagiannya, hal ini
diakibatkan dari pengertian himpunan bagian itu sendiri.

Banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan A dapat diperoleh dengan rumus
2 ( ). Contoh :

a) Jika A = { 1 }, maka himpunan bagian dari himpunan A adalah { }, {1}. Banyaknya
himpunan bagian adalah 2. Dengan rumus diperoleh 2n(A) = 21 = 2.

b) Jika B = { a, b }, maka himpunan bagian dari himpunan B adalah { },{a}, {b}, {a, b}.
Banyaknya himpunan bagian adalah 4. Dengan rumus diperoleh 2n(B) = 22 = 4.

c) Jika C = {piring, gelas, sendok}, maka himpunan bagian dari C adalah { }, {piring},
{gelas}, {sendok}, {piring, gelas}, {piring, sendok}, {gelas, sendok}, {piring, gelas,
sendok}. Banyaknya himpunan bagian adalah 8. Dengan rumus diperoleh 2n(c) = 23 = 8.

LATIHAN !

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!

1. Isilah titik-titik dibawah ini dengan tanda ⊂ ⊄!
a. {3} … . {3,4,5}
b. {3,4,5} … . {4,5,6}
c. {8,9} … . {6,7,8,9,10}

2. Diketahui himpunan = {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}. Diantara himpunan dibawah ini
manakah yang merupakan himpunan bagian dari A!
a. = {5,7,9}
b. = {11,12,13}
c. = {13,15,17,19,21}

RAMBU-RAMBU JAWABAN LATIHAN

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 13

1. Untuk menyelesaikan soal nomor 1 dengan melihat kembali atau memahami kembali dari
pengertian himpunan bagian dan notasi dari himpunan bagian. Jadi, jawaban nomor 1
adalah
perlu diketahui simbol ⊂ menyatakan himpunan bagian dan simbol ⊄ menyatakan bukan
himpunan bagian.
a. {3} ⊂ {3,4,5} karena 3 ada di himpunan {3,4,5}
b. {3,4,5} ⊄ {4,5,6} karena 3 tidak ada di himpunan {4,5,6}
c. {8,9} ⊂ {6,7,8,9,10} karena {8,9}ada di himpunan {6,7,8,9,10}

2. Untuk menyelesaikan soal nomor 2 dengan melihat kembali atau memahami kembali dari
pengertian himpunan bagian dan notasi dari himpunan bagian. Jadi, jawaban nomor 2
adalah
a. = {5,7,9}
P adalah himpuanan bagian dari A karena {5,7,9} ada di himpunan A.
b. = {11,12,13}
Q bukan himpunan bagian dari A karena 12 tidak ada di himpunan A.
c. = {13,15,17,19,21}
R bukan himpunan bagian dari A karena 21 tidak ada di himpunan A.

RANGKUMAN
Secara umum pembahasan terkait dengan kegiatan belajar 1 dapat disimpulkan sebagai
berikut,

1. Suatu himpunan A adalah himpunan bagian atau subset dari himpunan B bila A
“termuat” di dalam B.

2. Notasi dari himpunan bagian yaitu ⊂ , jika notasi bukan himpunan bagian yaitu ⊄.

TES FORMATIF 2

1. Jika diketahui A = {13, 15, 17} dan B = {13, 14, 15, 16, 17}. Apakah A bagian dari
himpunan B? Manakah Notasi yang menentuka A bagian dari himpunan B!
A. ⊂
B. B ⊄
C. ⊂
D. ⊄

2. Diketahui himpunan A={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19} dan B = {2,3,4,5,6,7}Apakah B
bagian dari himpunan A? Manakah Notasi yang menentukan B bagian dari himpunan A!
A. ⊂
B. B ⊄
C. ⊂
D. ⊄

3. Jika P = {a,b,c} maka banyaknya himpunan bagian P adalah....
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 14

4. Jika H = {kucing, kelinci} maka himpunan bagian dari H adalah....
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

5. Jika K = {pena, penghapus, pensil, penggaris} maka himpunan bagian dari K adalah....
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18

Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban tes formatif 1 yang terdapat di bagian

akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk

mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan belajar 1.

= ℎ × 100%

ℎ

Arti tingkat penguasaan,
d. 90 - 100% = baik sekali
e. 80 - 89% = baik
f. 70 - 79% = cukup
g. < 70% = kurang

Apabila Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan
kegiatan belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi kegiatan
belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 15

KEGIATAN BELAJAR 3
HIMPUNAN KOSONG

TUJUAN KEGIATAN BELAJAR 3

1. Melalui kegiatan menyaksikan slide power point, siswa dapat menjelaskan pengertian
himpunan kosong secara tepat

2. Melalui kegiatan mendengarkan penjelasan guru, siswa dapat memeriksa sebuah
kumpulan termasuk himpunan kosong atau bukan himpunan kosong secara teliti

3. Melalui kegiatan mengerjakan soal, siswa menjelaskan cara menyatakan sebuah
himpunan kosong secara benar

URAIAN MATERI

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong

disimbolkan dengan   atau Ǿ.

Perhatikan kedua contoh berikut ini:
1. H adalah himpunan bilangan satu cacah yang pertama, berarti H = {0} dan n(H) = 1.

Anggota H adalah 0.

2. T adalah himpunan bilangan asli antara 3 dan 4, berarti T =   dan n(T) = 0. Anggota T

tidak ada.

Berdasarkan kedua contoh diatas terlihat bahwa: 0 tidak sama dengan   atau 0   

Hati-hati dengan angka nol (0) sebab nol (0) bukanlah himpunan kosong tetapi merupakan
anggota dari himpunan yang bernilai nol (0). Seperti pada himpunan 5 bilangan cacah
pertama, maka bilangan nol adalah salah satu anggota himpunan bilangan tersebut.

LATIHAN !

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!

1. Sebutkan contoh himpunan kosong minimal 3 !
2. Manakah himpunan-himpunan dibawah ini yang merupakan bukan himpunan kosong!

a. Himpunan nama bulan yang berawalan huruf “J”
b. Himpunan nama hari yang berawalan huruf “P”
c. Himpunan bilangan genap antara 1 sampai 10
d. Himpunan hewan berkaki satu
3. Manakah himpunan-himpunan dibawah ini yang merupakan himpunan kosong!
a. Himpunan nama bulan yang berawalah huruf “M”

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 16

b. Himpunan bilangan prima lebih dari 2
c. Himpunan kubus yang memiliki 12 sisi
d. Himpunan anak kelas VII SMP yang berumur kurang dari 8 tahun
RAMBU-RAMBU JAWABAN LATIHAN

1. Untuk menyelesaikan soal nomor 1 dengan melihat kembali atau memahami kembali dari
pengertian himpunan kosong. Dan untuk jawaban nomor 1 bebas tidak harus sama
dengan kunci jawaban. Jadi, jawaban nomor 1 adalah
a. Himpunan kuda yang berkaki dua
b. Himpunan bilangan asli antara 8 dan 9
c. Himpunan penyelesaian 2x = 3, x = bilangan cacah
d. Himpunan bilangan asli yang lebih kecil dari 1
e. Himpunan hari yang berawalan “H”
f. Himpunan bilangan ganjil yang habis di bagi 2

2. Untuk menyelesaikan soal nomor 2 dengan melihat kembali atau memahami kembali dari
pengertian himpunan bagian dan notasi dari himpunan bagian. Jadi, jawaban nomor 2
adalah
a. Himpunan nama bulan yang berawalan huruf “J” adalah bukan himpunan kosong
b. Himpunan nama hari yang berawalan huruf “P” adalah himpunan kosong
c. Himpunan bilangan genap antara 1 sampai 10 adalah bukan himpunan kosong
d. Himpunan hewan berkaki satu adalah himpunan kosong

3. Untuk menyelesaikan soal nomor 3 dengan melihat kembali atau memahami kembali dari
pengertian himpunan bagian dan notasi dari himpunan bagian. Jadi, jawaban nomor 3
adalah
a. Himpunan nama bulan yang berawalah huruf “M” adalah bukan himpunan kosong
b. Himpunan bilangan prima lebih dari 2 adalah bukan himpunan kosong
c. Himpunan kubus yang memiliki 12 sisi adalah himpunan kosong
d. Himpunan anak kelas VII SMP yang berumur kurang dari 8 tahun adalah himpunan
kosong

RANGKUMAN

Secara umum pembahasan terkait dengan kegiatan belajar 1 dapat disimpulkan sebagai
berikut,

1. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.

2. Himpunan kosong disimbolkan dengan   atau Ǿ.

3. Nol (0) bukanlah himpunan kosong tetapi merupakan anggota dari himpunan yang
bernilai nol (0).

TES FORMATIF 3

1. Yang merupakan himpunan kosong adalah ….
A. kumpulan nama bulan yang berawalan huruf “O”
B. siswa TK yang berusia 15 tahun
C. nama negara yang dimulai dengan huruf s
D. warna-warna pelangi

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 17

2. U = {himpunan mahasiswa berumur 10 tahun} merupakan contoh dari….
A. himpunan bagian
B. himpunan kosong
C. himpunan semesta
D. komplemen himpunan

3. M = {himpunan kuda bertanduk} temasuk himpunan….
A. komplemen himpunan
B. himpunan tak hingga
C. himpunan kosong
D. himpunan hingga

4. X = {x | x < 10, x >1, x ϵ bilangan kelipatan 12} termasuk himpunan….
A. himpunan hingga
B. himpunan tak hingga
C. himpunan bagian
D. himpunan kosong

5. G = {himpunan hewan berkaki satu} termasuk himpunan….
A. himpunan semesta
B. himpunan tak hingga
C. himpunan kosong
D. himpunan bagian

Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban tes formatif 1 yang terdapat di bagian

akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk

mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan belajar 1.

= ℎ × 100%

ℎ

Arti tingkat penguasaan,
a. 90 - 100% = baik sekali
b. 80 - 89% = baik
c. 70 - 79% = cukup
d. < 70% = kurang

Apabila Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan
kegiatan belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi kegiatan
belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 18

KEGIATAN BELAJAR 4

HIMPUNAN SEMESTA

TUJUAN KEGIATAN BELAJAR 4

1. Melalui kegiatan menyaksikan slide power point, siswa dapat menjelaskan pengertian
himpunan semesta secara tepat

2. Melalui kegiatan mendengarkan penjelasan guru, siswa dapat memeriksa sebuah
kumpulan termasuk himpunan semesta atau bukan himpunan semesta secara teliti

3. Melalui kegiatan mengerjakan soal, siswa menjelaskan cara menyatakan sebuah
himpunan semesta secara benar

URAIAN MATERI

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua obyek atau anggota yang sedang
dibicarakan. Himpunan semesta adalah kesamaan dari semua anggota himpunan. Lambang
himpunan semesta adalah S. Contoh:

• N = {Korea Selatan, Jepang, Taiwan} Himpunan semesta dari himpunan N di
antaranya:
S = {negara di Asia Timur}; S = {negara maju di Asia} Ketiga anggota himpunan
termasuk dalam negara di Asia Timur dan negara maju di Asia.

• V = {paus, harimau, kucing, singa, monyet, sapi} Himpunan semesta yang mungkin
adalah
S = {mamalia}; S = {hewan yang bernapas menggunakan paru-paru}. Himpunan V
tidak mungkin menghasilkan himpunan semesta hewan darat. Sebab ada anggotanya
yang bukan hewan darat yakni paus. Tidak bisa juga himpunan semestanya hewan
yang berkaki empat. Sebab ada anggotanya yang tidak berkaki empat yakni paus dan
monyet.

LATIHAN !
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!

1. Tulislah himpunan semesta dari himpunan = {1,2,3,4,5} !
2. Tulislah anggota himpunan semesta dari :

a. = { 20 35}
b. = { ℎ " "}
c. = { }
d. = { 5}
3. Buatlah minimal 3 contoh himpunan semesta beserta anggota-anggotanya!

RAMBU-RAMBU JAWABAN LATIHAN

1. Untuk menyelesaikan soal nomor 1 dengan melihat kembali atau memahami kembali dari
pengertian himpunan semesta. Jadi, jawaban nomor 1 adalah
= {1,2,3,4,5}
= { }
= { }

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 19

2. Untuk menyelesaikan soal nomor 2 dengan melihat kembali atau memahami kembali dari
pengertian himpunan semesta dan notasi dari himpunan semesta. Jadi, jawaban nomor 2
adalah

a. = { 20 35}
= {21, 23, 25, 27, 29, 31, 33,35}

b. = { ℎ " "}
= { , , }

c. = { }
= { }

d. = { 5 49}
= {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45}

3. Untuk menyelesaikan soal nomor 3 dengan melihat kembali atau memahami kembali dari
pengertian himpunan semesta dan notasi dari himpunan semesta. Dan untuk menjawab
soal nomor 3 jawabannya bebas yang penting himpunan semsta. Jadi, jawaban nomor 3
adalah
a. Himpunan hewan herbivora
= { , , , , , }
b. Himpunan nama-nama hari yang dimulai dengan huruf “S”
= { , , }
c. Himpunan warna lampu lalu lintas
= { ℎ, , ℎ }
d. Himpunan warna pelangi
= { ℎ, , , ℎ , , , }
e. Himpunan hewan amfibi
= { , , , , ( ), }
f. dst.

RANGKUMAN

Secara umum pembahasan terkait dengan kegiatan belajar 1 dapat disimpulkan sebagai
berikut,

1. Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua obyek atau anggota yang
sedang dibicarakan.

2. Himpunan semesta adalah kesamaan dari semua anggota himpunan.
3. Lambang himpunan semesta adalah S atau U.

TES FORMATIF 4

1. Himpunan A memiliki anggota {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . .}. Himpunan semsta yang cocok
untuk himpunan A adalah….
A. himpunan bilangan ganjil
B. himpunan bilangan genap
C. himpunan bilangan asli
D. himpunan bilangan bulat negatif

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 20

2. Himpunan B memiliki anggota {motor, mobil, bus, truk}. Himpunan semesta yang cocok
untuk himpunan B adalah…
A. himpunan kendaraan darat
B. himpunan kendaraan laut
C. himpunan kendaraan udara
D. himpunan kendaraan besar

3. Jika himpunan semestanya adalah himpunan bilangan bulat negative, maka anggotanya
adalah….
A. {1,2,3,4,5}
B. {0,1,2,3,4}
C. {-2,-1,0,1,2}
D. {-5,-4,-3,-2,-1}

4. M = {jambu, jeruk, apel, manga, manggis} temasuk himpunan….
A. komplemen himpunan
B. himpunan semesta
C. himpunan kosong
D. himpunan hingga

5. M = {km, ham, dam, m, dcm, cm, mm} temasuk himpunan semesta….
A. himpunan nama buah
B. himpunan satuan panjang
C. himpunan satuan waktu
D. himpunan nama hewan

Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban tes formatif 1 yang terdapat di bagian

akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk

mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan belajar 1.

= ℎ × 100%

ℎ

Arti tingkat penguasaan,
a. 90 - 100% = baik sekali
b. 80 - 89% = baik
c. 70 - 79% = cukup
d. < 70% = kurang

Apabila Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan
kegiatan belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi kegiatan
belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 21

KEGIATAN BELAJAR 5
KOMPLEMEN HIMPUNAN
TUJUAN KEGIATAN BELAJAR 5
1. Melalui kegiatan menyaksikan slide power point, siswa dapat menjelaskan pengertian
komplemen himpunan secara tepat
2. Melalui kegiatan mengerjakan soal, siswa menjelaskan cara menyatakan sebuah
komplemen himpunan secara benar
URAIAN MATERI
Agar kalian dapat memahami dengan baik mengenai operasi komplemen pada suatu
himpunan, coba kalian ingat kembali pengertian himpunan semesta. Apakah kalian sudah
mengingatnya? Kalau sudah, mari perhatikan penjelasan berikut ini.
Komplemen dari suatu himpunan A adalah himpunan yang anggota-anggotanya di dalam
himpunan semesta S dan bukan anggota dari himpunan A.
Komplemen dari suatu himpunan A dinotasikan dengan ′ atau (dibaca: komplemen A)
dan didefinisikan sebagai berikut.

= { | ∈ ∉ }
Bila dinyatakan dalam diagram Venn, himpunan A dan himpunan Ac dapat digambarkan
seperti berikut.

Contoh:
Diketahui himpunan semesta S = {1, 2, 3, 4, ..., 10} dan himpunan E = {2, 4, 6, 8, 10}.
Tentukan himpunan dari !
Jawab :
Perhatikan dua himpunan tersebut. Untuk mempermudah dalam menentukan , kalian dapat
menuliskan kembali secara lengkap himpunan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, kemudian
kalian hilangkan anggota yang sama dengan himpunan E yaitu 2, 4, 6, 8, 10. Sekarang,
anggota S tinggal 1, 3, 5, 7, 9. Anggota S yang tersisa inilah yang merupakan .
Jadi, = {1, 3, 5, 7, 9}.
LATIHAN !

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 22

1. Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan semesta. Jika A = {1, 2, 3, 4}dan B = {2,
3, 5, 7}. Tentukan anggota !

2. Diketahui = { | < 10, ∈ ℎ} dan A = {1, 3, 5, 7, 9} Tentukan
komplemen dari A (A’) !

3. Jika S = {1, 2, 3, ...,10}dan P = {2, 3, 5, 7}. Tentukan komplemen P !

RAMBU-RAMBU JAWABAN LATIHAN

1. Untuk menyelesaikan soal nomor 1 dengan melihat kembali atau memahami kembali dari
pengertian komplemen himpunan dan notasi dari komplemen himpunan. Jadi, jawaban
nomor 1 adalah
S = {1, 2, 3, ...,10}; A = {1, 2, 3, 4}dan B = {2, 3, 5, 7}. Maka,
a. A' = {5,6,7,8,9,10}
b. B' = {1,4,6,8,9,10}

2. Untuk menyelesaikan soal nomor 2 dengan melihat kembali atau memahami kembali dari
pengertian komplemen himpunan dan notasi dari komplemen himpunan. Jadi, jawaban
nomor 2 adalah
= { | < 10, ∈ ℎ} dan A = {1, 3, 5, 7, 9}Maka,
A' = {0,2,4,6,8}

3. Untuk menyelesaikan soal nomor 3 dengan melihat kembali atau memahami kembali dari
pengertian komplemen himpunan dan notasi dari komplemen himpunan. Jadi, jawaban
nomor 3 adalah
S = {1, 2, 3, ...,10}dan P = {2, 3, 5, 7} Maka,
P’ = {0,1,4,6,8,9,10}

RANGKUMAN

Secara umum pembahasan terkait dengan kegiatan belajar 1 dapat disimpulkan sebagai
berikut,

1. Komplemen dari suatu himpunan A adalah himpunan yang anggota-anggotanya di dalam
himpunan semesta S dan bukan anggota dari himpunan A.

2. Komplemen dari suatu himpunan A dinotasikan dengan ′ atau (dibaca:
komplemen A) dan didefinisikan sebagai berikut.
= { | ∈ ∉ }

TES FORMATIF 5

1. Diketahui = { , , , , , }, = { , , } dan = { , , }. Maka nilai adalah ….
A. { , , }
B. { , , }
C. { , , }
D. { , , }

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 23

2. Diketahui = {1,2,3,4,5,6,7,8}, = {3,4,5} dan = {6,7,8}. Maka nilai adalah ….
A. {4,5,6,7,8}
B. {1,2,3,4,5}
C. {2,3,4,5,6}
D. {3,4,5,6,7}

3. Diketahui = { , , , }, = { , } dan =
{ }. Maka nilai adalah ….
A. { , , }
B. { , }
C. { , , }
D. { , , }

4. Diketahui = { , , , , }, =
{ , , } dan = { , , , }. Maka nilai
adalah ….
A. { }
B. { }
C. { }
D. { }

5. Diketahui = { , , ℎ , }, = { , ℎ , } dan
= { , }. Maka nilai adalah ….
A. { }
B. { }
C. { }
D. { }

Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban tes formatif 1 yang terdapat di bagian

akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk

mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan belajar 1.

= ℎ × 100%

ℎ

Arti tingkat penguasaan,
a. 90 - 100% = baik sekali
b. 80 - 89% = baik
c. 70 - 79% = cukup
d. < 70% = kurang

Apabila Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan
kegiatan belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi kegiatan
belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 24

KEGIATAN BELAJAR 6
OPERASI BINER PADA HIMPUNAN

TUJUAN KEGIATAN BELAJAR 6

1. Melalui kegiatan menyaksikan slide power point, siswa dapat menjelaskan pengertian
operai biner secara tepat

2. Melalui kegiatan mendengarkan penjelasan guru, siswa dapat menjelaskan operasi biner
pada himpunan secara teliti

3. Melalui kegiatan mengerjakan soal, siswa menjelaskan cara menghitung soal himpunan
dengan menggunakan operasi himpunan secara benar

URAIAN MATERI

Operasi Biner yaitu perhitungan yang menggabungkan dua elemen pada himpunan sehingga
menghasilkan unsur-unsur lainnya. Jika A dan B adalah himpunan maka maka terdapat 7
operasi himpunan yaitu :
1. Irisan

“himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen sari himpunan A dan B”
Notasi : ⋂ = { | ∈ ∈ }
Berikut gambar diagram venn operasi irisan,

Contoh :
= { , , , }
= { , , }
maka, ⋂ = { , }

2. Gabungan
“himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A atau B”
Notasi : ⋃ = { | ∈ ∈ }
Berikut gambar diagram venn operasi gabungan,

Contoh :
= {1,2,3,4,5}
= {2,3,5,7,11}
⋃ = { 1,2,3,4,5,7,11}

3. Selisih

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 25

“himpunan yang merupakan anggota A tapi bukan anggota B”
Notasi : − = { | ∈ ∉ }
Berikut gambar diagram venn ydari operasi selisih

Contoh :
= { , , , }
= { , , , }
maka, − = { , }
4. Penjumlahan
“himpunan yang merupakan anggota A dan b tapi bukan anggota A irisan B”
Notasi : + = { | ∈ ∈ , ∉ ⋂ }
Berikut gambar diagram venn dari operasi penjumlahan,

Contoh :
= { , , , }
= { , , , }
maka, + = { , , , }
5. Perkalian Kartesian
“himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan yang dibentuk dari komponen
pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B”
Notasi : × = { , | ∈ ∈ }
Contoh :
= {1,2}
= { , }
maka, × = {(1, ); (1, ); (2, ); (2, )}
6. Beda Setangkup
“himpunan yang anggotanya ada himpunan A atau b, tetapi tidak pada keduanya”
Notasi : ⨁ = ( ⋃ ) − ( ⋂ ) = ( − )⋃( − )
Berikut gambar diagram venn operasi dari beda setangkup,

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 26

Contoh :
= { , , , }
= { , , , }
maka, ⨁ = { , , , , , } − { , } = { , , , }

LATIHAN !

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!

1. Dalam suatu kelas terdapat 48 siswa. Mereka memilih dua jenis olahraga yang mereka
gemari. Ternyata 29 siswa gemar bermain basket, 27 siswa gemar bermain voli, dan 6
siswa tidak menggemari kedua olahraga tersebut. Tentukan :

a. Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut.
b. Tentukan banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli.

2. Dari 50 siswa di suatu kelas, diketahui 25 siswa gemar matematika, 20 siswa gemar
fisika, dan 7 siswa gemar kedua-duanya. Tentukan banyaknya siswa yang tidak gemar
matematika dan fisika menggunakan diagram venn!

3. Pada sebuah kelas yang terdiri atas 46 siswa dilakukan pendataan pilihan ekstrakurikuler.
Hasil sementara diperoleh 19 siswa memilih KIR, 23 siswa memilih PMR, dan 16 siswa
belum menentukan pilihan. Tentukan banyaknya siswa yang hanya memilih PMR saja
dan KIR saja !

4. Diketahui himpunan-himpunan tak kosong sebagai berikut:
A = { m, h, d }
B = { r, s, l, a, u, h }
Tentukan:
a. A + B
b. A - B

5. Jika S = {1,2,3,4.5,6,7,8} A = {1,2,3,4} B = {4, 5, 6, 7} Tentukanlah:
a. ⋂
b. ⋃
c. +
d. −

RAMBU-RAMBU JAWABAN LATIHAN

1. Untuk menyelesaikan latihan nomor 1, baca dan lihat kembali pada materi diagram venn
dan operasi himpunan. Jadi, jawaban nomor 1 adalah

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 27

Gambar diagram Venn dari keterangan tersebut dapat diperoleh jika banyaknya siswa
yang gemar bermain basket dan voli diketahui, maka cari terlebih dahulu banyaknya
siswa yang gemar bermain basket dan voli:
bermain basket dan voli = (29 + 27) – (48–6)
bermain basket dan voli = 14 orang
2. Untuk menyelesaikan latihan nomor 2, baca dan lihat kembali pada materi diagram venn
dan operasi himpunan. Jadi, jawaban nomor 2 adalah

3. Untuk menyelesaikan latihan nomor 3, baca dan lihat kembali pada materi diagram venn
dan operasi himpunan. Jadi, jawaban nomor 3 adalah
siswa yang memilih PMR dan KIR adalah
= (19 + 23) – (46 – 16)
= 12

4. Untuk menyelesaikan latihan nomor 4, baca dan lihat kembali pada materi operasi
himpunan. Terutama untuk operasi selisih dan penjumlahan, karena pada soal dituliskan
untuk mencari nilai jumlah dan kurang dari himpunan. Jadi, jawaban nomor 4 adalah
A = { m, h, d }
B = { r, s, l, a, u, h }
a. A + B
A  B = { a, d, h, l, m, r, s, u }
AB={h}
A + B = { a, d, l, m, r, s, u }
b. A – B
A – B = { m,h,d }

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 28

5. Untuk menyelesaikan soal nomor 5 gunakan definidi operasi himpunan yaitu operasi
irisan, gabungan, selisih dan penjumlahan . Jadi, jawaban nomor 5 adalah
S = {1,2,3,4.5,6,7,8} A = {1,2,3,4} B = {4, 5, 6, 7}

a. ⋂
⋂ = {4}

b. ⋃
⋃ = {1,2,3,4,5,6,7}

c. −
− = {1,2,3}

d. +
+ = {1,2,3,5,6,7}

RANGKUMAN

Secara umum pembahasan terkait dengan kegiatan belajar 1 dapat disimpulkan sebagai
berikut,

1. Operasi Biner yaitu perhitungan yang menggabungkan dua elemen pada himpunan
sehingga menghasilkan unsur-unsur lainnya.

2. Terdapat 6 operasi himpunan yaitu :
a. Irisan
b. Gabungan
c. Beda Setangkup
d. Perkalian Kartesian
e. Penjumlahan
f. Selisih

TES FORMATIF 6

1. Diketahui:
A = {bilangan prima kurang dari 12} B = {1,3,5,7,9}
Maka ⋂ adalah:
A. {2}
B. {3,5,7}
C. {3,5,7,9}
D. {1,3,5,7,9}

2. Perhatikan gambar diagram venn berikut,

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 29

Dari gambar ⋃ adalah ....
A. {1,2,3,…,9}
B. {1,2,3,4,5,6}
C. {7,8,9}
D. {3,4}
3. Jika P = {tiga bilangan prima yang pertama}, dan Q = {bilangan asli kurang dari 10}
maka Q – P adalah ....
A. {1,4,6,8,9}
B. {1,2,6,7,8,9}
C. {1,2,4,6,7,8,9}
D. {1,4,6,7,8,9}
4. Dari angket yang dilaksanakan pada suatu kelas yang terdiri dari 50 siswa diperoleh data
sebagai berikut: 20 orang siswa senang menari, 30 orang siswa senang menyanyi, dan 10
orang siswa tidak senang kedua- duanya. Banyaknya siswa yang senang menari dan
menyanyi adalah ....
A. 20 orang
B. 5 orang
C. 10 orang
D. 15 orang
5. Dari sekelompok anak TK diperoleh data: 15 anak suka minum susu, 10 anak suka
minum teh; dan 5 anak suka kedua-duanya; serta 3 anak tidak suka susu atau pun teh.
Jumlah anak dalam kelompok tersebut adalah ....
A. 33
B. 23
C. 30
D. 28
6. Dari 40 orang anak, 16 orang memelihara burung; 21 orang memelihara kucing dan 12
orang memelihara burung dan kucing. Banyaknya anak yang tidak memelihara burung
atau pun kucing sebanyak ....
A. 12 orang
B. 15 orang
C. 19 orang
D. 28 orang
7. Jika A = {1,2,3,4,5, dan B={4,5,6,7,8,9} maka A + B adalah ....
A. {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B. {4,5}
C. {1,2,3,6,7,8,9}
D. {1,2,3}
8. Jika S = {bilangan cacah kurang dari 10}, A = {0,2,4,6}, B = {1,3,5,7}; maka (A B)
adalah ....
A. { }
B. {x│x < 7, x ∉ S}
C. {x│x < 10, x ∉ S}
D. {x│0 < x < 7, x ∉ S}C

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 30

9. Jika S = {warna pelangi}, A = {warna lampu lalu lintas} maka komplemen dari A adalah
....
A. {merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, ungu}
B. {merah, kuning, hijau}
C. {jingga, biru, nila, ungu}
D. { }

10. Diketahui himpunan-himpunan, A = { a, c, t } B = { a, r, t } C = { c, r, e, a, t, i , v }
Tentukan A + ( B – C ) !
A. {a,c,t}
B. {b,c,t}
C. {a,b,c}
D. {a,r,t}

Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban tes formatif 1 yang terdapat di bagian

akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk

mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan belajar 1.

= ℎ × 100%

ℎ

Arti tingkat penguasaan,
g. 90 - 100% = baik sekali
h. 80 - 89% = baik
i. 70 - 79% = cukup
j. < 70% = kurang

Apabila Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan
kegiatan belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi kegiatan
belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 31

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF

Tes Formatif 1

1. C
2. D
3. A
4. B
5. B
6. C
7. B
8. C
9. D
10. B

Tes Formatif 2

1. A
2. C
3. D
4. D
5. B

Tes Formatif 3

1. B
2. B
3. C
4. D
5. C

Tes Formatif 4

1. C
2. A
3. D
4. B
5. B

Tes Formatif 5

1. A
2. B
3. C
4. D
5. C

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 32

Tes Formatif 6
1. B
2. B
3. D
4. C
5. B
6. B
7. C
8. A
9. C
10. A

MODUL MATEMATIKA HIMPUNAN | 33