Teorema Pythagoras

BUKU DIGITAL

TEOREMA PYTHAGORAS































OLEH:



NAMA : NATASYA ISABEL SIAHAAN


NIM 4191111055

KELAS : PSPM A 2019 (KELAS G MEDIA IT)

MATKUL : PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS IT

DOSEN : Ade Andriani, S.Pd., M.Pd.







FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM


UNIVERSITAS NEGERI MEDAN


2021



1. Tingkat Sekolah : Sekolah Menengah Pertama (SMP)

2. Kompetensi Inti :

• Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya serta Menghargai dan

menghayati perilaku jujur, disiplin, santun, percaya diri, peduli, dan bertanggung jawab
dalam berinteraksi secara efektif sesuai dengan perkembangan anak di lingkungan,

keluarga, sekolah, masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa, negara, dan kawasan
regional.

• Memahami dan menerapkan pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan
metakognitif pada tingkat teknis dan spesifik sederhana berdasarkan rasa ingin tahunya

tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya dengan wawasan kemanusiaan,

kebangsaan, dan kenegaraan terkait fenomena dan kejadian tampak mata.
• Menunjukkan keterampilan menalar, mengolah, dan menyaji secara kreatif, produktif,

kritis, mandiri, kolaboratif, dan komunikatif, dalam ranah konkret dan ranah abstrak

sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut
pandang teori.

3. Kompetensi dan Indikator :


Kompetensi Dasar Indikator


Menjelaskan dan membuktikan • Memahami rumus dari Teorema

teorema Pythagoras dan tripel Pythagoras.
Pythagoras • Menjelaskan bunyi Teorema Pythagoras

• Memjelaskan sisi-sisi pada segitiga siku-
siku

• Memahami 3 bilangan yang merupakan

panjang sisi-sisi segitiga siku-siku
• Menuliskan tiga bilangan ukuran panjang

sisi segitga siku-siku (Triple Pythagoras).


Menyelesaikan masalah yang • Menyajikan hasil pembelajaran teorema

berkaitan dengan teorema Pythagoras dan tripel Pythagoras
Pythagoras dan tripel Pythagoras • Menghitung panjang sisi-sisi segitiga siku-

siku
• Menghitung panjang diagonal bangun

datar
• Menyelesaikan Masalah dalam kehidupan

nyata.

• Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan penerapan terorema Pythagoras

tripel Pythagoras




a. Tujuan Pembelajaran :
o Memahami rumus dari Teorema Pythagoras.

o Menjelaskan bunyi Teorema Pythagoras
o Memjelaskan sisi-sisi pada segitiga siku-siku

o Memahami 3 bilangan yang merupakan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku
o Menuliskan tiga bilangan ukuran panjang sisi segitga siku-siku (Triple
Pythagoras).
o Menyajikan hasil pembelajaran teorema Pythagoras dan tripel Pythagoras
o Menghitung panjang sisi-sisi segitiga siku-siku

o Menghitung panjang diagonal bangun datar
o Menyelesaikan Masalah dalam kehidupan nyata.
o Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penerapan terorema Pythagoras

tripel Pythagoras
b. Materi : Teorema Pythagoras
c. Teori belajar yang mendukung :

o Hubungan antar panjang sisi pada segitiga siku-siku
o Pemecahan masalah yang melibatkan teorema Pythagoras
d. Pendekatan pembelajaran yang digunakan : Saintifik

4. Draft Buku Digital

DAFTAR ISI/DRAFT BUKU DIGITAL

BAB Isi Materi
BAB I Sejarah Teorema Pythagoras

Pengertian Pythagoras

BAB II Dalil Pythagoras
Bunyi Teorema Pythagoras

Contoh Soal
Soal Latihan

BAB III Tripel Phytagoras

Contoh soal Tripel Phytagoras
Soal Latihan

BAB IV Aplikasi Rumus Phytagoras dalam

Permasalahan Sehari-Hari
Contoh Soal

PENUTUP

A. Sejarah Teorema Pythagoras


Pythagoras (582 SM – 496 SM)lahir di pulau Samos, di daerah Ionia, Yunani Selatan.

Salah satu peninggalan Phytagoras yang paling terkenal hingga saat ini adalah teorema
Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat sisi miring suatu segitiga siku- siku sama

dengan jumlah kuadrat dari sisi-sisinya. Yang unik, ternyata rumus ini 1.000 tahun
sebelum masa Phytagoras, orang-orang Yunani sudah mengenal penghitungan “ajaib” ini.

Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya

Pythagoras, namun teorema ini dianggap sebagai temuan Pythagoras, karena ia yang
pertama membuktikan pengamatan ini secara matematis. Pythagoras menggunakan

metode aljabar untuk menyatakan teorema ini.
Temuan lain yang ditemukan oleh Phytagoras adalah rasio/perbandingan emas (golden

ratio). Pada masa lalu, matematika memang tidak hanya berkaitan dengan bilangan.

Matematika digunakan untuk menjabarkan  lsafat dan memahami keindahan. Termasuk
golden ratio ini. Berdasarkan penemuan Phytagoras, ternyata banyak hal di alam semesta ini

mengarah pada golden ratio. Cangkang siput, galur-galur pada nanas, dan ukuran tubuh bagian
atas manusia dibandingkan bagian bawahnya hampir pasti mendekati golden ratio 1 : 1,618.

Phytagoras juga membuktikan, semua benda yang memenuhi golden ratio senantiasa

memiliki tingkat estetika yang sangat tinggi. Kalau alam semesta berlimpahan dengan benda-
benda dengan “ukuran golden ratio”, maka manusia mesti membuat yang serupa demi menjaga

keindahan tersebut. Bahkan, Phytagoras berprinsip bahwa “Segala sesuatu adalah angka;

dan perbandingan emas adalah raja semua angka.”
Berdasarkan uraian di atas dapat kita ambil beberapa kesimpulan, antara lain:

1. Pythagoras adalah orang yang mempunyai rasa ingin tahu yang sangat tinggi.
Sekalipun teorema tentang segitiga siku-siku sudah dikenal masyarakat sebelumnya, tapi dia

terus menggalinya sehingga dapat membuktikan kebenaran teorema tersebut secara
matematis.

2. Tanpa kita sadari ternyata bumi yang indah beserta kehidupan yang ada di dalamnya ini

tidak lepas dari perhitungan matematika. Oleh karena itu kita perlu belajar matematika
dengan lebih mendalam sehingga bisa menguak rahasia alam sekaligus membuktikan ke-

Mahabesaran ciptaan Tuhan YME.
3. Matematika adalah ilmu yang menarik untuk kita pelajari, bukan ilmu yang

menyeramkan seperti dikatakan sebagian orang. Karena telah banyak sejarah yang

menceritakan tentang peran matematika dalam memajukan peradaban manusia, salah

satunya adalah teorema Pythagoras yang menjadi spelopor perkembangan ilmu geometri
dan arsitektur.


B. Pengertian Teorema Pythagoras










Teorema pythagoras adalah aturan atau materi yang digunakan untuk menentukan panjang

salah satu sisi segitiga siku-siku yang belum diketahui. Teorema ini hanya berlaku untuk jenis
segitiga siku-siku saja. Oleh karena itu, teorema pythagoras tidak bisa digunakan untuk

menentukan panjang dari bentuk atau segitiga lainnya.
Teorema Pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam geometri Euklides antara tiga sisi sebuah

segitiga siku-siku. Teorema ini dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani
abad ke-6 SM, Pythagoras. Teorema Pythagoras menyatakan bahwa jumlah luas bujur

sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus.

Sebuah segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku; kaki-nya
adalah dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut, dan hipotenus adalah sisi ketiga yang

berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut. Pada gambar di bawah ini, a dan b adalah kaki
segitiga siku-siku dan c adalah hipotenus:













Pythagoras menyatakan teorema ini dalam gaya geometris, sebagai pernyataan tentang luas
bujur sangkar yaitu jumlah luas bujur sangkar biru dan merah sama dengan luas bujur sangkar

ungu.

C. Rumus Pythagoras

Dari gambar contoh segitiga siku –siku di atas yang setiap sisinya diberi nama a, b, dan c. Sisi

a merupakan sisi tegak, c adalah sisi alas, dan b merupakan sisi miring. Sisi miring ini

berhadapan langsung dengan sudut siku – siku dari sebuah segitiga. Umumnya sudut siku –
siku digambarkan dengan sebuah kotak kecil di dalamnya, seperti yang terlihat pada titik B

yang terdapat pada segitiga di atas.
Apabila di ketahui sisi miring adalah c dan panjang sisi – sisi lain selain sisi miring adalah a

dan b. Maka Teorema Phytagoras di atas bisa kita rumuskan seperti berikut ini:
2
= +
2
2
Dimana:
b = panjang sisi miring
a = panjang sisi tinggi

c = panjang sisi alas

Umumnya rumus dari Teorema Phytagoras ini digunakan dalam mencari panjang sisi miring.
Namun, kita juga dapat menggunakan rumus tersebut untuk mencari panjang sisi alas dan sisi

tinggi.
Rumus mencari panjang sisi alas:
= −
2
2
2

Rumus mencari panjang sisi tinggi:
2
2
2
= −
Jika di simpulkan maka berikut rumus phytagoras yang di hasilkan :

















D. Dalil Pythagoras


Dalil Pythagoras mengungkapkan hubungan antara sisi-sisi pada suatu segitiga siku-siku.

Banyak permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan segitiga siku-siku atau sudut siku-

siku, misalnya:

1. Menentukan sisi miring dari sisi miring suatu kuda-kuda rumah.

2. Membuat pojok-pojok suatu lapangan bola volly agar betul-betul siku-siku.

3. Melalui penerapan dalil Pythagoras permasalahan itu akan dapat diselesaikan


E. Bunyi Theorema Pythagoras


Teorema Pythagoras berbunyi kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku (salah satu
sudutnya 90°) adalah sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi lainnya. Secara sederhana,

teorema Pythagoras dapat dirumuskan sebagai berikut:
2
= +
2
2
dengan merupakan sisi terpanjang (sisi yang menghadap sudut 90°) pada segitiga siku-siku.


F. Contoh Soal

1. Rumus phytagoras yang tepat untuk gambar di bawah ini adalah...















2
2
2 2
a. = + =
2 2

2
2
2
2 2
2
b. = − = −

c. = + = +
2 2
2
2
2
2

2
2
d. = +
2


2. Berdasarkan teorema Pythagoras, pada segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring
sama dengan......
a. Selisih kuadrat panjang sisi siku-sikunya

b. Jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya

c. Selisih akar panjang sisi siku-sikunya

d. Jumlah akar panjang sisi siku-sikunya


3. Apa nama lain dari Hipotenusa ?

a. Sisi samping

b. Pythagoras

c. Sisi tegak

d. Sisi miring



4. Panjang t pada segitiga siku-siku di bawah ini adalah...













a. 21 cm

b. 24 cm

c. 25 cm

d. 26 cm


5. Panjang AD pada gambar bangun di bawah adalah ...















a. 13 cm

b. 17 cm

c. 23 cm

d. 27 cm




G. Tripel Pytagoras


Sebelum Anda mencari tripel Pythagoras terlebih dahulu Anda harus paham dengan pengertian
tripel Pythagoras. Apa itu tripel Pythagoras? Untuk mencari pengertian tripel Pythagoras

perhatikan kelompok bilangan berikut ini.



a) 5, 12, 13


b) 14, 8, 17

c) 8, 6, 10

d) 3, 4, 6




Misalkan kelompok tiga bilangan di atas merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga. Masih
ingatkah Anda cara menentukan jenis segitiga dengan teorema Pythagoras?




Nah dengan menggunakan teorema Pythagoras maka kita akan bisa tentukan yang mana

kumpulan bilangan tersebut yang merupakan segitiga siku-siku.

a). misalkan p = 5, q = 12 dan r = 13, dengan mengkudaratkan sisi miring dan jumlahkan

kaudrat sisi lainnya, maka diperoleh:

2
2
r = 13
r2 = 169
2
2
2
p2 + q = 5 + 12
2
p2 + q = 25 + 144
2
p2 + q = 169
2
2
2
Karena 13 = 5 + 12 , maka segitiga ini termasuk segitiga siku-siku.

b). misalkan p = 14, q = 8 dan r = 17, dengan mengkudaratkan sisi miring dan jumlahkan
kaudrat sisi lainnya, maka diperoleh:

2
2
r = 17
r2 = 289
2
2
p2 + q = 14 + 8 2

2
p2 + q = 196 + 64
2
p2 + q = 260
2
2
2
Karena 17 > 8 + 17 , maka segitiga ini bukan termasuk segitiga siku-siku.

c). misalkan p = 6, q = 8 dan r = 10, dengan mengkudaratkan sisi miring dan jumlahkan

kaudrat sisi lainnya, maka diperoleh:
2
2
r = 10
r2 = 100

2
2
2
p2 + q = 6 + 8
2
p2 + q = 36 + 64
2
p2 + q = 100
2
2
2
Karena 10 = 6 + 8 , maka segitiga ini termasuk segitiga siku-siku.

d). misalkan p = 3, q = 4 dan r = 6, dengan mengkudaratkan sisi miring dan jumlahkan
kaudrat sisi lainnya, maka diperoleh:

2
r2 = 6
r2 = 36

2
2
2
p2 + q = 3 + 4
2
p2 + q = 9 + 16

2
p2 + q = 25
2
2
2
Karena 6 > 3 + 4 , maka segitiga ini bukan termasuk segitiga siku-siku.

Dari uraian di atas tampak bahwa kelompok tiga bilangan 5, 12, 13 dan 6, 8, 10 merupakan

sisi-sisi segitiga siku-siku, karena memenuhi teorema Pythagoras. Selanjutnya, kelompok
tiga bilangan tersebut disebut tripel Pythagoras.



Jadi, dari penjelasan di atas maka dapat ditarik kesimpulan bahwa pengertian tripel


Pythagoras adalah kelompok tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kuadrat bilangan
terbesar sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan lainnya.



Sekarang perhatikan tabel di bawah ini.

Tabel di atas merupakan tabel cara mencari tripel Pythagoras. Dari tabel di atas dapat ditarik

kesimpulan untuk mencari tripel Pythagoras dapat dicari dengan rumus:
2
2
2
(a – b ), 2ab, (a + b )
2
dengan a > b dan a, b merupakan bilangan bulat positif.


Contoh Soal

Pada segitiga ABC diketahui AB = 10 cm, BC = 24 cm, dan AC = 26 cm. Tunjukkan
bahwa ∆ABC siku-siku dan di titik manakah ∆ABC siku-siku?



Penyelesaian:
Untuk membuktikan apakah ∆ABC siku-siku dapat digunakan teorema Pythagoras, yakni:
2
2
AC = 26
2
AC = 676
2
2
2
2
AB + BC = 10 + 24
2
2
AB + BC = 100 + 576
2
2
AB + BC = 676
2
2
2
Karena AC = AB + BC , maka ∆ABC termasuk segitiga siku-siku. Jika digambarkan
seperti gambar di bawah ini.
























Berdasarkan gambar di atas maka ∆ABC siku-siku di titik B.

H. Soal Latihan Tripel Phytagoras



1. Terdapat suatu segitiga siku-siku dengan ukuran dua sisi yang berpenyiku adalah 21
cm dan 28 cm. Tentukan panjang sisi yang lainnya…

Penyelesaian:


Sisi yang dimaksud merupakan sisi miring segitiga siku-siku (hipotenusa).



Sehingga:


2
2
2
c = a + b
2
2
= 21 + 28 = 441 + 784 = 1.225
c = √1.225 = 35 cm


Cara cepat:


Dengan menggunakan tripel (3, 4, 5) maka setiap sisi segitiga dikali dengan 7 sehingga



(3 x 7, 4 x 7, 5x 7) sehingga (21, 28, 35)



Panjang sisi yang lain adalah 35 cm.


2. Terdapat segitiga siku-siku sama kaki dengan ukuran sisi miringnya adalah 5√2 cm.

Tentukan panjang sisi yang lainnya.
Penyelesaian:

Karena merupakan segitiga siku-siku sama kaki, maka panjang sisi yang berpenyiku sama.

Sehingga:

Misalkan panjang sisi berpenyiku adalah a, dab panjang sisi miring adalah c.


2
2
2
a + a = c
2
2
2 x a = (5√2)
2
2 x a = 50
2
a = 25
a = ± 5

Karena panjang sisi tidak mungkin negatif, maka panjang sisi berpenyiku adalah 5 cm.


I. Aplikasi Rumus Phytagoras dalam Permasalahan Sehari-Hari


Pernahkah Anda berpikir apa manfaatnya kita mempelajari teorema Pythagoras? Suatu ilmu
akan tahu manfaatnya jika ilmu tersebut diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, begitu juga

dengan teorema Pythagoras.
Untuk memudahkan menyelesaikan soal-soal penerapan teorema Pythagoras diperlukan

bantuan gambar (sketsa). Untuk mengetahui manfaat teorema Pythagoras silahkan pelajari
contoh soal di bawah ini.



Contoh Soal 1
Seorang anak menaikkan layang-layang dengan benang yang panjangnya 250 meter. Jarak

anak di tanah dengan titik yang tepat berada di bawah layang-layang adalah 70 meter.

Hitunglah ketinggian layang-layang tersebut.


Penyelesaian:
Jika digambarkan sketsanya, akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Di mana AB merupakan jarak anak di tanah dengan titik yang tepat berada di bawah layang-

layang dan AC merupakan panjang benang. Tinggi langyang-layang dapat dicari dengan
teorema Pythagoras yakni:

2
2
BC = √(AC – AB )
2
2
BC = √(250 – 70 )
BC = √(62500 – 4900)
BC = √57600

BC = 240 m
Jadi, ketinggian layang-layang tersebut adalah 240 m


Contoh Soal 2

Seorang anak akan mengambil sebuah layang-layang yang tersangkut di atas sebuah tembok
yang berbatasan langsung dengan sebuah kali. Anak tersebut ingin menggunakan sebuah

tangga untuk mengambil layang-layang tersebut dengan cara meletakan kaki tangga di

pinggir kali. Jika lebar kali tersebut 5 meter dan tinggi tembok 12 meter, hitunglah panjang
tangga minimal yang diperlukan agar ujung tangga bertemu dengan bagian atas tembok.


Penyelesaian:

Jika digambarkan sketsanya, akan tampak seperti gambar di bawah ini.






















Di mana XY merupakan jarak kaki tangga dengan bawah tembok (lebar kali) dan YZ
merupakan tinggi tembok, maka panjang tangga (XZ) dapat dicari dengan teorema

Pythagoras yakni:
2
2
XZ = √(XY + YZ )
2
2
XZ = √(5 + 12 )
XZ = √(25 + 144)
XZ = √169

XZ = 13 m
Jadi, panjang tangga minimal yang diperlukan agar ujung tangga bertemu dengan bagian atas

tembok adalah 13 m.


Contoh Soal 3

Dua buah tiang berdampingan berjarak 24 m. Jika tinggi tiang masing-masing adalah 22 m
dan 12 m, hitunglah panjang kawat penghubung antara ujung tiang tersebut.

Penyelesaian:

Jika digambarkan sketsanya, akan tampak seperti gambar di bawah ini.
























Di mana AB merupakan tinggi tiang pertama, CE meruapakan tinggi tiang kedua dan AE
merupakan panjang kawat penghubung antara ujung tiang pertama dengan tiang kedua, maka

panjang kawat (AE) dapat dicari dengan teorema Pythagoras. Akan tetapi harus dicari
terlebih dahulu panjang DE yakni:

DE = CE – AB
DE = 22 m – 12 m

DE = 10 m


Dengan menggunakan teorema Pythagoras, maka panjang AE yakni:

2
2
AE = √(AD + DE )
2
2
AE = √(24 + 10 )
AE = √(576 + 100)
AE = √676
AE = 26 m

Jadi, panjang kawat penghubung antara ujung tiang pertama dengan tiang kedua adalah 26
m.



Contoh soal 4
Sebuah tiang bendera akan di isi kawat penyangga agar tidak roboh seperti gambar di bawah

ini.








































Jika jarak kaki tiang dengan kaki kawat penyangga adalah 8 m, jarak kaki tiang dengan ujung
kawat penyangga pertama 6 m dan jarak kawat penyangga pertama dengan kawat penyangga

kedua adalah 9 m. Hitunglah panjang total kawat yang diperlukan dan hitunglah biaya yang
diperlukan jika harga kawat Rp 25.000 per meter!

Penyelesaian:
Jika digambarkan sketsanya, akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Di mana AB merupakan tinggi ujung kawat penyangga pertama dengan ujung kawat
penyangga kedua, BD meruapakan tinggi ujung kawat penyangga pertama dengan tanah, CD

merupakan jarak kaki tiang dengan kaki kawat penyangga, BD merupakan panjang kawat

penyangga pertama dan AD merupakan panjang kawat penyangga kedua, maka panjang
kawat penyangga total dapat dicari dengan teorema Pythagoras. Akan tetapi harus dicari

terlebih dahulu panjang BD dan AD yakni:


2
2
BD = √(BC + CD )
2
2
BD = √(6 + 8 )
BD = √(36 + 64)
BD = √100
BD = 10 m

Jadi, panjang kawat penyangga pertama adalah 10 m.


2
2
AD = √(AC + CD )
2
2
AD = √(15 + 8 )
AD = √(225 + 64)
AD = √289
AD = 17 m

Jadi, panjang kawat penyangga kedua adalah 17 m.

Panjang kawat penyangga total yakni:

Panjang kawat = BD + AD
Panjang kawat = 10 m + 17 m

Panjang kawat = 27 m
Jadi, panjang total kawat yang diperlukan adalah 27 m


Biaya yang dibutuhkan yakni:

Biaya = Panjang kawat x harga kawat

Biaya = 27 m x Rp 25.000/m
Biaya = Rp 675.000

Jadi, biaya yang diperlukan untuk membuat kawat penyangga tersebut adalah Rp 675.000,00