บทที่ 2 หลักพื้นฐานทางคณิตศาสตร์

เอกสารประกอบการสอน

หลักพื้นฐานทางคณิตศาสตร์

เรยี บเรยี งโดย

อาจารยจ์ รี ะนนั เสนาจกั ร์

ครศุ าสตร์ มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏมหาสารคาม

1

บทที่ 2
หลักพน้ื ฐานทางคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีความสำคัญยิ่งสำหรับการพัฒนาการคิดและการให้เหตุผลของมนุษย์
โดยเฉพาะอย่างยิ่งในโลกปัจจุบันสภาพการดำเนินชีวิตในสังคมมนุษย์นับวันซับซ้อนยิ่งขึ้น ทำให้มีความ
จำเปน็ ตอ้ งใช้ความรู้ ความคดิ และเหตุผลทางคณิตศาสตรใ์ นการแก้ปัญหาและจดั การกับสถานการณ์อย่าง
มีระบบ มีแบบแผนที่ต่างไปจากในอดีต การจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์เพื่อให้ผู้เรียนมีความรู้ทาง
คณิตศาสตรท์ ่เี พยี งพอ มีความสามารถวเิ คราะหป์ ัญหาหรือสถานการณ์ไดอ้ ย่างถีถ่ ้วนรอบคอบ และมีความ
ชำนาญในการนำความรู้ไปใช้ ตลอดจนพัฒนาความคิดทางคณิตศาสตร์ในระดับที่สามารถจัดการกับส่ิง
ตา่ ง ๆ ในชีวิตประจำวันได้อยา่ งถูกต้องเหมาะสม จำเป็นอยา่ งยิ่งท่ีผูส้ อนต้องมีความรู้เกี่ยวกับมโนทัศน์ทาง
คณติ ศาสตร์เป็นอย่างดี เพ่อื นำไปใชใ้ นการจัดการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ได้อยา่ งมปี ระสิทธิภาพ

ลกั ษณะและธรรมชาติของคณติ ศาสตร์

คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีมาแต่โบราณ คนส่วนใหญ่อาจมีความเข้าใจว่า คณิตศาสตร์ หมายถึง
ตัวเลขและการคำนวณ สิ่งที่คนทั่วไปเข้าใจเป็นผลมาจากประสบการณ์การเรียนรู้และการนำความรู้ทาง
คณิตศาสตร์มาใช้ในชีวิตประจำวัน เป็นผลให้ความหมายและขอบเขตของคณิตศาสตร์ในแต่ละบุคคลและ
ยคุ สมยั มีมมุ มองท่แี ตกต่างกันไป ดงั ตอ่ ไปน้ี

คณติ ศาสตรเ์ ป็นวิชาท่ีวา่ ด้วยการคำนวณ
คณิตศาสตร์เป็นกลุ่มของวิชาต่าง ๆ ที่มีความเกี่ยวข้องกับตัวเลข สัญลักษณ์ สมบัติ ปริมาณ
ขนาด รปู ทรง และความสัมพนั ธ์ ตัวอยา่ งวิชาในคณติ ศาสตร์ ได้แก่ เลขคณติ เรขาคณิต พชี คณติ แคลคลู ัส
คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีลักษณะเป็นนามธรรมมีโครงสร้างซึ่งประกอบด้วย คำอนิยาม บท
นิยาม และสจั พจน์ ทเ่ี ป็นข้อตกลงเบ้ืองตน้ จากนนั้ จึงใช้การใหเ้ หตุผล ทสี่ มเหตสุ มผล สร้างทฤษฎีบทตา่ ง ๆ
ขึ้น และนำไปใช้ คณิตศาสตร์มีความถูกต้องเทีย่ งตรงคงเส้นคงวา มีระเบียบแบบแผนเป็นเหตุเป็นผลและมี
ความสมบรู ณใ์ นตนเอง
คณิตศาสตร์เป็นทั้งศาสตร์และศลิ ป์ที่ศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบความของความสมั พันธ์ เพื่อให้ได้
ข้อสรุปและนำไปใช้ประโยชน์ คณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นภาษาที่เป็นสากล ที่ทุกคนเข้าใจตรงกัน ในการ
สอื่ สาร สื่อความหมายและถา่ ยทอดความรู้ระหว่างศาสตร์ต่าง ๆ
คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวข้องกับการคิด การใช้กระบวนการคิด ต้องอาศัยเหตุผลและการ
เรียนคณติ ศาสตรเ์ ป็นการฝึกแก้ปัญหาตา่ ง ๆ
คณิตศาสตร์เป็นภาษาอย่างหนึ่ง สัญลักษณ์ที่ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์เกิดขึ้นจากการคิดและตก
ลงยอมรับทจี่ ะนำไปใช้
คณติ ศาสตร์เป็นวชิ าทมี่ ีแบบรูป (Pattern) เราจะเหน็ วา่ การคิดทางคณิตศาสตรน์ ้ันต้องมีแบบ
แผน มแี บบรูปไมว่ า่ จะคิดเร่อื งใดกต็ าม ทกุ ขัน้ ตอนจะตอบไดแ้ ละจำแนกออกมาใหเ้ ห็นจริง

การพัฒนาหลักสูตรคณติ ศาสตร์

2

จะเห็นได้ว่าวิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีลักษณะเฉพาะ การให้ความหมายและการกำหนด
ขอบเขตของคณิตศาสตร์เปลี่ยนแปลงไปตามการใช้งานของคณิตศาสตร์ ในอดีตการเรียนรู้คณิตศาสตร์
มุ่งเน้นการใช้จำนวนและการคดิ เลขในชีวิตประจำวัน แต่ในปัจจุบันมุ่งเน้นการเชื่อมโยงความรูใ้ นเนือ้ หามา
ประกอบการคดิ เพ่ือแกป้ ญั หาอย่างมีประสิทธิภาพและสมเหตุสมผล มกี ารทำงานอยา่ งเปน็ ระบบ มรี ะเบียบ
แบบแผน และมีขั้นตอนการคิดหรือการทำงานที่เป็นไปตามหลักวิชา ความสำเร็จในการเรียนคณิตศาสตร์
อยู่ที่ความสามารถในการนำความรู้ทีไ่ ด้รับไปใช้ให้เป็นประโยชน์ต่อตนเองและสังคมได้จริง แม้ความหมาย
และขอบเขตของคณิตศาสตร์จะเปลี่ยนแปลงตามมุมองของมนุษย์ในแต่ละยุคสมัยก็ตาม แต่ลักษณะและ
ธรรมชาตขิ องคณติ ศาสตร์ที่ยังคงเปน็ จริงในทกุ ยุคสมยั ซ่ึงอาจสรุปได้ดังนี้

1. คณติ ศาสตร์มีลกั ษณะเป็นนามธรรม ใช้ภาษาและสญั ลักษณ์ในการสอื่ ความหมาย
2. คณติ ศาสตร์เปน็ ศาสตรท์ ่ีเก่ยี วขอ้ งกับการคำนวณ การคิด และการแกป้ ญั หา
3. คณิตศาสตร์เปน็ ศาสตรแ์ หง่ การมีระบบแบบแผนชัดเจน มีโครงสรา้ ง มเี หตผุ ลและสามารถ
พสิ ูจน์ได้
4. คณิตศาสตร์เป็นศิลปะอย่างหนึ่งที่แสดงถึงความมีระเบียบและความกลมกลืนที่เกิดขึ้น
ออกมาทางความคิดสร้างสรรค์ การมีจินตนาการ มีความคิดริเริ่มที่จะแสดงความคิดใหม่ ๆ และโครงสร้าง
ใหม่ ๆ ทางคณติ ศาสตรอ์ อกมา
5. คณิตศาสตรม์ คี วามเป็นสากล สามารถใช้งานได้อยา่ งกวา้ งขวางเป็นสากลทั่วไป

ความสำคญั ของคณติ ศาสตร์

คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีวิวัฒนาการมาเป็นเวลานาน มีอิทธิพลต่อชีวิตความเป็นอยู่ของมนุษย์
จนถึงปัจจุบันและคาดว่าจะยังทรงอิทธิพลอยู่ต่อไปในอนาคต ทั้งยังเป็นเครื่ องมือในการศึกษาด้าน
วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ตลอดจนศาสตร์อื่น ๆ ที่ต้องอาศัยความรู้ทางคณิตศาสตร์ ดังคำกล่าวของ
คาร์ล ฟรีดริค เกาส์ (Carl Friedrich Gauss) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ว่า “คณิตศาสตร์เป็นราชินีของ
วิทยาศาสตร์และเลขคณิตเป็นราชินีของคณิตศาสตร์” (Mathematics is the queen of sciences and
arithmetic is the queen of mathematics) คณิตศาสตร์จึงมีประโยชน์ต่อการดำรงชีวิตและช่วยพัฒนา
คุณภาพชีวิตให้ดีขึ้น ก่อให้เกิดความเจริญก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี นอกจากนี้คณิตศาสตร์
ยังมีบทบาทสำคัญยิ่งต่อการพัฒนาความคิดของมนุษย์ให้สมบูรณ์ มีความสมดุลทั้งทางร่างกาย จิตใจ
สติปัญญา และอารมณ์ มีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งต่อการพัฒนาความคิดของมนุษย์ ทำให้มนุษย์มีความคิด
สร้างสรรค์ คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบ ระเบียบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาและสถานการณ์ได้
อย่างถี่ถ้วนรอบคอบ ทำให้สามารถคาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ และแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องเหมาะสม
และสามารถอย่รู ว่ มกบั ผูอ้ นื่ ไดอ้ ย่างมคี วามสุข

จะเห็นได้ว่าคณิตศาสตรม์ ีความสำคญั ทง้ั ในแง่ของการใช้งานในชีวติ จริง และการพฒั นาการศึกษา
ให้แก่สังคม อีกทั้งมีความสำคัญในมุมมองของการเป็นศาสตร์แห่งการพัฒนาความคิด ความมีเหตุผลและ
การพฒั นาทักษะชีวติ ดว้ ยเหตุผลดังกล่าวมาขา้ งตน้ จงึ พอสรุปความสำคัญของคณติ ศาสตร์ ได้ดงั นี้

การพฒั นาหลกั สตู รคณติ ศาสตร์

3

1. คณติ ศาสตร์เป็นพื้นฐานของการพัฒนาศาสตร์สาขาอ่ืนในฐานะเปน็ เคร่ืองมือในการทำงาน
และสร้างองค์ความรใู้ หม่ เชน่ วทิ ยาศาสตร์ วศิ วกรรมศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ เปน็ ต้น

2. คณิตศาสตร์ช่วยพัฒนาการคิดของมนุษย์ การเรียนรู้คณิตศาสตร์ทำให้มนุษย์ต้องใช้การ
คิดที่หลากหลาย นอกจากจะทำให้เกิดความคิดทางคณิตศาสตร์ (Mathematics thought) แล้ว ยังช่วย
พัฒนาความสามารถในการคิด (Thinking ability) ของมนุษย์ให้ดียิ่งขึ้น เช่น การคิดวิเคราะห์ การคิด
สังเคราะห์ การคิดอยา่ งมีวจิ ารณญาณ เป็นตน้

3. คณิตศาสตร์ทำให้มนุษย์มีเหตุผล เนื้อหาบางเรื่องของคณิตศาสตร์ช่วยพัฒนา
ความสามารถในการใหเ้ หตุผล (Reasoning ability) เช่น ตรรกศาสตร์ (Logic) และการพิสูจน์ (Proof) ทาง
คณติ ศาสตร์ เปน็ ต้น

4. ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์เป็นส่วนหนึ่งของทักษะชีวิต เช่น ทักษะการ
แก้ปัญหา ทักษะการสื่อสาร ทักษะการเชื่อมโยงความรู้กับศาสตร์อื่น ๆ แลการคิดริเริ่มสร้างสรรค์ รวมท้ัง
ช่วยพัฒนาความสามารถในการทำงานอยา่ งมีระบบ มีการวางแผนและการดำเนินงานอย่างเป็นข้ันตอน จึง
เปน็ ผลให้สามารถอยรู่ ่วมกับผอู้ น่ื ไดอ้ ยา่ งมีความสุข

โครงสรา้ งของคณิตศาสตร์

ธรรมชาติของวิชาคณิตศาสตร์นั้นมีองค์ประกอบแยกได้เป็น 2 ส่วนใหญ่ ๆ คือ โครงสร้าง ของ
คณิตศาสตร์ (Mathematical structure) และกระบวนการของเหตุและผล (Reasoning) ซึ่งองค์ประกอบ
ทั้งสองนี้มีความสำคัญต่อการศึกษาและการพัฒนาคณิตศาสตร์เป็นอย่างยิ่ง ในบทนี้จะ กล่าวถึงโครงสร้าง
ของคณติ ศาสตร์ก่อน

โครงสร้างของคณิตศาสตร์หรืออาจเรียกอีกอย่างหนึ่งว่าระบบของคณิตศาสตร์ โครงสร้างของ
คณิตศาสตร์ในรูปที่สมบูรณ์นั้น เริ่มจากปัญหาของธรรมชาติ อาจจะเป็นทาง วิทยาศาสตร์ เศรษฐศาสตร์
ศึกษาศาสตร์ เทคโนโลยีและวิศวกรรมศาสตร์ เป็นต้น เมื่อพิจารณาปัญหาต่าง ๆ ของเนื้อหาเหล่านั้นแล้ว
สรุปในรูปนามธรรม สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหานั้น ๆ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้จะ
ประกอบด้วย คำอนิยาม คำนิยาม และสจั พจน์ จากนัน้ กใ็ ช้ตรรกศาสตร์สรุปออกมาเป็นทฤษฎีหรือกฎ แล้ว
นำทฤษฎีบทหรือกฎเหล่านั้นไปประยุกต์ใช้ในธรรมชาติต่อไป เราจะได้ศึกษาความหมายขององค์ประกอบ
ของโครงสร้างของ คณติ ศาสตร์ท้งั 4 สว่ น ดงั ต่อไปน้ี

1. คำอนิยาม
ในระบบใดระบบหนึ่งจะมีคำบางคำที่ไม่สามารถให้ความหมายได้ชัดเจน ตัวอย่างเช่น คำ

ว่า “สีขาว” ถ้าอธิบายว่า สีขาว คือ สีของสำลี ก็จะมีปัญหาถามต่อไปว่า สีของสำลีเป็นอย่างไรซึ่งจำเป็น
จะตอ้ งวกกลับมาใช้ คำวา่ “สขี าว” ไปอธบิ ายสีของสำลี จงึ เปน็ การวนเวียนไปมา ซง่ึ มีลักษณะงกู นิ หางโดย
ที่ยงั ไมร่ วู้ ่า “สขี าว” เป็นอย่างไร โดยธรรมชาติแลว้ การท่ีคนเราสามารถเข้าใจความหมายของสีขาวว่าเป็น
อย่างไรเพราะคนมีความคุ้นเคยกับวัตถุสีขาวมาก่อนไม่ได้ทราบ ความหมายของ “สีขาว” โดยการอธิบาย
ด้วยคำอืน่

การพฒั นาหลักสูตรคณติ ศาสตร์

4

ในระบบคณิตศาสตร์มีบางคำ ที่ไม่สามารถอธิบายความหมายได้เช่นกัน เช่น “จุด” และ
“เสน้ ” ถา้ พยายามอธบิ ายคำน้ี

“จดุ คือ รอยตัดของเส้น”
“เส้น คือ ทางเดินของจุด”
จะพบว่าการให้ความหมายของ “จุด” ต้องใช้คำว่า “เส้น” และการให้ความหมายของ
“เส้น” ต้องใช้คำว่า “จุด” เป็นเครื่องอธิบาย ซึ่งมีลักษณะไม่สิ้นสุด เพราะฝากความไม่รู้เรื่องของจุดไว้กับ
เส้น และฝากความไมร่ ูเ้ รื่องของเส้นไวก้ ับจุด ซึ่งโดยทจี่ ริงกไ็ มไ่ ดร้ ู้อะไรขึ้นเลย แตก่ ารที่เรารู้ความหมายของ
จุดและเสน้ กอ็ าศยั ความคุน้ เคยกบั จุดและเส้นมาก่อนนนั้ เอง
คำซึ่งไม่สามารถอธิบายความหมายด้วยคำอื่นได้ดังที่ยกตัวอย่างมานี้ เรียกว่า คำพื้นฐาน
เบอ้ื งตน้ (Primitive term) หรือ คำอนิยาม (Undefined term)
ตวั อย่างคำอนยิ ามในระบบคณิตศาสตร์ เช่น จดุ เสน้ ระนาบ อยู่บน ระหวา่ ง เซต จำนวน
การเท่ากนั ทกุ ประการ นอ้ ยกว่า เป็นต้น
2. คำนิยาม
คำนิยาม (Defined term) หรือ บทนิยาม คือ คำท่สี ามารถนำคำอืน่ มาอธบิ าย ความหมาย
ให้เข้าใจ และชัดเจนได้ อาจประกอบด้วยคำอนิยามหรือคำนิยามอื่น ๆ ก็ได้ คำนิยามจะมีลักษณะเป็น
ขอ้ ความผนั กลับได้ หรอื สามารถเขยี นในรปู ขอ้ ความผันกลับได้ ดังเช่น
“สี่เหลย่ี มจตั ุรสั คือ ส่ีเหล่ียมท่มี ดี า้ นทั้งสด่ี า้ นเท่ากันและมุมทง้ั สม่ี ุมเปน็ มุมฉาก”
“ถ้า a,b เปน็ จำนวนจริง กำหนด a*b=a+b-ab”
ใหพ้ จิ ารณาจากตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี
“ให้ A,B เป็นสามเหลี่ยมสองรูป A,B จะเป็นสามเหลียมที่เท่ากันทุกประการ เขียน
แทนด้วย A≅B ก็ต่อเมื่อ ด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมเท่ากัน และมุมทั้งสามของสามเหลี่ยมเท่ากันด้านต่อ
ดา้ น และมุมตอ่ มมุ ”
จากขอ้ ความดงั กลา่ วประกอบด้วยข้อความ 2 แบบ คอื
1) คำนยิ าม “สามเหลย่ี มทเ่ี ทา่ กันทกุ ประการ เขยี นแทนดว้ ย A≅B”
2) ขอ้ ความทบ่ี อกถึงความสัมพันธ์ของการเท่ากนั ทุกประการ ของสามเหลยี่ ม A,B โดย
กำหนดว่า “A≅B กต็ ่อเม่อื …”
ลักษณะดังกล่าวนี้เองจะทำให้เกิดการสับสนในการเลือกใช้ “คำนิยาม” และข้อความที่
กำหนดความสัมพันธ์ ซึ่งการวิเคราะห์รูปแบบของประโยคหรือข้อความจะช่วยได้อย่างมาก ดังนั้นให้ยึดไว้
เพยี งคำวา่ “คำนยิ าม” น้ันใชเ้ พื่อ
1) กำหนดความหมายของสิง่ ของ
2) ใช้กำหนดสัญลกั ษณ์
3) ไม่ใช้เป็นตัวกำหนดความหมายของความสมั พนั ธ์

การพฒั นาหลักสตู รคณติ ศาสตร์

5

3. สัจพจน์
ในการดำเนินการร่วมกันในระบบใดระบบหนึ่ง จำเป็นอย่างยิ่งจะต้องมีข้อตกลง หรือ

กติกาหรือความเชื่อรว่ มกันเปน็ หลกั ยึดในเบื้องตน้ โดยไม่จำเปน็ ต้องพิสจู น์หาเหตุผลเพอ่ื สนบั สนุนข้อตกลง
กติกา หรอื ความเชือ่ เหลา่ น้ัน ทั้งน้กี ็เพราะเหตผุ ลหลายประการ คอื

3.1 มคี วามเช่ือเดิมร่วมกนั เป็นสมมติฐาน ซ่งึ ถึงแมจ้ ะไมส่ ามารถแสดงให้เห็นจริงได้ก็ตาม
เชน่ ในทางศาสนามคี วามเช่อื ว่า ทำดแี ลว้ จะได้ขึ้นสวรรค์ เปน็ ตน้

3.2 สิ่งเหล่านี้นั้นมีความเป็นจริงด้วยตนเอง เช่น สิ่งทั้งหลายต่างก็เท่ากับตัวมันเอง หรือ
คนทกุ คนตอ้ งตาย

3.3 มีความจำเป็นต้องยอมรับหลักการเหล่านั้นเพื่อความสะดวกสบายในการอยู่ร่วมกัน
หรือเพื่อดำเนินการร่วมกัน ดังเช่น ในการเล่นฟุตบอลจำเป็นตอ้ งมีกติกาทีต่ ้องยอมรับร่วมกนั เพือ่ จะได้เลน่
ด้วยกนั ได้ เป็นต้น

หลักการที่ยึดถือร่วมกันโดยไม่ต้องพิสูจน์หรือหาเหตุผลประกอบดังที่กล่ าวมานั้นเรียกว่า
สัจพจน์ (Axiom หรือ Postulate หรือ Assumption) หรือบางครั้งอาจเรียกว่า สมมติรากฐาน หรือ สิ่งท่ี
เห็นจริงแล้ว หรอื ข้อตกลง หรอื กตกิ า หรอื ความจริงเบอื้ งต้น หรือ ข้อตกลงขน้ั ปฐมฐาน ตวั อย่างเช่น

คนทกุ คนเกดิ มาแล้วต้องตาย
ไมม่ สี ิ่งท่ีมีชวี ิตอาศัยอยู่บนดวงอาทติ ย์
สามารถลากเสน้ จากจุดหนง่ึ ไปยงั จุดหน่ึงไดเ้ สมอ
มุมฉากทั้งหลายยอ่ มเท่ากัน
การกำหนดสจั พจน์สำหรบั คณติ ศาสตรแ์ ตล่ ะระบบต้องระมดั ระวังใหม้ ีจำนวนพอดี น่นั คอื
ระบบสจั พจน์จะต้องมีสมบัตติ ่อไปน้ี
1) ความคงเส้นคงวา (Consistency) เป็นสมบัติที่สำคัญที่สุดในการสร้างระบบ
คณิตศาสตร์ใด ๆ สัจพจน์และทฤษฎีบทที่ได้ในระบบคณิตศาสตร์จะต้องไม่ขัดแย้งกัน เพราะถ้าเกิดข้อ
ขัดแย้งจะมีปัญหาเกิดขึ้นว่าข้อความหนึ่งจะเป็นทั้งจริงและเท็จในขณะเดียวกัน ในทางคณิตศาสตร์ถือว่า
เปน็ ไปไม่ได้
2) ความเป็นอิสระต่อกนั (Independence) สัจพจน์จะเรียกว่าเป็นอิสระต่อกันต่อเม่ือ
แต่ละสัจพจน์มีความจำเป็นโดยขาดไม่ได้สำหรับระบบคณิตศาสตร์นั้น และไม่มีสัจพจน์ใดเป็นผลสืบเนื่อง
จากสจั พจนอ์ ่ืน ๆ ในระบบเดยี วกนั
3) ความบริบูรณ์ (Completeness) ระบบสัจพจน์ใด ๆ จะเรียกว่า มีความบริบูรณ์
ก็ต่อเม่ือ ไม่สามารถเพ่ิมสจั พจน์อิสระข้อใหมเ่ ข้าไปได้อีก
4. ทฤษฎี
ในระบบคณิตศาสตร์ข้อความที่สามารถพิสูจน์ให้เห็นจริงได้โดยการนำเอาความจริงอัน
ก่อนๆ มาอ้างอิงซึ่งอาจเป็นคำอนิยาม คำนิยาม สัจพจน์ หรือทฤษฎีบทอื่นที่ได้พิสูจน์ไว้ก่อนแล้ว ทั้งนี้เพ่ือ
พิสูจน์ให้เกิดเป็นความจริงอันใหม่ เราจะเรียกความจริงที่เกิดขึ้นใหม่นี้ว่า ทฤษฎี (Theory) หรือบางที
เรยี กว่า กฎ (Law) สามารถจำแนกทฤษฎี ได้ 3 ลกั ษณะ ดังนีค้ อื

การพฒั นาหลกั สตู รคณติ ศาสตร์

6

4.1 ทฤษฎีบท (Theorems) ข้อความที่จัดว่าเป็นทฤษฎีบทในระบบทีจ่ ะต้องเป็น ข้อความ
ท่ีมคี วามสำคญั และสามารถนำไปใชอ้ ้างองิ ได้เสมอ

4.2 บทแทรก (Corollary) เป็นทฤษฎีที่เป็นผลต่อเนื่องที่ได้มาจากทฤษฎีบทใด บทหนึ่ง
หรอื หลายบท และสามารถพสิ จู นไ์ ด้ทันทีโดยการอา้ งทฤษฎบี ทดงั กลา่ ว การนำไปใชเ้ ช่นเดียวกับทฤษฎบี ท

4.3 บทตั้ง (Lemma) เป็นทฤษฎีท่ีสร้างข้ึนเพื่อความสะดวกในการนำไปอา้ งองิ ในตัวทฤษฎี
บท และโอกาสทีจ่ ะนำไปใช้ จะใชเ้ ฉพาะทฤษฎบี ทท่จี ำเปน็ เทา่ นั้น

กล่าวโดยสรุปว่า การพิจารณาปัญหาของธรรมชาติโดยใช้การสังเกตเพื่อรวม และประมวลผล
แลว้ ได้แบบจำลองทางคณติ ศาสตร์ของเน้ือหาน้ัน ๆ และใช้ตรรกศาสตรส์ รุปได้ทฤษฎีบทหรือกฎด้วยวิธีการ
ดังกล่าว ทำให้เราค้นพบความสัมพันธ์ใหม่ๆ ซึ่งอาจช่วยในการวางแผนและพัฒนาบุคคล สังคม และ
สิง่ แวดลอ้ มให้ดีขนึ้ ซง่ึ ในขณะที่ใช้ทฤษฎีบทหรือกฎต่าง ๆ ไปประยกุ ต์กับธรรมชาตนิ ั้น อาจไดข้ ้อมูลใหม่ ๆ
ก่อให้เกิดการปรับปรุงแบบจำลองจนกระทั่งได้ทฤษฎีบทหรือกฎที่ดีขึ้น แล้วนำไปประยุกต์ใช้หมุนเวียน
ต่อไป สำหรับคณติ ศาสตร์ในระดบั สูงขึ้นไป นักคณิตศาสตรส์ ร้างแบบจำลองทางคณติ ศาสตร์ขึน้ มาเอง แล้ว
ค้นหาทฤษฎีบทหรือกฎต่าง ๆ จากแบบจำลอง เรียกคณิตศาสตร์แบบนี้ว่า คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ (Pure
mathematics) จะเห็นว่าคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ไม่ได้เริ่มจากปัญหาในธรรมชาติ แต่อย่างไรก็ตามทฤษฎีบท
หรือกฎในระบบคณิตศาสตร์บริสุทธิ์อาจนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาต่าง ๆ ในชีวิตจริงหรือธรรมชาติ
ได้ ซึ่งนบั วา่ เปน็ ผลพลอยได้ โครงสร้างของ คณิตศาสตรจ์ ะเป็นไปตามรูป ดงั น้ี

ภาพที่ 1.1 โครงสรา้ งของคณิตศาสตร์
ที่มา : สุรพงษ์ คงสตั ย์ (2557, หนา้ 28)

การพฒั นาหลักสูตรคณติ ศาสตร์

7

มโนทัศนท์ างคณิตศาสตร์

1. ความหมายของมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์

มโนทัศน์ทางคณติ ศาสตร์ (Mathematics Concepts) ไดม้ นี ักวชิ าการท้งั ในและต่างประเทศ
ไดใ้ ห้ความหมายเกี่ยวกบั มโนทัศนท์ างคณติ ศาสตร์ไวด้ ังน้ี

เมธี ลิมอักษร (2524, หน้า 4) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ หมายถึง
ความเขา้ ใจในวิชาคณิตศาสตรท์ ่ไี ดเ้ รียนรมู้ าแลว้ โดยสามารถสรุปรวบยอดคณุ สมบัตทิ ี่เป็นองคป์ ระกอบร่วม
ของสิ่งที่เราพบเห็น แล้วสามารถกำหนดสัญลักษณ์หรือความหมายแทนคุณสมบัติดังกล่าวได้ เช่น
รูปสามเหลีย่ ม หมายถงึ รูปปดิ ทีป่ ระกอบดว้ ยด้านสามดา้ น เขียนสัญลกั ษณ์แทนดว้ ย △ เป็นต้น

ณัชชา กมล (2542, หน้า 21) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ หมายถึง
ความคิดและความเขา้ ใจเกีย่ วกับวิชาคณิตศาสตรท์ ี่เกิดจากการได้รับประสบการณ์ในการเรียนคณิตศาสตร์
โดยสามารถสรุปความเขา้ ใจท่ีได้ออกมาเปน็ นยิ าม และสามรถจดั ประเภทของสิ่งของทีเ่ หมือนกันเขา้ ด้วยกัน
และแยกประเภทของสิ่งที่ไม่เหมอื นกนั ออกจากกนั ได้

เพลินพิศ ภิรมย์ไกรภกั ดิ์ (2542, หนา้ 25) ไดใ้ หค้ วามหมายไว้ว่า มโนทัศนท์ างคณิตศาสตร์
หมายถึง การจัดกจิ กรรมที่มีการเตรียมการวางแผนไว้เพอ่ื สง่ เสรมิ ให้เด็กมีประสบการณ์ทางคณิตศาสตร์ ซ่ึง
จะนำไปสู่การเกิดความคิด ความเข้าใจ แล้วสามารถสรุปหรือให้คำจำกัดความเกี่ยวกับคุณลักษณะทาง
คณิตศาสตร์

วัชรสันต์ อินธิสาร (2547, หน้า 27) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์
หมายถงึ ความคิด ความเขา้ ใจเกี่ยวกบั ส่งิ ใดสิง่ หน่งึ ที่เกยี่ วกบั คณิตศาสตร์ในด้านจำนวน สญั ลักษณ์หรือการ
ประยกุ ตใ์ ชค้ ณิตศาสตร์ ทเ่ี กิดจากการไดร้ บั ประสบการณใ์ นการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ แล้วสรุปรวมให้อยูใ่ นรูป
นิยาม ทฤษฎีบท และสมบตั ติ ่าง ๆ

กันญารัตน์ หนูชุม (2549, หน้า 8) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์
หมายถึง ความคิด ความเข้าใจของบุคคลซึ่งเป็นนามธรรมเกี่ยวกับความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่เกิดจากการ
ได้รับประสบการณใ์ นการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ โดยสามารถจดั ประเภทของสิง่ ท่ีเหมือนกนั เขา้ ด้วยกันและ
แยกประเภทของสิ่งที่ไม่เหมือนกันออกจากกันได้ แล้วสรุปความเข้าใจที่ได้ออกมาเป็นบทนิยามหรือ
คณุ สมบตั หิ รอื สญั ลักษณแ์ ทนคณุ สมบัติได้

อรพรรณ เลื่อนแป้น (2555, หน้า 9) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์
หมายถึง ความคิด ความเข้าใจเกยี่ วกับเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ท่ีได้จากการเรียนรู้ โดยนักเรียนสามารถสรุป
ออกมาเปน็ บทนยิ ามหรอื ความหมายของเร่อื งนั้นได้

อัมพร ม้าคนอง (2557, หน้า 15) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ เป็น
ความคิดรวบยอดเกี่ยวกับลักษณะสำคัญ ความหมาย ที่มา หรือการขยายความ ทฤษฎี กฎ สูตร บทนิยาม
อนยิ าม เปน็ ความคดิ นามธรรมที่ทำให้ผ้เู รียนสามารถจำแนกส่ิงท่ีมลี ักษณะตามความคิดนามธรรมน้ัน ๆ ได้
และสามารถระบไุ ด้ว่าส่ิงทก่ี ำหนดใหเ้ ปน็ ตัวอย่างหรือไม่ใช่ตัวอย่างของความคิดนามธรรมน้นั

การพฒั นาหลกั สตู รคณติ ศาสตร์

8

กูด (Good, 1959, p.118) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ หมายถึง
ความคิดสำคัญ ความเข้าใจที่เกี่ยวกับสิ่งใดส่ิงหนึ่ง หรือเรื่องใดเรื่องหนึ่งเกี่ยวขอ้ งกับเนื้อหาคณติ ศาสตร์ใน
ด้านการคำนวณ ความสัมพันธ์กับจำนวน การให้เหตุผลอย่างมีระบบ และคุณลักษณะภายนอกของสิ่งของ
อันเกิดจากการสังเกตหรือการได้รับประสบการณ์แล้วนำลักษณะนั้นมาประมวลเข้าด้วยกันให้เป็นข้อสรุป
ทางคณติ ศาสตร์

โดโนแวนและเจอรอลด์ (Donovan and Gerald, 1972, p.168) ไดใ้ ห้ความหมายไวว้ ่า มโน
ทัศน์ทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ความคิดของบุคคลซึ่งเป็นนามธรรมเกี่ยวกับความรู้ทางคณิตศาสตร์ เช่น
สมบตั ิของวตั ถุ หรือเหตุการณต์ ่าง ๆ โดยสามารถบอกลกั ษณะร่วมและลักษณะแตกตา่ งของแต่ละมโนทัศน์
ได้

คูนีย์ เดวิส และเฮนเดอร์สัน (Cooney, Davis and Henderson, 1975, p.85) ได้ให้
ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ความเข้าใจของนักเรียนเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่ได้
เรยี นรู้โดยสามารถสรปุ ความเขา้ ใจทีไ่ ดอ้ อกมาในรูปของนิยามหรือความหมายของเร่ืองนน้ั เช่น การมีมโน
ทศั น์ เร่อื ง ฟงั กช์ ัน คอื นักเรียนสามารถบอกความหมายของฟงั ก์ชันได้

เบล (Bell, 1981, p.124) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ หมายถึง
โครงสรา้ งทางคณติ ศาสตร์ มี 3 แบบ คอื

1. มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ เป็นการจัดประเภทของจำนวน ความสัมพันธ์
ระหวา่ งจำนวนและการใชส้ ญั ลกั ษณ์แทนจำนวน เชน่ หก แปด IV เป็นตน้

2. มโนทัศน์ทางสัญกรณ์ เป็นข้อตกลงเกี่ยวกับการใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ได้แก่
ความหมายและสมบัติของจำนวน เช่น การทราบว่าตัวเลขในจำนวน 275 ว่าตัวเลขแต่ละตัวหมายถึงอะไร
เชน่ 2 หมายถงึ 200, 7 หมายถึง 70 และ 5 หมายถึง 5 ดงั น้ัน 275 หมายถึง 200+70+5

3. มโนทัศน์ในการประยุกต์ เป็นการใช้มโนทัศน์ทาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์กับมโนทัศน์
ทางสัญกรณ์ ไปแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ และใช้ในสาขาที่เกี่ยวข้อง เช่น ความยาว พื้นที่ และปริมาตร
เป็นตน้

ทูมาซิส (Toumasis, 1995, p.98) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ เป็น
ความคิดขั้นสูงสุดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่เกิดจากการเรียนรู้ของนักเรียนที่มีต่อสิ่งเร้า โดยนักเรียนสามารถ
แยกประเภทของส่ิงเรา้ ที่มีความสัมพนั ธ์และไมส่ มั พันธ์กันได้

จากความหมายของมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ที่กล่าวมาข้างต้นสามารถสรุปได้ว่า มโนทัศน์
ทางคณิตศาสตร์ เป็นความคิดรวบยอดเกีย่ วกับลักษณะสำคญั ความหมาย อนิยาม บทนิยาม สัจพจน์ และ
ทฤษฎีบท เป็นความคิดนามธรรมที่ทำให้ผู้เรียนสามารถจำแนกสิ่งท่ีมีลักษณะตามความคิดนามธรรมนัน้ ๆ
ได้ สามารถระบุได้วา่ สง่ิ ทกี่ ำหนดให้เป็นตัวอย่างหรือไม่เปน็ ตัวอย่างของความคิดนามธรรมนัน้

2. ความสำคญั ของมโนทศั นท์ างคณติ ศาสตร์
มโนทศั นท์ างคณติ ศาสตร์มคี วามสำคัญเป็นอยา่ งมากต่อความรู้ความเข้าใจ และการนำความรู้

ไปใชแ้ กป้ ัญหา มโนทศั น์ทางคณติ ศาสตรช์ ่วยใหผ้ ู้เรียนมีความเขา้ ใจอย่างถ่องแท้เกี่ยวกับความรู้เฉพาะหรือ
แนวคิดเชิงลึกทางคณิตศาสตร์ การเรียนการสอนคณิตศาสตร์จึงควรเน้นที่การทำให้ผู้เรียนเกิดความเข้าใจ

การพฒั นาหลักสตู รคณติ ศาสตร์

9

(Hiebert and Carpenter, 1992 ; Koyama, 1993 ; Sierpinska, 1994 ; Pirie and Kieren, 1994 อ้าง
ถึงใน อัมพร ม้าคนอง, 2557, หน้า 16) เพื่อที่จะทำให้ผู้สอนได้ข้อมูลว่าผู้เรียนเข้าใจอะไรและไม่เข้าใจ
อะไร ซ่ึงจะนำไปสกู่ ระบวนการเรยี นการสอนทีส่ ง่ เสริมความเข้าใจและการพฒั นามโนทศั น์

เนือ่ งจากความสำเรจ็ ในการเรยี นรู้หรือแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ส่วนหน่ึงข้ึนอยู่กับมโนทัศน์
ทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อปัญหามีความซับซ้อน ไม่คุ้นเคย หรือต้องใช้การแปลความหมาย
ทางคณิตศาสตร์มาช่วยในการแก้ปัญหา มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์จึงมีความสำคัญสำหรับทั้งผู้สอนและ
ผู้เรียน เนื่องจากมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์เป็นความคิดรวบยอดเกี่ยวกับเนื้อหาคณิตศาสตร์ เป็นความรู้
ความเข้าใจที่ถ่องแท้ ที่จะทำให้ผู้สอนสอนคณิตศาสตร์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ และสามารถเชื่อมโยงไปสู่
การใช้งานของคณิตศาสตร์ได้ นักวิชาการมากมายแสดงความคิดเหน็ ว่าผู้สอนจะสอนคณิตศาสตรไ์ ด้ไม่ดีถา้
ผู้สอนขาดมโนทัศน์เก่ียวกับส่ิงทสี่ อน ในขณะเดียวกันมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ก็มีความสำคัญมาก สำหรับ
ผู้เรียนในการคิดการเรียนรู้ และการทำงานทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากมโนทัศน์จะทำให้ผู้เรียนเข้าใจสิ่ง
ต่าง ๆ ทางคณติ ศาสตร์เป็นอย่างดี และสามารถนำสง่ิ เหล่าน้ันไปใช้ในการแกป้ ัญหาทซี่ ับซ้อนและไม่คุ้นเคย
ได้ ตวั อย่างมโนทศั น์ทางคณติ ศาสตร์ของผเู้ รยี นและผู้สอนมดี ังน้ี (Hallett,2001 อ้างถงึ ใน อัมพร มา้ คนอง,
2557, หน้า 17)

2.1 มโนทศั น์ทางคณติ ศาสตรข์ องผู้เรยี น
ลองพิจารณาขน้ั ตอ้ นการทำงานทางคณิตศาสตรเ์ พื่อแก้ปญั หาตอ่ ไปน้ี
ปัญหา ข้อ 1 ฉนั มที อ้ ฟฟี่ 7 เม็ด พ่ีให้มา 5 เม็ด ฉันมีทอ้ ฟฟก่ี ี่เม็ด
ขอ้ 2 พมี่ ีทอ้ ฟฟี่ 12 เมด็ ใหน้ อ้ งไป 5 เม็ด พี่เหลือทอ้ ฟฟ่ีกเี่ ม็ด
ข้อ 3 ฉันมีก้อนหนิ 9 ลกู หลังจากเลน่ เกมกบั นอ้ ง ฉนั มลี กู หนิ รวมเป็น
14 ลูก เกิดอะไรข้นึ ระหว่างการเล่นเกม
ขอ้ 4 ฉนั เลน่ เกมลูกหินกบั น้อง และเสียลกู หินไป 5 ลูก ตอนนีฉ้ ันเหลือ
ลูกหนิ 7 ลกู เดิมฉนั มีลูกหนิ กล่ี กู
การแก้ปัญหาทท้ังสี่ข้อข้างต้นต้องการมโนทัศน์ที่แตกต่างกัน สำหรับข้อ 1 และข้อ 2 ซึ่ง

เป็นปัญหาที่คุ้นเคยนั้น ผู้เรียนสามารถใช้มโนทัศน์เกี่ยวกับการเพิ่มขึ้นและลดลง รวมทั้งใช้ขั้นตอนการ
ทำงานเอหาคำตอบได้โดยง่าย ส่วนข้อ 3 และข้อ 4 นั้น ผู้เรียนจำเป็นต้องใช้มโนทัศน์หลายอย่างเก่ียวกับ
จำนวน เช่น การเปลี่ยนแปลงของจำนวน การเพ่ิมขึ้นและการลดลง จำนวนเร่ิมต้นและจำนวนสดุ ท้าย มโน
ทัศน์เหล่านี้ไม่ใช่มโนทัศน์เกี่ยวกับขขั้นตอนการทำงาน การจดจำคำสำคัญ (Key Word) ว่าหากมีคำว่า
“รวม” ตอ้ งใช้การบวก และคำวา่ “เสยี ไป” ตอ้ งใชก้ ารลบ ไมส่ ามารถนำมาใช้กับการแกป้ ัญหาท้ังสองข้อนี้
ได้ เนื่องจากการแก้ปัญหาในข้อ 3 และข้อ 4 ต้องใช้การดำเนินการตรงข้ามกับคำสำคัญที่จดจำมา แต่สิ่ง
สำคัญและจำเป็นต้องใช้คือมโนทัศน์เกี่ยวกับความหมาย ซ่ึงเป็นความเข้าใจที่ถ่องแท้และทำให้ “มองเห็น
หรือหยั่งรู้ (Insight)” ที่จะทำให้ผู้เรียนเข้าใจปัญหาจนสามารถเลือกใช้ขั้นตอนการดำเนินการได้กอย่าง
ถกู ตอ้ ง

การพฒั นาหลักสตู รคณติ ศาสตร์

10

2.2 มโนทศั น์ทางคณิตศาสตร์ของผู้สอน
มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ของผู้สอนมีความสำคัญต่อการเรียนการสอนเป็นอย่างยิ่ง

เน่ืองจากเป็นปัจจัยสำคัญต่อการตัดสินใจจัดกิจกรรมและการสร้างบรรยากาศในชั้นเรียนของผู้สอน มโน
ทัศน์ในเนื้อหาเฉพาะใด ๆ ที่ผู้สอนมีอยู่ มีผลเป็นอย่างยิ่งต่อการวิเคราะห์ผู้เรียน การจัดการเรียนรู้ การ
ตัดสินใจ และการแสดงออกของผู้สอน (Brophy, 1991 ; Thompson, 1992) ความรู้คณิตศาสตร์ท่ีผู้สอน
ใช้สอนในห้องเรียนทั้งที่เป็นความรู้ทั่วไป (Common Content Knowledge) และความรู้เฉพาะที่ขยาย
ความรู้ทั่วไป (Specialized Content Knowledge) สามารถทำนายคะแนนสัมฤทธิผลของผู้เรียน อัตรา
การขาดเรียน และประสบการณ์ของผู้สอน ตลอดจนความยาวเฉลี่ยของบทเรียนคณิตศาสตร์ ((Hill,
Rowan and Ball, 2005) ผสู้ อนท่มี มี โนทศั น์ทางคณติ ศาสตร์ดีจะสามารถวางแผนจดั กการเรยี นรู้ ใช้ส่ิงต่าง
ๆ ช่วยอธิบายหรือส่ือความหมาย และตอบสนองต่อคำถามและข้อวิพากษ์วิจารณ์ของผู้เรียนได้ดี
(Leinhardt, Putnam, Stein and Baxter, 1991) ผู้สอนคณิตศาสตร์จึงควรมีความเข้าใจในมโนทัศน์
เพื่อที่จะสามารถนำเสนอหรืออธิบายมโนทัศน์และขั้นตอนหรือหรือกระบวนการทางคณิตศาสตร์ได้หลาย
รปู แบบ (National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1991)

ผ้สู อนคณติ ศาสตรท์ ี่ดีนั้น นอกจากจะต้องมีมโนทัศนใ์ นเน้ือหาระดับทต่ี นจะสอนแลว้ ยังต้องมี
มโนทศั นใ์ นเน้ือหาที่เกย่ี วข้องกับส่ิงที่ตนจะสอน ตลอดจนมมี โนทัศน์ในระดับท่ีสูงกว่าและในระดับท่ีต่ำกว่า
การมีมโนทัศนใ์ นระดับที่ต่ำกวา่ จะชว่ ยให้ผู้สอนสามารถวเิ คราะห์พื้นฐานความรู้ท่ีผู้เรียนเรียนมา เพ่ือจะได้
ทบทวนหรือเพิ่มเติมให้ผู้เรียนก่อนที่จะสอนมโนทัศน์ใหม่ และการมีมโนทัศน์ในระดับที่สูงกว่าจะช่วยให้
ผ้สู อนสามารถสอนใหผ้ ู้เรยี นมีความรเู้ พียงพอท่ีจะเป็นพนื้ ฐานของการเรียนในระดับที่สูงข้ึน อาจกล่าวได้ว่า
นอกจากขอบเขตของเนื้อหาที่จะต้องสอนแล้ว ผู้สอนคณิตศาสตร์ควรมีมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ทั้งใน
หลักสูตรและนอกหลักสูตรท่ีตอ่ เนื่องและสัมพันธ์กับเน้ือหาท่ีตนรับผิดชอบ เพ่ือจะได้วิเคราะห์ความสำคญั
และความสัมพันธ์ของเนื้อหารเหล่านั้น นอกจากจะเข้าใจมโนทัศน์ที่สำคัญของเนื้อหารเฉพาะใด ๆ แล้ว
ผู้สอนควรเข้าใจความหมายและที่มาของการดำเนินการท่ีเกี่ยวข้องกับเน้ือหานั้น ๆ สามารถวิเคราะห์และ
เชื่อมโยงสิ่งเหล่านั้นได้ เพื่อช่วยให้ตัดสินใจวางแผนได้ว่า จะเรียงลำดับการสอนมโนทัศน์ใดก่อนหลัง จะ
สอนแต่ละมโนทศั น์อย่างไร จะใชอ้ ะไรเป็นกจิ กรรมหรือเครื่องมือในการสอน และจะประเมนิ การเรียนรู้มโน
ทัศน์แต่ละมโนทัศน์อย่างไร (Ball, Thames and Phelps, 2008 อ้างถึงใน อัมพร ม้าคนอง, 2557, หน้า
21)

จากที่กล่าวมา จะเห็นได้ว่ามโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์มีความสำคัญมากต่อการจัดการเรียนการ
สอน และการนำคณิตศาสตร์ไปใช้ โดยเฉพาะสถานการณ์ปัจจุบันท่ีเน้นการนำคณิตศาสตร์ไปใช้แก้ปัญหา
ซ่งึ แตกตา่ งจากอดีต จงึ จำเป็นอย่างยิ่งท่ีจะต้องพัฒนาให้ผู้เรียนมีมโนทัศนท์ ่ีถูกต้องเป็นผลไปสู่ความรู้ที่ถ่อง
แท้ของผู้เรยี น และสามารถนำความรูค้ ณิตศาสตร์ไปใช้งานได้อยา่ งมีประสิทธิภาพ ซ่ึงส่ิงเหล่านั้นเป็นผลมา
จากมโนทัศนข์ องผู้สอนถอื เป็นส่ิงสำคัญท่ผี ู้สอนจะนำมาใช้ในการวางแผนการจัดการเรยี นรู้

3. การพัฒนามโนทศั น์ทางคณิตศาสตร์
การพัฒนามโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์มีแนวคิดและแนวทางในการดำเนินการดังนี้ (อัมพร

ม้าคนอง, 2557, หน้า 22-23)

การพฒั นาหลกั สูตรคณติ ศาสตร์

11

3.1 จัดการเรียนรู้เพื่อให้ผู้เรียนได้เรียนรู้ในสิ่งที่มีความหมาย จำเป็นสำหรับการคิดและการ
ใชง้ าน และเปน็ พน้ื ฐานของการเรียนในระดับสูงขึ้น นอกจากนี้ ควรใหผ้ ้เู รียนไดเ้ ชอ่ื มโยงความรู้ไปสู่ขั้นตอน
หรือวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่มีประสิทธิภาพ และเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีหรือเนื้อหากับวิธีการ
หรือขั้นตอนการทำงานที่ตนเลือกใช้ ความรู้คณิตศาสตร์จงึ ควรเกิดจากความเข้าใจมใิ ชเ่ กดิ จากการจดจำ ซ่ึง
อาจลืมได้โดยง่าย การเรียนรู้อย่างเข้าใจจะช่วยให้ผู้เรียนมองเห็นประโยชน์และคุณค่าของสิ่งที่เรียน และ
สามารถพัฒนาใหเ้ ป็นความรทู้ ล่ี ึกซึ้งมากข้ึนได้

3.2 พัฒนาการคิดในลักษณะต่าง ๆ ควบคู่กับการพัฒนามโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ เช่น การ
คิดวิเคราะห์ การคิดสังเคราะห์ การคิดไตร่ตรอง การคิดอย่างมีวิจารณญาณ เนื่องจากการคิดเป็นพื้นฐาน
สำคัญของการทำความเข้าใจและการพัฒนาความรู้ทางคณิตศาสตร์ ตลอดจนการนำความรู้ทาง
คณิตศาสตรไ์ ปใช้

3.3 ออกแบบกิจกรรมและงานให้สอดคล้องกับมโนทัศน์ที่ต้องการพัฒนาให้ผู้เรียน โดยอาจ
ต้องมกี ารวเิ คราะหม์ โนทศั นย์ ่อยที่จะสอนก่อน จากนนั้ จึงออกแบบกิจกรรมสำหรับแต่ละมโนทัศน์ และเมื่อ
ดำเนินการจัดกิจกรรมจะต้องมีการประเมนิ พฤติกรรมการทำกิจกรรมของผู้เรียนอย่างต่อเน่ือง โดยอาจใช้
คำถามทสี่ ่งเสริมกระบวนการคดิ เพื่อชว่ ยให้ผู้เรยี นสรา้ งความรู้ได้ดว้ ยตนเองและขยายไปสู่ความรู้ใหม่ หรือ
ความรู้เชิงนามธรรมได้

3.4 เลือกใช้สื่อ เอกสารประกอบการสอน นวัตกรรม และเทคโนโลยีทางคณิตศาสตร์ที่
เหมาะสมกับมโนทัศน์ท่ีต้องการพัฒนา รวมท้ังจดั สภาพแวดล้อมหรือบริบทของการเรียนรู้ให้เอื้อต่อการใช้
สอ่ื และนวัตกรรมนัน้ ๆ

3.5 ประเมินผลการพัฒนามโนทัศน์เป็นระยะ ๆ อย่างต่อเนื่องในกระบวนการเรียนรู้ของ
ผู้เรียนทั้งการประเมินรายบคุ คลและประเมนิ โดยรวม โดยเฉพาะอย่างย่ิงการประเมินพัฒนาการของผู้เรยี น
แต่ละคน นอกจากนี้ผู้สอนควรสะท้อนการสอนของตนจากผลการเรียนที่เกิดขึ้นกับผู้เรียน เพื่อที่จะปรับ
การจัดการเรียนรใู้ หม้ ปี ระสทิ ธิภาพมากย่งิ ข้นึ

3.6 พยายามให้ผู้เรียนทำกิจกรรม คิด สังเกต วิเคราะห์ อภิปราย และหาข้อสรุปทาง
คณิตศาสตร์ดว้ ยตนเอง โดยใช้กิจกรรมหรือสถานการณ์ทีก่ ระตุ้นและท้าทายความสามารถของผู้เรียน และ
ไมย่ ากเกนิ กว่าท่ผี ู้เรียนจะคิดได้

สรุปแนวคิดและแนวทางในการดำเนินการพัฒนามโนทัศนท์ างคณิตศาสตร์ คือ จัดการเรียนรู้
เพ่อื ให้ผเู้ รียนไดเ้ รียนรูใ้ นสิง่ ทีม่ ีความหมายและผเู้ รียนเปน็ ผสู้ ร้างมโนทัศน์ดว้ ยตนเอง ออกแบบกิจกรรมและ
เลือกสื่อ นวัตกรรม เทคโนโลยีให้สอดคล้องกับมโนทัศน์ที่ต้องการพัฒนาให้ผู้เรียน และมีการประเมินผล
การพฒั นามโนทัศนเ์ ป็นระยะ ๆ อยา่ งต่อเนอื่ ง เปน็ ผลต่อการพัฒนามโนทัศนข์ องผเู้ รยี น

สมรรถนะทางคณิตศาสตร์

ความสำเร็จหรือความล้มเหลวของการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ส่วนหนึ่งขึ้นอยู่กับผู้เรียนและ
ผู้สอน การจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์ให้มีประสิทธิภาพ จึงจำเป็นต้องพิจารณาทั้งสมรรถนะของผู้เรียนที่

การพัฒนาหลักสตู รคณติ ศาสตร์

12

ต้องการให้มี และสมรรถนะของผู้สอนที่จำเป็นต้องใช้ในการพัฒนาสมรรถนะให้กับผู้เรียน สิ่งสำคัญในการ
เรียนคณติ ศาสตรใ์ นยคุ นีจ้ ะตอ้ งมงุ่ เนน้ ถึงการรู้เร่ืองคณติ ศาสตร์ (Mathematical Literacy)

1. สมรรถนะทางคณติ ศาสตรข์ องผู้เรยี น
สมรรถนะทางคณิตศาสตร์เป็นความรู้ความสามารถทางคณิตศาสตร์ และคุณลักษณะของ

ผู้เรียนที่เกิดขึ้นจากการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โดยทั่วไปมักกำหนดเป็นคุณภาพของผู้เรียนตามหลักสูตร ซ่ึง
อาจจำแนกเป็น 3 ด้าน ดังนี้

1.1 ด้านความรู้ เป็นความรู้ความสามารถทางสติปัญญาของผู้เรียนในการทำความเข้าใจ
ความรู้ทางคณิตศาสตร์ ทั้งความรู้เชิงมโนทัศนแ์ ละความรู้เชิงข้ันตอนหรือกระบวนการที่ครอบคลุมเนื้อหา
คณิตศาสตร์ในสาระหลัก ได้แก่ จำนวนและพีชคณิต การวัดและเรขาคณิต สถิติและความน่าจะเป็น และ
แคลคูลัส

1.2 ดา้ นทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ เปน็ ความสามารถหรือความชำนาญของ
ผู้เรียนในการใช้ความรู้หรือการทำงานทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ 1) การแก้ปัญหา 2) การสื่อสารและการสื่อ
ความหมายทางคณติ ศาสตร์ 3) การเชอื่ มโยง 4) การใหเ้ หตุผล และ 5) การคดิ สรา้ งสรรค์

1.3 ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ เป็นคุณลักษณะอันพึงประสงค์ในการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ ได้แก่ 1) ความเข้าใจหรือสรา้ งกรณีทั่วไปโดยใช้ความรู้ที่ไดจ้ ากการศึกษากรณีตัวอย่างหลายๆ
กรณี 2) มองเห็นว่าสามารถใช้คณิตศาสตร์แก้ปัญหาในชีวิตจริงได้ 3) มีความมุมานะในการทำความเข้าใจ
ปญั หาและแกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตร์ 4) สร้างเหตผุ ลเพ่อื สนับสนุนแนวคดิ ของตนเองหรอื โต้แยง้ แนวคิดของ
ผ้อู ื่นอย่างสมเหตสุ มผล และ 5) คน้ หาลกั ษณะท่ีเกิดขนึ้ ซ้ำ ๆ และประยุกตใ์ ช้ลกั ษณะดังกล่าวเพื่อทำความ
เข้าใจหรอื แกป้ ญั หาในสถานการณต์ า่ ง ๆ ตลอดจนคณุ ลกั ษณะท่มี ีอย่ใู นตวั ผ้เู รียนอันได้แก่ ความสามารถใน
การทำงานอย่างเปน็ ระบบ มีระเบยี บ มคี วามรอบคอบ มคี วามรบั ผิดชอบ มวี จิ ารณญาณ มีความเชื่อมั่น
ในตนเอง และตระหนักในคุณคา่ และมเี จตคติทด่ี ตี ่อคณติ ศาสตร์

2. สมรรถนะทางคณติ ศาสตร์ของผสู้ อน
ผู้ที่จะสอนคณิตศาสตร์ได้ดีนั้นควรมีความรู้ความสามารถในการพัฒนาให้ผู้เรียนมีความรู้

ทักษะ และคุณลักษณะตามที่ระบุไว้ตามหลักสูตร ความรู้ความสามารถเหล่านี้ครอบคลุมความรู้ในเนื้อหา
คณิตศาสตร์ทั้งในเชิงลึกและเชิงกว้าง ความสามารถในการจัดการเรียนรู้และการพัฒนาทักษะและ
กระบวนการทางคณิตศาสตร์ เพื่อให้ผู้เรียนสามารถนำความรู้ในเนื้อหาไปใช้ได้จริง รวมถึงจิตลักษณะที่ดี
ของความเป็นครูที่จะมุ่งมั่นในการสอนและการปฏิบัติหน้าที่ที่ดีของครู ความรู้ความสามารถ และจิต
ลกั ษณะดงั กล่าวรวมเป็นสมรรถนะของผู้สอน ซึ่งมีความสำคัญมาก เนื่องจากกิจกรรมต่าง ๆ ที่เกิดข้ึนทั้งใน
และนอกหอ้ งเรียน เชน่ การวางแผนการจดั การเรียนรู้ การจดั กิจกรรมการเรียนรู้ การประเมินผลงานผเู้ รียน
การตรวจการบ้าน ล้วนเป็นผลมาจากความรู้ ความสามารถทางคณิตศาสตร์ ทักษะเกี่ยวกับการให้เหตุผล
และการสื่อสาร รวมถึงความคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของผู้สอน สมรรถนะทางคณิตศาสตร์ของผู้สอนจึงมี
ความสำคัญต่อคุณภาพการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของผู้เรียน โดยทั่วไปอาจจำแนกสมรรถนะทางคณิตศาสตร์
ของผสู้ อนเป็น 3 ดา้ น ดงั น้ี (อมั พร มา้ คะนอง, 2557, หนา้ 7-11)

การพฒั นาหลกั สตู รคณติ ศาสตร์

13

2.1 ด้านความรู้ เป็นความรู้ของผู้สอนเกี่ยวกับเนื้อหาคณิตศาสตร์และความรู้เกี่ยวกับการ
สอน ซึ่งประกอบด้วยความรู้ดังนี้

2.1.1 ความรู้ในเน้อื หา (Subject Matter Knowledge) เปน็ ความรู้ในสาระหลกั มโนทัศน์
และแนวคิดเชิงลึกทางคณิตศาสตร์ในทุกสาขาของคณิตศาสตร์และในระดับท่ีสูงกว่าระดับที่สอน ทั้งความรู้
เชงิ มโนทัศน์ ความรูเ้ ชงิ ขัน้ ตอนหรอื กระบวนการ รวมทัง้ การเชอื่ มโยงระหวา่ งความรทู้ ้งั สองประเภท ความรู้
ในเนื้อหาคณิตศาสตร์มีมิติที่หลากหลาย และมีผลในทางบวกต่อการเรียนรู้ของผู้เรียน สามารถจำแนก
ความรู้เน้ือหาคณิตศาสตรไ์ ด้เป็น 2 ประเภท ดังนี้

1) ความรู้เกย่ี วกบั เน้ือหาทัว่ ไป (Common Content Knowledge) เป็นความรทู้ ั่วไป
เกยี่ วกับทฤษฎบี ท กฎ สตู ร และเน้ือหาคณติ ศาสตร์ที่มกี ารเรยี นรู้และใช้กนั ทั่วไป

2) ความรู้เฉพาะหรือความรู้สำคัญเกี่ยวกับเนื้อหา (Specialized Content
Knowledge) เปน็ ความรู้เชงิ ลึกท่ีมกี ารต่อยอดหรอื ขยายความคิดจากเน้ือหาคณติ ศาสตร์ท่วั ไป

2.1.2 ความรู้เกี่ยวกับการสอน (Pedagogical Content Knowledge) เป็นความรู้ความ
เขา้ ใจของผูส้ อนว่าจะช่วยใหผ้ ู้เรยี นเข้าใจเนื้อหาคณิตศาสตร์ได้อย่างไร รวมถงึ ความรทู้ ี่จะวิเคราะห์วางแผน
และจัดการเรียนรู้สำหรับเนื้อหา ปัญหา และประเด็นที่เกี่ยวข้องให้กับผู้เรียนท่ี มีความสนใจและ
ความสามารถแตกต่างกัน หรืออาจกลา่ วไดว้ ่า ความรู้เกี่ยวกบั การสอนเปน็ ผลของการแปลงเน้ือหาให้อยู่ใน
รปู แบบท่ีจะชว่ ยผเู้ รียนเกิดการเรยี นรู้ ในทางปฏิบตั คิ วามรเู้ กี่ยวกับการสอนเป็นความร้เู กย่ี วกับวิธีวิทยาการ
สอนคณติ ศาสตร์ เชน่ หลักการจดั การเรียนรู้ วิธสี อน เทคนิคการสอน ส่ือและแหล่งเรยี นรู้ การประเมินการ
เรียนรู้ เปน็ ต้น จึงผสมผสานระหว่างความรู้ในเนื้อหาและความรเู้ ก่ียวกับการเรยี นการสอน ความรู้เก่ียวกับ
การสอนคณติ ศาสตร์สามารถจำแนกได้ดังนี้

1) ความรู้เกี่ยวกับเนื้อหาและผู้เรียน (Knowledge of Content and Students)
เป็นความรู้ที่ผสมระหว่างความรู้คณิตศาสตร์กับความรู้เกี่ยวกับผู้เรียน มักเป็นความรู้ที่เกิดจาก
ประสบการณ์การสอนคณิตศาสตร์ เช่น รู้ว่าผู้เรียนที่เก่งกับผู้เรียนที่อ่อนจะเรียนรู้เนื้อหาคณิตศาสตร์
เดียวกนั แตกต่างกันอย่างไร รวู้ า่ ในแตล่ ะเน้อื หาผ้เู รียนมักมขี ้อผิดพลาดในเรอ่ื งใด

2) ความรู้เกี่ยวกับเนื้อหาและการสอน (Knowledge of Content and Teaching)
เป็นความรู้ที่ผสมระหว่างความรู้คณิตศาสตร์กับการสอน เช่น ความรู้ในเนื้อหาและลำดับของเนื้อหาที่จะ
สอน การออกแบบการสอน การเลือกตัวอย่างและงานที่จะให้ผู้เรียนทำ การใช้คำถาม การตั้งประเด็น
อภปิ ราย

3) ความรู้เกี่ยวกับหลักสูตร (Knowledge of Curriculum) เป็นความรู้ความเข้าใจ
เกี่ยวกับหลักสูตร ทั้งในภาพรวมและรายละเอียดปลีกย่อย เช่น เข้าใจวัตถุประสงค์และเจตนารมณ์ของ
หลักสูตรว่าต้องการพัฒนาผู้เรียนให้เป็นอย่างไร เข้าใจความสัมพันธ์และความเชื่อมโยงระหว่างเนื้อหา
คณิตศาสตรท์ ง้ั ในระดับเดียวกนั และต่างระดับ

2.2 ด้านทกั ษะการสอน เปน็ ความสามารถหรือความชำนาญของผ้สู อนในการจัดการเรียนรู้
ให้เหมาะสมกับเนื้อหาและศักยภาพทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน เพื่อให้ผู้เรียนพัฒนาทั้งในเรื่องของความรู้
ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งคุณลักษณะอันพึงประสงค์ ทักษะการสอนจึงเป็น

การพฒั นาหลกั สตู รคณติ ศาสตร์

14

ความสามารถที่มีการบูรณาการความรู้ในเนื้อหาคณิตศาสตร์และความรู้เกี่ยวกับการสอนคณิตศาสตร์
มาร่วมวางแผนและดำเนนิ การจัดการเรยี นรอู้ ย่างมปี ระสทิ ธภิ าพ

2.3 ด้านจิตลักษณะในการพัฒนาผู้เรียน เป็นคุณลักษณะทางจิตของผู้สอนที่มุ่งพัฒนา
ผู้เรียน ให้ประสบความสำเร็จในการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เช่น แรงจูงใจในการสอน ความรักและศรัทธาใน
การเป็นครูคณิตศาสตร์ ความมุ่งมั่นในการสอนคณิตศาสตร์ การสนับสนุนทางสังคมและการให้ความ
ช่วยเหลอื ผเู้ รยี นในการเรียนคณิตศาสตร์

3. การรูเ้ รอ่ื งคณิตศาสตร์ (Mathematical Literacy)
การรู้เรื่องคณิตศาสตร์” (Mathematical Literacy) เน้นการนำคณิตศาสตร์ที่เรียนมาใช้ ใน

สถานการณข์ องชีวติ จริง นกั เรียนจะต้องสามารถขยายความรู้จากทเ่ี รยี นมาประยุกต์กบั สถานการณ์ จริงใน
บริบทต่าง ๆ ที่หลากหลาย โดยให้นักเรียนระบสุ ถานการณ์ท่ีสำคัญของปัญหา กระตุ้นให้หา ข้อมูล สำรวจ
ตรวจสอบ และนำไปสู่การแกป้ ญั หา เช่น ทักษะการคิดและการใชเ้ หตุผล การโต้แย้ง การสื่อสาร การสร้าง
ตวั แบบ การตง้ั ปญั หา และการแกป้ ญั หา การนำเสนอ การใชส้ ัญลกั ษณแ์ ละการดำเนนิ การในการแก้ปัญหา
นักเรียนต้องใช้ทักษะต่าง ๆ ที่หลากหลายมารวมกัน หรือใช้ทักษะหลายอย่างที่ทับซ้อน หรือคาบเกี่ยวกัน
โดยถือข้อตกลงเบื้องต้นว่าการที่คนหนึ่งจะใช้คณิตศาสตร์ได้ คนนั้นจะต้องมีความรู้พื้นฐานและทักษะทาง
คณิตศาสตร์มากพออยู่แล้ว ซึ่งนั่นก็หมายถึง สิ่งที่นักเรียนได้เรียนไปขณะอยู่ในโรงเรียน การประเมินการรู้
เรื่องคณิตศาสตร์ จึงมุ่งประเมินความสามารถในการเชื่อมโยงสถานการณ์ ต่าง ๆ ที่นักเรียนอาจพบเจอใน
การดำเนินชีวิตประจำวันเข้ากับคณิตศาสตร์และใช้คณิตศาสตร์เพื่อการแก้ปัญหานั้น ๆ ได้อย่างมี
ประสิทธิภาพ โดยปัญหาหรือคำถามมุ่งประเมินความสามารถของนักเรียน ด้านการรู้เรื่องคณิตศาสตร์ 3
ลักษณะ คอื การคดิ สถานการณ์ปญั หาในเชิงคณิตศาสตร์ การใช้หลักการหรือกระบวนการทางคณิตศาสตร์
ในการแกป้ ัญหา และการประเมินและตีความผลลัพธ์ทาง คณิตศาสตร์

การรู้เรื่องคณิตศาสตร์ (Mathematical Literacy) หมายถึง ความสามารถของบุคคลในการ
คิดใช้ และตคี วามคณติ ศาสตร์ในสถานการณต์ า่ ง ๆ ท่หี ลากหลายรวมถึงการให้เหตผุ ลอย่างเปน็ คณติ ศาสตร์
ใชแ้ นวคิดและกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ์ นการอธิบาย และทำนายปรากฏการณต์ า่ ง ๆ

3.1 กรอบการประเมนิ การรเู้ ร่ืองคณิตศาสตร์
กรอบการประเมินผลของ OECD/PISA เน้นที่การประเมินว่า นักเรียนอายุ 15 ปี รู้เรื่อง

คณิตศาสตร์มากน้อยเพียงใด นั่นคือ สามารถนำฐานความรู้คณิตศาสตร์มาใช้ และเผชิญหน้ากับปัญหาใน
โลกจรงิ ไดเ้ พยี งใด ขอบเขตของคณติ ศาสตรค์ รอบคลุมองคป์ ระกอบ 3 ดา้ น ไดแ้ ก่

3.1.1 กระบวนการทางคณิตศาสตร์ (Process) ท่ีอธิบายสิ่งที่แต่ละคนทำเพื่อเชื่อมโยง
บริบทของปญั หากับคณติ ศาสตร์ แล้วนำไปสกู่ ารแก้ปญั หา

3.1.2 เนือ้ หาคณิตศาสตร์ (Content) ทีต่ อ้ งนำมาใช่ในการแก้ปัญหา
3.1.3 สถานการณห์ รอื บริบท (Context) ท่ีปัญหานน้ั ตัง้ อยู่
3.2 กระบวนการทางคณิตศาสตร์
ส่วนหนึ่งของนิยามของการรู้เรื่องคณิตศาสตร์ที่กล่าวว่า “ความสามารถของแต่ละบุคคล
ในการคิด การใช้ และการตีความคณิตศาสตร์...” สามคำนี้ มีประโยชน์และมีความสำคัญในการจัดการ

การพัฒนาหลกั สูตรคณติ ศาสตร์

15

กระบวนการ ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถอธิบายได้ว่า แต่ละคนสามารถเชื่อมโยงบริบทของปัญหากับ
คณิตศาสตร์ได้อย่างไรและแก้ปัญหาอย่างไร กระบวนการทางคณิตศาสตร์ แบ่งออกเป็น 3 กระบวนการ
ดงั นี้

3.2.1 การคิดสถานการณข์ องปญั หาในเชิงคณิตศาสตร์
3.2.2 การใชห้ ลกั การและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการแกป้ ญั หา
3.2.3 การตคี วามและประเมนิ ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์
การรู้ว่านักเรียนสามารถเข้าไปมีส่วนร่วมในแต่ละกระบวนการเหล่านี้ได้อย่างมี
ประสิทธิภาพเพียงใดนั้น เป็นสิ่งสำคัญต่อการจัดทำนโยบายทางการศึกษาในปัจจุบัน ผลการสำรวจของ
PISA ในกระบวนการคดิ ในเชงิ คณิตศาสตร์ช้ีให้เห็นวา่ นักเรยี นสามารถรแู้ ละบอกโอกาสท่ีจะใช้คณิตศาสตร์
ในสถานการณ์ของปัญหา และให้โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นต้องใช้ในการแปลงสถานการณ์ของ
ปัญหาให้อยู่ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์อย่างมีประสิทธิภาพเพียงใด ส่วนการใช้หลักการทางคณิตศาสตร์
ชี้ให้เห็นว่า นักเรียนสามารถคำนวณ ดำเนินการ และประยุกต์แนวคิดหลักและข้อเท็จจริงที่นำไปสู่การ
แก้ปัญหาเชิงคณิตศาสตร์กับปัญหาที่ถูกเปลี่ยนให้เป็นปัญหาเชิงคณิตศาสตร์ได้ดีเพียงใดและส ำหรับ
กระบวนการตีความชี้ให้เห็นว่า นักเรียนสามารถสะท้อนข้อสรุปและวิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์
ตคี วามผลทไ่ี ด้ไปสูบ่ รบิ ทปญั หาในโลกชวี ิตจริง และระบุไดว้ ่าผลลพั ธ์หรอื ข้อสรปุ เป็นเหตุเปน็ ผลหรอื ไม่
3.3 การใช้หลักกการและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการแกป้ ญั หา
นิยามของคำว่า “การใช้” ในการรู้เรื่องคณิตศาสตร์ หมายถึง ความสามารถของแต่ละ
บุคคลในการประยุกต์ใช้แนวคิด หลักทางคณิตศาสตร์ ข้อเท็จจริง วิธีดำเนินการ และเหตุผลทาง
คณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหา เชิงคณิตศาสตร์เพื่อให้ได้ข้อสรุปทางคณิตศาสตร์ การใช้หลักการและ
กระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหา เป็นกระบวนการที่แต่ละคนแสดงวิธีดำเนินการทาง
คณิตศาสตร์ทจ่ี ำเปน็ เพื่อใหไ้ ด้มาซึ่งผลลัพธ์ และค้นหาวธิ แี ก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (เช่น แสดงการคำนวณ
การแก้สมการ การลงข้อสรุปจากสมมติฐานทางคณิตศาสตร์ การใช้เชิงสัญลักษณ์ การสกัดข้อมูลทาง
คณิตศาสตร์จากตารางและกราฟ การใช้สัญลักษณ์แทนและการจัดการกับรูปร่างและรูปทรง และการ
วิเคราะหข์ ้อมูล) สรา้ งแบบจำลองของสถานการณ์แกป้ ัญหา สร้างกฎเกณฑ์ ระบุความเชอ่ื มโยงระหว่างองค์
ความรู้ทางคณิตศาสตร์ และสร้างข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ กระบวนการนี้ประกอบด้วยกิจกรรม ต่าง ๆ
ต่อไปนี้
3.3.1 การคิดและนำกลยทุ ธ์ในการหาวธิ แี ก้ปัญหาทางคณิตศาสตรไ์ ปใช้
3.3.2 การใช้เครอ่ื งมือทางคณิตศาสตร์ รวมทัง้ เทคโนโลยเี พ่อื ชว่ ยหาวธิ ีแก้ปญั หาที่ถูกต้อง
หรอื เหมาะสม
3.3.3 การนำขอ้ เท็จจริง กฎเกณฑ์ ข้ันตอนวิธี และโครงสรา้ งทางคณิตศาสตร์มาใช้ในการ
แก้ปญั หา
3.3.4 การดำเนินการในเรื่องจำนวน ข้อมูลและข้อสนเทศเกี่ยวกับกราฟและสถิติ นิพจน์
พีชคณติ และสมการ และการแสดงแทนทางเรขาคณติ

การพฒั นาหลกั สตู รคณติ ศาสตร์

16

3.3.5 การสร้างแผนภาพ กราฟ และโครงสร้างทางคณิตศาสตร์และการสกัดข้อมูลทาง
คณติ ศาสตร์จากส่ิงเหล่าน้นั

3.3.6 การใชแ้ ละการสลบั ทีร่ ะหว่างการใชส้ ญั ลกั ษณต์ ่าง ๆ ในกระบวนการแก้ปญั หา
3.3.7 การสร้างข้อสรุปทั่วไปบนพื้นฐานของผลลัพธ์ที่เกิดจากการนำวิธีดำเนินการทาง
คณิตศาสตร์ไปใช้ ในการแก้ปญั หา
3.3.8 การสะท้อนข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ การอธิบายและการแสดงเหตุผลต่อผลลัพธ์
ทางคณติ ศาสตร์
3.4 ความสามารถพนื้ ฐานทางคณติ ศาสตรท์ ่ีอย่ใู นกระบวนการทางคณติ ศาสตร์
ความสามารถพ้นื ฐานทางคณิตศาสตร์ทีใ่ ชใ้ นกรอบโครงสร้างนี้มี 7 ด้าน ดงั ต่อไปนี้
3.4.1 การสื่อสาร (Communication) ความสามารถของแต่ละบุคคลคนที่รับรู้การมีอยู่
ของสิ่งที่ท้าทาย และถูกกระตุ้นให้รู้และเข้าใจสถานการณ์ปัญหา การอ่าน การถอดรหัส และการตีความ
ข้อความ การถาม ภาระงานหรือส่งิ ตา่ ง ๆ ทีท่ ำให้แต่ละคนสามารถสร้างแบบจำลองสถานการณ์ขึ้นมาในใจ
ซึ่งเป็นขั้นตอนที่สำคัญในการเข้าใจปัญหา การทำปัญหาให้ง่ายขึ้น และการคิดสร้างปัญหา ในระหว่าง
กระบวนการแก้ปัญหา ผลที่ได้ทันทีอาจจำเป็นต้องมีการสรุปและนำเสนอ หลังจากที่พบวิธีแก้ปัญหาแล้ว
ผแู้ ก้ปญั หาจำเปน็ ต้องนำเสนอวิธแี กป้ ัญหานนั้ และบางครัง้ ต้องมกี ารอธบิ ายและให้เหตผุ ลกบั ผู้อ่นื ด้วย
3.4.2 การทำให้เป็นคณิตศาสตร์ (Mathematising) การรู้เรื่องคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับ
การแปลงปัญหา ในโลกชีวิตจริงให้อยู่ในรปู ทางคณิตศาสตร์อยา่ งแท้จริง (ซงึ่ รวมท้งั การสร้างโครงสร้างการ
สร้าง กรอบโครงสรา้ งการประเมนิ ผลนักเรยี น โครงการ PISA 2015 แนวคดิ หลัก การสร้างสมมติฐาน และ/
หรือการคิดแบบจำลอง) หรือการตีความ หรือการประเมิน ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์หรือแบบจำลองทาง
คณิตศาสตรใ์ ห้เชอ่ื มโยงกับปัญหาเดิม
3.4.3 การแสดงแทน (Representation) การร้เู รือ่ งคณติ ศาสตรม์ กั เกี่ยวข้องกบั การแสดง
เครื่องหมาย แทนของสิ่งต่าง ๆ และสถานการณ์ในเชิงคณิตศาสตร์อยู่บ่อยครั้ง นำมาซึ่งการคัดเลือกการ
ตคี วาม การแปล และการแสดงเครอ่ื งหมายแทนที่หลากหลายในการจับประเด็นของสถานการณป์ ฏิสัมพันธ์
กับปัญหา หรอื เพือ่ นำเสนองาน การแสดงแทน ได้แก่ กราฟ ตาราง แผนภาพ รปู ภาพ สมการ สูตร และส่ือ
ทีเ่ ป็นรปู ธรรม
3.4.4 การใหเ้ หตุผลและการสร้างขอ้ โต้แย้ง (Reasoning and argument) ความสามารถ
ทางคณิตศาสตร์ ที่ถูกนำมาใช้ในแต่ละขั้นตอนและแต่ละกิจกรรมที่เชื่อมโยงกับการรู้เรื่องคณิตศาสตร์คือ
การให้ เหตุผลและการสร้างข้อโต้แย้ง ความสามารถนี้เกี่ยวข้องกับพื้นฐานของความเป็นเหตุเป็นผลใน
กระบวนการคิดที่ค้นหาและเชื่อมโยงกับองค์ประกอบของปัญหา เพื่อใช้สร้างข้อสรุปจากสิ่งเหล่าน้ัน
ตรวจสอบการให้เหตุผลท่ีได้รบั หรือแสดงการให้เหตุผลของขอ้ ความหรือวิธแี ก้ปญั หา
3.4.5 การสร้างกลยุทธ์เพอื่ แก้ปญั หา (Devising strategies for solving problems) การ
รู้เรื่อง คณิตศาสตร์จำเป็นต้องคิดกลยุทธ์ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์อยู่บ่อยครั้งซึ่งประกอบด้วย
กระบวนการควบคุมขั้นสงู ทน่ี ำแต่ละคนไปสู่การรู้การสรา้ ง และการแก้ปญั หาไดอ้ ย่างมี ประสทิ ธภิ าพทักษะ
นี้มีลักษณะที่เป็นการเลอื ก หรือคิดแผน หรือกลยุทธ์ท่ีจะใช้คณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาท่ีมาจากภาระงาน

การพัฒนาหลักสตู รคณติ ศาสตร์

17

หรือบริบทและการชี้แนวทาง การนำไปใช้ ความสามารถทางคณิตศาสตร์นีอ้ าจต้องใช้ในขั้นตอนใดขั้นตอน
หน่ึงของกระบวนการแก้ปญั หา

3.4.6 การใชส้ ญั ลกั ษณ์ ภาษาทเ่ี ป็นทางการและภาษาเทคนิค และการดำเนนิ การ (Using
symbolic, formal and technical language and operations) การรู้เรื่องคณิตศาสตร์จำเป็นต้องใช้
สัญลักษณ์ภาษาที่เป็นทางการและภาษาเทคนิค และการดำเนินการ ซึ่งประกอบด้วยความเข้าใจ การ
ตีความการจัดการ และการใช้นิพจน์สัญลักษณ์ในบริบททางคณิตศาสตร์ (ได้แก่ นิพจน์พีชคณิต และการ
ดำเนินการ) เพ่ือดำเนนิ การตามแบบแผนและกฎเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์และยังรวมถึง ความเข้าใจ และการ
ใช้โครงสร้างตามแบบแผนที่มาจากนิยาม กฎเกณฑ์และระบบตามแบบแผน และการใช้อัลกอริทึมกับองค์
ความรู้เหล่านี้ด้วย สัญลักษณ์กฎเกณฑ์และระบบจะถูกใช้ตามความรู้เนื้อหาทางคณิตศาสตร์ที่จ ำเป็น
สำหรับภาระงานนน้ั ๆ โดยเฉพาะในการสร้าง แก้ปัญหา หรอื ตคี วามทางคณิตศาสตร์

3.4.7 การใชเ้ ครื่องมือทางคณติ ศาสตร์ (Using mathematical tools) สมรรถนะสดุ ทา้ ย
นี้เป็นการสนับสนุนการรู้เรื่องคณิตศาสตร์ในทางปฏิบัติซึ่งเป็นการใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ เครื่องมือ
ทางคณิตศาสตร์รวมถึงเครื่องมือทางกายภาพ เช่น เครื่องมือวัด เครื่องคิดเลข และเครื่องมือในกรอบ
โครงสร้างการประเมินผลนักเรียน โครงการ PISA 2018 คอมพิวเตอร์ซึ่งมีให้ใช้มากขึ้นอย่างกว้างขวาง
ความสามารถนี้เกี่ยวข้องกับการรู้จักและการนำเครื่องมือที่หลากหลายมาใช้เพื่อช่วยในกิจกรรมทาง
คณิตศาสตรแ์ ละการรู้ถึงข้อจำกัดของเคร่ืองมือ นนั้ ๆ เครอื่ งมือทางคณิตศาสตร์ยังสามารถมีบทบาทสำคัญ
ในการใหข้ ้อมลู ผลลัพธ์ด้วย

3.5 เน้อื หาคณิตศาสตร์
ความเขา้ ใจในเนอื้ หาคณติ ศาสตร์ และความสามารถในการนำความรไู้ ปใช้ในการแก้ปัญหา

ได้จรงิ เป็นสง่ิ สำคัญ ในการแก้ปญั หาและตคี วามสถานการณ์ในบริบทต่าง ๆ จำเปน็ ต้องดงึ ความรู้และความ
เข้าใจเกี่ยวกับคณิตศาสตร์มาใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือในการสร้างความเข้าใจ จัดระเบียบ
และวิเคราะห์ปรากฏการณ์ต่าง ๆ ในธรรมชาติ สังคม และการคิดจิตนาการต่าง ๆ ในโรงเรียน หลักสูตร
คณิตศาสตร์จะถูกจัดเป็นสาขาวิชา (เลขคณิต พีชคณิต เรขาคณิต ฯลฯ) ที่สะท้อนถึงที่มา แนวคิดที่ยึดถือ
มา และเป็นฐานของการจัดการแผนการเรียนการสอน อย่างไรก็ตามในโลกของความเป็นจริง ปรากฏการณ์
ที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ไม่ได้จัดระเบียบมาเป็นหมวดหมู่หรือแยกสายวิชามาให้ และไม่ค่อยมี
ปรากฏการณ์ใดที่สามารถใชค้ วามรู้จากสายวิชาเดียวโดด ๆ มาแก้ปัญหาได้ หากแต่ต้องใชพ้ ื้นฐานความร้ทู ่ี
กว้างขวาง ครอบคลุมหลายด้านกว่าที่ใช้อยู่ในห้องเรียนเนื่องจากระดับของการรู้เรื่องคณิตศาสตร์จะ
พิจารณาจากการที่บุคคลนัน้ สามารถใช้ความรูแ้ ละทักษะทางคณิตศาสตร์มาแกป้ ัญหาในโลกของความเป็น
จริงตามสถานการณ์หรือบริบทที่แตกต่างหลากหลายได้ดเี พียงใด ดังนั้น ในการประเมินจึงใช้ปรากฏการณ์
เปน็ ตัวต้ังในการนำไปสู่แนวคิดโครงสร้าง หรือความคิดหลักการทางคณติ ศาสตร์ วธิ นี ีจ้ งึ ประกันได้ว่าจะตรง
กบั จดุ มุ่งหมายในนยิ ามของการประเมนิ ซง่ึ จะไมเ่ หมือนกับการประเมนิ ผลคณติ ศาสตรท์ ี่พบเห็นในหลักสูตร
ทั่วไป โครงสร้างการประเมินคณิตศาสตร์ครอบคลุมเนื้อหา 4 เรื่อง และยังครอบคลุมเนื้อหาที่นักเรียนได้
เรียนมาแล้วตามหลักสตู รคณิตศาสตรใ์ นโรงเรยี น ได้แก่ การเปลี่ยนแปลงและความสัมพันธ์ (Change and

การพฒั นาหลักสูตรคณติ ศาสตร์

18

Relationships) ปริภูมิและรูปทรง (Space and Shape) ปริมาณ (Quantity) และ ความไม่แน่นอนและ
ขอ้ มูล (Uncertainty and Data) แตล่ ะเนือ้ หามีลักษณะและรายละเอียดดังนี้

3.5.1 การเปลยี่ นแปลงและความสมั พันธ์ (Change and Relationships)
โลกแสดงใหเ้ ราเห็นถึงการเปล่ยี นแปลงมากมายมหาศาล และแสดงให้เหน็ ถึงความสัมพันธ์ทั้ง
ชั่วคราวและถาวรของการเปลี่ยนแปลงในธรรมชาติ (ตัวอย่างเช่น มีการเปลี่ยนแปลงของสิ่งมีชีวิตขณะ
เจริญเติบโต การหมุนเวยี นของฤดูกาล การขึ้นลงของกระแสน้ำ การเปลี่ยนแปลงของอวกาศการขึ้นลงของ
หุ้น การว่างงานของคน) การเปลี่ยนแปลงบางกระบวนการสามารถบอกได้หรอื สร้างเป็นตัวแบบได้โดยตรง
โดยใชฟ้ งั ก์ชนั ทางคณิตศาสตร์ ความสมั พันธ์ทางงคณิตศาสตร์สว่ นมากเป็นรปู แบบของสมการหรืออสมการ
แต่ความสัมพันธ์ในธรรมชาติอื่น ๆ ก็อาจเกิดขึ้นได้เช่นกัน ความสัมพันธ์หลายอย่างไม่สามารถใช้
คณิตศาสตร์ได้โดยตรง ต้องใช้วิธีการอื่น ๆ และจำเป็นต้องมีการวิเคราะห์ข้อมูลเพื่อระบุถึงความสัมพันธ์
นอกจากนี้ ธรรมชาตแิ ละสิง่ ที่มนุษยส์ ร้างสรรค์ขึ้นในโลกมีความสัมพันธ์กับสภาพแวดล้อมการเปลี่ยนแปลง
ที่เกิดขึ้นในระบบจะส่งผลซึ่งกันและกัน ในหลายกรณีมีการเปลี่ยนแปลงนี้เกิดขึ้นตามช่วงเวลา และบาง
กรณีการเปลี่ยนแปลงของสิ่งหนึ่งหรือหลาย ๆ สิ่งที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงของอีกสิ่งหนึ่ง โดยมีท้ัง
การเปลี่ยนแปลงแบบต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง บางความสัมพันธ์เป็นสิ่งที่ถาวรหรือไม่เปลี่ยนแปลงเป็นไป
ตามธรรมชาติของสงิ่ นนั้ ดังนน้ั การรู้เรอื่ งการเปล่ยี นแปลงและความสมั พนั ธ์จะเก่ียวข้องกบั ความเข้าใจเรื่อง
การเปลี่ยนแปลงแบบต่าง ๆ และการรู้ว่าเมื่อเกิดการเปลี่ยนแปลงจะใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ท่ี
เหมาะสมเพ่ือใช้อธิบายและทำนายการเปลยี่ นแปลงนั้นได้อย่างไร ซึง่ ในทางคณิตศาสตร์การทำแบบจำลอง
และการตคี วามการเปล่ียนแปลงของปรากฏการณ์ต่าง ๆ

3.5.2 ปริภมู ิและรูปทรง (Space and Shape)
ปริภูมิและรูปทรงครอบคลุมปรากฏการณ์ต่าง ๆ อย่างกว้างขวางซึ่งมีอยู่ทั่วทุกแห่งใน

โลกท่ีเราสามารถเห็นได้และมีลักษณะเป็นกายภาพ ได้แก่ แบบรปู สมบตั ขิ องวัตถุ ตำแหน่งและทิศทางการ
แสดงแทนวัตถุ การเข้ารหัสและถอดรหัสของสาระที่มองเห็นจากภาพได้ การนำทาง และปฏิสัมพันธ์ของ
กลศาสตร์กบั รปู ร่างจรงิ และกบั การแทน เรขาคณิตเปน็ พนื้ ฐานท่ีจ าเป็นสำหรับปรภิ มู แิ ละรูปทรง แตเ่ นื้อหา
ปริภูมิและรูปทรงมีรายละเอียดเกินกว่าสาระของวิชาเรขาคณิต ทั้งในเรื่องเนื้อหา ความหมายและวิธีการ
ซึ่งจะขยายกว้างไปถึงเรื่องทัศนะการมองเห็น การวัดขนาด และพีชคณิต การศึกษาเรื่องของรูปร่างมีความ
เกยี่ วขอ้ งอยา่ งใกลช้ ิดกับแนวคิดของเรื่องทว่ี ่าง ซง่ึ ตอ้ งการความเขา้ ใจในเรื่องสมบตั ิขชองวัตถุและตำแหน่ง
เปรียบเทียบของวัตถุ เราต้องรู้ว่าเรามองเห็นวัตถสุ ิ่งของต่าง ๆ อย่างไร และทำไมเราจึงมองเห็นอย่างทีเ่ รา
เห็น เราจ้องเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างรูปร่างและภาพในควรมคิด หรือภาพที่เรามองเห็น เป็นต้นว่า
มองเหน็ ความสัมพนั ธ์ของตวั เมืองจรงิ กับแผนที่ รูปถ่ายของเมืองน้ัน ขอ้ น้รี วมทัง้ ความเข้าใจในรูปร่างที่เป็น
สามมิติที่แสดงแทน ออกมารในภาพสองมิติ มีความเข้าใจใจเรื่องของเงา และ ภาพที่มีความลึก
(Perspective) และเขา้ ใจดว้ ยว่ามันทำงานอยา่ งไร

3.5.3 ปรมิ าณ (Quantity)
แนวคิดเรื่องปริมาณเป็นเรือ่ งทางคณิตศาสตร์ที่พบมากที่สุดและเป็นเรื่องทีจ่ ำเป็นต้อง

ใช้ในชีวิตประจำวัน ในเรื่องปริมาณจะรวมถึงเรื่องการกำหนดปริมาณของวัตถุ ความสัมพันธ์ สถานการณ์

การพัฒนาหลกั สูตรคณติ ศาสตร์

19

และกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ ในโลก ความเข้าใจการแสดงแทนปริมาณในรูปแบบต่าง ๆ และการตัดสินจากการ
ตีความและข้อโต้แย้งเชิงปริมาณ การรู้เรื่องปริมาณควรมีความเข้าใจเกี่ยวกับการวัดขนาด การนับขนาด
หน่วยนับ ตัวบ่งชี้ ขนาดสัมพันธ์ และแนวโน้มเชิงตัวเลขและแบบรูป นอกจากนี้ ในด้านการให้เหตุผลเชิง
ปริมาณ เช่น ความรู้สึกเชิงจำนวน การแสดงจำนวนด้วยวิธีต่าง ๆ การคำนวณอย่างฉลาด การคิดเลขในใจ
การประมาณค่า และการประเมินผลลัพธ์อย่างมีเหตุมีผล ล้วนเป็นสิ่งจำเป็นต่อการรู้เรื่องทางคณิตศาสตร์
เก่ยี วกับปรมิ าณ การแสดงปริมาณเป็นวิธีข้ันพ้ืนฐานสำหรับการอธบิ ายและการวดั ส่งิ ตา่ ง ๆ ในโลก และเป็น
ตัวช่วยในด้านต่าง ๆ เช่น การสร้างแบบจำลองสถานการณ์ การตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงและ
ความสัมพันธ์ การอธิบายและการปรับปรุงเรื่องปริภูมิและรูปทรง การจัดการและการตีความข้อมูลการวัด
และประเมินความไม่แน่นอน ดังนั้น การรู้เรื่องทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับปริมาณ จึงเป็นการนำความรู้เรื่อง
จำนวนและการด าเนนิ การไปใช้ในเป้าหมายต่าง ๆ อย่างกวา้ งขวางจุดเน้นของเร่ืองน้ี คอื การบอกปริมาณ
รวมทั้งความเข้าใจเรื่องของขนาด (เปรียบเทียบ) แบบรูปของจำนวน และการใช้จำนวน เพื่อแสดงปริมาณ
และแสดงวัตถุต่าง ๆ ในโลกจริง ๆ ในเชิงปริมาณ (การนับและการวัด) นอกจากนี้ปริมาณยังเกี่ยวข้องกับ
กระบวนการและความเข้าใจเรอื่ งจำนวนท่ีนำมาใชใ้ นเร่ืองตา่ ง ๆ อยา่ งหลากหลาย

3.5.4 ความไม่แนน่ อนและข้อมลู (Uncertainty and Data)
เรื่องของความไม่แน่นอนเกี่ยวข้องกับสองเรื่อง คือ ข้อมูล และ โอกาส ซึ่งเป็น

การศึกษาทาง“สถิติ” และเรื่องของ “ความน่าจะเป็น” ข้อแนะนำสำหรับหลักสูตรคณิตศาสตรใ์ นโรงเรียน
สำหรับประเทศสมาชิก OECD คือ ให้ความสำคัญกับเรื่องของสถิติและความน่าจะเป็น ให้เป็นจุดเด่น
มากกว่าที่เคยเป็นมาในอดีต เพราะว่าโลกปัจจุบันในยุคของ “สังคมข้อมูลข่าวสาร” ข้อมูลข่าวสารท่ี
หลั่งไหลเข้ามาแน่นอนหลายอย่าง เช่น ผลการเลือกตั้งที่ไม่คาดคิด การพยากรณ์อากาศที่ไม่เที่ยงตรงการ
ล้มละลายทางเศรษฐกิจ การเงิน การพยากรณ์ต่าง ๆ ที่ผิดพลาด แสดงให้เห็นถึงความไม่แน่นอนของโลก
ทำให้คณิตศาสตร์เข้ามามีบทบาทในส่วนนี้ คือ การเก็บข้อมูล การวิเคราะห์ข้อมูล การเสนอข้อมูล ความ
น่าจะเป็น และการอ้างอิง (สถิติ) ความไม่แน่นอนเป็นเรื่องที่มีอยู่ในวิทยาศาสตร์เทคโนโลยีและใน
ชีวิตประจำวัน และเป็นเรื่องที่เป็นหัวใจสำคัญของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในสถานการณ์ปัญหาท่ี
หลากหลาย รวมทั้งทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติ และเทคนิคของการพรรณนาและการนำเสนอข้อมูลซง่ึ
ถูกสร้างขึ้นมาเพื่อจัดการกับเรื่องนี้ เนื้อหาเรื่องความไม่แน่นอนและข้อมูลนี้รวมถึงการรู้ว่าตำแหน่งใดที่มี
ความผันแปรในกระบวนการมีการรับรู้ถึงปริมาณของความผันแปร การรับรู้ถึงความไม่แน่นอนและความ
ผดิ พลาดจากการวดั และความรู้ในเรื่องโอกาสที่จะเกดิ ขน้ึ นอกจากนี้ ยังรวมความคดิ การตีความ และการ
ประเมินข้อสรุปในสถานการณ์ที่มีความไม่แน่นอนเป็นจุดสำคัญ ความไม่แน่นอนพบได้ในการทำนายทาง
วิทยาศาสตร์ การสำรวจความคิดเห็น การพยากรณ์อากาศ และแบบแผนทางเศรษฐกิจการมีความแปรผัน
ในกระบวนการผลิต คะแนนสอบ และผลการสำรวจ รวมทั้งเรื่องโอกาสซึ่งพบได้ในกิจกรรมสันทนาการ
ต่าง ๆ ของแต่ละคน โดยทั่วไป เรื่องความน่าจะเปน็ และสถิตใิ นหลกั สูตรเป็นเครือ่ งมือที่ใชใ้ นการพรรณนา
การสร้างตัวแบบ การตีความความไม่แน่นอนของปรากฏการณ์ และการนำไปอ้างอิง นอกจากน้ีการ
แก้ปัญหาที่อยู่ในเนื้อหาประเภทนี้ยังต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับจำนวนและพีชคณิต เช่น การแสดงแทนด้วย
กราฟ และสัญลกั ษณด์ ้วย

การพัฒนาหลกั สตู รคณติ ศาสตร์

20

จากแนวคิดที่กล่าวมานั้น ความสำเร็จหรือความล้มเหลวของการเรียนการสอนคณิตศาสตร์น้ัน
ส่วนหนึ่งขึ้นอยู่กับสมรรถนะทางคณิตศาสตร์ของทั้งผู้เรียนและผู้สอน จึงจำเป็นต้องพัฒนาสมรรถนะของ
ผู้เรียน 3 ด้าน คือ ด้านความรู้ ด้านทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ และด้านคุณลักษณะอันพึง
ประสงค์ ในส่วนของครูควรได้รับการพัฒนาสมรรถนะ 3 ด้าน เช่นกันคือ ด้านความรู้ ด้านทักษะการสอน
และด้านจติ ลักษณะในการพัฒนาผู้เรียน และส่งิ สำคัญในการเรียนคณิตศาสตร์ในยคุ นี้จะต้องมุ่งเน้นถึงการ
รู้เรื่องคณิตศาสตร์ (Mathematical Literacy) ซึ่งเป็นความสามารถของบุคคลในการคิดใช้ และตีความ
คณิตศาสตร์ในสถานการณ์ต่าง ๆ ที่หลากหลายรวมถึงการให้เหตุผลอย่างเป็นคณิตศาสตร์ ใช้แนวคิดและ
กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ในการอธบิ าย และทำนายปรากฏการณต์ า่ ง ๆ

บทสรปุ

ลักษณะและธธรรมชาตขิ องคณิตศาสตร์ กลา่ วได้วา่ คณติ ศาสตร์มลี ักษณะเปน็ นามธรรม ใช้ภาษา
และสัญลักษณ์ในการส่ือความหมาย เป็นทั้งศาสตร์แห่งการมีระบบแบบแผนชัดเจน มีโครงสร้าง มีเหตุผล
และสามารถพิสูจนไ์ ด้ เกี่ยวข้องกับการคำนวณ การคิด และการแก้ปัญหา และเป็นศิลปะที่แสดงถึงความมี
ระเบียบ การมีจนิ ตนาการ มคี วามคดิ ริเริ่ม ตลอดจนมีความเปน็ สากล

จะเห็นได้ว่าคณติ ศาสตร์มคี วามสำคญั ทง้ั ในแง่ของการใช้งานในชีวิตจรงิ และการพัฒนาการศึกษา
ให้แก่สังคม อีกทั้งมีความสำคัญในมุมมองของการเป็นศาสตร์แห่งการพัฒนาความคิด ความมีเหตุผลและ
การพัฒนาทักษะชวี ติ จึงเปน็ ผลให้สามารถอยรู่ ่วมกบั ผู้อนื่ ไดอ้ ยา่ งมีความสขุ

โครงสร้างของคณิตศาสตร์ประกอบดว้ ย คำอนยิ าม คำนิยาม สัจพจน์ และทฤษฎี
มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ เป็นความคิดรวบยอดเกี่ยวกับลักษณะสำคัญ ความหมาย อนิยาม บท
นิยาม สัจพจน์ ทฤษฎีบท เป็นความคิดนามธรรมที่ทำให้ผู้เรียนสามารถจำแนกสิ่งที่มีลักษณะตามความคดิ
นามธรรมนัน้ ๆ ได้ มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียนและผู้สอนจงึ มีความสำคัญมากต่อการจดั การเรยี น
การสอน และการนำคณิตศาสตร์ไปใช้ การพฒั นามโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ คอื จดั การเรียนรู้เพื่อให้ผู้เรียน
ได้เรียนรู้ในสิ่งที่มีความหมายและผู้เรียนเป็นผู้สร้างมโนทัศน์ด้วยตนเอง ออกแบบกิจกรรมและเลือกสื่อ
นวัตกรรม เทคโนโลยีให้สอดคล้องกับมโนทัศน์ที่ต้องการพัฒนาให้ผู้เรียน และมีการประเมินผลการพัฒนา
มโนทศั นเ์ ปน็ ระยะ ๆ อยา่ งตอ่ เน่อื ง เป็นผลต่อการพัฒนามโนทศั น์ของผู้เรียน
สมรรถนะทางคณิตศาสตร์เป็นความรู้ความสามารถทางคณิตศาสตร์ของทั้งผู้เรียนและผู้สอน จึง
จำเปน็ ตอ้ งพัฒนาสมรรถนะของผ้เู รยี น 3 ดา้ น คือ ดา้ นความรู้ ด้านทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
และด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ ในส่วนของครูควรได้รับการพัฒนาสมรรถนะ 3 ด้าน เช่นกันคือ ด้าน
ความรู้ ดา้ นทกั ษะการสอน และด้านจติ ลักษณะในการพัฒนาผ้เู รียน และสง่ิ สำคัญในการเรียนคณิตศาสตร์
ในยุคน้จี ะต้องมุ่งเนน้ ถึง การร้เู ร่ืองคณิตศาสตร์ (Mathematical Literacy) ซงึ่ เปน็ ความสามารถของบุคคล
ในการคิดใช้ และตีความคณิตศาสตร์ในสถานการณ์ต่าง ๆ ที่หลากหลายรวมถึงการให้เหตุผลอย่างเป็น
คณิตศาสตร์ ใช้แนวคิดและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการอธิบาย และทำนายปรากฏการณ์ต่าง ๆ
คณุ ลกั ษณะของผู้เรยี นจึงเกิดจากการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์

การพฒั นาหลกั สตู รคณติ ศาสตร์