Menghitung Luas Permukaan Luas permukaan bangun ruang adalah total seluruh luas yang menutupi isi suatu bangun ruang. Luas permukaan suatu bangun ruang ditentukan oleh jaring-jaring-nya. Satuan yang digunakan yaitu satuan luas, misalnya are, hektar, meter kuadrat; misalnya m² dan cm². 1. Tabung Tabung merupakan sebuah bangun ruang sisi lengkung yang dibentuk oleh dua lingkaran pada atas dan bawahnya. Kedua lingkaran tersebut memiliki ukuran yang sama besar serta kongruen. Keduanya saling berhadapan sejajar dan dihubungkan oleh garis lurus. Tabung memiliki tiga sisi yakni dua sisi datar dan satu sisi lengkung. Benda-benda dalam kehidupan sehari-hari yang menyerupai tabung adalah tong sampah, kaleng susu, lilin, pipa, dll. Permukaan tabung adalah bangun-bangun yang membatasi tabung tersebut. Kita ketahui bahwa jaring-jaring tabung terdiri atas persegi panjang dan dua lingkaran yang identik. Luas permukaan tabung sama dengan luas jaring-jaring tabung tersebut. Gambar di atas merupakan jaring-jaring tabung dengan jari-jari r dan tinggi t. Karena luas permukaan tabung sama dengan luas jaring-jaring tabung maka:
L = Luas permukaan tabung = Luas jaring – jaring tabung = 2 × Luas Lingkaran + Luas ABCD = (2 2 ) + (̅̅̅̅ × ̅̅̅̅) = (2 2 ) + (2 × ) = 2( + ) Jadi, luas permukaan tabung : = 2( + ) Catatan : Contoh 1 : Menghitung luas permukaan tabung Hitung luas permukaan tabung di samping. Alternatif Penyelesaian: Tabung disamping memiliki jari-jari r = 3 cm dan tinggi = 7, Maka luas permukaannya adalah … = 2( + ) rumua luas permukaan tabung = 2 × 3 × (3 + 7) substitusi nilai r dan t = 60 Jadi, luas permukaan tabung adalah 60 2 Contoh 2 : Menghitung jari-jari tabung jika diketahui luas permukaan Hitung jari-jari tabung di samping. Alternatif penyelesaian: Tabung di samping memiliki tinggi 8 cm dan luas 528 cm2 . Gunakan = 22 7 karena luas permukaannya kelipatan 11. = 2( + ) rumus luas permukaan tabung 528 = 2 ( 22 7 ) ( + 8) substitusi t dan = ( + ) kedua ruas dikalikan dengan 7 44 Bilangan = 3,14 atau = 22 7 , namun keduanya masih nilai pendekatan. Jika pada soal tidak diperintahkan menggunakan = 3,14 atau = 22 7 maka cukup gunakan saja.
Selanjutnya perhatikan tabel berikut. Akan didapat = × = ( + ) maka r = 6, sehingga jari-jari tabung adalah 6cm. 2. Kerucut Kerucut adalah bangun ruang sisi lengkung yang dapat dibentuk dari tabung dengan mengubah tutup tabung menjadi titik. Titik tersebut biasanya disebut dengan titik puncak. Kerucut memiliki dua sisi, yaitu satu sisi datar dan satu sisi lengkung. Kerucut merupakan limas dengan alas lingkaran. Benda-benda dalam kehidupan sehari-hari yang menyerupai kerucut adalah topi ulang tahun, topi petani, cone es krim. Sama seperti menghitung luas permukaan tabung, untuk menghitung luas permukaan kerucut dapat dilakukan dengan menghitung luas dari jaring-jaring kerucut. Jaring-jaring kerucut terdiri atas sebuah lingkaran dan sebuah juring. Maka luas permukaan kerucut adalah luas lingkaran L ditambah dengan luas juring ABC. Perhatikan gambar di samping. Diketahui panjang AB = panjang AC = s, serta panjang ̂ = 2. Juring ABC merupakan bagian dari lingkaran dengan jari-jari s. Kita beri nama dengan lingkaran S. 1. Perbandingan antara luas juring dengan luas lingkaran Jika diketahui ∠ maka: 84 = 1 × 84 = 4 × 21 = 2 × 42 = × = 3 × 28 = 7 × 12
= ∠ 360 Namun sudut ∠ tidak diketahui, maka diperlukan analisis lebih lanjut. 2. Perbandingan antara panjang busur dengan keliling lingkaran ̂ = ∠ 360 Namun diketahui ̂ = 2, sehingga 2 = ∠ 360 3. Dari hasil (1) dan (2) diperoleh: = 2 Sehingga, Luas Juring ABC = 2 × Dengan mensubstitusikan luas lingkaran = 2 dan keliling lingkaran S =2, diperoleh: = 2 2 × 2 = Simpulan Luas Permukaan Kerucut Gambar disamping merupakan jaring-jaring kerucut dengan jari-jari r dan tinggi t. Karena luas permukaan kerucut ekuivalen dengan luas jaring-jaring kerucut maka: Luas Permukaan Kerucut = Luas Lingkaran L + Luas Juring ABC = 2 + = ( + ) Jadi, luas permukaan kerucut = ( + )
Contoh 1 : Menghitung luas permukaan kerucut Hitung luas permukaan kerucut Alternatif Penyelesaian: Diameter kerucut adalah 16 cm, maka jari-jari kerucut adalah r = 8 cm, sedangkan tinggi kerucut adalah t = 15 cm. Panjang garis lukis adalah = √ 2 + 2 = √8 2 + 152 = 17 Sehingga diperoleh L = ( + ) rumus luas permukaan tabung = (8)(8 + 17) substitusi nilai r dan t = 200 Jadi, luas permukaan kerucut adalah 200 cm2 . Contoh 2 : Menghitung jari-jari kerucut jika diketahui luas permukaan Hitung jari-jari kerucut di samping. Alternatif Penyelesaian: Panjang garis lukis adalah s = 12 m dan luas permukaan kerucut adalah = 90 m2 . L = ( + ) rumus luas permukaan tabung 90 = ( + 13) substitusi nilai L dan s = ( + ) kedua ruas dibagi dengan Cari faktor 90 dengan perhatikan tabel di bawah. Diperoleh 90 = 5 × 18 dengan = ( + ) sehingga r = 5. Jadi, jari-jari kerucut adalah 5 m. 90 = 1 × 90 = × = 2 × 45 = 6 × 15 = 3 × 30 = 9 × 10
Contoh 3: Menghitung tinggi kerucut jika diketahui luas permukaan Hitung tinggi kerucut di samping. Alternatif Penyelesaian: Jari-jari kerucut adalah r = 12 dm dan luasnya adalah L = 300 dm2 . = ( + ) rumus luas permukaan kerucut 300 = (12)(12 + ) substitusi nilai L dan r 25 = (12 + ) kedua ruas dibagi dengan 12 25 − 12 = 12 − 12 + kedua ruas kurangkan dengan 12 13 = Kemudian setelah mendapat s = 13 maka untuk menentukan r dapat menggunakan teorema phytagoras. = √ 2 − 2 = √132 − 122 = √25 = 5 Diperoleh t = 5, segingga tinggi kerucut adalah 5 dm. 3. Bola Bola adalah bangun ruang sisi lengkung yang dibentuk dari tak hingga lingkaran yang memiliki jari-jari sama panjang dan berpusat pada titik yang sama. Bola hanya memiliki satu sisi yang merupakan sisi lengkung. Bola dapat dibentuk dengan memutar/ merotasi setengah lingkaran sebesar 360o dengan diameter sebagai sumbu rotasi. Benda dalam kehidupan sehari-hari yang berbentuk bola adalah bola olah raga (sepak bola, basket, voli, dll) kelereng, globe, dll. Bentuk bola tidak memiliki ujung. Hal tersebut membuat luas permukaan bola sama dengan empat kali luas lingkaran yang mempunyai jari-jari dengan nilai sama. Jika disimbolkan, maka rumus luas permukaan bola menjadi: = 4 2 Keterangan: L = luas permukaan bola 4 = konstanta tetap π = tetapan dengan nilai phi (3,14 atau 22/7) r = jari-jari bola
Bagaimana jika bangun yang dicari luasnya berbentuk separuh bola? Modifikasi rumusnya menjadi: L = 2 x π x r² Rumus tersebut menjadi begitu, karena luas bola utuh sama dengan empat kali luas lingkaran. Ketika dibelah separuh, maka sama dengan dua kali luas lingkaran saja. Nilai phi dapat disesuaikan dengan besar nilai jari-jari. Apabila nilai jari-jari bukan kelipatan tujuh, maka gunakan nilai π = 3,14. Sebaliknya, apabila nilai phi merupakan kelipatan 7 maka π = 22/7. Pemilihan phi yang tepat akan membantu mempermudah operasi hitung. Contoh 1 : Menghitung luas permukaan bola Berapakan luas permukaan bola yang berdiameter 40cm, jika π nya adalah 22/7 ? Alternatif Penyelesaian: Dari soal diketahui bahwa diameter bola tersebut adalah 40 cm. Ingatlah bahwa jari-jari adalah setengah dari diameternya, maka jari-jari lingkaran tersebut adalah: r = ½ d = ½ 40 cm = 20 cm Setelah diketahui jari-jarinya, maka luas permukaan bola dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut: L = 4 π r² = 4 x 22/7 x 20² = 4 x 22/7 x 400 = 35.200/ 7 = 5.028,57 cm²
Mari Berlatih ! 1. Fachri memiliki botol minum berbentuk tabung dengan diameter 14 cm dan tinggi 28 cm. Berapa luas permukaan botol minum tersebut? 2. Perhatikan gambar di bawah ini dan tentukan berapa luas permukaan tabung tersebut! 3. Hitunglah berapa luas permukaan selimut kerucut yang mempunyai jari-jari 21 cm dan panjang garis pelukisnya adalah 40 cm. 4. Sebuah kerucut memiliki panjang jari-jari 15 cm dan garis pelukis 25 cm. Tentukan berapa tinggi kerucut! 5. Radi mempunyai mainan berbentuk bola dengan jari-jari sepanjang 21 cm. Berapakah luas permukaan mainan milik Radi?