E book ปี 61 ดิจิตอลเบื้องต้น หน่วยที่ 5 พีชคณิตบูลีน

เอกสารประกอบการสอน

วชิ า ดจิ ติ อลเบอ้ื งตน้ รหสั วชิ า 2104 - 2107
หลกั สตู รประกาศนียบตั รวชิ าชพี พทุ ธศกั ราช 2556

หนว ยที่ 5

เร่ือง
พีชคณิตบลู นี และแผนผงั คาโนห

จดั ทาํ โดย
นางสาวปารชิ าต จนั ทรป์ ระเสรฐิ

แผนกวชิ าชา่ งไฟฟ้ากาํ ลงั
วทิ ยาลยั เทคนิคชลบรุ ี

สาํ นกั งานคณะกรรมการการอาชวี ศกึ ษา กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

แบบประเมินผลกอ นเรยี น
หนว ยที่ 5 เร่อื ง พีชคณิตบลู ีนและแผนผงั คาโนห

จดุ ประสงค เพ่ือประเมินความรพู ้นื ฐานของผูเ รยี นเก่ยี วกับ “เร่อื ง พชี คณติ บูลนี และแผนผังคาโนห ”
คาํ แนะนํา 1. อา นคาํ ถามตอไปนแ้ี ละเลือกคาํ ตอบที่ถกู ตองที่สุดเพียงขอเดียว

2. เวลาสาํ หรับทําแบบประเมิน 10 นาที

คําส่งั จงทาํ เคร่อื งหมายกากบาท (×) ทบั ลงบนหวั ขอท่ีถูกทีส่ ดุ เพียงขอ เดยี ว

1. ตัวแปรแตละตัวในบูลนี ฟง ช่ันหรอื นิพจนของบูลนี จะมีคาตรรกะไดกี่คา ขน้ึ ไป
ก. 1 คา ข. 2 คา

ค. 3 คา ง. 4 คา

2. ฟง กชนั Y = B + BC ใชพ ีชคณติ บูลีนลดรปู แลวไดค า ใด

ก. Y = B(1 + C) ข. Y = BC

ค. Y = B ง. Y = C

3. ฟง กชัน y = AB+ AB+ AB ใชพชี คณติ บูลนี ลดรูปแลว ไดค าใด

ก. y = A+B ข. y = AB+B

ค. y = A+AB ง. y = A+B

4. ขอใดเปน ทฤษีเดอมอรแ กน

ก. A + B = ข. A + B = AB

ค. ABC = ง. ABC = + +

5. ฟง กช นั Y = (A + B + C) D เมื่อใชท ฤษฎเี ดอมอรแ กนเปลยี่ นรปู จะไดดังขอใด

ก. = � � � � � � + � ข. = ̅ � ̅ + �

ค. = ̅ + � + ̅ + � ง. = � � �+��� � � �+��� � + �

6. ฟง กชัน Y = ABC + DEF เมือ่ ใชทฤษฎเี ดอมอรแกนเปลี่ยนรูปไดด งั ขอใด

ก. Y = ( A + B + C ) ( D + E + F ) ข. Y = ( A + B ) C

ค. Y = ( A + B + C ) ( D + E + F ) ง. Y = ( A + B + C ) + ( D + E + F )

7. จากรปู วงจรลอจกิ เกตเปนทฤษฎีของขอใด

ก. (A + B)A = A ข. A + B = A
ค. AB + A = A ง. AA + B = A

8. ขอ ใดเปน เกตท่แี สดงคณุ สมบัติทฤษเี ดอมอรแกน A + B = AB

ก. =

ข. =
ค. =
ง. =

9. ฟงกช ัน Y = ABC+ABC+ABC+ABC ถาใช K–map ลดรปู แลวไดคา ใด
ก. Y = B(A+C)+ABC ข. Y = B(A+C)+ABC
ค. Y = A(B+C)+ABC ง. Y = A(B+C)+ABC

10. ฟง กชนั Y = ABC+ABC+ABC+ABC ถา ใช K–map ลดรูปแลว ไดคา ใด
ก. Y = BC+BC ข. Y = BC+BC
ค. Y = BC+BC ง. Y = ABC+BC

ใบเนอ้ื หา สปั ดาหท่ี 9-10
รหัส 2104 -2107 ชือ่ วชิ า ดจิ ติ อลเบอื้ งตน จาํ นวน 2 ชั่วโมง
หนว ยที่ 5 : พชี คณิตบูลีนและแผนผงั คาโนห

หัวขอ เร่ือง

1. กฎของพชี คณิตบลู ีน
2. ทฤษฎีเดอรมอรแ กน
3. ประกอบวงจรทดสอบกฎของพชี คณติ บลู นี
4. ประกอบวงจรทดสอบทฤษฎเี ดอมอรแกน
5. แผนผงั คารโนห
6. แผนผังคารโ นหผ าน Application Karnaugh Kmap Solver

สมรรถนะยอ ย

1. บอกกฎและทฤษฎพี ้นื ฐานของทฤษฎีพีชคณิตบูลนี ไดอ ยางถูกตอง
2. แสดงวิธกี ารลดรปู สมการลอจิกโดยใชพชี คณติ บูลนี ไดอยางถกู ตอง
3. นําพีชคณติ บลู นี ไปประยุกตใชงานไดอยา งถูกตอง

จุดประสงคเชงิ พฤติกรรม

1. บอกกฎของพชี คณติ บูลนี ได
2. อธิบายทฤษฎเี ดอมอรแ กนได
3. ตอวงจรพิสจู นกฎและทฤษฎีพนื้ ฐานของพีชคณิตบลู ีนได
4. ตอ วงจรพสิ จู นท ฤษฎพี นื้ ฐานของเดอมอรแกนได
5. เขยี นแผนผังคารโนหได

ใบเน้อื หา สปั ดาหที่ 9-10
รหสั 2104 -2107 ช่ือวชิ า ดจิ ติ อลเบื้องตน จาํ นวน 2 ชว่ั โมง
หนว ยท่ี 5 : พชี คณติ บูลีนและแผนผงั คาโนห

พีชคณติ บูลีนและแผนผังคาโนห

1. กฎของพีชคณติ บูลีน

กฎ ความสัมพันธ หมายเหตุ

1 A=A สมั พันธกัน
กฎของออรเ กต
กฎของแอนดเกต

2 0+A=A 1 ⋅ A = A ลักษณะการบวกดว ย 0 และการ
คณู ดวย 1

3 1+A=1 0 ⋅ A = 0 ถูกควบคุม
4 A+A=A เหมือนกนั
5 A+A=0 A⋅A = A สว นประกอบ
A⋅A =0
กฎการเปลยี่ น

6 A+B=B+A A ⋅B = B ⋅ A ใชเ ขียนคาตัวแปรบวกกนั หรอื คณู
กนั ซึ่งสามารถสลบั ตําแหนง ได

กฎการจัดหมู สามารถหามาไดจากกฎขางตน

ใชจ ัดกลุม ตัวแปรบวกกันหรือคูณ

7 A + (B + C) = (A + B) + C A(BC)=(AB)C กนั มากกวา 2 ตวั แปรออกเปนกลมุ

ใหม

กฎการกระจาย

ใชแ ตกสมการกลุม ตัวแปรบวกกนั

8 A(B + C) = AB + AC A + BC = (A + B)(A +C) หรือคูณกันมากกวา 2 ตวั แปร

ออกเปน กลมุ ใหม

ทฤษฎี การทําใหเขาใจงา ย

9 A + AB = A A(A + B) = A การรวมเขา ดวยกัน

10 A + AB = A + B A (A+B) = AB การลดทอนลง
เดอมอรแกน

11 A + B = A B AB = A + B

ใบเนอ้ื หา สปั ดาหที่ 9-10
รหัส 2104 -2107 ช่ือวชิ า ดจิ ติ อลเบอื้ งตน จํานวน 2 ชว่ั โมง
หนว ยท่ี 5 : พีชคณิตบลู นี และแผนผงั คาโนห

1. กฎขอ ท่ี 1 แสดงความสัมพนั ธข องการทาํ คอมพลเี มนต 2 ครั้ง A=A แสดงคาการทํางานไดด วยนอต
เกตโดยใสนอตเกต 2 ครง้ั ทาํ ใหค า ผลลัพธออกมาคงเดิม แสดงดังรปู ที่ 5.1

(ก) ปอ นอินพุต = 1 (ข) ปอ นอินพตุ = 0

รปู ท่ี 5.1 การใสลอจิกนอต 2 ครงั้ ตามกฎขอท่ี 1

2. กฎขอที่ 2 ออรเกต 0 + A = A และแอนดเ กต 1 • A = A แสดงคาการทํางานไดดวยออรเกตและ
แอนดเกต โดยใชคุณสมบัตใิ นการทํางานของเกตแตละชนดิ แสดงดงั รปู ที่ 5.2

(ก) ลอจิกออรเกต (ข) ลอจิกแอนดเกต

รปู ที่ 5.2 การทํางานของลอจิกออรเกตและลอจิกแอนดเ กตตามกฎขอที่ 2

3. กฎขอท่ี 3 ออรเกต 1 + A = 1 และแอนเกต 0 • A = 0 แสดงคาการทํางานไดดวยออรเกตและ
แอนดเกต โดยใชค ณุ สมบัตใิ นการทาํ งานของเกตแตละชนิด แสดงดังรปู ท่ี 5.3

(ก) ลอจิกออรเกต (ข) ลอจกิ แอนดเ กต

รูปท่ี 5.3 การทํางานของลอจิกออรเกตและลอจิกแอนดเ กตตามกฎขอท่ี 3

ใบเน้ือหา สปั ดาหที่ 9-10
รหสั 2104 -2107 ชื่อวชิ า ดิจติ อลเบ้อื งตน จาํ นวน 2 ชั่วโมง
หนวยท่ี 5 : พีชคณติ บูลนี และแผนผงั คาโนห

4. กฎขอที่ 4 ออรเกต A + A = A และแอนดเกต A • A = A แสดงคา การทาํ งานไดด ว ยออรเ กตและ
แอนดเ กต โดยใชคุณสมบัติในการทํางานของเกตแตละชนิด แสดงดังรปู ที่ 5.4

(ก) ลอจิกออรเ กต (ข) ลอจกิ แอนดเ กต

รูปท่ี 5.4 การทํางานของลอจิกออรเ กตและลอจิกแอนดเ กตตามกฎขอท่ี 4

5. กฎขอท่ี 5 ออรเกต A + A = 1และแอนดเกต A  A = 0 แสดงคาการทํางานไดดวยออรเกต
และแอนดเ กต โดยใชค ณุ สมบัติในการทํางานของเกตแตล ะชนดิ แสดงดงั รปู ที่ 5.5

(ก) ลอจิกออรเกต (ข) ลอจิกแอนดเ กต

รูปที่ 5.5 การทํางานของลอจิกออรเกตและลอจิกแอนดเ กตตามกฎขอท่ี 5

6. กฎขอท่ี 6 เปนกฎการเปลย่ี น (Commutative Law) หรือเรยี กวา กฎการสลับที่ ของออรเ กต A +
B = B + A และของแอนดเกต A • B = B • A แสดงคาการทํางานไดดวยออรเกตและแอนดเกต โดยใช
คุณสมบตั ิในการทาํ งานของเกตแตล ะชนิด แสดงดงั รูปท่ี 5.6

(ก) ลอจิกออรเ กต (ข) ลอจิกแอนดเ กต

รปู ท่ี 5.6 การทาํ งานของลอจิกออรเกตและลอจิกแอนดเกตตามกฎขอท่ี 6 กฎการเปลี่ยน

ใบเน้ือหา สัปดาหท่ี 9-10
รหสั 2104 -2107 ชอื่ วชิ า ดจิ ติ อลเบ้อื งตน จาํ นวน 2 ชว่ั โมง
หนวยที่ 5 : พีชคณิตบลู ีนและแผนผงั คาโนห

7. กฎขอ ท่ี 7 เปน กฎการจดั หมู (Associative Law) หรือเรยี กวา กฎการจัดกลมุ ของออรเ กต
A + (B + C) = (A + B) + C และของแอนดเ กต A(BC) = (AB)C แสดงคาการทํางานไดด ว ยออรเกตและแอนด
เกต โดยใชค ุณสมบตั ิในการทาํ งานของเกตแตล ะชนิด แสดงดงั รูปที่ 5.7

(ก) ลอจิกออรเ กต

(ข) ลอจิกแอนดเกต
รูปท่ี 5.7 การทาํ งานของลอจิกออรเ กตและลอจิกแอนดเ กตตามกฎขอที่ 7 กฎการจดั หมู

8. กฎขอที่ 8 เปนกฎการการกระจาย (Distributive Law) หรือเรียกวา กฎการแตกตัว ของออรเกต
A(B + C) = AB + AC และของแอนดเกต A + BC = (A + B)(A + C) แสดงคาการทํางานไดดวยออรเกตและ
แอนดเ กต โดยใชค ณุ สมบัตใิ นการทํางานของเกตแตละชนิด แสดงดังรูปที่ 5.8

(ก) การกระจายแบบลอจิกออรเ กต

ใบเนื้อหา สปั ดาหที่ 9-10
รหสั 2104 -2107 ช่ือวชิ า ดจิ ติ อลเบ้อื งตน จํานวน 2 ชั่วโมง
หนวยที่ 5 : พีชคณติ บูลนี และแผนผงั คาโนห

(ข) การกระจายแบบลอจิกแอนดเกต
รปู ที่ 5.8 การทํางานของลอจิกออรเ กตและลอจิกแอนดเกตตามกฎขอท่ี 8 กฎการกระจาย
ตารางที่ 5.2 พสิ จู นส มการ A(B + C) = AB + AC

A B C B + C A(B + C) AB AC AB + AC
0000 0 0 00
0011 0 0 00
0101 0 0 00
0111 0 0 00
1000 0 0 00
1011 1 0 11
1101 1 1 01
1111 1 1 11

ตารางที่ 5.3 พิสจู นสมการ A + BC = (A + B)(A + C)

ABC BC A + BC A + B A + C (A + B)(A + C)
000 00 0 0 0
001 00 0 1 0
010 00 1 0 0
011 11 1 1 1
100 01 1 1 1
101 01 1 1 1
110 01 1 1 1
111 11 1 1 1

ใบเนือ้ หา สัปดาหที่ 9-10
รหัส 2104 -2107 ชอ่ื วชิ า ดจิ ติ อลเบื้องตน จํานวน 2 ช่วั โมง
หนว ยท่ี 5 : พีชคณิตบูลนี และแผนผงั คาโนห

9. ทฤษฎีขอที่ 9 เปนทฤษฎีการทําใหเขาใจงาย (Simplification Theorem) แบบการรวมเขา
ดวยกัน (Absorption) แบบออรเกต A + AB = A และของแอนดเกต A(A + B) = A แสดงคาการทํางานได
ดวยออรเกตและแอนดเกต โดยใชคณุ สมบตั ิในการทํางานของเกตแตละชนดิ แสดงดงั รูปท่ี 5.9

(ก) ลอจิกออรเกต (ข) ลอจิกแอนดเกต

รปู ที่ 5.9 การทาํ งานของลอจิกออรเ กตและลอจิกแอนดเ กตตามกฎขอที่ 9 ทฤษฎีการทําใหเขาใจงา ย

ตารางท่ี 5.4 พสิ ูจนส มการ A +AB = A และ A(A + B) = A

A B AB A + AB (A + B) A(A + B)

00 0 0 0 0

01 0 0 1 0

10 0 1 1 1

11 1 1 1 1

10. ทฤษฎีขอท่ี 10 เปนทฤษฎีการทําใหเขาใจงาย (Simplification Theorem) เชนเดียวกับขอท่ี 9

แบบการลดทอนลง (Degenerate) แบบออรเกต A + AB = A + B และของแอนดเกต A (A+B) = AB
แสดงคา การทํางานไดด ว ยออรเ กตและแอนดเกต โดยใชคุณสมบัติในการทาํ งานของเกตแตละชนดิ
แสดงดงั รูปที่ 5.10

(ก) ลอจิกออรเกต

ใบเน้ือหา สปั ดาหท ่ี 9-10
รหัส 2104 -2107 ช่อื วชิ า ดิจติ อลเบ้อื งตน จาํ นวน 2 ชัว่ โมง
หนว ยที่ 5 : พชี คณติ บลู นี และแผนผงั คาโนห

(ข) ลอจิกแอนดเกต
รปู ที่ 5.10 การทํางานของลอจิกออรเกตและลอจิกแอนดเกตตามกฎขอที่ 10 ทฤษฎีการทําใหเ ขา ใจงาย

ตารางที่ 5.5 พิสูจนส มการ A + AB = A + B

AB A AB A + AB (A + B)
00 1 000
01 1 111
10 0 011
11 0 011

ตารางที่ 5.6 พสิ จู นสมการ A(A + B) = AB

A B A A + B A(A + B) AB

00 1 1 0 0

01 1 1 0 0

10 0 0 0 0

11 0 1 1 1

11. ทฤษฎีขอท่ี 11 เปนทฤษฎีเดอมอรแกน (DeMorgan’s Theorems) โดยใชวิธีเปลี่ยนสมการคณู
กัน หรือสมการบวกกนั ดว ยการทําคอมพลีเมนตสมการใหเปนตรงขาม แบบนอรเ กต A + B = AB และแบบ
แนนดเ กต AB = A + B แสดงคาการทาํ งานไดด วยนอรเกตและแนนดเ กต โดยใชคุณสมบตั ใิ นการทํางานของ
เกตแตล ะชนดิ

ใบเนอื้ หา สัปดาหที่ 9-10
รหสั 2104 -2107 ชอ่ื วชิ า ดจิ ติ อลเบอ้ื งตน จํานวน 2 ชว่ั โมง
หนวยท่ี 5 : พีชคณิตบลู ีนและแผนผงั คาโนห

2. ทฤษฏีเดอรมอรแ กน (DeMorgan ‘ s Theorem)

ทฤษฎีเดอรมอแกนมีความสําคัญมากของพีชคณิตบูลีนน้ันเกิดจากนักคณิตศาสตรท่ีชื่อวา DeMorgan
ซึ่งทฤษฏีเดอรมอรแกนน้ันมีประโยชนอยางมากในการลดรูปสมการ ซึ่งผลคูณหรือ ผลบวกของตัวแปรที่เปน
อนิ เวอรท ดงั นี้คอื

(a) A + B = A ⋅ B
(b) A ⋅B = A + B
พิสูจน : ในขอ (a) จะพิสูจนวา A ⋅ B เปนคอมพลีเมนต (Complement) ของ (A + B) เมื่อเอา
(A + B) มากลบั คาคือใส NOT ใหจะได A + B ซึง่ จะมคี าเทา กับนพิ จนบ ูลนี ในขอ (a)
กําหนดให y = (A+B) ดังนน้ั y = A ⋅ B เราตอ งการจะพสิ จู นวา y ⋅ y = 0 และ y + y = 1
นิพจนในขอ (b) กส็ ามารถพิสูจนไดดวยวธิ เี ดยี วแสดงดงั รูปที่ 5.11

(ก) ลอจิกนอรเกต

(ข) ลอจิกแนนดเ กต
รูปที่ 5.11 การทํางานของลอจกิ ออรเกตและลอจิกแอนดเกตตามกฎขอท่ี 11 ทฤษฎเี ดอรม อรแ กน

ใบเนื้อหา สัปดาหท ่ี 9-10
รหสั 2104 -2107 ช่อื วชิ า ดจิ ติ อลเบ้ืองตน จํานวน 2 ช่วั โมง
หนว ยที่ 5 : พชี คณติ บลู นี และแผนผงั คาโนห

ตารางที่ 5.7 พสิ ูจนสมการ A + B = AB

A B A B A+B A+B AB

001 1 0 11

011 0 1 00

100 0 1 00

110 1 1 00

ตารางที่ 5.8 พสิ จู นสมการ AB = A + B AB AB A + B
0 11
AB A B 0 11
001 1 0 11
011 0 1 00
100 1
110 0

ตัวอยางที่ 5.1 ใชท ฤษฎเี ดอรมอรแ กนเปลี่ยนสมการทุกฟงกช นั Y = (AB + C)(A + BC)
วธิ ที าํ

(AB + C)(A + BC) = (AB + C) + (A + BC)

(AB + C)(A + BC) = (AB)C + A(BC)

∴Y = (A + B)C + A(B + C)

นอกน้ันวงจรดิจิทัลท่ีสรางขึ้นมาใชงาน จําเปนตองมีการลดรูปสมการใหเหลือนอยท่ีสุด เพ่ือใหการ
สรางวงจรดจิ ทิ ัลใชอ ุปกรณน อ ยลง เกดิ ความประหยดั และเกิดการหนวงเวลาขณะทํางานนอยลง ดงั นัน้ การลด
รูปวงจรดิจิทัลถือไดวาเปนสวนสําคัญของการสรางวงจรทํางานโดยการใชกฎและทฤษฎีพื้นฐานของพีชคณิต
เขามาชวย แสดงไดด ังตวั อยา งตอ ไปน้ี

ใบเน้ือหา สปั ดาหท่ี 9-10
รหัส 2104 -2107 ช่อื วชิ า ดจิ ติ อลเบอ้ื งตน จาํ นวน 2 ชวั่ โมง
หนวยท่ี 5 : พีชคณิตบูลีนและแผนผงั คาโนห

ตวั อยา งท่ี 5.2 จงลดรูปสมการตอ ไปนี้ใหเหลอื นอยทีส่ ุด Y = AB + AC + ABC
วธิ ีทาํ Y = AB + AC + ABC

ข้ันท่ี 1 ใชทฤษฎขี อ 11 เดอมอรแ กนกบั สว น AB + AC = (AB)(AC)
ได Y = (AB)(AC) + ABC
ขัน้ ท่ี 2 ใชท ฤษฎขี อ 11 เดอมอรแกนกบั สวน (AB)(AC) = (A+B)(A+C)
ได Y = (A+B)(A+C) + ABC
ขนั้ ที่ 3 ใชกฎขอ 8 กฎการกระจายกบั สว น (A+B)(A+C) = AA + AC + AB + BC
ได Y = AA + AC + AB + BC + ABC
ขัน้ ที่ 4 ใชก ฎขอ 4 กับสว น AA = A
ได Y = A + AC + AB + BC + ABC
ขั้นท่ี 5 ใชทฤษฎขี อ 9 กับสว น A + AC = A และ AB + ABC = AB
ได Y = A + AB + BC
ข้นั ที่ 6 ใชทฤษฎขี อ 9 กบั สวน A + AB = A

∴ Y = A + BC

ตัวอยา งท่ี 5.3 จงพิสูจนสมการตอ ไปนี้
(ก) AB + AB + AB = A + B
วธิ ีทํา AB + AB + AB = B(A + A) + AB ดึงตัวรว ม B ออก , ใชก ฎขอ 5 กฎของออรเ กต

= B⋅1 + AB

= B + AB ใชข อ 10 การทําใหเขา ใจงาย
=B+ A

= A +B
ดงั น้ัน AB + AB + AB = A + B เปน จริง

ใบเน้อื หา สัปดาหที่ 9-10
รหสั 2104 -2107 ชือ่ วชิ า ดจิ ติ อลเบ้อื งตน จํานวน 2 ชวั่ โมง
หนว ยท่ี 5 : พีชคณติ บูลนี และแผนผงั คาโนห

(ข) (A + AB)(AB) = AB
วิธที าํ (A + AB)(AB) = (A + B)(AB)

= (AAB)(ABB) ใชกฎขอ 4 การเหมือนกนั ของแอนดเกต
= (AB)(AB) ใชก ฎขอ 4 การเหมือนกนั ของแอนดเ กต
= (AB)
ดังนน้ั (A + AB)(AB) = AB เปน จรงิ

(ค) (A + AB) + B = 0

วิธีทํา (A + AB) + B = (A + B) + B

= A + B + B ใชขอ 5 กฎของออรเกต

= A + 1 ใชข อ 11 ทฤษฎีเดอมอรแกน

= A ⋅1 ใชก ฎขอ 1 ความสัมพนั ธกัน
= A ⋅ 0 ใชกฎขอ 3 กฎของแอนดเกต

ดงั น้นั (A + AB) + B = 0 เปนจรงิ

3. แผนผังคารโนห
การลดรปู สมการลอจกิ ใหส ้นั ทส่ี ดุ นอกจากจะใชพชี คณิตบลู ีนแลว ยังสามารถทาํ ไดด วยวธิ ขี องแผนผัง

คารโนห (Karnaugh Map) หรือ K-map สามารถทําไดงายและมีขอผิดพลาดนอยกวาการลดรูปสมการที่มีตวั
แปรจาํ นวนมาสามารถหาผลลพั ธไดรวดเรว็

รูปแบบของแผนผังคารโนห ขนาดตารางของแผนผังมีคาเทากับจํานวนความเปนไปไดของอินพุตที่ใช
หาไดตามสมการ 2n เม่ือ n มคี าเทากับจาํ นวนอนิ พุตท่ใี ช เชน 2 อินพตุ จะไดค า 22 มีขนาดตาราง 4 ชอง และ
อินพุต 3 ตัวแปร จะไดคา 23 มีขนาดตาราง 8 ชอง เปนตน โดยแบงตัวแปรออกเปนสองกลุม จะอยูประจําใน
แถวแนวนอน (แถว) และแถวแนวตงั้ (หลัก) ของตาราง

ใบเน้อื หา สัปดาหที่ 9-10
รหสั 2104 -2107 ชือ่ วชิ า ดิจติ อลเบ้อื งตน จาํ นวน 2 ช่วั โมง
หนวยที่ 5 : พีชคณติ บลู ีนและแผนผงั คาโนห

1. แผนผังคารโนหชนิด 2 ตัวแปร (2 Variable Karnaugh Map) ประกอบดวยชองตารางท่ีแทน
ดว ยคา ตัวแปรจํานวน 22 = 4 ชอง แสดงดงั รูปที่ 5.12

A 0 1 A 0 1 A 0 1
B 10 2 B 2 B 2
0 0000 0 0 A0B0 0 0 A+00B 0
AB A+B

1 01 1 11 3 1 1 AB 3 1 1 3

AB A+B A+B

(ก) คา ตัวแปรในแตละชอง (ข) คาตวั แปรในรปู มินเทอม (ค) คา ตวั แปรในรูปแม็กซเ ทอม

รปู ที่ 5.12 แผนผงั คารโ นหช นิด 2 ตัวแปร

2. แผนผังคารโนหชนดิ 3 ตัวแปร (2 Variable Karnaugh Map) ประกอบดวยชองตารางที่แทน
ดวยคาตัวแปรจํานวน 23 = 8 ชอง มีหมายเลขกํากับชองในแตละแถวแนวต้ัง คือ 00, 01, 11 และ 10 และ
หมายเลขกาํ กับชองในแตละแถวแนวนอน คือ 0 และ 1 แสดงดงั รปู ท่ี 5.13

C0AB000000 01 11 10 C0ABA0B0C0 01 11 10
0102 1104 1006 ABC2 ABC4 ABC6
1 ABC1 ABC3 ABC5 ABC7
1 0011 0113 1115 1017

(ก) คา ตัวแปรในแตล ะชอง (ข) คา ตวั แปรในรูปมนิ เทอม

AB 00 01 11 10
0 A+B+C0 A+B+C2 A+B+C4 A+B+6C

A+B+C1 3 5 7

A+B+C A+B+C A+B+C

(ค) คาตัวแปรในรปู แม็กซเ ทอม

ใบเนื้อหา สปั ดาหท่ี 9-10
รหัส 2104 -2107 ชอื่ วชิ า ดจิ ติ อลเบื้องตน จํานวน 2 ช่วั โมง
หนวยที่ 5 : พชี คณิตบลู ีนและแผนผงั คาโนห

ข้ันตอนการลดรปู สมการ โดยใชแผนผงั คารโ นห ทาํ ไดด งั นี้
1. กรณีเปนสมการ SOP ใหใสล อจิก 1 ลงในชองของแผนผังคารโ นหตามคาของตวั แปรในแตล ะเทอม
ของสมการ
2. กรณเี ปนสมการ POS ใหใ สลอจิก 0 ลงในชองของแผนผังคารโนหตามคา ของตวั แปรในแตล ะเทอม
ของสมการ
3. จับคูและวงรอบตัวแปรท่เี ปนลอจกิ 1 ที่อยตู ิดกนั ในกรณีท่พี ิจารณาแบบ POS หรือจบั คูและวงรอบ
ตัวแปรที่เปนลอจิก 0 ท่ีอยูติดกันในกรณีที่พิจารณาแบบ POS โดยพิจารณาวงรอบตัวแปรท่ีอยูติดกันจํานวน
1, 2, 4, 8, 16 ตวั ตามลําดับ หลกั การวงรอบตวั แปรทีอ่ ยตู ิดกนั ถามีตัวติดกนั ทง้ั หมดใหวงรอบท้ังหมดวงเดียว
4. ชอ งทีถ่ ูกจับคูและวงรอบไปแลว สามารถนาํ ไปจบั คูใหมเ พื่อวงรอบกับตวั อืน่ ไดอ ีก แตไ มควรจับคูซํ้า
ทง้ั หมดซึ่งจะเปนการจับคทู ีซ่ ้ําซอ น
5. เมอื่ จบั คแู ละวงรอบไดแลวใหพิจารณาวา จะไดตัวแปรอะไรสําหรับวงน้ันใหด ูหมายเลขกํากบั ชองใน
แตละแถวแนวตง้ั ในแตล ะแถวแนวนอน โดยถือหลักวา ตวั แปรทเี่ หลืออยูก็คอื ตวั แปรท่ไี มเ ปล่ียนสภาวะลอจิกใน
ทุกชองภายในวงรอบนั้น แตถาตัวแปรมีการเปล่ียนแปลงใหตัดตัวแปรนั้นทิ้งไป แสดงดังรูปท่ี 5.14 ถึงรูปที่
5.15

B0A 0 1 BA 0 1
0
A B

1 A1 B

(ก) คาตวั แปร A (ข) คา ตวั แปร B

รูปท่ี 5.14 คา ตวั แปรในพ้ืนท่ีแผนผงั คารโนหแบบ 2 ตัวแปร

C0AB 00 01 11 10 C0AB 00 01 11 10

1 1
AA BB

(ก) คาตวั แปร A (ข) คาตัวแปร B

ใบเนอื้ หา สัปดาหที่ 9-10
รหัส 2104 -2107 ช่อื วชิ า ดิจติ อลเบื้องตน จาํ นวน 2 ชวั่ โมง
หนวยท่ี 5 : พีชคณิตบลู นี และแผนผงั คาโนห

C0AB 00 01 11 10

1

CC

(ค) คา ตวั แปร C
รูปที่ 5.15 คาตวั แปรในพ้ืนที่แผนผงั คารโนหชนดิ 3 ตัวแปร

ตวั อยางท่ี 5.5 จงลดรปู ฟงกชันสมการคา Y = AB + AB ทําใหอยใู นรปู แบบของ SOP
วิธีทาํ
A ในรปู แบบ SOP โดยการใสลอจิก 1 ลงในตาราง
B 0 1 ตามฟงกช ันสมการคา Y = AB + AB และทําการจัด
1 B กลมุ และวงรอบคาทีเ่ ปน ลอจิก 1
0 100
Y = AB + AB
Y=B
10 0

รูปท่ี 5.16 สมการ Y = AB + AB

ตัวอยา งที่ 5.6 จงลดรูปฟง กชันสมการคา Y = AB + AB + AB ทําใหอ ยใู นรปู แบบของ SOP
วธิ ที ํา
ในรูปแบบ SOP โดยการใสลอจิก 1 ลงในตาราง
A 0 1 ตามฟง กชันสมการคา Y = AB + AB + AB และทาํ
B 1
01 B การจัดกลมุ และวงรอบคา ที่เปนลอจกิ 1

Y = AB + AB + AB
1 0 1 A Y=A+B

รปู ท่ี 5.17 สมการ Y = AB + AB + AB

ใบเนอ้ื หา สปั ดาหท่ี 9-10
รหสั 2104 -2107 ช่ือวชิ า ดจิ ติ อลเบื้องตน จํานวน 2 ช่วั โมง
หนวยท่ี 5 : พชี คณิตบูลีนและแผนผงั คาโนห

ตัวอยา งท่ี 5.7 จงลดรปู ฟงกชนั สมการคา Y = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC ทาํ ใหอ ยูใ น
รูปแบบของ SOP
วธิ ที ํา
AB 00 01 11 10
01 1 1 1
C

11 1 0 0

A

รูปที่ 5.18 สมการ Y = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC

ในรปู แบบ SOP โดยการใสลอจกิ 1 ลงในตารางตามฟงกช นั สมการคา
Y = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC และทําการจัดกลมุ และวงรอบคา ทีเ่ ปนลอจิก 1
โดยจดั กลุม วงรอบที่มีคามาก จัดกลุมแลวสามารถจัดซ้ําไดอีก

Y = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC
Y= A + C

ตัวอยา งท่ี 5.8 จงลดรูปฟงกชันสมการคา Y = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC ทําใหอยูใน
รปู แบบของ SOP
วธิ ีทํา

AB 00 01 11 10
01 1 1
11 1 1 0

AB

รูปที่ 5.19 สมการ Y = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC

ใบเนอ้ื หา สัปดาหท ่ี 9-10
รหัส 2104 -2107 ชือ่ วชิ า ดิจติ อลเบอื้ งตน จาํ นวน 2 ชวั่ โมง
หนว ยท่ี 5 : พชี คณิตบลู ีนและแผนผงั คาโนห

ในรูปแบบ SOP โดยการใสลอจิก 1 ลงในตารางตามฟง กชันสมการคา
Y = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC และทาํ การจดั กลุมและวงรอบคาทเ่ี ปนลอจิก 1
โดยจัดกลมุ วงรอบที่มคี ามาก จัดกลุมแลวสามารถจัดซ้ําไดอีก

Y = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC
Y= A +B

ตัวอยางที่ 5.9 จงลดรปู ฟง กชันสมการคา
Y = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C) ทําใหอ ยูในรูปแบบของ POS
วิธีทาํ

AB 00 01 11 10
00 0 1
1 0 0 1 0 B+C

A

รปู ท่ี 5.20 สมการ Y = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)

ในรูปแบบ POS โดยการใสลอจิก 0 ลงในตารางตามฟง กช นั สมการคา
Y = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C) และทําการจดั กลุม และวงรอบคา ที่
เปน ลอจกิ 0 โดยจัดกลุมวงรอบทม่ี ีคา มาก จดั กลมุ แลวสามารถจัดซ้ําไดอีก

Y = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)
Y = A(B + C)

ใบเน้อื หา สัปดาหท ่ี 9-10
รหัส 2104 -2107 ช่ือวชิ า ดิจติ อลเบอ้ื งตน จํานวน 2 ช่ัวโมง
หนว ยท่ี 5 : พชี คณิตบลู นี และแผนผงั คาโนห

4. แผนผงั คารโนหผ าน Application Karnaugh Kmap Solver

1. ติดตั้ง Application Karnaugh Kmap Solver

2. เลอื กแผนผงั ตามตวั แปร เชน 2 ตัวแปร 3 ตัวแปร 4 ตวั แปร
ตัวอยา งท่ี 5.10 จงลดรูปฟง กชันสมการคา Y = AB + AB + AB ทําใหอ ยใู นรปู แบบของ SOP

ลาํ ดับที่ 1 เลอื กแผนผงั 2 ตัวแปร

ลาํ ดบั ท่ี 2 จากโจทย จงลดรปู ฟงกช นั สมการคา Y = AB + AB + AB ทาํ ใหอ ยูในรูปแบบของ SOP
คา Y = AB + AB + AB ตองเลือกตัวเลขตามตารางดงั น้ี Y = 00 + 10 + 11 จะได

ใบเน้ือหา สัปดาหท ี่ 9-10
รหัส 2104 -2107 ชื่อวชิ า ดิจติ อลเบ้ืองตน จาํ นวน 2 ชว่ั โมง
หนวยท่ี 5 : พีชคณิตบูลีนและแผนผงั คาโนห

ตวั อยา งที่ 5.11 จงลดรูปฟง กช ันสมการคา Y = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC ทาํ ใหอ ยูใน
รูปแบบของ SOP

ลําดบั ท่ี 1 เลือกแผนผงั 3 ตวั แปร

ลําดับท่ี 2 จากโจทย Y = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC ทําใหอ ยูใ นรปู แบบของ SOP
ตอ งเลอื กตัวเลขตามตารางดงั นี้ Y = 000 + 001 + 010 + 011 + 110 + 111 จะได

แบบประเมินผลหลงั เรยี น
หนว ยที่ 5 เรื่อง พีชคณิตบลู ีนและแผนผังคาโนห

จุดประสงค เพ่ือประเมนิ ความรูพื้นฐานของผูเรยี นเก่ียวกับ “เรอ่ื ง พชี คณติ บูลีนและแผนผังคาโนห ”
คําแนะนาํ 1. อานคาํ ถามตอไปน้ีและเลอื กคําตอบที่ถูกตองท่ีสุดเพียงขอ เดยี ว

2. เวลาสําหรบั ทําแบบประเมิน 10 นาที

คําสงั่ จงทาํ เคร่ืองหมายกากบาท (×) ทบั ลงบนหัวขอ ท่ีถกู ทสี่ ุดเพยี งขอ เดยี ว

1. ตวั แปรแตล ะตวั ในบลู ีนฟงชน่ั หรือนพิ จนของบลู นี จะมคี าตรรกะไดก ่ีคาขน้ึ ไป

ก. 2 คา ข. 4 คา

ค. 6 คา ง. 8 คา

2. ฟงกชัน Y = B + BC ใชพชี คณติ บูลีนลดรปู แลวไดค า ใด

ก. Y = B(1 + C) ข. Y = BC

ค. Y = C ง. Y = B

3. ฟงกช นั y = AB+ AB+ AB ใชพชี คณติ บลู นี ลดรปู แลวไดคา ใด

ก. y = A+AB ข. y = AB+B

ค. y = A+B ง. y = A+B

4. ขอใดเปนทฤษีเดอมอรแกน

ก. A + B = ข. A + B =

ค. ABC = ง. ABC = + +

5. ฟง กชัน Y = (A + B + C) D เมื่อใชทฤษฎเี ดอมอรแกนเปลย่ี นรปู จะไดดังขอใด

ก. = � � � � � � + � ข. = � + � + ̅ + �

ค. = ̅ � ̅ + � ง. = � � �+��� � � �+��� � + �

6. ฟงกชัน Y = ABC + DEF เมอื่ ใชท ฤษฎีเดอมอรแ กนเปลย่ี นรูปไดดังขอใด

ก. Y = ( A + B + C ) ( D + E + F ) ข. Y = ( A + B ) C

ค. Y = ( A + B + C ) ( D + E + F ) ง. Y = ( A + B + C ) + ( D + E + F )

7. จากรปู วงจรลอจกิ เกตเปนทฤษฎีของขอใด ข. A + B = A
ก. AB + A = A ง. AA + B = A
ค. (A + B)A = A

8. ขอ ใดเปนเกตทแี่ สดงคุณสมบตั ทิ ฤษีเดอมอรแกน A + B = AB

ก. =

ข. =

ค. =

ง. =

9. ฟง กชัน Y = ABC+ABC+ABC+ABC ถา ใช K–map ลดรูปแลวไดค าใด

ก. Y = B(A+C)+ABC ข. Y = B(A+C)+ABC

ค. Y = A(B+C)+ABC ง. Y = A(B+C)+ABC

10. ฟง กชัน Y = ABC+ABC+ABC+ABC ถาใช K–map ลดรปู แลวไดคาใด

ก. Y = BC+BC ข. Y = BC+BC

ค. Y = BC+BC ง. Y = ABC+BC

ใบงานที่ 5 สัปดาห์ที่ 9-10
รหสั 2104 - 2107 ช่ือวชิ า ดิจิตอลเบ้ืองตน้ จํานวน 6 ชั่วโมง
หน่วยที่ 5 : พีชคณิตบูลีน

ใบงาน 5.1 เรื่อง กฎของพีชคณติ บลู ีน

จดุ ประสงคการปฏบิ ัติ

1. ประกอบวงจรทดสอบกฎการเปล่ียนของพีชคณิตบูลีนได
2. ประกอบวงจรทดสอบกฎการจัดหมขู องพชี คณิตบูลนี ได
3. ประกอบวงจรทดสอบกฎการกระจายของพชี คณิตบูลีนได

เคร่ืองมือ/อุปกรณการทดลอง

1. บอรดทดลลอง 1 ชุด

2. IC เบอร 7404, 7408, 7411 ,7427, 7432 เบอรละ 1 ตัว

3. คูมอื การใชงาน IC 1 เลม

4. สายตอ วงจร 1 ชุด

ลําดับข้นั การทดลอง

1. ประกอบวงจรตามรูปที่ 5.1 กฎการเปลี่ยนจากสมการแอนดเ กต ABC = CBA ทดลองบนั ทึกผลลงในตาราง
ที่ 5.1

CAB 1 12 Y1=ABC
2
13

3 6 Y2=CBA
4
5

รปู ท่ี 5.1 กฎการเปลีย่ นของพชี คณิตบูลนี สมการแอนดเกต ABC = CBA

ใบงานท่ี 5 สัปดาห์ท่ี 9-10
รหสั 2104 - 2107 ชื่อวชิ า ดิจิตอลเบ้ืองตน้ จํานวน 6 ช่ัวโมง
หน่วยท่ี 5 : พีชคณิตบูลีน

ตารางท่ี 5.1 บันทึกผลกฎการเปลย่ี นของพชี คณิตบลู นี สมการแอนดเกต ABC = CBA

อนิ พุต เอาตพ ุต
ABC Y1 Y2
000
001
010
011
100
101
110
111

2. ประกอบวงจรตามรปู ที่ 5.2 กฎการเปลี่ยนจากสมการออรเ กต A+B+C = C+B+A ทดลองบนั ทึก
ผลลงในตารางที่ 5.2

A 1 12 1 2 Y1=A+B+C
B 2
C 13

3 4 63 4 Y2=C+B+A
5

รปู ท่ี 5.2 กฎการเปลี่ยนของพีชคณิตบลู นี สมการออรเ กต A+B+C = C+B+A

ใบงานท่ี 5 สัปดาห์ท่ี 9-10
รหัส 2104 - 2107 ชื่อวชิ า ดิจิตอลเบ้ืองตน้ จํานวน 6 ชั่วโมง
หน่วยที่ 5 : พีชคณิตบูลีน

ตารางที่ 5.2 บันทึกผลกฎการเปลี่ยนของพชี คณิตบลู ีนสมการแอนดเ กต A+B+C = C+B+A

อินพุต เอาตพตุ
ABC Y1 Y2
000
001
010
011
100
101
110
111

3. ประกอบวงจรตามรูปที่ 5.3 กฎการจัดหมสู มการ A(BC) = (AB)C ทดลองบันทึกผลลงในตารางที่ 5.3

A 1 35 6 Y1=A(BC)
B

C2

9 8 12 11 Y2=(AB)C
10 13

รปู ที่ 5.3 กฎการจดั หมูของ A(BC) = (AB)C

ใบงานที่ 5 สัปดาห์ที่ 9-10
รหสั 2104 - 2107 ช่ือวชิ า ดิจิตอลเบ้ืองตน้ จํานวน 6 ชั่วโมง
หน่วยที่ 5 : พชี คณิตบูลีน

ตารางท่ี 5.3 บันทึกผลกฎการจดั หมขู อง A(BC) = (AB)C

อนิ พุต เอาตพตุ
ABC Y1 Y2
000
001
010
011
100
101
110
111

4. ประกอบวงจรตามรปู ท่ี 5.4 กฎการจดั หมูสมการ A+(B+C) = (A+B)+C ทดลองบนั ทึกผลลงในตารางท่ี 5.4

AB 4 6 Y1=A+(B+C)
C 1
23 5

9 8 12
13
10 11 Y2=(A+B)+C

รูปท่ี 5.4 กฎการจดั หมูของ A+(B+C) = (A+B)+C

ใบงานท่ี 5 สัปดาห์ที่ 9-10
รหสั 2104 - 2107 ช่ือวชิ า ดิจิตอลเบ้ืองตน้ จํานวน 6 ช่ัวโมง
หน่วยท่ี 5 : พีชคณิตบูลีน

ตารางที่ 5.4 บันทึกผลกฎการจัดหมขู อง A+(B+C) = (A+B)+C

อินพุต เอาตพ ตุ
ABC Y1 Y2
000
001
010
011
100
101
110
111

5. ประกอบวงจรตามรูปที่ 5.5 กฎการกระจายจากสมการ A(B+C) = AB + AC ทดลองบนั ทึกผลลง
ในตารางท่ี 5.5

A 13 2 3 Y1=A(B+C)
B
C2

4 6 Y2=AB+AC
564

98 5
10

รูปที่ 5.5 กฎการกระจายของ A(B+C) = AB + AC

ใบงานท่ี 5 สัปดาห์ท่ี 9-10
รหัส 2104 - 2107 ช่ือวชิ า ดิจิตอลเบ้ืองตน้ จํานวน 6 ชั่วโมง
หน่วยท่ี 5 : พีชคณิตบูลีน

ตารางท่ี 5.5 บันทึกผลกฎการกระจายของ A(B+C) = AB + AC

อนิ พุต เอาตพตุ
ABC Y1 Y2
000
001
010
011
100
101
110
111

สรปุ ผลการทดลอง
................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ใบงาน 5.2 เรื่อง ทฤษฎีเดอมอรแกน

จดุ ประสงคการปฏิบตั ิ

1. เขียนสมการเปลยี่ นรูปพีชคณติ บูลนี โดยใชทฤษฎีเดอมอรแ กนเขา ชวยได

2. ทดสอบวงจรเปลีย่ นรปู พีชคณติ บลู นี โดยใชท ฤษฎเี ดอมอรแกนเขา ชว ยได

เครือ่ งมอื /อุปกรณก ารทดลอง 1 ชุด
1. บอรดทดลลอง

2. IC เบอร 7404, 7408, 7411 ,7427, 7432 เบอรล ะ 1 ตัว

3. คูมือการใชงาน IC 1 เลม

4. สายตอ วงจร 1 ชดุ

ใบงานท่ี 5 สัปดาห์ที่ 9-10
รหัส 2104 - 2107 ชื่อวชิ า ดิจิตอลเบ้ืองตน้ จํานวน 6 ชั่วโมง
หน่วยท่ี 5 : พีชคณิตบูลีน
Y1=A + B+ C
ลาํ ดบั ข้นั ตอนการทดลอง Y2 =ABC
1. ประกอบวงจรตามรปู ที่ 5.6 ทดลองบันทึกผลลงในตารางที่ 5.6

CAB 1213 12

12 12
3 4 1123
56

รูปที่ 5.6 ทฤษฎเี ดอมอรแกน A + B + C = ABC

ตารางที่ 5.6 บนั ทึกผลทฤษฎีเดอมอรแ กน

อนิ พุต เอาตพ ตุ
ABC Y1 Y2
000
001
010
011
100
101
110
111

ใบงานท่ี 5 สัปดาห์ที่ 9-10
รหสั 2104 - 2107 ชื่อวชิ า ดิจิตอลเบ้ืองตน้ จํานวน 6 ชั่วโมง
หน่วยที่ 5 : พีชคณิตบูลีน

2. เปลี่ยนสมการพชี คณิตบูลนี คา (A + B) + C โดยใชท ฤษฎีเดอมอรแกนทาํ ไดด ังนี้
(A + B) + C = (A + B)C = (A + B)C
3. ใชสมการขอ 3 มาประกอบวงจรตามรปู ท่ี 5.7 ทดลองบันทึกผลลงในตารางท่ี 5.7

A 1 31 2 4
B 2 5
65 6 Y1=(A + B) + C
C 34 Y2=(A + B)C

9 1 3
10 8 2

รปู ท่ี 5.7 ทฤษฎเี ดอมอรแกน (A + B) + C = (A + B)C

ตารางที่ 5.7 บนั ทึกผลทฤษฎีเดอมอรแกน C เอาตพตุ
อนิ พตุ 0 Y1 Y2
1
AB 0
00 1
00 0
01 1
01 0
10 1
10
11
11

สรปุ ผลการทดลอง
................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................