ความสัมพันธ์ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในตารางเอ็กซ์โอขนาดต่างๆ_2_3

1

โครงงานคณติ ศาสตร์
เรอื่ ง ความสมั พนั ธข์ องรปู สเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั ในตารางเอก็ ซโ์ อขนาดตา่ งๆ

จัดทาโดย

นางสาว เนตรนภางค์ สีสวาท เลขท่ี 24

นางสาว พลอยวรนิ ทร์ หริ ัญ เลขท่ี 26

นางสาว วภิ าษณยี ์ ธรรมเภรี เลขที่ 30

ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 6/1

รายงานเลม่ นเี้ ปน็ สว่ นหนงึ่ ของรายวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ พนู ประสบการณ์ 6 ค33204
โรงเรยี นแก่งคอย อาเภอแก่งคอย จังหวดั สระบุรี
ภาคเรยี นท่ี 2 ปีการศึกษา 2563

2

โครงงานคณติ ศาสตร์
เรอื่ ง ความสมั พนั ธข์ องรปู สเี่ หลยี่ มจตั รุ สั ในตารางเอก็ ซโ์ อขนาดตา่ งๆ

จัดทาโดย

นางสาว เนตรนภางค์ สีสวาท เลขท่ี 24

นางสาว พลอยวรนิ ทร์ หริ ัญ เลขท่ี 26

นางสาว วภิ าษณยี ์ ธรรมเภรี เลขที่ 30

ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 6/1

เสนอ
คณุ ครู วิทยา นลิ สกลุ

รายงานเลม่ นเ้ี ปน็ ส่วนหนงึ่ ของรายวิชา คณิตศาสตร์เพม่ิ พนู ประสบการณ์ 6 ค33204
โรงเรยี นแก่งคอย อาเภอแกง่ คอย จงั หวดั สระบุรี
ภาคเรยี นที่ 2 ปีการศกึ ษา 2563

ก3

กติ ตกิ รรมประกาศ

โครงงานคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ความสัมพนั ธ์ของรปู สเ่ี หลยี่ มจตั ุรสั ในตารางเอก็ ซโ์ อขนาดต่างๆ สาเร็จลุล่วงไป
ได้ด้วยความอนเุ คราะห์จาก คณุ ครู วทิ ยา นลิ สกุล ซง่ึ ไดก้ รุณาใหค้ าปรึกษาแนะนาแนวคิดวิธีการและเสียสละเวลา
อันมีค่าแก้ไขจุดบกพร่องของเน้ือหาและสานวนภาษาด้วยความเอาใจใส่อย่างดีย่ิงตลอดระยะเวลาในการจัดทา
โครงงาน คณะผ้จู ัดทาขอกราบขอบพระคุณเป็นอย่างสงู ณ โอกาสนี้

เหนือส่ิงอ่ืนใดขอกราบขอบพระคุณ บิดา มารดา ของคณะผู้จัดทาที่ให้กาลังใจและให้การสนับสนุนใน
ทุกๆ ดา้ นอย่างดีทสี่ ุดเสมอมา

สุดทา้ ยนข้ี อขอบพระคณุ ทกุ ๆท่านที่ไดส้ นบั สนนุ การทางานและให้กาลังใจแก่คณะผู้จัดทาเสมอมา เพ่ือทา
ใหก้ ารศกึ ษาค้นคว้าโครงงานคร้ังนีป้ ระสบผลสาเรจ็ ลุลว่ งไปได้ดว้ ยดี

คณะผู้จดั ทา

ข4

ชือ่ โครงงาน : ความสัมพนั ธข์ องรูปสี่เหลย่ี มจัตรุ ัสในตารางเอก็ ซโ์ อขนาดตา่ งๆ
ประเภทโครงงาน : โครงงานประเภททฤษฎี
คณะผจู้ ดั ทา : นางสาว เนตรนภางค์ สสี วาท
นางสาว พลอยวรนิ ทร์ หิรัญ
ระดบั ชนั้
ครทู ปี่ รกึ ษาโครงงาน นางสาว วภิ าษณีย์ ธรรมเภรี
สถานศึกษา : มธั ยมศึกษาปีท่ี 6/1
ปีการศกึ ษา : คณุ ครู วิทยา นิลสกุล
: โรงเรียนแกง่ คอย อาเภอแก่งคอย จังหวดั สระบุรี
: 1/2563

บทคดั ย่อ

โครงงาน เรอื่ ง ความสัมพันธ์ของรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสในตารางเอ็กซ์โอขนาดต่างๆ มีวัตถุประสงค์ เพ่ือศึกษา
ความสัมพันธ์ของรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสในตารางเอ็กซ์โอขนาดต่างๆ เพ่ือสร้างพจน์ทั่วไปในการหารูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัส
ขนาด 2 2 ขึ้นไปในตารางเอ็กซ์โอขนาด nn และเพือ่ ศึกษาความน่าจะเป็นในการชนะเกมเอ็กซ์โอของตาราง
ขนาด 55 โดยท่มี าของโครงงานนี้ได้แรงบันดาลใจจากการศึกษาแนวการทาโครงงานจากหนังสือต่างๆ ซ่ึงคณะ
ผู้จัดทามีความต้องการท่ีจะหาพจน์ทั่วไปในการหารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 2 2 ข้ึนไปในตารางเอ็กซ์โอขนาด
nn โดยให้ความสนใจไปท่กี ารหาความสมั พันธแ์ ละสรุปออกมาเป็นพจน์ท่ัวไปที่สามารถนาไปใช้ได้ง่ายขึ้น อีกท้ัง
คณะผ้จู ดั ทายังสนใจในการหาความนา่ จะเปน็ ในการชนะเกมเอ็กซ์โอในตารางขนาด 55 อกี ด้วย

โดยวธิ กี ารศึกษาจะดาเนินการโดยใช้วิธีการคานวณด้วยมือ โดยใช้ทฤษฎีบทต่างๆและพจน์ทั่วไปเกี่ยวกับ
อนุกรมและความนา่ จะเป็น เพือ่ ดคู วามสัมพนั ธ์ในตารางเอ็กซโ์ อ

ผลการดาเนินงาน คณะผู้จัดทาได้สร้างพจน์ทั่วไปในการหารูปสี่เหล่ียมจัตุรัสขนาด 2 2 ขึ้นไป ในตาราง
เอ็กซโ์ อขนาด nn และไดท้ าการศกึ ษาความนา่ จะเป็นในการชนะเกมเอ็กซ์โอในตารางขนาด 55

สารบญั ค5

กติ ติกรรมประกาศ หนา้
บทคัดย่อ
สารบัญ ก
บทท่ี 1 บทนา ข
ค
ทีม่ าและความสาคัญของโครงงาน 1
วัตถปุ ระสงค์ของโครงงาน 1
ประโยชนท์ ค่ี าดวา่ จะไดร้ ับ 2
นิยามศพั ท์ 2
บทท่ี 2 เอกสารท่ีเกี่ยวขอ้ ง 2
รปู สเี่ หลยี่ มจัตรุ สั 3
อนกุ รม 3
ความนา่ จะเป็น 4
การอปุ นัยเชิงคณิตศาสตร์ 6
ตารางเอ็กซโ์ อและเกมเอ็กซ์โอ 8
บทที่ 3 วิธกี ารดาเนนิ โครงงาน 9
วัสดุ อุปกรณแ์ ละเคร่ืองทีใ่ ชใ้ นการดาเนินโครงงาน 11
ข้ันตอนการดาเนินโครงงาน 11
ปฏิทนิ การดาเนนิ โครงงาน 11
บทท่ี 4 ผลการดาเนนิ งาน 12
การศึกษาความสมั พันธข์ องรูปสี่เหลี่ยมจัตรุ สั ในตารางเอก็ ซ์โอขนาดต่างๆ 13
การพสิ จู น์พจน์ทั่วไปในการหารปู สเ่ี หลยี่ มจัตรุ ัสในตารางเอ็กซโ์ อขนาด nn 13
การศึกษาความนา่ จะเปน็ รูปแบบการชนะเกมเอ็กซโอตารางขนาด 5 × 5 17
18

สารบญั ( ตอ่ ) 6

บทที่ 5 สรุปผลและอภปิ รายผล หนา้
สรปุ ผลและอภปิ รายผล 36
ข้อเสนอแนะ 36
36
บรรณานกุ รม 37
ภาคผนวก 38

สารบญั ภาพ 7

ภาพท่ี 1 ภาพสีเ่ หลย่ี มจัตุรสั หนา้
ภาพที่ 2 ภาพการชนะเอ็กซโ์ อรูแบบปกติ 3
ภาพท่ี 3 การชนะเอ็กซโ์ อรูปแบบส่เี หลย่ี มจัตรุ ัส 9
ภาพที่ 4 ภาพกลยุทธ์สญั ลักษณ์ s 10
ภาพที่ 5 ภาพกลยทุ ธส์ ัญลกั ษณ์ t ครงึ่ 35
35

1

บทท่ี 1
บทนา

ท่ีมาและความสาคญั ของโครงงาน
คณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นภาษาสากลที่ทุกคนเข้าใจตรงกันในการสื่อสาร สามารถนา

ประสบการณท์ างดา้ นความรคู้ วามคดิ และทักษะทไ่ี ด้รับไปใช้การเรียนร้สู งิ่ ต่างๆและใช้ในชีวิตประจาวนั ได้
การเรยี นคณิตศาสตรน์ นั้ สว่ นใหญเ่ ป็นเนื้อหาทสี่ ลับซบั ซ้อนทาใหผ้ เู้ รียนเกิดความเบ่ือในการเรียน

หรือขาดความต้ังใจในการเรียนได้ ดังน้ัน เกมเก่ียวกับคณิตศาสตร์จึงเป็นส่วนช่วยให้ผู้เรียนเกิดการ
กระตือรอื รน้ ท่จี ะเรยี นเกดิ ความสนใจในการเรียนและสามารถดงึ ดูดผ้เู รียนได้ดี เพ่ือท่ีจะช่วยให้ผู้เรียนเกิด
ความสนุกสนานเพลิดเพลนิ กันการเรยี นคณติ ศาสตรไ์ ด้

จากการศึกษาพบว่า เกมทางคณิตศาสตร์ก่อให้ผู้เรียนเกิดกระบวนการคิด เกิดทักษะในการคิด
วิเคราะห์เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ทาให้เกิดความสนใจอย่างมากและเกิดข้อสงสัยต่างๆมากมายที่เกี่ยวกับ
คณิตศาสตร์ซึ่งลักษณะนี้จะทาให้ผู้เรียนนั้นเกิดความสนใจในกิจกรรมการเรียนการสอนท่ีมีเกมเป็น
ส่วนประกอบเป็นอย่างมาก ซ่ึงเกมเอ็กซ์โอนั้น ก็เป็นเกมที่นิยมกันมากในการฝึกและพัฒนาทักษะใน การ
คดิ อีกท้ังยังเปน็ การสร้างสอ่ื ในการเรียนการสอนได้อีกด้วย

ลักษณะของเกมเอ็กซ์โอท่ีนิยมเล่นกันมากในปัจจุบัน คือ เกมนี้จะมีผู้เล่น 2 คน โดยผลัดกันวาง
ตัวอักษร ซึ่งผู้ชนะจะเกิดข้ึนก็ต่อเมื่อมีผู้เล่นคนหน่ึงเขียนเคร่ืองหมายของตัวเองเรียงเป็นแนวตรง
แนวนอนหรือแนวทแยงต่อกัน 3 อัน เพราะฉะน้ันผู้เล่นแต่ละฝ่ายควรจะพยายามที่จะวางเคร่ืองหมาย
ของตวั เองใหไ้ ดต้ ามแนว ในขณะเดยี วกนั กค็ วรจะวางเคร่ืองหมายของตัวเองกั้นแนวท่ีผู้เล่นอีกฝ่ายที่กาลัง
สรา้ งด้วยแต่ถ้าเลน่ กันจนจบแล้วไม่มีผู้เล่นฝ่ายใดสามารถท่ีจะวางเครื่องหมายให้เรียงไปตามแนวได้ถือว่า
เสมอกนั

คณะผ้จู ดั ทาเล็งเห็นว่า การเลน่ เอ็กซโ์ อนั้นสามารถเล่นได้หลากหลายวิธี จงึ ได้นาวิธีท่ีผู้เล่นจะวาง
ตัวอักษร ให้เป็นรู ปส่ีเหลี่ย มจัตุรัสเข้ามาศึกษาเนื่องจากคิดว่าสามาร ถนา มาห าคว ามสั มพัน ธ์ของรู ป
ส่ีเหล่ียมจตั รุ ัสในตารางเอก็ ซ์โอขนาดต่างๆไดแ้ ละสามารถสรา้ งพจนท์ ว่ั ไปในการหารูปสี่เหล่ียมจัตุรัสขนาด
2×2 ข้ึนไปในตารางเอ็กซโ์ อขนาด nn ได้เช่นกัน ดังนั้นผู้จัดทาจึงอยากท่ีจะเผยแพร่ความรู้น้ีให้กับผู้ท่ี
สนใจและทาให้รู้ถึงวิธีการชนะเกมเอ็กซ์โอในรูปแบบอีกหนึ่งรูปแบบ จึงจัดทาโครงงานนี้เพื่อเผยแพร่
ความรเู้ กีย่ วกับเกมเอก็ ซโ์ อ

2

วตั ถปุ ระสงคข์ องโครงงาน
1. เพ่อื ศกึ ษาความสัมพันธข์ องรูปสีเ่ หลี่ยมจัตรุ สั ในตารางเอก็ ซ์โอขนาดตา่ งๆ
2. เพอื่ สรา้ งพจนท์ วั่ ไปในการหารูปสี่เหล่ียมจตั ุรสั ขนาด 2×2 ขึน้ ไปในตารางเอ็กซ์โอขนาด nn
3. เพอ่ื ศกึ ษาความนา่ จะเป็นในการชนะเกมเอ็กซโ์ อของตารางขนาด 5×5

ขอบเขตของการศึกษา
1. เน้ือหาทางคณิตศาสตร์ท่ีเกี่ยวข้อง ได้แก่ รูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส , อนุกรม , การอุปนัยเชิง

คณติ ศาสตร์และความน่าจะเปน็
2. ระยะเวลาในการทาโครงงาน คือ
3. สถานทโ่ี ครงงาน คือ โรงเรียนแก่งคอย

ประโยชน์ทค่ี าดวา่ จะไดร้ บั
1. เข้าใจความสมั พนั ธข์ องรปู ส่เี หลีย่ มจัตรุ สั ในตารางเอ็กซ์โอขนาดต่างๆ
2. สามารถหาสเ่ี หลยี่ มจัตุรสั ขนาด 2 2 ขน้ึ ไปในตารางเอ็กซ์โอขนาด nn โดยไมต่ ้องแยกคิด
หรือมาหาพจนท์ ั่วไปใหม่ในระหว่างการทาโจทย์
3. ได้ทราบความนา่ จะเป็นทจ่ี ะชนะในการเลน่ เกมเอ็กซ์โอของตารางขนาด 55

นยิ ามศัพท์
1. สีห่ ลีย่ มจตั ุรสั หมายถึง รปู หลายเหลี่ยมทีม่ ีดา้ นสด่ี ้าน ด้านทกุ ดา้ นยาวเทา่ กนั และมุมภายใน

ทกุ มุมมขี นาดเทา่ กนั ทาใหม้ มุ แตล่ ะมุมเป็นมมุ ฉาก และเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสมีความยาว
เทา่ กันและตัดกันเป็นมมุ ฉากทีจ่ ดุ ก่ึงกลาง

3

บทที่ 2
เอกสารทเี่ กี่ยวขอ้ ง

ในการจดั ทาโครงงาน เรอ่ื ง ความสัมพันธข์ องรปู สีเ่ หลยี่ มจัตรุ สั ในตารางเอ็กซโ์ อขนาดตา่ งๆ คณะ
ผู้จัดทาไดร้ วบรวมเนื้อหา ความรู้และทฤษฎตี ่างๆที่เก่ยี วข้องกบั การจัดทาโครงงาน โดยแบง่ เน้ือหาที่
เก่ยี วขอ้ งออกเปน็ 5 ส่วน ดังนี้

1. รูปสีเ่ หลี่ยมจตั รุ ัส
2. อนุกรม
3. ความนา่ จะเป็น
4. การอุปนัยเชงิ คณิตศาสตร์
5.ตารางเอ็กซโ์ อและเกมเอกซ์โอ
1. รปู สเี่ หลย่ี มจตั รุ สั
นิยามรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัส คือ รูปหลายเหล่ียมที่มีด้านสี่ด้าน โดยที่ด้านทุกด้านยาวเท่ากัน และมุม
ภายในทกุ มมุ มขี นาดเท่ากัน ทาใหม้ มุ แต่ละมมุ เป็นมุมฉาก
เส้นทแยงมุมของรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสมีความยาวเท่ากันและตัดกันเป็นมุมฉากท่ีจุดกึ่งกลาง ถ้าเส้น
ทแยงมุมของรปู สเ่ี หลี่ยมขนมเปียกปูนมีความยาวเท่ากัน แสดงว่ารูปส่ีเหล่ียมขนมเปียกปูนนั้นต้องเป็นรูป
ส่ีเหลยี่ มจัตุรสั
พื้นท่ีของรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านละ a หน่วย เท่ากับ a a  a2 ตารางหน่วยและ
เสน้ รอบรูปยาวเท่ากัน 4a หนว่ ย นอกจากน้ยี งั เปน็ รูปสเ่ี หลยี่ มท่ีมีแกนสมมาตรมากทสี่ ุดคอ 4 แกน

ภาพที่ 1 รูปส่เี หลยี่ มจัตุรสั

4

2. อนกุ รม

อนุกรม คือ การนาตัวเลขในลาดับมาบวกกัน เช่น ถ้ามีลาดับ 4,9,16,25,36 จะได้อนุกรมของ

ลาดับนี้ คือ 4  9 16  25 36  90 เรานิยมใช้สัญลักษณ์ sn แทนผลบวก n ตัวแรกของอนุกรม
ดังนัน้ ในอนกุ รมนจี้ ะไดว้ ่า s3  29,s4  54 เปน็ ต้น

สัญลักษณ์ n หมายถึง การนา pi มาบวกกันซ้าๆหลายๆคร้ัง โดยที่ตัวแรกให้ I a

 pi
ia

และเพ่มิ I ทีละ 1 ไป เร่ือยๆจนกระท่งั I n เช่น 4

i i 1  2  6 12  20  40
i 1

อนุกรมเลขคณิต
อนุกรมทไ่ี ด้จากลาดับเลขคณิต เรยี กว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลาดับเลขคณิตเป็น

ผลต่างรว่ มของอนุกรมเลขคณิตดว้ ยเม่อื a1,a1  d,a1  2d,....,a1  n 1d เป็นลาดับเลขคณิตจะได้

a1  (a1  d)  (a1  2d) .... a1  n 1d  เป็นอนกุ รมเลขคณติ ซึง่ มี a1 เปน็ พจนแ์ รกของอนุกรม

และ d เป็นผลตา่ งร่วมของอนุกรมเลขคณติ
จากบทนิยามจะได้ว่า ถ้า a1,a2,a3,....,an เป็นลาดับเลขคณิตท่ีมี n พจน์จะเรียกการเขียน

แสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลาดับในรูป a1  a2  a3 .... an ว่าอนุกรมเลขคณิตและผลต่าง
รว่ ม d ของลาดบั เลขคณติ เป็นผลตา่ งร่วมของอนุกรมเลขคณติ ด้วย

ตัวอย่างของอนุกรมเลขคณิต
1. 1 3 5 7 .... 99 เป็นอนุกรมเลขคณิต
เพราะว่า 1,3,5,7,....,99 เป็นลาดับเลขคณติ และมผี ลต่างร่วมเท่ากบั 2
2. 25  20 15 10 .... เปน็ อนุกรมเลขคณิต
เพราะว่า 25, 20,15,10,.... เปน็ ลาดับเลขคณติ และมีผลต่างรว่ มเท่ากบั -5
การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิต ให้ sn เปน็ ผลบวก n พจน์แรกของ

อนุกรมเลขคณิตที่มี a1 เป็นพจนแ์ รกและ d เปน็ ผลตา่ งร่วมจะได้

Sn  a1  a1  d   ... a1  n  2 d   a1  n 1 d       1
หรอื Sn  a1  n 1 d   a1  n  2 d   ... a1  d   a1      2
สมการ 1  2 จะได้

2Sn  2a1  n 1 d   2a1  n 1 d   ...  2a1  n 1 d 

5

2Sn  n 2a1  n 1 d 

จะได้วา่ Sn  n 2a1   n  1 d  หรือ Sn  n  a1  an 
2 2

ดังนน้ั สตู รสาหรบั การหาผลบวกอนกุ รมแลขคณิต คือ Sn  n  2a1   n  1 d  หรอื
2

Sn  n  a1  an 
2
โดยท่ี Sn คอื ผลบวกของอนุกรม

a1 คือ พจนแ์ รก

an คอื พจนส์ ุดทา้ ย

n คือ จานวนพจน์ทน่ี ามาบวก

d คอื ผลต่างรว่ มของจานวนเลขคณติ

และจะได้สตู รพน้ื ฐานในรปู ของซกิ มาคือ

4  n n 1 ซง่ึ ก็คือ Sn 1 2  3 4 ... n

i 2

i 1

4  n n 12n 1 ซงึ่ กค็ ือ Sn  12  22  32  42  ...  n2

i2 6

i 1

4  n 1 2 ซึ่งก็คือ
 2
i3   n  Sn  13  23  33  43  ...  n3

i 1

อนกุ รมเรขาคณติ
อนุกรมท่ีได้จากลาดับเรขาคณิตเรียกว่า “ อนุกรมเรขาคณิต ” และอัตราส่วนร่วมของลาดับ

เรขาคณิตจะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย กาหนด a1, a1r,a1r2,..., a1rn1 เป็นลาดับ
เรขาคณิตจะได้ a1  a1r  a1r2  ... a1rn1 เป็นอนุกรมเรขาคณิตซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรกและ r เป็น
อัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต

ตัวอยา่ งของอนกุ รมเรขาคณิต
1. 2  4 816 ... เปน็ อนุกรมเรขาคณิต

เพราะ 2,4,8,16,... เป็นลาดับเรขาคณิตและมีอัตราสว่ นร่วมเทา่ กบั 2
2. 81 27  9  3... เปน็ อนุกรมเรขาคณิต

เพราะ81, 27,9,3,...เปน็ ลาดบั เรขาคณิตและมอี ตั ราส่วนร่วมเทา่ กับ 1

3

6

การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต ให้ sn เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม
เรขาคณิตซ่ึงมี a1 เปน็ พจน์แรกและ r เปน็ ผลตา่ งรว่ มจะได้

Sn  a1  a1r  a1r2  ...  a1rn1      1
สมการ 1r จะได้

rSn  a1r  a1r2, a1r3  ...  a1rn1  a1rn      2

สมการ 1 2 จะได้

Sn  rSn  a1  a1r n

 1 r  Sn  a1 1 rn

ดงั น้นั สตู รสาหรับการหาผลบวกอนกุ รมเรขาคณติ คือ

 Sn
 a1 1  r n1  , r  1
1 r

โดยท่ี Sn คอื ผลบวกของอนุกรม

a1 คือ พจนแ์ รก

an คอื พจน์สดุ ทา้ ย

n คือ จานวนพจนท์ ่ีนามาบวก

r คอื ผลตา่ งรว่ มของจานวนเลขคณติ

3. ความนา่ จะเปน็
ในชีวติ ประจาวันเราอย่กู ับเหตุการณ์ต่างๆและมีคาถามอยู่ในใจตลอดเวลา เช่น

- พรุ่งนีฝ้ นจะตกหรอื ไม่
- ทมี ฟตุ บอลทมี ใดจะได้เป็นแชมป์โลก
- ใครชนะเลือกตง้ั ในสมัยหน้า
คาว่า " ความน่าจะเป็น " หรือ " Probability " เป็นวิธีการวัดความไม่แน่นอนในรูปแบบ
คณิตศาสตร์ เช่น เม่ือโยนเหรียญ ความน่าจะเป็นของเหรียญท่ีจะออกหัวหรือก้อยเท่ากับ 0.5 ดังนั้น
เหตุการณ์ ต่างๆ ทีเ่ กิดขนึ้ ในอนาคต เปน็ สิ่งที่ยากจะคาดเดาได้ถูกต้องร้อยเปอร์เซ็นต์ นักอุตุนิยมวิทยาใช้
หลักการของความนา่ จะเป็นเข้ามาทานาย เช่น ความน่าจะเป็นของการเกิดฝนตกในกรุงเทพมหานคร ใน
วันพรงุ่ น้มี ีคา่ เท่ากับ 0.7

7

ความน่าจะเปน็ เป็นค่าทอ่ี าจมคี วามหมายที่หลายคนเขา้ ใจได้ไม่ยาก ความน่าจะเป็นเป็นศาสตร์ที่
มคี วามละเอยี ดออ่ นท่จี ะนาไปประยกุ ตใ์ ช้โดยเฉพาะเหตกุ ารณ์ในชวี ติ ประจาวนั ตา่ งๆความน่าจะเป็นมีการ
กาหนดค่าเป็นเศษส่วนหรือเป็นเปอร์เซ็นต์หรือให้มีค่าระหว่าง 0 1 เช่น ถ้านาลูกเต๋าทอยลงบนพื้น
โอกาสท่ีจะปรากฏหน้า 1 มีค่าเท่ากับ 1 หรือ 1 100 16.6% ถ้าโยนเหรียญหน่ึงเหรียญและให้ตก

66

บนพ้ืน ( โยนแบบยตุ ิธรรม )
โอกาสทีจ่ ะปรากฏ 1 หรือ 0.5 เป็นตน้

2

นอกจากเรื่องโยนลกู เต๋า โยนเหรียญ จบั สลาก แจกไพแ่ ลว้ ยงั มเี ร่อื งอืน่ ๆอีกมากที่มีผลการเกิด ซึ่ง
บอกลว่ งหน้าไมไ่ ดว้ า่ จะให้ผลอยา่ งไร ทางคณิตศาสตร์จึงต้องใช้สัญลักษณ์มาช่วยจาลองเหตุการณ์ต่างๆท่ี
อาจ เกิดข้ึนเฉพาะเรื่องและอาศัยกฎเกณฑ์ของคณิตศาสตร์ในแขนงอื่นๆทาให้เกิดทฤษฎีต่างๆที่สามารถ
นาไปหาค่าความน่าจะเป็นของเร่ืองท่ีเก่ียวข้องกับความไม่แน่นอนท้ังหลายได้และสามารถใช้ค่าเหล่าน้ี
คานวณหาค่าอื่นๆ ที่จะเปน็ ประโยชน์ในการนาไปใชป้ ระกอบการตดั สินใจ

ปัจจุบันเร่ืองราวของความน่าจะเป็นมีความสาคัญอย่างมาก การค้นคว้า การวิจัยและการ
ปฏิบัติงานใดๆที่เก่ียวข้องกับการคาดคะเนจะต้องอาศัยเรื่องของความน่าจะเป็นทั้งสิ้น เช่น การเกษตร
การแพทย์ เศรษฐศาสตร์ วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีทุกสาขา ความน่าจะเป็นบางเรื่องใช้คณิตศาสตร์
ชั้นสงู หลายวิชามาเก่ยี วโยงกนั และยงั มเี ร่อื งต้องศึกษาค้นคว้าอีกมาก
ความหมายของความนา่ จะเป็น

ความน่าจะเป็น คือ ค่าท่ีใช้ประเมินสถานการณ์ที่ยังไม่เกิดขึ้น โดยพิจารณาว่าเม่ือถึงเวลาเกิด
เหตุการณ์แล้วจะเกิดในลักษณะใดมีโอกาสท่ีจะเกิดมากน้อยเพียงใดการหาค่าคว ามน่าจะเป็นจะต้องหา
จากการทดลองสมุ่ เทา่ นั้น
แซมเปิลสเปซ ( Sample Space )

แซมเปิลสเปซ คือ เซตของเหตุการณ์ท้ังหมดจากการทดลอง( Universal Set ) เช่น การโยน
ลกู เตา๋ ถา้ ต้องการดวู ่าหนา้ อะไรจะขนึ้ มาจะได้ S  1,2,3,4,5,6
แซมเปลิ พอ้ ยท์ ( Sample Point )

แซมเปิลพอ้ ยท์ คือ สมาชิกของแซมเปลิ สเปซ เช่น S  1,2,3,4,5,6 จะไดแ้ ซมเปลิ พ้อยท์
คอื 1 – 6
เหตุการณ์ ( Event )

เหตกุ ารณ์ คอื เซตที่เปน็ สับเซตของแซมเปลิ สเปซเปน็ เหตกุ ารณท์ ีส่ นใจจากการทดลองสุ่ม

8

การทดลองสุม่ ( Random Experiment )
การทดลองสมุ่ คือ การกระทาทเ่ี ราทราบว่าผลทั้งหมดท่ีอาจจะเกิดขึ้นมีอะไรบ้างแต่ไม่

สามารถบอกไดอ้ ย่างถกู ต้องแนน่ อนว่าจะเกิดผลอะไรจากผลทั้งหมดท่เี ป็นไปไดเ้ หล่านนั้
การหาความนา่ จะเป็น

ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซซ่ึงมีเหตุการณ์ท้ังหมดท่ีเป็นไปได้ คือ nS  และ nE เป็น
เหตุการณ์ท่ีเราสนใจซึง่ ให้ PE เปน็ ค่าความน่าจะเป็นท่ีจะเกิดโอกาส

จานวนผลของเหตุการณท์ สี่ นใจ
ความน่าจะเป็น = จานวนเหตกุ ารณ์ท้ังหมดของการทดลองสมุ่

หรอื P  E   n E
n S

4. การอปุ นยั เชิงคณติ ศาสตร์
การอปุ นัยเชงิ คณติ ศาสตร์เป็นเครอื่ งมือในการพิสูจนส์ ูตรหรือข้อความทางคณติ ศาสตรท์ ่ีสาคญั

เชน่

1 ) 1 2  3  ... n  n n 1

2

2 ) 5 n5  n

3 ) a  b หาร a2n  b2n ลงตัว
ให้ Pn เปน็ ขอ้ ความในพจน์ของ n
การพสิ จู นว์ ่า Pn เป็นจริง เราเลือกใช้อปุ นยั เชงิ คณิตศาสตร์ได้หลายแบบ

แบบท่ี 1 ถา้ 1 P1 เปน็ จริง
2 ถา้ Pk  เป็นจริง เม่ือ k 1 แล้ว Pk 1 เป็นจริงแลว้

Pn เป็นจริงทกุ ค่า n N
แบบท่ี 2 ให้ m 1
ถ้า 1 Pm
2 ถ้า Pk  เป็นจริง เม่ือ k  m แล้ว Pk 1 เป็นจรงิ แล้ว

P n เปน็ จรงิ ทุกค่า n  m, m 1, m  2,...

9

แบบท่ี 3 ถ้า 1 P1 เปน็ จริง
2 ถ้า Pk  เปน็ จริง ทกุ คา่ k  n แลว้ Pn เปน็ จริง แลว้

Pn เปน็ จริง ทุกค่า n N

5. ตารางเอก็ ซโ์ อและเกมเอ็กซโ์ อ
เอ็กซ์โอรปู แบบปกติ
ผู้เล่นทั้ง 2 คน กาหนดว่าใครจะเป็นฝ่ายได้เล่นก่อนคนท่ีเล่นก่อนจะเขียนเคร่ืองหมาย

O หรือ X ก็ได้จากน้ันอีกคนหนึ่งก็จะเขียนเคร่ืองหมายตรงข้ามกับผู้เล่นก่อนหน้านี้โดยท่ีผู้เล่นห้ามเขียน
เครื่องหมายของตัวเองซ้าช่องที่มีคนเขียนก่อนหน้าน้ีจากน้ันท้ัง 2 ฝ่ายจะผลัดกันเขียนเคร่ืองหมายของ
ตัวเองจนเตม็ กระดาน 33 เกมน้จี ะมีผ้ชู นะกต็ ่อเมอ่ื มผี ู้เลน่ คนหน่ึงเขียนเคร่ืองหมายของตัวเองเรียงเป็น
แนวตรง แนวนอนหรือแนวทแยงต่อกัน 3 อันเพราะฉะน้ันผู้เล่นแต่ละฝ่ายควรพยายามท่ีจะวาง
เคร่ืองหมายของตัวเองให้ได้ตามแนวในขณะเดียวกันควรจะวางเครื่องหมายของตัวเองกั้นแนวที่ผู้เล่นอีก
ฝ่ายท่ีกาลังสร้างด้วย หากเล่นกันจนจบแล้วไม่มีผู้เล่นฝ่ายใดสามารถที่จะวางเครื่องหมายให้เรียงไปตาม
แนวได้ถือวา่ เสมอกัน

×

×

×

ภาพท่ี 2 การชนะเอ็กซ์โอรปู แบบปกติ

10

เอก็ ซโ์ อรูปแบบสเ่ี หลยี่ มจัตรุ ัส
การเลน่ คล้ายกับรูปแบบปกติแต่การชนะน้ันจะแตกต่างออกไป กล่าวคือ ถ้าผู้เล่นคนใด

คนหนง่ึ เขียนเครือ่ งหมายของตวั เองเปน็ รปู สีเ่ หล่ียมจตั ุรัสได้กอ่ นจะเป็นผู้ชนะเพราะฉะน้ันผู้เล่นแต่ละฝ่าย
ควรจะพยายามที่จะวางเครื่องหมายของตัวเองให้ได้เป็นรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสในขณะเดีย วกันควรจะวาง
เครอ่ื งหมายของตัวเองกั้นผู้เล่นอีกฝ่ายท่ีกาลังสร้างด้วย หากเล่นกันจนจบแล้วไม่มีผู้เล่นฝ่ายใดสามารถที่
จะวางเครื่องหมายใหเ้ รยี งไปตามแนวไดถ้ ือว่าเสมอกนั

×× oo
×× oo

ภาพที่ 3 การชนะเอ็กซโ์ อรูปแบบส่ีเหลีย่ มจัตรุ สั

11

บทที่ 3
วธิ ดี าเนนิ โครงงาน

ในการจัดการทาโครงงาน เรือ่ ง ความสมั พันธข์ องรูปส่ีเหล่ยี มจัตรุ สั ในตารางเอ็กซโ์ อขนาดตา่ งๆ
ผู้จัดทามวี ิธีดาเนินโครงงาน โดยมีขนั้ ตอนดังตอ่ ไปน้ี

1. วสั ดุ อปุ กรณ์และเคร่ืองมอื ท่ีใชใ้ นการทาโครงงาน
1.1 เครื่องเขียน ไดแ้ ก่ ดนิ สอ ปากกา เปน็ ตน้
1.2 คอมพิวเตอรโ์ น๊ตบุ๊ค จานวน 3 เคร่อื ง
1.3 เคร่อื งปรน้ิ
1.4 โปรแกรม Printer
1.5 โปรแกรม Microsoft Word
1.6 โปรแกรม Adobe Photoshop

2. ขน้ั ตอนการดาเนนิ โครงงาน
2.1 คิดหัวข้อโครงงานเพื่อนาเสนออาจารยท์ ี่ปรกึ ษาโครงงาน
2.2 ศึกษาและค้นควา้ หาข้อมลู เกีย่ วกบั เร่อื งที่สนใจ
2.3 จัดทาโครงร่างโครงงาน เพอื่ นาเสนอต่ออาจารย์ที่ปรึกษาโครงงาน
2.4 ลงมือทาโครงงานการศึกษาความสัมพันธืของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสในตารางเอ็กซ์โอขนาดต่างๆ

โดยนาข้อมูลจากการค้นคว้า มาวิเคราะห์ความสัมพันธ์และสร้างเป็นสูตรการหารูปสี่เหล่ียมจัตุรัสขนาด
2 2 ขึน้ ไป ในตารางเอ็กซโ์ อขนาด nn

2.5 นาเสนอรายงานความก้าวหน้าต่ออาจารย์ท่ีปรึกษาเป็นระยะ ทั้งน้ีเมื่อได้รับคาติชมและ
คาแนะนาจากอาจารย์ทปี่ รกึ ษา กน็ ามาปรับปรงุ แก้ไขในสว่ นตา่ งๆ เพ่อื ทาให้โครงงานนา่ สนใจยง่ิ ขน้ึ

2.6 ลงมือทาโครงงานแกไ้ ขเพิ่มเติม และวิเคราะห์หาความน่าจะเป็นรูปแบบการชนะเกมเอ็กซ์โอ
ของตารางขนาด 55

2.7 จัดทาเอกสารรายงานโครงงาน และจัดทาบอร์ด เพื่อนาเสนอโครงงานการศึกษา
ความสัมพนั ธข์ องรูปส่ีเหล่ียมจตั รุ ัสในตารางเอ็กซโ์ อขนาดตา่ งๆ

2.8 จัดทานทรรศการ เพื่อนาเสนอโครงงานต่ออาจารย์ที่ปรึกษาและผู้ท่ีสนใจ เพื่อให้ผู้สนใจ
โครงงาน สามารถนาไปศึกษาและพัฒนาต่อไป

12

3. ปฏทิ นิ การดาเนนิ งาน

ลาดบั ท่ี รายการ ระยะเวลา ผรู้ บั ผดิ ชอบ
1 คณะผูจ้ ดั ทา
2 จัดต้งั สมาชิกกลุ่มโครงงาน 10 สิงหาคม 2563 คณะผู้จัดทา
3 ศึกษาวธิ กี ารดาเนนิ งานโครงงานคณิตศาสตร์ 17 สงิ หาคม 2563 --31 สิงหาคม 2563 คณะผู้จดั ทา
1 กนั ยายน 2563 – 23 กนั ยายน 2563
4 ประชมุ วางแผนการจดั ทาโครงงานและคิด คณะผจู้ ดั ทาและ
5 หวั ขอ้ โครงงาน ครูที่ปรกึ ษา
คณะผู้จัดทา
6 เสนอหวั ขอ้ โครงร่างต่ออาจารยท์ ปี่ รึกษา 24 กันยายน 2563
คณะผู้จัดทา
7 เขยี นโครงร่างโครงงานพร้อมท้ังวางแผนและ 25 กันยายน 2563 – 9 ตลุ าคม 2563
8 กาหนดแนวทางการดาเนินงาน คณะผู้จัดทา
10 ตุลาคม 2563 – 12 ตุลาคม 2563
9 ศกึ ษาและค้นคว้าเนอ้ื หาคณิตศาสตรท์ ่ี คณะผู้จดั ทาและ
เกยี่ วขอ้ งกบั โครงงาน 13 ตลุ าคม 2563 – 25 ตุลาคม 2563 ครทู ่ีปรึกษา
คณะผู้จดั ทา
ลงมือทาโครงงานการศึกษาความสัมพันธ์ของ 26 ตุลาคม 2563 – 1 พฤศจิกายน
รปู ส่เี หลีย่ มจัตรุ ัสในตาราเอ็กซ์โอขนาดต่างๆ 2563
สรปุ ผลการดาเนินงาน ปรับปรุงแก้ไข และ 2/2563
จดั ทารูปเลม่ โครงงานเพื่อนาเสนอเพ่ือนาเสนอ

นาเสนอโครงงาน

13

บทที่ 4
ผลการดาเนนิ งาน

ในการจดั ทาโครงงาน เรื่อง ความสัมพันธ์ของรปู สี่เหลยี่ มจตั ุรัสในตารางเอก็ ซโ์ อขนาดต่างๆ
ผูจ้ ัดทาได้ผลการดาเนินโครงงาน ดงั มรี ายละเอยี ดตอ่ ไปน้ี

1. การศึกษาความสัมพนั ธข์ องรปู สี่เหล่ียมจัตรุ ัสในตารางเอ็กซ์โอขนาดตา่ งๆ
1.1 ความสมั พนั ธ์ของรูปสีเ่ หลีย่ มจัตุรสั ในตาราง 2 2 เปน็ ดงั ต่อไปน้ี

××

××

จะไดร้ ูปสีเ่ หลย่ี มจัตรุ สั 112 × ×
1.2 ความสมั พนั ธข์ องรปู สเี่ หล่ียมจตั ุรัสในตาราง 33 เป็นดงั ต่อไปนี้ × ×

×× ×× ××
×× ×× ×× ×× ××

×× ××

จะได้รปู ส่ีเหลี่ยมจัตรุ สั  5  12  22
1.3 ความสมั พันธข์ องรปู ส่ีเหล่ยี มจตั ุรสั ในตาราง 4 4 เปน็ ดังตอ่ ไปน้ี

×× ×× ×× ××
×× ×× ×× ××

××

×× ×× ×× ×× × ×
×× ×× ×× ××

×× ×× × ×
×× ×× ××

× ×× ×

14

จะไดร้ ปู สีเ่ หลย่ี มจัตรุ สั 14 12  22  32
1.4 ความสัมพนั ธข์ องรูปสีเ่ หลยี่ มจัตุรสั ในตาราง55 เป็นดงั ตอ่ ไปนี้

×× ×× ×× ×× ××
×× ×× ×× ××

××

×× ×× ×× ×× ××
×× ×× ×× ×× ××

×× ×× ×× ×× ××
×× ×× ×× ×× ××

× × × × × × ×
× × × × ×
× ×
×
×× ×
××

×× × × × ×× ××
×× × × ×
×× × ×× ××
×× × × ×
× × × ×
××
×
× × ×× ×

×
×

เราจะไดร้ ปู สเ่ี หลี่ยมจัตรุ ัส  30 12  22  32  42 15
1.5 ความสัมพันธ์ของรปู ส่เี หล่ยี มจัตรุ ัสในตาราง 66 เป็นดงั ต่อไปน้ี
××
×× ×× ×× ×× ××
×× ×× ×× ××

×× ×× ×× ×× ××
×× ×× ×× ×× ××

×× ×× ×× ×× ××
×× ×× ×× ×× ××

×× ×× ×× ×× ××
×× ×× ×× ×× ××

×× ×× ×× ××
××
×× ×× ××
××
××

16

×× ×× ×× ××
×× ×× ×× ××

××
××

×× ×× ×× ××
×× ××

×× ×× ××
××

×× ×× ××
××

×× × × ×× ××
×× ××

×× ×× ×× ××
×× ××
×× ×× ××
××
×× × ×
××
××
××

×× ××
×
× × ×× ×

เราจะไดร้ ูปสเ่ี หลีย่ มจัตรุ ัส  55  12  22  32  42  52

17

1.6 ความสัมพนั ธ์ของรูปสเ่ี หลย่ี มจตั ุรสั ในตาราง nn เป็นดังตอ่ ไปนี้
จากความสัมพันธ์ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในตาราง 2 2,33,4 4,55 และ 66 เรา

จะเหน็ ถงึ ความสมั พนั ธข์ องรปู ส่ีแหล่ยี มซง่ึ เปน็ ดงั ต่อไปนี้
ตาราง 2 2 รูปสี่เหลยี่ มจัตรุ ัสมีเทา่ กบั 112
ตาราง 33 รูปส่เี หลีย่ มจตั รุ สั มเี ท่ากับ  5  12  22
ตาราง 4 4 รปู สเ่ี หล่ียมจัตุรสั มีเทา่ กบั 14 12  22  32
ตาราง 55 รูปสเี่ หลี่ยมจัตรุ สั มีเทา่ กับ  30 12  22  32  42
ตาราง 66 รูปสีเ่ หล่ียมจตั รุ ัสมีเทา่ กับ  55  12  22  32  42  52

ตาราง n n รปู สเ่ี หล่ยี มจตั ุรสั มเี ท่ากบั  2n3  3n2  n  12  22  32  42  52  ... n 12

6

ดังนนั้ ความสมั พันธ์ของรูปสเ่ี หลีย่ มจตั ุรสั ในตาราง nn จะมีรูปส่เี หล่ยี มจัตรุ สั เท่ากับ

n

12  22  32  42  52  ...  n 12  n 12
n1

 2n3  3n2  n
6

2. การพสิ จู น์พจน์ท่วั ไปในการหารูปส่เี หลีย่ มจัตุรัสในตารางเอก็ ซ์โอขนาด nn

การพิสูจน์พจน์ทั่วไปในการหารูปสี่เหล่ียมจัตุรัสในตารางเอ็กซ์โอขนาด nn ผู้จัดทาได้ทาการ

พิสูจน์โดยใช้วิธีการอปุ นยั เชิงคณิตศาสตร์ ( Mathematical Induction ) ซง่ึ มลี กั ษณะดังต่อไปน้ี

จงพสิ จู น์ว่า 02 12  22  32  42  52  ...  n 12  2n3  3n2  n ทกุ ค่า n  N

6

Proof ให้ P n แทน “ 02 12  22  32  42  52  ...  n 12  2n3  3n2  n ”
Basis STEP
6

ให้ P1 เป็นจรงิ

เราจะไดว้ ่า 112  02  0  213  312 1

6

ดังน้ัน P1 เป็นจรงิ

Induction STEP

ถา้ Pk  เปน็ จรงิ เมอ่ื k 1 แล้ว Pk 1 เปน็ จรงิ

สมมติ Pk  เป็นจรงิ เมือ่ k 1

18

เราจะได้ว่า 02 12  22  32  42  52  ...  k 12  2k3  3k 2  k

6

ดงั นั้น 02 12  22  32  42  52 ...  k 12  k 1 12
 2k3  3k 2  k  k 1 12

6
 2k 3  3k 2  k  k 2

6
 2k 3  3k 2  k

6

 2k3  6k 2  6k  2  3k 2  6k  3  k 1


6

2k 13  3k 12  k 1


6

เพราะฉะนน้ั Pk 1 เปน็ จริง
โดยอุปนยั เชิงคณิตศาสตร์ จะได้ Pn เปน็ จริง ทกุ ค่า n N
สรปุ ไดว้ า่ 02 12  22  32  42  52  ...  n 12  2n3  3n2  n

6

3. การศกึ ษาความนา่ จะเปน็ รปู แบบการชนะเกมเอก็ ซโอตารางขนาด 5 × 5
จากความสัมพนั ธข์ องรปู สี่เหล่ียมจัตุรัสในตาราง 5 × 5 ดงั รายละเอยี ดท่ีกลา่ วมาข้างตน้ เราจะ

เห็นวา่ มีรูปแบบการชนะเกมเอ็กซโ์ อมากถงึ 30 รูปแบบ ดงั นั้น nS  30
เราสามารถศึกษากรณีรูปแบบการชนะและหาความน่าจะเปน็ ได้ 25 กรณี ซึ่งเป็นดังต่อไปนี้

กรณที ่ี 1

×

เราจะได้รปู แบบการชนะ 4 รปู แบบ nE  4 ดงั ตอ่ ไปนี้

×× ×× ××× ×

××

19

××

××

×

ดงั น้นั ความนา่ จะเปน็ ของรูปแบบการชนะเกมเอ็กซโ์ อในกรณีท่ี 1 เท่ากบั

P  E   nE  4  2  0.13 หรือ 13%
nS 30 15

กรณีที่ 2

×

เราจะได้รปู แบบการชนะ 4 รปู แบบ nE  4 ดังตอ่ ไปน้ี

×× ×× ×× × ×
×× ×× ×× × ×

ดงั นัน้ ความน่าจะเป็นของรปู แบบการชนะเกมเอ็กซโ์ อในกรณีท่ี 2 เทา่ กับ

PE  nE  4  2  0.13 หรอื 13%
nS 30 15

กรณที ่ี 3

×

เราจะไดร้ ปู แบบการชนะ 4 รปู แบบ nE  4 ดังต่อไปนี้

×× ×× × × × ×

×× ×× 20
××
××

ดังน้ัน ความน่าจะเปน็ ของรูปแบบการชนะเกมเอก็ ซโ์ อในกรณีท่ี 3 เท่ากับ

PE  nE  4  2  0.13 หรือ 13%
nS 30 15

กรณีที่ 4

×

เราจะไดร้ ูปแบบการชนะ 4 รปู แบบ nE  4 ดงั ตอ่ ไปนี้

×× ×× ×× × ×
×
×× ××
××
×

ดังน้นั ความนา่ จะเปน็ ของรูปแบบการชนะเกมเอ็กซ์โอในกรณีที่ 4 เทา่ กับ

P  E   nE  4  2  0.13 หรอื 13%
nS 30 15

กรณที ี่ 5

21

×

เราจะได้รปู แบบการชนะ 4 รปู แบบ nE  4 ดังตอ่ ไปนี้

×× × × × × × ×
×× × ×

××
××

ดังนน้ั ความนา่ จะเป็นของรูปแบบการชนะเกมเอก็ ซโ์ อในกรณีท่ี 5 เทา่ กับ

P  E   nE  4  2  0.13 หรือ 13%
nS 30 15

กรณที ี่ 6

×

เราจะไดร้ ปู แบบการชนะ 4 รปู แบบ nE  4 ดงั ต่อไปนี้

××

×× ×× ×× × ×
×
××

××

×

ดงั นนั้ ความน่าจะเปน็ ของรูปแบบการชนะเกมเอ็กซโ์ อในกรณีที่ 6 เทา่ กบั

22

P  E   nE  4  2  0.13 หรอื 13%
nS 30 15

กรณที ี่ 7

×

เราจะไดร้ ูปแบบการชนะ 6 รปู แบบ nE  6 ดงั ตอ่ ไปนี้

×× ×× ××
×× ×× ××

×× ×× × ×
×× ×× × ×

ดงั นั้น ความนา่ จะเปน็ ของรูปแบบการชนะเกมเอ็กซโ์ อในกรณีที่ 7 เทา่ กับ

PE  nE  6  1  0.20 หรือ 20%
nS 30 5

กรณที ่ี 8

23

×

เราจะไดร้ ูปแบบการชนะ 6 รปู แบบ nE  6 ดงั ต่อไปนี้

××
×× ×× ××
×× ××

××
×× × × × ×

××××

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของรปู แบบการชนะเกมเอ็กซ์โอในกรณีที่ 8 เท่ากบั

PE  nE  6  1  0.20 หรือ 20%
nS 30 5

กรณที ่ี 9

×

เราจะไดร้ ปู แบบการชนะ 6 รปู แบบ nE  6 ดงั ตอ่ ไปน้ี

24

×× ××
×× ×× ××

××

×× × × × ×
××

××
××

ดงั นั้น ความนา่ จะเปน็ ของรูปแบบการชนะเกมเอ็กซโ์ อในกรณีท่ี 9 เท่ากบั

PE  nE  6  1  0.20 หรือ 20%
nS 30 5

กรณที ่ี 10

×

เราจะไดร้ ปู แบบการชนะ 4 รปู แบบ nE  4 ดังตอ่ ไปน้ี × ×
× ×
××
×× ×× × ×

××
××

ดงั น้นั ความน่าจะเป็นของรูปแบบการชนะเกมเอก็ ซ์โอในกรณีที่ 10 เท่ากับ

PE  nE  4  2  0.13 หรือ 13%
nS 30 15

25

กรณที ่ี 11

×

เราจะได้รปู แบบการชนะ 4 รปู แบบ nE  4 ดงั ต่อไปน้ี × ×
× ×
××
××
×× ×× × ×

××

ดังนั้น ความนา่ จะเปน็ ของรปู แบบการชนะเกมเอก็ ซ์โอในกรณีที่ 11 เท่ากับ

P  E   nE  4  2  0.13 หรือ 13%
nS 30 15

กรณที ี่ 12

×

เราจะไดร้ ูปแบบการชนะ 6 รปู แบบ nE  6 ดงั ตอ่ ไปนี้

26

×× ××
×× ×× ××

××

× ×
×
×× ×× ×

××

××

ดงั นัน้ ความนา่ จะเป็นของรปู แบบการชนะเกมเอก็ ซโ์ อในกรณีที่ 12 เทา่ กับ

PE  nE  6  1  0.20 หรือ 20%
nS 30 5

กรณที ่ี 13

×

เราจะได้รปู แบบการชนะ 8 รปู แบบ nE  8 ดงั ตอ่ ไปนี้

×× ××
×× ×× ×× ××

×× ××

27

×× ××

×× ×××× ××
××
××

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของรูปแบบการชนะเกมเอ็กซโ์ อในกรณีที่ 13 เท่ากบั

PE  nE  8 4  0.27 หรอื 27%
nS 30 15

กรณที ี่ 14

×

เราจะได้รปู แบบการชนะ 6 รปู แบบ nE  6 ดงั ตอ่ ไปน้ี

×× ×× ××
×× ×× ××

× ×
×
×× × × ×
××

××

ดงั นน้ั ความนา่ จะเป็นของรปู แบบการชนะเกมเอก็ ซ์โอในกรณีที่ 14 เทา่ กบั

PE  nE  6  1  0.20 หรอื 20%
nS 30 5

กรณที ี่ 15 28

×

เราจะไดร้ ปู แบบการชนะ 4 รปู แบบ nE  4 ดงั ต่อไปนี้ ××
××
××
××
×× ×× × ×

××

ดังนน้ั ความน่าจะเป็นของรูปแบบการชนะเกมเอก็ ซ์โอในกรณีท่ี 15 เทา่ กบั

PE  nE  4  2  0.13 หรือ 13%
nS 30 15

กรณที ี่ 16

×

เราจะไดร้ ูปแบบการชนะ 4 รปู แบบ nE  4 ดังต่อไปนี้

××

××

××

×× ×× ×× ××

××

29

ดงั น้ัน ความน่าจะเป็นของรูปแบบการชนะเกมเอก็ ซโ์ อในกรณีท่ี 16 เทา่ กับ

P  E   nE  4  2  0.13 หรือ 13%
nS 30 15

กรณที ี่ 17

×

เราจะไดร้ ปู แบบการชนะ 6 รปู แบบ nE  6 ดังตอ่ ไปนี้

×× ××
×× ×× ××

××

× ×
×
××

×× ×× ×

××

ดังน้ัน ความนา่ จะเป็นของรูปแบบการชนะเกมเอ็กซ์โอในกรณีที่ 17 เท่ากับ

PE  nE  6  1  0.20 หรือ 20%
nS 30 5

30

กรณที ่ี 18

×

เราจะได้รูปแบบการชนะ 6 รปู แบบ nE  6 ดังตอ่ ไปนี้

×× ××
×× ×× ××

××

×× × ×
×
×× × × ×
××

ดงั น้ัน ความนา่ จะเปน็ ของรปู แบบการชนะเกมเอก็ ซโ์ อในกรณีที่ 18 เทา่ กบั

PE  nE  6  1  0.20 หรือ 20%
nS 30 5

กรณที ี่ 19

×

เราจะไดร้ ูปแบบการชนะ 6 รปู แบบ nE  6 ดงั ตอ่ ไปน้ี

31

×× ××
×× ×× ××

××

××
××

×× × × × ×
××

ดงั น้ัน ความน่าจะเปน็ ของรูปแบบการชนะเกมเอ็กซ์โอในกรณีท่ี 19 เทา่ กบั

PE  nE  6  1  0.20 หรอื 20%
nS 30 5

กรณที ่ี 20

×

เราจะไดร้ ูปแบบการชนะ 4 รปู แบบ nE  4 ดงั ต่อไปนี้

× × × ×
×× × × ×
×× ×× ×

××

ดังน้นั ความน่าจะเปน็ ของรูปแบบการชนะเกมเอ็กซโ์ อในกรณีท่ี 20 เท่ากบั

P  E   nE  4  2  0.13 หรอื 13%
nS 30 15

32

กรณที ่ี 21

×

เราจะได้รปู แบบการชนะ 4 รปู แบบ nE  4 ดงั ต่อไปนี้

×× × ×
× ×
××

××

×× ×× ××

ดงั นนั้ ความนา่ จะเปน็ ของรปู แบบการชนะเกมเอก็ ซโ์ อในกรณีที่ 21 เทา่ กบั

P  E   nE  4  2  0.13 หรอื 13%
nS 30 15

กรณที ่ี 22

×

เราจะไดร้ ปู แบบการชนะ 4 รปู แบบ nE  4 ดังตอ่ ไปน้ี

××

××

×× ××

×× ×× ×× ××

33

ดังนน้ั ความน่าจะเป็นของรูปแบบการชนะเกมเอก็ ซ์โอในกรณีที่ 22 เท่ากับ

P  E   nE  4  2  0.13 หรอื 13%
nS 30 15

กรณที ี่ 23

×

เราจะไดร้ ูปแบบการชนะ 4 รปู แบบ nE  4 ดงั ต่อไปน้ี

×× ××
×× ×× ××
×× ×× × ×

ดังนน้ั ความน่าจะเปน็ ของรูปแบบการชนะเกมเอ็กซโ์ อในกรณีท่ี 23 เท่ากบั

PE  nE  4  2  0.13 หรือ 13%
nS 30 15

กรณที ี่ 24

×

เราจะได้รปู แบบการชนะ 4 รปู แบบ nE  4 ดังตอ่ ไปนี้

34

××
××

×× ××

×× ×× × × × ×

ดังน้ัน ความน่าจะเปน็ ของรปู แบบการชนะเกมเอ็กซโ์ อในกรณีท่ี 24 เทา่ กับ

P  E   nE  4  2  0.13 หรอื 13%
nS 30 15

กรณี 25

× ×
×
เราจะไดร้ ูปแบบการชนะ 4 รปู แบบ nE  4 ดงั ต่อไปนี้

×
××
××
××
×× × × × × ×

ดงั นัน้ ความน่าจะเป็นของรูปแบบการชนะเกมเอ็กซโ์ อในกรณีท่ี 25 เทา่ กบั

PE  nE  4  2  0.13 หรือ 13%
nS 30 15

จากรูปแบบการชนะเกมเอ็กซ์โอในตาราง 55 เราจะเห็นได้วา่ ความน่าจะเป็นในแตล่ ะกรณีจะ

แตกต่างกนั ไปแตเ่ มื่อเปรียบเทยี บโอกาสในการชนะเกมเอ็กซ์โอมากท่สี ุด เราจะต้องวางหมากตวั แรกดัง

กรณีท่ี 13 ซึง่ มคี วามน่าจะเป็นในการชนะมากทสี่ ุด ซึ่งมีคา่ เทา่ กับ

PE  nE  8 4  0.27 หรอื 27%
nS 30 15

35

การเปรียบเทียบน้ีเป็นเพียงตัวเลขความน่าจะเป็นเท่านั้น การเล่นชนะเกมเอ็กซ์โอให้ชนะจริงๆ
ข้ึนอยู่กับผู้เล่นด้วย ผู้เล่นจะต้องมีความเช่ียวชาญมีทักษะด้านสมอง รวมถึงกลยุทธ์ในการเล่นด้วย ซ่ึงกล
ยุทธ์ในการเล่นนั้นก็สาคัญเช่นกัน ผู้เล่นอาจจะหลอกล่อให้ผู้เล่นฝ่ายตรงข้ามเกิดอาการสับสน และวาง
หมากผิด และในทส่ี ดุ ผูเ้ ลน่ จะสามารถชนะได้ เป็นตน้

หมายเหตุ กลยุทธ์พิเศษท่ีผู้จัดทาได้ศึกษาและคิดค้นข้ึนมาน้ันคือกลยุทธ์สัญลักษณ์ s และกล
ยทุ ธส์ ัญลักษณ์ t คร่ึงโดยสองกลยุทธ์น้ีจะทาให้ชนะได้ ก็ต่อเม่ือผู้เล่นฝ่ายตรงข้ามไม่วางหมากขัดขวางกล
ยุทธ์ของผู้เล่นที่เล่นกลยุทธ์ท้ังสองนั่นเอง โดยกลยุทธ์ลัญลักษณ์ s และสัญลักษณ์ t ครึ่ง มีลักษณะดังรูป
ตอ่ ไปน้ี

×× × × ×
× ×× ××
×
×
×× ×
× ××
×× ×
× × ×

×× × × ×
× ××
ภาพที่ 4 กลยุทธส์ ัญลกั ษณ์ s ×

× ×
×× ××

× ×

× ×××
××× ×

ภาพท่ี 5 กลยทุ ธส์ ญั ลกั ษณ์ t ครึ่ง

36

บทท่ี 5
สรปุ ผลและอภปิ รายผล

สรปุ ผลและอภปิ รายผล

จากการศึกษาความสมั พนั ธ์ของรปู สเ่ี หลี่ยมจัตุรัสในตารางเอก็ ซโ์ อขนาดต่างๆและศึกษา

ความน่าจะเป็นรูปแบบการชนะเกมเอ็กซ์โอของตารางขนาด 55 พบว่าจากความสัมพันธ์ของรูป
สเี่ หล่ียมจตั รุ สั ในตารางเอก็ ซ์โอขนาด 2 2,33,4 4,55 และ 66 เราจะเห็นถึงความสัมพันธ์ของรูป
สี่แหลี่ยมจัตุรัสว่า ตาราง 2 2 รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีเท่ากับ 112 ตาราง 33 รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมี
เท่ากับ  5  12  22 ตาราง 4 4 รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสมีเท่ากับ 14 12  22  32 ตาราง 55 รูป
สี่ เ ห ล่ี ย ม จั ตุ รั ส มี เ ท่ า กั บ  30 12  22  32  42 ต า ร า ง 66 รู ป ส่ี เ ห ลี่ ย ม จั ตุ รั ส มี เ ท่ า กั บ

 55 12  22  32  42  52 ดังนั้นความสัมพันธ์ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสในตาราง n n จะมีรูป

ส่ีเหล่ียมจัตุรัสเท่ากับ  2n3  3n2  n  12  22  32  42  52  ... n 12 และความน่าจะเป็น

6

รูปแบบการชนะเกมเอ็กซ์โอของตารางขนาด 55 พบว่าความน่าจะเป็นในแต่ละกรณีจะแตกต่างกันไป

แต่เมื่อเปรียบเทียบโอกาสในการชนะเกมเอ็กซ์โอมากที่สุดเราจะต้องวางหมากตัวแรกดังกรณีท่ี 13 ซ่ึงมี

ความน่าจะเป็นในการชนะมากที่สุด ซึ่งมีค่าเท่ากับ PE  nE  8 4  0.27 หรือ 27%
nS 30 15

การเปรียบเทียบนี้เป็นเพียงตัวเลขความน่าจะเป็นเท่าน้ัน การเล่นชนะเกมเอ็กซ์โอให้ชนะข้ึนอยู่กับผู้เล่น

ด้วย ผู้เล่นจะต้องมีความเช่ียวชาญมีทักษะด้านสมอง รวมถึงกลยุทธ์ในการเล่นซ่ึงกลยุทธ์พิเศษท่ีผู้จัดทา

ได้ศึกษาและคิดค้นข้ึนมาน้ันคือกลยุทธ์สัญลักษณ์ s และกลยุทธ์สัญลักษณ์ t คร่ึงโดยสองกลยุทธ์นี้จะทา

ให้ชนะได้ ก็ต่อเมอ่ื ผู้เลน่ ฝ่ายตรงข้ามไมว่ างหมากขัดขวางกลยทุ ธข์ องผู้เลน่ ทเ่ี ลน่ กลยทุ ธ์ทั้งสองนั่นเอง

ขอ้ เสนอแนะ
1) การศึกษาความสัมพันธ์ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสในตารางเอ็กซ์โอขนาดต่างๆ ยังสามารถ

ศกึ ษาความสัมพันธ์ของรปู ส่เี หลี่ยมจัตุรัสในแนวทแยงได้ ควรจะศึกษาหากมโี อกาสครั้งหน้า
2) การศึกษาความน่าจะเป็นรูปแบบการชนะเกมอ็กซ์โอ สามารถศึกษารูปแบบการชนะใน

ตารางขนาดตา่ งทมี่ ากกวา่ ขนาด 55 ได้ เพื่อเพมิ่ ความท้าทายในการทางาน

37

บรรณานกุ รม

ดารงค์ ทิพย์โยธา. (ม.ป.ป.). อุปนยั เชิงคณิตศาสตร์(Mathematical Induction). กรุงเทพฯ :
ภาควิชาคณติ ศาสตร์และวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวิทยาลยั

ยุพนิ พพิ ิธกลุ และสริ พิ ร ทพิ ยค์ ง. (2540). 101 โครงงานคณติ ศาสตร์ (101 Mathematical projects).
กรุงเทพฯ: โรงพมิ พค์ ุรสุ ภาลาดพรา้ ว.

สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยีกระทรวงศกึ ษาธิการ. (2554). คมู่ ือครรู ายวชิ า
พ้นื ฐานคณติ ศาสตร์ เลม่ 3 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4-6. กรงุ เทพฯ : สกสค. ลาดพร้าว.

สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยีกระทรวงศึกษาธกิ าร. (2554). หนงั สอื เรยี นรายวชิ า
พน้ื ฐาน คณติ ศาสตร์ เล่ม 3 ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 4-6. กรงุ เทพฯ : สกสค.ลาดพร้าว.

สมัย เหลา่ วานิชย์. (2555). คู่มือเตรยี มสอบคณติ ศาสตร์ม.4-5-6 (รายวิชาเพม่ิ เติม). กรงุ เทพฯ :
บรษิ ัท ไฮเอด็ พบั ลชิ ชง่ิ จากดั .

38

ภาคผนวก

39