หน่วยการเรียนรู้ที่4

หน่วยที่4 ตรรกศาสตร์

เปน็ วชิ าพ้ืนฐานที่สาคัญในการศึกษาวชิ าต่างๆ เช่น สงั คมศาสตรป์ รชั ญา คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ ปจั จบุ นั
ไดม้ กี ารนามาประยกุ ต์ใช้ในด้านคอมพิวเตอร์ เพราะตรรกศาสตรเ์ ปน็ วชิ าทีศ่ ึกษาเกย่ี วกับกฏเกณฑแ์ ละวธิ กี าร
ใหเ้ หตุผล นกั ปราชญซ์ ึ่งเป็นบิดาของวิชาตรรกศาสตร์ คือ อารสิ โตเติล (Aristotle, 384 - 322 ก่อนครสิ ต
ศกั ราช) โดยอาริสโตเติล เชื่อว่ามนุษณ์เทา่ น้ันทีส่ ามารถคดิ เกี่ยวกับเหตุผลได้ ทา่ นไดเ้ ขียนเขยี นตาราชอ่ื
Organum ซงึ่ เกี่ยวกับการใหเ้ หตุผลทถี่ กู ต้อง หลกั การของหนังสอื เลม่ นี้กลายมาเปน็ หลักการของตรรกศาสตร์
ในปจั จุบัน ซึง่ วชิ านี้จะเป็นวิชาทีช่ ว่ ยใหเ้ ข้าใจคณติ ศาสตร์ไดล้ ึกซ้งึ ยิ่งข้นึ จะอธิบายตามลาดบั หวั ขอ้ ดังนี้
4.1 ประพจน์
หมายถงึ ประโยคหรือข้อความทีใ่ ชส้ าหรบั บอกค่าความเป็นจริงหรือเท็จเพียงอย่างใดอย่าง หนึ่ง สว่ น ประโยค
หรือขอ้ ความที่ไม่สามารถบอกคา่ ความจริงหรอื เปน็ เทจ็ ได้จะไมเ่ รียกว่าประพจน์
ตวั อยา่ งของประโยคหรอื ข้อความท่เี ปน็ ประพจนเ์ ช่น ดวงอาทิตย์ขน้ึ ทางทศิ ตะวันออก สุนัขมี 4 ขา ประเทศ
ไทยมชี ายแดนติดกบั ประเทศอินเดยี เดอื นมกราคมมี 30 วัน
ตวั อย่างของประโยคหรือข้อความท่ไี มเ่ ป็นประพจนเ์ ชน่ หา้ มเดนิ ลัดสนาม กรุณาปดิ ไฟก่อนออกจากหอ้ ง เธอ
กาลังจะไปไหน เขาเป็นนกั ฟุตบอลทีมชาติไทย Y + 5 = 8

ตวั เช่ือมประพจน์ และค่าความจรงิ ของประพจน์ที่มีตวั เชือ่ ม

โดยปกติเมอื่ กลา่ วถงึ ขอ้ ความหรอื ประโยคนนั้ มักจะมีกริยามากกวา่ หนึง่ ตวั แสดงวา่ ไดน้ าประโยคมาเชือ่ มกนั
มากว่าหนงึ่ ประโยค ดังนนั้ ถ้านาประพจน์มาเชอ่ื มกันกจ็ ะได้ประพจน์ใหม่ซ่งึ สามารถบอกได้ว่าเปน็ จรงิ หรือเป็น
เท็จ ตวั เชอ่ื มประพจน์มีอยู่ 5 ตวั และตัวเชอื่ มที่ใช้กันมากคือ “และ” “หรอื ” “ไม่” ท่เี หลืออีกสองตัวคือ
“ถา้ …แลว้ …” และ “…กต็ อ่ เมื่อ…” เมื่อนาประพจน์เชอื่ มดว้ ยตัวเชอื่ ม และ ,หรอื , ถ้า…แลว้ , …ก็ต่อเมอ่ื โดยที่
ถา้ p และ q แทนประพจน์ จะเขยี น

ถ้ากาหนดให้ T แทนค่าความจริงของประพจน์ทเ่ี ปน็ จรงิ F แทนค่าความจรงิ ของประพจนท์ เี่ ปน็ เทจ็ และ p, q
แทนประพจน์ใดๆ ทีย่ งั ไมไ่ ดร้ ะบขุ ้อความหรือแทนค่าข้อความลงไป

ประพจน์ p ู q จะเรียกว่าข้อความร่วม (conjugate statement) และจะสามารถเขยี นตารางคา่ ความจริงของ
ประพจน์ p ู q ไดด้ ังนี้

จากตารางจะพบวา่ คา่ ความจรงิ ของประพจน์ p q จะเป็นจริงถ้าประพจนท์ ั้งสองเป็นจริงนอกนน้ั จะเป็นเท็จ
ประพจน์ p q เรยี กว่าข้อความเลอื ก (disjunctive statement) เป็นขอ้ ความท่เี ปน็ จริงถา้ p หรอื q เป็น
อย่างน้อยท่ีสดุ หน่งึ ประพจน์ แตจ่ ะไม่เปน็ จริงเม่ือทั้งสองประพจน์เป็นเทจ็ ตารางคา่ ความจริงของ p q
สามารถเขียนไดด้ งั นี้

ประพจน์ ~p เรียกวา่ นเิ สธ (negation) p หมายถึงไม่เป็นจริงสาหรับ p จะเป็นจริงเม่ือ p เปน็ เทจ็ และจะเป็น
เท็จเม่ือ p เปน็ จริง ตารางค่าความจริงของ ~p เปน็ ดังน้ี

ประพจน์ p , q เรียกวา่ ประโยคเงือ่ นไขหรือข้อความแจงเหตุสผู่ ล (conditional statement) ประพจน์ p
เรยี กว่าเหตุตัวเงือ่ นและ q เป็นผลสรุปเช่น p : นนุ่ ไปเที่ยวนอกบา้ นq : คุณพ่อโทรศัพท์ตามดังนนั้ p ,q : ถา้
น่นุ ไปเท่ียวนอกบา้ นแล้วคุณพ่อโทรศัพท์ตาม
จากการตรวจสอบเงอื่ นไขนจ้ี ะพบวา่ ประพจนน์ ้จี ะเปน็ เท็จกรณีเดยี วคือ น่นุ ไปเท่ียวนอกบ้านแตค่ ณุ พ่อไม่
โทรศพั ทต์ าม ดังนั้นจะสามารถแสดงตารางค่าความจริงของประพจน์ p , q ไดด้ ังนี้

ประพจน์ p ,q เรียกวา่ ประโยคเง่อื นไขสองทาง (biconditional statement) คือ ประพจน์ทม่ี ีความหมาย
เหมือนกบั (p ,q) ู (q , p) เนอ่ื งจาก (p , q) และ (q,p) เช่อื มดว้ ยคาวา่ “และ” ดังนนั้ p q จะมคี ่าความจริง
เป็นจริงต่อเม่ือประพจน์ p และประพจน์ q มคี า่ ความจรงิ เหมือนกนั ดังตารางต่อไปนี้

จากตารางค่าความจรงิ ของประพจน์ท่ีมีตัวเชื่อมทั้ง 5จะพบว่า
1. ~ p มีค่าความจริงตรงกนั ขา้ มกับคา่ ความเปน็ จรงิ ของ p
2. p ,q เป็น T กรณเี ดยี วคือกรณที ่ีทั้ง p และ q เป็น T
3. p ,q เปน็ F กรณีเดยี วคือกรณีทท่ี ั้ง p และ q เป็น F
4. p , q เป็น F กรณีเดียวคือกรณที ที่ ั้ง p เป็น T และ q เป็น F
5. p ,q เป็น T เม่อื p และ q มคี ่าความจรงิ เหมอื นกนั

สจั นิรนั ดร์



การสมมูลกันของประพจน์ (Propositional Equivalence)

เดอื นบอกว่า “ฉนั ไม่ได้ ทาและฉนั พูดความจรงิ ” นภบอกว่า “ไมจ่ ริงทีเ่ ดือนจะเป็นคนทาหรือพูดโกหก”
กาหนดให้ p แทน เดือนเป็นคนผดิ q แทน เดือนพดู ความจรงิ

ขอ้ ความแรกแปลงประพจน์ประกอบได้เป็น ¬p ∧ q ขอ้ ความทีส่ องได้¬ ( p ∨ ¬q) การตรวจสอบความ
สมมูลกันของสองประโยค คือการตรวจสอบความเป็นสจั นริ ันดรข์ องนิพจน์

ตรรกศาสตร(์ )( ) ¬p ∧ q ↔ ¬ p ∨ ¬q p q (¬p ∧ q) ( ) p ∨ ¬q ¬( p ∨ ¬q) (¬p ∧ q)( ) ↔ ¬ p
∨ ¬q ขอ้ ความสองข้อความมีความหมายเหมือนกนั ทางตรรกศาสตร์ เรากล่าวว่า ประพจน์ประกอบ่ทง้ สอง
สมมลู กันเชงิ ตรรกศาสตร์(Logical Equivalence)

บทนิยาม ประพจน์ p และ q จะถูกเรยี กวา่ “สมมูลกนั เชิงตรรกศาสตร์ (Logical Equivalence)” ถ้า p ↔
q เป็นสจั นริ นั ดร์สญั ลักษณ์ท่ใี ชแ้ ทน “ p สมมูลเชิง ตรรกศาสตรก์ บั q ” คอื “ p ≡ q ”

ตวั อยา่ งที่ 1.1 จงตรวจสอบวา่ ข้อความตอ่ ไปนส้ี มมูลกันเชงิ ตรรกศาสตรห์ รอื ไม่ ก. ถ้าสนิ คา้ ยังไม่ถึงมอื ลูกค้า
ลูกคา้ กย็ ังไมต่ ้องจา่ ยเงิน ข. ถ้าลูกคาจา่ ยเงนิ แลว้ แสดงว่าสนิ คา้ น้ันถึงมือลกู คา้ เปน็ ที่เรยี บรอ้ ย ถ้าให้ p แทน
สนิ ค้าถึงมือลกู คา้ q แทน ลูกค้าจา่ ยเงนิ แล้ว นพิ จนต์ รรกศาสตรแ์ ทนข้อความ ก. เป็น ¬p → ¬q นพิ จน์
ตรรกศาสตรแ์ ทนข้อความ ข. เปน็ q → p ตรวจสอบวา่ ¬p → ¬q ≡ q → p หรือไม่

5.5.2 กฎการสมมูลเชงิ ตรรกศาสตร์

1. ¬¬p ≡ p Double negation

2. ( )( ) p ∨q ≡ q ∨ p b. ( )( ) p ∧ q ≡ q ∧ p c. ( )( ) p ↔ q ≡ q ↔ p Commutative Laws

3. [ ] ( ) p ∨q ∨ r ≡ [p ∨ ( ) q ∨ r ] b. [ ] ( ) p ∧ q ∧ r ≡ [p ∧ ( ) q ∧ r ] Associative Laws

4. [ ] p ∨( ) q ∧ r ≡ [( p ∨ q)( ) ∧ p ∨ r ] b. [ ] p ∧ ( ) q ∨ r ≡ [( p ∧ q)( ) ∨ p ∧ r ]
Distributive Laws

5. ( ) p ∨p ≡ p b. ( ) p ∧ p ≡ p Idempotent Laws

6. ( ) p ∨F ≡ p b. ( ) p ∨ T ≡ T c. ( ) p ∧ F ≡ F d. ( ) p ∧ T ≡ p Identity Laws

7. ( ) p ∨¬p ≡ T b. ( ) p ∧ ¬p ≡ F

8. ¬( )( ) p ∨q ≡ ¬p ∧ ¬q b. ¬( )( ) p ∧ q ≡ ¬p ∨ ¬q c. ( )( ) p ∨ q ≡ ¬ ¬p ∧ ¬q d. ( )( ) p
∧ q ≡ ¬ ¬p ∨ ¬q DeMorgan Laws

9. ( )( ) p → q ≡ ¬q → ¬p Contrapositive

10. ( )( ) p → q ≡ ¬p ∨ q b. ( ) p → q ≡ ¬( p ∧ ¬q) Implication

11. ( )( ) p ∨ q ≡ ¬p → q b. ( )( ) p ∧ q ≡ ¬ p → ¬q

12. [ ] ( )( )p → r∧q →r ≡ [ ] ( ) p ∨ q → r b. [ ] ( )( ) p → q ∧ p → r ≡ [ ] p → (q ∧ r)

13. ( ) ( )( ) p ↔ q ≡ [ ] p → q ∧ q → p Equivalence

14. [ ] ( ) p ∧ q → r ≡ [p → ( ) q → r ] Exportation Law

15. ( )( ) p → q ≡ [ ] p ∧ ¬q → F Reductio ad absurdum

การพิสจู น์ความสมมูลกันเชงิ ตรรกศาสตร์ของสองประพจนป์ ระกอบโดยใช้กฎการสมมูลเรียกวา่ พชี คณติ
ประพจน์ (Propositional Algebra)

ตัวอยา่ งที่ 1.2 จงแสดงวา่ ¬( ) p ∨ ( ) ¬p ∧ q สมมลู เชิงตรรกศาสตร์กับ ¬p ∧ ¬q ท่า ¬( ) p ∨ (¬p ∧
q) ≡ ¬p ∧ ¬(¬p ∧ q) DeMorgan Law 8a ≡ ¬p ∧ (¬¬p ∨ ¬q) DeMorgan Law 8b ≡ ¬p ∧ ( p
∨ ¬q) Double negation 1 ≡ ( ) ¬p ∧ p ∨ (¬p ∧ ¬q) Distributive Law 4b ≡ F ∨ (¬p ∧ ¬q) 7b
≡ ¬p ∧ ¬q Identity Law 6a

บทนิยาม ประพจน์ p และ q จะถูกเรียกวา่ “การแจงเหต่สุ ่ผลเชงิ ตรรกศาสตร์ (Logical Implication)” ถ้า
p → q เป็นสัจนิรนั ดร์สัญลกั ษณ์ทใ่ี ช้แทน “ p แจงเหตุ่ส่ ผล q ” คอื “ p ⇒ q ” p ⇒ q มีความหมายวา่
สาหรบั ประพจน์ p และ q ค่าความจริงเปน็ “จรงิ ” และ “เท็จ ” จะไม่เกดิ ขี้นพร้อมกนั กล่าวคอื เมื่อประพจน์
p “จริง” ประพจน์ q ก็จะเป็น “จริง” ดว้ ย และเม่ือ ประพจน์ q เป็น “เทจ็ ” ประพจน์ p ก็จะเป็น “เท็จ”
ด้วย การตรวจสอบการแจงเหตุ่ส่ผล p ⇒ q เราสามารถแจงเหตุ p ่ส่ผล q ไดห้ รืออกี วิธหี นึ่งในการพจิ ารณา
คา่ ความจริงของการแจงเหตุ่ส่ผล คือใหม้ องข้ามแถวท่ี p เป็น “เทจ็ ” และเชน่ เดียวกันกม็ องข้าม แถวที่ q
เป็น “จริง” แถวที่p จรงิ q เท็จ การแจงเหตุ่สผ่ ล p ⇒ q เปน็ “เท็จ” การแจงเหตุ่ส่ผล p ⇒ q เปน็
“จริง”

ตัวอย่างที่ 1.3 จงตรวจสอบค่าความจริงของการแจงเหต่สุ ผ่ ล ¬p ⇒ ( p → q) จะพจิ ารณาตารางค่าความ
จริงเฉพาะท่แี ถวที่ ¬p เป็น “จรงิ ” นน่ั คอื p q ¬p p → q ¬p → (p → q) F T T T T F F T T T เพือ่
ความรวดเร็วขึ้นโดยมองหาแถวท่ี p → q หรือผลสรปุ ท่ีมคี ่าความจรงิ เป็น “เท็จ ” p q ¬p p → q ¬p
→ (p → q) T F F F T

ตัวอย่างที่ 1.4 จงตรวจสอบกฎการแจงเหต่สุ ่ผลเชงิ ตรรกศาสตร์ข้อ 26a [ ] ( )( ) p → q ∧ r → s ⇒ [(p
∨ r) → (q ∨ s)] ถ้าตอ้ งดูทง้ั หมดจะตองใช ้ จานวนแถวถงึ แถว เพื่อความรวดเรว็ จะพิจารณาเพยี งแถวทีท่ า
ให 26้ a มีค่าความจริงเปน็ “เทจ็ ” นน่ั คอื กรณที ่ี [ ] ( )( ) p ∨ r → q ∨ s เป็น “เท็จ ” แต่ [(p → q)∧
(r → s)] เป็น “จรงิ ” ?? เมอ่ื ใดท่ี [ ] ( )( ) p ∨ r → q ∨ s เป็น “เท็จ ” เมอื่ q ∨ s เป็น “เทจ็ ” นนั่ คอื
ทง้ั q และ s มีค่าความจริงเป็นเทจ็ p q r s [ ] ( ) p → q ∧ (r → s) → [(p ∨ r)( ) → q ∨ s ]