หน่วยการเรียนรู้ที่2

2.1 ระบบเลขฐานทใี่ ช้ในคอมพวิ เตอร์

มนษุ ยต์ ดิ ต่อส่ือสารทางคณติ ศาสตร์ด้วยระบบเลขฐานสบิ ซ่งึ เปน็ ท่รี จู้ กั กันและใช้กันอยา่ งแพรห่ ลายทว่ั
โลก แตร่ ะบบคอมพิวเตอร์การทางานภายในเคร่ืองคอมพิวเตอรจ์ ะใช้ระบบเลขฐานสอง เพราะอุปกรณ์ภายใน
เครือ่ งคอมพิวเตอรเ์ ปน็ วงจรอิเลก็ ทรอนิกสใ์ ช้สัญญาณไฟฟ้าในการทางาน และมีการทางาน 2 สภาวะ คือ
กระแสไฟเปิด (ON) และกระแสไฟปิด(OFF) มีการเชื่อมโยงเลขฐานสองซงึ่ มตี วั เลขสองตัว คอื 1 และ0 เข้ากบั
สภาวะดังกลา่ วโดยการกาหนดให้กระแสไฟฟา้ เปิด แทนด้วย 1 และกระแสไฟฟ้าปดิ แทนด้วย 0 เพ่ือให้เข้าใจ
การทางานพ้ืนฐานของคอมพิวเตอร์ สาหรับการทางานคาสั่งหรือโปรแกรมต่างๆ ซึ่งจะใช้เลขฐานสองทางานจึง
ไมส่ ะดวก จึงนาเลขฐานอื่นมาใชร้ ว่ มดว้ ย เชน่ เลขฐานแปด เลขฐานหก เป็นตน้ เพ่ือให้คอมพิวเตอร์ทางานได้
อย่างรวดเรว็ และมปี ระสิทธภิ าพมากทีส่ ุด

ในระบบคอมพิวเตอร์มกี ารใช้เลขฐานอยู่ 4 ระบบคือ
1. ระบบเลขฐานสอง (Binary Number System)

2. ระบบเลขฐานแปด (Octal Number System)

3. ระบบเลขฐานสิบ (Decimal Number System)

4. ระบบเลขฐานสบิ หก (Hexadecimal Number System)

ตารางท่ี 2.1 จานวนหลกั ของระบบเลขฐานต่าง

ระบบจานวน จานวนหลกั (Digit)
เลขฐานสอง 01
เลขฐานแปด 01234567
เลขฐานสบิ 0123456789
เลขฐานสบิ หก 0123456789ABCDEF

2.2 ระบบเลขฐานสบิ

ระบบเลขฐานสิบ เปน็ ระบบเลขท่ใี ช้กันในชวี ิตประจาวัน ไม่ว่าจะนาไปใช้คานวณประเภทใด โดยจะมี
สัญลกั ษณท์ ่ีใชแ้ ทนตัวเลขต่างๆ ของเลขฐานสิบ (Symbol) จานวน 10 ตวั ตัวเลขหรือทีเ่ รยี กว่า Digit ทีใ่ ช้
แทนระบบเลขฐานสิบ ไดแ้ ก่ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

ตวั เลขแตล่ ะตวั จะมีค่าประจาตวั โดยกาหนดใหค้ ่าทน่ี ้อยท่สี ุด คือ 0 (ศนู ย์) และเพ่ิมค่าทีละหน่งึ จนครบ
จานวน 10 ตวั ดงั น้ันคา่ มากทีส่ ดุ คือ 9 การนาตวั เลขเหล่านี้ มารวมกลุม่ กัน ทาใหเ้ กิดความหมายเปน็ "คา่ "
น้นั อาศัยวิธีการกาหนด "หลัก" ของตวั เลข (Position Notation) กลา่ วคือ ค่าของตวั เลขจานวนหนึ่ง
พิจารณาได้จากสองสงิ่ คือ
- ค่าประจาตัวของตัวเลขแต่ละตัว
- คา่ หลกั ในตาแหนง่ ทต่ี วั เลขน้ันปรากฎอยู่

ในระบบท่วี ่าด้วยตาแหน่งของตัวเลข ตาแหนง่ ที่อยทู่ างขวาสุด จะเปน็ หลกั ทีม่ ีคา่ น้อยท่ีสุด เรียกวา่ Least
Sinificant Digit (LSD) และตัวเลขทอ่ี ยูใ่ นหลักซา้ ยสุดจะมีค่ามากที่สุด เรียกว่า Most Sinificant Digit (MSD)
ตวั อย่าง

จานวน 1,897

Most Sinificant Digit (MSD) Least Sinificant Digit (LSD)

1 897

นิยาม คา่ หลักของตัวเลขใดๆ คอื คา่ ของฐานยกกาลงั ด้วยค่าประจาตาแหน่งของแตล่ ะหลัก โดยกาหนดให้

ค่าประจาตาแหนง่ ของหลกั ของ LSD มีคา่ เป็น 0 ในระบบเลขฐานสิบ จะมสี ญั ลกั ษณ์อยู่ 10 อยา่ ง คือ 0 - 9

จานวนขนาดของเลขฐานสิบ สามารถอธบิ ายได้ โดยใช้ตาแหน่งนา้ หนักของแต่ละหลกั (Postional Weight)

โดยพจิ ารณาจากเลข ดังต่อไปนี้

คา่ ตัวเลข 4,897 สามารถขยายไดด้ ังนี้

4,897= 4000 + 800 + 90 + 7
= (4 x 103) + (8 x 102) + (9 x 101) + (7 x 100)

จะเห็นวา่ น้าหนกั ตามตาแหน่ง ของตัวเลขต่างๆ สามารถขยายตามระบบจานวนได้ และถกู แทนท่ดี ว้ ยสมการ

ดงั ตอ่ ไปนี้
N = dnRn + ... + d3R3 + d2R2 + D1R1 + D0R0
เมอื่ N คอื คา่ ของจานวนฐานสิบทีต่ ้องการ

dn คือ ตัวเลขที่อยูใ่ นตาแหนง่ ต่างๆ

R คือ ฐานของจานวนตัวเลขน้ันๆ
n คือ ค่ายกกาลงั ของฐานตามตาแหน่งต่างๆ

2.3 ระบบเลขฐานสอง

ระบบเลขฐานสอง มีสญั ลักษณ์ทใ่ี ชเ้ พียงสองตัว คือ 0 และ 1 ถ้าเปรยี บเทียบเลขฐานสอง กับเลขฐานสบิ แลว้
คา่ ของหลักท่ีถดั จากหลักท่นี ้อยทสี่ ุด (LSD) ขน้ึ ไป จะมคี า่ เท่ากับ ฐานสองยกกาลงั หมายเลขหลกั แทนท่จี ะ
เปน็ 10 ยกกาลัง ดังนี้

เลขฐานสบิ เลขฐานสอง
100 1
หน่วย 20 1 หนึง่

101 10 สิบ 21 2 สอง
102 100 ร้อย 22 4 สี่
103 1000 พัน 23 8 แปด
104 10000 หมื่น 24 16 สบิ หก
105 100000 แสน 25 32 สามสิบสอง

ระบบเลขฐานสองเกดิ จากการใช้ตวั เลขเพียง 2 ตวั คอื 0 และ 1 ดังนัน้ สมการคอื
N = dnRn + ... + d3R3 + d2R2 + D1R1 + D0R0

เมื่อ d คือค่า 0 หรอื 1
เช่น 1101 = (1 x 23) + (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20)

เพอ่ื ตัดปัญหายุ่งยาก ในการแทนค่าของเลขระบบต่างๆ เรานยิ มเขยี น ตวั เลขอยู่ในวงเล็บ และเขยี นค่าของฐาน

นัน้ อยู่นอกวงเล็บ

เชน่ (101101)2 = (45)10

สาหรบั เศษสว่ น จะเขียนค่าของเศษส่วนอย่หู ลงั จุด (Binary Point) ยกกาลงั เปน็ ลบ เพ่ิมข้ึนตามลาดับ ดัง

ตัวอยา่ ง
(0.1011)2 = (1 x 2-1) + (0 x 2-2) + (1 x 2-3) + (1 x 2-4)

2.4 ระบบเลขฐานแปด
เปน็ เลขฐานทีป่ ระกอบดว้ ยเลข 8 ตัว ซงึ่ ประกอบดว้ ยเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ซ่งึ เปน็ เลขฐานท่เี พ่มิ เนอ้ื ท่ี
หนว่ ยความจาในการเก็บใหม้ ากขนึ้ การเก็บข้อมูลเปน็ เลขฐาน 8 จะทาใหเ้ ก็บข้อมลู ได้มากขึ้น

2.4 ระบบเลขฐานแปด เป็นเลขฐานท่ปี ระกอบด้วยเลข 8 ตวั ซึ่งประกอบดว้ ยเลข

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ซ่งึ เปน็ เลขฐานทเ่ี พิม่ เน้อื ทห่ี น่วยความจาในการเกบ็ ใหม้ ากขน้ึ การเก็บข้อมลู เป็นเลข
ฐาน 8 จะทาให้เก็บข้อมูลได้มากขึ้น

2.5 ระบบเลขฐานสิบหก

เป็นเลขฐานที่ประกอบดว้ ยตัวเลข 10 ตวั และตวั อักษรแทนตวั เลขอกี 6 ตัว ซงึ่ ประกอบด้วยเลข 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9 และตัวอกั ษรภาษาอังกฤษแทน 10 ถึง 15 ได้แก่ A, B, C, D, E, F ซึ่งก็จะเก็บข้อมูลได้มากกวา่
ระบบเลขฐาน 2 ฐาน 8

ระบบเลขฐานสิบหก (hexadecimal)น้ีจะเปน็ ท่นี ิยมใช้ในการเขา้ รหสั (encode)คาสั่งควบคุมเครอื่ ง
(control code ) ที่อยใู่ นระบบเลขฐานสอง ( binary ) ทม่ี ีจานวนคาส่งั ยาวมากๆ ยกตวั อย่างได้เชน่ ตาม
คาอธบิ ายข้างต้น ถา้ 11111 เป็นคาสั่งควบคุมเครื่องในรูปเลขฐานสอง(binary)คอื 11111 ผคู้ วบคมุ เครื่อง
อาจจะเขา้ รหสั ( encode)คาสง่ั ควบคมุ เครื่องไวใ้ นรหัสบาร์โคด้ (barcode)ในรูป 1F ถ้าใช้รหสั เลขฐานสบิ หก
(hexadecimal)ซงึ่ บาร์โคด้ (barcode)น้นั เวลาพิมพท์ ี่จะใชใ้ หเ้ ครือ่ งอา่ นคาส่ังควบคมุ เคร่ือง จะใชค้ วามยาว
ของบารโ์ คด้ (barcode) 2 ตัว เชน่ การใชร้ ะบบเลขฐานสิบหก (hexadecimal)นใี้ นการเขา้ รหัส
(encode)คาสั่งควบคุมเคร่ือง (control code )สาหรบั เครื่องจกั รอตั โนมตั ิความเรว็ สงู

(high speed Finishing system) เป็นตน้

การแปลงเลขฐานในระบบคอมพิวเตอร์

2.1 ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งคณติ ศาสตร์กบั การทางานของเคร่ืองคอมพวิ เตอร์

ทางคณิตศาสตร์มนุษยต์ ิดต่อส่อื สารกันด้วยเลขฐานสบิ เพราะทุกคนมีความเข้าใจเหมือนกนั ในการสื่อ
ความหมาย แต่การทางานภายในคอมพิวเตอรใ์ ช้เลขฐานสองในการทางาน เพื่อให้เข้าใจการทางานของ
คอมพิวเตอร์ จึงต้องเรยี นรู้การแปลงเลขฐานตา่ งๆ เพราะเลขฐานเหล่านสี้ ามารถแปลงสลับไปมาได้ เชน่ การ
แปลงเลขฐานสองเปน็ เลขฐานสบิ การแปลงเลขฐานสิบเปน็ เลขฐานสอง การแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบ
หก เป็นต้น

ในหนว่ ยท่ี 2 ได้ศึกษาเกี่ยวกับคา่ ประจาหลักของแต่ละเลขฐานไปแลว้ ซงึ่ ในหนว่ ยนจ้ี ะใช้ค่าประจาหลกั มา
ชว่ ยในการแปลงเลขฐานต่างๆใหเ้ ปน็ เลขฐานสิบ เพราะมนุษยค์ ุ้นเคยกบั เลขฐานสบิ ซ่ึงจะเป็นความรู้พื้นฐาน
ของการแปลงเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสบิ หกเป็นเลขฐานสิบ

ค่าของตัวเลขต่างๆจะพจิ ารณาได้จากส่งิ ต่อไปน้ี คือ

1. คา่ ประจาตัวของตัวเลขแต่ละตัว

2. ค่าประจาหลักในตาแหนง่ ที่ตวั เลขน้นั ปรากฎอยู่ ซ่ึงจะนาคา่ ทงั้ สองอย่างนี้มาคณู กนั แล้วนาผลคณู ทไี่ ด้มา
บวกกัน จะไดค้ า่ ออกมาเปน็ เลขฐานสบิ

2.2 การแปลงเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสบิ หกเป็นเลขฐานสิบ

หลกั การแปลงเลขฐานอื่นๆ เหมือนกับกรณีของเลขฐานสิบ แตจ่ ะกลา่ วแตล่ ะเลขฐานเพือ่ ให้เขา้ ใจได้อย่าง
ชัดเจน

2.1.1 การแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบ

หลักการคดิ เหมือนกบั กรณีของเลขฐานสิบ คือ ใช้ค่าประจาตัวของตวั เลขแตล่ ะตัวคณู กบั ค่าประจา
หลกั ในตาแหนง่ ทต่ี ัวเลขน้นั ปรากฎอยู่ กรณีเปน็ เลขฐานสอง ค่าประจาหลกั ของเลขฐานสองคือ...., แบ่งการ
แปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบเป็น 2 กรณี คือ

กรณีที่ 1 เลขฐานสองเปน็ เลขจานวนเต็ม

หลักการคิด

1. ใช้วิธกี ระจายเลขฐานสองโดยกระจายตัวเลขจากขวามือไปซา้ ยมือ เพื่อให้ง่ายและ
ผดิ พลาดน้อยลงเพราะถา้ กระจายตัวเลขจากซา้ ยมือไปขวามือ จะลมื วา่ ค่าประจาหลักในตาแหนง่ ท่ี 1 เริม่ จาก
2 แต่จะคิดเป็น 2 แทนทาให้ผดิ พลาดได้ง่าย

2. เขยี นคา่ ประจาหลกั ในแต่ละตาแหน่งที่ตวั เลขนั้นปรากฎอยูใ่ หต้ รงกบั เลขฐานสองแต่
ละตวั โดยเรียงจาก 2 ,2 ,2 ,... ตามลาดบั

3. นาตัวเลขฐานสองคูณกบั คา่ ประจาหลักในแต่ละตาแหลง่
4. หาค่าผลคณู แต่ละวงเลบ็ และนาผลคณู ท่ีได้มาบวกกนั จะไดผ้ ลลัพธ์ของการแปลง
เลขฐานสองเปน็ เลขฐานสิบ

กรณีท่ี 2 เลขฐานสองเปน็ เลขจานวนเตม็
หลกั การคิด
1. กระจายเลขฐานสองโดยกระจายตัวเลขหลังจดุ ทศนยิ มไปทางขวามอื
2. เขยี นคา่ ประจาหลกั ในแต่ละตาแหนง่ ท่ีตัวเลขนนั้ ปรากฎอย่ใู ห้ตรงกับเลขฐานสองแต่

ละตัวโดยเรยี งจาก 2 ,2 ,2 ,... ตามลาดับ
3. นาตวั เลขฐานสองคูณกับคา่ ประจาหลกั ในแตล่ ะตาแหล่ง
4. หาคา่ ผลคณู ของเลขแตล่ ะวงเลบ็
5. นาผลคณู ท่ีไดม้ าบวกกัน จะไดค้ าตอบของการแปลงเลขฐานสองเปน็ เลขฐานสบิ

2.1.2 การแปลงเลขฐานแปดเปน็ เลขฐานสิบ
การแปลงเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบ หลักการคิดเหมือนกับกรณีของเลขฐานสิบและเลขฐานสอง

คือใช้คา่ ประจาตวั เลขแตล่ ะตัวคูณค่าประจาหลักในแต่ละตาแหนง่ ทีต่ วั เลขนัน้ ปรากฎอยู่ แตเ่ ปน็ เลขฐานแปด
คา่ ประจาหลกั ของเลขฐานแปด แบง่ การแปลงเลขฐานแปดเปน็ เลขฐานสบิ เป็น 2 กรณี คือ

กรณที ่ี 1 เลขฐานสองเปน็ เลขจานวนเต็ม
หลักการคดิ
1. ใชว้ ิธกี ระจายเลขฐานแปดโดยกระจายตัวเลขจากขวามอื ไปซ้ายมือ

2. เขยี นค่าประจาหลักในแตล่ ะตาแหนง่ ทต่ี ัวเลขนนั้ ปรากฎอยู่ให้ตรงกบั เลขฐานสองแต่
ละตัวโดยเรยี งจาก 8 ,8 ,8 ,... ตามลาดับ

3. นาตวั เลขฐานสองคูณกบั คา่ ประจาหลักในแต่ละตาแหลง่

4. หาคา่ ผลคูณแต่ละวงเลบ็ และนาผลคณู ที่ได้มาบวกกัน จะไดผ้ ลลัพธ์ของการแปลงเลข
ฐานแปดเป็นเลขฐานสบิ

กรณีที่ 2 เลขฐานสองเปน็ เลขจานวนเต็ม

หลกั การคิด

1. กระจายเลขฐานแปดโดยกระจายตัวเลขหลังจุดทศนิยมจากดา้ นขวามอื ไปทางซ้ายมือ

2. หาค่าผลคณู แต่ละวงเลบ็

3. นาผลคูณที่ไดม้ าบวกกนั

2.1.3 การแปลงเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสบิ

การแปลงเลขฐานสิบหกเปน็ เลขฐานสบิ หลกั การคิดเหมือนกบั กรณีของเลขฐานสบิ และเลขฐานสอง
คอื ใช้คา่ ประจาตวั เลขแตล่ ะตัวคณู คา่ ประจาหลกั ในแตล่ ะตาแหนง่ ทีต่ ัวเลขนนั้ ปรากฎอยู่ แตเ่ ปน็ เลขฐานแปด
คา่ ประจาหลกั ของเลขฐานสิบหก แบง่ การแปลงเลขฐานแปดเปน็ เลขฐานสบิ เปน็ 2 กรณี คือ

กรณที ่ี 1 เลขฐานสองเปน็ เลขจานวนเต็ม

หลักการคิด

1. ใช้วธิ กี ระจายเลขฐานหกแปดโดยกระจายตวั เลขจากขวามอื ไปซ้ายมือ เพ่ือให้ง่ายและ
ผิดพลาดนอ้ ยลง

2. เขียนค่าประจาหลกั ในแต่ละตาแหน่งที่ตัวเลขนั้นปรากฎอยใู่ หต้ รงกับเลขฐานสองแต่
ละตวั โดยเรยี งจาก 8 ,8 ,8 ,... ตามลาดับ

3. นาตัวเลขฐานสองคูณกับคา่ ประจาหลักในแตล่ ะตาแหลง่

4. หาค่าผลคูณแต่ละวงเลบ็ และนาผลคูณที่ได้มาบวกกนั จะได้ผลลพั ธ์ของการแปลง
เลขฐานสบิ หกเปน็ เลขฐานสิบ

กรณที ี่ 2 เลขฐานสองเปน็ เลขจานวนเต็ม

หลักการคดิ

1. กระจายเลขฐานแปดโดยกระจายตัวเลขหลังจุดทศนยิ มจากด้านขวามอื ไปทางซา้ ยมือ
2. หาค่าผลคูณแต่ละวงเล็บ
3. นาผลคูณท่ีไดม้ าบวกกนั
3.3 การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสบิ หก

การแปลงเลขฐานสบิ หกเป็นเลขฐานสบิ หลกั การคิดเหมอื นกบั กรณีของเลขฐานสบิ และเลขฐานสอง
คอื ใช้ค่าประจาตัวเลขแต่ละตัวคณู คา่ ประจาหลักในแต่ละตาแหน่งท่ตี วั เลขนั้นปรากฎอยู่ แตเ่ ปน็ เลขฐานแปด
ค่าประจาหลกั ของเลขฐานสิบหก แบ่งการแปลงเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบเป็น 2 กรณี คือ

กรณที ่ี 1 เลขฐานสบิ ที่ตอ้ งการแปลงเปน็ เลขจานวนเต็ม
หลักการคิด
1. ใช้วิธกี ระจายเลขฐานหกแปดโดยกระจายตัวเลขจากขวามอื ไปซ้ายมือ เพอื่ ให้ง่ายและ

ผดิ พลาดน้อยลง
2. เขยี นค่าประจาหลักในแตล่ ะตาแหน่งทต่ี ัวเลขน้ันปรากฎอยูใ่ หต้ รงกับเลขฐานสองแต่

ละตวั โดยเรียงจาก 8 ,8 ,8 ,... ตามลาดบั
3. นาตวั เลขฐานสองคูณกบั ค่าประจาหลักในแต่ละตาแหลง่
4. หาคา่ ผลคูณแต่ละวงเล็บและนาผลคณู ท่ีไดม้ าบวกกัน จะไดผ้ ลลัพธ์ของการแปลง

เลขฐานสบิ หกเป็นเลขฐานสบิ
กรณีที่ 2 เลขฐานสิบทตี่ ้องการแปลงเปน็ เลขทศนยิ ม
หลักการคดิ
1. กระจายเลขฐานแปดโดยกระจายตัวเลขหลงั จดุ ทศนยิ มจากด้านขวามือไปทางซา้ ยมือ
2. หาค่าผลคูณแตล่ ะวงเล็บ
3. นาผลคูณท่ีได้มาบวกกัน