หน่วยการเรียนรู้ที่1 (1)

วิวฒั นาการของตวั เลขมีมาตั้งแตอ่ ดตี จนถึงปัจจบุ ัน มผี ู้คิดคน้ พฒั นามาหลายๆรปู แบบ เพ่อื ใชแ้ ทนจานวนของ
การนับ เชน่ ชาวกรกี ใชก้ ารนับนิว้ มือหรอื กอ้ นหิน ในสมัยอียปิ ตใ์ ช้รปู ภาพแทนตวั เลขชาวบาบิโลนใชล้ ิ่มเปน็
สัญลักษณ์ เปน็ ตน้

สมยั โรมันมกี ารใชร้ ะบบเลขโรมนั ช่วงปี พ.ศ.243-443 โดยนาตวั หนงั สอื กรีกมาดัดแปลงเปน็ ตัวเลข
โรมนั เปน็ สัญลักษณ์พน้ื ฐาน 7 ตัว คือ I, V, X, L, C, D, และ M ซึ่งปัจจุบันมีการใชเ้ ลขโรมันอยแู่ ต่ไมเ่ ปน็ ที่
แพร่หลาย ดงั นี้

เลขโรมนั เลขอารบิก
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1,000

ตัวเลข หมายถึง สื่อหรอื สัญลกั ษณ์แทนการนบั จานวนของส่ิงต่างๆ วา่ มีปริมาณมากหรือน้อย ปัจจบุ ัน
นิยมใช้ตวั เลขฮินดูอารบิก ซ่ึงใช้งานงา่ ย สะดวก และเป็นสากล ประกอบด้วยตัวเลข 10 ตวั
คือ 0,1,2,3,4,5,6,7,8 และ 9

เมือ่ นาตวั เลขหลายๆตัวมาประกอบกนั จะเป็นระบบจานวนตา่ ง ๆ ท่ีคนุ้ เคยและใช้กัน ซึง่ มีรายละเอียด
ดังน้ี

การใช้ตวั เลขเพ่ือแสดงขอ้ มูลตา่ งๆในชวี ติ ประจาวนั เชน่ อัตราแลกเปลยี่ นเงิน ข้อมูลสถิติตา่ งๆ การวัด
ระยะทางจากสถานที่หนง่ึ ไปสถานทีห่ น่ึง การนบั คะแนนเลือกตั้งนากองค์การบริหารจังหวัด เป็นต้น โดยตัว
เลขที่ใช้มที ั้งจานวนเต็ม ทศนิยม เศษสว่ น ขนึ้ อยู่กบั ความเหมาะสมของตัวเลขทจี่ ะนาไปใช้ในงานประเภทต่างๆ
ซ่งึ จานวนที่ใช้อยู่ในปัจจุบนั เกี่ยวขอ้ งกบั ทกุ คนทั้งในทางคณิตศาสตรแ์ ละวิทยาศาสตร์จะเปน็ จานวนจริง ซง่ึ
ระบบจานวนจรงิ (Peal Numbers) หมายถงึ ระบบท่ีประกอบด้วยจานวนทีเ่ ป็นจานวนตรรกยะหรือจานวนอต
รรกยะ เช่น -3,2,10,2.51,0.1498......,1/4, เปน็ ตน้ จานวนจรงิ ท่ใี ช้กนั อยู่ทกุ วนั นป้ี ระกอบด้วยจานวนตา่ งๆ ซง่ึ
ถอื กาเนิดข้นึ มาจากากรพัฒนาระบบการนบั ของมนษุ ย์น่นั เอง (คณาจารย์ภาควิชาคณิตศาสตร์,2551 :
77) เพ่ือให้เขา้ ใจในเร่ืองจานวนจริง จงึ แบ่งประเภทของตัวเลขเป็นจานวนตา่ งๆเพื่อใหเ้ ขา้ ใจง่ายในการทาความ
เขา้ ใจและเปน็ พน้ื ฐานเบ้ืองต้นของการศึกษาทางด้านคณติ ศาสตร์ ประเภทของระบบจานวนจริง ดงั แสดงใน

แผนภูมิที่ 1.1

แผนภมู ทิ ี่ 1.1 ประเภท
ของระบบจานวนจริง
จากแผนภมู ทิ ี่ 1.1 จะเห็นวา่ จานวนจริงแบ่งออกไดเ้ ป็น 2 ประเภทใหญๆ่ คือ จานวนตรรกยะและจานวนอต
รรกยะ มีรายละเอยี ดดงั นี้

1.1.1 จำนวนตรรกยะจานวนตรรกยะ (Rational Numbers) หมายถึง จานวนทเี่ ขียนได้ใน
รปู a/b โดยท่ี a และ b ต่างกเ็ ปน็ จานวนเต็มและ b ≠ 0 หรือกล่าวได้วา่ จานวนตรรกยะคือ
จานวนท่ี

1.1.2 สามารถเขยี นในรูปเศษส่วนของจานวนเต็มได้โดยทีส่ ่วนไมเ่ ป็นศูนย์ เช่น -1,6, ,
,0.34 เป็นต้น จะแสดงใหเ้ หน็ ว่าตัวเลขต่างๆขา้ งต้นเปน็ จานวนตรรกยะ เพราะสามารถเขียนใน
รปู เศษสว่ นได้ ดังน้ี

-1 เปน็ จานวนตรรกยะ เพราะ -1 สามารถเขยี นในรูปเศษส่วนได้ คือ
6 เป็นจานวนตรรกยะ เพราะ 6 สามารถเขยี นในรปู เศษสว่ นได้ คือ

เปน็ จานวนตรรกยะ เพราะ สามารถเขยี นในรูปเศษสว่ นได้ คือ
เปน็ จานวนตรรกยะ เพราะ สามารถเขียนในรปู เศษส่วนได้ คือ
0.34 เป็นจานวนตรรกยะ เพราะ 0.34 สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้ คอื

1. จำนวนเตม็ (Integers) คอื จานวนท่ไี ม่มเี ศษส่วนหรือทศนิยมรวมอยู่ในจานวนนัน้ เช่น 1,3,-4,-
8 เป็นต้น จานวนเตม็ แบ่งไดเ้ ป็น 3 ชนิดคอื

(1) จานวนเต็มบวก (Positive Integers) เปน็ จานวนทใ่ี ช้แทนปรมิ าณท่ีมากกวา่ ศูนย์หรอื เรียกว่า
จานวนนับ (Counting Numbers) เพราะเป็นจานวนท่ใี ช้นบั สง่ิ ของต่างๆ โดยนับจานวนเริ่มตน้ คือ 1 และนับ
เพิ่มขน้ึ ทีละหนึ่งไปเรื่อยๆ ไม่มที สี่ นิ้ สดุ เชน่ 1,2,3,..... บางคร้งั จะเรยี กจานวนนับอกี อยา่ งหนง่ึ วา่ จานวน
ธรรมชาติ (Natural Numbers) จากที่กลา่ วมาขา้ งตน้ เพ่ือแสดงให้เหน็ จานวนเตม็ บวก ไดอ้ ย่างชัดเจนจงึ นา
ตัวเลขต่างๆมาเขยี นบนเสน้ จานวน จะเหน็ ว่าจานวนเตม็ บวกอยูไ่ ปทางดา้ นขวามอื ของเลข 0 ไปเร่ือยๆ ดังรปู
ท่ี 1.1

รูปท่ี 1.1 เส้นจานวน
แสดงจานวนเต็มบวก
ข้อสังเกต จานวนเต็มบวกทีน่ ้อยทสี่ ุดคือ 1 แตจ่ านวนที่มากทสี่ ดุ ไมส่ ามารถบอกค่าได้

ในเรอ่ื งจานวนนับมีเร่อื งท่สี าคญั ที่ต้องกล่าวถงึ อกี คือ จานวนนับจาแนกได้อีก 2 ประเภท คือ จานวนคู่
และจานวนคี่ ซง่ึ มีรายละเอียดดังน้ี

1. จานวนคู่ (Odd Number) คอื จานวนนับท่ี 2 หารได้ลงตวั เช่น 2,4,6,...
2. จานวนคี่ (Even Number) คอื จานวนนบั ที่ 2 หารแลว้ เหลือเศษ เชน่ 1,3,5,...
จากท่ีกลา่ วมาจะยกตวั อย่างตวั เลขเพ่ือแสดงว่าจานวนใดเปน็ จานวนคูห่ หรอื จานวนคี่ ดังน้ี
10 เปน็ จานวนคู่ เพราะ 10 หาร 2 = 5
46 เป็นจานวนคู่ เพราะ 46 หาร 2 = 23
121 เปน็ จานวนคู่ เพราะ 121 หาร 2 ได้ 60 เศษ 1
เม่ือนาจานวนคู่หรือจานวนค่ี มาบวกหรอื คูณกันจะไดเ้ ป็นจานวนคู่หรือจานวนค่นี ั้นมีขอ้ สงั เกตบาง
ประการของการบวกและการคณู จานวนคู่หรือจานวนคี่ ดงั นี้
การบวก
- จานวนคู่ + จานวนค่ี จะได้ จานวนคู่

เช่น 2+6 = 8,4+8 = 12
- จานวนคู่ + จานวนค่ี จะได้ จานวนคี่

เชน่ 2+3 = 5,4+5 = 9
- จานวนคี่ + จานวนคี่ จะได้ จานวนคู่

เช่น 1+1 = 2,3+5 = 8

การคูณ
- จานวนคู่ + จานวนคี่ จะได้ จานวนคู่
เชน่ 2 = 8,4+8 = 12
- จานวนคู่ + จานวนค่ี จะได้ จานวนคู่
เช่น 2+3 = 5,4+5 = 9
- จานวนคี่ + จานวนค่ี จะได้ จานวนค่ี
(2) จานวนเต็มลบ (Negative Integers) เป็นจานวนที่ใช้แทนปรมิ าณที่น้อยกว่าศูนย์ เขียนแทนด้วย

เลขจานวนนับท่ีมีเครื่องหมายลบอย่ดู ้านหนา้ โดยจานวนเตม็ ลบเริม่ จาก -1 และลดลงทลี ะ 1 ไปเร่ือยๆไมม่ ีที่
ส้นิ สดุ เชน่ -2,-3,-5,... เปน็ ตน้ หรือกลา่ วไดว้ ่าจานวนเตม็ ลบจะอยู่ทางดา้ นซ้ายมือของเลข 0 บนเส้นจานวน
ดงั แสดงในรปู ที่ 1.2

รปู ท่ี 1.2 เสน้ จานวนแสดง
จานวนเตม็ ลบ

ขอ้ สังเกต จานวนเต็มลบท่ีมคี า่ มากทส่ี ดุ คอื -1 แต่จานวนเต็มลบที่มีคา่ น้อยทีส่ ดุ ไม่สสามารถบอกค่า
ได้

(3) จานวนเตม็ ศนู ย์ คือ ตวั เลข 0 เป็นจานวนที่อย่หู ่างจาก 1 ไปทางซา้ ยมอื เป็นระยะทาง 1 หน่วย

รปู ท่ี 1.3 เส้นจานวนแสดง
จานวนเต็มศูนย์

เลข 0 จะมคี ุณสมบัตขิ องตวั เลข 0 ทส่ี าคัญ คือ
เมื่อนา 0 ไปบวกกับจานวนใดๆ ผลลพั ธ์จะไดเ้ ป็นจานวนนั้นๆเสมอ เชน่ 1+0 = 0+1 = 1 , (-7)+0
= 0+ (-7) = -7
เม่อื นา 0 ไปคณู กับจานวนใดๆ ผลลพั ธจ์ ะไดเ้ ปน็ 0 เสมอ เช่น 4 0 = 0 4 = 0
การหาร 0 ด้วยจานวนเต็มใดๆ ท่ีไม่ใช่ศูนย์ จะไดผ้ ลลัพธ์เท่ากับ 0 เช่น

กลา่ วโดยสรปุ ในเรื่องของจานวนเตม็ แบ่งได้เป็น 3 ชนดิ คอื จานวนเตม็ บวก จานวนเตม็ ลบ และ
จานวนเต็มศูนย์ เพื่อใหเ้ ข้าใจจานวนเตม็ บวก จานวนเตม็ ลบ และจานวนเตม็ ศูนย์อย่างชัดเจนจะนาตวั เลข
ตา่ งๆมาเขยี นแสดงรวมทั้งหมดบนเส้นจานวน
ดงั แสดงในรปู ท่ี 1.4

รูปที่ 1.4 เสน้ จานวนแสดง
จานวนเต็มประเภทตา่ งๆ
จากรปู ที่ 1.4 จะเหน็ จานวนเต็มประเภทตา่ งๆทแ่ี สดงบนเส้นจานวน ดงั น้ี จานวนเต็มศนู ย์อยตู่ รงกลางของเสน้
จานวน จานวนเตม็ บวกอยทู่ างดา้ นขวามือของเลขศูนย์ โดยตัวเลขเรม่ิ ต้นคือ 1 และเพ่ิมข้ึนทลี ะ 1 ไปเรื่อยๆ
สว่ นจานวนเต็มลบอยทู่ างดา้ นซ้ายมือของเลขศูนย์ โดยตวั เลขเริ่มต้นคือ -1 และมีค่าลดลงไปทลี ะ -1 ไปเรอ่ื ยๆ
ไมม่ ีท่ีสิ้นสดุ

2. จำนวนเศษส่วน (Fractions) เป็นจานวนทส่ี รา้ งข้ึนเพ่ือใช้แทนจานวนท่ไี มใ่ ชจ่ านวนเต็ม โดยทัว่ ไป
เศษสว่ นใดๆเขียนได้ในรูป a/b โดย a,b เป็นจานวนเต็ม และ b ≠ 0 เรียก a วา่ ตวั เศษ
(Numerator) หมายถึง จานวนสว่ นแบง่ ท่ตี ้องการ และ b วา่ ตัวสว่ น (Denominator) หมายถึง จานวน
ทัง้ หมดท่ีมอี ยเู่ ช่น 1/3 เรียก 1 ว่าเศษ และเรียก 3 วา่ สว่ น หมายถึง มขี องอยู่ท้งั หมด 3 สว่ นตอ้ งการ
เพียง 1 ส่วน เพื่อแสดงจานวนเศษส่วนใหเ้ หน็ ชัดเจนข้นึ จึงนาไปเขียนแสดงบนเส้นจานวนโดยใน 1 หนว่ ย
ความยาวบนเส้นจานวน จะแบง่ ความยาวออกเป็นส่วนๆที่เท่าๆกัน ดังรูปที่ 1.5

รปู ท่ี 1.5 เส้นจานวน
แสดงจานวนเศษสว่ น

จากรปู ท่ี 1.5 อธิบายได้วา่ เสน้ จานวนแบ่งระยะหา่ งออกเป็น 3 ส่วนเท่าๆกนั จดุ A,B,C มี
ความหมายดังนี้

จดุ A แทน 1/3 แสดงวา่ จดุ A อยู่ห่างจาก 0 ไปทางขวามือเปน็ ระยะทาง 1 สว่ นของท้งั หมด 3 ส่วน
จดุ B แทน -2/3 แสดงวา่ จดุ B อยหู่ า่ งจาก 0 ไปทางซา้ ยมือเป็นระยะทาง 2 ส่วนของทง้ั หมด 3 ส่วน
จดุ C แทน 5/3 แสดงว่าจุด C อยู่ห่างจาก 0 ไปทางขวามือเป็นระยะทาง 5 สว่ นของทัง้ หมด 3 ส่วน
เศษสว่ นสามารถแบ่งออกได้เปน็ 3 ประเภท ดังนี้
1. เศษส่วนแท้ คอื เศษสว่ นท่ีมีคา่ นอ้ ยกวา่ 1 หรือตวั เศษมีคา่ นอ้ ยกว่าตวั ส่วน เชน่ 1/4,3/5
2. เศษสว่ นเกิน คือ เศษสว่ นท่ีมคี า่ มากกว่า 1 หรือตวั เศษมคี า่ มากกวา่ ตัวส่วน เช่น 3/2,5/3
3. เศษส่วนจานวนคละ คือ เศษส่วนท่ีมีจานวนเต็มสว่ นหน่ึงกบั เศษสว่ นของจานวนเต็มอีกสว่ นหนึง่

ขอ้ สังเกต ของจานวนเศษส่วน
จานวนเตม็ ทุกจานวนสามารถเขยี นให้อยู่ในรปู เศษสว่ นได้ คือ ส่วนเปน็ 1 เสมอ แตไ่ ม่นยิ มเขยี น 1 กากบั ไว้
สามารถเปลีย่ นจานวนทีอ่ ยู่ในรูปเศษสว่ นให้เป็นทศนิยมได้โดยนาตัวส่วนไปเป็นตวั หารเศษ
กรณี 2/9 = 0.222... เม่ือหารไปเร่อื ยๆจะได้เลข 2 ซ้ากนั เพราะหารเหลือเศษเท่ากันทุกครง้ั ทศนิยมท่ีได้นี้
เรยี กว่า ทศนิยมซ้า เชน่ 1/15 = 0.0666... หรือ 0.06 อา่ นวา่ ศนู ยจ์ ุดศนู ย์หก หกซา้ , 5/6 =
0.8333... หรอื 0.83 อา่ นว่า ศูนย์จดุ แปดสาม สามซ้า , 3/4 = 0.75 หรอื 0.750 อ่านว่าศนู ย์จุดเจ็ดหา้ ศูนย์
ศนู ย์ซ้า เพราะเม่ือหารไปเรื่อยๆจะได้ศูนย์ซา้ แตจ่ ะไมน่ ยิ มเขียนศนู ยซ์ ้า ดังนั้นเศษส่วนทุกจานวนสามารถ
เปล่ยี นเป็นรปู ทศนยิ มซ้าได้

3. จำนวนทศนิยม (Decimal Numbers) เปน็ จานวนทีป่ ระกอบไปด้วย 2 ส่วน คือ ส่วนทเ่ี ปน็

จานวนเตม็ และส่วนที่เป็นทศนยิ ม และใช้สญั ลกั ษณจ์ ุด (.) ค่ันระหวา่ งส่วนท่เี ปน็ จานวนเต็มและสว่ นทเ่ี ป็น
ทศนยิ มหรือการเขยี นตัวเลขแสดงจานวนที่มคี ่าน้อยกว่า 1

จานวนทศนิยมทเ่ี ป็นจานวนตรรกยะสามารถแบง่ ไดเ้ ป็น 2 ประเภท คือ
(1) ทศนยิ มรูจ้ บ เป็นจานวนที่มตี ัวเลขหลังจดุ ทศนยิ มแน่นอนหรือมศี นู ย์ซ้า เชน่ 1.2, 3.55,
9.245 เปน็ ตน้
(2) ทศนิยมไมร่ ูจ้ บชนิดซา้ กัน เปน็ จานวนทีม่ ีเลขทศนิยมตัวหนง่ึ หรือมากกว่าซ้าๆกนั ไมม่ ีท่สี ิน้ สุด
โดยคาดเดาเลขทศนยิ มตัวตต่อไปได้วา่ จะเป็นเลขอะไร เชน่ 0.23, 1.54, 40.64 เปน็ ต้น
1.1.2 จำนวนอตรรกยะ

จานวนอตรรกยะ (Irrational Numbers) คือ จานวนทไ่ี มส่ ามารถเขียนในรปู เศษสว่ นของ
จานวนเต็มทตี่ ัวหารไม่เป็นศนู ย์ แต่เขยี นได้ในรปู ทศนิยมไม่ซา้ และสามารถกาหนดคา่ โดยประมาณได้

จานวนอตรรกยะสามารถแบ่งได้ เป็น 3 ประเภท คอื
1. จานวนทีอ่ ย่ใู นเคร่ืองหมายกรณฑ์ ( ) และไม่สามารถถอดค่าออกมาได้เป็นตวั เลขทแ่ี น่นอน

เชน่ = 1.73205080757....... เป็นต้น
2. จานวนทศนิยมไมร่ จู้ บและไม่ซ้ากนั ไดแ้ ก่ ทศนิยมทมี่ ีตวั เลขหลังจุดทศนยิ มมากมายโดยไมซ่ ้ากัน

และไม่สามารถคาดเดาตัวเลขตัวต่อไปได้เลยวา่ เปน็ เลขอะไร เชน่ 0.5836..., 1.2573..., 3.4925... เป็นต้น

3. คา่ ค่าของ = 3.และ e โดย เปน็ ค่าคงตัวทางคณติ ศาสตร์ทเ่ี กิดจากความยาวเส้นรอบวงหาร
ดว้ ยเส้นผา่ นศูนย์กลางของวงกลม 14159265359... และ e เป็นตวั เลขของออยเลอร์ (Euler
Number หรือ Eulerian Number) ค่าของ e = 2.71828182846...
สมบตั ขิ องจานวนจรงิ มีความสาคัญต่อการดาเนินการทางคณิตศาสตร์ของจานวนตา่ งๆในระบบจานวนจรงิ
การดาเนินการน้หี มายถึงการบวกและการคูณ ความรู้เก่ียวกับสมบัติของจานวนจรงิ มีความสาคญั เพราะเปน็
พนื้ ฐานในการศกึ ษาขัน้ สงู ต่อไปทงั้ ทางคณิตศาสตรแ์ ละวทิ ยาศาสตร์ กล่าวคือ จานวนจริงใดๆจะมีสมบตั กิ าร
เท่ากัน สมบัติการบวก และสมบัตกิ ารคูณของจานวนจริง ซง่ึ มรี ายละเอียดดังน้ี

1.2.1 สมบตั ิกำรเทำ่ กันของจำนวนจริง

กาหนด a,b,c เปน็ จานวนจริงใดๆ สมบัตกิ ารเทา่ กันของจานวนจริง มดี ังน้ี

1. สมบตั กิ ารสะท้อนคือ a = a หรือกลา่ วได้วา่ จานวนจริงใดๆยอ่ มเทา่ กบั จานวนจริงจานวนน้นั
เช่น 4 =4 , 6 = 6

2. สมบัติการสมมาตร คือ ถ้า a = b แลว้ b = a หรอื กลา่ วได้ว่าจานวนจรงิ ใดๆทีเ่ ทา่ กัน สามารถ
สลบั ตาแหนง่ กันได้ เชน่ a = 6 แล้ว 6 = a หรอื b= -2 และ -2 = b

3. สมบัติการถา่ ยทอด คือ ถา้ a = b และ b = c แล้วจะได้ a = c หรอื กลา่ วไดว้ ่าสาหรบั จานวนจริง
ถา้ จานวนทหี่ นึ่งเท่ากับจานวนทีส่ องและจานวนทสี่ องเท่ากับจานวนท่สี ามแลว้ จานวนท่หี นึง่ และจานวนท่ีสาม
จะเทา่ กันด้วย

4. สมบัติการบวกด้วยจานวนทเี่ ทา่ กัน คือ ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c หรือกลา่ วไดว้ ่าสาหรับ
จานวนจริงสองจานวนทเี่ ท่ากันเมือ่ บวกแต่ละจานวนดว้ ยจานวนท่เี ทา่ กนั แลว้ ผลลัพธ์ทไ่ี ดจ้ ะเท่ากันด้วย เช่น a
= b แล้ว a + 9 = b + 9 b = c แลว้ b + 1 = c + 1

5. สมบตั ิการคณู ดว้ ยจานวนทเ่ี ทา่ กนั คือ ถา้ a = b แลว้ a*c = b*c หรอื กลา่ วไดว้ า่ ถ้าจานวนจรงิ
สองจานวนทเี่ ท่ากนั เมื่อคูณแตล่ ะจานวนดว้ ยจานวนเดยี วกนั แล้ว ผลลพั ธ์ท่ีไดจ้ ะเท่ากนั ด้วย เชน่ a =
b แล้ว a 3 = b 3 b = c แลว้ b 4 = c 4
จากทกี่ ล่าวมา จะเหน็ วา่ สมบัตกิ ารเท่ากนั ของจานวนจรงิ จะมีสมบัติ 5 ขอ้ คือสมบตั ิการสะท้อน สมบัติการ
สมมาตร สมบัติการถ่ายทอด สมบตั กิ ารบวกดว้ ยจานวนทเ่ี ทา่ กัน และสมบตั กิ ารคูณด้วยจานวนทเ่ี ทา่ กัน เพื่อ
ความเขา้ ใจในเรอื่ งสมบัตกิ ารเท่ากนั ของจานวนจรงิ ขอใหศ้ ึกษาจากตวั อย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1.1 จงพจิ ารณาและบอกสมบัติการเท่ากนั ของจานวนจรงิ วา่ ตรงกับสมบัติในขอ้ ใด
1. ถา้ a = b แลว้ b = 5 แลว้ a = 5
2. ถ้า - 3 = 15 แลว้ = 18

3. ถา้ = 5 แล้ว = 40

4. a = 3 และ = a
วิธที า

1. ถ้า a = b แลว้ b = 5 แลว้ a = 5
สมบตั กิ ารถ่ายทอด
กลา่ วคือ ถ้า a = b และ b = c แลว้ จะได้ a = c เพราะถา้ จานวนหนึ่งเทา่ กับจานวนทีส่ อง
จานวนที่สองเท่ากบั จานวนท่ีสามแลว้ จานวนหนึ่งและจานวนทส่ี ามจะเท่ากนั ด้วย
2. ถ้า - 3 = 15 แลว้ = 18
สมบัติการบวกดว้ ยจานวนทเี่ ทา่ กัน
กลา่ วคอื ถ้า a = b แลว้ a + c = b + c โจทย์ขอ้ นี้ใช้ 3 บวกท้ังสองข้าง ดงั น้ี
ถา้ - 3 = 15
แลว้ - 3 + 3 = 15 + 3
ดังนั้น = 18

3. ถา้ = 15 แลว้ = 40

สมบัตกิ ารคณู ด้วยจานวนทเี่ ทา่ กัน

กล่าวคือ ถ้า a = b แลว้ a c = b c โจทย์ข้อน้ีใช้ 8 คูณท้ังสองข้าง ดงั นี้

ถ้า = 5

แลว้ 8 = 5 8
ดังนน้ั = 40
1.2.2 สมบตั ิกำรบวกในระบบจำนวนจริง

กาหนด a,b,c เปน็ จานวนจริงใดๆ สมบตั กิ ารบวกในระบบจานวนจรงิ มีดงั น้ี
1. สมบัติปดิ การบวก ถ้า a และ b เป็นจานวนจริงแลว้ จะได้ a+b เปน็ จานวนจริงดว้ ย
เชน่ 1 และ 5 เปน็ จานวนจรงิ 1 + 5 = 6 เปน็ จานวนจรงิ ดว้ ย
2. สมบตั ิการสลบั ที่ของการบวก ถ้า a และ b เป็นจานวนจริงแลว้ จะได้ a + b = b + a เชน่ 4 + 5
= 5 + 4 เพราะได้คาตอบเท่ากบั 9 เท่ากนั
3. สมบัติการเปล่ียนกลุ่มการบวก ถ้า a,b,c เปน็ จานวนจรงิ แล้ว จะได้ a + (b + c) = (a + b) + c
4. เอกลักษณ์การบวก เนื่องจากในระบบจานวนจรงิ มี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก ถา้ a เป็นจานวน
จรงิ แล้ว จะได้ a + 0 = 0 + a = a หรืออาจกล่าวไดว้ ่า 0 เมอ่ื นาไปบวกกบั จานวนจรงิ ใดๆ ผลลัพธ์ยอ่ มได้
จานวนน้ัน เชน่ 4 + 0 = 0 + 4 = 4
5. อนิ เวอรส์ การบวก คือ a + (-a) = (-a) + a = 0 นั่นคือในระบบจานวนจริง จานวน a จะมี -a เป็น
อนิ เวอรส์ การบวก หรืออาจกลา่ วไดว้ า่ ถา้ a เป็นจานวนจรงิ ใดๆ แลว้ จะมจี านวนจรงิ จานวนหนึ่งเขียนแทน
ดว้ ย -a ท่ีทาให้ a + (-a) = -a = a = 0 เรยี ก -a ว่าเปน็ อินเวอร์สการบวกของ a น่ันคือ ถ้าสองจานวนบวกกนั
ได้เท่ากบั 0 จะเรยี กว่าจานวนทง้ั สองวา่ เป็นอินเวอร์สการบวกซึ่งกันและกนั
1.2.3 สมบตั ิกำรคณู ในระบบจำนวนจรงิ

กาหนด a,b,c เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ สมบตั กิ ารคูณในระบบจานวนจริง มดี งั นี้
1. สมบตั ปิ ิดการคูณ คอื a*b หรือเขียนเปน็ ab ได้จานวนจริงด้วย กลา่ วคือ a และ b เปน็ จานวน
จรงิ แล้ว จะได้ a*b เป็นจานวนจรงิ ดว้ ย
2. สมบตั กิ ารสลบั ที่ของการคูณ คือ a*b = b*a หรือเขียนเป็น ab = ba กลา่ วคือ a และ b เป็น
จานวนจรงิ แล้ว จะได้ a*b = b*a
3. สมบตั ิการเปลี่ยนกลุ่มของการคณู คือ a* (b*c) = (a*b)*c a หรอื เขียนเป็น (bc) =
(ab)c กลา่ วคือ ถา้ a,b,c เป็นจานวนจริงแล้วจะได้ a* (b*c) = (a*b)*c a
4. เอกลักษณ์การคูณ คือ (1*a) = (a*1) = a ในระบบจานวนจรงิ กาหนดให้ 1 เป็นสญั ลักษณ์
สาหรับการคณู ถ้า a เป็นจานวนจรงิ แล้วจะได้ 1*a = a*1 = a หรอื กล่าวไดว้ ่า 1 เมอื่ นาไปคณู กับจานวนใดๆ
ผลลพั ธย์ ่อมได้จานวนนั้น
5. อินเวอรส์ การคูณ สาหรับจานวนจรงิ ใดๆที่ a ≠ 0 แตะ่ จานวนจะมจี านวนจรงิ จานวนหนง่ึ เขยี น
แทนดว้ ยว่าเปน็ อินเวอรส์ การคูณของ a หรอื กล่าวไดว้ ่าจานวนสองจานวนท่คี ณู กนั แลว้ ไดเ้ ทา่ กับ 1 จะเรียก
จานวนทง้ั สองวา่ เป็นอินเวอร์สการคณู ของกันและกัน
6. สมบัติการแจกแจง
จากท่กี ล่าวมา จะเห็นว่าสมบัติการคูณของจานวนจรงิ จะมีสมบัติ 6 ข้อคือ สมบตั ิปิดการคูณ สมบตั ิการสลบั ท่ี
ของการคูณ สมบัติการเปลีย่ นกลมุ่ ของการคณู เอกลกั ษณ์การคณู อนิ เวอร์สการคูณ สมบัติการแจกแจง
ดังกล่าวข้างต้นเพ่ือความเข้าใจในเรอ่ื งสมบตั ิกาารคูณของจานวนจริง ขอให้ศึกษาจากตัวอยา่ ง