JUDUL TUGAS UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS SEMESTER 2 “ BILANG RASIONAL DAN BILANGAN IRASIONAL” Oleh : Pirman Ardyansyah NIM : 12322057
KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Yang Maha Esa yang telah memberikan Rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan “Tugas Ujian Akhir Semester” mengenai Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional dengan baik dan lancar. Penulisan laporan ini bertujuan untuk melengkapi tugas Mata Perkuliahan Kalkulus untuk itu penulis ingin menyampaikan terima kasih dan bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak atas terselesaikan Tugas Ujian Akhir Semester ini, yaitu Kepada Ibu Novi Rahmawati,M.Pd, selaku dosen pengampu Mata Kuliah Kalkulus. Dalam proses penyusunan modul ini, penulis menyadari bahwa masih terdapat kekurangan dalam penyajiannya. Maka dari itu, harapan penulis bagi para pembaca yaitu untuk dapat mengembangkan lebih jauh materi pembelajaran Matematika mengenai Materi Bilangan. Semoga modul pembelajaran Matematika ini dapat memberikan manfaat bagi para pembaca dalam mengembangkan materi Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional. Tangan terbuka dari penulis untuk kritik dan saran dari para pembaca. Terima kasih Kuningan, 27 Mei 2023 Penulis
DAFTAR ISI Daftar Isi JUDUL.....................................................................................................................1 KATA PENGANTAR...............................................................................................2 DAFTAR ISI............................................................................................................3 PENDAHULUAN ...................................................................................................4 A. Latar Belakang.................................................................................................4 B. Tujuan Pembelajaran .......................................................................................4 Bilangan Rasional ....................................................................................................5 A. Pengertian Bilangan Rasional..........................................................................5 B. Contoh Bilangan Rasional ...............................................................................5 C. Sifat-Sifat Bilangan Rasional ..........................................................................6 Bilangan Irasional ....................................................................................................9 A. Pengertian Bilangan Irasional..........................................................................9 B. Contoh Bilangan Irasional ...............................................................................9 C. Sifat-sifat Bilangan Irasional ...........................................................................9 PENUTUP..............................................................................................................13 A. Kesimpulan....................................................................................................13 B. Saran ..............................................................................................................13 GLOSARIUM........................................................................................................14 TENTANG PENULIS............................................................................................15 DAFTAR PUSTAKA.............................................................................................16
PENDAHULUAN A. Latar Belakang Sistem bilangan adalah hal pokok dalam sebuah ilmu Matematika. Bisa juga dikatakan sebagai inti dari suatu ilmu matematika itu sendiri. Sistem bilangan ini terbagi menjadi banyak macamnya, adapun yang kami sajikan dalam modul ini adalah mengenai Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional. Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional merupakan 2 jenis bilangan yang merupakan bagian dari sistem bilangan real (R). B. Tujuan Pembelajaran 1. Memenuhi salah satu tugas terstruktur Mata Kuliah Kalkulus. 2. Mampu membedakan Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional. 3. Memahami Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional. 4. Mengetahui pengertian Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional. 5. Dapat menunjukan sifat-sifat Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional.
Bilangan Rasional A. Pengertian Bilangan Rasional Bilangan Rasional adalah sistem bilangan yang merupakan himpunan dari semua bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a,b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Secara fundamental bilangan rasional berasal dari bahasa inggris yaitu “rational” karena bilangan ini dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan (rasio). Ahli matematika memberikan simbol ℚ untuk bilangan rasional. Misalnya : Bilangan 1, 2 termasuk bilangan rasional, karena dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan berikut : 1,2 dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan 12/10, 6/5, ataupun bentuk pecahan lain memenuhi a/b dengan a, b (bilangan bulat) dan b =/ 0. Sehingga 1, 2 termasuk bilangan rasional. B. Contoh Bilangan Rasional Bilangan a/b Rasional 0 0/1 Ya 1, 2 6/5 Ya 4 4/1 Ya 0,45 45/100 Ya √3 (tidak ada) Tidak 30% 30/100 Ya
C. Sifat-Sifat Bilangan Rasional Bilangan Rasional dapat di definisikan untuk setiap merupakam bilangan rasional dalam bentuk pecahan, maka berlaku sidatsifat berikut : 1. Dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a,b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. 2. Tertutup, terhadap operasi penjumlahan dan perkalian Penjumlahan dan perkalian antar bilangan rasional juga menghasilkan bilangan rasional. menghasilkan bilangan rasional. menghasilkan bilangan rasional. 3. Komutatif, terhadap operasi penjumlahan dan perkalian Penjumlahan dan perkalian antar bilangan rasional mempunyai sifat komutatif, yang dapat dirumuskan sebagai berikut. 4. Asosiatif, terhadap operasi penjumlahan dan perkalian Penjumlahan dan perkalian antar bilangan rasional mempunyai sifat asosiatif, yang dapat dirumuskan sebagai berikut.
5. Distributif Bilangan rasional mempunyai sifat distributive, yang dapat dirumuskan sebagai berikut. 6. Punya elemen identitas penjumlahan dan perkalian • Bentuk 0/1 adalah elemen identitas penjumlahan bilangan rasional, karena setiap x bilangan rasional yang dijumlahkan dengan 0/1 hasilnya x bilangan rasional itu sendiri. • Bentuk 1/1 adalah elemen identitas perkalian bilangan rasional, karena setiap x bilangan rasional yang dikalikan dengan 1/1 hasilnya x bilangan rasional itu sendiri. 7. Setiap elemen punya invers terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
Setiap bilangan rasional mempunyai elemen invers terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Sehingga setiap bilangan rasional yang dioperasikan dengan invers menghasilkan elemen identitas. • Bentuk -a/b adalah invers penjumalahan untuk setiap bilangan a/b, sehingga berlaku persamaan berikut. • Bentuk a/b adalah invers perkalian untuk setiap bilangan rasional a/b ≠ 0, sehingga berlaku persamaan berikut. 8. Perkalian dengan Nol (0) Perkalian bilangan rasional dengan angka nol menghasilkan angka nol, sehingga berlaku persamaan berikut. 9. Mempunyai bentuk desimal berulang Bilangan Rasional mempunyai bentuk desimal berulang. A. Contoh: 1 = 1,0000000 ... 1 /3 = 0,333333 ... 12/11= 1,090909 ... 13/3 = 4,333333 ...
Bilangan Irasional A. Pengertian Bilangan Irasional Bilangan Irasional adalah sistem bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan bilangan bulat dan b ≠ 0, namun dapat dinyatakan dalam bentuk desimal. B. Contoh Bilangan Irasional Bilangan a/b Irasional √2 = 1,4142… Tidak ada Ya √3 = 1,7320…. Tidak Ada Ya √4 = 2 2/1 Tidak n = 3,14159…. Mendekati 22/7 Ya e = 2,71828…. Tidak ada Ya 0,25 1/4 Tidak C. Sifat-sifat Bilangan Irasional Secara umum bilangan irasional mempunyai sifat sebagai berikut: 1. Tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a,b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0 2. Memenuhi sifat komutatif penjumlahan dan perkalian Misalnya a dan b adalah bilangan irasional, maka sifat komutatif untuk operasi penjumlahan dan perkalian. Sifat komutatif penjumlahan: a + b = b + a Sifat Komutatif Perkalian: a × b = b × a 3. Memenuhi sifat asosiatif penjumlahan dan perkalian Misalnya a,b, dan c adalah bilangan irasional, maka berlaku sifat asosiatif untuk operasi penjumalahan dan perkalian.
Sifat asosiatif penjumlahan: (a + b) + c = a + (b + c) Sifat asosiatif perkalian: (a × b) × c = a × (b × c) 4. Memenuhi sifat distributive terhadap penjumlahan dan pengurangan Misalnya a,b, dan c adalah bilangan irasional, maka berlaku sifat distributif. Sifat distributif terhadap penjumlahan: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) Sifat distributif terhadap pengurangan: a × (b – c) = (a × b) – (a × c) 5. Punya elemen identitas Elemen identitas pada bilangan irasional sama dengan elemen identitas pada bilangan real, yaitu 0 untuk operasi penjumalahan dan 1 untuk operasi perkalian. Contoh : suatu bilangan irasional √2 memenuhi Identitas penjumlahan √2 + 0 = √2 Identitas perkalian √2 × 1 = √2 6. Setiap elemen punya invers Invers bilangan irasional suatu bilangan dapat dihitung berdasarkan konsep pecahan, perlu dicatat bentuk pecahan a/b bilangan irasional “tidak memenuhi” a dan b = bulat. Perlu diketahui suatu bilanagan yang dioperasikan dengan suatu operasi dengan inversnya menghasilkan elemen identitas operasi yang digunakan. Contoh : Π adalah bilangan irasional yang dapat ditulis sebagai Π /1.
Maka invers perkalian dari Π adalah 1 /Π Maka invers penjumlahan dari Π adalah -Π √3 adalah bilangan irasional yang dapat ditulis sebagai √3/1. Maka invers perkalian dari √3 adalah 1 /√3 Maka invers penjumlahan dari √3 adalah -√3 7. Operasi perkalian dengan Nol menghasilkan Nol Setiap bilangan irasional yang dikalikan dengan nol akan menghasilkan angka nol. 8. Tidak mempunyai bentuk desimal berulang Bilangan irasional tidak membentuk pola berulang Contoh √2 = 1,4142135623730950488016887242096980785696718753769480 731766797379907324784621070388503875343276415727350138 46230912297024924836055850737212644121497099935831... Hingga digit ke-2 juta, pola berulang dari √2 belum juga ditemukan. Perhitungan dilakukan oleh Robert Nemiroff (George Mason University and NASA Goddard Space Flight Center) dan diperiksa oleh Jerry Bonnell (University Space Research Association and NASA Goddard Space Flight Center). 9. Mempunyai bentuk akar tidak sempurna dengan hasil desimal tidak berulang Bentuk akar tidak sempurna adalah bentuk akar yang menghasilkan nilai tidak bulat. Contoh : √2 = 1.4142135... √3 = 1.7320508... √5 = 2.236067...
10. Mempunyai sifat tidak tertutup Sifat tidak tertutup pada bilangan irasional disebabkan karena operasi penjumlahan dan perkalian antar bilangan irasional dapat menghasilkan bilangan rasional. Contoh : √2 × √2 = √4 = 2; hasil rasional √2 × √3 = √6; hasil tetap irasional
PENUTUP A. Kesimpulan Bilangan Rasional adalah sistem bilangan yang merupakan himpunan dari semua bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a,b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Secara fundamental bilangan rasional berasal dari bahasa inggris yaitu “rational” karena bilangan ini dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan (rasio). Ahli matematika memberikan simbol ℚ untuk bilangan rasional. Bilangan Irasional adalah sistem bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan bilangan bulat dan b ≠ 0, namun dapat dinyatakan dalam bentuk desimal. Sifat dari jenis bilangan rasional dan irasional adalah komutatif, asosiatif, distributif, identitas penjumlahan dan perkalian, dan lain-lain. B. Saran Kami sebagai penulis menyadari dalam penulisan modul ini jauh dari kata sempurna. Oleh karna itu, kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari para pembaca. Semoga modul ini dapat memberi manfaat kepada kami dan pembaca pada umumnya.
GLOSARIUM Bilangan rasional merupakan bilangan yang bisa diubah menjadi pecahan, dan ketika diubah menjadi pecahan desimal maka angkanya akan berhenti di suatu bilangan tertentu atau membentuk pengulangan. Dalam bilangan real, bilangan irasional merupakan suatu bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b.
TENTANG PENULIS Pirman Ardyansyah, lahir di Kuningan, pada 2 Juli 2001. Menyelesaikan Pendidikan dasar di SDN 1 Patalagan pada tahun 2014, dan melanjutkan pendidikan di MTSs Manbaul’Ulum Silebu tahun 2017, melanjutkan Pendidikan di SMAN 1 Mandirancan tahun 2020 dan sekarang tengah menempuh studi S1 Sistem Informasi yang saat ini menempuh semester 2 di UPBJJ Universitas Terbuka Bandung, dan menempuh S1 Pendidikan Teknik Informatika dan Komputer yang saat ini semester 2 Institut Pendidikan dan Bahasa Cirebon. Pengalaman yang sudah penulis dapatkan yaitu menjadi Anggota Organisasi HIMATIK ( Himpunan Mahasiswa Pendidikan Teknik Informatika dan Komputer ) di Institut Pendidikan dan Bahasa Cirebon. Penulis Menyusun modul ini atas dasar menyelesaikan tugas mata kuliah Kalkulus yang di ampu oleh Ibu Novi Rahmwati. Penulis berharap modul ini dapat memberikan manfaat kepada pembaca semnuanya. Sekian Terima Kasih.
DAFTAR PUSTAKA https://www.advernesia.com/blog/matematika/bilangan-rasional-dan-irasional/