Bahan ajar Komposisi Fungsi

BAHAN AJAR MATEMATIKA KOMPOSISI FUNGSI KELAS/FASE Kurikulum Merdeka XI/F Oleh : Septia Nurul Hapsari, S.Pd.

Capaian Pembelajaran Di akhir fase F, peserta didik dapat menyatakan data dalam bentuk matriks. Mereka dapat menentukan fungsi invers, komposisi fungsi, dan transformasi fungsi untuk memodelkan situasi dunia nyata menggunakan fungsi yang sesuai (linear, kuadrat, eksponensial). Melalui kegiatan diskusi dan tanya jawab dengan model pembelajaran PBL dan pendekatan TaRL, diharapkan peserta didik dapat: Menentukan komposisi fungsi yang terdiri atas dua atau lebih fungsi (C3) 1. Menghitung nilai dari komposisi fungsi yang terdiri atas dua atau lebih fungsi (C3) 2. Memecahkan fungsi yang belum diketahui dari suatu fungsi komposisi (C4) 3. Menyelesaikan masalah kontektual yang berkaitan dengan konsep komposisi fungsi (C4) 4. Menyimpulkan konsep komposisi fungsi dengan bahasa sendiri (C5) 5. Merancang dan menyelesaikan masalah menggunakan konsep komposisi fungsi (C6) 6. Tujuan Pembelajaran Petunjuk Bacalah bagian pendahuluan untuk memahami tujuan pembelajaran dan cakupan materi yang akan dipelajari. 1. Pelajari materi pokok dengan cermat. Bacalah setiap bagian dengan teliti dan apabila terdapat materi yang kurang jelas segera tanyakan kepada guru. 2. Kerjakan soal-soal evaluasi untuk mengukur pemahaman Anda terhadap seluruh materi yang telah dipelajari. 3.

Pengertian Komposisi Fungsi BAHAN AJAR KOMPOSISI FUNGSI Komposisi fungsi merupakan gabungan dari beberapa fungsi sehingga menghasilkan suatu fungsi baru. Amatilah gambar berikut. Diketahui fungsi f: A → B, dengan f(x) = y dan fungsi g: B → C dengan f(y) = z. Proses terbentuknya fungsi h sebagai hasil fungsi yang dikomposisikan terhadap fungsi g dapat diamati pada gambar di atas. Fungsi f: A → B dengan f: x → y atau y = f(x). Fungsi f: B → C dengan f: y → z atau z = f(y) = g(f(x)). Fungsi f: A → C dengan f: x → z atau z = f(x). Dengan demikian, diperoleh h(x) = g(f(x)). Operasi untuk komposisi fungsi menggunakan simbol “◦” yang dibaca bundaran. Dalam hal ini, h(x) = g(f(x)) dapat dituliskan sebagai h(x) = (g ◦ f)(x). Simbol g ◦ f (dibaca g bundaran f) menyatakan fungsi f yang dikomposisikan terhadap fungsi g dan dirumuskan (g ◦ f)(x) = g(f(x)). Sebaliknya, fungsi g yang dikomposisikan terhadap fungsi f disimbolkan f ◦ g (dibaca f bundaran g) dan dirumuskan sebagai (f◦g)(x) = f(g(x)).

Agar fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan harus memenuhi syarat-syarat berikut. Irisan daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakan himpunan kosong, 1. Daerah asal fungsi komposisi (f◦g)(x) ditentukan oleh ..... 2. 3.Daerah hasil fungsi komposisi (f◦g)(x) ditentukan oleh Contoh: Diketahui f(x) = 4x - 3, g(x) = x + 2, dan h(x) = - 6. Tentukan: a. (f◦g)(x) b. (g◦h)(x) c. (h◦g)(x) Jawab: a. (f◦g)(x) = f(g(x)) c. (h◦g)(x) = h(g(x)) = f(x + 2) = h(x + 2) = 4(x + 2) - 3 = (x + 2) - 6 = 4x + 8 - 3 = + 4x + 4 - 6 = 4x + 5 = + 4x - 2 Jadi, (f◦g)(x) = 4x + 5 Jadi, (h◦g)(x) = + 4x - 2 b. (g◦h)(x) = g (h(x)) = g( - 6) = - 6 + 2 = - 4 Jadi, (g◦h)(x) = - 4 Syarat Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan Sifat-sifat Komposisi Fungsi Untuk sebarang fungsi f(x), g(x), dan h(x) berlaku sifat-sifat berikut. Tidak komutatif, yaitu (f◦g)(x) ≠ (g◦f)(x). Contoh:

Diketahui f(x) = 3x + 5 dan g(x) = 2x - 1. (f◦g)(x) = f(g(x)) (g◦f)(x) = g(f(x)) = f(2x -1) = g(3x + 5) = 3(2x - 1) + 5 = 2(3x + 5) - 1 = 6x + 2 = 6x + 9 Terlihat bahwa (f◦g)(x) ≠ (g◦f)(x). Asosiatif, yaitu (f◦(g◦h))(x) = ((f◦g)◦h)(x) = (f◦g◦h) (x). Contoh: Diketahui f(x) = 2x, g(x) = x - 1, dan h(x) = 2x + 3. (f◦g)(x) = f(g(x)) = f(x - 1) = 2(x - 1) = 2x + 2 (g◦h)(x) = g(h(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3) - 1 = 2x + 2 Dengan demikian, (f◦(g◦h))(x) = f((g◦h)(x)) = f(2x + 2) = 2(2x + 2) = 4x + 4 (f◦g◦h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(2x + 3)) = f((2x + 3) - 1) = f(2x + 2) = 2(2x + 2) = 4x + 4 ((f◦g)◦h)(x) = (f◦g)(h(x)) = (f◦g)(2x + 3) = 2(2x + 3) - 2 = 4x + 6 - 2 = 4x + 4 Terlihat bahwa (f◦(g◦h))(x) = ((f◦g)◦h)(x) = (f◦g◦h) (x). Terdapat fungsi identitas i(x) = x sehingga (i ◦ f)(x) = (f◦i)(x) = f(x)

Nilai Fungsi Komposisi Nilai fungsi komposisi (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f)(x) untuk x = a ditentukan dengan: (f◦g)(a) = f(g(a)) (g◦f)(a) = g(f(a)) Contoh: Diketahui fungsi f(x) = 7x - 2 dan g(x) = x - 5. Tentukan: 1.(f◦g)(-1) 2.(g◦f)(4) Jawab 1.(f◦g)(x) = f(g(x)) (g◦f)(x) = g(f(x)) = f(x - 5) = g(7x - 2) = 7(x - 5) - 2 = (7x - 2) - 5 = 7x - 35 - 2 = 7x - 2 - 5 = 7x - 37 = 7x - 7 (f◦g)(-1) = 7(-1) - 37 (g◦f)(4) = 7(4) - 7 = -7 - 37 = 28 - 7 = -44 = 21 Contoh Diketahui f(x) = x + 4 dan i(x) = x. (i◦f)(x) = i(f(x)) = i(x + 4) = x + 4 (f◦i)(x) = f(i(x)) = f(x) = x + 4 Berarti, (i◦f)(x) = (f◦i)(x) = f(x). Menentukan Komponen Pembentuk Fungsi Komposisi apabila Diketahui aturan Komposisi dan Komponen Lainnya Jika fungsi f(x) dan g(x) diketahui, fungsi komposisi (f◦g)(x) atau (g◦f)(x) dan salah satu fungsi f(x) atau g(x) diketahui, abgaimanakah cara mencari salah satu fungsi yang lain?

Amatilah contoh berikut untuk mengetahui jawabannya! Contoh: Diektahui fungsi f dan g dalam R dengan g(x) = 3x - 4 dan (g◦f)(x) = 3x - 13. Tentukan f(x)! 1. Jawab (g◦f)(x) = 3x - 13 g(f(x) = 3x - 13 3f(x) - 4 = 3x - 13 3f(x) = 3x - 9 f(x) = x - 3 Jadi, f(x) = x - 3 Jika f dan g dalam R, g(x) = x + 2, dan (f◦g)(x) = + 4x + 7, tentukan f(x)! Jawab: (f◦g)(x) = + 4x + 7 f(x + 2) = + 4x + 7 Misalnya, y = x + 2 x = y - 2 Dengan demikian, f(y) = (y - 2) + 4(y - 2) + 7 = y - 4y + 4 + 4y - 8 + 7 = y + 3 Jadi, f(x) = x + 3

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar! Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = . Jika nilai (f◦g) (a) = 5, tentukan nilai a! 1. Diketahui f(x) = 2x + 1 dan (g◦f)(x) = 4x + 5. Tentukan g(x - 1)! 2. Jika g(x) = 2x + 4 dan (g◦f)(x) = 2 + 4x + 6. Tentukan (f◦g)(1)! 3. Diketahui f(x) = 2x - 1 dan (g◦f)(x) = , tentukan rumus fungsi g(x) dan nilai (f ◦g)(1)! 4. Diketahui fungsi f(x) = 3x - 2, g(x) = x + 3, dan h(x) = - 2x + 1. Tentukan (g◦f◦h)(x)! 5. LATIHAN SOAL