SMA NEGERI 1 NALUMSARI PENERAPAN EKSPONEN MATEMATIKA KELAS X (FASE E) Disusun Oleh: Ulyatul Umamah, S.Pd. NIP. 198511072009022010
E.Aplikasi Fungsi Eksponensial 1. Pertumbuhan a. Bunga Majemuk Fungsi eksponensial berkaitan dengan penerapan bunga majemuk. Perhatikan ilustrasi berikut. Andi menabung di bank Artha sebesar Rp2.000.000,00 dengan bunga majemuk 5% per tahun. Selama 3 tahun, Andi tidak melakukan transaksi apapun. Maka perhitungan saldo tabungan Andi setelah 3 tahun adalah sebagai berikut (biaya administrasi diabaikan). Besar tabungan Andi pada akhir tahun pertama adalah: 2000000 + (5%. 2000000) = 2000000(1 + 5%) = 2000000(1 + 0,05) = 2000000(1,05) Besar tabungan Andi pada akhir tahun kedua adalah: 2000000(1,05) + (5%. 2000000(1,05)) = 2000000(1,05)(1 + 5%) = 2000000(1,05)(1 + 0,05) = 2000000(1,05)(1,05) = 2000000(1,05) 2 Besar tabungan Andi pada akhir tahun ketiga adalah: 2000000(1,05) 2 + (5%. 2000000(1,05) 2) = 2000000(1,05) 2(1 + 5%) = 2000000(1,05) 2 (1 + 0,05) = 2000000(1,05) 2 (1,05) = 2000000(1,05) 3 Berdasarkan perhitungan tersebut diperoleh besar tabungan Andi pada akhir tahun ketiga adalah 2000000(1,05) 3 atau sebesar Rp2.315.250,00. Secara umum jika modal satuan pada awal tahun dan besar persentase bunga majemuk % per tahun maka: setelah 1 tahun modal menjadi 1 = (1 + 100) setelah 2 tahun modal menjadi 2 = (1 + 100) 2 setelah 3 tahun modal menjadi 3 = (1 + 100) 3 setelah tahun modal menjadi = (1 + 100)
Dengan demikian, jika persentase bunga majemuk 100 dimisalkan dengan maka besar modal setelah tahun dapat dinyatakan dengan rumus: = (1 + ) dengan: adalah modal akhir adalah modal awal adalah persentase bunga majemuk adalah satuan waktu b. Pertumbuhan Populasi Pertumbuhan populasi pada dasarnya sama dengan pertambahan modal, secara umum dapat kita nyatakan sebagai berikut. Misalkan jumlah populasi mula – mula dan terjadi pertumbuhan sebesar (dalam %) dalam setiap satuan jangka waktu tertentu maka jumlah populasi setelah waktu dapat dirumuskan sebagai: = (1 + ) Jika pertumbuhan populasi terjadi secara terus – menerus (kontinu) maka jumlah populasi pada saat tahun dinyatakan sebagai: = dengan: jumlah populasi setelah waktu tingkat pertumbuhan populasi ≈ 2,718. Contoh: Jumlah penduduk kota A pada tahun 2010 mencapai 2 juta jiwa. Jika jumlah penduduk tersebut meningkat dengan laju pertumbuhan tetap 2,5% per tahun maka tentukan jumlah penduduk kota A pada tahun 2015! Penyelesaian: Diketahui: = 2000000 = 2. 106 = 2,5% = 0,025 = 5 tahun Jumlah penduduk kota A pada tahun 2015 adalah: 5 = (0,025)5 = (2. 106). 2,7180,125 = 2264386,026 ≈ 2.264.386 Jadi, jumlah penduduk kota A pada tahun 2015 adalah 2.264.386 jiwa.
2. Peluruhan Untuk masalah peluruhan, erat kaitannya dengan peluruhan zat radioaktif yang berkurang secara kontinu menurut waktu paruhnya (1 2 ) yaitu waktu yang diperlukan oleh zat radioaktif untuk berkurang menjadi setengahnya. Jika massa awal dan massa setelah satuan waktu maka massa pada saat satuan waktu dinyatakan sebagai: = ( 1 2 ) 1 2 Contoh: Massa awal suatu zat radioaktif 36 gram. Berapakah massa yang tertinggal setelah 100 tahun jika waktu paruh zat radioaktif tersebut 25 tahun? Penyelesaian: Diketahui: = 36 gram = 100 tahun 1 2 = 25 tahun Maka: = ( 1 2 ) 1 2 = 36 ( 1 2 ) 100 25 = 36 ( 1 2 ) 4 = 36. 1 16 = 2,25 Jadi, setelah 100 tahun massa zat radioaktif tersebut tinggal 2,25 gram. Tugas 4 Selesaikan permasalahan berikut dengan tepat! 1. Modal sebesar Rp20.000.000,00 ditabung di suatu bank dengan bunga majemuk 12% per tahun. Tentukan jumlah modal setelah 4 tahun! 2. Suatu spesies binatang mula – mula berjumlah 120 ekor yang dikembangbiakkan tanpa ada predator. Jumlah binatang () hidup setelah tahun dinyatakan sebagai model fungsi eksponensial () = 120. 1,10 . Tentukan jumlah binatang setelah 5 tahun! 3. Massa awal suatu zat radioaktif 64 gram, waktu paruh zat radioaktif tersebut 30 tahun. Tentukan massa yang tertinggal setelah 150 tahun!