เอกสารประกอบการสอนพื้นที่ผิวและปริมาตรเล่มที่ 1พีระมิด

1 . 1 . ลั ก ษ ณ ะ ข อ ง พี ร ะ มิ ด

ปจั จบุ นั นักเรยี นอาจพบสงิ่ ก่อสรา้ งมสี ว่ นประกอบของพีระมิด เช่น หลังคาบา้ นและอาคาร
ตา่ ง ๆ

พรี ะมิในประเทศอียิปต์ เป็นหนึ่งในพีระมิดทีเ่ ปน็ ทีร่ จู้ ักโดยมหี ลายแหง่ ในประเทศอียิปตเ์ ปน็
สิง่ ก่อสรา้ งของชาวอียปี ต์โบราณสมยั ยคุ เหล็ก โดยเฉพาะ พีระมิดคูฟู ในหมพู่ รี ะมิดแหง่ กิซ่า
นบั เป็นพรี ะมดิ ในประเทศอียิปตท์ ี่มคี วามใหญ่โตและเก่าแก่ที่สดุ ในหมู่พีระมดิ ท้ังสามแหง่ กีซา มหา
พรี ะมิดนี้ได้รับการยกยอ่ งใหเ้ ป็นหนึง่ ในเจด็ สิ่งมหศจรรยข์ องโลก และเปน็ หนงึ่ เดียว ในเจด็
สิง่ มหศจรรยย์ คุ โบราณทยี่ ังคงอยู่มาจนถงึ ปจั จบุ นั

ในทางคณติ ศาสตร์ รปู เรขาคณิตสามมิตทิ ี่มีฐานเปน็ รูปเหลีย่ มใด ๆ มยี อดแหลมที่อยู่ใน
ระนาบเดียวกบั ฐาน และหน้าทกุ หนา้ เปน็ รปู สามเหลยี่ มที่มจี ดุ ยอดรวมกนั ทีย่ อดแหลมนน้ั เรียกวา่
พรี ะมิด (Pyramid)

ภาพตอ่ ไปนแี้ สดงส่วนประกอบตา่ ง ๆ ของพีระมดิ ตรงและพรี ะมิดเอียง

เราเรียกพรี ะมิดตา่ ง ๆ ตามลกั ษณะของฐานของพีระมิด

สรปุ ส่วนประกอบของพีระมิด
1.ความสงู ของพีระมิดจะวดั จากจดุ ยอดของพรี ะมิดในแนวต้ังมายังฐาน โดยสว่ นสงู จะตงั้

ฉากกับพืน้ ราบที่เปน็ ฐาน

หนา้ | 2

2.พีระมิดตรงจะมีผิวข้างเป็นรปู สามเหลีย่ มหน้าจั่วทุกรูป
3.พีระมดิ ตรงที่มฐี านเปน็ รปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ จะมีผิวข้างเป็นรูปสามเหลย่ี มหนา้ จ่ัวทีเ่ ทา่ กันทุกรปู
4.สว่ นสูงของพีระมิดตรง คือเส้นที่ลากจากจุดยอดไปต้ังฉากกบั จุดกึง่ กลางฐาน
5.สูงเอียง คือเส้นที่ลากจากจุดยอดของพีระมิดไปตั้งฉากกับของของฐาน
6.สนั คือ เส้นที่ลากจากจดุ ยอดของพีระมิดไปยงั จดุ มุมของฐาน

แ บ บ ฝี ก ทั ก ษ ะ ที่ 1 . 1 ลั ก ษ ณ ะ ข อ ง พี ร ะ มิ ด

1.ให้นักเรียนพิจารณาพีระมิดต่อไปนีแ้ ล้วเติมคำตอบลงในชอ่ งวา่ ง (ข้อย่อยละ 1 คะแนน)

1.

หนา้ | 3

2.
3.
4.

หนา้ | 4

2. ให้นกั เรียนเติมข้อความในชอ่ งวา่ งใหส้ มบูรณ์ (ขอ้ ยอ่ ยละ 1 คะแนน)

หนา้ | 5

3.ให้นักเรียนบอกชือ่ พรี ะมิดที่กำหนดให้แล้วเติมลงในชอ่ งวา่ งใหถ้ กู ต้อง (ขอ้ ละ 1 คะแนน)

หนา้ | 6

หนา้ | 7

1 . 2 . รู ป ค ล่ี ข อ ง พี ร ะ มิ ด

ถ้านำรปู พีระมิดฐานสเี่ หลยี่ มมาแยกส่วนประกอบ จะพบวา่ ดา้ นขา้ งของพีระมดิ ทกุ รปู เปน็ รปู
เรขาคณติ สองมติ ิรปู สามเหลี่ยมเหมือนกัน 4 รูป และรปู สีเ่ หลี่ยมจำนวน 1 รปู เปน็ ฐาน ดงั น้ี

ตวั อยา่ งที่ 1 จงวาดรปู คลขี่ องพีระมิด

หนา้ | 8

ตัวอยา่ งที่ 2 จากรูปคลตี่ อ่ ไปนเี้ ปน็ รปู คล่ขี องพีระมดิ ชนิดใด
1.

พรี ะมิดฐานสามเหลี่ยมดา้ นเทา่
2.

พรี ะมิดฐานสามเหลีย่ มมมุ ฉาก
3.

พรี ะมิดฐานแปดเหลี่ยม

หนา้ | 9

แ บ บ ฝี ก ทั ก ษ ะ ท่ี 1 . 2 รู ป ค ล่ี ข อ ง พี ร ะ มิ ด

1.จากรูปคลี่ทีก่ ำหนดให้ในแต่ละขอ้ เป็นรูปคลี่ของพีระมิดชนิดใด (ข้อละ 1 คะแนน)

หนา้ | 10

2.ให้นกั เรียนวาดรปู คลี่ของพรี ะมิดทีก่ ำหนดให้ (ข้อละ 2 คะแนน)
1

หนา้ | 11

2.
3.

หนา้ | 12

1 . 3 . พื้ น ท่ี ผิ ว ข อ ง พี ร ะ มิ ด

กจิ กรรมที่ 1 จากพรี ะมิดกระดาษฐานสเี่ หลยี่ มจัตุรสั ใช้กรรไกรตดั สนั แล้วคลีอ่ อก
ดังรปู

1.เมอื่ ตดั พรี ะมิดออกแล้วได้กี่ชนิ้

2.มีสามเหลีย่ มกี่ชนิ้ เทา่ กันไม่

3.หาพนื้ ที่ของสามเหลี่ยมได้วา่ อยา่ งไร

4.เรียกสามเหลี่ยมเหลา่ นีเ้ ป็นอะไรของพีระมดิ

5.สเี่ หลี่ยมมกี ี่รูป หาพืน้ ทีไ่ ด้อยา่ งไร

6.สเี่ หลีย่ มเป็นอะไรของพรี ะมิด

7. ดังนนั้ พ้ืนที่ผวิ ของพีระมดิ = +

หนา้ | 13

พรี ะมิดรูปสีเ่ หลีย่ มจตั ุรสั ซึง่ มีฐานยาวดา้ นละ 18 เซนติเมตร
พรี ะมิดมีสูงเอียง 15 เซนติเมตร จงหาพืน้ ทีผ่ ิวของพรี ะมิด

กจิ กรรมที่ 2

1. พรี ะมิดรูปสเี่ หลี่ยมจตั ุรสั +
2. พ้ืนทีผ่ วิ ของพีระมิด =
=
พ้ืนทีผ่ วิ ข้าง

=

พ้ืนที่ฐานรปู สเี่ หลี่ยมจัตรุ สั =

=

ดังนั้น พ้ืนที่ผวิ ของพีระมดิ = +

=

กจิ กรรมที่ 3 พรี ะมิดฐานห้าเหลีย่ มด้านเทา่ มุมเท่ามีฐานยาวด้านละ 6 เซนติเมตร
สูงเอียง 4 เซนติเมตร พรี ะมิดนี้มีพืน้ ทีเ่ ท่าไร

1. พรี ะมิดรูป +
2. พ้ืนที่ผวิ ของพีระมิด =
=
พ้ืนที่ผวิ ข้าง

=

พ้ืนทีฐ่ านรปู =

=

ดังนั้น พ้ืนทีผ่ วิ ของพีระมดิ = +

=

หนา้ | 14

กจิ กรรมที่ 4 พรี ะมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจตั รุ ัสยาวดา้ นละ 10 เซนติเมตร
สูง 12 เซนติเมตร พรี ะมิดนีม้ ีพืน้ ทีเ่ ทา่ ไร

1. พรี ะมิดรูป

2. พ้ืนที่ผวิ ของพีระมิด = +

พ้ืนทีผ่ วิ ข้าง หาพ้ืนทีผ่ ิวขา้ งไมไ่ ด้เพราะ เพราะขาดสงู เอียง หาสูงเอียงได้โดย

ใช้ทฤษฎบี ทปีทาโกรสั c2 = a2 + b2
แทนค่าได้ดังนี้

จะได้ สงู เอียงเท่ากบั =
พ้ืนทีผ่ วิ ข้าง

=

พ้ืนที่ฐานรปู =

=

ดังนั้น พ้ืนที่ผวิ ของพีระมดิ = +

=

หนา้ | 15

แ บ บ ฝี ก ทั ก ษ ะ ท่ี 1 . 3 พ้ื น ท่ี ผิ ว ข อ ง พี ร ะ มิ ด

จงหาพืน้ ที่ผิวของพีระมิดตอ่ ไปนี้

1.พรี ะมิดฐานสี่เหลีย่ มจัตรุ สั ฐานยาวด้านละ 18 เซนติเมตร สูงเอียงยาว 41 เซนติเมตร จงหา

พ้ืนทีผ่ วิ

วธิ ที ำ พ้ืนที่ผวิ ของพีระมดิ = +

พ้ืนที่ผวิ ข้าง =

=

พ้ืนทีฐ่ านสีเ่ หลีย่ มจัตรุ สั =

=

ดงั น้ัน พ้ืนที่ผวิ ของพีระมดิ = +

=

2.พรี ะมิดฐานสเี่ หลี่ยมสามเหลี่ยมดา้ นเทา่ ยาวด้านละ 12 เซนติเมตร สูงเอียงยาว 10 เซนติเมตร

จงหาพืน้ ทีผ่ ิว

วธิ ที ำ พ้ืนที่ผวิ ของพีระมดิ = +

พ้ืนทีผ่ วิ ข้าง =

=

พ้ืนที่ฐานสามเหลี่ยมดา้ นเทา่ =

=

ดังน้ัน พ้ืนทีผ่ วิ ของพีระมดิ = +

=

หนา้ | 16

3.พรี ะมดิ ฐานหา้ เหลี่ยมยาวด้านละ 24 นิว้ สงู 5 นิว้ จงหาพืน้ ที่ผิว

วธิ ที ำ พ้ืนทีผ่ วิ ของพีระมดิ = +

พ้ืนที่ผวิ ข้าง หาพ้ืนที่ผิวขา้ งไม่ได้เพราะ เพราะขาดสงู เอียง หาสูงเอียงได้โดย

ใช้ทฤษฎบี ทปีทาโกรสั c2 = a2 + b2
แทนค่าได้ดงั นี้

จะได้ สงู เอียงเทา่ กบั =
พ้ืนทีผ่ วิ ข้าง

=

พ้ืนทีฐ่ านรปู =

=

ดงั น้ัน พ้ืนที่ผวิ ของพีระมดิ = +

=

4.พรี ะมิดฐานสี่เหลี่ยมผนื ผา้ กว้าง 9 นิว้ ยาว 12 นิว้ สูง 15 นิว้ พ้ืนที่ผวิ ของพรี ะมิดเปน็
เทา่ ไร

หนา้ | 17

5.จงหาปริมาตรของพีระมดิ ตรง ฐานหกเหลี่ยมดา้ นเท่า ซง่ึ มดี า้ นยาวด้านละ 6 น้ิว และพรี ะมิด
นีส้ ูง 6 นิว้ มีพืน้ ทีผ่ ิวเทา่ ไร

6.จงหาพ้ืนทีผ่ ิวของพีระมดิ ตรง ฐานสีเ่ หลีย่ มจตั ุรสั ซึ่งมีฐานยาวด้านละ 15 เซนติเมตร และ
พรี ะมิดนี้สงู 8 เซนติเมตร

หนา้ | 18

1 . 3 . ป ริ ม า ต ร ข อ ง พี ร ะ มิ ด

กจิ กรรมที่ 5 ให้นกั เรียนทำกิจกรรมดงั นี้
ปริซึมและพีระมิดฐานเท่ากัน ความสูงเท่ากัน ตวง

ทรายใส่พีระมิดจนเต็ม แล้วเทใสปริซึมจนเต็ม ให้นักเรียนตอบ
คำถามดงั นี้

1.ตวงทรายกี่ครงั้ ถึงจะเตม็ ปริซึม ของปริซึม
แสดงวา่ ปริมาตรของพีระมิดเปน็
แสดงวา่ ปริมาตรของพีระมิดเท่ากบั
จะได้ ปริมาตรของพีระมิด =

กจิ กรรมที่ 6 จงหาปรมิ าตร ของพีระมิดตรง ฐานสเี่ หลี่ยมจัตุรสั ยาวด้านละ
12 เซนติเมตรและพรี ะมิดสูง 25 เซนตเิ มตร
1.ปริมาตรของพีระมิด
2.พืน้ ที่ฐาน =
=
3.ปริมาตรของพีระมิด =
=
=

หนา้ | 19

กิจกรรมที่ 7 พรี ะมิดฐานรูปสเี่ หลี่ยมผืนผา้ กว้าง 9 น้ิว ยาว 12 นวิ้
สูง 15 นิว้ ปริมาตร พรี ะมิดเปน็ เท่าไร
1.ปริมาตรของพีระมิด
2.พืน้ ทีฐ่ าน =
=
3.ปริมาตรของพีระมิด =
=
=
=

กจิ กรรมที่ 8 จงหาปรมิ าตรของพีระมดิ ตรง ฐานสี่เหลีย่ มจัตุรัส
ซง่ึ ยาวด้านละ 16 เซนตเิ มตร สงู เอียงยาว 10 เซนติเมตร

1.ปริมาตรของพีระมิด =

2.พืน้ ทีฐ่ าน =

=

3.ปริมาตรของพีระมิด

โจทยไ์ ดบ้ อกความสูงของพรี ะมิดมาให้ บอกแตส่ ูงเอียง หาความสงู ได้ดงั นี้

ใช้ทฤษฎบี ทปีทาโกรสั c2 = a2 + b2
แทนค่าได้ดังนี้

จะได้ สูงเอียงเทา่ กับ
ปริมาตรของพีระมิด =
=
=

หนา้ | 20

แ บ บ ฝี ก ทั ก ษ ะ ท่ี 1 . 4 ป ริ ม า ต ร ข อ ง พี ร ะ มิ ด

1. จงหาปริมาตรของพีระมิดตรง ฐานหกเหลีย่ มดา้ นเทา่ ซ่งึ มดี า้ นยาวด้านละ 6 นิว้ และ

พรี ะมิดนี้สงู 6 นิว้

วิธีทำ ปริมาตรของพีระมิด =

พ้ืนทีฐ่ าน =

=

ปริมาตรของพีระมิด =

=

2. จงหาปริมาตรของพรี ะมิดตรง ฐานสีเ่ หลีย่ มจตั ุรสั ซึง่ มีฐานยาวดา้ นละ 15 เซนติเมตร และ

พรี ะมิดนี้สงู 8 เซนติเมตร

วิธีทำ ปริมาตรของพีระมิด =

พ้ืนทีฐ่ าน =

=

ปริมาตรของพีระมิด =

=

3.จงหาปริมาตรของพีระมดิ ตรงฐานสเี่ หลี่ยมจตั รุ สั พรี ะมิดนี้สูง 12 เซนตเิ มตร

และสูงเอียง 13 เซนตเิ มตร

4. พีระมิดฐานสเี่ หลี่ยมจตั ุรสั ยาวดา้ นละ 8 เซนตเิ มตร สงู 3 เซนติเมตร จะมีปรมิ าตรเทา่ ไร

หนา้ | 21

5.พรี ะมดิ ซง่ึ มพี ้ืนที่ฐาน 24 ตารางเมตร สูง 6 เมตร จะมีปรมิ าตรเท่าไร

6.พรี ะมดิ ฐานสี่เหลีย่ มผนื ผา้ มีด้านกวา้ ง 6 เซนตเิ มตร ด้านยาว 24 เซนติเมตร
สงู 13 เซนติเมตร มีปรมิ าตรเท่าไร

7.จงหาปริมาตรของพีระมดิ ตรงฐานสเี่ หลีย่ มจตั ุรัส ซง่ึ ยาวด้านละ 16 เซนตเิ มตร
สูงเอียง 10 เซนติเมตร

หนา้ | 22

8. จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสเี่ หลีย่ มจตั ุรสั ซง่ึ ยาวด้านละ 12 เซนติเมตร
สงู เอียง 13 เซนติเมตร

9.จงหาปริมาตรของพีระมดิ ฐานสเี่ หลีย่ มจตั รุ สั ยาวดา้ นละ 24 เซนติเมตร สงู 9 เซนติเมตร

10.จงหาปรมิ าตรของพีระมิดตรงฐานสเี่ หลี่ยมจตั รุ สั ซง่ึ วัดโดยรอบฐานยาว 88 เมตร
และพรี ะมิดนสี้ งู 15 เมตร

หนา้ | 23