logaritma

K-13 Kelas X

matematika PEMINATAN

SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1. Memahami definisi logaritma.
2. Dapat menentukan nilai logaritma dengan menggunakan tabel logaritma.
3. Memahami sifat-sifat logaritma.
4. Dapat mengaplikasikan sifat-sifat logaritma dalam penyelesaian masalah.

A. Definisi Logaritma

Logaritma merupakan kebalikan dari perpangkatan. Secara umum, logaritma didefinisikan
sebagai berikut.

Misalkan a, b, c ∈ R, a > 0, a ≠ 1, dan c > 0, berlaku alog c = b jika dan hanya jika ab = c.
ab = c ↔ alog c = b

a disebut basis (0 < a < 1 atau a > 1)
c disebut numerus (c > 0)
b disebut hasil logaritma

Contoh Soal 1

Ubahlah bentuk eksponen berikut ke dalam bentuk logaritma!

a. 32 = 9

b. 25 = 32

c. 5−1 = 1
5

d.  1 3 = 1
 2  8

e. 50 = 1

Pembahasan:

Berdasarkan definisi logaritma, ab = c ↔ alog c = b, diperoleh:

a. 32 = 9 ↔ 3log 9 = 2

b. 25 = 32 ↔ 2log 32 = 5

c. 5−1 = 1 ↔ 5log 1 = −1
5 5

d.  1 3 = 1 ↔ 1 1 = 3
 2  8 8
2 log

e. 50 = 1 ↔ 5log 1 = 0



Catatan penting:

Hasil logaritma adalah pangkat dari basis



Contoh Soal 2

Tentukan nilai logaritma berikut!

a. 2log 8

b. 3log 81

c. 4 log 1
16

d. 6log 1

e. 1 log 9
3

2

Pembahasan:

a. Misal 2log 8 = x.

Berdasarkan definisi logaritma, ab = c ↔ alog c = b, diperoleh:

2log 8 = x ↔ 2x = 8

2x = 23

x=3

Jadi, 2log 8 = 3.

b. Misal 3log 81 = x.

Berdasarkan definisi logaritma, ab = c ↔ alog c = b, diperoleh:

3log 81 = x ↔ 3x = 81

3x = 34

x = 4

Jadi, 3log 81 = 4.

c. Misal 4 log 1 = y.
16

Berdasarkan definisi logaritma, ab = c ↔ alog c = b, diperoleh:

4 log 1 = y ↔ 4y = 1
16 16

4y = 4–2

1 y = –2
16
Jadi, 4 log = –2.

d. Misal 6log 1 = p.

Berdasarkan definisi logaritma, ab = c ↔ alog c = b, diperoleh:

6log 1 = p ↔ 6p = 1

6p = 60

p=0

Jadi, 6log 1 = 0.

1

e. Misal 3 log 9 = x.

Berdasarkan definisi logaritma, ab = c ↔ alog c = b, diperoleh:

1 = x ↔  1 x = 9
 3 
3 log 9

3− x = 32
−x = 2
1 x = −2
Jadi, 3 log 9 = –2.

3

Catatan penting:
1. Basis 10 biasanya tidak dituliskan. Jadi, 10log x = log x.
2. Menentukan nilai logaritma tidak selalu kembali kepada definisi logaritma.

Contoh Soal 3

Tentukan nilai logaritma berikut!

a. log 100

b. log 1
10

c. 2 log 1 + 5log 125
4


Pembahasan:

a. log 100 = 10log 100

= 10log 102 pangkat basis

=2

Jadi, log 100 = 2.

1 1 pangkat basis
2
b. log = 10 log10−

10 1
2
= −

Jadi, log 1 = − 1 .
10 2

c. 2 log 1 + 5log 3
4
125 = 2log2-2 + 5log 52

= −2 + 3
= 2
1
− 2

Jadi, 2 log 1 + 5log 125 = − 1
4 2

4

B. Tabel Logaritma

Logaritma dapat digunakan untuk memudahkan operasi perkalian. Perhatikan contoh
berikut.

10.000 × 10.000.000 = 100.000.000.000
104 × 107 = 1011

Hasil perkalian tersebut diperoleh dengan menjumlahkan banyak angka nol pada
masing-masing bilangan. Dari sinilah muncul sebuah ide bagaimana cara mengubah
bentuk perkalian menjadi penjumlahan, karena operasi penjumlahan lebih mudah
diselesaikan. Berdasarkan ide tersebut, John Napier berhasil menyusun tabel logaritma
dengan basis 10. Tabel ini dapat digunakan untuk memudahkan proses perkalian.

Gambar 1. Contoh Tabel Logaritma
Misalkan kita ingin menentukan hasil perkalian 1,35 × 2,17 dengan tabel logaritma. Mula-
mula, tentukan nilai-nilai pada tabel logaritma yang berkorespondensi dengan nilai tersebut.

Gambar 2. Contoh Tabel Logaritma

5

Berdasarkan tabel logaritma pada Gambar 2, 1,35 berkorespondensi dengan 0,1303
dan 2,17 berkorespondensi dengan 0,3365. Dengan demikian, diperoleh:
1,35 × 2,17 ≡ 0,1303 + 0,3365
≡ 0,4668
Selanjutnya, tentukan nilai pada tabel logaritma yang berkorespondensi dengan nilai
tersebut. Berdasarkan tabel logaritma pada Gambar 3 berikut ini, 0,4668 berkorespondensi
dengan 2,93.

Gambar 3. Contoh Tabel Logaritma
Jadi, nilai 1,35 × 2,17 ≈ 2,93.

Contoh Soal 4

Tentukan nilai logaritma berikut!
a. log 2
b. log 3
c. log 11
Pembahasan:
Berdasarkan tabel logaritma, diperoleh:
a. log 2 = 0,3010

6

b. log 3 = 0,4771
c. log 11 = 1,0414

C. Sifat-Sifat Logaritma

Sifat 1: alog xy = alog x + alog y

Pembuktian:

Misal alog x = m → am = x atau x = am

alog y = n → an = y atau y = an
alog xy = alog am .an
= alog am .an
= alog am+n pangkat basis

=m+n
= alog x + alog y (terbukti )

Contoh Soal 5

Misal 2log 3 = m, 2log 5 = n, dan 2log 7 = p. Tentukan nilai:
a. 2log 15
b. 2log 21
c. 2log 105

Pembahasan:

Berdasarkan sifat 1, alog xy = alog x + alog y, diperoleh:

a. 2log 15 = 2log (3 × 5)

= 2log 3 + 2log 5

=m+n

Jadi, 2log 15 = m + n.

b. 2log 21 = 2log (3 × 7)

= 2log 3 + 2log 7

=m+p

Jadi, 2log 21 = m + p.

c. 2log 105 = 2log (3 × 5 × 7)

= 2log 3 + 2log 5 + 2log 7

= m + n + p

Jadi, 2log 105 = m + n + p.

7

Contoh Soal 6

Sederhanakan bentuk berikut!

3 log a2bc 3 + 3 log p2qr 5
pq5r 4 ab2c 4

Pembahasan:
Berdasarkan sifat 1, alog xy = alog x + alog y, diperoleh:

3 log a2bc 3 + 3 log p2qr 5 = 3log a2bc 3 . p2 qr 5
pq5r 4 ab2c 4 pq5r 4 .ab2 c 4

= 3log a.p.r
q4 .b.c

Jadi, 3 log a2bc 3 + 3 log p2qr 5 = 3 log a.p.r
pq5r 4 ab2c 4 q4 .b.c

Sifat 2: a log x = a log x − a log y
y


Pembuktian:
Misal alog x = m ↔ x = am
alog y = n ↔ y = an

a log x = a log am
y an

= alog am−n pangkat basis

=m−n

= alog x − alog y (terbukti )

Contoh Soal 7

Nilai log 2 = 0,3010. Tanpa menggunakan tabel logaritma, hitunglah nilai log 5!

Pembahasan: x
y
Berdasarkan sifat 2, a log = alog x − alog y , diperoleh:

8

log 5 = log 10
2

= log10 − log2

= 1− 0,3010

= 0, 6990

Jadi, nilai log 5 = 0,6990.

Contoh Soal 8

Tentukan nilai berikut!
3log 12 + 3log 63 – 3log 4 – 3log 7

Pembahasan:
Berdasarkan sifat 1 dan 2, diperoleh:

3log12 + 3log 63 − 3log 4 − 3 log 7 = 3 log 12 × 63
4 × 7

= 3log 27

= 3log 33 pangkat basis

=3

Jadi, 3log 12 + 3log 63 – 3log 4 – 3log 7 = 3.

Sifat 3. alog xm = malog x

Pembuktian:
Misal alog x = y → x = ay

( )alog x m = alog ay m pangkat basis

= alog amy
= my
= m alog x (terbukti )

Contoh Soal 9

Jika 2log 3 = m dan 2log 3 5 = n , nilai dari 2 log 5 1 = ....
15

9

Pembahasan:

Berdasarkan sifat 3, alog xm = malog x, diperoleh:

• 2log 3 = m

1

⇔ 2log 32 = m

⇔ 1 2log 3 = m
2

⇔ 2log 3 = 2m

• 2log 3 5 = n

1

⇔ 2log 53 = n

⇔ 1 2log 5 = n
3

⇔ 2log 5 = 3n

Dengan demikian, diperoleh:

2 log 1 = 2 log15− 1
5

5 15

= − 1 2 log (5 × 3 )
5

( )= 1
− 5 2log 5 + 2log 3

= − 1 (3n + 2m)
5

Jadi, 2 log 5 1 = − 1 (3n + 2m) .
15 5

Contoh Soal 10

Sederhanakan bentuk berikut!

5log x + 4log y − 1 log z
2

Pembahasan:

Berdasarkan sifat-sifat logaritma, diperoleh:

5log x + 4log y − 1 log z = log x5 + log y4 − log 1
2
z2

= log x5 y 4
z

10

Jadi, 5log x + 4log y − 1 log z = log x5y4 .
2 z

Sifat 4. alog x = plog x
plog a

Pembuktian:

Misal alog x = y → x = ay

ay = x

plog ay = plog x

⇔ y plog a = plog x

⇔ y = plog x
plog a

⇔ alog x = plog x ( terbukti)
p loga

Contoh Soal 11

Jika 2log 3 = m, 3log 5 = n, tentukan nilai dari 6log 15!

Pembahasan:
Berdasarkan sifat-sifat logaritma, diperoleh:

6log15 = 3log15
3log 6

= 3log(5 × 3)
3log(3 × 2)

= 3log 5 + 3log 3
3log 3 + 3log 2

= n+1

1+ 1
m

= mn +m
m +1
mn + m
Jadi, 6log15 = m +1 .

11

Catatan penting: alog b = blog b = 1
blog a blog a

Contoh Soal 12

Perhatikan bentuk logaritma berikut.

1+ 3log 2 = alog b
2− 3log 4

Nilai dari a dan b berturut-turut adalah ....

Pembahasan:
Berdasarkan sifat-sifat logaritma, diperoleh:

1+ 3log 2 = alog b
2− 3log 4
3log 3 + 3log 2
⇔ 3log 9 − 3log 4 = alog b

⇔ 3log 6 = alog b

3 log 9
4
9
⇔ 4 log 6 = alog b

Jadi, nilai a = 9 dan b = 6.
4

Contoh Soal 13

Nilai dari 4log 3 . 3log 5. 25log 16 = ....

Pembahasan:
Berdasarkan sifat-sifat logaritma, diperoleh:

4log 3. 3log 5. 25log16 = log 3 . log 5 . log16
log 4 log 3 log 25

= log 5 . log 42
log 52 log 4

= log 5 . 2 . log 4
2 . log5 log 4

=1

Jadi, 4log 3 . 3log 5. 25log 16 = 1.

12

Sifat turunan dari sifat 4: alog b . blog c = alog c

Contoh Soal 14

Jika 2log 5 = m, nilai dari 2 log25 = ....
Pembahasan:

Berdasarkan sifat-sifat logaritma, diperoleh:

2 log 25 = 2log 25
2log 2

= 2log 52

1
2log 22

= 2. 2log 5
1

2

= 4m

Jadi, 2 log25 = 4m .

Sifat turunan dari sifat 4: an log bm = m alog b
n

Sifat 5. aalog b = b

Pembuktian:
Misal aalog b = x

alog a alogb = alog x
⇔ alog b. alog a = alog x
⇔ alog b = alog x
⇔b= x
⇔ x=b

⇔ a alogb = b (terbukti)

13

Contoh Soal 15

Tentukan nilai dari 2 4log9 !

Pembahasan:
Berdasarkan sifat-sifat logaritma, diperoleh:

2 = 24 log9 22 log 32

= 22 2 log 3
2

= 2 2log3
=3

Jadi, 2 4log9 = 3.

14