MODUL SPLTV

K-13 Kelas X

matematika WAJIB

SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1. Memahami definisi sistem persamaan linear tiga variabel.
2. Memahami solusi sistem persamaan linear tiga variabel.
3. Menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan teknik eliminasi

atau substitusi.
4. Memahami aplikasi sistem persamaan linear tiga variabel.

A. Definisi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang terdiri atas tiga
persamaan linear dengan tiga variabel. Bentuk umum sistem persamaan linear tiga
variabel adalah sebagai berikut.

ax + by + cz = p
dx + ey + fz = q
gx + hy + iz = r
dengan x, y, dan z adalah variabel-variabel SPLTV, a, b, c, d, e, f, g, h, dan i adalah koefisien-
koefisien, serta p, q, dan r adalah konstanta-konstanta.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh SPLTV berikut.

4x − 3y + 2z = 1
1. 3x − y + z = 20

x + 4 y − z = 10
x, y, dan z adalah variabel - variabel SPLTV.

2t + 3s − 2u = 4
2. −t + 2u = 5
4s − 5u = 1

t, s,dan u adalah variabel - variabel SPLTV.

B. Solusi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Pada bidang Cartesius xyz, persamaan linear ax + by + cz = p berbentuk bidang datar.
Solusi SPLTV adalah suatu titik pada bidang xyz yang dilewati oleh ketiga persamaan
linear tiga variabel. Perhatikan gambar bidang-bidang berikut.

Tepat satu solusi

Tak hingga solusi

Tidak ada solusi

Dari gambar tersebut, terlihat bahwa hubungan tiga bidang datar hanya memiliki tiga
kemungkinan, yaitu:
1. semuanya berpotongan di satu titik (satu solusi);
2. semuanya berpotongan di sepanjang garis (tak hingga solusi); dan
3. semuanya tidak berpotongan di satu titik atau di sepanjang garis (tidak ada solusi).

Satu solusi berarti hanya ada satu titik yang dilewati oleh ketiga bidang tersebut atau
hanya ada satu titik (x, y, z) yang memenuhi SPLTV. Tak hingga solusi berarti banyak titik
yang dilewati oleh ketiga bidang tersebut secara bersamaan atau tak hingga titik yang
memenuhi SPLTV. Sementara itu, yang dimaksud tidak ada solusi adalah tidak ada satu
pun titik yang dilewati oleh ketiga bidang tersebut secara bersamaan atau tidak ada satu

2

pun titik yang memenuhi SPLTV. Solusi SPLTV dapat ditentukan dengan menggunakan
teknik eliminasi atau substitusi. Sebelum belajar cara menentukan solusi SPLTV, mari kita
ingat kembali teknik eliminasi atau substitusi berikut ini.
Review Teknik Eliminasi SPLDV

1. Tentukan solusi dari sistem persamaan berikut.

4x + y = 5 ...(1)

2x + y = 3 ... (2)

Pembahasan:
Oleh karena koefisien y sama, maka kedua persamaan dikurangkan.

4x + y =5
2x + y = 3

2x= 2
⇔ x=1

Substitusi nilai x = 1 ke persamaan (2) sehingga diperoleh:
2(1) + y = 3
⇔y=1
Jadi, solusi sistem persamaan tersebut adalah (1, 1).

2. Tentukan solusi dari sistem persamaan berikut.
3x – y = 2 ... (1)
x + y = 2 ... (2)

Pembahasan:
Oleh karena koefisien y sama besar, tapi berlawanan tanda, maka kedua persamaan
dijumlahkan.

3x − y = 2
x+y=2

4x = 4
⇔ x =1

Substitusi nilai x = 1 ke persamaan (2) sehingga diperoleh:
(1) + y = 2
⇔y=1
Jadi, solusi sistem persamaan tersebut adalah (1, 1).

3

Review Teknik Substitusi SPLDV
3. Tentukan solusi dari sistem persamaan berikut.

y = 2x + 1 ... (1)
x + y = 4 ...(2)

Pembahasan:
Substitusi nilai y pada persamaan (1) ke persamaan (2) sehingga diperoleh:
x + (2x + 1) = 4
⇔ 3x + 1 = 4
⇔ 3x = 3
⇔x=1

Substitusi balik nilai x = 1 ke persamaan (1) sehingga diperoleh:
y = 2(1) + 1
⇔y=3
Jadi, solusi sistem persamaan tersebut adalah (1, 3).

C. Menentukan Solusi Spltv: Teknik Eliminasi

Teknik eliminasi adalah salah satu teknik yang digunakan untuk menentukan solusi SPLTV.
Teknik ini dinamakan eliminasi karena dilakukan dengan mengeliminasi salah satu variabel
dari tiga persamaan. Akibatnya, diperoleh dua persamaan linear dengan dua variabel. Dua
persamaan linear dengan dua variabel ini kemudian diselesaikan dengan teknik eliminasi
SPLDV. Untuk lebih jelasnya, perhatikan langkah-langkah berikut.

1) Nyatakan SPLTV dalam bentuk umumnya, kemudian ubah koefisien dan konstanta
dalam bentuk bilangan bulat.

2) Pilih salah satu variabel yang akan dieliminasi dari ketiga persamaan linear.

3) Eliminasikan variabel pada dua pasang persamaan linear yang dipilih secara acak
dari ketiga persamaan linear yang ada.

4) Eliminasikan variabel pada dua persamaan linear yang baru dengan teknik eliminasi
SPLDV hingga didapatkan nilai dua variabel.

5) Substitusikan nilai dua variabel pada salah satu persamaan linear yang diketahui
untuk menentukan nilai variabel yang lain.

4

Contoh Soal 1

Tentukan solusi sistem persamaan linear berikut.
2x + 3y – z = 9 ... (1)
3x – 4y + z = –1 ... (2)
x + 2y + 2z = 8 ... (3)

Pembahasan:
Pilihlah variabel z untuk dieliminasi.
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:

2x +3y − z = 9 dijumlahkankarenakoefisien z sama besar, tapiberlawanantanda
3x − 4 y + z = −1

5x − y = 8 ...(4)

Dari persamaan (2) dan (3), diperoleh:

3x − 4 y + z = −1×2 agar koefisien z sama
x + 2y + 2z = 8 ×1

6x − 8y + 2z = −2 dikurangikarenakoefisien z sama
x + 2y + 2z = 8

5x − 10y = −10 ...(5)

Mencari nilai y:
Eliminasi variabel x pada persamaan (4) dan (5):

5x − y = 8 langsung dikurangikarenakoefisien x sama
5x − 10y = −10

9y = 18
⇔ y=2

Mencari nilai x:
Substitusi nilai y = 2 ke persamaan (4) sehingga diperoleh:
5x – (2) = 8
⇔ 5x = 10
⇔x=2

5

Mencari nilai z:
Substitusi nilai x = 2 dan y = 2 ke persamaan (1), sehingga diperoleh:
2x + 3y – z = 9
⇔ 2(2) + 3(2) – z = 9
⇔ 10 – z = 9
⇔z=1
Jadi, solusi sistem persamaan linear tersebut adalah (2, 2, 1).

Contoh Soal 2

Tentukan solusi sistem persamaan linear berikut.

1 x − 1 y − 1 z = −2 ... (1)
2 2 3

2x + y − 2z = 5 ...(2)

1 x − 1 y + 1 z = 13 ... ( 3)
5 3 2 30

Pembahasan:
Ubah bentuk pecahan ke dalam bentuk bilangan bulat.
Persamaan (1):

1 x − 1 y − 1 z = −2
2 2 3
×6

3x − 3y − 2z = −12

Persamaan (3):

1 x − 1 y + 1 z = 13
5 3 2 30 ×30

6x − 10y +15z = 13

Dengan demikian, sistem persamaannya menjadi:
3x – 3y – 2z = –12 ...(1)
2x + y – 2z = 5 ...(2)
6x – 10y + 15z = 13 ...(3)
Oleh karena sudah ada koefisien yang sama yaitu variabel z pada persamaan (1) dan (2),
maka dipilih variabel z untuk dieliminasi.

6

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:

3x − 3y − 2z = −12
2x + y − 2z = 5

x − 4 y = −17 ...(4)

Dari persamaan (1) dan (3), diperoleh:

3x − 3y − 2z = −12 ×15 KPK 2 dan15 adalah30
6x − 10y +15z = 13 ×2

45x − 45y − 30 = −180
12x − 20y + 30z = 26

57x − 65y = −154 ...(5)

Mencari nilai y:
Eliminasi variabel x pada persamaan (4) dan (5):

x − 4 y = −17 ×57
57x − 65y = −154 ×1

57x − 228y = −969
57x − 65y = −154
− 163y = −815
⇔ y=5

Mencari nilai x:
Substitusi nilai y = 5 ke persamaan (4), sehingga diperoleh:
x – 4y = –17
⇔ x – 4(5) = –17
⇔ x – 20 = –17
⇔x=3

Mencari nilai z:
Substitusi nilai x = 3 dan y = 5 ke persamaan (2), sehingga diperoleh:
2x + y – 2z = 5
⇔ 2(3) + (5) – 2z = 5
⇔ 11 – 2z = 5
⇔ 2z = 6
⇔z=3

Jadi, solusi sistem persamaan linear tersebut adalah (3, 5, 3).

7

Selain bentuk tersebut, ada bentuk persamaan nonlinear yang penyelesaiannya dapat
diselesaikan dengan pendekatan sistem persamaan linear. Perhatikan contoh berikut.

Contoh Soal 3

Jika solusi sistem persamaan linear berikut ini adalah xo, yo, dan zo, maka nilai dari
1 1 1
xo + yo + zo adalah ....

2 + 3 - 1 = 17
x y z

3 - 2 + 3 = −5
x y z

1 + 5 + 4 = 18
x y z

Pembahasan:

Bentuk 2 dapat dinyatakan dengan 2 ⋅ 1 . Jika 1 dimisalkan dengan p, maka 2 dapat
x x x x
dinyatakan dengan 2p. Misal:

1 = p, 1 = q, dan 1 = r
x y z

Dengan demikian, sistem persamaan pada soal dapat dinyatakan sebagai berikut.
2p + 3q – r = 17 ...(1)
3p – 2q + 3r = –5 ...(2)
p + 5q + 4r = 18 ...(3)

Untuk memudahkan proses eliminasi, kita akan bentuk persamaan baru yang didapat dari
pengurangan persamaan (1) dan (2).

2p + 3q − r = 17
3p − 2q + 3r = −5
−p + 5q − 4r = 22

8

Mencari nilai yo:
Eliminasi persamaan baru tersebut dengan persamaan (3).

−p + 5q − 4r = 22
p + 5q + 4r = 18

10q = 40

⇔q=4

SOulebhstkitaurseinbaaqlik=n4i,lami qak=a4y1koe=pe4r→samyao a=n 1 .
4
(1), sehingga diperoleh:

2p + 3q – r = 17

⇔ 2p + 3(4) – r = 17

⇔ 2p – r = 5 ...(4)

Substitusi balik nilai q = 4 ke persamaan (3), sehingga diperoleh:
p + 5q + 4r = 18
⇔ p + 5(4) + 4r = 18
⇔ p + 4r = –2 ...(5)

Mencari nilai zo:
Eliminasi variabel p pada persamaan (4) dan (5):

p + 4r = −2 ×2
2p − r = 5 ×1

2p + 8r = −4
2p − r = 5

9r = −9

⇔ r = −1

Oleh karena r = –1, maka 1 = −1→ zo = −1.
zo

Mencari nilai xo:
Substitusi nilai r = –1 ke persamaan (4), sehingga diperoleh:

2p – r = 5

⇔ 2p – (–1) = 5

⇔ 2p = 4

⇔p=2 1 1
xo 2
Oleh karena p = 2, maka = 2 → xo = .

9

Dengan demikian, diperoleh:

1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1
xo yo zo 1 1 −1

24

= 2+4 −1

=5

Jadi, nilai dari adalah 5.

D. Menentukan Solusi Spltv: Teknik Substitusi

Teknik lain yang dapat digunakan untuk menentukan solusi SPLTV adalah teknik
substitusi. Langkah-langkah menentukan solusi SPLTV dengan teknik substitusi adalah
sebagai berikut.

1. Nyatakan satu variabel dalam bentuk dua variabel lainnya pada salah satu persamaan.

2. Substitusikan variabel pada langkah 1 ke dua persamaan yang tersisa hingga
diperoleh SPLDV.

3. Gunakan penyelesaian SPLDV baik dengan teknik eliminasi atau substitusi untuk
menentukan nilai-nilai variabelnya.

Contoh Soal 4

Tentukan solusi sistem persamaan linear berikut.

3x + 2y – 4z = –15 ...(1)

x = 4y – z – 5 ...(2)

5x + 4y + 6z = 1 ...(3)

Pembahasan:

Persamaan (2) sudah menyatakan x dalam y dan z. Oleh karena itu, persamaan ini
digunakan sebagai pensubstitusi.

Susbtitusi persamaan (2) ke persamaan (1), sehingga diperoleh:
3(4y – z – 5) + 2y – 4z = 15
⇔ 12y – 3z – 15 + 2y – 4z = –15
⇔ 14y – 7z = 0
⇔ z = 2y ...(4)

10

Susbtitusi persamaan (2) ke persamaan (3), sehingga diperoleh:
5(4y – z – 5) + 4y + 6z = 1
⇔ 20y – 5z – 25 + 4y + 6z = 1
⇔ 24y + z = 26 ...(5)

Mencari nilai y:
Substitusi persamaan (4) ke persamaan (5), sehingga diperoleh:
24y + (2y) = 26
⇔ 26y = 26
⇔y=1

Mencari nilai z:
Substitusi balik nilai y = 1 ke persamaan (4), sehingga diperoleh:
z = 2(1) = 2

Mencari nilai x:
Substitusi balik nilai y = 1 dan z = 2 ke persamaan (2), sehingga diperoleh:
x = 4y – z – 5
⇔ x = 4(1) – 2 – 5
⇔ x = –3
Jadi, solusi sistem persamaan linear tersebut adalah (–3, 1, 2).

Contoh Soal 5

Tentukan solusi sistem persamaan linear berikut.
3x – 4y + 3z + 1 = 0 ...(1)
5x + 2y + 14 = 0 ...(2)
8y + 5z + 21 = 0 ...(3)
Pembahasan:
Koefisien y pada SPLTV di atas saling berkelipatan sehingga masih mudah diselesaikan
dengan substitusi dan terhindar dari bentuk pecahan.
Nyatakan satu variabel dalam bentuk dua variabel lainnya pada salah satu persamaan,
misalnya persamaan (2).
2y = –5x – 14 ...(4)

11

Substitusi persamaan (4) ke persamaan (1), sehingga diperoleh:
3x – 4y + 3z + 1 = 0
⇔ 3x – 2(–5x – 14) + 3z + 1 = 0
⇔ 3x + 10x + 28 + 3z + 1 = 0
⇔ 13x + 3z = –29 ...(5)
Substitusi persamaan (4) ke persamaan (3), sehingga diperoleh:
8y + 5z + 21 = 0
⇔ 4(2y) + 5z + 21 = 0
⇔ 4(–5x – 14) + 5z + 21 = 0
⇔ –20x – 56 + 5z + 21 = 0
⇔ –20x + 5z – 35 = 0
⇔ –4x + z – 7 = 0
⇔ z = 4x + 7 ...(6)

Mencari nilai x:
Substitusi persamaan (6) ke persamaan (5), sehingga diperoleh:
13x + 3z = –29
⇔ 13x + 3(4x + 7) = –29
⇔ 13x + 12x + 21 = –29
⇔ 25x = –50
⇔ x = –2

Mencari nilai z:
Substitusi nilai x = –2 ke persamaan (6), sehingga diperoleh:
z = 4x + 7
⇔ z = 4 (–2) + 7
⇔ z = –1

12

Mencari nilai y:
Substitusi nilai x = –2 ke persamaan (4), sehingga diperoleh:
2y = –5x – 14
⇔ 2y = –5(–2) – 14
⇔ 2y = –4
⇔ y = –2
Jadi, solusi sistem persamaan linear tersebut adalah (–2, –2, –1).

E. Aplikasi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel banyak dimanfaatkan dalam pemecahan
masalah, baik masalah matematika atau masalah dalam kehidupan sehari-hari.
Perhatikan contoh berikut.

Contoh Soal 6

Pada suatu segitiga, diketahui sudut pertama lima derajat lebih kecil dari tiga kali sudut
kedua. Sementara itu, sudut ketiga sepuluh derajat lebih besar dari sudut kedua. Sudut-
sudut segitiga tersebut adalah ....
Pembahasan:
Misalkansegitiga tersebut adalah segitiga ABC dengan sudut A, B, dan C dalam derajat.
Dari kalimat “sudut pertama lima derajat lebih kecil dari tiga kali sudut kedua”, diperoleh:
A = 3B – 5° ... (1)

Dari kalimat “sudut ketiga sepuluh derajat lebih besar dari sudut kedua”, diperoleh:
C = B + 10° ... (2)

Persamaan ketiga didapatkan dari sifat jumlah sudut segitiga, yaitu:
A + B + C = 180° ... (3)

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan (3), sehingga diperoleh:
A + B + C = 180°
⇔ 3B – 5° + B + B + 10° = 180°
⇔ 5B + 5° = 180°
⇔ 5B = 175°
⇔ B = 35°

13

Substitusi nilai B = 35° ke persamaan (2), sehingga diperoleh:
C = B + 10°
⇔ C = 35° + 10° = 45°
Substitusi nilai B = 35° ke persamaan (1), sehingga diperoleh:
A = 3B – 5°
⇔ A = 3(35°) – 5°
⇔ A = 105° – 5°
⇔ A = 100°
Jadi, sudut-sudut segitiga tersebut adalah 100°, 35°, dan 45°.

14