LKPD

LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Waktu:
15 menit

INDUKSI MATEMATIKA

Satuan Pendidikan : SMA/ MA Nama Anggota Kelompok:
1. …………………………….
Mata Pelajaran : Matematika 2. …………………………….
3. …………………………….
Kelas/Semester : XI/ I 4. …………………………….
5. …………………………….
Materi Pokok : InduksiMatematika

Tujuan: Siswa dapat menerapkan prinsip induksi matematika untuk menyelidiki
kebenaran formula suatu bilangan.

Petunjuk: Diskusikan dengan kelompokmu. Kemudian tulis jawaban pada tempat
yang sudah disediakan.

Amati pola penjumlahan bilangan berikut. Mari
a. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ⋯ Mengingat
Kembali

b. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ⋯

Jawablah pertanyaan berikut ini.

1. Pola penjumlahan (a) termasuk pola penjumlahan

2. Bagaimana rumus suku ke-n untuk pola tersebut? Lengkapilah tabel berikut.

n1 2 3 4 5 dst n

Suku 1 3 … … … dst n
ke-n … … … … dst …

Rumus 2 × 1 − 1

3. Pola penjumlahan (b) termasuk pola penjumlahan
4. Bagaimana rumus suku ke-n untuk pola tersebut? Lengkapilah tabel berikut.

n1 2 3 4 5 dst n

Suku 2 4 … … … dst n
ke-n 2×1 … … … … dst …

Rumus

43

Ayo Mengamati

Tanpa menggunakan alat bantu hitung, rancang formula yang memenuhi pola
penjumlahan bilangan mulai 1 hingga 20.

Ayo Menanya
Buatlah pertanyaan terkait masalah yang diamati di atas dengan kata “bagaimana”.

………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………

Kegiatan Inti
1. Tulislah penjumlahan bilangan mulai 1 hingga 20 dalam bentuk deret.

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

2. Selidikilah bagaimana pola yang terdapat pada penjumlahan bilangan mulai 1
hingga 20.

a. Nilai selisih dua bilangan yang berurutan yaitu …
Hasil penjumlahan dua bilangan
(1 + 20) = (2 + 19) = ( … + … ) = ( … + … ) = ( … + … ) = ( … + … ) =
( … + … ) = ( … + … ) = ( … + … ) = (10 + 11) = …
Dari penjumlahan di atas, terdapat … pasang bilangan yang jumlahnya
sama dengan …
Jadi hasil 1 + 2 + 3 + ⋯ + 18 + 19 + 20 = …

b. Untuk mengetahui pola yang terdapat pada 1 + 2 + 3 + … + n, untuk n
bilangan asli, perlu dipilih sebarang n > 20. Misalnya dipilih n = 200 (n
bernilai genap)
Deret bilangan yang terbentuk adalah 1+ 2 + 3 + … + … + … + …

44

Nilai selisih dua bilangan yang berurutan yaitu …
Hasil penjumlahan dua bilangan
(1 + … ) = (2 + …) = ( 3 + … ) = … = ( … + … ) = …
Dari penjumlahan di atas, terdapat … pasang bilangan yang jumlahnya
sama dengan …
Jadi hasil 1 + 2 + 3 + … + … + … + … = …

3. Buatlah kesimpulan hasil penyelidikan di atas untuk merancang formula dari pola
sebarang n bilangan asli.

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

4. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa formula di atas
berlaku untuk setiap bilangan asli.

Bua.kti:

Misalkan pernyataan P(n): ………………………………………………………………………………….

Dapat dinyatakan sebagai ( ) = 1 + 2 + 3+. . . + = ⋯

a. Langkah Awal

Akan dibuktikan P(n) benar untuk n = …

Diperoleh:

( )= ( + 1)
2

(1) = ⋯

=⋯

=⋯

Jadi, terbukti P(n) bernilai … untuk n = 1.

45

b. Langkah Induksi

Misalkan P(n) benar untuk n = k, maka diperoleh,

P(k): …………………………………………………………………………………………………………….

Akan dibuktikan P(n) benar untuk n = k + 1, diperoleh,

1 +(2 ++31+). . . + +( + 1() ( + 1) ++(1)+ 1)
2+ ( + 1) = … =+ 1) +2 2( 2
=2 …
⟺ ( + 1)( + 2)

⟺ = … = …2

⟺ …=…
Dengan demikian ( + 1) ( + 1) + 1
=2

1 + 2 + 3+. . . + + ( + 1) = ⋯

Jadi pernyataan tersebut benar untuk n = ...

Dengan induksi matematika dapat disimpulkan bahwa

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

5. Buatlah kesimpulan tentang kegiatan yang telah kalian lakukan di atas.

a. Apa yang dimaksud induksi matematika?
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
b. Bagaimana langkah pembuktian dengan induksi matematika?
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

46