Logika Matematika

LOGIKA MATEMATIKA

A. PENDAHULUAN
Pembahasan mengenai logika sudah ada sejak lama bahkan sebelum manusia

mengenal istilah logika itu sendiri. Menilik kembali kepada sejarahnya, logika
memiliki pertumbuhan dan perkembangannya yang berawal dari jaman Yunani tua,
abad pertengahan dan logika dalam dunia modern ( Poespoprodjo, 1999 ).

Istilah Logika yang berasal dari kata Yunani Kuno, logos yang berarti hasil
pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa
dan yang diartikan juga sebagai suatu pemikiran yang sistematik untuk menarik
kesimpulan baru dari informasi-informasi sebelumnya ini pertama kali digunakan
oleh tokoh Stoa menurut sebagian kisah sejarah Zeno dari Citium ( 340-265).
Namun demikian, akar logika sudah terdapat dalam pikiran dialektis para filsuf
mazhab Elea. Perkembangan pun berlanjut pada masa Sokrates (470-399) yang
dengan metode Sokratesnya mengembangkan metode induktif. Dalam metode inilah
dikumpulkan contoh dan peristiwa konkret untuk kemudian dicari cirri umumnya.
Oleh Aristoteles metode Sokrates ini dikembangkan menjadi teori ilmu yang dalam
karyanya, Aristoteles telah menggarap masalah kategori struktur bahasa, hukum
formal konsistensi proposisi, silogisme kategoris, pembuktian ilmiah, pembedaan
atribut hakiki dan atribut bukan hakiki sebagai kesatuan pemikiran, bahkan telah
menyentuh bentuk-bentuk dasar simbolisme.

Pada abad pertengahan yang bermula dri tahun 1141 dimana penggarapan
logika hanya berkisar pada karya Aristoteles yang berjudul Kategoriai dan Peri
Hermeneias, berlanjut pada perkembangan setelah masa itu dengan munculnya
Thomas Aquinas dkk yang mengusahakan sistematisasi dan mengajukan komentar-
komentar dalam usaha mengembangkan logika yang telah ada. Inilah menjadi awal
lahirnya logika modern dengan tokoh-tokohnya seperti: Petrus Hispanus (1210 -
1278), Roger Bacon (1214-1292), Raymundus Lullus (1232 -1315) yang

menemukan metode logika baru yang dinamakan Ars Magna, yang merupakan
semacam aljabar pengertian dan William Ocham (1295 - 1349).

Pengembangan dan penggunaan logika Aristoteles secara murni selanjutnya
diteruskan oleh Thomas Hobbes (1588 - 1679) dengan karyanya Leviatan dan John
Locke (1632-1704) dalam An Essay Concerning Human Understanding.

Secara singkat Logika didefinisikan sebagai ilmu yang mempelajari cara-
cara yang meliputi kaidah dan aturan untuk membuat penarikan kesimpulan yang
beralasan dengan menggunakan penalaran yang logis.

B. LOGIKA
1. Pernyataan (deklaratif/Proposisi)
Terdapat beberapa bentuk kalimat yang digunakan orang untuk
berkomunikasi baik secara lisan maupun tulisan. Salah satu bentuk kalimat adalah
kalimat pernyataan (deklaratif/proposisi).
Definisi 2.1 Pernyataan adalah kalimat yang benar atau salah, tetapi tidak
kedua-duanya.
Kalimat interogatif, imperative, dan ekslamatori tidak dianggap sebagai
pernyataan.
Contoh 2.1. Berikut beberapa contoh pernyataan.
a. Ibu kota Sumatera Selatan adalah Palembang
b. Himpunan {1,2,3} memiliki 3 buah anggota.
c. Semua bilangan genap dapat dibagi 2.
d. 5+3=10
e. 4=9
Contoh 2.2. Berikut contoh-contoh kalimat bukan pernyataan.
a. Pergilah ke pasar.
b. Dimanakah rumah Ibu Ana?
c. Tambahkan 5 kepada ruas kanan dan kiri
d. 109
e. Apakah solusi dari 2x=40 ?

Pernyataan dinyatakan dengan huruf kecil
p, q, r, …
Contoh 2.3. Pernyataan dinyatakan sebagai berikut.
p : Semua bilangan genap dapat dibagi 2
r: Jika sebuah bilangan bulat x adalah kelipatan dari 6, maka x adalah
bilangan genap.
Jika sebuah pernyataan berisikan sebuah variabel misalkan x, maka
dinotasikan p(x) untuk menyatakan sesuatu tentang x. Pernyataan r diatas dapat
dituliskan r(x): sebuah bilangan bulat x adalah kelipatan dari 6, maka x adalah
bilangan genap. Jika mengandung 2 variabel dapat dinotasikan p(x,y) begitu pula
untuk 3 variabel atau lebih.
Dari pernyataan-pernyataan tunggal dapat dibentuk pernyataan-pernyataan
majemuk dengan menggunakan konektor atau operator logika. Operator logika dasar
yang digunakan adalah tidak (not), dan (and), dan atau (or). Operator pertama
dinamakan operator uner karena hanya membutuhkan satu buah pernyataan,
sedangkan dua operator berikut adalah operator biner karena mengoperasikan dua
pernyataan. Nilai kebenaran pernyataan majemuk tergantung pada nilai kebenaran
pernyataan-pernyataan tunggal yang membentuknya.
Selanjutnya, terdapat tabel yang disebut dengan tabel kebenaran. Tabel ini
merupakan tabel yang berisi nilai kebenaran pernyataan majemuk berdasarkan
semua kombinasi nilai pernyataan yang membentuknya.
1.1. Negasi (Ingkaran)
Jika p adalah suatu pernyataan, maka ingkaran dinotasikan dengan ~p
(dibaca : negasi p). Apabila pernyataan p bernilai benar, maka ~p bernilai salah
begitu pula sebaliknya. Tabel kebenaran dari ingkaran adalah sebagai berikut :

p ~p
BS
SB
Tabel 2.1: Tabel kebenaran ~p

Contoh 2.4. Berikut ini adalah contoh negasi.

p : Kupang adalah ibukota provinsi Nusa Tenggara Timur.

~p : Tidak benar Kupang adalah ibukota provinsi Nusa Tenggara Timur

Atau

Kupang bukan ibukota provinsi Nusa Tenggara Timur.

1.2. Konjungsi
Konjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan” serta

disimbolkan dengan “ ”. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam p q
dibaca “p dan q”. Tabel kebenaran konjungsi disajikan pada tabel berikut.

pq pq

BB B

BS S

SB S

SS S

Tabel 2.2: Tabel kebenaran p q

Contoh 2.5. Berikut ini adalah contoh konjungsi

p : Pantai Nembrala terletak di pulau Rote.

q : Pantai Lasiana terletak di pulau Timor.

p q: Pantai Nembrala terletak di pulau Rote dan Pantai Lasiana terletak di

pulau Timor.

1.3. Disjungsi
Dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata “atau” disebut disjungsi dan

ditulis dengan notasi p q.

pq pq

BB B

BS B

SB B

SS S

Tabel 2.3: Tabel kebenaran p q

Contoh 2.6. Berikut ini adalah contoh disjungsi.

p : Hari ini hari Jumat

q : Cuaca cerah.

p q: Hari ini hari Jumat atau cuaca cerah.

Contoh 2.7 Berikut contoh lain dari disjungsi

p:

q:

p q: atau

Perhatikan perbedaan antara kedua disjungsi ini. Pada contoh 2.6, terbuka

kemungkinan pernyataan p dan q kedua-duanya bernilai benar, yaitu cuaca cerah

pada hari Jumat, sedangkan pada contoh 2.7, p dan q tidak mungkin kedua-duanya

benar secara bersama-sama sebab bila tidak mungkin . Dalam hal ini

kharus dipilih salah satu di antara dua. Disjungsi terakhir ini disebut dengan

disjungsi eksklusif. Sedangkan disjungsi sebelumnya biasa disebut dengan disjungsi

inklusif. Untuk membedakan kedua disjungsi ini hanya digunakan tanda pada

operator yang berbeda. Berikut adalah tabel kebenaran untuk disjungsi eksklusif.

pq pq

BB S

BS B

SB B

SS S

Tabel 2.4: Tabel kebenraran p q

2. Pernyataan Bersyarat
Implikasi merupakan pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika ...,

maka ...” serta disimbolkan dengan “ ”. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan

dalam dibaca “jika p, maka q”. Pernyataan disebut sebagai implikasi

atau kondisional atau pernyataan bersyarat. Pernyataan p disebut hipotesis/

antiseden/sebab sedangkan q disebut konsekuen/konklusi/kesimpulan/akibat. Selain

dibaca “jika p maka q,” implikasi dapat juga dibaca sebagai:

a) q jika p

b) p hanya jika q

c) p syarat cukup bagi q

d) q syarat perlu bagi p

Berikut tabel kebenaran implikasi

Pq

BB B

BS S

SB B

SS B

Tabel 2.5: Tabel kebenaran

Contoh 2.8. Berikut ini adalah contoh implikasi.
p : Alvin lulus SPMB
q : Alvin mentraktir teman sekelasnya.
: Jika Alvin lulus SPMB maka ia akan mentraktir teman sekelasnya.
Pernyataan “Jika Alvin lulus SPMB maka ia akan mentraktir teman

sekelasnya” selalu benar pada saat Alvin tidak lulus SPMB tanpa menghiraukan ia
mentraktir ataupun tidak teman sekelasnya. Sama halnya dengan pernyataan Alvin
mentraktir teman sekelasnya tetapi ia tidak lulus. Pernyataan ini hanya akan bernilai
salah bila Alvin lulus SPMB tapi tidak mentraktir teman sekelasnya. Dalam
implikasi tidak selalu perlu adanya hubungan sebab akibat.

Perhatikan contoh 2.9. dimana dapat dilihat bahwa pernyataan tetap bernilai
benar sekalipun pernyataan q bukanlah akibat dari pernyataan p.
Contoh 2.9. Pernyataan implikasi

p:
q:

: Jika maka

Pengertian syarat cukup dan syarat perlu dapat dilihat pada contoh berikut ini.

Contoh 2.10. Misalkan

p : y adalah ayam

q : y adalah hewan berkaki dua
Pernyataan “ayam berkaki dua” dapat dipandang sebagai impikasi

Perhatikan bahwa ayam adalah syarat cukup untuk hewan berkaki dua sekalipun

tidak penting. Hal ini nampak jelas bahwa untuk hewan yang berkaki dua tidak

hanya ayam dan ayam bukanlah syarat yang penting bagi hewan berkaki dua.

Sedangkan berkaki dua adalah syarat perlu bagi ayam, namun tidak cukup. Jelas

bahwa syarat perlu untuk seekor binatang disebut ayam haruslah berkaki dua namun

ini tidak cukup sebab masih banyak lagi ciri atau syarat lain seekor hewan disebut

ayam.

3. Invers, Konvers, dan Kontraposisi
Dari implikasi dapat dibentuk pernyatan baru yang dapat dinyatakan dalam

skema yaitu:

konvers

invers kontraposisi invers

konvers

Invers dari implikasi adalah , sedangkan konversnya adalah
.
dan kontraposisinya adalah

Contoh 2.11. Misalkan

p : Bryan rajin belajar

q : Bryan mendapatkan nilai yang memuaskan.

Maka,

: Jika Bryan rajin belajar maka ia mendapatkan nilai yang memuaskan.

: Jika Bryan malas belajar maka ia tidak mendapatkan nilai yang

memuaskan

: Jika Bryan mendapatkan nilai yang memuaskan maka ia rajin belajar

: Jika Bryan tidak mendapatkan nilai yang memuaskan maka ia malas

belajar.

Berikut tabel kebenaran untuk implikasi, invers, konvers, dan kontraposisi.

pq

BBS S B B B B

BSSB S B B S

S BBS B S S B

S SBB S B B B

Tabel 2.6: Implikasi, Invers, Konvers, dan Kontraposisi.

Jika diperhatikan maka akan nampak bahwa implikasi memiliki nilai

kebenaran yang sama dengan kontraposisinya . Begitupun dengan

memiliki nilai kebenaran yang sama dengan . Pernyataan-

pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran yang sama disebut dengan pernyataan

yang ekivalen.

4. Ekivalensi Logis dan Tautologi

Pernyataan-pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran yang selalu sama

disebut pernyataan yang ekivalen dengan kata lain dua pernyataan yang selalu

mempunyai nilai kebenaran yang sama disebut ekivalen secara logis.

Notasi yang digunakan .

Ekivalensi logis juga dapat dituliskan sebagai implikasi dua arah dengan

notasi . Implikasi dua arah , ini dibaca “p jika dan hanya jika q” atau

“p adalah syarat perlu dan cukup untuk q”. Implikasi dua arah ini disebut juga

dengan biimplikasi. Tabel kebenaran biimplikasi diberikan pada tabel

berikut.

pq

BBB

BS S

SBS

SSB

Tabel 2.7: Tabel kebenaran biimplikasi

Contoh 2.12. Berikut ini adalah contoh biimplikasi.

p : Felix lulus Ujian Akhir Nasional

q : Felix belajar dengan giat

: Felix lulus Ujian Akhir Nasional jika dan hanya jika Felix belajar

dengan giat.

Tautologi adalah pernyataan yang selalu benar apapun kombinasi nilai
kebenaran pernyatan-pernyataan yang ada didalamnya. Sebaliknya pernyatan yang

selalu salah disebut kontradiksi dan pernyataan yang bukan tautologi ataupun

kontradiksi disebut kontingensi.

Contoh 2.13. Berikut ini adalah contoh tautologi, kontradiksi dan

kontingensi.

1. Tautologi

( ) ( p  q)

pq p pq ( ) ( p  q)

BB B S B B
BS S S S B
SB B B B B
SS B B B B

2. Kontradiksi )
( )(
S
pq B () ( )( )
B S S
BB B B S S
S S
BS S B S

SB S

SS S

3. Kontingen S p  q p  p  q
p  p  q S S S
pQ B S S
BB B S B
BS S B
SB
SS

C. NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK
a. Negasi Konjungsi.
~ ( p ^ q ) ≡ ~P v ~q.
b. Negasi Disjungsi.
~(pvq) ≡~p^~q
c. Negasi Implikasi .
~(p → q ) ≡ p ^ ~q
d. Negasi Biimplikasi.
~(p ↔ q ) ≡ ~[(~pvq)^(pv~q)]

D. SIFAT-SIFAT OPERASI PERNYATAAN MAJEMUK

Operasi pernyataan memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
1. Idempoten

2. Komutatif

3. Asosiatif

() ()

() ()

4. Distributif

( ) ( )( )
)
( ) ( )(

5. Sifat Negasi

()

6. Sifat Identitas

7. Hukum de Morgan
()
()

E. PERNYATAAN BERKUANTOR
Untuk menyatakan apakah sebuah pernyataan bervariabel benar untuk semua

harga variabel atau untuk sebagian harga variabel, kita menggunakan dua macam
kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial. Misalkan,

()

()
Pernyataan ( ) benar untuk semua harga x yang diberikan, sedangkan
pernyataan ( ) benar hanya untuk harga x tertentu, dalam hal ini ( ) dan salah
untuk nilai x yang lainnya.
1. Kuantor universal
Kuantor universal digunakan untuk menyatakan bahwa ( ) benar untuk
semua harga x dalam himpunan semesta. Kuantor ini dilambangkan dengan “ ”
yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap”. Jika p(x) adalah suatu kalimat
terbuka dan diberi kuantor universal, maka akan menjadi suatu pernyataan berikut :

( x) , p(x)

Notasi ini dibaca “untuk semua x, ( ) benar” atau ( ) berlaku untuk
semua x”.

Contoh 2.14. Berikut ini adalah contoh kuantor universal.

Dibaca berlaku untuk semua bilangan asli.

adalah suatu pernyataan yang bernilai benar, karena
HP={1,2,3,4,…}=A.

2. Kuantor eksistensial
Kuantor eksistensial digunakan untuk menyatakan bahwa ( ) benar untuk

sebagian (minimal satu) harga x dalam himpunan semesta. Dilambangkan dengan
“ ” yang dibaca “ada” atau “beberapa”. Jika p(x) adalah suatu kalimat terbuka dan
diberi kuantor eksistensial, maka akan menjadi suatu pernyataan berikut :

( x) , p(x)

Contoh 2.15. Berikut ini adalah contoh kuantor eksistensial

( )( )

Dibaca ”

( )( ) adalah suatu pernyataan yang bernilai benar, karena

(| ) * +

F. NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR
1) Negasi pernyataan kuatrol universal

( x) , p(x) = ( x) , p(x)
Ingkaran dari pernyataan “untuk semua x di dalam S, berlaku p(x)” adalah:
a. “Tidak benar bahwa semua x di dalam S, berlaku p(x)”
b. “Ada x di dalam S sedemikian sehingga p(x) tidak berlaku”
c. “Beberapa x di dalam S tidak berlaku p(x)”.

Contoh 2.16. Berikut ini adalah contoh pernyataa berkuantor universal
Ingkaran dari pernyataan “Semua orang akan meninggal dunia” adalah
a. “Tidak benar bahwa setiap orang akan meninggal dunia”
b. “Ada (paling sedikit satu) orang tidak akan meninggal dunia” atau
c. “Beberapa orang tidak akan meninggal dunia”.

2) Negasi pernyataan kuantor eksistensial

( x) , p(x)= ( x) , p(x)
Ingkaran dari pernyataan “ada x di dalam S, berlaku p(x)” adalah:
a. “untuk semua x di dalam S, p(x) tidak berlaku”
b. “Tidak ada x di dalam S , p(x) berlaku”
c. “Jika x di dalam S, p(x) tidak berlaku”.

Contoh 2.17. Berikut ini adalah contoh pernyataa berkuantor eksistensial
Ingkaran dari pernyataan “Ada bintang yang memiliki cahaya” adalah
a. “Semua bintang tidak memiliki cahaya”
b. “Tidak ada bintang yang memiliki cahaya” atau
c. “Jika bintang itu ada maka ia tidak memiliki cahaya”.

G. ARGUMENTASI LOGIS

Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan

disebut premis. Suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau

pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya.

Sedang argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih

premis yang mengandung bukti-bukti dan suatu konklusi. Konklusi ini diturunkan

dari premis-premis.

Sebuah argumen dikatakan valid apabila konklusi bernilai benar jika setiap

premis yang digunakan di dalam argumen juga bernilai benar.

Untuk menentukan validitas suatu argumen dapat dikerjakan dengan

menggunakan tabel kebenaran. Jika terdapat n premis , dan

konklusinya q , maka argumentasi disebut valid jika q benar bilamana premis-

premis , benar dengan menunjukkan bahwa

adalah sebuah tautologi. Namun, terkadang dengan menggunakan tabel

kebenaran tidaklah praktis. Cara yang lainnya adalah dengan menggunakan bentuk-

bentuk argument yang ada. Bentuk argumen yang paling sederhana dan klasik

adalah Modus ponens dan Modus tolens.

1. Modus Ponens

i. Premis 1 : p q

ii. Premis 2 : p

iii. Konklusi : q

2. Modus tolens

i. Premis 1 : p q

ii. Premis 2 : ~q

iii. Konklusi : ~p

3. Tautologi

i. Premis 1 : p q

ii. Premis 2 : p

iii. Konklusi : q

4. Silogisme

i. Premis 1 : p q
ii. Premis 2 : q r
iii. Konklusi : p r
5. Silogisme Disjungtif
i. Premis 1 : p  q
ii. Premis 2 : ~ q
iii. Konklusi : p
6. Penambahan Disjungtif
i. Premis 1 : p
ii. Konklusi : p  q
7. Penyederhanaan Konjungtif
i. Premis 1 : p
ii. Konklusi : p q
8. Dilema Konstruktif
i. Premis 1 : (p → q)  (r → s)
ii. Premis 2 : p  r
iii. Konklusi : q  s
Dilema konstruktif ini merupakan kombinasi dua argumen modus ponen
(periksa argumen modus ponen).
9. Dilema Konstruktif
i. Premis 1 : (p → q)  (r → s)
ii. Premis 2 : ~ q  ~ s
iii. Konklusi : ~ p  ~ r
Dilema destruktif ini merupakan kombinasi dari dua argumen modus
tolens (perhatikan argumen modus tolen).
Contoh 2.18. Periksa apakah argumentasi-argumentasi berikut valid.
i. (p  q) → [p → (s  t)]
ii. (p  q)  r
iii. s  t

Berikut ini adalah langkah-langkah pembuktian yang dilakukan :

(p  q) → [p → (s  t) Premis

(p  q)  r Premis

p q 2, Penyederhanaan

p → (s  t) 1, 3, Modus Ponen

p 3, Penyederhanaan

s t 4, 5, Modus Ponen

s 6, Penyederhanaan

s t 7, Tambahan

Jadi argumen tersebut di atas adalah absah (valid).

Contoh 2.19. Periksa apakah argumentasi-argumentasi berikut valid.

Jika pengetahuan logika diperlukan atau pengetahuan aljabar diperlukan,

maka semua orang akan belajar matematika. Pengetahuan logika

diperlukan dan pengetahuan geometri diperlukan. Karena itu semua

mahasiswa akan belajar matematika. Validkah argumentasi di atas ?

Menerjemahka argumen- argumen di atas ke bentuk simbol-simbol.

Misal : l = pengetahuan logika diperlukan,

a = pengetahuan aljabar diperlukan,

m = Semua orang akan belajar matematika,

g = pengetahuan geometri diperlukan.

Maka :

(l  a) → m Premis

l g Premis

l 2, Penyederhanaan

l  a 3, Tambahan

 m 1, 4, Modus Ponen

Jadi argumen di atas adalah valid.