การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสองและมีตัวแปรเดียว

E-Book

ด.ช.เฮงจือฮ่นั สงวนวไิ ลศกั ดิ์ เลขท่ี 19 ม.2/3

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามท่ีมดี กี รี
สองและมีตัวแปรเดยี ว

ที่แตล่ ะพจนม์ สี ัมประสิทธิเ์ ปน็ จำนวนเตม็

ตัวอย่าง ของพหุนามดีกรสี องตัวแปรเดยี ว
3x2+ 4x + 5 , 2x2– 6x – 1 , x2– 9 , y2+ 3y – 7 , -y2+ 8y

พหุนามดีกรสี องตวั แปรเดียว คือ พหนุ ามท่ีเขยี นใน
รปู ax2 + bx + c เมอ่ื a , b , c เป็นค่าคงตัว
ที่ a ≠ 0 และ x เปน็ ตวั แปร

1.2.1 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองตัว
แปรเดียว

ในรูป ax2 + bx + c เม่อื a , b เป็น
จำนวนเต็ม และ c = 0

ในกรณีท่ี c = 0 พหนุ ามดกี รสี องตวั แปร
เดียวจะอย่ใู นรูป ax2+ bx สามารถใชส้ มบตั กิ ารแจกแจง

แยกตวั ประกอบได้

ตวั อย่างท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 2x
วิธที ำ x2 + 2x = (x)(x) + (2)(x)

= x(x + 2)
ตวั อย่างท่ี 2 จงแยกตัวประกอบของ 4x2 - 20x
วธิ ีทำ 4x2 - 20x = (4x)(x) - (4x)(5)

= 4x(x - 5)
ตัวอยา่ งที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ -4x2 - 6x
วธิ ีทำ -4x2 - 6x = -2x(2x + 3)

หรอื -4x2 - 6x = 2x(-2x - 3)
ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตวั ประกอบของ -15x2 + 12x
วิธที ำ -15x2 + 12x = (3x)(-5x) + (3x)(4)

= 3x(-5x + 4)
หรือ -15x2 + 12x = (-3x)(-5x) - (-3x)(4)

= -3x(5x - 4)

1.2.2 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องตัวแปรเดียว
ในรปู ax2 + bx + c เมอ่ื a = 1 , b และ c เปน็
จำนวนเต็ม และ c ≠ 0

ในกรณที ี่ a = 1 และ c ≠ 0 พหนุ ามดกี รสี องตัวแปร
เดียว จะอยู่ในรปู x2 + bx + c
สามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในรปู น้ีได้ โดยอาศัยแนวคิด
จากการหาผลคณู ของพหุนาม

ดงั ตวั อย่างตอ่ ไปน้ี

จากการหาผลคณู ( x +2 )( x + 3 ) ดงั กลา่ ว จะได้ข้นั ตอน
การแยกตัวประกอบของ x2 + 5x + 6

โดยทำขนั้ ตอนย้อนกลบั ดงั น้ี
x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + (2)(3)

[ 2 + 3 = 5 และ (2) × (3) = 6 ]
= x2 + (2x + 3x) + (2)(3)
= (x2 + 2x) + [3x + (2)(3)]
= (x + 2)x + (x + 2)(3)
= (x + 2)(x + 3)

นนั่ คือ x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

พิจารณาผลคูณของพหนุ ามตอ่ ไปน้ี

1.(x + 2)(x + 3) = (x + 2)(x) + (x + 2)(3)
= (x2 + 2x)+ [3x + (2)(3)]
= x2 + (2x+ 3x) + (2)(3)
= x2 + (2+ 3)x + (2)(3)
= x2 + 5x + 6

ดงั น้ัน แยกตวั ประกอบของ x2 + 5x + 6 ไดด้ งั นี้
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

ให้สงั เกตวา่
เราจะแยกตวั ประกอบของ x2+ 5x + 6 ได้ ถา้ เราสามารถ
หาจำนวนเต็มสองจำนวน
ทค่ี ณู กันไดเ้ ท่ากบั พจนท์ ี่เปน็ คา่ คงตวั คอื 6 และบวกกนั ได้
เท่ากบั สมั ประสทิ ธ์ขิ อง x คือ

(x + 4)(x – 5) = (x + 4)(x) + (x + 4)(-5)
= (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]
= x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)
= x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5)
= x2 + (-1)x + (-20)

= x2 - x - 20
ดงั นั้น แยกตัวประกอบของ x2 - x - 20 ได้ดงั นี้

x2 - x - 20 = (x + 4)(x – 5)

จากการหาผลคณู (x + 4)(x -5) ดงั กล่าว จะได้ขั้นตอนการ
แยกตัวประกอบของ x2- x – 20

โดยทำข้นั ตอนยอ้ นกลับในทำนองเดียวกบั ข้อ 1. ดังน้ี

x2- x – 20 = x2 + (-1)x + (-20)
= x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5)
[4 + (-5) = -1 และ (4)(-5) = -20 ]
= x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)
= (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]
= (x + 4)x + (x + 4)(-5)

= (x + 4)(x -5)
นน่ั คือ x2 - x - 20 = (x + 4)(x - 5)

ให้สงั เกตเช่นเดียวกันวา่ เราจะแยกตวั ประกอบของ x2- x –
20 ได้ ถ้าเราสามารถหาจำนวนเตม็

สองจำนวนทีค่ ูณกันไดเ้ ท่ากบั พจนท์ เ่ี ป็น
คา่ คงตัวคอื -20 และบวกกันไดเ้ ท่ากบั สัมประสทิ ธ์ิ
ของ x คือ -1

จากที่กล่าวมาข้างตน้ นี้ ถา้ เราตอ้ งการ
แยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสอง เชน่ x2+ 6x + 8

เราจะต้องหาจำนวนเตม็ สองจำนวนทค่ี ณู กันได้ 8 และ
บวกกนั ได้ 6 กอ่ น ดงั น้ี

เน่ืองจาก x2 + 6x + 8 = x2 + (2 + 4)x + (2)(4)
= x2 + (2x + 4x) + (2)(4)
= (x2 + 2x) + [4x + (2)(4)]
= (x + 2)x + (x + 2)(4)
= (x + 2)(x + 4)

น่นั คอื x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)

ในกรณีท่วั ไป เราสามารถแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องใน
รปู x2 + bx + c เมอ่ื b , c เปน็ จำนวนเตม็

และ c ≠ 0 ได้ ถา้ เราสามารถหา จำนวนเตม็ สองจำนวนที่
คณู กนั ไดเ้ ทา่ กับพจน์ที่เป็นค่าคงตวั คอื c และบวกกนั ได้

เทา่ กบั สมั ประสิทธขิ์ อง x คอื b
ถ้าให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มสอง

จำนวน ซึ่ง mn = c และ m + n = b
จะได้วา่ x2 + bx + c = (x + m)(x + n)

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงแยกตัวประกอบของ x2 – 10x + 21
วธิ ที ำ เนือ่ งจาก (-3)(-7) = 21

และ (-3) + (-7) = -10
ดงั นน้ั x2 – 10x + 21 = [ x + (-3)][ x + (-7)]
นัน่ คือ x2 – 10x + 21 = ( x -3 )( x -7 )

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 5x - 6
วิธที ำ เนื่องจาก (-1)(6) = - 6

และ (-1) + (6) = 5
ดงั นั้น x2 + 5x - 6 = [ x + (-1)][ x + 6 ]
นนั่ คือ x2 + 5x - 6 = ( x - 1 )( x + 6 )

ตัวอยา่ งที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ x2 - 2x - 24
วธิ ีทำ เนอ่ื งจาก (4)(-6) = - 24

และ (4) + (-6) = -2
ดังนัน้ x2 - 2x - 24 = ( x + 4 ) [ x + (-6)]
น่ันคือ x2 - 2x - 24 = ( x + 4 )( x - 6 )

ตวั อยา่ งท่ี 8 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 2x + 1
วธิ ีทำ เนือ่ งจาก (1)(1) = 1

และ (1) + (1) = 2
ดงั นั้น x2 + 2x + 1 = ( x + 1 )( x + 1)
นัน่ คือ x2 + 2x + 1 = ( x + 1 )( x + 1)

ตวั อย่างที่ 9 จงแยกตวั ประกอบของ x2 - 4x + 4
วธิ ที ำ เน่ืองจาก (-2)(-2) = 4

และ (-2) + (-2) = -4
ดังนั้น x2 - 4x + 4 = [ x + (-2)][ x + (-2)]
นนั่ คือ x2 - 4x + 4 = ( x - 2 )( x - 2 )

ตวั อยา่ งที่ 10 จงแยกตวั ประกอบของ x2 - 9
วธิ ที ำ เนื่องจาก (-3)(3) = -9

และ (-3) + 3 = 0
ดังน้ัน x2 - 9 = [ x + (-3)]( x + 3)
นน่ั คือ x2 - 9 = ( x - 3 )( x + 3 )

สำหรับพหุนามดีกรสี อง เช่น x2 + 3x + 1 เนือ่ งจากไมม่ ี
จำนวนเตม็ สองจำนวนทคี่ ณู กนั ได้ 1

และบวกกนั ได้ 3 ดงั นน้ั เราจึงไมส่ ามารถเขียนพหุ
นาม x2 + 3x + 1 ใหอ้ ย่ใู นรูปการคูณของพหุนามดีกรีหน่งึ

ท่ีมสี ัมประสิทธิเ์ ป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ เราไมส่ ามารถ
แยกตัวประกอบของ x2 + 3x + 1 ได้

โดยทัว่ ไปแล้ว ในการแยกตวั ประกอบของพหุนาม x2 +
bx + c เมือ่ b , c เป็นจำนวนเต็ม และ

c ≠ 0 ถ้าเราไมส่ ามารถหาจำนวนเตม็ สองจำนวนทีค่ ณู
กนั ได้เทา่ กับ c และบวกกันได้เทา่ กับ b เรากไ็ มส่ ามารถ

แยกตวั ประกอบของ x2 + bx + c ออกเปน็ ตวั ประกอบที่
เป็นพหนุ ามดกี รหี น่ึงซง่ึ มีสมั ประสิทธิเ์ ปน็ จำนวนเตม็

1.2.3 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตวั
แปรเดยี ว
ในรปู ax2 + bx + c เมอื่ a , b , c เป็นจำนวนเตม็
และ a ≠ 0 , a ≠ 1 , c ≠ 0

เพอ่ื ความสะดวกในการหาข้อสรปุ ของวธิ ีการแยกตวั ประกอบของ
พหนุ าม ax2+ bx + c เราจะเรยี ก ax2 วา่ พจน์
หน้า เรยี ก bx วา่ พจน์กลาง และเรียก c วา่ พจนห์ ลัง

พิจารณาการคณู พหนุ ามดีกรีหน่งึ ต่อไปนี้โดยใช้สมบตั ิการแจกแจง

(2x – 3)(3x + 1) = (2x – 3)(3x) + (2x – 3)(1)
= (6x2 – 9x) + (2x – 3)
= 6x2 + (–9x + 2x) – 3
= 6x2 – 7x – 3

ดังนัน้ ในการแยกตัวประกอบของ 6x2 – 7x – 3 จะทำดงั น้ี

1. หาพหนุ ามดีกรีหนง่ึ สองพหุนามท่ีคณู กนั แล้วได้พจนห์ นา้
คอื 6x2 ซึ่งอาจเปน็ 2x กับ 3x หรอื x กบั 6x เขยี นสอง
พหุนามนน้ั เปน็ พจนห์ นา้ ของพหนุ ามในวงเลบ็ สองวงเลบ็ ดังน้ี

(2x )(3x ) หรือ (x )(6x )

2. หาจำนวนสองจำนวนท่คี ณู กันแลว้ ไดพ้ จน์หลงั
คอื – 3 ซึ่งอาจเป็น 3 กบั – 1 หรอื – 3 กับ 1 แลว้
เขยี นจำนวนทงั้ สองน้ีเปน็ พจนห์ ลงั ของพหนุ ามในแต่ละวงเลบ็
ท่ไี ดใ้ นขอ้ 1. ซง่ึ ทำใหเ้ กิดกรณที ่ี

ต้องพจิ ารณา 8 กรณี ดงั นี้
1). (2x + 3)(3x – 1)
2). (2x – 1)(3x + 3)
3). (2x – 3)(3x + 1)
4). (2x + 1)(3x – 3)
5). (x + 3)(6x – 1)
6). (x – 1)(6x + 3)
7). (x – 3)(6x + 1)
8). (x + 1)(6x – 3)

3. นำผลท่ไี ด้ในขอ้ 2 มาหาพจนก์ ลางทีละกรณี จนกว่าจะได้พจน์
กลางเป็น –7x ดังน้ี

3.1

ไดพ้ จนก์ ลางเป็น 9x + (–2x) = 7x
3.2

ได้พจน์กลางเปน็ (– 3x) + 6x = 3x
3.3

ไดพ้ จน์กลางเปน็ (–9x) + 2x = –7x

จะเหน็ วา่ เมื่อถงึ กรณี 3) จะไดพ้ จนก์ ลางของพหุนามทเ่ี ปน็ ผล
คณู เท่ากบั –7x
ดงั น้ันไมต่ ้องพจิ ารณากรณีอน่ื ๆ อีก น่นั คอื แยกตัวประกอบของ
พหุนาม 6x2 – 7x – 3 ไดด้ งั นี้

6x2 – 7x – 3 = (2x – 3)(3x + 1)
ตวั อย่างท่ี 11 จงแยกตวั ประกอบของ 8x2 – 26x + 15
วิธีทำ เนอ่ื งจาก (2x)(4x) = 8x2 และ (– 5)(– 3) = 15

(2x)(–3) + (–5)(4x) = –6x + (–20x) = –26x
8x2 – 26x + 15 = (2x – 5)(4x – 3)

ตวั อย่างท่ี 12 จงแยกตัวประกอบของ 4x2 + 13x + 10
วธิ ที ำ 4x2 + 13x + 10 = (4x + 5)(x + 2)

ตวั อย่างท่ี 13 จงแยกตวั ประกอบของ 12x2 + 5x – 2
วธิ ีทำ 12x2 + 5x – 2 = (4x – 1)(3x + 2)

ตัวอย่างที่ 14 จงแยกตัวประกอบของ 6x2 – 10x – 4
วิธีทำ
วิธที ่ี 1 6x2 – 10x – 4 = 2(3x2 – 5x – 2)

ดังน้ัน 6x2 – 10x – 4 = 2(3x + 1)(x – 2)
วิธีที่ 2 6x2 – 10x – 4 = (3x + 1)(2x – 4)

ดังนั้น 6x2 – 10x – 4 = 2(3x + 1)(x – 2)
วิธที ี่ 3 6x2 – 10x – 4 = (6x + 2)(x – 2)
ดงั นั้น 6x2 – 10x – 4 = 2(3x + 1)(x – 2)

ตวั อย่างที่ 15 จงแยกตัวประกอบของ –3x2 + 10x + 8
วิธที ำ
วิธีที่ 1 –3x2 + 10x + 8 = (3x + 2)(– x + 4)

หรอื –3x2 + 10x + 8 = (–3x – 2)(x – 4)
วธิ ที ี่ 2 เน่อื งจาก –3x2 + 10x + 8 = (–1)(3x2 – 10x – 8)

= (–1)(3x + 2)(x – 4)
ดังน้นั –3x2 + 10x + 8 = (3x + 2)(– x + 4)
หรอื –3x2 + 10x + 8 = (–3x + 2)(x – 4)