สรุปความเท่ากันทุกประการ

1.ความเท่ากนั ทกุ ประการของรูปเรขาคณิต

รูปA รูปB รูปC รูปD

จะเห็นวา่ สามารถเคลอ่ื นที่รูป A ไปทบั รปู B ไดส้ นทิ และสามารถเคลื่อนที่
รูป C ไปทบั รปู D ไดส้ นิทซงึ่ เป็นไปตามบทนยิ ามของ ความเทา่ กนั ทุกประการ
( congruence ) ของรปู เรขาคณิตบนระนาบน้ี

บท รปู เรขาคณติ สองรปู จะเทา่ กนั ทุก

ประการ กต็ อ่ เม่อื เคลื่อนทร่ี ปู หน่ึงไป

ทับอกี รปู หนึง่ ไดส้ นิท

ม

'

. สเมื่อi รปู A และ B เทา่ กันทกุ ประการจะเขียนว่า A E B อ่านวา่ รปู A เทา่ กนั
1

ทุกประการกับรปู B หรอื รูป A และ รปู B เทา่ กันทุกประการ ร "
..
.

.

นุยิ

แนวคิด คาดคะเนวา่ รปู คูใ่ ดนา่ จะเท่ากนั ทุกประการ แล้วตรวจสอบ

รปู คนู่ น้ั โดยใชก้ ระดาษลอกลายลอกรูปหน่งึ ไปทับอกี รูปหน่งึ วา่ ทับกนั
ไดส้ นทิ หรอื ไม่

จากการตรวจสอบได้คำตอบดังนี้ การตรวจสอบวา่ รูป
1) รปู ก ± รปู ค และ รปู ข ± รูป ง เรขาคณติ เทา่ กนั ทกุ
2) รปู ก E รปู จ และรปู ข I รปู ค ประการสามารถทำได้
3) รูป ก E รูป ง และรปู ข ¥ รปู จ โดยใช้กระดาษลอกลาย

ความเทา่ กนั ทกุ ประการของส่วนของเส้นตรง

เมือ่ กำหนด AB และ CD ท่ี AB = CD ดังรปู

A BC D

ถา้ ใช้กระดาษลอกลาย ลอก AB แลว้ นำไปทับ CD ให้จุด A ทบั จดุ C
เนื่องจาก AB = CD จะไดจ้ ดุ B ทับจดุ D
ดังนน้ั AB และ CD ทบั กนั สนิท
นัน่ คือ ถา้ AB = CD แล้ว AB ¥ CD

ในทางกลบั กัน ถ้ากำหนด AB ¥ CD ดังรูป

A BC D

จากบทนยิ ามของความเทา่ กันทกุ ประการ จะสามารถเคลื่อนที่ AB ไปทับ CD ไดส้ นิท
จะได้ AB และ CD ยาวเท่ากนั
นัน่ คอื ถา้ AB ± CD แลว้ AB = CD

โดยทัว่ ไปความเทา่ กันทกุ ประการของสว่ นของเสน้ ตรง เปน็ ไปตามสมบตั ิดงั นี้

ว

สว่ นของเสน้ ตรงสองเส้นเทา่ กนั ทกุ ประการ
ก็ต่อเม่ือ สว่ นของเส้นตรงท้งั สองเส้นนน้ั
ยาวเทา่ กนั L \ i

ฒ็ • ~ =L ความเท่ากนั ทกุ ประการของมมุ B ⑤ ฏํ๋
~ ~• ~

Eo 7 rg ~ ~

^ ^ nn

เม่อื กำหนด AOB และ CED ท่ี AOB = CED ดังรปู

C•

A•

0 • •

B ED

^^

ถา้ ใชก้ ระดาษลอกลายลอก AOB แล้วนำไปทับ CED โดยให้จุด O ทบั จุด E
☒B
^
และ OA ทับ EC
^

เนื่องจาก AOB = CED จะได้ OB ทับ ED
n^

ดังน้นั AOB = CED ทับกนั สนทิ nn / Uv
^n

นัน่ คอื ถา้ AOB = CED แล้ว AOB E CED

^^

ในทางกลับกัน ถา้ AOB ¥ CED ดงั รูป

7- }

C• =i

.

A•

B E D๐ • .. ••

^n

จากบทนยิ ามของความเทา่ กันทกุ ประการ จะสามารถเคล่อื นที่ AOB ไป CED ไดส้ นิท
^^
จะได้ AOB = CED
^^ ^^

นัน่ คอื ถ้า AOB ¥ CED แล้ว AOB = CED

ม้ีอู

โดยทว่ั ไปความเท่ากนั ทกุ ประการของมุม เป็นไปตามสมบตั ติ ่อไปน้ี

มุมสองมุมเท่ากนั ทุกประการ กต็ อ่ เมอื่

มุมทง้ั สองมุมนัน้ มขี นาดเทา่ กนั

ความเท่ากนั ทกุ ประการของรปู เรขาคณิตทก่ี ล่าวมาแล้วข้างต้น เปน็ ไปตามสมบตั ิ
ของความเทา่ กันทุกประการทกี่ ล่าวว่า

ถ้ารูปเรขาคณิตสองรปู เท่ากนั ทกุ ประการ
แลว้ รปู เรขาคณิตท้งั สองรปู นัน้ มรี ูปรา่ ง
เหมือนกนั และมีขนาดเท่ากนั 1 / 1

ในทางกลบั กนั

ถา้ รปู เรขาคณติ สองรปู มรี ูปรา่ งเหมอื นกนั
และมขี นาดเทา่ กัน แล้วรูปเรขาคณติ ท้งั สอง
รปู น้นั เท่ากันทุกประการ - s \

Example 1 วงกลมสองวงทม่ี ีรัศมียาวเท่ากนั จะเทา่ กันทกุ ประการหรอื ไม่

จงอธบิ าย
วธิ ที ำ กำหนดรปู วงกลมสองวงท่มี จี ุด A และจดุ B เปน็ จุดศนู ย์กลางและรัศมยี าว

เทา่ กันเปน็ r หน่วย ดังรูป

เนื่องจาก รูปวงกลม A และ B มีรูปร่างเหมือนกนั และมรี ัศมยี าวเท่ากนั เป็น r หนว่ ย
รปู วงกลม A และรูปวงกลม B จงึ มรี ูปรา่ งเหมอื นกนั และมีขนาดเท่ากัน
นนั่ คอื รปู วงกลม A ¥ รูปวงกลม B
ดังนั้น
รปู วงกลมท่มี รี ศั มยี าวเทา่ กัน จะเท่ากนั ทุกประการ

2.ความเทา่ กนั ทุกประการของรูปสามเหลีย่ ม

พิจารณารปู สามเหลีย่ ม ABC และรปู สามเหลีย่ ม DEF ซงึ่ เท่ากนั ทุกประการ ดงั รูป
AD

B CF E

เม่อื จบั คู่จดุ A กบั จุด D จดุ B กับจดุ E และ จดุ C กับจดุ F y - ,
จะไดน ดบาน AB สมนยั กับดบาน DEดบาน BC สมนยั กับดบาน EF และ ดา้ น CA สมนยั
กับดา้ น FD
^^ ^ ^^ ^
A สมนยั กับ D
B สมนัยกับ E และ C สมนยั กบั F

เมื่อตรวจสอบความยาวของดา้ นคูท่ ่ีสมนัยกัน จะไดว้ ่า AB = DE , BC = EF และ

CA = FD ^ ^^ ^ ^^

เมือ่ ตรวจสอบขนาดของมุมคทู่ ่ีสมนัยกนั จะได้วา่ A = D , B = E และ C = F

ถ้ารูปสามเหลยี่ มสองรปู เท่ากันทุกประการ แล้วด้านคู่
ที่สมนัยกนั และมมุ คทู่ ี่สมนัยกันของรูปสามเหล่ียม
ทง้ั สองรปู นั้น มีขนาดเท่ากนั เปน็ คู่ๆ

ในทางกลับกัน เมอื่ รูปสามเหล่ียม ABC และรปู สามเหลย่ี ม DEF มีด้านค่ทู ี่

สมนยั กนั ยาวเทา่ กนั คอื AB = DE , BC = EF และ CA = FD และมีมมุ ค่ทู ี่
^ ^^ ^ ^^

สมนัยกันมขี นาดเทา่ กัน คอื A = D , B = E และ C = F ดังรูป

AD

B CF E

เมอ่ื ABC ทบั DEF ไดส้ นทิ น่นั คอื ABC ¥ DEF

ถา้ รปู สามเหลยี่ มสองรปู มีด้านคทู่ ี่สมนัยและมุมคูท่ ี่
สมนัยกนั มีขนาดเทา่ กนั เปน็ ค่ๆู แลว้ รปู สามเหล่ยี ม
ท้ังสองรปู น้นั เทา่ กนั ทุกประการ

สรุปสมบตั ิ การเขียนสัญลกั ษ์แสดงว่าเท่ากันทกุ
ประการของสามเหล่ียม
รปู สามเหลีย่ มสองรูปเทา่ กนั ทกุ
ประการ กต็ ่อเม่ือ ดา้ นคทู่ สี่ มนัยกัน 3C ¥ )
และมมุ คูท่ ี่สมนัยกันของรปู
สามเหลี่ยม มีขนาดเทา่ กนั เปน็ คู่ๆ

ณ๋ึฬํณึ

2.1 รูปสามเหลีย่ มสองรปู ที่สมั พนั ธก์ ันแบบ ด้าน-มุม-ด้าน

ในกรณที ต่ี อ้ งการทราบว่าสามเหล่ยี มสองรปู ใดเท่ากันทกุ ประการโดยไม่
จำเป็นต้องยกมาทบั กนั เราสามารถใชห้ ลักการทางเรขาคณติ ในการพิสูจน์
โดยอาศัยค้านกบั มุมที่เท่ากันสามคูท่ ั้งนตี้ ้องขนึ้ อยูก่ บั กรณีท่เี ปน็ ไปได้และถอื
เป็นสจั พจน์ ดังตอ่ ไปนี้

ถ้ารปู สามเหล่ียมสองรูปใด ๆ มดี ้านยาวเทา่ กนั สองค่แู ละมุมในระหวา่ ง
ด้านค่ทู ีย่ าวเท่ากันมขี นาดเทา่ กนั แล้ว ผลที่ตามมาคอื ดา้ นทสี่ มนัยทเี่ หลอื อกี 1 คู่
จะยาวเทา่ กนั และมมุ ท่สี มนยั กนั ที่เหลืออกี 2 คจู่ ะมขี นาดเทา่ กันเป็นคู่ ๆ

2.2 รปู สามเหล่ียมสองรูปท่ีสมั พนั ธ์กันแบบ มุม-ดา้ น-มุม

หลกั การ

ถ้ารปู สามเหลยี่ มสองรปู มีความสมั พนั ธก์ นั แบบ มุม-ดา้ น-มุม
(ม.ด.ม.) กล่าวคอื มมี ุมทม่ี ขี นาดเทา่ กันสองคู่ และดา้ นที่เป็นแขนรว่ ม
ยาวเทา่ กัน แลว้ รปู สองรปู นนั้ เทา่ กนั ทุกประการ
ตวั อยา่ ง

วิธีทำ

2.3 รูปสามเหลย่ี มสองรปู ท่สี มั พนั ธก์ ันแบบ ดา้ น-ดา้ น-ดา้ น

หลกั การ

ถา้ รปู สามเหลี่ยมสองรูปมคี วามสัมพนั ธ์กันแบบ ด้าน-ดา้ น-ดา้ น
(ด.ด.ด.) กล่าวคอื มีด้านยาวเทา่ กนั เป็นคู่ ๆ สามคู่ แลว้ รปู สองรปู นัน้
เท่ากันทกุ ประการ

ตวั อยา่ ง

2.4 รปู สามเหล่ยี มสองรูปที่สมั พันธก์ นั แบบ มุม-มุม-ดา้ น

หลักการ
สามเหล่ียมสองรูปใด ๆ มีมมุ ทมี่ ขี นาดเทา่ กนั สองคู่ และมดี า้ นเทา่ กนั
หน่ึงคแู่ ลว้ รูปสามเหลี่ยมสองรปู น้นั จะเทา่ กนั ทกุ ประการ

2.5 รปู สามเหลี่ยมสองรูปท่สี ัมพนั ธก์ ันแบบ มุม-มุม-ดา้ น

หลักการ

สามเหลี่ยมมมุ ฉากสองรูปใด ๆ มดี า้ นตรงข้ามมมุ ฉากยาวเทา่ กนั และมดี า้ นใด
ดา้ นหน่งึ ยาวเทา่ กันแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรปู นั้นจะเท่ากนั ทุกประการ