นางสาวนรินทร์ธร รักงาม ม.68 เลขที่21

เซตและเลขยกกำลัง

นางสาวนรินทร์ธร รักงาม ม.6/8 เลขที่21

คณิตศาตร์

เซต (SET)

เซต คือ กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง ชุด
เเละเมื่อกล่าวถึงเซตของสิ่ งใดๆ จะ
ทราบได้ทันทีว่าในเซตนั้ นมีอะไรบ้าง
เราเรียกสิ่ งที่อยู่ในเซตว่า ‘สมาชิก’

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต ชื่อเเละสมาชิกของเซต

1. สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตต่างๆ ได้

2. ชื่อเซตนิ ยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C,

∈3. สัญลักษณ์ …
แทนคำว่า ” เป็ นสมาชิกของ

∉”

4. แทนคำว่า ” ไม่เป็ นสมาชิกของ “

ลักษณะของเซต

เซตว่าง (Empty Set) คือ เซตที่ไม่มี

∅สมาชิก เขียนแทนด้วย ” { } ” หรือ

เช่น เซตของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กับ
2 , เซตของสระในคำว่า ” อรวรรณ ”
เซตจำกัด (Finite Set) คือ เซตที่สามารถ

∅บอกจำนวนสมาชิกได้ เช่น มีจำนวน

สมาชิกเป็ น 0 , { 1, 2, 3, … , 50 } มี
จำนวนสมาชิกเป็ น 50
เซตอนั นต์ (Infinite Set) คือ เซตที่ไม่ใช่
เซตจำกัด ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้
เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, 4, …
} , เซตของจุดบนระนาบ

การเขียนเซต

1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular form)
หลักการเขียน

1.เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปี กกา
2.สมาชิกเเต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องจุลภาค (,)
3. สมาชิ กที่ ซ้ำกันให้ เขียนเพียงตัวเดียว
4.ในกรณีที่มีจำนวนสมาชิกมากๆ ให้เขียนสมาชิกอย่าง

น้ อย 3 ตัว เเล้วใช้จุด 3 จุด (Tripple dot) เเล้วจึงเขียน
สมาชิ กตัวสุ ดท้าย
2. การเขียนเซตแบบบแกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต (Set
builder form)
หลักการเขียน
1.เขียนเซตด้วยวงเล็บปี กกา
2. กำหนดตัวแปรแทนสมาชิ กทั้งหมดตามด้วย
เครื่องหมาย l ( l อ่านว่า โดยที ) เเล้วตามโดย
เงื่อนไขของตัวแปรนั้ น ดังรู ปแบบ { x l เงื่อนไขของ
x}

ความสัมพันธ์ของเซต

1. เซตที่เท่ากัน (Equal Sets) คือ เซตสอง
เซตจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิก
เหมือนกัน
สั ญลักษณ์
เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย A = B
เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทนด้วย A ≠ B
2. เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets) คือ
เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และสมาชิกของ
เซตจับคู่กันได้พอดีแบบหนึ่ งต่อหนึ่ ง
สั ญลักษณ์
เซต A เทียบเท่ากับ เซต B แทนด้วย A
⟷B
* หมายเหตุ 1. ถ้า A = B แล้ว A ⟷ B
2. ถ้า A ⟷ B แล้ว ไม่อาจสรุ ปได้ว่า A = B

สับเซต (Subset)

ถ้า สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็ นสมาชิกในเซต B

เเล้ว เซต A จะเป็ นสับเซตของเซต B

สัญลักษณ์ เซต A เป็ นสับเซตของเซต B เขียนแทน

⊂ด้วย A B
⊄เซต B ไม่เป็ นสับเซตของเซต A เขียนแทนด้วย A

B

สมบัติของสั บเซต

⊂1. A A ( เซตทุกเซตเป็ นสับเซตของมันเอง )
⊂2. A U ( เซตทุกเซตเป็ นสับเซตของเอกภพ

สั มพัทธ์)
∅ ⊂3. A ( เซตว่างเป็ นสับเซตของทุกๆ เซต)
⊂ ∅ ∅4. ถ้า A
เเล้ว A =
⊂ ⊂ ⊂5. ถ้า A B เเละ B C เเล้ว A C (สมบัติการ

ถ่ายทอด)

⊂ ⊂6. A = B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ B A
7. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้ง

สิ้น 2^n ( 2 ยกกำลัง n ) สับเซต

สับเซตแท้

⊂นิ ยาม A เป็ นสับเซตแท้ของ B ก็

ต่อเมื่อ A B เเละ A ≠ B
ตัวอย่าง กำหนดให้ A = { a, b, c } จง
หาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A

∅วิธีทำ สับเซตแท้ของ A ได้แก่ , {a},

{b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}
หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว
สับเซตแท้ของเซต A จะมีทั้งสิ้น 2^n-1
(2 ยกกำลัง n-1) สับเซต เราสามารถ
เขียนความสั มพันธ์ของสั บเซตออกมาใน
รู ปแผนภาพได้ดังนี้

เพาเวอร์เซต (Power Set)

ถ้า A เป็ ตเซต เเล้ว เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิก
ประกอบไปด้วยสับเซตของ A ทั้งหมด

สัญลักษณ์ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A) = {สับเซต
ทั้งหมดของ A}

ตัวอย่าง A = {1, 2}

∅วิธีทำ สับเซตของ A คือ , {1}, {2}, A
∅ดังนั้ น P(A) = { , {1}, {2}, A }

สมบัติของเพาเวอร์เซต

กำหนดให้ A และ B เป็ นเซตใดๆ

∅ ∈ ∅ ⊂1. P(A) เพราะ A เสมอ
∅ ⊂2. P(A) เพราะเซตว่างเป็ นสับเซตของทุกเซต เเล้ว P(A) ก็เป็ นเซต

เช่นกัน

∈ ⊂3. A P(A) เพราะ A A เสมอ

4. ถ้า A เป็ นเซตจำกัด เเละ n(A) คือจำนวนสมชิกของ A เเล้ว P(A) จะมี
สมาชิก 2^ n(A) ( 2 ยกกำลัง n(A) ) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซตของ A)

⊂ ⊂5. A B ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)
∩ ∩6. P(A) P(B) = P(A B)
∪ ⊂ ∪7. P(A) P(B) P(A B)

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe)

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนด
ขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะกล่าวถึงสิ่ งที่เป็ น
สมาชิกของเซตนี้ เท่านั้ น จะไม่กล่าวถึงสิ่ งอื่น
ใดที่ไม่เป็ นสมาชิกของเซตนี้ โดยทั่วไปจะใช้
สัญลักษณ์ U แทนเซตที่เป็ นเอกภพสัมพัทธ์
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8]
A = {1, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 8}

∈ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ U = { x N | 1 < x
∈< 20 }

A = { x N | x = n + 3 เมื่อ n เป็ น

∈จำนวนนั บคี่ }

B = { x N | x = n + 3 เมื่อ n เป็ น
จำนวนนั บคู่ }
นั่ นคือ ทั้ง A และ B เป็ นสับเซตของ U

1. ยูเนี ยน (Union)
ยูเนี ยนของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต

A หรือ เซต B

∪เขียนแทนด้วย A B
∪ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

ดังนั้ น A B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
อินเตอร์เซกชันของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วย

สมาชิกของเซต A

∩เเละเซต B
เขียนแทนด้วย A B
ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

3. คอมพลีเมนต์ (Complement)
คอมพลีเมนต์ของของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็ นสมาชิก

ของเอกภพสัมพัทธ์ แต่ไม่เป็ นสมาชิกของ A
เขียนแทนด้วย A’

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }

4. ผลต่างของเซต (Difference)
ผลต่างของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วย

สมาชิกที่เป็ นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็ นสมาชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A – B

แบบฝึกหัด

แบบฝึกหัด

เลขยกกำลัง

เลขยกกำลัง คือ การคูณตัวเลขนั้นๆตาม
จำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลขนั้นๆจะคูณตัวของมัน
เองและเมื่อแทน A เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n เป็น
จำนวนเต็มบวก โดยที่มี A เป็นฐานหรือตัวเลข และ n
เป็นเลขชี้กำลัง(An/An) จะได้ว่า a คูณกัน n ตัว
(AxAxAxAxAx… xA) เช่น 10x10x10 = 103 =
1000.

บทนิยาม

บทนิยาม ถ้า a แทนจำนวนใด ๆ และ n แทน
จำนวนเต็มบวก “a ยกกำลัง n” เขียนแทนด้วย aⁿ มี
ความหมายดังนี้
a ⁿ = a x a x a x … x a (a คูณกัน n ตัว)
เรียก aⁿ ว่า เลขยกกำลัง ที่มี a เป็นฐาน และ n เป็น
เลขชี้กำลัง

สัญลักษณ์ 2⁵ อ่านว่า “สองยกกำลังห้า” หรือ
“สองกำลังห้า” หรือ “ กำลังห้าของสอง”
2⁵ แทน 2 x 2 x 2 x 2 x 2
2⁵ มี 2 เป็นฐาน และ 5 เป็นเลขชี้กำลัง

สมบัติเลขยกกำลัง

1. สมบัติการคูณเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น
จำนวนเต็มบวก เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ และ m, n เป็น
จำนวนเต็มบวก

ตัวอย่าง
25 เป็นเลขยกกำลัง ที่มี 2 เป็นฐาน หรือตัวเลข
และมี 5 เป็นเลขชี้กำลัง
และ 25 = 2x2x2x2x2 = 32

2. สมบัติการหารเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น
จำนวนเต็มบวก

กรณีที่ 1 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่
ศูนย์ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m > n

เช่น 412÷ 43=412-3 = 49

กรณีที่ 2 เมื่อ a เป็นจำนวนจริง
ใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, nเป็น
จำนวนเต็มบวกที่ m = n

กรณีที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวน
จริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m,
n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m <
n

3.สมบัติอื่นๆของเลขยกกำลัง
1.) เลขยกกำลังที่มีฐาน

เป็นเลขยกกำลัง
2.) เลขยกกำลังที่มีฐาน

อยู่ในรูปการคูณ หรือการหารของจำนวนหลาย
ๆจำนวน

3.) เลขยกกำลังที่มี
เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน

การบวกเลขยกกำลัง

1.การบวกลบเลขยกกำลังที่มีฐานเหมือนกันและเลขยก
กำลังเท่ากัน ให้นำสัมประสิทธิ์ของเลขยกกำลังมาบวกลบกัน

2.การบวกลบเลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากัน แต่เลข
ยกกำลังไม่เท่ากันจะนำสัมประสิทธิ์มาบวกลบกันไม่ได้
ต้องทำในรูปของการแยกตัวประกอบ และดึง
ตัวประกอบร่วมออก

สรุป

เลขยกกำลังเป็นการคูณตัวเลข
นั้นๆตามจำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลข
นั้นๆจะคูณตัวของมันเองและเมื่อแทน a
เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n เป็น
จำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็นฐานหรือ
ตัวเลข และ n เป็นเลขชี้กำลัง(an) หรือจะ
ได้ว่า a คูณกัน n ตัว (axaxaxaxax…xa)
อีกทั้งวิธีการคำนวณหาค่าเลขยกกำลังจะ
ขึ้นอยู่กับสมบัติของเลขยกกำลังในแต่ละ
ประเภทด้วย

แบบฝึกหัด

แบบฝึกหัด

THANK YOU