นันท์นภัส

เซตและเลขยกกำลัง

น.ส นันท์นภัส หนูพิทักษ์
เลขที่ 25 ม.6/5

คณิตศาตร์

เซต (SET)

ความหมายของเซต ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า
"เซต" หมายถึง กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง ชุด เเละเมื่อ
กล่าวถึงเซตของสิ่งใดๆ จะทราบได้ทันทีว่าในเซตนั้นมี
อะไรบ้าง เราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า 'สมาชิก' สัญลักษณ์
ที่ใช้แทนเซต ชื่อเเละสมาชิกของเซต
1. สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตต่างๆ ได้ 2. ชื่อเซต
นิยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C, ...

∈ ∉3. สัญลักษณ์ แทนคำว่า " เป็นสมาชิกของ " แทน

คำว่า " ไม่เป็นสมาชิกของ "

∅ลักษณะของเซต เซตว่าง (Empty Set) คือ เซตที่ไม่มี

สมาชิก เขียนแทนด้วย " { } " หรือ เช่น เซตของ
จำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 2 เซตของสระในคำว่า " อร

∅วรรณ " เซตจำกัด (Finite Set) คือ เซตที่สามารถบอก

จำนวนสมาชิกได้ เช่น มีจำนวนสมาชิกเป็น 0 { 1, 2, 3, ...
, 50 } มีจำนวนสมาชิกเป็น 50 เซตอนันต์ (Infinite Set) คือ
เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้ เช่น
เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, 4, ... } เซตของจุดบน
ระนาบ

ความสัมพันธ์ของเซต 1. เซตที่เท่ากัน (Equal Sets) คือ เซต
สองเซตจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน

≠สัญลักษณ์ เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย A = B เซต A ไม่

เท่ากับ เซต B แทนด้วย A B 2. เซตที่เทียบเท่ากัน
(Equivalent Sets) คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และ
สมาชิกของเซตจับคู่กันได้พอดีแบบหนึ่งต่อหนึ่ง
สัญลักษณ์ เซต A เทียบเท่ากับ เซต B แทนด้วย A ⟷ B *
หมายเหตุ 1. ถ้า A = B แล้ว A ⟷ B 2. ถ้า A ⟷ B แล้ว ไม่
อาจสรุปได้ว่า A = B

การเขียนเซต
1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular form)
หลักการเขียน

1. เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปีกกา
2. สมาชิกเเต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องจุลภาค (,)
3. สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว
4. ในกรณีที่มีจำนวนสมาชิกมากๆ ให้เขียนสมาชิกอย่าง
น้อย 3 ตัว เเล้วใช้จุด 3 จุด (Tripple dot) เเล้วจึงเขียน
สมาชิกตัวสุดท้าย
2. การเขียนเซตแบบบแกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต (Set
builder form) หลักการเขียน
1. เขียนเซตด้วยวงเล็บปีกกา
2. กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วย
เครื่องหมาย l ( l อ่านว่า โดยที ) เเล้วตามโดยเงื่อนไขของ
ตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ { x l เงื่อนไขของ x }

สับเซต
สับเซต (Subset) ถ้า สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็น

สมาชิกในเซต B เเล้ว เซต A จะเป็นสับเซตของเซต B

สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A

⊂ ⊄B เซต B ไม่เป็นสับเซตของเซต A เขียนแทนด้วย A
B สมบัติของสับเซต
⊂1. A A ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของมันเอง )
⊂2. A U ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
∅ ⊂3. A ( เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
⊂ ∅ ∅4. ถ้า A
เเล้ว A =
⊂ ⊂ ⊂5. ถ้า A B เเละ B C เเล้ว A C (สมบัติการ
ถ่ายทอด)

⊂ ⊂6. A = B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ B A
7. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น
2^n

( 2 ยกกำลัง n ) สับเซต

เซตแท้

⊂ ≠สับเซตแท้ นิยาม A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็

ต่อเมื่อ A B เเละ A B ตัวอย่าง กำหนดให้

∅A = { a, b, c } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A วิธี

ทำ สับเซตแท้ของ A ได้แก่ , {a}, {b}, {c}, {a,
b}, {a, c}, {b, c} หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก
n ตัว สับเซตแท้ของเซต A จะมีทั้งสิ้น 2^n-1 (2
ยกกำลัง n-1) สับเซต เราสามารถเขียนความ
สัมพันธ์ของสับเซตออกมาในรูปแผนภาพได้
ดังนี้

เพาเวอร์เซต (Power Set) ถ้า A เป็ตเซต เเล้ว เพาเวอร์เซต
ของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกประกอบไปด้วยสับเซตของ A
ทั้งหมด
สัญลักษณ์ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A) = {สับเซต
ทั้งหมดของ A}

∅ตัวอย่าง A = {1, 2} วิธีทำ สับเซตของ A คือ , {1}, {2}, A
∅ดังนั้น P(A) = { , {1}, {2}, A }

สมบัติของเพาเวอร์เซต กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ

∅ ∈ ∅ ⊂1. P(A) เพราะ A เสมอ
∅ ⊂2. P(A) เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต เเล้ว P(A) ก็
∈ ⊂เป็นเซตเช่นกัน

3. A P(A) เพราะ A A เสมอ
4. ถ้า A เป็นเซตจำกัด เเละ n(A) คือจำนวนสมชิกของ A เเล้ว P(A)
จะมีสมาชิก 2^ n(A) ( 2 ยกกำลัง n(A) ) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซต
ของ A)

⊂ ⊂5. A B ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)
∩ ∩6. P(A) P(B) = P(A B)
∪ ⊂ ∪7. P(A) P(B) P(A B)

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) เอกภพ
สัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า
จะกล่าวถึงสิ่งที่เป็นสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่
กล่าวถึงสิ่งอื่นใดที่ไม่เป็นสมาชิกของเซตนี้ โดย
ทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ U แทนเซตที่เป็นเอกภพ
สัมพัทธ์
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] A =
{1, 3, 5, 7} B = {2, 4, 8}

∈ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ U = { x N | 1 < x < 20 } A =
∈{ x N | x = n + 3 เมื่อ n เป็นจำนวนนับคี่ } B = { x
∈ N | x = n + 3 เมื่อ n เป็นจำนวนนับคู่ } นั่นคือ ทั้ง

A และ B เป็นสับเซตของ U

1. ยูเนียน (Union) ยูเนียนของเซต A เเละเซต B คือเซต
ที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A หรือ เซต B เขียนแทน

∪ด้วย A B
∪ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 } ดังนั้น A B =

{ 1, 2, 3, 4, 5 }

2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
อินเตอร์เซกชันของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วย

สมาชิกของเซต A
เเละเซต B

∩เขียนแทนด้วย A B
∩ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

ดังนั้น A B = { 3 }

3. คอมพลีเมนต์ (Complement)
คอมพลีเมนต์ของของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิก

ของเอกภพสัมพัทธ์ แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A
เขียนแทนด้วย A'

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }
ดังนั้น A' = { 4, 5}

4. ผลต่างของเซต (Difference)
ผลต่างของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็น

สมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A - B

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A - B = { 1, 2 }

แบบฝึกหัด

แบบฝึกหัด

เลขยกกำลัง

เลขยกกำลัง คือ การคูณตัวเลขนั้นๆตาม
จำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลขนั้นๆจะคูณตัวของ
มันเองและเมื่อแทน A เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n
เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี A เป็นฐานหรือตัวเลข
และ n เป็นเลขชี้กำลัง(An/An) จะได้ว่า a คูณกัน n
ตัว (AxAxAxAxAx… xA) เช่น 10x10x10 = 103 = 1000.

บทนิยาม

บทนิยาม ถ้า a แทนจำนวนใด ๆ และ n
แทนจำนวนเต็มบวก “a ยกกำลัง n” เขียน
แทนด้วย aⁿ มีความหมายดังนี้
a ⁿ = a x a x a x … x a (a คูณกัน n ตัว)
เรียก aⁿ ว่า เลขยกกำลัง ที่มี a เป็นฐาน
และ n เป็นเลขชี้กำลัง

สัญลักษณ์ 2⁵ อ่านว่า “สองยกกำลัง
ห้า” หรือ “สองกำลังห้า” หรือ “ กำลังห้าของ
สอง”
2⁵ แทน 2 x 2 x 2 x 2 x 2
2⁵ มี 2 เป็นฐาน และ 5 เป็นเลขชี้กำลัง

สมบัติเลขยกกำลัง

1. สมบัติการคูณเลขยกกำลังที่มี
เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก เมื่อ a เป็น
จำนวนใด ๆ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่าง
25 เป็นเลขยกกำลัง ที่มี 2 เป็นฐาน
หรือตัวเลข และมี 5 เป็นเลขชี้กำลัง
และ 25 = 2x2x2x2x2 = 32

2. สมบัติการหารเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น
จำนวนเต็มบวก

กรณีที่ 1 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์
และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m > n
เช่น 412÷ 43=412-3 = 49

กรณีที่ 2 เมื่อ a เป็นจำนวนจริง
ใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, nเป็น
จำนวนเต็มบวกที่ m = n

กรณีที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวน
จริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ
m, n เป็นจำนวนเต็มบวกที่
m<n

3.สมบัติอื่นๆของเลขยกกำลัง
1.) เลขยกกำลังที่มีฐานเป็น

เลขยกกำลัง
2.) เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ใน

รูปการคูณ หรือการหารของจำนวนหลาย ๆ
จำนวน

3.) เลขยกกำลังที่มี
เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน

การบวกเลขยกกำลัง

1.การบวกลบเลขยกกำลังที่มีฐาน
เหมือนกันและเลขยกกำลังเท่ากัน ให้นำ
สัมประสิทธิ์ของเลขยกกำลังมาบวกลบกัน

2.การบวกลบเลขยกกำลังที่มีฐานเท่า
กัน แต่เลขยกกำลังไม่เท่ากันจะนำ
สัมประสิทธิ์มาบวกลบกันไม่ได้ ต้องทำใน
รูปของการแยกตัวประกอบ และดึง
ตัวประกอบร่วมออก

สรุป

เลขยกกำลังเป็นการคูณตัวเลขนั้นๆ
ตามจำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลข
นั้นๆจะคูณตัวของมันเองและเมื่อแทน a
เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n เป็น
จำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็นฐานหรือ
ตัวเลข และ n เป็นเลขชี้กำลัง(an) หรือ
จะได้ว่า a คูณกัน n ตัว
(axaxaxaxax…xa) อีกทั้งวิธีการ
คำนวณหาค่าเลขยกกำลังจะขึ้นอยู่กับ
สมบัติของเลขยกกำลังในแต่ละประเภท
ด้วย

แบบฝึกหัด



THANK YOU