RANGKUMAN POLINOMIAL (MATEMATIKA PEMINATAN)

MATEMATIKA PEMINATAN
“POLINOMIAL”

MILYTIA CRISTY KAMU

A. PENGERTIAN POLINOMIAL

POLINOMIAL ADALAH SUKU BANYAK DENGAN VARIABEL SATU BERPANGKAT
BILANGAN BULAT POSITIF.

BENTUK UMUM POLINOMIAL
+ −1 −1 + −2 −2 + ⋯ + 2 2 + 1 + 0
dengan : merupakan bilangan bulat positif , ≠ 0
, −1, −2,…, 2, 1 bilangan real dan merupakan koefisien-koefisien polinomial 0 bilangan real

dan merupakan suku tetap (konstanta).

Derajat suatu polinomial dalam adalah pangkat tertinggi dari dalam polinomial itu.

CONTOH SOAL 1:

Dari soal dibawah ini, manakah yang termasuk polinomial?

a. 5 2 + 8 + 9 + 3 3

b. 7 3 + 5 2− 2 + 1 + 3


d. 5 4 + √ + 6+ 3 3

PEMBAHASAN

a. + 8 + 9 + merupakan polinomial karena terdapat empat suku yaitu 5 2, 8 , 9 dan 3 3 dan

memiliki satu variabel yaitu “x” serta berpangkat bilangan bulat positif

b. + − 2 + 1 + , bukan merupakan polinomial, karena terdapat variabel yang berpangkat

bukan bilangan bulat positif yaitu 3 = 3 −1 ( memiliki pangkat negatif).

c. + √ + 6+ , bukan polinomial, karena terdapat variabel x yang berpangkat bukan bilangan

bulat positif, yaitu√ = 1/2 ( berpangkat pecahan).

CONTOH SOAL 2
Tentukan suku-suku, koefisien, konstanta dan derajat dari polinomial 5 2 + 8 + 9 + 3 3

PEMBAHASAN
• Suku-suku beserta koefisiennya sebagai berikut :
Suku 3 3 dengan koefisien = 3
Suku 5 2 dengan koefisien = 5
Suku 8x dengan koefisien = 8
Suku 9 0 dengan koefisien = 9 atau disebut juga konstanta karena 0=1
• Suku dengan pangkat variabel paling tinggi adalah suku 3 3 , sehingga derajatnya adalah 3.

B. PENGOPERASIAN POLINOMIAL

1. PENJUMBLAHAN DAN PENGURANGAN POLINOMIAL
2. PERKALIAN POLINOMIAL

DAN PEMBAGIAN POLINOMIAL

PENJUMBLAHAN DAN PENGURANGAN POLINOMIAL
Penjumlahan dan pengurangan polinomial dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan
antarkoefisien suku-suku sejenis. Suku-suku sejenis yaitu suku-suku yang mempunya variabel
berpangkat sama. Untuk lebih memahami penjumlahan dan pengurangan pada polinomial, kita simak
contoh soal berikut.

Contoh Soal 1
Diketahui polinomial :

Pembahasan:
Diketahui:
( ) = 6 3 − 8 2 + 7 + 10
( ) = 10 2 + 11 − 13
Penjumlahan ( ) dan ( ) dapat dituliskan sebagai berikut.
( ) + ( ) = (6 3 − 8 2 + 7 + 10) + (10 2 + 11 − 13)
Mengelompokkan suku sejenis

Sifat distributif

Contoh Soal 2

Diketahui polinomial :

Hasil pengurangan polinomial dan adalah …
= 6 3 + (−8 2 + 10 2) + (7 + 11 ) + (10 − 13)

Pembahasan:
Pengurangan ( ) dan ℎ( ) dapat dituliskan sebagai berikut.
( ) − ℎ( ) = (10 3 + 7 2 − 4 − 2) − (5 3 − 2 + 3)

= 10 3 + 7 2 − 4 − 2 − 5 3 + 2 − 3
= (10 3 − 5 3) + 7 2 + (−4 + 2 ) + (−2 − 3) → Mengelompokkan suku sejenis

= (10 − 5) 3 + 7 2 + (−4 + 2) + (−5) →sifat distributif
= 5 3 + 7 2 + (−2) – 5

PERKALIAN POLINOMIAL

GUNAKAN SIFAT DISTRIBUTIF
∙ ( + + ⋯+ ) = ∙ + ∙ + ⋯+ ∙
( + + ⋯+ ) ∙ = ∙ + ∙ + ⋯+ ∙

Pada operasi perkalian polinomial berlaku sifat

perpangkatan yaitu ∙ = +

Perhatikan contoh soal untuk memahami perkalian polinomial

CONTOH SOAL

Diberikan dua buah suku banyak ( ) dan ( ) yang ditentukan oleh

( ) = 3 + 2 − 3 + 1

( ) = 3 − 2 2 + 2 − 1

Tentukan ( ) ∙ ( ) serta derajatnya !

Pembahasan:
Diketahui:
( ) = 3 + 2 − 3 + 1
( ) = 3 − 2 2 + 2 – 1
Maka ( ) ∙ ( ) dapat dituliskan sebagai berikut.

( ) ∙ ( ) = ( 3 + 2 − 3 + 1) ∙ ( 3− 2 2 + 2x-1)
= 3( 3 − 2 2 + 2 − 1) + 2( 3 − 2 2 + 2 − 1) − 3 ( 3 − 2 2 + 2 − 1)
+ 1( 3 − 2 2 + 2 − 1)
= 6 − 2 5 + 2 4 − 3 + 5 − 2 4 + 2 3 − 2 − 3 4 + 6 3 − 6 2 + 3 + 3
− 2 2 + 2 − 1
= 6 + (−2 5 + 5) + (2 4 − 2 4 − 3 4) + (− 3 + 2 3 + 6 3 + 3)
+ (− 2 − 6 2 − 2 2) + (3 + 2 ) − 1
= 6 + (−2 − 1) 5 + (2 − 2 − 3) 4 + (−1 + 2 + 6 + 1) 3 + (−1 − 6 − 2) 2
+ (3 + 2) − 1
= 6 − 3 5 − 3 4 + 8 3 − 9 2 + 5 − 1

Jadi, ( ) ∙ ( ) = 6 − 3 5 − 3 4 + 8 3 − 9 2 + 5 − 1 dengan derajat polinomial adalah 6 karena
pangkat tertinggi dari variabel adalah 6.

C. Nilai Polinomial

Suatu polinomial atau suku banyak dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi ( ), yaitu:
( ) = + −1 −1 + −2 −2 + ⋯ + 2 2 + 1 + 0

Jikasuatusukubanyakdinyatakansebagaifungsi ( )dannilai digantidenganbilangan tetap
, maka bentuk ( ) merupakan nilai suku banyak tersebut untuk = . Untuk menentukan
nilai dari ( ) kita bisa menggunakan metode substitusi dan metode sintetik yaitu skema
Horner.
a. Metode Substitusi

Cara menentukan nilai suatu suku banyak dengan metode substitusi adalah sebagai berikut.

Nilai suku banyak
( ) = + −1 −1 + −2 −2 + ⋯ + 2 2 + 1 + 0

Untuk = ditentukan oleh
( ) = ( ) + −1( ) −1 + −2( ) −2 + ⋯ + 2( )2 + 1( ) + 0

Anak-anakku untuk lebih memahami menentukan nilai suku banyak dengan metode substitusi,
yuk kita simak contoh soal berikut.

Contoh Soal :
Diketahui suku banyak ( ) = 3 − 2 2 − − 5. Nilai ( ) untuk = 3 adalah …

Pembahasan:

Substitusi nilai = 3 ke ( ) = 3 − 2 2 − − 5 diperoleh

(3) = 33 − 2(3)2 − 3 − 5
= 27 − 2(9) − 8
= 27 − 18 − 8
=1

Jadi, nilai ( ) untuk = 3 adalah 1

b. Skema Horner
Misalkan suku banyak ( ) = 3 3 + 2 2 + 1 + 0 akan ditentukan nilainya untuk =
dengan cara skema.
Terlebih dahulu bentuk suku banyak tersebut disederhanakan sehingga setiap variabel
hanya berpangkat satu (kecuali untuk 0 ), sehingga diperoleh,
( ) = ( 3 + 2) + 1) + 0
Nilai ( ) untuk = dapat ditentukan sebagai berikut :
( ) = ( 3 + 2) + 1) + 0

Bentuk tersebut dapat disusun dalam suatu bagan sebagai berikut :

k a3 a2 a1 a0

a3 k (a3 k + a2)k ((a3 k + a2)k + a1)k

a3 (a3 k + a2) ((a3 k + a2)k + a1) ((a3 k + a2)k + a1)k + a0 +

Contoh Soal 1:
Tentukan nilai suku banyak ( ) = 3 4 + 4 3 − 5 2 − 2 + 5 untuk = 1

Pembahasan:
Dengan metode substitusi:
F(1) = 3(1)4 + 4(1)3 – 5(1)2 – 2(1) + 5

=5

Dengan skema horner

1 34 -5 - 2 5

37 20 +

37 2 05

Jadi, nilai suku banyak untuk x=1 adalah 5.

SEKIAN UNTUK RANGKUMAN MATERI POLINOMIAL.
JIKA ADA YANG KURANG DIMENGERTI ATAU ADA PERTANYAAN
BISA HUB. LEWAT WHATSAPP